BAB II MATERI PENUNJANG. 2.1 Keuangan Opsi

Bab II Materi Penunjang

BAB II

MATERI PENUNJANG

2.1 Keuangan 2.1.1

Opsi

Sebuah opsi keuangan memberikan hak (bukan kewajiban) untuk membeli atau menjual sebuah asset di waktu yang akan datang dengan harga yang disepakati. Setiap opsi keuangan memiliki waktu jatuh tempo (exercise/maturity/expiration date), exercise/strike price, dan premi atau harga opsi keuangan.

Opsi keuangan dikatakan di-exercise ketika pemilik hak (holder) memilih untuk membeli atau menjual aset yang bersangkutan. Pemberi hak (writer) dari opsi keuangan adalah pihak lain dari kontrak opsi keuangan tersebut.

Derivatif standar atau ‘opsi vanilla sederhana’ adalah opsi Eropa dan opsi Amerika. Jenis opsi yang lain disebut Exotic atau derivatif tak standar. Contohnya adalah opsi Asian, Lookback, dan Barrier.

2.1.1.1

Opsi Eropa

Sebuah opsi call (put) Eropa memberi hak (bukan kewajiban) kepada pemegang opsi untuk membeli (menjual) sebuah aset dengan sebuah harga awal So, pada saat jatuh tempo yang diberikan T dan sebuah strike price K yang bernilai tetap. Misalkan harga dari opsi call (put) Eropa dilambangkan dengan c(p). Payoff dari sebuah opsi call Eropa saat jatuh tempo T adalah

Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo

4


c = max( ST − K , 0).

(2.1)

Jika ST < K , opsi call tidak akan memberikan keuntungan dan pemegang opsi tidak akan mempergunakan haknya. Payoff dari sebuah opsi put Eropa adalah p = max( K − ST , 0).

(2.2)

Jika ST > K , opsi put tidak akan memberikan keuntungan dan pemegang opsi tidak akan mempergunakan haknya. Call-put parity adalah keterkaitan antara sebuah opsi call dan put Eropa, diberikan oleh c + Ke − rt = p + S ,

(2.3)

dimana r melambangkan suku bunga tanpa resiko dan S adalah harga saham.

2.1.1.2

Opsi Amerika

Sebuah opsi call (put) Amerika memberikan hak (bukan kewajiban) kepada pemegang opsi untuk membeli (menjual) sebuah asset pada saat t ( 0 < t < T ) , sampai dengan waktu jatuh tempo T, dengan strike price K. Misalkan harga dari opsi call (put) Amerika dilambangkan dengan C(P). Payoff dari sebuah opsi call Amerika pada saat jatuh temponya T adalah C = max( ST − K , 0).

(2.4)

Payoff dari sebuah opsi put Amerika adalah P = max( K − ST , 0).

(2.5)

batas harga dan put-call parity untuk opsi Amerika diberikan oleh S − K ≤ C − P ≤ S − Ke − rt .

2.1.2

(2.6)

Nilai Suatu Opsi Keuangan

Dalam penentuan harga opsi, nilai dari opsi adalah sebuah fungsi dari aset yang bersangkutan dan waktu, ct = f ( St , t ) . Penghitungan harga dari sebuah opsi (premi) adalah tujuan utama penulis. Premi adalah nilai yang adil dari sebuah


5


kontrak opsi yang ditentukan dalam pasar yang kompetitif, dimana pembeli opsi membayarkan premi tersebut kepada penjual opsi. Nilai intrinsik dari sebuah opsi call adalah max ( St − K , 0 ) dan nilai intrinsik untuk opsi put adalah max ( K − St , 0 ) untuk 0 ≤ t ≤ T . Nilai ini menunjukkan keuntungan yang bisa diperoleh oleh seorang investor ketika menggunakan opsinya.

Nilai waktu dari sebuah opsi call adalah perbedaan antara harga dari opsi call dengan nilai intrinsiknya. Nilai waktu dari sebuah opsi menurun seiring dengan menurunnya waktu yang tersisa ke waktu jatuh tempo. Opsi Eropa tidak memiliki nilai waktu karena hanya bisa digunakan pada saat jatuh tempo T, nilai waktunya adalah nol.

Jumlah dari nilai intrinsik dan nilai waktu sebuah opsi adalah nilai total dari sebuah opsi. Nilai intrinsik dari opsi tidak pernah memberikan nilai negatif. Jika nilai saat ini (present value) dari asset yang bersangkutan lebih rendah dari strike price, nilai intrinsik dari opsi call dihilangkan.

Misal, jika premi call adalah $7.20 dan harga sahamnya $40 dengan strike price $35, nilai intrinsiknya adalah $5 dan nilai waktunya adalah $2.20.

Sebuah opsi dikatakan in-the-money (ITM) jika nilai intrinsiknya tidak nol. Ketika strike price sama dengan harga saham saat ini, kita katakan opsi tersebut at-themoney (ATM) dan nilai intrinsiknya adalah nol. Jika tidak keduanya, maka opsi dikatakan out-of-the money (OTM).

Kenapa opsi diperdagangkan?

Bagi para investor, opsi dipandang menarik baik untuk spekulasi maupun untuk keperluan hedging.


6


Terdapat cara yang sistematis untuk menentukan besarnya nilai opsi, sehingga opsi dapat diperjualbelikan dengan suatu tingkat kepercayaan yang cukup tinggi. [2]

Model pergerakan harga saham yang akan dipakai untuk menentukan harga opsi sangat bergantung pada ketidakpastian nilainya di masa yang akan datang. Proses ketidakpastian ini akan dibahas di bagian berikutnya.

2.1.3. Suku bunga

Misalkan kita memiliki sejumlah uang pada suatu rekening tabungan tanpa resiko. Jika investasi ini berkembang berdasarkan suatu suku bunga kontinu, r , kemudian nilainya bertambah dengan faktor e rt dalam jangka waktu t . Dengan kata lain, suatu jumlah D0 pada waktu nol bernilai

D ( t ) = ert D0

(2.7)

pada saat t . Kita akan menggunakan r ini sebagai bea tahunan. Pada kenyataannya, suku bunga berubah-ubah tiap waktu dan biasanya bergantung pada besarnya investasi, tapi kita akan mengasumsikan bahwa suku bunga ini bernilai konstan, baik untuk transaksi simpan ataupun pinjam kas, berapapun besarnya investasi. Misalkan kita memiliki suatu jumlah Dt pada saat t , maka pada waktu nol jumlah tersebut akan bernilai Dt ⋅ e − rt . Hal ini disebut discounting for interest (diskonto untuk suku bunga) atau discounting for inflation (diskonto untuk inflasi).[2]


7


2.2 Statistika . 2.2.1

Teorema Limit Pusat

Misalkan X 1 , X 2 , X 3 ,..., X M merupakan pengamatan-pengamatan dari sebuah sample acak yang berdistribusi sesuatu dan memiliki mean μ dan variansi

σ 2 positif. Maka peubah acak

⎛M ⎞ ⎜ ∑ Xi − M μ ⎟ ⎠= YM = ⎝ i =1 M ⋅σ

⎛⎛ 1 M ⎜⎜ ⎝⎝ M

M

∑X i =1

i

σ

⎞ ⎞ ⎟−Mμ⎟ ⎠ ⎠

(2.8)

konvergen dalam distribusi ke sebuah peubah acak yang berdistribusi normal standar atau N (0,1)

2.2.2

Proses Stokastik

Definisi 1. Sebuah proses stokastik X = { X ( t ) , t ∈ I } adalah koleksi dari peubah-peubah acak dengan himpunan indeks I, dimana t adalah waktu. Sebuah realisasi dari X disebut sebuah lintasan sampel. Sebuah proses stokastik waktu kontinu { X ( t )} dikatakan memiliki inkrementasi yang saling bebas jika untuk setiap t0 < t1 < ... < tn

,

peubah-peubah

X ( t1 ) − X ( t0 ) , X ( t2 ) − X ( t1 ) , X ( t3 ) − X ( t2 ) ,..., X ( tn ) − X ( tn −1 )

acak adalah

saling

bebas. Dikatakan memiliki inkrementasi stasioner jika X ( t + s ) − X ( t ) memiliki distribusi yang sama untuk setiap t dan distribusinya hanya bergantung pada s.


8


2.2.3

Gerak Brown

Definisi 2. Sebuah proses acak Bt , t ∈ [ 0, ∞ ) adalah sebuah gerak Brown jika 1. Bt memiliki inkrementasi stasioner dan saling bebas. 2. Bt adalah fungsi kontinu terhadap waktu, dengan B0 = 0. 3. Untuk 0 ≤ s ≤ t , Bt − Bs adalah berdistribusi normal dengan mean

μ ( t − s ) dan variansi σ 2 t − s . Yaitu, ( Bt − Bs ) ∼ N ⎡⎣ μ ( t − s ) , σ 2 t − s ⎤⎦ , dimana μ dan σ ≠ 0 adalah bilangan riil. Sebuah proses yang seperti ini disebut sebuah gerak Brown ( μ , σ ) dengan drift

μ dan variansi σ 2 .

Definisi 3. 1. Gerak Brown (0,1) disebut gerak Brown normal atau disebut proses Wiener. 2. Gerak Brown ( μ , σ ) disebut gerak Brown umum atau proses WienerBachelier.

2.2.4

Gerak Brown Geometrik

Definisi 4. Jika X ( t ) adalah sebuah gerak Brown dengan drift μ dan variansi σ 2 , proses

{Y ( t ) = e ( ) , t ≥ 0} disebut sebuah gerak Brown geometric, atau gerak Brown X t

eksponensial, atau difusi lognormal. Mean dan variansinya adalah E ⎡⎣Y ( t ) ⎤⎦ = e

( μ +σ / 2)t , 2

(2.9)

( 2 μ +σ )t ⎡eσ t − 1⎤ . Var ⎡⎣Y ( t ) ⎤⎦ = e ⎣ ⎦ 2

2


9


2.3

Model Pergerakan Harga Saham

Model sederhana pergerakan harga saham diasumsikan mengikuti Proses Wiener yang umum (Gerak Brown) yang berarti mempunyai ekspektasi drift yang konstan dan variansi yang konstan. Akan tetapi model ini gagal memenuhi aspek yang penting dari harga saham yaitu persentase ekspektasi return terhadap saham yang diinginkan investor tidak tergantung pada naik turunnya harga saham. Akibatnya, ekspektasi drift yang konstan tidaklah tepat dan harus digantikan oleh asumsi bahwa ekspektasi return (ekspektasi drift dibagi dengan harga saham) adalah konstan. Jadi asumsi yang paling bisa diterima untuk harga saham adalah logaritma dari harga saham mengikuti Proses Wiener, atau dengan kata lain, harga saham mengikuti Gerak Brown Geometrik.

Jika St menyatakan harga saham pada saat t , maka ekspektasi drift dari St dapat diasumsikan sebagai μ St untuk suatu konstanta μ . Ini berarti bahwa dalam suatu interval waktu Δt , rata-rata harga saham naik sebesar μ St Δt . Parameter μ menyatakan ekspektasi return harga saham. Jika faktor ketidakpastian dianggap tidak ada, maka model untuk pergerakan harga saham adalah ΔSt = μ St Δt ,

(2.10)

dSt = μ St dt

(2.11)

Dan jika Δt → 0 diperoleh

Tetapi pada prakteknya, harga saham menunjukkan adanya aspek stokastik. Asumsi yang dapat diterima adalah variansi persentase dari return saham pada suatu periode selang waktu Δt adalah umum tanpa tergantung pada harga saham.


10


Akibatnya, diasumsikan bahwa simpangan baku perubahan harga saham pada selang waktu Δt haruslah proporsional dengan harga saham. Jadi model menjadi :

dSt = μ St dt + σ St dxt

(2.12)

= St ( μ dt + σ dxt ) ,

Dengan dxt adalah Proses Wiener.

Akan diperkenalkan proses Wt = xt +

μ −r t, σ

(2.13)

Dengan

μ −r : market price of risk σ Yang merupakan selisih antara return dari saham dengan suku bunga tanpa resiko. Akibatnya Wt adalah Gerak Brown berdasarkan peluang tanpa resiko (neutral risk probability) P yang berarti jika r adalah suku bunga maka ekspektasi return dari saham dengan P sebagai peluang saham tersebut bergerak naik adalah sama dengan suku bunga. Sehingga persamaan (2.12) menjadi:

⎡ μ − r ⎞⎤ ⎛ dSt = St ⎢ μ dt + σ ⎜ dWt − dt ⎟ ⎥ σ ⎝ ⎠⎦ ⎣ = St ( rdt + σ dWt )

(2.14)

Berdasarkan Lemma Ito, persamaan (2.12) dapat ditulis menjadi

⎛ σ2 ⎞ d ln St = ⎜ r − ⎟ dt + σ dWt 2 ⎠ ⎝ Dengan ln St adalah Gerak Brown dengan drift r −

σ2 2

(2.15)

dan variansi σ 2 .


11


Bukti. Misal G = ln St maka ∂G 1 ∂ 2G 1 ∂G =0 = , = − 2 dan 2 ∂S S ∂S S ∂t Sehingga

⎛ ∂G ∂G 1 ∂ 2G 2 2 ⎞ ∂G σ S ⎟ dt + σ SdW dG = ⎜ rS + + 2 ∂t 2 ∂S ∂S ⎝ ∂S ⎠ 1 1 2 2⎞ 1 ⎛1 σ S ⎟ dt + σ SdW = ⎜ rS + 0 − 2 2S S ⎝S ⎠

⎛ σ2 ⎞ d ln St = ⎜ r − ⎟ dt + σ dWt 2 ⎠ ⎝ Berdasarkan persamaan(2.49) diperoleh bahwa ln St − ln S0 berdistribusi normal

⎛ σ2 ⎞ 2 dengan mean ⎜ r − ⎟ (T − t ) dan variansi σ (T − t ) . 2 ⎠ ⎝

Bila kedua ruas pada persamaan di atas diintegralkan diperoleh

⎛ σ2 ⎞ ∫ d ln St = ∫ ⎜⎝ r − 2 ⎟⎠dt + ∫ σ dWt ⎛ σ2 ⎞ ⇔ ln St − ln S0 = ⎜ r − ⎟ t + σ Wt 2 ⎠ ⎝ ⎛ σ2 ⎞ ⇔ ln St = ln S0 + ⎜ r − ⎟ t + σ Wt 2 ⎠ ⎝ Sehingga solusi dari persamaan diferensial di atas adalah ⎛ σ2 ⎞ ⎪⎧ ⎪⎫ St = exp ⎨ln S0 + ⎜ r − ⎟ t + σ Wt ⎬ 2 ⎠ ⎝ ⎩⎪ ⎭⎪

⎧⎪⎛ σ 2 ⎞ ⎫⎪ = S0 exp ⎨⎜ r − ⎟ t + σ Wt ⎬ . 2 ⎠ ⎪⎩⎝ ⎪⎭

Dengan S 0 adalah harga saham pada saat proses mulai diamati.


12

BAB II MATERI PENUNJANG. 2.1 Keuangan Opsi

Recommend Documents