5
K − ST . Untuk kondisi ini opsi tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi call pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak sebagai berikut: c = max( ST − K , 0) .
p = max( K − ST , 0) .
(9)
Payoff Opsi Put (p )
(8)
Payoff Opsi Call (c )
Harga Strike (K )
Harga Saham (S T )
Gambar 2 Diagram payoff opsi put tipe Eropa
Harga Strike (K )
Harga Saham (S T )
Gambar 1 Diagram payoff opsi call tipe Eropa Begitu juga pada waktu opsi put jatuh tempo, apabila ST < K maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor memperoleh keuntungan sebesar K − ST . Sebaliknya apabila ST ≥ K pada saat jatuh tempo, maka pemegang kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh kerugian sebesar ST − K . Untuk kondisi ini opsi tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi put pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak sebagai berikut:
2.9 Greeks Salah satu kegunaan formula BlackScholes ini adalah sebagai alat untuk mengendalikan risiko (hedging) dalam suatu opsi pada portfolio. Dalam setiap mengukur nilai pasar dari setiap portofolio dipengaruhi oleh perubahan-perubahan dari beberapa variabel seperti harga yang mendasari, volatilitas, tingkat suku bunga dan waktu. Teknik mengendalikan risiko ini secara umum dikatakan sebagai sensitivitas nilai opsi (Greeks). Greeks ini terdiri atas delta, gamma, theta, vega, dan rho. Delta adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap harga saham. Gamma adalah tingkat perubahan delta untuk suatu nilai opsi terhadap harga saham. Theta adalah tingkat perubahan ratarata nilai opsi terhadap waktu. Vega adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap volatilitas. Sedangkan Rho adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap suku bunga. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas delta.
III. PEMBAHASAN Dalam bab ini akan dijelaskan model Black-Scholes yang digunakan untuk menentukan rasio lindung nilai (hedge ratio) pada opsi tipe Eropa. Pada bagian pertama akan diberikan komponen-komponen yang dimiliki oleh nilai opsi tipe Eropa. Pada bagian kedua diberikan model BlackScholes yang digunakan untuk menghitung nilai opsi call dan opsi put tipe Eropa.
Selain untuk menghitung nilai opsi tipe Eropa, model Black-Scholes juga digunakan sebagai alat untuk mengendalikan risiko (hedging). Pada bagian ketiga akan dijelaskan salah satu teknik untuk mengendalikan risiko, yaitu dengan rasio lindung nilai berupa delta hedging. Sedangkan pada bagian terakhir akan diberikan ilustrasi dari opsi.
6
3.1 Opsi Tipe Eropa Opsi tipe Eropa hanya dapat dieksekusi pada tanggal jatuh tempo dari opsi. Nilai opsi tipe Eropa mempunyai tiga komponen: 1. Nilai intrinsik 2. Nilai waktu uang pada harga eksekusi (harga strike) 3. Nilai asuransi Komponen pertama adalah suatu nilai nyata dari premi sebuah opsi, yang merupakan selisih antara harga strike dan harga saham saat ini. Nilai intrinsik pada opsi call adalah harga saham saat ini dikurangi harga strike, sedangkan nilai intrinsik pada opsi put adalah harga strike dikurangi harga saham saat ini. Suatu opsi yang mempunyai nilai intrinsik positif disebut in-the-money, sedangkan jika selisihnya adalah negatif maka nilai intrinsik dianggap nol dan ini disebut out-of-themoney. Komponen kedua adalah harga yang bersedia dibayar oleh pembeli opsi dengan didasarkan pada prediksi pembeli atas kemungkinan dari pergerakan harga aset acuan ke arah yang menguntungkan pembeli opsi (suatu nilai yang melebihi harga kesepakatan). Nilai waktu ini berhubungan langsung dengan sisa waktu yang dimiliki oleh suatu opsi sebelum tanggal jatuh temponya. Komponen ketiga adalah yang paling utama dalam membedakan suatu opsi dari aset keuangan lainnya dan mengukur keuntungan atau kerugian dari posisi opsi, dengan kerugian yang terbatas pada harga opsi. 3.2Model Black-Scholes untuk Opsi Tipe Eropa Untuk menghitung opsi tipe Eropa dapat digunakan model Black-Scholes sehingga diperoleh nilai dari opsi call dan opsi put. Model Black-Scholes untuk opsi call tipe Eropa pada saham yang tidak membayarkan dividen diberikan dalam teorema berikut: Teorema 3.1 Model Black-Scholes untuk opsi call tipe Eropa diberikan oleh: c = S 0 N ( d1 ) − Ke
− rT
N (d 2 )
(10)
dan d2 =
ln( S0 K ) + ( r − σ 2 2 )T
σ T
(12)
dengan
c
= harga opsi call tipe Eropa
S0
= harga saham saat ini
K
= harga strike = tingkat suku bunga bebas risiko = jangka waktu berlakunya opsi = volatilitas dari harga saham = fungsi distribusi kumulatif normal
r T
σ N ( x)
baku, dengan x = d1 , d2 1
− y 1 x N ( x) = (13) ∫−∞ e 2 dy . 2π [Hull, 1997] Bukti: lihat Lampiran 5. 2
Dari definisi dapat dilihat bahwa opsi call dan opsi put mempunyai perilaku yang bertolak belakang. Opsi call dan opsi put dapat dikombinasikan dalam suatu bentuk korelasinya yang sangat dekat. Hal ini diperlihatkan dalam teorema berikut.
Teorema 3.2 (Put-call parity) Konsep harga opsi yang menghubungkan nilai dari opsi call dan opsi put dinyatakan sebagai put-call parity dan memenuhi persamaan: S 0 + p − c = Ke
− rT
.
(14)
[Hull, 1997] Bukti: lihat Lampiran 6. Dengan menggunakan konsep put-call parity, jika nilai opsi call telah diketahui maka nilai opsi put juga dapat ditentukan. Sehingga diperoleh teorema berikut.
Teorema 3.3 Model Black-Scholes untuk opsi put tipe Eropa diberikan oleh: p = Ke
− rT
N ( − d 2 ) − S 0 N ( − d1 )
(15)
dengan d1 =
ln( S0 K ) + ( r + σ 2 2 )T
σ T
dengan d1 dan d2 seperti pada persamaan (11)
(11) dan (12).
[Hull, 1997] Bukti: lihat Lampiran 7.
7
3.3Pengertian Rasio Lindung Nilai (Hedge Ratio) atau Delta Rasio lindung nilai (delta) adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap harga saham. Berdasarkan definisi dan dengan menggunakan model Black-Scholes, didapat rasio lindung nilai (delta) sebagai berikut: Δ=
Delta Opsi Call (Δ c )
1
∂V ∂S 0
Harga Saham (S )
0 Harga Strike (K )
T
dengan V adalah total nilai opsi dalam portofolio, yaitu jumlah semua nilai opsi dalam portofolio. Rasio lindung nilai (delta) berhubungan dengan analisis Black-Scholes. Black-Scholes menunjukkan bahwa ada kemungkinan membuat portofolio yang bebas risiko yang terdiri atas opsi dan saham. Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call tipe Eropa didapat dengan menggunakan nilai opsi call tipe Eropa dalam teorema 3.1, sehingga diperoleh teorema berikut.
Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi call. Sedangkan rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put tipe Eropa didapat dengan menggunakan teorema 3.2, sehingga diperoleh teorema berikut.
Teorema 3.4 Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call tipe Eropa diberikan oleh:
Teorema 3.5 Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put tipe Eropa diberikan oleh:
Δc = N (d1 ) dengan
N (d1 )
adalah
Gambar 3 Diagram delta untuk opsi call tipe Eropa
Δ p = N ( d1 ) − 1
(16) fungsi
kumulatif normal baku dengan
distribusi
d1 seperti
dengan
N (d1 )
ln( S 0 / K ) + ( r + σ / 2)T
kumulatif normal baku dengan
distribusi
d1 seperti
ln( S 0 / K ) + ( r + σ / 2)T 2
2
σ T
fungsi
persamaan (10), yaitu:
persamaan (10), yaitu: d1 =
adalah
.
d1 =
σ T
.
[Hull, 1997]
[Hull, 1997] Bukti: lihat Lampiran 8.
Bukti: lihat Lampiran 9.
Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call nilainya selalu positif, yaitu 0 ≤ Δc ≤ 1 . Ini
Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put nilainya selalu negatif, yaitu −1 ≤ Δ p ≤ 0 .
dikarenakan peningkatan harga aset underlying akan mempengaruhi peningkatan harga opsi call, sehingga dapat dimengerti bahwa meningkatnya aset underlying akan meningkatkan peluang nilai payoff positif.
8
d 2 = d1 − σ T = 0.6278
Delta Opsi Put (Δ p ) 0
Harga Saham (S )
Harga Strike (K )
T
sehingga
N (0.7693) = 0.7792
N (0.6278) = 0.7350 \ dan
Ke − rT = 40e −0.1×0.5 = 38.049 .
-1
Gambar 4 Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi put.
3.4
Ilustrasi dari Model Black-Scholes Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas mengenai opsi call tipe Eropa, put-call parity, opsi put tipe Eropa, delta untuk opsi call tipe Eropa dan delta untuk opsi put tipe Eropa, perhatikan ilustrasi berikut: 1.
Opsi call tipe Eropa Misalkan pada tanggal 12 Pebruari 2009 investor A dan B membuat perjanjian kontrak opsi call. Dalam kontrak disebutkan bahwa A mempunyai hak untuk membeli saham dari B seharga $40 dengan masa berlaku kontrak tersebut 6 bulan, yaitu jatuh tempo pada 12 Agustus 2009 dengan harga saham sebesar $42 . Misalkan pula suku bunga 10% dan volatilitas dari harga saham 20% . Dari ilustrasi tersebut, diperoleh nilai-nilai parameter sebagai berikut: S 0 = 42
K = 40
r = 0.1
c = S 0 N ( d1 ) − Ke − rT N ( d 2 ) = (42 × 0.7792) − (38.049 × 0.7350) = 4.76.
Payoff Opsi Call 50 40 30 20 10 0
20
40
60
80
100
ST
Gambar 5 Diagram payoff opsi call tipe Eropa untuk K = 40 . Dari diagram dapat dilihat bahwa pada ST > K maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor memperoleh keuntungan sebesar ST − K .
2. Put-call parity Dari ilustrasi pada opsi call tipe Eropa, harga opsi put tipe Eropa yang dihitung dengan menggunakan persamaan (14) put-call parity akan menjadi sebesar:
σ = 0.2 T = 0.5 2
d1 =
Maka harga opsi call tipe Eropa yang dihitung menggunakan persamaan (10) menjadi:
ln(42 / 40) + (0.1 + 0.2 / 2)0.5 0.2 0.5
= 0.7693
p = c − S 0 + Ke − rT = 4.76 − 42 + 38.049 = 0.81.
9
3. Opsi put tipe Eropa Misalkan pada tanggal 12 Pebruari 2009 investor A dan B membuat perjanjian kontrak opsi put. Dalam kontrak disebutkan bahwa A mempunyai hak untuk membeli saham dari B seharga $40 dengan masa berlaku kontrak tersebut 6 bulan, yaitu jatuh tempo pada 12 Agustus 2009 dengan harga saham sebesar $42 . Misalkan pula suku bunga 10% dan volatilitas dari harga saham 20% . Dari ilustrasi tersebut, diperoleh nilai-nilai parameter sebagai berikut:
Payoff Opsi Put 50 40 30 20 10
S0 = 42
0
r = 0.1
σ = 0.2
60
80
100
ST
akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh kerugian sebesar ST − K .
T = 0.5 2
ln(42 / 40) + (0.1 + 0.2 / 2)0.5
= 0.7693
0.2 0.5
d 2 = d1 − σ T = 0.6278 Sehingga
N ( − 0.6278) = 0.2650 N ( − 0.7693) = 0.2208 dan
Ke − rT = 40e −0.1×0.5 = 38.049 . Maka harga opsi put tipe Eropa yang dihitung menggunakan persamaan (15) menjadi:
p = Ke − rT N ( − d 2 ) − S0 N ( − d1 ) = (38.049 × 0.2650) − (42 × 0.2208) = 0.81.
40
Gambar 6 Diagram payoff opsi put tipe Eropa K = 40 . Dari diagram dapat dilihat bahwa pada ST ≥ K maka pemegang kontrak opsi tidak
K = 40
d1 =
20
Terlihat bahwa hasil yang diperoleh dari kedua rumus (persamaan (14) put-call parity dan persamaan (15)) adalah sama.
4. Delta untuk opsi call tipe Eropa Misalkan diketahui harga saham adalah $42 dan nilai opsi call adalah $4.76 . Misalkan pula pada saat t = 6 bulan harga saham naik menjadi $50 atau harga saham turun menjadi $35 . Asumsikan harga strike sebesar $40 . Suku bunga 10% dan volatilitas dari harga saham 20% , maka delta untuk opsi call tipe Eropa adalah Δc = N (d1 ) = 0.7792 .
Dc
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
0
20
40
60
80
100
ST
Gambar 7 Diagram delta untuk opsi call tipe Eropa K = 40 .
10
Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi call. Misalkan investor tersebut menjual 100 opsi call. Misalkan salah satu dari skenario berikut terjadi, yaitu harga saham saat jatuh tempo menjadi 50 atau 35 . a.
•
Cash flow = 100(4.76) − 78(42)
•
Jika ST = 50 .
¾
Kasus 1: Investor melakukan delta yaitu membeli hedging, 0.7792(100) = 78 saham . • Saat t = 0.
Cash flow = 100(4.76) − 78(42) = −2800,
•
yang didanai dari pinjaman bank dengan suku bunga 10% . Saat t = 6 bulan.
= 78(50) = 3900 Cash flow dari utang = −2800(1.1)
0.5
= −2937
Total cash flow = −37 . ¾ Kasus 2: Investor tidak melakukan delta hedging. • Saat t = 0. Cash flow = 100(4.76)
= 476,
•
ditabungkan dengan suku bunga 10% . Saat t = 6 bulan.
Cash flow dari opsi = −(50 − 40) × 100 = −1000 Cash flow dari saham = 0 Cash flow dari tabungan = 476(1.1)
0.5
= 499
Total cash flow = −501. b.
Jika ST = 35 .
¾
Kasus 1: Investor melakukan delta yaitu membeli hedging, 0.7792(100) = 78 saham .
= −2800, yang didanai dari pinjaman bank dengan suku bunga 10% . Saat t = 6 bulan. Cash flow dari opsi = 0 Cash flow dari saham = 78(35) = 2730 Cash flow dari utang 0.5
= −2800(1.1) = −2937 Total cash flow = −207 . ¾ Kasus 2: Investor tidak melakukan delta hedging. • Saat t = 0. Cash flow = 100(4.76)
Cash flow dari opsi = −(50 − 40) × 100 = −1000 Cash flow dari saham
Saat t = 0.
•
= 476, ditabungkan dengan suku bunga 10% . Saat t = 6 bulan. Cash flow dari opsi = 0 Cash flow dari saham = 0 Cash flow dari tabungan 0.5
= 476(1.1) = 499 Total cash flow = 499. Dari hasil terlihat bahwa jika ST = 50 , lebih baik investor melakukan delta hedging. Sedangkan jika ST = 35 , lebih baik investor tidak melakukan delta hedging.
5. Delta untuk opsi put tipe Eropa Misalkan diketahui harga saham adalah $42 dan nilai opsi put adalah $0.81 . Misalkan pula pada saat t = 6 bulan harga saham naik menjadi $50 atau harga saham turun menjadi $35 . Asumsikan harga strike sebesar $40 . Suku bunga 10% dan volatilitas dari harga saham 20% , maka delta untuk opsi put tipe Eropa adalah Δ p = N (d1 ) − 1 = −0.2208 .
11
•
Dp
20
40
60
80
100
ST
Cash flow dari saham = 0 Cash flow dari tabungan
-0.2
= 81(1.1)
-0.4
0.5
= 85
Total cash flow = 85. b. Jika ST = 35 .
-0.6
¾
-0.8
Kasus 1: Investor melakukan delta hedging, yaitu menjual (short sell) −0.2208(100) = −22 saham . •
-1.0 Gambar 8 Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa K = 40 . Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi put.
•
Kasus 1: Investor melakukan delta hedging, yaitu menjual (short sell) −0.2208(100) = −22 saham . • Saat t = 0.
Cash flow = 100(0.81) − (−22)(42)
•
= 1005 ditabungkan dengan suku bunga 10% . Saat t = 6 bulan. Cash flow dari opsi
= −22(35) = −770 Cash flow dari tabungan 0.5
Jika ST = 50 . ¾
Saat t = 0. Cash flow = 100(0.81) − (−22)(42)
= (40 − 35) × 100 = 500 Cash flow dari saham
Misalkan investor tersebut menjual 100 opsi put. Misalkan salah satu dari skenario berikut terjadi, yaitu harga saham saat jatuh tempo menjadi 50 atau 35 .
a.
Saat t = 6 bulan. Cash flow dari opsi = 0
= 1005, ditabungkan dengan suku bunga 10% . Saat t = 6 bulan. Cash flow dari opsi = 0 Cash flow dari saham = −22(50) = −1100 Cash flow dari tabungan 0.5
= 1005(1.1) = 1054 Total cash flow = −46 . ¾ Kasus 2: Investor tidak melakukan delta hedging. • Saat t = 0. Cash flow = 100(0.81) = 81, ditabungkan dengan suku bunga 10% .
= 1005(1.1) = 1054 Total cash flow = 784 . ¾ Kasus 2: Investor tidak melakukan delta hedging. • Saat t = 0. Cash flow = 100(0.81)
•
= 81 ditabungkan dengan suku bunga 10% . Saat t = 6 bulan. Cash flow dari opsi
= (40 − 35) × 100 = 500 Cash flow dari saham = 0 Cash flow dari tabungan 0.5
= 81(1.1) = 85 Total cash flow = 585. Dari hasil terlihat bahwa jika ST = 50 , lebih baik investor tidak melakukan delta hedging. Sedangkan jika ST = 35 , lebih baik investor melakukan delta hedging.
12
6. Portofolio Replikasi
Misalkan diberikan data pergerakan harga saham selama 52 minggu, seperti pada gambar berikut ini:
Gambar 9 Harga saham vs waktu Dari harga saham di atas, diperoleh portofolio replikasi seperti pada Gambar 10 berikut: Tabel portofolio replikasi dapat dilihat pada Lampiran 10.
Gambar 10 Delta hedging harga opsi vs nilai portofolio Dari gambar tersebut, dapat dilihat bahwa dengan menggunakan strategi delta hedging diperoleh portofolio yang mereplikasi harga
opsi dengan cukup baik, sehingga risiko dapat dinormalkan.
IV. SIMPULAN DAN SARAN Selain untuk menentukan nilai opsi, model Black-Scholes juga dapat digunakan untuk
menentukan rasio lindung nilai (delta) untuk opsi tipe Eropa.
