BAB 2 Materi Penunjang

BAB 2. MATERI PENUNJANG

4

BAB 2 Materi Penunjang 2.1 Vanilla Option Derivatives adalah salah satu contoh dari instrumen keuangan, atau lebih sederhananya bisa dianggap sebagai perjanjian antara dua orang, yang nilainya ditentukan oleh harga dari suatu underlying asset. Option, futures, dan swaps adalah contoh-contoh dari derivatives. Option adalah sebuah kontrak dimana pemegangnya memiliki hak (bukan kewajiban) untuk membeli atau menjual suatu underlying asset pada harga tertentu dalam suatu periode waktu yang telah ditentukan. Option dapat juga dianggap sebagai suatu perjanjian antara dua pihak yaitu writer sebagai penyusun kontrak option dengan holder sebagai pembeli option dengan harga yang telah disepakati.

Secara umum option dapat dibedakan menjadi dua yaitu call option dan put option. Call option adalah hak untuk membeli sebuah underlying asset S dengan harga yang telah ditentukan K (strike price) pada waktu jatuh tempo atau sebelumnya. Sedangkan put option adalah hak untuk menjual sebuah underlying asset S dengan harga yang telah ditentukan K pada waktu jatuh tempo atau sebelumnya.

Seorang holder suatu option harus membuat suatu keputusan apa yang akan ia lakukan terhadap hak option ini. Keputusan akan ditentukan pada situasi pasar dan tipe option ini. Misalkan untuk kasus European call option, seorang holder akan meng-exercise option jika pada jatuh tempo nilai S > K. Dengan begitu ia akan mendapat keuntungan sebesar S − K yang diperoleh dari membeli aset seharga K, lalu menjualnya dengan harga S. Jika pada jatuh tempo option nilai S < K maka seorang holder tidak akan meng-exercise option karena akan lebih baik


5

jika ia membeli saham di pasar dengan harga S daripada meng-exercise option seharga K. Call option dan put option yang tidak memiliki fitur khusus tambahan biasa disebut juga vanilla option.

Berdasarkan waktu exercise-nya, option dapat dibedakan menjadi dua yaitu European option dan American option. Option yang hanya bisa digagalkan atau di-exercise kontraknya pada waktu jatuh temponya dinamakan European option. Sedangkan American option adalah option yang bisa di-exercise selama masa berlaku option tersebut yaitu dari waktu awal pembelian option sampai waktu jatuh temponya. Tipe exercise American option disebut juga early exercise. Jika S (T ) menyatakan harga saham di pasar pada waktu T dan K adalah strike price, maka keuntungan atau nilai payoff untuk kedua jenis vanilla option diatas diberikan oleh C ( S (T ), T ) = S (T ) − K jika S (T ) > K =0 jika S (T ) ≤ K P ( S (T ), T ) = K − S (T ) jika S (T ) < K =0

jika S (T ) ≥ K

Sehingga payoff untuk kedua option diatas adalah

C = max {S (T ) − K , 0} atau C = ( S (T ) − K ) P = max { K − S (T ), 0} atau P = ( K − S (T ) )

+

+

2.1.1 Lemma Ito Nilai dari suatu option, misalnya European call option, merupakan fungsi dari harga saham S dan waktu t. Atau secara umum dapat dikatakan bahwa nilai dari suatu derivatives bergantung pada nilai dari suatu underlying asset dan waktu. Lemma Ito memperlihatkan hubungan antara perubahan nilai derivatives ini dengan perubahan underlying asset dan waktu.


6

Misal G ( X , t ) merupakan fungsi dari underlying asset X dan waktu t, dimana X mengikuti :

dX = a ( X , t ) dt + b ( X , t ) dB

(2.1.1)

dimana dB ~ N (0, dt ) adalah Proses Wiener Kita akan mencari dG yang merupakan perubahan dari G ( X , t ) . Kita aplikasikan Deret Taylor orde 2 untuk G ( X , t ) .

G( X , t) = G

(0,0) +

∂ 2G ∂X ∂t

∂G ∂X

(0,0)

∂G 1 ∂ 2G + t (0,0) (0,0) ∂t 2 ∂X 2 1 ∂ 2G Xt + t2 2 (0,0) 2 ∂t X+

(0,0)

+

Dengan asumsi G ( X , t ) dapat diturunkan maka dG =

∂G ∂G 1 ∂ 2G ∂ 2G 1 ∂ 2G 2 2 dX + dt + dX + dXdt + dt ) ( ) 2 2 ( ∂X ∂t 2 ∂X ∂X ∂t 2 ∂t

(2.1.2)

Substitusikan 2.1.1 ke 2.1.2 sehingga didapat

1 ∂ 2G ∂G ∂G 2 dG = adt + bdB ) + ( adt + bdB ) + dt + 2 ( 2 ∂X ∂X ∂t 2 2 1∂G ∂G 2 dt ) ( adt + bdB ) dt + 2 ( 2 ∂t ∂ X ∂t 1 2 ∂ 2G ∂G ∂G ∂G ∂ 2G 2 =a dt + b dB + dt + a ( dt ) + ab 2 dtdB + ∂X ∂X ∂t ∂X 2 ∂X 2 2 2 2 ∂G ∂G 1 2∂G 1 ∂ 2G 2 2 2 b dB ) + a dBdt + dt ) ( dt ) + b 2 ( 2 ( 2 ∂X ∂X ∂ t ∂X ∂t 2 ∂t Akan diambil suku-suku berorde satu dalam dt sehingga ∂G ∂G ∂G 1 ∂ 2G dt + b dB + dt + b 2 dt ∂X ∂X ∂t 2 ∂X 2 ⎛ ∂G ∂G 1 2 ∂ 2G ⎞ ∂G = ⎜a + + b dt + b dB 2 ⎟ ∂X ⎝ ∂X ∂t 2 ∂X ⎠

dG = a

Jadi Lemma Ito mengungkapkan bahwa dG dapat ditulis sebagai :

⎛ ∂G ∂G 1 2 ∂ 2G ⎞ ∂G dG = ⎜ a + + b dt + b dB 2 ⎟ ∂X ⎝ ∂X ∂t 2 ∂X ⎠

(2.1.3)


7

Jika underlying asset X adalah saham S yang mengikuti Gerak Brown Geometrik dengan dS = μ Sdt + σ SdB , maka Lemma Ito pada persamaan 2.1.3 menjadi

⎛ ∂G ∂G 1 2 2 ∂ 2G ⎞ ∂G dG = ⎜ μ S dt + σ S dB + + σ S 2 ⎟ ∂S ∂t 2 ∂S ⎠ ∂S ⎝

(2.1.4)

2.1.2 Gerak Brown Geometrik Misal St = S (t ) adalah harga saham S pada saat t. Jika St mengikuti Gerak Brown Geometrik, maka St dapat dinyatakan dalam bentuk

St = S 0 e dengan

σ

⎛ 1 2⎞ ⎜ μ − σ ⎟t +σ B 2 ⎠ ⎝

merupakan volatilitas dan

μ

merupakan drift. Sedangkan

B = t z dimana z ~ N ( 0,1) . Dengan menggunakan ekspansi Taylor kita dapat

menuliskan dS sebagai: ∂S ∂S 1 ∂2S ∂2S 1 ∂2S 2 2 dB + dt + dB + dBdt + dt ) ( ) 2 2 ( ∂B ∂t 2 ∂B ∂B∂t 2 ∂t 2 ∂S ∂S 1∂ S = dB + dt + dt ∂B ∂t 2 ∂B 2 1 ⎞ 1 ⎛ = σ St dB + ⎜ μ − σ 2 ⎟ St dt + σ 2 St dt 2 ⎠ 2 ⎝ = μ St dt + σ St dB

dS =

Jadi jika S mengikuti Gerak Brown Geometrik maka dS = μ Sdt + σ SdB

2.1.3 Rumus Black Scholes Misalkan V = V ( S , t ) menyatakan nilai dari option yang merupakan fungsi dari harga saham S dan waktu t, dengan harga saham S mengikuti Gerak Brown Geometrik dS = μ Sdt + σ SdB


8

Dengan menggunakan lemma Ito dimana G ( S , t ) = V ( S , t ) maka didapat

⎛ ∂V ∂V 1 2 2 ∂ 2V dV = ⎜ + μS + σ S ∂S 2 ∂S 2 ⎝ ∂t

⎞ ∂V dB ⎟ dt + σ S ∂S ⎠

Pada saat t = 0, kita merancang portofolio π dengan cara membeli satu option dengan harga V dan menjual saham sebanyak Δ dengan harga S sehingga portofolio kita bernilai

π = V − ΔS Dalam suatu dt, nilai portofolio mengalami perubahan sebesar dπ , dimana d π = dV − ΔdS ⎛ ∂V ∂V 1 2 2 ∂ 2V =⎜ + μS + σ S ∂S 2 ∂S 2 ⎝ ∂t ⎛ ∂V ∂V 1 2 2 ∂ 2V =⎜ + μS + σ S ∂S 2 ∂S 2 ⎝ ∂t

⎞ ∂V dB − Δ ( μ Sdt + σ SdB ) ⎟ dt + σ S ∂S ⎠ ⎞ ⎛ ∂V ⎞ − Δμ S ⎟ dt + σ S ⎜ − Δ ⎟ dB ⎝ ∂S ⎠ ⎠

Untuk membuat portofolio kita minimal resikonya, maka kita dapat meniadakan faktor acak dari nilai portofolio tersebut dengan memilih Δ =

∂V sehingga ∂S

didapat :

⎛ ∂V 1 2 2 ∂ 2V dπ = ⎜ + σ S ∂S 2 ⎝ ∂t 2

⎞ ⎟ dt ⎠

(2.1.5)

Di lain pihak, jika kita menginvestasikan dana di bank sebesar π selama selang waktu dt dengan risk-free interest rate r maka kita akan mendapat return dπ sebesar

dπ = rπ dt

(2.1.6)

Dengan menggunakan prinsip no-arbitrage (tidak untung maupun rugi) maka haruslah 2.1.5 sama dengan 2.1.6 sehingga ⎛ ∂V 1 2 2 ∂ 2V ⎞ + σ S rπ dt = ⎜ ⎟ dt ∂S 2 ⎠ ⎝ ∂t 2 ⎛ ∂V 1 2 2 ∂ 2V ⎞ + σ S r (V − ΔS ) dt = ⎜ ⎟ dt ∂S 2 ⎠ ⎝ ∂t 2 ∂V ∂V 1 2 2 ∂ 2V = + σ S rV − rS ∂S ∂t 2 ∂S 2


9

Dan modifikasi dari bentuk terakhir diatas yaitu ∂V σ 2 2 ∂ 2V ∂V + + rS − rV = 0 S 2 ∂t ∂S ∂S 2 disebut Persamaan Diferensial Parsial Black Scholes, dimana •

V ( S , t ) : nilai option call/put

•

S : nilai underlying asset

•

r : non-risk interest rate

•

σ : volatilitas dari underlying asset

•

t : waktu

Untuk melengkapi deskripsi dari Persamaan Diferensial Parsial di atas, kita akan menambahkan dua buah kondisi batas dan satu buah kondisi akhir dari persamaan diatas. Sebagai contoh kita akan menganalisa kondisi batas dan akhir dari call option. Suatu call option akan menjadi tidak berharga jika harga saham yang bersangkutan adalah nol, sebaliknya nilai dari suatu call option akan mendekati harga saham pada saat harga saham menuju tak hingga. Berdasarkan keadaan tersebut, maka kita mempunyai dua buah kondisi batas: C (0, t ) = 0 C ( S , t ) ~ S bila S → ∞

Pada saat maturity time, suatu call option akan tidak berharga jika harga saham lebih rendah daripada strike price K, sebaliknya suatu option akan bernilai

(S − K )

jika harga saham lebih tinggi daripada strike price K. Sehingga kita

memperoleh kondisi akhir call option sebagai berikut: C ( S , t ) = max ( S − K , 0 ) = (S − K )

+


10

2.1.4 Masalah Cauchy Pandang sebuah masalah Cauchy untuk persamaan difusi pada interval infinite berikut ini: ∂v ∂ 2v − a2 2 = 0 ∂t ∂x

− ∞ < x < ∞, t > 0

(2.1.7)

dengan a adalah konstanta positif. Syarat awal v ( x, 0) = f ( x ) . Asumsi f ( x ) memiliki transformasi fourier dan v,vx nilainya menuju nol saat x → ∞, x → −∞ . Kemudian nyatakan 1 V (λ , t ) = 2π

∞

∫e

iλ x

v ( x , t ) dx

Kalikan persamaan (2.1.7) dengan −∞

sampai ∞

∫

−∞

∞

(2.1.8)

−∞

1 iλ x e kemudian integralkan terhadap x dari 2π

maka diperoleh ∞

1 iλ x 1 iλ x e vt dx − a 2 ∫ e vxx dx = 0 2π 2π −∞ 1 2π 1 2π

∞

iλ x 2 ∫ e vt dx − a

−∞ ∞

∫e

iλ x

1 2π

∞

∫ ( −λ

2

)eiλ x vdx = 0

−∞

(2.1.9)

vt dx − (aλ ) 2V (λ , t ) = 0

−∞

∂ V (λ , t ) + (aλ ) 2 V (λ , t ) = 0 ∂t Selanjutnya persamaan akhir (2.1.9) dapat dinyatakan sebagai masalah nilai awal ∂ V ( λ , t ) = − ( aλ ) 2 V ( λ , t ) ∂t ∞ 1 V (λ , 0) = F (λ ) = eiλ x f ( x)dx ∫ 2π −∞

Dapat dihasilkan solusi masalah nilai awal (2.1.10) adalah

V (λ , t ) = e − ( aλ )

2

t +C

= C1e − ( aλ )

2

t

(2.1.10)


11

Dengan V (λ , 0) = C1 = F (λ ) maka diperoleh

V (λ , t ) = F ( λ ) e − ( aλ )

2

t

(2.1.11)

Selanjutnya dapat diperoleh invers dari V (λ , t ) adalah ∞

1 2π

v ( x, t ) =

∫

e − iλ x − λ a t F ( λ ) d λ 2 2

−∞ ∞ ∞

1 = 2π

(2.1.12)

∫ ∫e

− iλ ( x − s ) − λ 2 a 2 t

f ( s)d λds

−∞ −∞

Dapat diperoleh bahwa ∞

∫e

− iλ ( x − s ) − λ 2 a 2 t

−∞

0

dλ = ∫ e

− iλ ( x − s ) − λ 2 a 2 t

−∞

∞

= 2∫ e

∞

d λ + ∫ e − iλ ( x − s ) − λ a t d λ 2 2

0

− λ 2 a 2t

(2.1.13)

cos[λ ( x − s )]d λ

0

Misalkan ∞

I (α ) = 2 ∫ e − λ

2 2

a t

cos[λ ( x − s )]d λ

(2.1.14)

0

maka diperoleh ∞

2 2 dI (α ) = 2 ∫ λ e − λ a t sin(α λ ) d λ dα 0

∞

=

2 2 1 sin(α λ ) d ( e − λ a t ) 2 ∫ a t 0

=−

α 2 a 2t

(2.1.15)

I (α ) ∞

dengan nilai awalnya adalah I (0) = 2∫ e− λ a t d λ = 2 2

0

π a 2t

Solusi masalah nilai awal (2.1.15) adalah I (α ) = A1e

−

α 4 a 2t

dengan syarat awalnya adalah I (0) = A1 =

(2.1.16)

π a 2t


12

Sehingga dapat diperoleh : ∞

I (α )α = x − s = 2 ∫ e − λ a t cos(λ ( x − s ))d λ 2 2

0

(2.1.17)

π

⎛ ( x − s)2 ⎞ = exp ⎜− ⎟ a 2t 4a 2t ⎠ ⎝

Sehingga dari (2.1.12) dapat diperoleh solusi masalah Cauchy (2.1.7) adalah v ( x, t ) =

1 2π

∞ ∞

∫ ∫e

− iλ ( x − s ) − λ 2 a 2 t

f ( s)d λds

−∞ −∞

∞

π

⎛ ( x − s)2 ⎞ exp ∫ ⎜⎝ − 4a 2t ⎟⎠ f (s)ds a 2t −∞ ∞ ⎛ ( x − s)2 ⎞ 1 = exp ∫ ⎜⎝ − 4a 2t ⎟⎠ f (s)ds 4π a 2t −∞ 1 = 2π

(2.1.18)

⎛ ( x − ε )2 ⎞ exp ⎜ − Bentuk G ( x − ε , t ) = ⎟ seringkali dikenal sebagai solusi 4a 2 t ⎠ 4π a 2t ⎝ 1

fundamental/ fungsi green dari persamaan difusi.

Di bagian berikutnya pada subbab 2.1.4 ini akan dijelaskan langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan difusi untuk interval semi-infinite. Pandang suatu persamaan difusi untuk interval semi-infinite sebagai berikut

∂v ∂ 2v = a 2 2 x > 0, t > 0 ∂t ∂x v( x, 0) = f ( x) v(0, t ) = g (t )

Kalikan persamaan (2.1.19) dengan sampai

∞

(2.1.19)

2

π

sin(λ x) dan integralkan terhadap x dari 0

maka diperoleh

2

π

∞

∫ sin(λ x)v dx − a t

0

2

2

π

∞

∫ sin(λ x)v 0

Pandang transformasi sinus berikut ini:

xx

dx = 0

(2.1.20)


2

13

∞

∞

2

∫ f "(x)sin(λx)dx =

π0

π

2

∞

π ∫0

f '(x)sin(λx) − λ 0

f '(x)cos(λx)dx

∞

2

=

π

∞

2

f '(x)sin(λx) − λ

π

0

f (x)cos(λx) − λ2 0

2

∞

π ∫0

f (x)sin(λx)dx (2.1.21)

Asumsikan f ( x ) dan f '( x ) sama dengan nol saat x → ∞ , maka dapat diperoleh

2

∞

f "( x) sin(λ x)dx = λ π∫ 0

2

π

f (0) − λ 2 Fs (λ )

(2.1.22)

dengan

2

Fs (λ ) =

π

∞

∫ sin(λ x) f ( x)dx

(2.1.23)

0

Substitusikan (2.1.22) ke persamaan (2.1.20) maka diperoleh ⎡ ⎤ 2 2 2 sin( ) (0, ) ( , ) λ x v dx a λ v t λ V λ t − − ⎢ ⎥=0 t s π ∫0 ⎦ ⎣ π 2

∞

2 ∂ Vs (λ , t ) + (aλ ) 2 Vs (λ , t ) = a 2λ g (t ) π ∂t

dengan Vs (λ , t ) =

2

π

(2.1.24)

∞

∫ sin(λ x)v( x, t )dx 0

Syarat awal untuk Vs (λ , t ) adalah Vs (λ , 0) = =

2

π 2

π

∞

∫ sin(λ x)v( x, 0)dx 0

(2.1.25)

∞

∫ sin(λ x) f ( x)dx = F (λ ) s

0

Solusi dari masalah nilai awal (2.1.24) dan (2.1.25) adalah v ( x, t ) = =

2

π 2

π

∞

∫ V (λ , t ) sin(λ x)d λ s

0

∞

−λ ∫ Fs (λ )e 0

2 2

a t

sin(λ x)d λ +

2

∞ t

λe π ∫∫ 0 0

− λ 2 a 2 ( t −τ )

g (τ ) sin(λ x)dτ d λ


v( x, t ) = =

2

14

∞∞

t ∞

2 2 2 2 ⎡e−λ a t sin(λ s)sin(λ x)⎤ f (s)d λds + 2 λe−λ a (t −τ ) sin(λ x) g (τ )d λ dτ ⎣ ⎦ π ∫∫ π ∫∫ 0 0 0 0

1

∞∞

e π ∫∫

− λ 2 a 2t

[cos(λ ( x − s)) − cos(λ ( x + s))] f (s)d λds

0 0

+

2

t ∞

∂

⎡−e π ∫∫ ∂x ⎣

− λ 2 a2 ( t −τ )

0 0

cos(λ x)⎤ g (τ )d λdτ ⎦

∞

= ∫ [G( x − s, t ) − G( x + s, t )] f (s)ds − 2a 0

∂G( x, t −τ ) g (τ )dτ ∂x 0 t

2

∫

(2.1.26) dengan G ( x − s, t ) menyatakan fungsi green dari persamaan difusi yaitu

G ( x − s, t ) =

⎛ ( x − s)2 ⎞ exp ⎜ − ⎟ 2 2a π t ⎝ 4a t ⎠ 1

(2.1.27)

2.1.5 Penentuan Nilai Option Persamaan diferensial parsial Black Scholes untuk call option : ∂C σ 2 2 ∂ 2C ∂C S + + rS − rC = 0 2 2 ∂t ∂S ∂S

(2.1.28)

dengan C ( S , T ) = max ( S − K , 0 ) Menentukan nilai dari suatu option C ( S , t ) sama dengan mencari solusi dari Persamaan Black Scholes. Langkah-langkah mencari solusi dari PDP 2.1.28 adalah sebagai berikut : 1. Mengubah ke dalam bentuk sederhana ⎡⎣( S , t ) → ( x,τ ) ⎤⎦ Gunakan hubungan :

S = Ke x t =T −

τ

⎛S⎞ → x = ln ⎜ ⎟ ⎝K⎠ 1 → τ = (T − t ) 2

1 2 σ 2 C ( S , t ) = Kv ( x,τ )


15

dengan K adalah exercise price dan T adalah exercise date. Sehingga : ∂C ∂ ∂v ∂v ∂τ ∂v ⎛ 1 2 ⎞ 1 2 ∂v = ( Kv ) = K =K =K ⎜− σ ⎟ = − σ K 2 ∂t ∂t ∂t ∂τ ∂t ∂τ ⎝ 2 ⎠ ∂τ ∂C ∂ ∂v ∂v ∂x ∂v ⎛ 1 ⎞ = =K ⎜ ⎟ ( Kv ) = K = K ∂S ∂S ∂S ∂x ∂S ∂x ⎝ S ⎠

∂ 2C ∂ ⎛ ∂C ⎞ ∂ ⎛ K ∂v ⎞ K ∂v K ∂ ⎛ ∂v ⎞ = + ⎜ ⎟= ⎜ ⎟=− 2 ⎜ ⎟ 2 ∂S ∂S ⎝ ∂S ⎠ ∂S ⎝ S ∂x ⎠ S ∂x S ∂S ⎝ ∂x ⎠ K ∂v K ∂ ⎛ ∂v ⎞ K ∂v K ∂ ⎛ ∂v ⎛ 1 ⎞ ⎞ =− 2 + + ⎜ ⎟=− 2 ⎜ ⎟ S ∂x S ∂x ⎝ ∂S ⎠ S ∂x S ∂x ⎝⎜ ∂x ⎝ S ⎠ ⎠⎟ =−

K ∂v K ∂ 2 v + S 2 ∂x S 2 ∂x 2

Sehingga persamaan 2.1.28 menjadi : 2 ⎛ 1 2 ∂v ⎞ 1 2 2 ⎛ K ∂v K ∂ v ⎞ ⎛ K ∂v ⎞ σ σ − + − + + rS ⎜ K S ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ − r ( Kv ) = 0 2 2 2 ⎟ ∂τ ⎠ 2 ⎝ 2 ⎝ S ∂x ⎠ ⎝ S ∂x S ∂x ⎠

1 ∂v 1 2 ⎛ ∂v ∂ 2 v ⎞ ∂v − σ2 + σ ⎜ − + 2 ⎟ + r − rv = 0 2 ∂τ 2 ⎝ ∂x ∂x ⎠ ∂x 1 ∂v 1 2 ∂v 1 2 ∂ 2 v ∂v − σ2 − σ + σ + r − rv = 0 2 2 ∂τ 2 ∂x 2 ∂x ∂x 2 ∂v ∂v ∂ v r ∂v rv − − + 2+ − =0 1 2 ∂x 1 2 ∂τ ∂x ∂x σ σ 2 2 Misal

r = k sehingga didapat 1 2 σ 2

∂v ∂v ∂ 2 v ∂v = − + 2 + k − kv ∂τ ∂x ∂x ∂x ∂v ∂ 2 v ∂v = 2 + ( k − 1) − kv ∂τ ∂x ∂x Dengan nilai awal : v( x, 0) =

C (S , T ) 1 = max ( S − K , 0 ) K K 1 = max ( Ke x − K ) = max ( e x − 1, 0 ) K

(2.1.29)


16

2. Mentransformasi bentuk dari v ( x,τ ) Misalkan

v ( x,τ ) = eα x + βτ u ( x,τ )

(2.1.30)

dimana α dan β akan ditentukan kemudian dengan teknik pendiferensialan. Perhatikan bahwa : ∂v ∂u ∂u ⎞ ⎛ = β eα x + βτ u ( x,τ ) + eα x + βτ = eα x + βτ ⎜ β u + ⎟ ∂τ ∂τ ∂τ ⎠ ⎝ ∂v ∂u ∂v ⎞ ⎛ = α eα x + βτ u ( x,τ ) + eα x + βτ = eα x + βτ ⎜ α u + ⎟ ∂x ⎠ ∂x ∂x ⎝

∂ 2 v ∂ ⎛ α x + βτ ∂u ⎞ u + eα x + βτ = ⎜α e ⎟ 2 ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂u ∂u α x + βτ ∂ 2u = α 2 eα x + βτ u + α eα x + βτ + α eα x + βτ +e ∂x ∂x ∂x 2 ⎛ ∂u ∂ 2u ⎞ = eα x + βτ ⎜ α 2u + 2α + ⎟ ∂x ∂x 2 ⎠ ⎝ Sehingga persamaan 2.1.29 menjadi ∂u ⎞ α x + βτ ⎛ 2 ∂u ∂ 2u ⎞ ⎛ = + + eα x + βτ ⎜ β u + e u α 2 α ⎜ ⎟ ⎟ ∂τ ⎠ ∂x ∂x 2 ⎠ ⎝ ⎝ ∂u ⎞ ⎛ + ( k − 1) eα x + βτ ⎜ α u + ⎟ − keα x + βτ u ∂x ⎠ ⎝ ∂u ∂ 2u ∂u = 2 + ( − β + α 2 + (k − 1)α − k ) u + ( 2α + (k − 1) ) ∂τ ∂x ∂x

Suku-suku yang memuat

∂u dapat dihilangkan dengan memilih : ∂x

0 = 2α + ( k − 1)

α =−

1 ( k − 1) 2

Suku-suku yang memuat u dapat dihilangkan dengan memilih : 0 = − β + α 2 + ( k − 1) α − k

β = α 2 + ( k − 1) α − k


1 4

17

1 2

β = (k − 1) 2 − (k − 1) 2 − k 1 = − (k + 1) 2 4

sehingga persamaan 2.1.30 menjadi v ( x,τ ) = e

−

1 1 ( k −1) x − ( k +1)2 τ 2 4

u ( x,τ )

(2.1.31)

dengan u ( x,τ ) memenuhi PDP : ∂u ∂ 2u = ∂τ ∂x 2 Nilai awal :

u ( x, 0 ) =

v ( x, 0 ) e

−

1 ( k −1) x 2

=

max ( e x − 1) e

−

1 ( k −1) x 2

⎛ 1 ( k +1) x 12 ( k −1) x ⎞ = max ⎜ e 2 −e , 0 ⎟ = f ( x) ⎝ ⎠

3. Mencari u ( x,τ ) dengan memanfaatkan solusi dari masalah Cauchy yaitu pada persamaan (2.1.18) PDP

:

∂u ∂ 2u = ∂τ ∂x 2

⎛ 1 ( k +1) x 12 ( k −1) x ⎞ Syarat awal : u ( x, 0 ) = max ⎜ e 2 −e , 0⎟ = f ( x) ⎝ ⎠ Berdasarkan persamaan (2.1.18), maka solusi dari PDP dengan syarat nilai awal diatas adalah

u ( x, τ ) =

1 2 πτ

∞

∫e

⎛ ( x − s )2 ⎞ ⎜⎜ − ⎟ 4τ ⎟⎠ ⎝

f ( s)ds

−∞

sehingga dapat diperoleh u ( x, τ ) = =

1 2 πτ 1 2 πτ

∞

∫e

⎛ ( x − s )2 ⎞ ⎜⎜ − ⎟ 4τ ⎟⎠ ⎝

f ( s)ds

−∞ ∞

∫e

−∞

⎛ ( x − s )2 ⎞ ⎜⎜ − ⎟ 4τ ⎟⎠ ⎝

1 ( k −1) s ⎛ 12 ( k +1) s ⎞ max ⎜ e , 0 ⎟ ds − e2 ⎝ ⎠

(2.1.32)


u ( x ,τ ) = = = =

⎛ ( x − s )2 ⎞ − ⎟ ⎜⎜ 4τ ⎟⎠ ⎝

∞

1 2 πτ

∫e 0

∞

1 2 πτ

∫e

2 πτ

⎞ ⎟⎟ ⎠

ds −

∫e

⎛ − x 2 + 2 s ( x + ( k +1)τ ) − s 2 ⎜⎜ 4τ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

∫e

2 πτ

ds −

0

⎛ 1 ⎛ x 2 − 2 s ( x + ( k +1)τ ) + s 2 ⎜− ⎜ ⎜ 2⎜ 2τ ⎝ ⎝

∞

1

0

∞

1

1 ( k −1) s ⎞ ⎛ 12 ( k +1) s − e2 ⎜e ⎟ ds ⎝ ⎠

⎛ − ( x − s ) 2 + 2 ( k +1) sτ ⎜⎜ 4τ ⎝

∞

1

18

⎛ − ( x − s ) 2 + 2 ( k −1) sτ ⎜⎜ 4τ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

ds

0

∞

1

∫e

2 πτ

⎞⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎠

⎛ − x 2 + 2 s ( x + ( k −1)τ ) − s 2 ⎜⎜ 4τ ⎝

∞

1

⎛ 1 ⎛ x 2 − 2 s ( x + ( k −1)τ ) + s 2 ⎜− ⎜ ⎜ 2⎜ 2τ ⎝ ⎝

=

I2

1 2

πτ 1

2

πτ 1

2

πτ

∞

∫e

⎛ 1 ⎛ x 2 − 2 s ( x + ( k + 1 )τ ) + s 2 ⎜− ⎜ ⎜ 2⎜ 2τ ⎝ ⎝

⎞⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎠

ds

0

∞

∫e

⎛ 1 s − ( x + ( k + 1 )τ ) ⎞ 2 ⎞ ⎜ − ⎛⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2⎝ 2τ ⎠ ⎠⎟ ⎝

e

⎛ 1 ⎛ x 2 − ( x + ( k + 1 )τ ) 2 ⎜− ⎜ ⎜ ⎜ 2τ ⎝ 2⎝

e

⎛ 1 ⎛ − 2 x ( k + 1 )τ − ( k + 1 ) 2 τ ⎜− ⎜ ⎜ 2⎜ 2τ ⎝ ⎝

2

)⎞⎞ ∞ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎠

∫e 0

maka ⎛ 2 xτ ( k + 1 ) + ( k + 1 ) 2 τ 4τ

⎜⎜ 1 e⎝ 2π

= e

1 ⎛ x ⎞ 2 ⎜ ( k +1)+ ( k +1) τ ⎟ 4 ⎝ 2 ⎠

2

⎞ ⎟⎟ ⎠

1 ⎛ x ⎞ 2 ⎜ ( k +1)+ ( k +1) τ ⎟ 4 ⎝ 2 ⎠

dengan d1 =

x + (k + 1)τ 2τ

∞

∫

e

x + ( k + 1 )τ − 2τ x + ( k + 1 )τ 2τ

∫

−∞

= e

ds

⎛ 1 ⎛ s − ( x + ( k + 1 )τ ) ⎞ 2 ⎞ ⎜− ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2⎝ 2τ ⎠ ⎟⎠ ⎝

s − ( x + (k + 1)τ ) ds maka dm = 2τ 2τ

I1 =

⎞⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎠

0

Misalkan m=

⎞⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎠

e e ds − ds 2 πτ ∫0 2 πτ ∫0

Perhatikan I1

=

ds

0

I1

I1 =

⎞ ⎟⎟ ⎠

N ( d 1)

e

−

1 m 2

2

dm

−

1 m 2

2

dm

ds


19

Dengan cara yang sama dapat dalam mengerjakan I1 dapat diperoleh:

I2 = e

1 ⎛x 2 ⎞ ⎜ ( k −1) + ( k −1) τ ⎟ 4 ⎝2 ⎠

N (d 2)

dengan d2 =

x + (k − 1)τ 2τ

Jadi solusi u ( x,τ ) adalah u ( x , τ ) = I1 − I 2 =e

1 ⎛x 2 ⎞ ⎜ ( k +1) + ( k + 1) τ ⎟ 4 ⎝2 ⎠

N ( d 1) − e

1 ⎛x 2 ⎞ ⎜ ( k −1) + ( k −1) τ ⎟ 4 ⎝2 ⎠

N ( d 2)

x + (k + 1)τ 2τ x + (k − 1)τ d2 = 2τ d1 =

4. Mengembalikan ke persamaan semula dengan hubungan (2.1.31)

C = Kv( x,τ ) ⎛ − 1 ( k −1) x− 1 ( k +1)2τ ⎞ 4 ⎜e 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

=Ke

1 ⎛x 2 ⎞ ⎛ ⎛⎜ 2x ( k +1)+ 14 (k +1)2τ ⎟⎞ ⎞ ⎜ ( k −1)+ ( k −1) τ ⎟ 4 ⎝ ⎠ ⎝2 ⎠ N (d 2) ⎟ N (d1) − e ⎜e ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

1 1 − ( k +1)2 τ + ( k −1)2 τ 4 4

= Kex N (d1) − Ke

N (d 2) (2.1.33)

Diketahui S = Ke x t =T −

τ

⎛S⎞ → x = ln ⎜ ⎟ ⎝K⎠ 1 → τ = (T − t ) 2

1 2 σ 2 C ( S , t ) = Kv ( x,τ )

sehingga persamaan (2.1.33) menjadi


C = Ke x N (d1) − Ke = Ke N (d1) − Ke x

= SN ( d1) − Ke

20

1 1 − ( k +1) 2 τ + ( k −1) 2 τ 4 4

− kτ

N (d 2)

N (d 2)

⎛ ⎞ 1 ⎞⎜ r ⎟ ⎛ − ⎜ (T − t ) σ 2 ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠⎜ 1 σ 2 ⎟ ⎝ ⎜ ⎟ ⎝2 ⎠

N ( d 2)

= SN ( d1) − Ke − r (T −t ) N ( d 2 ) dengan 2 ⎛S⎞ ⎛ σ ⎞ ln ⎜ ⎟ + ⎜ r + ⎟ (T − t ) 2 ⎠ ⎝K⎠ ⎝ d1 = σ T −t 2 ⎛S⎞ ⎛ σ ⎞ ln ⎜ ⎟ + ⎜ r − ⎟ (T − t ) 2 ⎠ ⎝K⎠ ⎝ d2 = σ T −t

Jadi harga suatu call option jika harga saham S pada waktu t adalah C = SN ( d1) − Ke − r (T −t ) N ( d 2 )

(2.1.34)

dengan N ( x) =

1 2π

x

∫e

1 − ρ2 2

dρ

−∞

2 ⎛S⎞ ⎛ σ ⎞ ln ⎜ ⎟ + ⎜ r + ⎟ (T − t ) 2 ⎠ ⎝K⎠ ⎝ d1 = σ T −t 2 ⎛S⎞ ⎛ σ ⎞ ln ⎜ ⎟ + ⎜ r − ⎟ (T − t ) 2 ⎠ ⎝K⎠ ⎝ d2 = σ T −t

2.2 Barrier Option Barrier option adalah salah satu jenis path dependent option. Sehingga barrier option nilainya bergantung pada harga underlying asset sepanjang periode option tersebut. Secara lebih khusus, payoff dari barrier option tidak hanya bergantung pada harga akhir dari suatu underlying asset, namun juga bergantung pada apakah


21

harga underlying asset tersebut mencapai suatu batas nilai barrier atau tidak selama masa berlakunya option tersebut.

Secara umum barrier option dapat dibedakan menjadi dua yaitu knock-in option dan knock-out option. Knock-in barrier option akan bernilai atau mempunyai nilai payoff positif ( maks ( S − K , 0 ) ) jika dan hanya jika harga saham mencapai suatu nilai barrier dan sebaliknya untuk knock-out barrier option. Jika nilai barrier lebih tinggi daripada harga saham S pada saat t = 0 maka barrier option tersebut bertipe up sedangkan jika nilai barrier lebih rendah daripada harga saham S pada saat t = 0 maka barrier option tersebut bertipe down.

Jadi secara keseluruhan barrier option dapat dibagi menjadi 4 jenis yaitu : a. Down and in: barrier option dengan nilai barrier lebih kecil daripada harga saham S pada saat t = 0 (barrier terletak di bawah harga saham S) dan baru dapat di-exercise jika selama masa berlaku option, harga saham mencapai nilai barrier tersebut. b. Down and out: barrier option dengan nilai barrier lebih kecil daripada harga saham S pada saat t = 0 (barrier terletak di bawah harga saham S) dan tidak dapat di-exercise jika selama masa berlaku option, harga saham mencapai nilai barrier tersebut. c. Up and in: barrier option dengan nilai barrier lebih besar daripada harga saham S pada saat t = 0 (barrier terletak di atas harga saham S) dan baru dapat di-exercise jika selama masa berlaku option, harga saham mencapai nilai barrier tersebut. d. Up and out: barrier option dengan nilai barrier lebih besar daripada harga saham S pada saat t = 0 (barrier terletak di atas harga saham S) dan tidak dapat di-exercise jika selama masa berlaku option, harga saham mencapai nilai barrier tersebut.


22

Berikut ini contoh mekanisme up-and-in call option dengan ilustrasi dua buah contoh pergerakan nilai saham

Gambar 2.1 Up-and-in call option dengan

K = 100, B = 110, S0 = 100, ST = 103

Di kurva sebelah kiri pada gambar 2.1 terlihat bahwa, ketika maturity time (T), option tidak dapat di-exercise karena selama masa berlaku option, saham tidak pernah menyentuh barrier. Sebaliknya pada gambar yang sebelah kanan, ketika maturity time (T), option dapat di-exercise karena selama masa berlaku option, saham pernah menyentuh barrier.

Untuk melihat salah satu contoh penggunaan barrier option, akan dibahas contoh penggunaan down-and-out call. Dapat diobservasi bahwa seorang writer atas sebuah call diharuskan untuk mencairkan assetnya ketika nilai asset jatuh secara tajam. Kegunaan dari down-and-out call adalah melindungi seorang writer dari kerugian yang besar yaitu dengan mekanisme down-and-out call yang akan gagal (tidak bisa di-exercise) jika nilai asset jatuh melewati suatu batas tertentu.

Agar barrier option tetap bernilai walaupun nilai barrier telah dilampaui, maka diperlukan biaya khusus yang harus dibayarkan bila harga saham telah melampaui nilai barrier. Biaya khusus ini dikenal dengan istilah rebate yang juga dapat juga diartikan sebagai kompensasi yang diberikan kepada holder atas pembatalan option.


23

Dengan argumen keuangan, diperoleh kesimpulan bahwa hanya ada satu dari dua tipe barrier option (knock-out dan knock-in) yang menghasilkan payoff positif di akhir periode, dan payoff tersebut besarnya sama dengan payoff vanilla option. Oleh karena itu, dengan mengasumsikan tidak ada pembayaran rebate, maka diperoleh suatu hubungan yang disebut out-in barrier parity yaitu sebagai berikut:

cvanilla = cdown − and −out + cdown− and −in pvanilla = pup − and −out + pup − and −in

(2.2.1)

2.3 Metode Beda Hingga Metode beda hingga merupakan metode numerik yang paling dikenal dalam mencari suatu solusi dari persamaan diferensial parsial. Pada dasarnya, metode beda hingga adalah mengubah setiap turunan dengan suatu perbandingan selisih. Dalam metode beda hingga ada 3 jenis hampiran yang sudah cukup dikenal yaitu : 1. Forward difference (beda maju) Menurut deret taylor : 1 u ( x + Δx ) = u ( x ) + u ' ( x ) Δx + u '' ( x ) Δx 2 + ... 2

(2.3.1)

sehingga 1 u ' ( x ) Δx = u ( x + Δx ) − u ( x ) − u '' ( x ) Δx 2 + ... 2 u ( x + Δx ) − u ( x ) u '( x) = + O ( Δx ) Δx Hampiran dengan forward difference memiliki akurasi O ( Δx ) 2. Backward Difference (beda mundur) Menurut deret taylor : 1 u ( x − Δx ) = u ( x ) − u ' ( x ) Δx + u '' ( x ) Δx 2 + ... 2

sehingga

(2.3.2)


24

1 u ' ( x ) Δx = u ( x ) − u ( x − Δx ) + u '' ( x ) Δx 2 + ... 2 u ( x ) − u ( x − Δx ) u '( x) = + O ( Δx ) Δx Hampiran dengan backward difference memiliki akurasi O ( Δx ) . 3. Central difference (beda pusat) Central difference merupakan gabungan dari forward difference dan backward difference. Jika persamaan (2.3.1) ditambah dengan persamaan (2.3.2) akan didapat : u ( x + Δx ) − u ( x − Δx ) = 2u ' ( x ) Δx + 2.

1 u '' ( x ) Δx 3 + ... 3!

sehingga 2u ' ( x ) Δx = u ( x + Δx ) − u ( x − Δx ) − 2. u '( x) =

1 u '' ( x ) Δx3 + ... 3!

u ( x + Δx ) − u ( x − Δx ) + O ( Δx 2 ) 2Δx

Sebaliknya, jika persamaan (2.3.1) ditambah dengan persamaan (2.3.2) akan didapat :

1 1 u ( x + Δx ) + u ( x − Δx ) = 2u ( x ) + 2. u '' ( x ) Δx 2 + 2. u '''' ( x ) Δx 4 + ... 2 4!

sehingga : u '' ( x ) Δx 2 = u ( x + Δx ) − u ( x − Δx ) − 2u ( x ) − 2. u '' ( x ) =

1 u '''' ( x ) Δx 4 + ... 4!

u ( x + Δx ) + u ( x − Δx ) − 2u ( x ) + O ( Δx 2 ) 2 Δx

Hampiran dengan central difference memiliki akurasi O ( Δx 2 ) .

Dalam mencari suatu solusi dari persamaan diferensial parsial (PDP), pertamatama akan dibentuk persaman beda hingga dari PDP tersebut. Persamaan beda hingga dibentuk untuk menghampiri PDP tersebut.

BAB 2 Materi Penunjang

Recommend Documents