PENENTUAN HEDGE RATIO UNTUK OPSI CALL DAN OPSI PUT TIPE EROPA DENGAN MENGGUNAKAN MODEL BLACK-SCHOLES
GITA ANDRIANI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
ABSTRACT GITA ANDRIANI. Determination of Hedge Ratio for European Call and Put Option with BlackScholes Model. Supervised by DONNY CITRA LESMANA and RETNO BUDIARTI. One of the alternative investment that offered in the world market is derivative product. A derivative product, such as option, represents a financial instrument which value is based on certain asset value which is called underlying asset. Option is a contract between two parties (the holder and the seller) where the holder has the right to buy or sell the underlying asset by a certain date for a certain price. This paper will study European option calculated by using Black-Scholes model to obtain value of call and put option. One of the usefulness of Black-Scholes formula is as a mean to control the risk of portfolio. Generally, the technique to control the risk is called sensitivity of option value (Greeks). Greeks consist of delta, gamma, theta, vega, and rho. In this paper, we only examine delta hedging to obtain the portfolio that replicate option price.
ABSTRAK GITA ANDRIANI. Penentuan Hedge Ratio untuk Opsi Call dan Opsi Put Tipe Eropa dengan Menggunakan Model Black-Scholes. Dibimbing oleh DONNY CITRA LESMANA dan RETNO BUDIARTI. Salah satu investasi alternatif yang ditawarkan di bursa dunia adalah produk derivatif. Produk derivatif merupakan suatu instrumen keuangan yang nilainya bergantung pada nilai aset yang mendasarinya. Salah satu dari produk derivatif adalah opsi. Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga dan waktu yang telah ditentukan. Pada karya ilmiah ini akan dibahas opsi tipe Eropa yang dihitung dengan menggunakan model Black-Scholes sehingga diperoleh nilai opsi call dan opsi put. Salah satu kegunaan formula Black-Scholes ini adalah sebagai alat untuk mengendalikan risiko (hedging) dalam suatu opsi pada portofolio. Teknik untuk mengendalikan risiko secara umum dikatakan sebagai sensitivitas nilai opsi (Greeks). Greeks ini terdiri atas delta, gamma, theta, vega, dan rho. Pada karya ilmiah ini, Greeks yang digunakan berupa delta hedging untuk memperoleh portofolio yang mereplikasi harga opsi dengan cukup baik.
PENENTUAN HEDGE RATIO UNTUK OPSI CALL DAN OPSI PUT TIPE EROPA DENGAN MENGGUNAKAN MODEL BLACK-SCHOLES
GITA ANDRIANI
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPERTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
Judul : Penentuan Hedge Ratio untuk Opsi Call dan Opsi Put Tipe Eropa dengan Menggunakan Model Black-Scholes Nama : Gita Andriani NRP : G54050740
Disetujui
Pembimbing I
Pembimbing II
Donny Citra Lesmana, S.Si., M.Fin.Math. NIP. 19790227 200501 1 001
Ir. Retno Budiarti, MS. NIP. 19610729 198903 2 001
Diketahui
Dr. Drh. Hasim, DEA NIP 19610328 198601 1 002 Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Tanggal Lulus:
KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT karena atas rahmat dan karunian-Nya penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Penentuan Hedge Ratio untuk Opsi Call dan Opsi Put Tipe Eropa dengan Menggunakan Model Black-Scholes. Penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. bapak Donny Citra Lesmana, S.Si., M.Fin.Math selaku dosen pembimbing I yang telah sabar memberikan bimbingan, saran, dan kritik sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan dengan baik; 2. ibu Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing II yang telah sabar memberikan bimbingan, saran, dan kritik sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan dengan baik; 3. ibu Dr.Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS. selaku moderator dalam seminar dan dosen penguji atas waktu luangnya dan kesediaan memeriksa abstrak penulis; 4. seluruh dosen Departemen Matematika atas semua ilmu yang telah bapak dan ibu berikan kepada penulis; 5. keluargaku tercinta: Anwar Hamid (Almarhum papa) walaupun beliau telah tiada tetapi kasih sayangmu masih ku rasa. Harnidati (mama) sang wonder women yang telah memberikan doa, kasih sayang, didikan, dan kerja kerasnya untuk menyekolahkan putrimu ini sedari kecil, jasamu takkan ku lupa “I Love You, Mama”. Kakak-kakakku Hardiansyah (bang ian) dan Yerri Purwa Anwar (bang Yerri) terima kasih atas doa, nasehat dan bantuannya; 6. nyantanku (Dahlan Mas) dan nenekku (Nurjani) atas doa,perhatian dan bantuannya; 7. staf tata usaha Departemen Matematika: ibu Ade, pak Yono, mas Bono, mas Heri, dan mas Deni terima kasih atas bantuannya dalam memperlancar administrasi akademik bagi penulis di departemen Matematika; 8. ibu Susi terima kasih atas doa, nasehat, dan pinjaman bukunya; 9. Ritawati dan Hesti Lestari, teman satu bimbingan, seperjuangan, senasib, dan sepenanggungan penulis terima kasih atas doa, bantuan, dan semangatnya; 10. ibu Otonk, ibu Jena, dan ibu Vita yang telah bersedia menjadi pembahas dalam seminar tugas akhir penulis; 11. kakak-kakak kelas dan adik-adik kelas yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu terimakasih atas doa dan dukungannya; 12. ibu Ryu dan ibu tongki, terimakasih atas tumpangan gratisnya selama ini; 13. anak-anak PF: Rian, Octa, Vita, Hikmah, dan Luri yang telah mengizinkan penulis mengacak-acak kostannya; 14. ibu Pera atas bantuan dan kesediaannya mengajari penulis; 15. pak pake y, pak ilie, dan mas Warno atas bantuan, dan kesabarannya memberikan waktu luang kepada penulis dan teman-teman untuk mengajari mata kuliah sebelum ujian; 16. teman-teman angkatan 42: Yusep, Fachri, Eko (Komti), Mega, Ida, Die2, Siti, Wiwi, Erlin, Niken , Nyoman, Lisda, Nola, mba Vin, Pipit, Lina, Tia, Rima, Agnes, Ricken, Zil, Achy, Nofita, Titi, Eyyi, Lela, Mira, Oby, Dewi, Hap2, Ety, Yuni, Ayu, Ocoy, Iputh, Bayu, Mocco, mas Ayeep, Herry, Rendy, Djawa, Danu, Sapto, Septian, Yudi, Dendy, Bima, Acuy, Awi, Qnun, Ridwan, dan kak Muchtar atas doa, dukungan dan kebersamaannya selama ini; 17. teman-teman kostan Pondok Indah: Ika (teman sekamarQ), Yurin, Linda, Nadia, Upie, Kiki, Lie, Yuni, Eno, Atus, Venty, Nining, mba nopeh, mba Us, mba fufa,mba Anti, mba Tari, mba Yanti, Lia, Ade, Ayu, Zatil, Dian dan lainnya atas doa dan kebersamaannya selama 3 tahun menetap di Pondok Indah; 18. Teteh dan Aa yang telah menjaga dan membantu anak-anak Pondok Indah; 19. akhirnya penulis mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang ikut membantu dan tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Penulis menyadari karya ilmiah ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, dibutuhkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, September 2009
Gita Andriani
RIWAYAT HIDUP Gita Andriani dilahirkan di Jakarta pada tanggal 12 Februari 1987 sebagai anak ketiga dari tiga bersaudara, dari pasangan Anwar Hamid dan Harnidati. Penulis memulai pendidikan di TK AlIstiqomah pada tahun 1992, kemudian melanjutkan ke SD Negeri Curug V Cimanggis pada tahun 1993. Pada tahun 2002, penulis menamatkan pendidikan tingkat pertama di SLTP Negeri 91 Jakarta dan pada tahun yang sama, diterima di SMA Negeri 58 Jakarta. Pada tahun 2005, penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor (USMI). Penulis memilih Program Studi Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam angkatan 42. Selama menjalani perkuliahan, penulis pernah mengikuti beberapa kegiatan kepanitiaan yang diselenggarakan oleh Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) IPB. Beberapa kepanitian diantaranya adalah kepanitian dalam Try Out SPMB, Matematika Ria pada tahun 2007, WCM pada tahun 2007, Ramah Tamah Civitas Matematika (RATACI) pada tahun 2007 dan sebagainya. Dalam mengamalkan ilmu yang didapat, penulis pernah menjadi pengajar private di rumah pada tahun 2004 dan 2008.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ........................................................................................................ viii DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................................... viii I
II
III
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ...........................................................................................................
1
1.2 Tujuan Penulisan .......................................................................................................
1
1.3 Sistematika Penulisan ................................................................................................
1
LANDASAN TEORI 2.1 Proses Stokastik .........................................................................................................
2
2.2 Gerak Brown ..............................................................................................................
2
2.3 Proses Wiener ............................................................................................................
2
2.4 Proses Itô ....................................................................................................................
2
2.5 Model untuk Harga Saham ........................................................................................
3
2.6 Persamaan Diferensial Stokastik (PDS) dari Harga Saham .......................................
3
2.7 Definisi, Notasi, dan Asumsi Opsi .............................................................................
3
2.8 Penilaian Opsi ............................................................................................................
4
2.9 Greeks ........................................................................................................................
5
PEMBAHASAN 3.1 Opsi Tipe Eropa .........................................................................................................
6
3.2 Model Black-Scholes untuk Opsi Tipe Eropa ............................................................
6
3.3 Pengertian Rasio Lindung Nilai (Hedge Ratio) atau Delta ........................................
7
3.4 Ilustrasi dari Model Black-Scholes ..............................................................................
8
IV SIMPULAN DAN SARAN ..............................................................................................
12
V
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................................
13
LAMPIRAN .....................................................................................................................
14
DAFTAR GAMBAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Halaman Diagram payoff opsi call tipe Eropa ............................................................................... 5 Diagram payoff opsi put tipe Eropa ............................................................................... 5 Diagram delta untuk opsi call tipe Eropa ...................................................................... 7 Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa ....................................................................... 8 8 Diagram payoff opsi call tipe Eropa K = 40 ................................................................ 9 Diagram payoff opsi put tipe Eropa K = 40 ................................................................. Diagram delta untuk opsi call tipe Eropa K = 40 ......................................................... 9 11 Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa K = 40 ......................................................... Harga saham vs waktu ................................................................................................... 12 Delta hedging harga opsi vs nilai portofolio .................................................................. 12
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Bukti Lema 1 ................................................................................................................. Bukti Teorema 2.1 ........................................................................................................ Bukti Teorema 2.2 ........................................................................................................ Bukti Teorema 2.3 ........................................................................................................ Bukti Teorema 3.1 ........................................................................................................ Bukti Teorema 3.2 ........................................................................................................ Bukti Teorema 3.3 ........................................................................................................ Bukti Teorema 3.4 ......................................................................................................... Bukti Teorema 3.5 ......................................................................................................... Tabel Portofolio Replikasi .............................................................................................
15 18 19 20 21 25 25 26 27 28
2
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Menurut Sharpe et al (1993), investasi adalah mengorbankan aset yang dimiliki sekarang guna mendapatkan aset pada masa mendatang yang tentu saja dengan jumlah yang lebih besar. Investasi dalam bidang keuangan berkaitan dengan aset-aset keuangan, seperti investasi pada saham, obligasi, dan aset-aset keuangan lainnya. Investasi di bursa saham merupakan bentuk investasi penuh risiko yang membuat investor berhati-hati dalam menginvestasikan dananya. Hal tersebut menjadi salah satu faktor munculnya sarana alternatif untuk berinvestasi. Salah satu investasi alternatif yang ditawarkan di berbagai bursa dunia adalah produk derivatif. Produk derivatif merupakan suatu instrumen keuangan yang nilainya bergantung pada nilai aset yang mendasarinya. Aset yang mendasari opsi dapat berupa saham, emas, mata uang asing, indeks saham, dan lain-lain. Produk derivatif dapat digunakan sebagai instrumen untuk mengelola risiko dan spekulasi, serta untuk mengurangi biaya transaksi atau untuk menghindari pajak. Salah satu dari produk derivatif adalah opsi. Perdagangan opsi terbesar dan pertama kali dikembangkan adalah di CBOE (Chicago Board Options Exchage), USA pada tahun 1973, dan telah mencapai sukses luar biasa dengan total perdagangan sebanyak 16 saham. Dalam lima tahun, para pemodal melakukan perdagangan opsi mencapai lebih dari 10 juta lembar per hari (Brealey and Myers, 1991). Sejarah mengenai teori penilaian opsi di mulai pada tahun 1900, yaitu pada saat seorang matematikawan Perancis, Louis Bachelier, menghasilkan formula penilaian opsi. Formula Bachelier ini memiliki kelemahan karena didasarkan pada asumsi yang kurang realistis yaitu adanya tingkat suku bunga nol dan harga saham bernilai negatif. Formula ini kemudian diperbaiki oleh peneliti lain, diantaranya Case Sprenkle, James Boness dan Paul Samuelson yang menggunakan asumsi bahwa harga saham memiliki distribusi log normal (hal ini
menjamin bahwa harga saham selalu bernilai positif) dan tingkat suku bunga tidak nol. Pada masa sebelum tahun 1973, usaha penilaian opsi didasarkan pada penentuan premi risiko atau besarnya risiko dari tingkat pengembalian harga saham. Penentuan premi risiko tidaklah mudah karena premi risiko tidak hanya menggambarkan risiko pada perubahan harga saham, namun mengikutsertakan pula perilaku investor terhadap risiko. Untuk mengatasi masalah ini, pada tahun 1973, Fisher Black dan Myron Scholes telah berhasil menyelesaikan masalah tentang penilaian opsi. Hasil kerja Fisher Black dan Myron Scholes dikenal dengan model Black-Scholes. Salah satu kegunaan formula BlackScholes ini adalah sebagai alat untuk mengendalikan risiko (hedging) dalam suatu opsi pada portofolio. Teknik untuk mengendalikan risiko secara umum dikatakan sebagai sensitivitas nilai opsi (Greeks). Greeks ini terdiri atas delta, gamma, theta, vega, dan rho. 1.2 Tujuan Penulisan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah sebagi berikut: 1. Menganalisis model Black-Scholes untuk menentukan nilai opsi call dan opsi put tipe Eropa. 2. Menganalisis model Black-Scholes untuk menentukan hedge ratio dari opsi tipe Eropa. 1.3 Sistematika Penulisan Pada bab satu diberikan latar belakang dari permasalahan penentuan hedge ratio untuk opsi call dan opsi put tipe Eropa. Pada bab dua diberikan landasan teori yang akan digunakan sebagai dasar pengerjaan karya ilmiah. Sedangkan pada bab tiga akan diberikan model Black-Scholes untuk opsi call dan opsi put tipe Eropa dan pengertian dari rasio lindung nilai (hedge ratio) serta model Black-Scholesnya. Pada bab empat akan diberikan kesimpulan yang diperoleh selama penulisan karya ilmiah ini. Pada bab terakhir akan diberikan daftar pustaka.
II. LANDASAN TEORI Bab ini berisi teori yang menjadi dasar pengerjaan karya ilmiah. Pada bagian pertama sampai dengan bagian kelima disajikan proses stokastik, gerak Brown, proses Wiener, proses
Itô, aplikasi proses stokastik untuk harga saham dan persamaan diferensial parsial dari harga saham. Pada bagian ketujuh sampai dengan bagian terakhir disajikan definisi,
2
notasi, asumsi mengenai opsi, penilaian opsi, dan Greeks.
Definisi 5 (Proses stokastik) Proses stokastik X = { X (t ), t ∈ T}
2.1 Proses Stokastik Proses stokastik digunakan sebagai model matematika untuk mewakili suatu peubah yang nilainya berubah secara acak menurut waktu. Untuk memahami proses stokastik diperlukan definisi berikut.
suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S .
Definisi 1 (Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan Ω . [Grimmett dan Stirzaker, 2001] Definisi 2 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω . [Grimmett dan Stirzaker, 2001] Definisi 3 (Medan- σ ) yang Medan- σ adalah himpunan anggotanya merupakan himpunan bagian dari ruang contoh Ω yang memenuhi syaratsyarat berikut: 1. ∅ ∈ - . 2.
Jika A ∈ - maka A ∈ - , dengan A menyatakan komplemen dari himpunan A. c
c
∞
3.
Jika A1 , A2 , A3 , … ∈ - , maka ∪ Ai ∈ - . i =1
[Hogg et al, 1995] Definisi 4 (Ukuran Peluang) Ukuran peluang P pada ruang ukuran (Ω, - ) adalah fungsi P : - → [0,1] yang memenuhi: 1. P(∅) = 0, P(Ω) = 1 .
2. Jika
A1 , A2 , A3 , …
adalah
dengan i ≠ j maka:
( )
∞
i =1
i =1
2.2 Gerak Brown Proses stokastik X = { X (t ), t ∈ T} disebut gerak Brown jika: 1. X (0) = 0 . 2. Untuk 0 < t1 < t2 < … < tn , peubah acak
X (ti ) − X (ti −1 ), i = 1, 2, … , n
saling
bebas. 3. Untuk t > 0, X (t ) berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian
σ t. 2
2.3 Proses Wiener Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan varian 1. Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut:
dX (t ) = adt + bdW (t )
(1)
adt disebut sebagai komponen deterministik bdW (t ) menyatakan komponen dan
stokastik, serta W (t ) adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing menyatakan drift rate dan variance rate dari X. Untuk proses stokastik yang didefinisikan pada ruang probabilitas (Ω, F , P ) berlaku hal berikut: Misalkan W (t ) adalah proses Wiener pada (Ω, F , P ) . Integral stokastik adalah proses stokastik X (t ) dengan bentuk:
himpunan
anggota-anggota - yang saling lepas, yaitu Ai ∩ A j = ∅ , untuk setiap i, j
∞
adalah
P ∪ Ai = ∑ P ( Ai ) . Pasangan (Ω, - , P) disebut dengan ruang peluang (probability space). [Grimmett dan Stirzaker, 2001] Proses stokastik didefinisikan sebagai berikut.
t
X (t ) = X (0) + ∫0 a ( X ( s ), s ) ds t
+ ∫0 b ( X ( s ), s ) dW ( s ).
(2)
2.4 Proses Itô Proses Itô adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak X dan waktu t . Proses Itô dapat dinyatakan sebagai berikut: dX (t ) = a ( X (t ), t ) dt + b( X (t ), t ) dW (t )
(3)
3
Lema 1 (Lema Itô) Misalkan proses X (t ) memenuhi persamaan (3) dan fungsi Y (t ) = g ( X (t ), t ) adalah kontinu
serta
turunan-turunan
g X ( X (t ), t ) ,
gt ( X (t ), t ) ,
g XX ( X (t ), t ) kontinu, maka
Y (t ) = g ( X (t ), t )
memenuhi
persamaan
berikut:
dY (t ) = gt ( X (t ), t )dt + g x ( X (t ), t )dX (t ) +
1 2
g xx ( X (t ), t )(dX (t ))
2
(4)
Perubahan nilai S (t ) tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan lema Itô. Misalkan diberikan suatu peubah Y (t ) yang bergantung pada peubah harga saham S (t ) dan waktu t . Berdasarkan Hull (1997), apabila harga saham S (t ) mengikuti model saham (5), maka bentuk PDS untuk Y (t ) ditentukan oleh teorema berikut:
dengan
Teorema 2.1 Misalkan diberikan Y (t ) = g ( S (t ), t ) dengan
dg dg d 2g gt = , gX = , g XX = dt dX dX 2
t ∈ [ 0, ∞ )
dan S (t )
memiliki diferensial
stokastik (5), maka persamaan diferensial stokastik bagi fungsi Y (t ) dapat dinyatakan dalam bentuk:
dan
(dt ) = dW (t )dt = dtdW (t ) = 0 2
( dW (t )) = dt 2
⎛
∂g
⎝
∂S
dY (t ) = ⎜ μ S (t )
Bukti: lihat Lampiran 1. 2.5 Model untuk Harga Saham Harga saham yang berubah secara acak menurut waktu diasumsikan sebagai suatu proses stokastik. Selain itu diasumsikan tidak ada pembayaran dividen atas saham. Misalkan X (t ) mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan (1). Persamaan ini dapat dikembangkan menjadi persamaan (2). Selanjutnya akan ditentukan model dari proses harga saham S . Misalkan S (t ) adalah harga saham pada waktu t . Mengingat proses Itô, perubahan S (t ) akan memiliki nilai harapan drift rate μ S . Parameter μ menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan μ S (t )dt disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah σ S (t )dW (t ) , dengan σ menyatakan volatilitas harga saham. Volatilitas harga saham mengindikasikan tingkat risiko dari harga saham. Dengan demikian model dari harga saham dapat dinyatakan sebagai berikut:
dS (t ) = μ S (t )dt + σ S (t )dW (t )
2.6 Persamaan Diferensial Stokastik (PDS) dari Harga Saham Pada bagian ini diberikan bentuk PDS bagi suatu peubah yang nilainya bergantung pada harga saham S (t ) dan waktu t .
(5)
+ σ S (t )
∂g ∂S
+
1 2 2 ∂ g⎞ dt + σ S (t ) 2⎟ ∂t 2 ∂S ⎠
∂g
2
(6)
dW (t )
[Hull, 1997]
Bukti: lihat Lampiran 2. 2.7 Definisi, Notasi, dan Asumsi Opsi Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikembangkan adalah opsi. Untuk lebih memahami bagian ini, didefinisikan beberapa hal yang perlu diperhatikan. Definisi 6 Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan, pada atau sebelum waktu yang telah ditentukan. Menurut jenisnya opsi terbagi dua, yaitu opsi call dan opsi put. Definisi 7 Opsi call adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli aset yang mendasari pada harga tertentu dan jangka waktu tertentu.
4
Opsi put adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual aset yang mendasari pada harga tertentu dan jangka waktu tertentu. Menurut waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi tipe Eropa dan opsi tipe Amerika. Opsi tipe Eropa adalah opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat kontrak jatuh tempo. Sedangkan opsi tipe Amerika adalah opsi yang dapat dieksekusi sebelum kontrak jatuh tempo. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas opsi tipe Eropa. Definisi 8 Nilai opsi adalah besarnya biaya yang dikeluarkan oleh seorang investor untuk mendapatkan kontrak opsi dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat. [Wilmott et al, 1996]
Ada beberapa hal yang mempengaruhi nilai opsi, yaitu: 1. Harga saham saat ini (S0) 2. Harga eksekusi (K), yang merupakan harga jual atau beli saham yang tercantum dalam kontrak opsi (harga exercise atau harga strike). 3. Waktu jatuh tempo (T). 4. Volatilitas dari harga saham (σ), yang merupakan sebuah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan saham di masa yang akan datang. 5. Tingkat suku bunga (r). 6. Dividen yang dibayarkan atas saham. Dalam merumuskan nilai opsi, Fisher Black dan Myron Scholes (1973) menggunakan beberapa asumsi, sebagai berikut: 1. Sebaran harga saham adalah lognormal dan varian dari return pada saham adalah konstan. 2. Tipe opsi yang digunakan adalah tipe Eropa. 3. Tidak ada biaya transaksi untuk menjual atau membeli saham atau opsi. 4. Tidak ada pembayaran dividen pada saham. 5. Tidak ada kemungkinan terjadinya arbitrase. Arbitrase adalah tindakan membeli sekuritas yang berharga rendah di suatu pasar dan pada saat yang sama menjualnya dengan harga yang lebih tinggi di pasar yang berbeda sehingga memperoleh keuntungan tanpa risiko. 6. Investor diperbolehkan meminjam sejumlah dana untuk membeli saham pada tingkat suku bunga bank.
Tingkat suku bunga bebas risiko jangka pendek diketahui dan nilainya konstan. Harga saham diasumsikan sebagai proses stokastik dan berdasarkan asumsi 1, sebaran lognormal untuk harga saham dapat diketahui. Sehingga diperoleh teorema berikut:
7.
Teorema 2.2 Logaritma harga saham pada saat jatuh tempo mempunyai sebaran normal dengan:
⎛
2 σ ⎞
⎝
2 ⎠
rataan : μ = ln S0 + ⎜ r −
⎟T
dan varian : Var = σ T . 2
[Hull, 1997]
Bukti: lihat Lampiran 3. 2.8 Penilaian Opsi Dengan asumsi di atas, nilai opsi hanya bergantung pada harga saham, waktu, dan parameter lain yang nilainya konstan. Penilaian opsi merupakan suatu masalah yang berkembang cukup lama dalam finansial. Terdapat suatu riset yang memfokuskan mengenai ada atau tidaknya hubungan antara harga saham dan kontrak opsi yang tertulis pada saham tersebut. Masalah ini dipecahkan oleh Fisher Black dan Myron Scholes pada tahun 1973, yang kemudian modelnya dikenal dengan model Black-Scholes, sehingga diperoleh teorema berikut ini: Teorema 2.3 Misalkan V ( S , t ) menyatakan nilai opsi pada waktu t . Maka V memenuhi persamaan diferensial parsial Black-Scholes:
∂V
∂V
2
1 2 2∂V + σ S − rV = 0. (7) 2 ∂t ∂S 2 ∂S [Hull, 1997] Bukti: lihat Lampiran 4. + rS
Pada waktu opsi call jatuh tempo, apabila ST > K maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor memperoleh keuntungan sebesar ST − K . Sebaliknya apabila ST ≤ K pada saat jatuh tempo, maka pemegang kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh kerugian sebesar
5
K − ST . Untuk kondisi ini opsi tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi call pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak sebagai berikut: c = max( ST − K , 0) .
p = max( K − ST , 0) .
(9)
Payoff Opsi Put (p )
(8)
Payoff Opsi Call (c )
Harga Strike (K )
Harga Saham (S T )
Gambar 2 Diagram payoff opsi put tipe Eropa
Harga Strike (K )
Harga Saham (S T )
Gambar 1 Diagram payoff opsi call tipe Eropa Begitu juga pada waktu opsi put jatuh tempo, apabila ST < K maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor memperoleh keuntungan sebesar K − ST . Sebaliknya apabila ST ≥ K pada saat jatuh tempo, maka pemegang kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh kerugian sebesar ST − K . Untuk kondisi ini opsi tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi put pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak sebagai berikut:
2.9 Greeks Salah satu kegunaan formula BlackScholes ini adalah sebagai alat untuk mengendalikan risiko (hedging) dalam suatu opsi pada portfolio. Dalam setiap mengukur nilai pasar dari setiap portofolio dipengaruhi oleh perubahan-perubahan dari beberapa variabel seperti harga yang mendasari, volatilitas, tingkat suku bunga dan waktu. Teknik mengendalikan risiko ini secara umum dikatakan sebagai sensitivitas nilai opsi (Greeks). Greeks ini terdiri atas delta, gamma, theta, vega, dan rho. Delta adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap harga saham. Gamma adalah tingkat perubahan delta untuk suatu nilai opsi terhadap harga saham. Theta adalah tingkat perubahan ratarata nilai opsi terhadap waktu. Vega adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap volatilitas. Sedangkan Rho adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap suku bunga. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas delta.
III. PEMBAHASAN Dalam bab ini akan dijelaskan model Black-Scholes yang digunakan untuk menentukan rasio lindung nilai (hedge ratio) pada opsi tipe Eropa. Pada bagian pertama akan diberikan komponen-komponen yang dimiliki oleh nilai opsi tipe Eropa. Pada bagian kedua diberikan model BlackScholes yang digunakan untuk menghitung nilai opsi call dan opsi put tipe Eropa.
Selain untuk menghitung nilai opsi tipe Eropa, model Black-Scholes juga digunakan sebagai alat untuk mengendalikan risiko (hedging). Pada bagian ketiga akan dijelaskan salah satu teknik untuk mengendalikan risiko, yaitu dengan rasio lindung nilai berupa delta hedging. Sedangkan pada bagian terakhir akan diberikan ilustrasi dari opsi.
6
3.1 Opsi Tipe Eropa Opsi tipe Eropa hanya dapat dieksekusi pada tanggal jatuh tempo dari opsi. Nilai opsi tipe Eropa mempunyai tiga komponen: 1. Nilai intrinsik 2. Nilai waktu uang pada harga eksekusi (harga strike) 3. Nilai asuransi Komponen pertama adalah suatu nilai nyata dari premi sebuah opsi, yang merupakan selisih antara harga strike dan harga saham saat ini. Nilai intrinsik pada opsi call adalah harga saham saat ini dikurangi harga strike, sedangkan nilai intrinsik pada opsi put adalah harga strike dikurangi harga saham saat ini. Suatu opsi yang mempunyai nilai intrinsik positif disebut in-the-money, sedangkan jika selisihnya adalah negatif maka nilai intrinsik dianggap nol dan ini disebut out-of-themoney. Komponen kedua adalah harga yang bersedia dibayar oleh pembeli opsi dengan didasarkan pada prediksi pembeli atas kemungkinan dari pergerakan harga aset acuan ke arah yang menguntungkan pembeli opsi (suatu nilai yang melebihi harga kesepakatan). Nilai waktu ini berhubungan langsung dengan sisa waktu yang dimiliki oleh suatu opsi sebelum tanggal jatuh temponya. Komponen ketiga adalah yang paling utama dalam membedakan suatu opsi dari aset keuangan lainnya dan mengukur keuntungan atau kerugian dari posisi opsi, dengan kerugian yang terbatas pada harga opsi. 3.2Model Black-Scholes untuk Opsi Tipe Eropa Untuk menghitung opsi tipe Eropa dapat digunakan model Black-Scholes sehingga diperoleh nilai dari opsi call dan opsi put. Model Black-Scholes untuk opsi call tipe Eropa pada saham yang tidak membayarkan dividen diberikan dalam teorema berikut: Teorema 3.1 Model Black-Scholes untuk opsi call tipe Eropa diberikan oleh: c = S 0 N ( d1 ) − Ke
− rT
N (d 2 )
(10)
dan d2 =
ln( S0 K ) + ( r − σ 2 2 )T
σ T
(12)
dengan
c
= harga opsi call tipe Eropa
S0
= harga saham saat ini
K
= harga strike = tingkat suku bunga bebas risiko = jangka waktu berlakunya opsi = volatilitas dari harga saham = fungsi distribusi kumulatif normal
r T
σ N ( x)
baku, dengan x = d1 , d2 1
− y 1 x N ( x) = (13) ∫−∞ e 2 dy . 2π [Hull, 1997] Bukti: lihat Lampiran 5. 2
Dari definisi dapat dilihat bahwa opsi call dan opsi put mempunyai perilaku yang bertolak belakang. Opsi call dan opsi put dapat dikombinasikan dalam suatu bentuk korelasinya yang sangat dekat. Hal ini diperlihatkan dalam teorema berikut.
Teorema 3.2 (Put-call parity) Konsep harga opsi yang menghubungkan nilai dari opsi call dan opsi put dinyatakan sebagai put-call parity dan memenuhi persamaan: S 0 + p − c = Ke
− rT
.
(14)
[Hull, 1997] Bukti: lihat Lampiran 6. Dengan menggunakan konsep put-call parity, jika nilai opsi call telah diketahui maka nilai opsi put juga dapat ditentukan. Sehingga diperoleh teorema berikut.
Teorema 3.3 Model Black-Scholes untuk opsi put tipe Eropa diberikan oleh: p = Ke
− rT
N ( − d 2 ) − S 0 N ( − d1 )
(15)
dengan d1 =
ln( S0 K ) + ( r + σ 2 2 )T
σ T
dengan d1 dan d2 seperti pada persamaan (11)
(11) dan (12).
[Hull, 1997] Bukti: lihat Lampiran 7.
7
3.3Pengertian Rasio Lindung Nilai (Hedge Ratio) atau Delta Rasio lindung nilai (delta) adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap harga saham. Berdasarkan definisi dan dengan menggunakan model Black-Scholes, didapat rasio lindung nilai (delta) sebagai berikut: Δ=
Delta Opsi Call (Δ c )
1
∂V ∂S 0
Harga Saham (S )
0 Harga Strike (K )
T
dengan V adalah total nilai opsi dalam portofolio, yaitu jumlah semua nilai opsi dalam portofolio. Rasio lindung nilai (delta) berhubungan dengan analisis Black-Scholes. Black-Scholes menunjukkan bahwa ada kemungkinan membuat portofolio yang bebas risiko yang terdiri atas opsi dan saham. Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call tipe Eropa didapat dengan menggunakan nilai opsi call tipe Eropa dalam teorema 3.1, sehingga diperoleh teorema berikut.
Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi call. Sedangkan rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put tipe Eropa didapat dengan menggunakan teorema 3.2, sehingga diperoleh teorema berikut.
Teorema 3.4 Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call tipe Eropa diberikan oleh:
Teorema 3.5 Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put tipe Eropa diberikan oleh:
Δc = N (d1 ) dengan
N (d1 )
adalah
Gambar 3 Diagram delta untuk opsi call tipe Eropa
Δ p = N ( d1 ) − 1
(16) fungsi
kumulatif normal baku dengan
distribusi
d1 seperti
dengan
N (d1 )
ln( S 0 / K ) + ( r + σ / 2)T
kumulatif normal baku dengan
distribusi
d1 seperti
ln( S 0 / K ) + ( r + σ / 2)T 2
2
σ T
fungsi
persamaan (10), yaitu:
persamaan (10), yaitu: d1 =
adalah
.
d1 =
σ T
.
[Hull, 1997]
[Hull, 1997] Bukti: lihat Lampiran 8.
Bukti: lihat Lampiran 9.
Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call nilainya selalu positif, yaitu 0 ≤ Δc ≤ 1 . Ini
Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put nilainya selalu negatif, yaitu −1 ≤ Δ p ≤ 0 .
dikarenakan peningkatan harga aset underlying akan mempengaruhi peningkatan harga opsi call, sehingga dapat dimengerti bahwa meningkatnya aset underlying akan meningkatkan peluang nilai payoff positif.
8
d 2 = d1 − σ T = 0.6278
Delta Opsi Put (Δ p ) 0
Harga Saham (S )
Harga Strike (K )
T
sehingga
N (0.7693) = 0.7792
N (0.6278) = 0.7350 \ dan
Ke − rT = 40e −0.1×0.5 = 38.049 .
-1
Gambar 4 Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi put.
3.4
Ilustrasi dari Model Black-Scholes Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas mengenai opsi call tipe Eropa, put-call parity, opsi put tipe Eropa, delta untuk opsi call tipe Eropa dan delta untuk opsi put tipe Eropa, perhatikan ilustrasi berikut: 1.
Opsi call tipe Eropa Misalkan pada tanggal 12 Pebruari 2009 investor A dan B membuat perjanjian kontrak opsi call. Dalam kontrak disebutkan bahwa A mempunyai hak untuk membeli saham dari B seharga $40 dengan masa berlaku kontrak tersebut 6 bulan, yaitu jatuh tempo pada 12 Agustus 2009 dengan harga saham sebesar $42 . Misalkan pula suku bunga 10% dan volatilitas dari harga saham 20% . Dari ilustrasi tersebut, diperoleh nilai-nilai parameter sebagai berikut: S 0 = 42
K = 40
r = 0.1
c = S 0 N ( d1 ) − Ke − rT N ( d 2 ) = (42 × 0.7792) − (38.049 × 0.7350) = 4.76.
Payoff Opsi Call 50 40 30 20 10 0
20
40
60
80
100
ST
Gambar 5 Diagram payoff opsi call tipe Eropa untuk K = 40 . Dari diagram dapat dilihat bahwa pada ST > K maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor memperoleh keuntungan sebesar ST − K .
2. Put-call parity Dari ilustrasi pada opsi call tipe Eropa, harga opsi put tipe Eropa yang dihitung dengan menggunakan persamaan (14) put-call parity akan menjadi sebesar:
σ = 0.2 T = 0.5 2
d1 =
Maka harga opsi call tipe Eropa yang dihitung menggunakan persamaan (10) menjadi:
ln(42 / 40) + (0.1 + 0.2 / 2)0.5 0.2 0.5
= 0.7693
p = c − S 0 + Ke − rT = 4.76 − 42 + 38.049 = 0.81.
9
3. Opsi put tipe Eropa Misalkan pada tanggal 12 Pebruari 2009 investor A dan B membuat perjanjian kontrak opsi put. Dalam kontrak disebutkan bahwa A mempunyai hak untuk membeli saham dari B seharga $40 dengan masa berlaku kontrak tersebut 6 bulan, yaitu jatuh tempo pada 12 Agustus 2009 dengan harga saham sebesar $42 . Misalkan pula suku bunga 10% dan volatilitas dari harga saham 20% . Dari ilustrasi tersebut, diperoleh nilai-nilai parameter sebagai berikut:
Payoff Opsi Put 50 40 30 20 10
S0 = 42
0
r = 0.1
σ = 0.2
60
80
100
ST
akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh kerugian sebesar ST − K .
T = 0.5 2
ln(42 / 40) + (0.1 + 0.2 / 2)0.5
= 0.7693
0.2 0.5
d 2 = d1 − σ T = 0.6278 Sehingga
N ( − 0.6278) = 0.2650 N ( − 0.7693) = 0.2208 dan
Ke − rT = 40e −0.1×0.5 = 38.049 . Maka harga opsi put tipe Eropa yang dihitung menggunakan persamaan (15) menjadi:
p = Ke − rT N ( − d 2 ) − S0 N ( − d1 ) = (38.049 × 0.2650) − (42 × 0.2208) = 0.81.
40
Gambar 6 Diagram payoff opsi put tipe Eropa K = 40 . Dari diagram dapat dilihat bahwa pada ST ≥ K maka pemegang kontrak opsi tidak
K = 40
d1 =
20
Terlihat bahwa hasil yang diperoleh dari kedua rumus (persamaan (14) put-call parity dan persamaan (15)) adalah sama.
4. Delta untuk opsi call tipe Eropa Misalkan diketahui harga saham adalah $42 dan nilai opsi call adalah $4.76 . Misalkan pula pada saat t = 6 bulan harga saham naik menjadi $50 atau harga saham turun menjadi $35 . Asumsikan harga strike sebesar $40 . Suku bunga 10% dan volatilitas dari harga saham 20% , maka delta untuk opsi call tipe Eropa adalah Δc = N (d1 ) = 0.7792 .
Dc
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
0
20
40
60
80
100
ST
Gambar 7 Diagram delta untuk opsi call tipe Eropa K = 40 .
10
Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi call. Misalkan investor tersebut menjual 100 opsi call. Misalkan salah satu dari skenario berikut terjadi, yaitu harga saham saat jatuh tempo menjadi 50 atau 35 . a.
•
Cash flow = 100(4.76) − 78(42)
•
Jika ST = 50 .
¾
Kasus 1: Investor melakukan delta yaitu membeli hedging, 0.7792(100) = 78 saham . • Saat t = 0.
Cash flow = 100(4.76) − 78(42) = −2800,
•
yang didanai dari pinjaman bank dengan suku bunga 10% . Saat t = 6 bulan.
= 78(50) = 3900 Cash flow dari utang = −2800(1.1)
0.5
= −2937
Total cash flow = −37 . ¾ Kasus 2: Investor tidak melakukan delta hedging. • Saat t = 0. Cash flow = 100(4.76)
= 476,
•
ditabungkan dengan suku bunga 10% . Saat t = 6 bulan.
Cash flow dari opsi = −(50 − 40) × 100 = −1000 Cash flow dari saham = 0 Cash flow dari tabungan = 476(1.1)
0.5
= 499
Total cash flow = −501. b.
Jika ST = 35 .
¾
Kasus 1: Investor melakukan delta yaitu membeli hedging, 0.7792(100) = 78 saham .
= −2800, yang didanai dari pinjaman bank dengan suku bunga 10% . Saat t = 6 bulan. Cash flow dari opsi = 0 Cash flow dari saham = 78(35) = 2730 Cash flow dari utang 0.5
= −2800(1.1) = −2937 Total cash flow = −207 . ¾ Kasus 2: Investor tidak melakukan delta hedging. • Saat t = 0. Cash flow = 100(4.76)
Cash flow dari opsi = −(50 − 40) × 100 = −1000 Cash flow dari saham
Saat t = 0.
•
= 476, ditabungkan dengan suku bunga 10% . Saat t = 6 bulan. Cash flow dari opsi = 0 Cash flow dari saham = 0 Cash flow dari tabungan 0.5
= 476(1.1) = 499 Total cash flow = 499. Dari hasil terlihat bahwa jika ST = 50 , lebih baik investor melakukan delta hedging. Sedangkan jika ST = 35 , lebih baik investor tidak melakukan delta hedging.
5. Delta untuk opsi put tipe Eropa Misalkan diketahui harga saham adalah $42 dan nilai opsi put adalah $0.81 . Misalkan pula pada saat t = 6 bulan harga saham naik menjadi $50 atau harga saham turun menjadi $35 . Asumsikan harga strike sebesar $40 . Suku bunga 10% dan volatilitas dari harga saham 20% , maka delta untuk opsi put tipe Eropa adalah Δ p = N (d1 ) − 1 = −0.2208 .
11
•
Dp
20
40
60
80
100
ST
Cash flow dari saham = 0 Cash flow dari tabungan
-0.2
= 81(1.1)
-0.4
0.5
= 85
Total cash flow = 85. b. Jika ST = 35 .
-0.6
¾
-0.8
Kasus 1: Investor melakukan delta hedging, yaitu menjual (short sell) −0.2208(100) = −22 saham . •
-1.0 Gambar 8 Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa K = 40 . Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi put.
•
Kasus 1: Investor melakukan delta hedging, yaitu menjual (short sell) −0.2208(100) = −22 saham . • Saat t = 0.
Cash flow = 100(0.81) − (−22)(42)
•
= 1005 ditabungkan dengan suku bunga 10% . Saat t = 6 bulan. Cash flow dari opsi
= −22(35) = −770 Cash flow dari tabungan 0.5
Jika ST = 50 . ¾
Saat t = 0. Cash flow = 100(0.81) − (−22)(42)
= (40 − 35) × 100 = 500 Cash flow dari saham
Misalkan investor tersebut menjual 100 opsi put. Misalkan salah satu dari skenario berikut terjadi, yaitu harga saham saat jatuh tempo menjadi 50 atau 35 .
a.
Saat t = 6 bulan. Cash flow dari opsi = 0
= 1005, ditabungkan dengan suku bunga 10% . Saat t = 6 bulan. Cash flow dari opsi = 0 Cash flow dari saham = −22(50) = −1100 Cash flow dari tabungan 0.5
= 1005(1.1) = 1054 Total cash flow = −46 . ¾ Kasus 2: Investor tidak melakukan delta hedging. • Saat t = 0. Cash flow = 100(0.81) = 81, ditabungkan dengan suku bunga 10% .
= 1005(1.1) = 1054 Total cash flow = 784 . ¾ Kasus 2: Investor tidak melakukan delta hedging. • Saat t = 0. Cash flow = 100(0.81)
•
= 81 ditabungkan dengan suku bunga 10% . Saat t = 6 bulan. Cash flow dari opsi
= (40 − 35) × 100 = 500 Cash flow dari saham = 0 Cash flow dari tabungan 0.5
= 81(1.1) = 85 Total cash flow = 585. Dari hasil terlihat bahwa jika ST = 50 , lebih baik investor tidak melakukan delta hedging. Sedangkan jika ST = 35 , lebih baik investor melakukan delta hedging.
12
6. Portofolio Replikasi
Misalkan diberikan data pergerakan harga saham selama 52 minggu, seperti pada gambar berikut ini:
Gambar 9 Harga saham vs waktu Dari harga saham di atas, diperoleh portofolio replikasi seperti pada Gambar 10 berikut: Tabel portofolio replikasi dapat dilihat pada Lampiran 10.
Gambar 10 Delta hedging harga opsi vs nilai portofolio Dari gambar tersebut, dapat dilihat bahwa dengan menggunakan strategi delta hedging diperoleh portofolio yang mereplikasi harga
opsi dengan cukup baik, sehingga risiko dapat dinormalkan.
IV. SIMPULAN DAN SARAN Selain untuk menentukan nilai opsi, model Black-Scholes juga dapat digunakan untuk
menentukan rasio lindung nilai (delta) untuk opsi tipe Eropa.
13
Dalam karya ilmiah ini telah ditunjukkan rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call dan opsi put tipe Eropa. Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call nilainya selalu positif, yaitu 0 ≤ Δc ≤ 1 . Ini dikarenakan peningkatan harga aset underlying akan mempengaruhi peningkatan harga opsi call, sehingga dapat dimengerti bahwa meningkatnya aset underlying akan meningkatkan peluang nilai payoff positif. Dari diagram delta untuk opsi call tipe Eropa dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi call. Sedangkan rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put nilainya selalu negatif, yaitu
−1 ≤ Δ p ≤ 0 . Dari diagram delta untuk opsi
put tipe Eropa dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi put. Strategi delta hedging dapat digunakan untuk memperoleh portofolio yang mereplikasi harga opsi dengan cukup baik. Dari karya ilmiah ini terdapat beberapa hal yang dapat dikaji lebih lanjut oleh pihak-pihak yang tertarik dengan bidang ilmu ini, antara lain adalah nilai opsi call dan opsi put untuk opsi tipe Amerika dan teknik mengendalikan risiko yang lain, seperti gamma, theta, vega dan rho.
V. DAFTAR PUSTAKA Amelia I. 2005. Penilaian Variable Purchase Options dengan menggunakan Formula Black-Scholes [skripsi]. Bogor: Jurusan Matematika FMIPA, Institut Pertanian Bogor. Bahri AS. 2005. Penilaian Opsi dan Pengendalian Risiko dengan Menggunakan Greeks untuk Opsi Call dan Put Eropa [skripsi]. Bogor: Jurusan Matematika FMIPA, Institut Pertanian Bogor. Brealey R, Myers S. 1991. Principles of Corporate Finance. New York: Mc Graw Hill Book Co. Brenner M, Subrahmanyan MG. 1994. A Simple Approach to Option Valuation and Hedging in the Black-Scholes Model. Financial Analysis Journal 50: 25-28. Black F, Scholes M. 1973. The Pricing of Option and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy. 81: 637-654. Chaidir, Lesmana DC, Rahmatullah F. 2008. Binomial Method for Pricing Indonesian Call Option and its Hedging Workshop on Financial Strategy. Engineering. Chance DM. 2004. An Introduction to derivatives & Risk Management. Thomson, Ohio. Chandra W. 1998. Penilaian Opsi dengan Formula Black-Scholes [skripsi]. Bogor:
Jurusan Matematika FMIPA, Institut Pertanian Bogor. Grimmett GR, Strizaker DR. 2001. Probability and Random Processes. New York: Clarendon Press Oxford. Herliana L. 1999. Penilaian Opsi dengan Model Loncatan difusi [skripsi]. Bogor: Jurusan Matematika FMIPA, Institut Pertanian Bogor. Higham DJ. 2004. An Introduction to Financial Option Valuation: Mathematics, Stochastic and Computation, Cambridge University Press, Cambridge. Hull JC. 1997. Options Future and Other Derivatives. Ed.Ke-5. New Jersey: Pearson Education, Inc. Pelletier D. 2006. Asset Pricing. North Carolina State University. Su T. 2003. A Note on the Derivation of Black-Scholes Hedge Ratios. United States of America: Department of Finance, University of Miami. Widoatmodjo S, Lie RF, Joni R. 2005. Forex On-line Trading. Jakarta: Elex Media Komputindo. Wilmott P, Howison S, Dewynne J. 1996. The Mathematics of Financial Derivatives (A Student Introduction). Cambridge University Press, USA.
14
LAMPIRAN
15
Lampiran 1 Bukti Lema 1: Misalkan Y (t ) = g ( X (t ), t ) diberikan. Perhatikan dY (t ) =
∂g ( X (t ), t )
dt +
∂t
∂g ( X (t ), t )
∂X
dX (t ) +
1 ∂ 2 g ( X (t ), t ) ∂X
2
2
( dX (t )) 2
(1a)
dengan dX (t ) = a ( X (t ), t ) dt + b( X (t ), t ) dW (t ) .
(1b)
Dengan mengkuadratkan kedua ruas pada persamaan (1b), maka diperoleh: 2
2
2
2
( dX (t )) = a ( X (t ), t )( dt ) + 2 a ( X (t ), t )b( X (t ), t ) dtdW (t ) + b ( X (t ), t )( dW (t )) 2
= 0 + 0 + b ( X (t ), t )( dW (t ))
2
2
(1c)
2
=b dt 2
2
dengan ( dt ) = dW (t ) dt = dtdW (t ) = 0 dan ( dW (t )) = dt . 2
Selanjutnya dengan menyubstitusikan dX (t ) dan ( dX (t )) ke persamaan (1a) diperoleh: dY (t ) =
∂g
dt +
∂t
∂g ∂X
2
( adt + bdW (t )) +
1 ∂ g 2 ∂X
2
2
(b dt )
⎛ ∂g ∂g 1 2 ∂ g ⎞ ∂g =⎜ +a + b dt + b dW (t ) 2 ⎟ ∂X 2 ∂X ⎠ ∂X ⎝ ∂t 2
(1d)
Dari Definisi 6, bentuk diferensial stokastik pada persamaan (1d) juga dapat dituliskan dalam bentuk integral stokastik sebagai berikut: g ( X (t ), t ) = g ( X (0), 0) +
2 ∂g 1 2 ∂ g⎞ ⎛ ∂g + a X s s + b X s s ds ( ( ), ) ( ( ), ) ∫0 ⎜⎝ ∂s 2 ⎟ ∂x 2 ∂X ⎠ t
t
∂g
0
∂x
+ ∫ b ( X ( s ), s )
(1e)
dW ( s ).
Kemudian akan dibuktikan bahwa persamaan (1e) berlaku. Untuk memperlihatkan bahwa persamaan (1e) barlaku, cukup dilihat untuk kasus dimana a dan b merupakan fungsi konstan terhadap t yaitu a (ω , t ) = a (ω ) dan b (ω , t ) = b(ω ) . Sedangkan untuk t yang lebih luas dapat didekati dengan menggunakan limit. Dengan menggunakan Deret Taylor diperoleh: g ( X (t ), t ) = g ( X (0), 0) + ∑ j
1
∂ g 2
∂g ∂x
ΔX (t j ) + ∑
+ ∑ (Δt j ) 2 + ∑ R j 2 j ∂t 2
dengan Δt j = t j +1 − t j
j
∂g ∂t
Δt j + ∑ j
∂2 g
1 ∂2 g (ΔX (t j ))(Δt j ) + ∑ (ΔX (t j )) 2 2 j ∂x∂t 2 ∂x
(1f)
16
ΔX (t j ) = X (t j +1 ) − X (t j ) Δg ( X (t j ), t j ) = g ( X (t j +1 ), t j +1 ) − g ( X (t j ), t j )
(
2
2
R j = O ΔX (t j ) + Δt j
)
untuk semua j .
Perhatikan bahwa: ∂g
1. lim ∑
∂x
Δt j → 0 j
t
∂g
0
∂x
∂g
Δt j →0 j
∂t
Δt j = lim ∑ Δt j →0 j t
∂g
0
∂s
=∫
( X (t j ), t j ) ΔX (t j )
∂x
Δt j → 0 j
=∫
2. lim ∑
∂g
ΔX (t j ) = lim ∑
( X ( s ), s ) dX ( s ) ∂g ∂t
( X (t j ), t j ) Δt j
( X ( s ), s ) ds
3. Dari persamaan (3) diperoleh ΔX (t j ) = X (t j +1 ) − X (t j ) = a j Δt j + b j ΔW (t j ).
Maka, 2
lim ∑
Δt j → 0 j
∂ g ∂x
2
2
2
( ΔX (t j )) = lim ∑ Δt j → 0 j
∂ g ∂x
(a
2
2 j
2
2
( Δt j ) + 2 a j b j ( Δt j )( ΔW (t j )) + b j ( ΔW (t j ))
2
= lim ∑ Δt j → 0 j
)
2
∂ g ∂x
2
2
2
a j ( Δt j ) + 2 lim ∑ Δt j → 0 j
2
∂ g ∂x
2
a j b j ( Δt j )( ΔW (t j ))
2
+ lim ∑ Δt j → 0 j
∂ g ∂x
2
2
b j ( ΔW (t j ))
2
diperoleh, 2
lim ∑
Δt j → 0 j
∂ g ∂x
2
2
t
a j ( Δt j ) = ∫ a 2
2
0
2
∂ g ∂x
2
2
( ds ) .
Karena 2
lim ∑
Δt j →0 j
∂ g ∂x
2
2
2
a j ( Δt j ) = 0 2
maka dapat disimpulkan untuk Δt j → 0 berlaku Juga diperoleh:
∂ g ∂x
2
≠ 0 dan a ≠ 0 sehingga ( dt ) = 0 . 2
2
17
2
∂ g
lim ∑
Δt j → 0 j
∂x
2
2
t
∂ g
0
∂x
a j b j ( Δt j )( ΔW (t j )) = ∫ ab
2
dsdW ( s )
dan berlaku 2
lim ∑
∂ g
Δt j →0 j
∂x
2
a j b j ( Δt j )( ΔW (t j )) = 0, 2
maka dapat disimpulkan bahwa untuk Δt j → 0 berlaku a ≠ 0 , b ≠ 0 dan
∂ g ∂x
2
≠ 0 sehingga
dtdW (t ) = 0 . Selanjutnya akan dibuktikan bahwa: 2
lim ∑
∂ g
Δt j → 0 j
∂x
2
t
b j ( ΔW (t j )) = ∫ b 2
2
0
2
2
∂ g ∂x
ds.
2
2
Misalkan u (t ) =
∂ g ∂x
2
( X (t ), t )b (ω , t ) 2
u j = u (t j ).
Perhatikan
⎡⎛ ⎣⎝
2 ⎞ ⎤ = ∑ E ⎡u u ( ( ΔW (t ))2 −Δt ) ( ΔW (t ))2 −Δt ⎤ i i ( j j )⎦ ⎥ i j ⎠ ⎦ i, j ⎣
E ⎢⎜ ∑ u j ( ΔW (t j )) − ∑ u j Δt j ⎟ 2
j
j
untuk i < j , ui u j ( ΔW (ti )) − Δti , ( ΔW (t j )) − Δt j adalah saling bebas. Akibatnya nilai 2
2
ekspektasi perkaliannya adalah nol. Begitu pula untuk i > j . Untuk i = j diperoleh: ∑ E ⎡u j j
⎣⎢
2
((ΔW (t )) j
2
− Δt j
) ⎦⎥⎤ = ∑ E ⎡⎣u 2
j
2 j
= ∑ E ⎡⎣u j
2
j
= 2 ∑ E ⎡⎣u j
⎤⎦E ⎡⎣( ΔW (t j )) 4 − 2( ΔW (t j )) 2 Δt j + ( Δt j ) 2 ⎤⎦ ⎤⎦ ( 3( Δt j ) 2 − 2( Δt j ) 2 + ( Δt j ) 2 ) 2
j
⎤⎦ ( Δt j ) 2
untuk Δt j → 0 diperoleh: 2 2⎞ ⎛ lim ⎜ 2∑ E ⎡⎣u j ⎤⎦ ( Δt j ) ⎟ = 0.
Δt j →0
⎝
⎠
j
Karena 2
2
∑ u j ( ΔW (t j )) − ∑ u j Δt j = 0 ⇔ ∑ u j ( ΔW (t j )) = ∑ u j Δt j = 0 j
maka
j
j
j
18
t
lim ∑ u j ( ΔW (t j )) = ∫ u ( s ) ds. 2
Δt j → 0 j
0
Jadi, dapat disimpulkan bahwa: 2
( dW (t )) = dt .
Dari hal di atas juga dapat disimpulkan bahwa untuk Δt j → 0 maka R → 0 . Dengan menyubstitusikan hasil yang diperoleh ke persamaan (1f), dapat disimpulkan bahwa persamaan (1e) berlaku. Dengan demikian, Lema 1 terbukti. [Hull, 1997]
Lampiran 2 Bukti Teorema 2.1: Diasumsikan bahwa model dari harga saham dapat dinyatakan sebagai berikut: dS (t ) = μ S (t ) dt + σ S (t ) dW (t ).
(2a)
Misalkan Y (t ) = g ( S (t ), t ) , berdasarkan Lema Itô maka berlaku: dY (t ) =
∂g
dt +
∂t
∂g ∂s
dS (t ) +
1 ∂2 g 2 ∂X
2
( dS (t )) 2
(2b) 2
dengan mengkuadratkan kedua ruas pada persamaan (2a) di atas maka diperoleh ( dS (t )) sebagai berikut: ( dS (t )) = ( μ S (t ) dt + σ S (t ) dW (t )) 2
2
= μ S (t ) ( dt ) + 2 μ S (t ) dtσ S (t ) dW (t ) + σ S (t ) ( dW (t )) . 2
2
2
2
2
2
2
2
Diketahui bahwa ( dt ) = 0 , ( dt )( dW (t )) = 0 dan ( dW (t )) = dt . Maka ( dS (t )) = σ S (t ) dt . 2
2
2
(2c)
Dengan menyubstitusi persamaan (2a) dan (2c) pada persamaan (2b) akan diperoleh: dY (t ) = =
∂g ∂t ∂g ∂t
dt +
∂s
( μ S (t )dt + σ S (t )dW (t )) +
dt + μ S (t )
⎛ ∂g
=⎜
∂g
⎝ ∂t
+ μ S (t )
∂g ∂s
dt + σ S (t )
1 ∂2 g 2 ∂s 2
σ 2 S (t ) 2 dt
∂g
1 ∂2 g dW (t ) + σ 2 S (t ) 2 dt ∂s 2 ∂s 2
1 ∂2 g ⎞ ∂g + σ 2 S (t ) 2 dt + σ S (t ) dW (t ). 2 ⎟ ∂s 2 ∂s ⎠ ∂s
∂g
Jadi, Teorema 2.1 terbukti. [Hull, 1997]
19
Lampiran 3 Bukti Teorema 2.2: Untuk Y (t ) = g ( S (t ), t ) = ln S (t ) , berdasarkan Lema Itô maka diperoleh: dY (t ) = dY (t ) =
∂g ∂t
dt +
∂g ∂s
∂ ln S (t ) ∂t 1
=
dt +
dS (t ) −
S (t ) 1
=
S (t ) 1
=
2
S (t )
1∂ g
dS (t ) +
2 ∂s
∂ ln S (t )
1
∂s 1
2 S (t )
2
2
( dS (t ))
2
2
dS (t ) +
1 ∂ ln S (t ) 2
( dS (t ))
( dS (t ))
2
∂s
2
1
( μ S (t )dt + σ S (t )dW (t ) ) 2
2
( μ S (t )dt + σ S (t )dW (t ) ) −
1
( μ S (t )dt + σ S (t )dW (t ) ) −
1
2 S (t ) 1
2 S (t )
σ S (t ) dt 2
2
2
2
1 2 = μ dt + σ dW (t ) − σ dt 2 2 ⎛ σ ⎞ = ⎜μ − ⎜ ⎟⎟ dt + σ dW (t ). 2 ⎠ ⎝
Karena μ dan σ konstan, maka dapat disimpulkan bahwa Y adalah gerak Brown dengan rataan
μ−
σ
2
2
dan varian σ . 2
Berdasarkan persamaan (4),
dS
merupakan tingkat pengembalian dari harga saham. Bentuk S pengembalian dari harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat deterministik adalah μ dt . Sebagai contoh dari pengembalian yang bersifat deterministik adalah pengembalian dari sejumlah dana yang diinvestasikan di bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga diganti dengan r . Karena Y berubah dari 0 sampai T dan Y mengikuti gerak Brown, maka Y berdistribusi normal dengan:
rataan
⎛
2 σ ⎞
⎝
2 ⎠
= ⎜r −
⎟T
dan varian = σ T . Misalkan pada waktu t = 0 , nilai Y = ln S0 dan pada waktu T nilai Y = ln S T , maka pada 2
selang waktu 0 sampai dengan T , (ln ST − ln S0 ) adalah berdistribusi normal dengan rataan dan varian seperti di atas, sehingga diperoleh:
⎛⎛
(ln ST − ln S 0 ) ∼ N ⎜ ⎜ r −
⎝⎝
⎞ T ,σ T ⎟ ⎟ 2 ⎠ ⎠
2 σ ⎞
atau dapat dituliskan ln ST berdistribusi normal dengan
20
ln ST
⎛ ⎞ ⎛ σ2 ⎞ ∼ N ⎜ ln S 0 + ⎜ r − ⎟ T , σ T ⎟ . 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠
Dengan demikian ln ST berdistribusi normal dengan
⎛
rataan : m = ln S 0 + ⎜ r −
2 σ ⎞
⎝
2
⎟T ⎠
dan standar deviasi :
s =σ T.
Jadi Teorema 2.2 terbukti. [Hull, 1997]
Lampiran 4 Bukti Teorema 2.3: Berdasarkan Teorema 2.1, V memenuhi persamaan:
⎛ ∂V
dV = ⎜
⎝ ∂t
+ μS
∂V ∂S
+
1
⎞ ∂V dt + σ S dW (t ). ⎟ 2 ∂S ⎠ ∂S 2
σ S 2
2
2
∂V
(4a)
Untuk menghilangkan proses Wiener dipilih sebuah portofolio yang diinvestasikan pada ∂V saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli suatu opsi dan menjual saham. ∂S Misalkan π adalah nilai portofolio yang didefinisikan oleh
π =V −
∂V ∂S
S.
(4b)
Perubahan portofolio pada selang waktu dt didefinisikan sebagai d π = dV −
∂V ∂S
dS .
Diketahui bahwa harga saham memenuhi sifat persamaan (5): dS (t ) = μ S (t ) dt + σ S (t ) dW (t ).
Dengan menyubstitusikan persamaan (5) dan (4a) ke dalam (4c) diperoleh
(4c)
21
⎛ ∂V ∂V ∂V ∂V 1 ∂ 2V ⎞ dW (t ) − d π = ⎜⎜ + μ S + σ 2 S 2 2 ⎟⎟ dt + σ S ( μ Sdt +σ SdW (t ) ) ∂S 2 ∂S ⎠ ⎝ ∂t ∂S ∂S ⎛ ∂V
= ⎜⎜
⎝ ∂t ⎛
= 0+
⎞ ⎛ ⎞ ∂V 1 ∂ 2V ∂V ∂V ∂V dt + σ 2 S 2 2 dt +σ S dW (t ) ⎟⎟ − ⎜⎜ μ S dt +σ S dW (t ) ⎟⎟ ∂S 2 ∂S ∂S ∂S ∂S ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ 1 ∂V ∂V ∂V ∂V ∂V ⎞ ∂V dt + σ 2 S 2 dt + ⎜⎜ σ S dW (t )−σ S dW (t ) ⎟⎟ dt − μ S dt ⎟⎟ + 2 ∂S ∂S ∂S ∂S ⎠ ∂t ⎝ ⎠ 2 ∂S 2
= ⎜⎜ μ S ⎝
dt + μ S
∂V ∂t
dt +
1
σ 2S 2
2
∂ 2V
(4d)
dt + 0
∂S 2
⎛ ∂V 1
∂ 2V ⎞ + σ 2 S 2 2 ⎟⎟ dt . ∂S ⎠ ⎝ ∂t 2
= ⎜⎜
Return dari investasi sebesar π pada saham tidak berisiko akan memiliki pertumbuhan sebesar rπ dt dalam selang waktu dt . Agar tidak terdapat peluang arbitrase, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari persamaan (4d), yaitu: ⎛ ∂V
rπ dt = ⎜
⎝ ∂t
+
1
σ 2S 2
2
∂ 2V ⎞ ⎟ dt . ∂S 2 ⎠
(4e)
Substitusikan persamaan (4b) ke dalam persamaan (4e), diperoleh ⎛
r ⎜V − ⎝
⎛ ∂V 1 ∂V ⎞ ∂ 2V ⎞ S ⎟ dt = ⎜ + σ 2S 2 ⎟ dt 2 ∂S ⎠ ∂S 2 ⎠ ⎝ ∂t
sehingga ∂V ∂t
+ rS
∂V
2
1 2 2∂V + σ S − rV = 0. 2 ∂S 2 ∂S
Jadi, Teorema 2.3 terbukti. [Hull, 1997]
Lampiran 5 Bukti Teorema 3.1: Untuk sebuah opsi call tipe Eropa, nilai harapan payoff dari opsi call pada saat jatuh tempo adalah Eˆ [max( ST − K , 0)].
(5a)
Didefinisikan g ( ST ) adalah fungsi kepekatan peluang dari ST , maka ∞ Eˆ [max( ST − K ), 0] = ∫K ( ST − K ) g ( ST ) dST .
(5b) Berdasarkan bukti Teorema 2.2 diperoleh ln ST berdistribusi normal dengan
⎛
rataan : m = ln S 0 + ⎜ r −
⎝
2 σ ⎞
2
⎟T ⎠
(5c)
22
dan standar deviasi : s = σ T . Selanjutnya didefinisikan sebuah peubah Q dengan Q=
ln ST − m
s
(5d)
(5e)
.
Substitusikan m dari persamaan (5c) dan persamaan (5d) ke dalam persamaan (5e), sehingga diperoleh Q=
1
σ T
(ln ST − ln S 0 ) −
⎛ σ2 ⎞ ⎜ r − ⎟T. σ T⎝ 2 ⎠ 1
Jika a dan b suatu kostanta serta X suatu peubah acak maka: •
E ( aX + b ) = aE ( X ) + b
•
Var ( aX + b) = a Var ( X )
2
⎛
σ 1 1 ⎛⎜ E (Q ) = E ⎜⎜ r− (ln ST −ln S0 )− ⎜σ T σ T ⎜⎝ 2
2
⎝
⎞ ⎞ ⎟T ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎠
⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ σ ⎞ (ln ST −ln S0 ) ⎟⎟ − = E ⎜⎜ ⎜ r − ⎟T T σ ⎝ ⎠ σ T ⎝ 2 ⎠ 2
=
1
σ T
E (ln ST − ln S 0 ) −
(5f)
⎛ σ2 ⎞ ⎜ r − ⎟T. 2 ⎠ σ T ⎝ 1
Berdasarkan bukti Teorema 2.2 diperoleh (ln ST − ln S 0 ) berdistribusi normal dengan
rataan
⎛
=⎜r −
2 σ ⎞
⎝
2
⎟T ⎠
(5g)
dan varian
= σ T. 2
(5h)
Substitusikan persamaan (5g) dan (5h) ke dalam persamaan (5f), diperoleh E (Q ) =
2 ⎛ σ2 ⎞ 1 ⎛ σ ⎞ ⎜ r − ⎟T − ⎜ r − ⎟T = 0 σ T⎝ 2 ⎠ σ T⎝ 2 ⎠
1
⎛
Var (Q ) = Var ⎜⎜
1
⎜σ T ⎝
(ln ST −ln S0 )−
2
2 σ 1 ⎛⎜ r− σ T ⎜⎝ 2
⎛ 1 ⎞ ⎟ Var (ln ST − ln S 0 ) ⎝σ T ⎠
=⎜
⎛ 1 ⎞ 2 ⎟σ T = 1 ⎝ σ 2T ⎠
=⎜
⎞ ⎞ ⎟T ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎠
23
maka peubah Q juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1, dan fungsi kepekatan peluang dari Q dinyatakan dengan h (Q ) , yaitu:
1
h(Q ) =
2π
e −Q
2
/2
(5i)
.
Persamaan (5e) dinyatakan menjadi
ST = eQσ
T +m
(5j)
.
Perubahan batas integral pada sisi kanan dari persamaan (5b), dari integral menurut ST menjadi integral menurut Q adalah sebagai berikut: Jika ST = ∞ , maka Q = ∞ . Jika ST = K , maka K = e
Qσ T + m
sehingga Q =
ln K − m
σ T
.
Dengan menggunakan persamaan (5i), (5j), perubahan batas integral dan misalkan maka persamaan (5b) menjadi:
Eˆ [max( ST − K ), 0] = =
∞
∫
(ln K − m ) / s ∞
∫
(ln K − m ) / s
(e
Qs + m
s =σ T ,
− K ) h (Q ) dQ
eQs + m h (Q ) dQ − K
(5k)
∞
∫
(ln K − m ) / s
h (Q ) dQ
sedangkan e
Qs + m
1
h (Q ) =
2π 1
=
=
=e
( − Q 2 + 2Qs + 2 m ) / 2
[ − ( Q − s )2 + 2 m + s 2 ]/ 2
2π e
e e
(5l)
m+ s2 / 2
2π m+ s2 / 2
[ − ( Q − s )2 ]/ 2
e
h (Q − s ).
Substitusi persamaan (5l) ke dalam persamaan (5k), diperoleh m+ s2 / 2 Eˆ [max( ST − K ), 0] = e
∞
∫
(ln K − m ) / s
∞
h (Q − s ) dQ − K
∫
(ln K − m ) / s
Jika N ( x ) menyatakan notasi dari fungsi distribusi normal baku kumulatif, maka
h(Q ) dQ .
24
∞
2 em+ s / 2
∞
∫
h(Q − s ) dQ − K
∫
h(Q ) dQ
(ln K −m ) / s
(ln K − m ) / s
⎡ ⎡ 2 ⎛ ln K − m ⎞⎤ ⎛ ln K − m ⎞⎤ = em+ s /2 ⎢1 − N ⎜ − s ⎟⎥ − K ⎢1 − N ⎜ ⎟⎥ s s ⎝ ⎠⎥⎦ ⎝ ⎠⎥⎦ ⎢⎣ ⎢⎣ ⎡ ⎛ − ln K + m ⎞⎤ ⎡ ⎛ − ln K + m ⎞⎤ 2 = em+ s /2 ⎢ N ⎜ + s ⎟⎥ − K ⎢ N ⎜ ⎟⎥ . s s ⎠⎥⎦ ⎠⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ ⎢⎣ ⎝ Peubah m dan diperoleh 2 e m+s /2
s persamaan di atas disubstitusikan dengan persamaan (5c) dan (5d), maka
∞
∫
∞
h(Q − s)dQ − K
(ln K − m) / s
∫
h(Q)dQ
(ln K−m)/ s
⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎡ ⎛ 2⎞ 2 ⎞ ⎞⎤ ⎛ ⎛ ⎢ ⎜ − ln K + ln S + ⎜ r − σ ⎟T ⎟⎥ ⎢ ⎜ − ln K + ln S + ⎜ r − σ ⎟T ⎟⎥ 0 ⎜ 0 ⎜ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜ 2 2 ⎟⎠ 2 ⎟⎠ ⎟⎥ ⎝ ⎝ ⎟⎥ = e m + σ T / 2 ⎢N ⎜ +σ T ⎟⎥ − ⎢KN ⎜ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎥ σ T σ T ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎡ ⎛ 2⎞ 2 ⎞ ⎞⎤ ⎛ ⎛ ⎢ ⎜ ln ⎛⎜ S 0 ⎞⎟ + ⎜ r − σ ⎟T +σ 2T ⎟⎥ ⎢ ⎜ ln ⎜⎛ S 0 ⎟⎞ + ⎜ r − σ ⎟T ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎜K⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎜⎝ K ⎟⎠ ⎜ 2 2 ⎟⎠ 2 ⎟⎠ ⎟⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎟⎥ − ⎢KN ⎜ ⎟⎥ = e m + σ T / 2 ⎢N ⎜ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎥ σ T σ T ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎡ ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎞⎤ 2 ⎞ ⎞⎤ ⎡ ⎛ ⎛ ⎢ ⎜ ln ⎜⎛ S 0 ⎟⎞ + ⎜ r + σ ⎟T ⎟⎥ ⎢ ⎜ ln ⎛⎜ S 0 ⎟⎞ + ⎜ r − σ ⎟T ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎜K⎟ ⎜ 2 2 ⎟⎠ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎝⎜ K ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎟⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎟⎥ ⎟⎥ − ⎢KN ⎜ = e m + σ T / 2 ⎢N ⎜ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎢ ⎜ σ T σ T ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎢ ⎜⎝ ⎝ ⎠⎦ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣
(5m)
2 = e m + σ T / 2N(d 1) − KN(d 2 ).
Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call tipe Eropa yang dilambangkan dengan c adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas risiko yang dapat dinyatakan sebagai c=e
− rT ˆ E[max( ST − K ), 0] .
(5n)
Dengan substitusi persamaan (5m) dan persamaan (5n) diperoleh model Black-Scholes untuk opsi call tipe Eropa tanpa membayar dividen pada saat kontrak opsi dibuat, yaitu c = S 0 N ( d1 ) − Ke
dengan
− rT
N (d 2 )
25
ln( S0 / K ) + ( r + σ / 2)T 2
d1 =
σ T
dan
ln( S0 / K ) + ( r − σ / 2)T 2
d2 =
σ T
.
Jadi, Teorema 3.1 terbukti. [Hull, 1997]
Lampiran 6 Bukti Teorema 3.2: Misalkan seorang investor mempunyai portofolio yang terdiri atas Δ aset, opsi call dan opsi put. Investor tersebut membeli sejumlah Δ aset dan satu put dan juga menjual satu call. Opsi call dan opsi put tersebut mempunyai waktu jatuh tempo yang sama, yaitu t = T . Nilai opsi tersebut pada waktu jatuh tempo yang sama adalah K . Misalkan π adalah nilai dari portofolio ini. Maka nilai portofolio yaitu:
π = S 0 + p − c. Pembayaran (payoff) portofolio di atas pada saat jatuh tempo adalah: S T + max( K − S T , 0) − max( S T − K , 0).
Persamaan di atas dapat dituliskan juga dalam dua bentuk sebagai berikut: 1. Untuk S T < K maka diperoleh S T + ( K − S T ) − 0 = K .
2. Untuk S T > K maka diperoleh S T + 0 − ( S T − K ) = K . Dari kedua bentuk di atas dapat disimpulkan bahwa pada saat jatuh tempo, jika nilai S T lebih besar ataupun lebih kecil dari K , nilai dari pembayaran portofolio investor tersebut akan selalu K . Untuk tingkat suku bunga yang bebas risiko r dan dengan tidak adanya konsep arbitrase, nilai sekarang (present value) dari payoff portofolio di atas adalah Ke
− rT
. − rT
Apabila konsep arbitrase berlaku, jika payoff portofolio investor tidak sama dengan Ke , maka seorang arbitraser mempunyai kesempatan untuk membeli dan menjual opsi dan saham dan pada saat yang sama ia meminjam sejumlah uang. Dalam hal ini, arbitraser tersebut dapat memperoleh keuntungan pada saat itu dengan pembayaran sebesar nol di masa yang akan datang. Jadi, dapat disimpulkan bahwa: S 0 + p − c = Ke
− rT
.
Dengan demikian, Teorema 3.2 terbukti. [Hull, 1997]
Lampiran 7 Bukti Teorema 3.3: Dengan menggunakan persamaan put-call parity: S 0 + p − c = Ke
− rT
26
sehingga p = S 0 N ( d1 ) − Ke
− rT
N ( d 2 ) + Ke
= − S0 [1 − N ( d1 )] + Ke = − S0 N ( − d1 ) + Ke = Ke
− rT
− rT
− rT
− rT
− S0
[1 − N ( d 2 )]
N (−d 2 )
N ( − d 2 ) − S 0 N ( − d1 ).
Jadi, Teorema 3.3 terbukti.
Lampiran 8 Bukti Teorema 3.4: Didefinisikan ∂N ( x ) ∂x
= n( x) =
1 2π
e− x
2 /2
dimana n( x ) merupakan fungsi kepekatan peluang dari N ( x ) . Untuk memperoleh hedge ratio terlebih dahulu kita membuktikan, S 0 n ( d1 ) = Ke
− rT
n ( d 2 ).
(8a)
Perhatikan 2
2
d1 − d 2 = ( d1 − d 2 )( d1 + d 2 ) = ( d1 − d1 + σ T )( d1 + d1 − σ T ) = σ T (2 d1 − σ T )
⎡ ⎛ ln( S 0 / K ) + ( r + σ 2 / 2)T ⎞ ⎤ ⎟ −σ T ⎥ σ T ⎠ ⎣ ⎝ ⎦ 2 2 ⎛ 2 ln( S 0 / K ) + 2( r + σ / 2)T − σ T ⎞ =σ T ⎜ ⎟ σ T ⎝ ⎠ = σ T ⎢2 ⎜
= 2 ln( S 0 / K ) + 2rT 2
2
d1 = d 2 + 2 ln( S 0 / K ) + 2 rT .
Dari persamaan (8b) diperoleh
(8b)
27
S 0 n( d1 ) = S 0 = S0 = S0
1
e
2π 1 2π 1 2π
e e
= S 0 n( d 2 )e
− d12 / 2
− d22 − 2ln( S0 / K ) − 2 rT
− d22 / 2 − ln( S0 / K ) − rT
e
− ln S0 + ln K − rT
= Ke − rT n( d 2 ). Dari persamaan (8b) sekarang dapat dibuktikan hedge ratio untuk opsi call, sebagai berikut: ∂C ∂S 0
=
∂ ( S 0 N ( d1 ) − Ke
= N ( d1 ) + S 0
− rT
N ( d 2 ))
∂S0 ∂N ( d1 ) ∂d1 − rT ∂N ( d 2 ) ∂d 2 . . − Ke ∂d1 ∂S 0 ∂d 2 ∂S 0
= N ( d1 ) + S 0 n( d1 ). = N ( d1 ) + S 0 n( d1 ). = N ( d1 ) + S 0 n( d1 ). = N ( d1 ) + S 0 n( d1 ). = N ( d1 ) + S 0 n( d1 ).
∂d1 ∂S 0 ∂d1 ∂S 0
− Ke
− rT
n( d 2 ).
− S 0 n( d1 ).
∂d 2 ∂S0
∂d 2 ∂S0
∂ ( d1 − d 2 ) ∂S 0 ∂ ( d1 − d1 + σ T ) ∂S 0 ∂σ T ∂S0
= N ( d1 ) + S 0 n( d1 ).0 = N ( d1 ).
Jadi, Teorema 3.4 terbukti.
Lampiran 9 Bukti Teorema 3.5: Untuk memperoleh hedge ratio untuk opsi put dapat menggunakan persamaan put-call parity, sebagai berikut: S 0 + p − c = Ke
sehingga
− rT
28
∂p ∂S 0
=
∂ (c + Ke
− rT
− S0 )
∂S 0
= 0+
∂c ∂S 0
−1
= N ( d1`) − 1. Jadi, Teorema 3.5 terbukti.
Lampiran 10 Tabel Portofolio Replikasi Harga Opsi Harga Waktu Call Saham
Delta
Nilai Portofolio
Saham
Cash
0
2.091934023
42
0.9672887
2.091934023
40.6261255
-38.534192
1
2.656504702
42.5757003
0.9901817
2.648802441
42.1576807
-39.508878
2
3.07275785
42.9945758
0.9963867
3.063565291
42.8392223
-39.775657
3
2.780508171
42.7007718
0.9926357
2.770822893
42.3863097
-39.615487
4
2.705737209
42.6253942
0.9912322
2.696000402
42.2516626
-39.555662
5
2.817362031
42.7378874
0.9932502
2.807507317
42.4494148
-39.641908
6
3.263221735
43.1855863
0.9977867
3.252184254
43.0900031
-39.837819
7
2.269365372
42.1824519
0.9771768
2.251270111
41.2197137
-38.968444
8
2.773459022
42.6936699
0.9925126
2.750820533
42.374004
-39.623183
9
2.90489627
42.8259581
0.9945288
2.882118189
42.5916489
-39.709531
10
2.770143033
42.6903288
0.992454
2.747230985
42.3681884
-39.620957
11
2.666230114
42.5855211
0.9903977
2.643214147
42.1766039
-39.53339
12
2.181599473
42.0924339
0.9726734
2.15486175
40.9421919
-38.78733
13
3.012264637
42.9338456
0.9957962
2.97328054
42.753362
-39.780081
14
3.095865554
43.0177649
0.9965915
3.056847032
42.8711398
-39.814293
15
2.423496437
42.3396481
0.9835279
2.381041623
41.6422252
-39.261184
16
3.324587495
43.2470777
0.9981183
3.273523869
43.1657007
-39.892177
17
2.55790368
42.4760024
0.987734
2.503899521
41.9549902
-39.451091
18
2.907795548
42.8288732
0.9945671
2.85244203
42.5961897
-39.743748
19
2.934623335
42.8558429
0.9949104
2.879265142
42.6377257
-39.758461
20
2.774433807
42.694652
0.9925297
2.718894701
42.3757103
-39.656816
21
2.874127981
42.795014
0.9941067
2.818506945
42.5428116
-39.724305
22
3.170863079
43.0929959
0.9971856
3.114732695
42.971715
-39.856982
23
2.884430618
42.805377
0.9942512
2.827923289
42.5592986
-39.731375
24
3.157860522
43.079956
0.9970899
3.1009238
42.9545897
-39.853666
25
3.314397615
43.2368683
0.9980666
3.257379504
43.1532753
-39.895896
26
2.73276104
42.6526497
0.9917649
2.674290381
42.3014023
-39.627112
27
2.219266329
42.1311184
0.9746934
2.15705397
41.0649226
-38.907869
29
28
2.730584676
42.6504552
29
3.167475925
43.0895991
30
2.440563986
42.3569963
31
3.149442988
43.0715136
32
2.672594715
33
0.9917231
2.66324809
42.2974429
-39.634195
0.997161
3.09875726
42.9672659
-39.868509
0.9841246
2.368234305
41.6845603
-39.316326
0.9970264
3.071408382
42.943436
-39.872028
42.5919469
0.9905368
2.593267763
42.1888905
-39.595623
2.964716299
42.8860842
0.9952721
2.884621556
42.6833224
-39.798701
34
2.190968024
42.1020631
0.9731886
2.10430726
40.9732467
-38.868939
35
2.367085213
42.2822315
0.9814124
2.279645025
41.4963062
-39.216661
36
2.379139439
42.294511
0.9818836
2.291696347
41.5282852
-39.236589
37
2.24751296
42.1600771
0.9761212
2.159697818
41.1533442
-38.993646
38
2.651263517
42.5704069
0.9900635
2.560229426
42.1474072
-39.587178
39
2.168712474
42.07918
0.9719507
2.073883623
40.8988877
-38.825004
40
2.906769114
42.8278412
0.9945536
2.80154539
42.5945833
-39.793038
41
2.350337431
42.2651607
0.9807399
2.241929468
41.4511274
-39.209198
42
3.260485177
43.1828436
0.9977707
3.141937684
43.0865769
-39.944639
43
2.766374754
42.6865317
0.992387
2.646732247
42.3615584
-39.714826
44
2.6919037
42.6114363
0.9909477
2.572208536
42.2257048
-39.653496
45
3.219502795
43.1417646
0.9975186
3.097736061
43.0347123
-39.936976
46
3.169097968
43.0912258
0.9971728
3.047322668
42.9693975
-39.922075
47
2.495719747
42.4129897
0.9859241
2.371004113
41.8159889
-39.444985
48
2.888231143
42.8091994
0.9943037
2.761636806
42.565346
-39.803709
49
2.550343591
42.4683476
0.9875256
2.422726644
41.9385798
-39.515853
50
2.902405761
42.8234538
0.9944957
2.773403093
42.5877401
-39.814337
51
2.419800617
42.3358902
0.9833961
2.288523161
41.6329501
-39.344427
52
2.973287155
42.8946954
0.9953707
2.838050011
42.6961244
-39.858074
