4
II LANDASAN TEORI 2.1
Pengertian Opsi Salah
satu
instrumen
derivatif
yang
mempunyai
potensi
untuk
dikembangkan adalah opsi. Opsi merupakan suatu kontrak antara dua pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan, pada atau sebelum waktu yang telah ditentukan. Pemegang opsi tidak diharuskan untuk menggunakan haknya atau menggunakan haknya jika perubahan dari harga aset yang mendasarinya akan menghasilkan keuntungan, baik dengan menjual atau membeli aset yang mendasari tersebut. 2.2
Aset yang Mendasari Opsi Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa aset yang mendasari, antara lain:
opsi indeks (index option), opsi valuta asing (foreign currency option), opsi berjangka (future option), dan opsi saham (stock option). Opsi indeks adalah suatu opsi dengan aset berbasis indeks pasar saham. Opsi valuta asing adalah suatu opsi dengan aset berbasis kontrak berjangka. Sedangkan opsi saham adalah suatu opsi dengan saham sebagai aset yang mendasarinya. 2.3
Nilai Opsi
2.3.1 Nilai Intrinsik Nilai intrinsik opsi adalah nilai ekonomis yang menggambarkan keuntungan investor jika opsi dieksekusi segera. Jika nilai ekonomis dari eksekusi opsi tidak positif, maka nilai intrinsiknya adalah nol. Untuk opsi call, nilai intrinsik akan positif jika harga saham yang terjadi (ST) lebih besar dari harga eksekusi (K). Sedangkan nilai intrinsik opsi put akan bernilai positif jika harga saham yang terjadi (ST) kurang dari harga eksekusi (K). 2.3.2 Nilai Waktu Nilai waktu adalah selisih antara nilai intrinsik dengan harga opsi. Harga atau premi suatu opsi adalah nilai yang wajar dari suatu opsi yang ditentukan oleh pasar kompetitif yang dibayarkan oleh pembeli opsi pada saat kontrak dibuat.
5
Opsi tipe Eropa tidak mempunyai nilai waktu karena eksekusi dilaksanakan hanya pada saat jatuh tempo. 2.4
Tipe Opsi Terdapat dua tipe opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put.
Suatu opsi call memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan (strike/exercise price) sampai waktu jatuh tempo. Sedangkan opsi put memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada tingkat harga tertentu sampai waktu jatuh tempo. Dalam kontrak opsi, terdapat empat hal utama, yaitu (1) harga aset yang mendasari yang akan dibeli; (2) jumlah aset yang mendasari yang dapat dibeli; (3) harga eksekusi aset yang mendasari; (4) tanggal berakhirnya hak membeli, atau disebut dengan expiration date. Transaksi opsi akan terkait dengan pelaksanaan hak. Berdasarkan waktu pelaksanaannya opsi dibagi menjadi dua tipe, yaitu opsi tipe Eropa dan opsi tipe Amerika. Misalkan harga awal (pada saat dibuat kontrak) adalah S, waktu jatuh tempo T, dan harga eksekusi (harga yang ditetapkan pada saat jatuh tempo) adalah K, serta c f (t , S ) menyatakan harga opsi call tipe Eropa, dan p f (t , S ) menyatakan harga opsi put tipe Eropa. Nilai intrinsik opsi call tipe Eropa pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai imbalan (payoff) atau penerimaan bagi pemegang kontrak opsi, yaitu c max(S T K , 0) .
Jika ST > K, opsi dikatakan dalam keadaan in the money. Pemegang opsi akan mengeksekusi opsi call, yaitu dengan membeli saham dengan harga K yang lebih kecil dari ST, dan akan mendapatkan hasil sebesar ST – K. Jika ST K , opsi call dikatakan dalam keadaan at the money. Sedangkan apabila ST < K, opsi call dikatakan dalam keadaan out of money. Kondisi payoff dari opsi put Eropa adalah p max( K S T , 0) .
Jika ST > K, opsi put tidak bernilai sehingga pemegang opsi tidak akan menggunakan haknya. Hubungan antara harga opsi call tipe Eropa dengan put tipe Eropa yang dikenal dengan put-call parity, dapat dinyatakan sebagai berikut:
6
c Ke rT p S
dengan r menyatakan suku bunga bebas risiko. Jika C f (t , S ) menyatakan harga opsi call tipe Amerika dan P f (t , S ) menyatakan harga opsi put tipe Amerika, maka payoff pada waktu jatuh tempo untuk call adalah C max(S T K , 0) ,
sedangkan untuk opsi put adalah
P max(K S T , 0) . 2.5
Keuntungan Opsi Beberapa manfaat yang diperoleh dengan melakukan perdagangan opsi
antara lain: 1
Manajemen risiko: penerbit opsi put atas suatu aset yang mendasari dapat melakukan hedging, yaitu berinvestasi pada suatu aset untuk mengurangi risiko portofolio keseluruhan. Hal ini dilakukan bila harga aset yang mendasarinya turun drastis secara tiba-tiba, sehingga risiko kerugian dapat dihindari.
2
Memberi waktu yang fleksibel: untuk opsi tipe Amerika, maka pemegang opsi call maupun opsi put dapat menentukan apakah akan melaksanakan haknya atau tidak hinggga masa jatuh tempo.
3
Menyediakan sarana spekulasi: para investor dapat memperoleh keuntungan jika dapat menentukan dengan tepat kapan membeli opsi put atau call. Apabila diperkirakan harga naik maka akan membeli opsi call, dan sebaliknya jika harga cenderung turun maka akan membeli opsi put.
4
Diversifikasi: dengan melakukan perdagangan opsi dapat memberikan kesempatan kepada investor untuk melakukan diversifikasi portofolio untuk tujuan memperkecil risiko investasi portofolio.
5
Tambahan
pendapatan:
perusahaan
yang
menerbitkan
saham
akan
memperoleh tambahan pemasukan apabila menerbitkan opsi, yaitu berupa premi dari opsi tersebut.
7
2.6
Faktor-faktor yang Mempengaruhi Harga Opsi
2.6.1 Harga Aset yang Mendasari dan Harga Eksekusi Jika suatu opsi call dieksekusi pada suatu waktu di masa yang akan datang, pembayarannya sebesar selisih antara harga aset yang mendasari dan harga eksekusi. Suatu opsi call akan menjadi lebih bernilai jika harga aset yang mendasarinya meningkat dan akan menjadi kurang bernilai jika harga eksekusi meningkat. Sedangkan pada opsi put, pembayaran atas eksekusi opsi sebesar selisih antara harga eksekusi dan harga aset yang mendasarinya. 2.6.2 Tanggal Jatuh Tempo Pada tipe Amerika, opsi call maupun opsi put akan menjadi lebih berharga jika jatuh temponya semakin meningkat. Sedangkan pada opsi tipe Eropa, nilainya tidak terpengaruh dengan waktu jatuh tempo, hal ini berkenaan dengan waktu eksekusi hak. 2.6.3 Volatilitas Volatilitas aset yang mendasari adalah sebuah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan aset yang mendasari tersebut di masa yang akan datang. Jika volatilitas semakin meningkat maka akan semakin meningkat pula peluang aset yang mendasari untuk mengalami peningkatan atau penurunan. Pemilik dari suatu opsi call memperoleh manfaat dari kenaikan harga tetapi dibatasi oleh risiko penurunan harga. Begitu pula bagi pemegang opsi put yang memperoleh manfaat dari penurunan harga tetapi dibatasi oleh risiko kenaikan harga. 2.6.4 Dividen Dividen yang diharapkan selama opsi masih berlaku akan mempunyai pengaruh terhadap pengurangan harga aset yang mendasari pada tanggal pembagian dividen. Tanggal pembagian dividen dapat memberikan sentimen negatif bagi nilai opsi call, tetapi berdampak baik untuk meningkatkan nilai opsi put. 2.7
Persamaan Black-Scholes Fischer Black dan Myron Scholes dalam merumuskan nilai suatu opsi
mendasarkan pada beberapa asumsi, yaitu:
8
1
Harga aset yang mendasari mengikuti proses Wiener yang mempunyai fungsi kepekatan peluang lognormal.
2
Tidak ada biaya transaksi dan pajak.
3
Tidak ada pembayaran dividen selama opsi berlaku.
4
Tidak terdapat peluang arbitrage.
5
Perdagangan dari aset yang mendasari bersifat kontinu.
6
Short selling diijinkan.
7
Suku bunga bebas risiko adalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh tempo. Untuk memodelkan persamaan Black-Scholes, didefinisikan atau ditentukan
beberapa istilah, yaitu: Definisi 2.1 (Proses Stokastik) Proses stokastik X X (t ), t T adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh (sample space) Ω ke suatu ruang state (state space) S. Definisi 2.2 (Gerak Brown) Proses stokastik X X (t ), t T disebut gerak Brown jika: 1
X(0) = 0.
2
Untuk
0 t1 t 2 ... t n , peubah acak X (ti ) X (ti 1 ) , i = 1,2,..,n saling
bebas. 3
Untuk setiap t > 0, X(t) berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian 2t (Ross 1996).
Definisi 2.3 (Gerak Brown Geometris) Jika X (t ), t 0 adalah gerak brown, maka proses stokastik Z (t ), t 0 yang didefinisikan Z (t ) e X (t ) disebut gerak Brown Geometris (Ross 1996).
9
Definisi 2.4 (Proses Wiener) Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan varian 1 (Niwiga 2005). Definisi 2.5 (Proses Wiener Umum) Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut (Hull 2003): dX (t ) a dt b dW (t ) a dt
(2.1)
disebut sebagai komponen deterministik dan b dW (t )
menyatakan
komponen stokastik, serta W(t) adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masingmasing menyatakan drift rate dan varian rate dari X. Definisi 2.6 (Proses Ito’) Proses Ito’ adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Proses Ito’ dapat dinyatakan sebagai berikut (Hull 2003):
dX (t ) a X (t ), t dt b X (t ), t dW (t )
(2.2)
Lema 2.1 (Lema Ito’) Misalkan
proses
X(t)
memenuhi
persamaan
(2.2)
dan
fungsi
Y (t ) f ( X (t ), t ) adalah kontinu serta turunan-turunan f t ( X (t ), t ) , f X ( X (t ), t ) ,
f XX ( X (t ), t ) kontinu, maka Y (t ) f ( X (t ), t ) memenuhi persamaan berikut
(Gihman, 1972):
dY (t ) f t ( X (t ), t )dt f X ( X (t ), t )dX (t )
1 2 f XX ( X (t ), t )dX (t ) (2.3) 2
dengan
ft
df df d2 f 2 dan dt dW (t ) dt dtdW (t ) 0, ( dW (t )) 2 dt , fX , f XX dt dX dX 2
10
Model Harga Saham Jika S harga saham pada waktu t, µ adalah parameter konstan yang menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan volatilitas harga saham, maka model dari perubahan harga saham, yaitu (Hull 2003): dS (t ) S (t )dt S (t )dW (t ) .
(2.4)
Berdasarkan ketentuan-ketentuan di atas akan diturunkan persamaan Black Scholes. Misalkan X(t) mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan (2.1). Persamaan ini dapat dikembangkan menjadi persamaan (2.2). Selanjutnya akan ditentukan model dari proses harga saham S. Diasumsikan bahwa tidak terjadi pembayaran dividen pada saham. Misalkan S(t) adalah harga saham pada waktu t. Mengingat proses Ito’, perubahan S(t) akan memiliki nilai harapan drift rate µS. Parameter µ menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan µS(t)dt disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah S (t )dW (t ) , dengan menyatakan volatilitas harga saham. Volatilitas harga saham mengindikasikan tingkat risiko dari harga saham. Dengan demikian model dari harga saham adalah berbentuk (2.4), yaitu: dS (t ) S (t )dt S (t )dW (t ) . Dengan persamaan (2.4) ini, dapat diterapkan lema Ito’ untuk suatu fungsi V (t , S ) , yaitu nilai opsi dengan harga saham S pada waktu t, sehingga diperoleh:
V V 1 2 2 2V S dV S S t 2 S 2
V dt S dW (t ) . S
(2.5)
Untuk menghilangkan proses Wiener dipilih sebuah portofolio yang diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli suatu opsi dan menjual
V saham. Misalkan adalah nilai portofolio yang S
didefinisikan oleh
V
V S. S
(2.6)
Perubahan portofolio pada selang waktu dt didefinisikan sebagai
d dV
V dS . S
(2.7)
11
Dengan menyubstitusikan persamaan (2.3) dan (2.5) ke dalam (2.7) diperoleh
V 1 2 2 2V dt . d S S 2 t 2
(2.8)
(penurunan dapat dilihat pada lampiran 1). Return dari investasi sebesar pada saham tidak berisiko akan memiliki pertumbuhan sebesar r dt dalam selang waktu dt. Agar tidak terdapat peluang arbitrage, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari persamaan (2.8), yaitu: V 1 2 2 2V dt . r dt S S 2 t 2
(2.9)
Substitusi persamaan (2.6) ke dalam persamaan (2.9), diperoleh V 1 2 2 2V V dt. S r V S dt t S 2 t 2
sehingga 1 2 2 2V V V S rV 0. rS 2 2 S t S
(2.10)
Persamaan (2.10) ini dikenal sebagai persamaan diferensial Black-Scholes-Merton (Hull 2003). 2.8
Formulasi Harga Black-Scholes Hull (2003) menunjukkan bahwa salah satu cara untuk menentukan solusi
analitik persamaan Black-Scholes, yang merupakan harga opsi dan disebut formula Black-Scholes adalah dengan menggunakan pendekatan penilaian risiko netral. Untuk sebuah opsi call tipe Eropa, nilai harapan payoff dari opsi call pada saat jatuh tempo adalah
Eˆ max(S T K , 0).
(2.11)
Didefinisikan g(ST) adalah fungsi kepekatan peluang dari ST, maka
E max(S T K ,0) S T K g ( S T )dS T .
(2.12)
K
Misalkan G ln(S ) , maka Ito’ diperoleh
G 1 2 G G 1 , 2 2 dan 0. Berdasarkan Lema S S S t S
12
1 1 1 1 G S 0 2 S 2 2 dt S dz S 2 S S 1 2 dt dz. 2
Karena µ dan konstan maka G ln(S ) mengikuti gerak Brown dengan rataan 1 2 2 dan varian . 2
Berdasarkan persamaan (2.3),
dS merupakan tingkat pengembalian dari S
harga saham. Bentuk pengembalian dari harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat deterministik adalah µdt. Sebagai contoh dari pengembalian yang bersifat deterministik adalah pengembalian dari sejumlah dana yang diinvestasikan di bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga diganti dengan r. Karena G ln (S ) berubah dari 0 sampai T dan G ln(S ) mengikuti gerak Brown, maka ln(S ) berdistribusi normal dengan rataan
(r – 1/22)T dan varian 2T. Misalkan pada waktu t 0 , nilai G ln(S 0 ) dan pada waktu T nilai G ln(ST ) , maka pada selang waktu 0 sampai dengan T, (ln(ST ) ln(S 0 )) adalah
berdistribusi normal dengan rataan dan varian seperti di atas, sehingga diperoleh:
ln ST ln S 0 N r 1 2 T ,
2
T
atau dapat dituliskan lnST berdistribusi normal dengan 1 ln S T N ln S 0 r 2 T , T . 2
Dengan demikian lnST berdistribusi normal dengan rataan 1 m ln S 0 r 2 T 2
dan standar deviasi
s T Selanjutnya didefinisikan juga sebuah peubah Q dengan
(2.13)
13
Q
ln S T m
.
T
(2.14)
Substitusi m dari Persamaan (2.13) ke dalam Persamaan (2.14), sehingga diperoleh
Q
1
T
ln ST ln S 0
1 2 r T T 2
maka peubah Q juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1, dan fungsi kepekatan peluang dari Q dinyatakan dengan h(Q), yaitu h(Q)
1 Q 2 / 2 e 2
(2.15)
(lihat lampiran 2) Persamaan (2.14) dinyatakan menjadi
S T e Q
T m
.
(2.16)
Perubahan batas integral pada sisi kanan dari persamaan (2.12), dari integral menurut ST menjadi integral menurut Q adalah sebagai berikut: Jika ST = , maka Q = . Jika ST = K, maka K e Q
T m
sehingga Q
ln K m . T
Dengan menggunakan persamaan (2.15), (2.16), perubahan batas integral dan misalkan s T , maka persamaan (2.12) menjadi: Eˆ max S T K ,0
e
Qs m
K h(Q ) dQ
(ln K m ) / s
(ln K m ) / s
(ln K m ) / s
Qs m e h(Q) dQ K
(ln K m ) / s
(ln K m ) / s
(ln K m ) / s
e Qs m
h(Q) dQ
1 Q 2 / 2 e dQ K h(Q) dQ 2 (ln K m ) / s
1 ( Q 2 2Qs 2 m ) / 2 e dQ K h(Q) dQ 2 (ln K m ) / s
1 ( (Q s )2 s 2 2 m ) / 2 e dQ K h(Q) dQ 2 (ln K m ) / s
14
e m ( s
2
/ 2)
(ln K m ) / s
m( s e
2
1 ( Q s ) 2 / 2 e dQ K h(Q) dQ 2 (ln K m ) / s
/ 2)
h(Q s ) dQ K
(ln K m ) / s
h(Q) dQ ,
(ln K m ) / s
Sehingga persamaan (2.12) dapat dinyatakan dengan
Eˆ max S T K ,0
m( s e
2
/ 2)
h(Q s) dQ K
(ln K m ) / s
h(Q) dQ
(2.17)
(ln K m ) / s
Jika N(x) menyatakan notasi dari fungsi distribusi normal baku kumulatif maka
e
m( s 2 / 2)
h(Q s) dQ e m
2
T /2
1 N ln K m / s s
(ln K m ) / s
e m
2
T /2
N ln K m / s s .
Peubah m pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku persamaan di atas disubstitusikan dengan persamaan (2.13) dan s T , maka diperoleh 2 ln ln K S r 0 2 m s 2 / 2 m 2 T / 2 ( ) e h Q s dQ e N T (ln K m ) / s
T T
S0 2 T 2T ln r 2 2 K e m T / 2 N T
S0 2 T ln r 2 K m 2T / 2 e N T
e m
2
T /2
N d1 ,
S0 2 T ln r 2 K dengan d1 . T
15
Dengan alasan yang serupa di atas, maka
K
ln K m ln K m h(Q) dQ K 1 N KN s s (ln K m ) / s
Dengan mensubstitusikan m dan s pada persamaan (2.13) ke dalam persamaan di atas diperoleh
2 ln K ln S 0 r T 2 K h(Q) dQ KN T (ln K m ) / s S0 2 T ln r 2 K KN T =KN(d2),
S0 2 T ln r K 2 , dengan d 2 T Sehingga persamaan (2.12) menjadi 2 Eˆ max(S T K ,0) e m T / 2 N d1 KN d 2 .
(2.18)
Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call tipe Eropa yang dilambangkan dengan c adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas risiko yang dapat dinyatakan sebagai c e rT Eˆ max( S T K ,0 .
(2.19)
Dengan substitusi persamaan (2.18) dan (2.19) diperoleh formula BlackScholes untuk opsi call tipe Eropa tanpa membayar dividen pada saat kontrak opsi dibuat, yaitu c S 0 N d1 Ke rT N ( d 2 ) .
dengan
(2.20)
16
S0 2 S0 2 T T ln r ln r 2 2 K K d1 . dan d 2 T T 2.9
Rasio Lindung Nilai (Hedge Ratio) Rasio lindung nilai adalah perbandingan dari pergerakan yang mungkin dari
nilai opsi dan saham pada akhir periode. Rasio itu adalah
cu c d uS 0 dS 0
(2.21)
Dengan cu dan cd adalah nilai opsi yang mengacu saat harga saham naik atau turun, sedangkan uS0 dan dS0 merupakan harga saham dalam dua kondisi setelah terjadi perubahan naik atau turun. Jika investor menerbitkan satu opsi dan memegang lembar saham, maka nilai portofolio tidak akan dipengaruhi oleh harga saham akhir. Portofolio itu sering disebut portofolio bebas risiko (riskless portofolio). 2.10 Pengertian Model Binomial Model binomial merupakan suatu bentuk cara penentuan harga opsi, yang mengasumsikan bahwa sebuah saham hanya dapat memiliki dua nilai yang mungkin pada saat opsi kadaluwarsa. Saham tersebut mungkin meningkat (up) hingga harga tertinggi atau turun (down) hingga harga terendah (Bodie 1997). Meskipun tampaknya merupakan penyederhanaan yang berlebihan, tetapi cara ini memungkinkan untuk lebih dekat memahami model-model yang lebih rumit dan realistik. 2.11 Model Binomial dengan Suku Bunga Diskret Penghitungan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan metode binomial dengan suku bunga diskret, dengan langkah-langkah sebagai berikut: Definisikan proses harga saham, yaitu diberikan harga saham sekarang saat T – 1 maka harga saham pada saat T akan bergerak naik dengan faktor u atau akan bergerak turun dengan faktor d dengan 1 d 1 1 u , d<0 dan u>0.
17
ST,u = (1+u)ST-1 ST-1 ST,d = (1+d)ST-1 Jika cT menyatakan nilai opsi call pada waktu T, maka: cT,u = max{0, (1+u)ST-1 – K} c(T-1) cT,d = max{0, (1+d)ST-1 – K} Pada waktu T – 1 dapat dibentuk portofolio leverage yang terdiri atas saham S dan obligasi sebesar B yang akan memberikan payoff yang sama seperti payoff opsi call pada waktu T: (1+u)ST-1 +(1+r)B ST-1+B (1+d)ST-1 +(1+r)B Dengan menyamakan payoff dari opsi call dan payoff dari portofolio leverage pada waktu T diperoleh: (1+u)ST-1 +(1+r)B = cT,u
(2.22)
(1+d)ST-1 +(1+r)B = cT,d
(2.23)
Setelah diselesaikan sistem persamaan linear pada (2.22) dan (2.23) di atas diperoleh:
B
cT ,u cT ,d
u d ST 1
(1 u )cT ,d (1 d )cT ,u (u d )(1 r )
(2.24)
(2.25)
18
dengan menyatakan rasio lindung nilai, artinya untuk membentuk portofolio yang bebas risiko maka diperlukan perbandingan, yaitu sejumlah saham dan satu opsi call. Langkah selanjutnya, jika pada waktu T, opsi call dan portofolio leverage memberikan payoff yang sama, maka pada T-1 harus memiliki nilai yang sama pula. Maka substitusikan persamaan (2.24) dan (2.25) dalam persamaan berikut, diperoleh cT 1 S T 1 B
cT ,u cT ,d (u d ) S T 1
(1 u )cT ,d (1 d )cT ,u
S T 1
(u d )(1 r )
(r d )cT ,u (u r )cT ,d
(2.26)
(u d )(1 r )
Dengan mensubstitusikan p
r d ur , dan 1 p diperoleh ud ud
cT 1
pcT ,u (1 p)cT ,d (1 r )
.
(2.27)
Dengan cara yang sama dapat diturunkan nilai opsi call tipe Eropa dengan metode binomial 2 periode, 3 periode dan n periode, yaitu cT 2
p 2 cT ,uu 2 p (1 p )cT ,ud (1 p) 2 cT ,dd (1 r ) 2
p 3 cT ,uuu 3 p 2 (1 p )cT ,uud 3 p 1 p cT ,udd (1 p ) 3 cT ,ddd
(2.28)
2
cT 3
cT n
(1 r ) 3 n
n
j 0
j p
j
(2.29)
(1 p ) n j ( S T K ) (1 r ) n
(2.30)
19
2.12 Model Binomial dengan Suku Bunga Kontinu Perhitungan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan metode binomial dengan suku bunga kontinu, dengan langkah-langkah sebagai berikut: Definisikan proses harga saham, yaitu diberikan harga sekarang saat T–1 maka harga saham pada saat T akan naik dengan faktor kenaikan u dan akan turun dengan faktor penurunan d dengan d < 1 < u, demikian juga terhadap nilai opsinya yaitu dari f menjadi fu dan fd fu
S0u f
S0
fd
S0d
dengan S0 merupakan harga saham saat waktu T – 1, fu dan fd adalah harga opsi pada
waktu
T
yang
didefinisikan
sebagai
f u max(0, S 0u K )
dan
f d max(0, S 0 d K ) dengan K merupakan harga eksekusi pada waktu T.
Portofolio yang dibentuk adalah posisi long untuk sejumlah saham dan posisi short untuk satu opsi call S0u - fu S0 - f S0d - fd Portofolio akan menjadi bebas risiko ketika S0u – fu = S0d – fd, sehingga diperoleh nilai
fu f d . S 0u S 0 d
(2.31)
Nilai portofolio pada waktu T adalah S0u – fu, sehingga nilai portofolio pada saat ini merupakan present value dari S0u – fu yaitu (S0u – fu)e-rT, dengan r adalah suku bunga bebas risiko. Ekspresi lain dari portofolio pada saat ini adalah S0 –f. Sehingga dengan membandingkan di antara dua pernyataan di atas diperoleh S0 – f = (S0u – fu)e-rT f = S0 – (S0u – fu)e-rT
(2.32)
20
substitusikan nilai pada persamaan (2.32)
f fd S 0 u f u e rT u S0u S 0 d
f
fu f d S0 S0u S 0 d
f
e rT d rT e rT d f u 1 f d e ud ud
f pf u (1 p ) f d e rT
(2.33)
e rT d dan untuk pembahasan selanjutnya p disebut sebagai peluang ud
dengan p risiko netral.
Dengan langkah-langkah yang dilakukan seperti di atas, untuk metode binomial dengan dua periode, diperoleh
dengan p
f u pf uu (1 p ) f ud e rt
(2.34)
f d pf du (1 p ) f dd e rt
(2.35)
f pf u (1 p) f d e rT
(2.36)
e rT d . ud
Substitusikan persamaan (2.34) dan (2.35) ke dalam persamaan (2.36) diperoleh harga opsi call dengan model binomial dua periode adalah f = [p2fuu + p(1 – p)fud + (1 – p)2fdd]e-2rt.
(2.37)
Untuk penentuan harga opsi call dengan metode binomial tiga periode dirumuskan f = [p3fuuu + 3p2(1 – p)fuud +3p(1 – p)2fudd + (1 – p)3fddd]e-3rt.
(2.38)
Sehingga untuk n periode pada metode binomial dengan waktu kontinu diperoleh
21
n n f p j (1 p ) n j S n K e nrt j 0 j dengan t = T/n.
(2.39)
