PERBANDINGAN NILAI OPSI CALL TIPE EROPA DENGAN PERLUASAN MODEL VASICEK DAN MODEL COX-INGERSOLLROSS
NANU NURUL FAJRI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
ABSTRAK NANU NURUL FAJRI. Perbandingan Nilai Opsi Call Tipe Eropa dengan Perluasan Model Vasicek dan Model Cox-Ingersoll-Ross. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan TEDUH WULANDARI MAS’OED. Produk derivatif merupakan suatu instrumen keuangan yang nilainya bergantung pada nilai aset yang mendasarinya. Salah satu produk derivatif adalah opsi. Penentuan nilai opsi call tipe Eropa ini bisa menggunakan beberapa model, diantaranya adalah model Vasicek dan model CoxIngersoll-Ross (CIR). Tetapi model Vasicek dapat memberikan nilai suku bunga yang negatif, model CIR memberikan alternatif supaya suku bunga tidak negatif. Pada karya ilmiah ini akan dibahas opsi call tipe Eropa, dengan aset yang mendasari adalah zero coupon bond. Sedangkan model yang akan digunakan adalah model Vasicek yang diperluas dan model CIR. Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah (1) menganalisis perluasan model Vasicek, (2) membandingkan nilai opsi yang diperoleh menggunakan perluasan model Vasicek dan dengan menggunakan model CIR. Harga opsi call tipe Eropa yang diperoleh dengan menggunakan perluasan model Vasicek dan model CIR, memberikan hasil hasil yang hampir sama.
ABSTRACT NANU NURUL FAJRI. Comparison of Extended Vasicek and Cox-Ingersoll-Ross Model in Valuation of European Call Option. Supervised by RETNO BUDIARTI and TEDUH WULANDARI MAS’OED. Derivative product is a financial instrument whose value depends on the value of the underlying asset. One of the derivative product is a European option, which has the form of either call or put option. To determine the value of a European call option some models could be used, such as Vasicek and the Cox-Ingersoll-Ross model (CIR). Vasicek model may result in a negative interest rate, so that CIR model can be considered as an alternative in order to obtain nonnegative interest rates. This article discusses the European call option with a zero coupon bond as an underlying asset. The discussion includes the analysis and application of Vasicek and CIR models. The simulation results show that European call option price given by the extended Vasicek model and CIR model are similar.
PERBANDINGAN NILAI OPSI CALL TIPE EROPA DENGAN PERLUASAN MODEL VASICEK DAN MODEL COXINGERSOLL-ROSS
NANU NURUL FAJRI G54062389
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2011
Judul
: Perbandingan Nilai Opsi Call Tipe Eropa dengan Perluasan Model
Nama NIM
: Nanu Nurul Fajri : G54062389
Vasicek dan Model Cox-Ingersoll-Ross
Menyetujui, Pembimbing I
Pembimbing II
Ir. Retno Budiarti, MS NIP. 19610729 198903 2 001
Teduh Wulandari Mas'oed, M.Si. NIP. 19740915 199903 2 001
Mengetahui, Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP: 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus
:
KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT karena atas rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Perbandingan Nilai Opsi Call Tipe Eropa dengan Perluasan Model Vasicek dan Model Cox-Ingersoll-Ross. Penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Ibu Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing I yang telah sabar memberikan bimbingan, saran, dan kritik sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan dengan baik; 2. Ibu Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah sabar memberikan bimbingan, saran, dan kritik sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan dengan baik; 3. Ibu Dr.Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS. Selaku moderator dalam seminar dan dosen penguji atas waktu luangnya dan kesedian memeriksa abstrak penulis; 4. Seluruh dosen Departemen Matematika atas semua ilmu yang telah bapak dan ibu berikan kepada penulis; 5. Kelurgaku tercinta: Tarwa (Almarhum mama) walaupun beliau telah tiada tetapi kasih sayangmu masih ku rasa. Eli Lutpah Patimah (mimi) yang telah memberikan doa, kasih sayang, motivasi dan kerja kerasnya untuk mengkuliahkan putramu ini. Kakak-kakakku Neni Nur’aeni Jamilah (ceu Neni), Nina Nurhasanah, S.Far, Apt (ceu Na), Nunu Nur’aziz Hakim, S.Hut (a Nunu), Kikie Lukita Andhara, SE (a Kikie), Dini Christin Natalia, S.Hut (teh Dini), dan adikku Neno Dede Nurul Fadli (Dede) terima kasih atas doa, motivasi nasehat dan bantuannya; 6. Shanty Raharjo Pratama, S.TP terima kasih atas doa, motivasi dan semangatnya; 7. Sendi Ahmad Nugraha, teman kosan, terima kasih atas semua bantuan; 8. Staf dan pegawai Departemen Matematika; 9. Resti dan Peli, teman satu bimbingan, seperjuangan, senasib dan sepenanggungan penulis, terimakasih atas bantuan dan semangatnya; 10. Ruhiyat, Iful dan Pepi yang telah bersedia menjadi pembahas dalam seminar tugas akhir penulis; 11. Teman-teman matematika 43: Subro, Ace, Irsyad, Nurmalina, Lia, Elly, Coeey, Slamet, Sofyan, Lina, Supri, Nia, Ecka, CC, Desi, SN, Emta, NS, Syahrul, Destya, Ria, Apri, Andrew, Wira, Ratna, Agung, Albrian, Gandi, Margi, Zul, Adhi, Fardan, Dandi, Razon, Narsih, Vera, Putri, Aini, Nidya, Nene, Arum, Tami, Rias, Erchan, Suci, sabar, Kabil, Ucok, Arif, Kiki, Kunto, Hendra, Faizul, David dan Paisol atas doa, dukungan dan kebersamaannya selama ini; 12. Kakak-kakak kelas dan adik-adik kelas yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu terima kasih atas doa dan dukungannya. 13. Akhirnya penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang ikut membantu dan tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Penulis menyadari karya ilmiah ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, dibutuhkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi kita semua, bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika Bogor, Januari 2011
Nanu Nurul Fajri
RIWAYAT HIDUP Nanu Nurul Fajri dilahirkan di Majalengka pada tanggal 9 Oktober 1987 sebagai anak keempat dari lima bersaudara, dari pasangan Tarwa dan Eli Lutpah Patimah. Penulis memulai pendidikan di SD Negeri Buntu I pada tahun 1994. Pada tahun 2003, penulis menamatkan pendidikan tingkat pertama di SLTP Negeri 2 Ligung dan pada tahun yang sama, diterima di SMA Pasundan 2 Bandung. Pada tahun 2006, penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor (USMI). Penulis memilih Mayor Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam angkatan 43. Selama menjalani perkuliahan, penulis aktif di Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) IPB sebagai staff departemen Sosial, Informasi dan Komunikasi pada tahun 2008 dan ketua Divisi Hubungan Alumni pada tahun 2009. Penulis juga aktif di Organisasi Mahaswiwa Daerah (OMDA) Himpunan Mahasiswa Majalengka (HIMMAKA) sebagai Wakil Ketua pada tahun 2007, dan anggota Koperasi Mahasiwa IPB tahun 2007-2009. Beberapa kepanitiaan yang pernah diikuti penulis diantaranya adalah Pemilihan Raya BEM KM IPB pada tahun 2008, Pesta Sains pada tahun 2008, Welcome Ceremony Mathematics pada tahun 2008, Campus Fair Kopma IPB pada tahun 2008 dan lain sebagainya. Dalam mengamalkan ilmu yang didapat, penulis pernah menjadi pengajar Pengantar Matematika pada tahun 2008, dan pengajar private di rumah pada tahun 2009.
DAFTAR ISI
I
II
III
IV V VI
Halaman DAFTAR TABEL viii DAFTAR GAMBAR viii DAFTAR LAMPIRAN viii PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ………………………………………………………………… 1 1.2 Tujuan Penulisan ……………………………………………………………… 1 1.3 Metodologi dan Sistematika Penulisan ……………………………………….. 1 LANDASAN TEORI 2.1 Istilah Ekonomi dan Keuangan ……………………………………………….. 2 2.2 Proses Stokastik ………………………………………………………………. 4 2.3 Gerak Brown ………………………………………………………………….. 6 2.4 Proses Wiener ………………………………………………………………… 6 2.5 Proses Itô ……………………………………………………………………… 6 PEMBAHASAN 3.1 Model Vasicek ………………………………………………………………… 7 3.2 Perluasan Model Vasicek ……………………………………………………… 7 3.3 Penentuan nilai Opsi call tipe Eropa pada Zero Coupon Bond menggunakan 9 Perluasan Model Vasicek ……………………………………………………… 3.4 Model Cox-Ingersoll-Ross …………………………………………………….. 10 3.5 Penentuan nilai Opsi call tipe Eropa pada Zero Coupon Bond menggunakan Model Cox-Ingersoll-Ross …………………………………………………….. 10 SIMULASI 4.1 Simulasi pada Model CIR ……………………………………………………... 11 4.2 Simulasi pada Perluasan Model Vasicek ……………………………………… 11 SIMPULAN …………………………………………………………………………... 14 DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………………… 15 LAMPIRAN …………………………………………………………………………... 16
DAFTAR TABEL 1 2 3
Halaman Nilai Opsi call Tipe Eropa pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun menggunakan Model CIR …………………………………………………………….. 11 Nilai Opsi call Tipe Eropa pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun menggunakan Perluasan Model Vasicek ……………………………………………… 12 Nilai Opsi call Tipe Eropa pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun …….. 13
DAFTAR GAMBAR 1 2 3
Halaman Nilai Opsi call vs Waktu pada Model CIR dengan harga strike $85 ………………… 11 Nilai Opsi call vs Waktu pada Perluasan Model Vasicek dengan harga strike $85 ………………………………………………………………. 12 Nilai Opsi call vs Waktu dengan harga strike $85 …………………………………… 13
DAFTAR LAMPIRAN 1 2 3 4 5 6 7 8
Halaman Bukti Lema Itô ………………………………………………………………………... 17 Penurunan persamaan (11) ……………………………………………………………. 20 Penurunan persamaan (13) – (17) ……………………………………………………. 22 Bukti Bahwa Persamaan (22) dan (23) Memenuhi Kondisi Batas yang Diberikan ………………………………………………………… 23 Penurunan Persamaan (24) dan (25) ………………………………………………….. 24 Bukti volatilitas harga zero coupon bond ……………………………………………... 27 Penurunan persamaan (28) ……………………………………………………………. 27 Program Simulasi menggunakan Mathematica 7.0 …………………………………… 28
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Produk turunan (derivative product) merupakan suatu instrumen keuangan yang nilainya bergantung pada nilai aset yang mendasarinya. Perkembangan produk turunan mengalami peningkatan yang sangat pesat. Opsi adalah salah satu produk turunan yang mengalami perkembangan tersebut dan hingga saat ini opsi banyak diperdagangkan di bursa. Opsi yang akan dibahas pada tulisan ini adalah opsi call tipe Eropa yang dikenakan kepada obligasi. Jenis obligasi yang akan dibahas adalah zero coupon bond atau obligasi tanpa kupon. Pihak penerbit berkewajiban untuk melunasi pokok investasi dalam obligasi pada waktu jatuh tempo. Opsi obligasi (bond options) adalah obligasi yang dapat dijual kembali, obligasi yang mengijinkan pemegangnya untuk meminta penarikan lebih awal pada harga yang ditentukan sebelumnya pada waktu tertentu di masa mendatang. Penentuan nilai opsi ini bisa menggunakan beberapa model, diantaranya adalah model Vasicek dan model Cox-Ingersoll-Ross (CIR). Tetapi model Vasicek dapat memberikan nilai suku bunga yang negatif, model CIR
memberikan alternatif supaya suku bunga tidak negatif. 1.2 Tujuan Penulisan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah sebagai berikut: 1. Menganalisis perluasan model Vasicek. 2. Membandingkan nilai opsi yang diperoleh menggunakan perluasan model Vasicek dengan model satu-faktor Cox-IngersollRoss. 1.3 Metodologi dan Sistematika Penulisan Metodologi karya ilmiah ini adalah studi pustaka dengan referensi utama adalah jurnal yang ditulis oleh John Hull dan Alan White berjudul Pricing Interest Rate Derivative Securities tahun 1990. Pada bab satu diberikan latar belakang dari permasalahan penentuan nilai opsi call tipe Eropa. Pada bab dua diberikan landasan teori yang akan digunakan sebagai dasar pengerjaan karya ilmiah. Sedangkan pada bab tiga akan diuraikan mengenai model Vasicek dan model CIR. Pada bab empat akan diberikan simulasi dari nilai opsi. Pada bab lima akan diberikan kesimpulan yang diperoleh dari karya ilmiah ini. Pada bab terakhir akan diberikan daftar pustaka.
II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan teori penunjang yang akan digunakan di dalam pembahasan. 2.1 Istilah Ekonomi dan Keuangan Definisi 1 (Investasi) Dalam keuangan, investasi dapat diartikan sebagai pengeluaran untuk membeli suratsurat berharga seperti saham dan sekuritas lainnya. Investasi tersebut dikenal juga dengan sebutan investasi keuangan. Dalam analisis ekonomi, istilah investasi sering dihubungkan dengan investasi fisik atau investasi pada aset nyata. Investasi fisik menghasilkan aset baru yang akan menambah kapasitas produksi suatu perusahaan, sementara investasi keuangan hanya memindahkan kepemilikan dari aset yang sudah ada dari seseorang atau lembaga kepada pihak yang lainnya. (Pass et al. 1988) Definisi 2 (Contingent Claim) Contingent Claim adalah sekuritas yang memberikan imbal hasil yang tergantung pada nilai aset lain seperti harga komoditas, harga saham dan obligasi, atau nilai indeks pasar. (Bodie et al. 2002) Definisi 3 (Primitive Security) Sekuritas primitif (Primitive Security) adalah instrumen seperti saham atau obligasi yang pembayarannya hanya tergantung pada status keuangan pihak penerbit. (Bodie et al. 2002) Definisi 4 (Derivative security) Sekuritas derivatif (derivative security) dibentuk dari perangkat sekuritas primitif yang menghasilkan imbal hasil yang tergantung pada faktor-faktor di luar karakteristik pihak penerbit dan mungkin dikaitkan dengan harga aset lain. (Bodie et al. 2002) Teori Tentang Opsi Opsi pada suatu aset adalah suatu kontrak antara dua pihak, yang memberikan hak,
tetapi bukan kewajiban, untuk melakukan jual atau beli aset pada harga tertentu yang disebut strike price atau exercise price dan dalam jangka waktu tertentu (jatuh tempo). Definisi 5 (Opsi Call) Opsi call memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu aset pada harga tertentu yang disebut harga eksekusi (exercise/strike price) pada saat atau sebelum tanggal jatuh tempo (maturity) yang ditentukan. Definisi 6 (Opsi Put) Opsi put memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual suatu aset dengan harga eksekusi tertentu pada saat atau sebelum tanggal jatuh temponya. Berdasarkan waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi Eropa (European option) dan opsi Amerika (American option). Opsi Eropa hanya dapat dieksekusi pada saat kontrak jatuh tempo, sedangkan opsi Amerika dapat dieksekusi sebelum atau pada saat kontrak jatuh tempo. (Bodie et al. 2002) Definisi 7 (Volatilitas) Volatilitas menyatakan tingkat risiko suatu aset yang ditunjukkan oleh keacakan harga saham. Semakin besar nilai volatilitas, semakin tak terduga pergerakan harga saham. Sebaliknya, semakin kecil volatilitas, semakin mudah untuk menduga harga saham tersebut. (Morgenson dan Harvey 2002) Teori Tentang Obligasi Karakteristik obligasi meliputi nilai obligasi, jangka waktu obligasi, tingkat suku bunga dan penjadwalan pembayaran. Nilai Pari Nilai pari adalah nilai yang ditetapkan atas obligasi. Nilai tersebut menunjukkan jumlah uang yang dipinjam dan dibayar kembali oleh perusahaan pada tanggal jatuh tempo. Misalkan, bila perusahaan membutuhkan dana
3 sebesar 500 miliar rupiah maka akan diterbitkan obligasi bernilai 500 miliar rupiah. Jangka waktu Obligasi Jangka waktu obligasi adalah masa jatuh tempo atau berakhirnya masa pinjaman. Masa jatuh tempo obligasi di Indonesia 1 sampai 10 tahun, rata-rata masa jatuh tempo obligasi di Indonesia adalah 5 tahun. Semakin pendek jangka waktu obligasi maka akan semakin diminati investor, karena risikonya kecil. Pada saat jatuh tempo, pihak penerbit obligasi berkewajiban untuk melunasi pokok investasi di dalam obligasi tersebut. Sebagai contoh, perusahaan mengeluarkan obligasi dengan nilai 500 miliar rupiah untuk jangka waktu 5 tahun maka saat memasuki masa jatuh tempo, perusahaan wajib membayar pinjaman atau sebesar 500 miliar rupiah kepada investor beserta bunganya. Tingkat Suku Bunga Untuk menarik minat para investor, maka perusahaan harus memberikan insentif yang menarik berupa bunga yang relatif lebih besar dari pada tingkat suku bunga perbankan. Istilah tingkat suku bunga dalam instrumen obligasi dikenal dengan nama kupon obligasi. Penentuan besarnya kupon obligasi sangat penting, untuk dapat menarik minat investor tentunya juga harus mempertimbangkan kemampuan perusahaan untuk membayar kupon tersebut sampai jatuh tempo. Ukuran tingkat suku bunga sangat dipengaruhi oleh tingkat risikonya. Obligasi dengan tingkat risiko yang lebih tinggi, tentunya akan menawarkan tingkat suku bunga yang lebih tinggi dibandingkan dengan obligasi yang memiliki risiko lebih rendah. Jadwal Pembayaran Jadwal pembayaran adalah periode waktu yang mewajibkan perusahaan penerbit membayar kupon obligasi. Pembayaran dilakukan secara berkala dengan kesepakatan sebelumnya, bisa dilakukan triwulan, semesteran atau tahunan. Ketepatan pembayaran kupon obligasi kepada investor merupakan aspek penting dalam menjaga reputasi perusahaan.
Definisi 8 (Yield to Maturity) Yield to maturity adalah suku bunga selama T periode yang membuat nilai kini dari pembayaran obligasi sama dengan harganya. Suku bunga yang dimaksud dapat digambarkan sebagai rata-rata dari suku bunga yang akan dihasilkan oleh suatu obligasi yang dibeli sekarang dipertahankan sampai waktu jatuh tempo. (Bodie et al. 2002) Definisi 9 (Zero-Coupon Bond) Zero-coupon bond adalah salah satu jenis obligasi yang tidak memberikan kupon pada pemegang obligasi. Obligasi jenis ini hanya memberikan satu kali cash flow (pembayaran) pada pemiliknya yaitu pada saat waktu jatuh tempo obligasi sebesar nilai pari. (Rolski et al. 1999) Definisi 10 (Short Rate) Short rate adalah suku bunga yang berlaku pada interval waktu tertentu. (Bodie et al. 2002) Definisi 11 (Forward Rate) Forward rate adalah short rate yang berlaku pada tahun ke-n sedemikian sehingga return dari 2 strategi investasi selama n tahun dan investasi n-1 tahun kemudian diinvestasikan kembali pada tahun ke-n akan sama. Jika forward rate untuk periode n adalah , maka didefinisikan oleh persamaan 1 , 1 1 atau dituliskan 1 1 1 n adalah periode waktu, adalah yield to maturity dan jatuh tempo setelah n-periode. Jadi, total return pada 2 strategi investasi selama n tahun akan sama jika short rate pada tahun ke-n sama dengan . Definisi 12 (Sktruktur Waktu Suku Bunga) Struktur waktu suku bunga (term structure of interest rates) menyatakan hubungan antara yield to maturity dengan waktu jatuh temponya. (Fabozzi dan Modigliani 2003)
4 Teori-teori dari struktur waktu, yaitu 1. Hipotesis Harapan Hipotesis harapan adalah hipotesis sederhana dari struktur waktu yang menyatakan bahwa nilai forward rate periode n sama dengan nilai harapan dari short rate pada waktu mendatang pada periode n, dituliskan , Bahwa liquidity premium sama dengan nol. Sebagai ilustrasi 1 1 1 1 1 1 Maka, yield to maturity selama n periode dapat ditentukan oleh yield to maturity yang berlaku selama n-1 periode dan harapan suku bunga yang berlaku pada periode n. 2. Liquidity Preference Liquidity Preference menyatakan bahwa investor jangka pendek tidak ingin memiliki obligasi jangka panjang jika , dan investor jangka panjang tidak ingin memiliki obligasi jangka pendek jika , . Teori liquidity preference menyimpulkan bahwa investor jangka pendek mendominasi pasar maka forward rate lebih besar dari nilai harapan short rate. Selisih antara dengan disebut liquidity premium pada waktu n, yang nilainya diharapkan positif. 3. Segmentasi Pasar Teori segmentasi pasar menyatakan bahwa obligasi jangka pendek dan obligasi jangka panjang memiliki pasar masing-masing yang berbeda, karena setiap obligasi mempunyai keseimbangan masing-masing yang saling bebas. Suku bunga jangka pendek ditentukan oleh penawaran dan permintaan pada pasar obligasi jangka pendek, begitu pun suku bunga jangka panjang. Struktur waktu suku bunga ditentukan oleh keseimbangan suku bunga pada berbagai waktu jatuh tempo pasar obligasi. (Bodie et al. 2002)
Definisi 13 (Teori Portfolio) Jika 2 aset dengan ragam masing-masing adalah dan dikombinasikan dalam satu portfolio dengan proporsi masing-masing dan , maka ragam portofolio diberikan oleh persamaan berikut 2
cov
,
Dengan cov , dan cor , . cor , adalah korelasi antara return aset 1 dan return aset 2, dengan nilai 1 1. 1 artinya kedua aset mempunyai korelasi negatif sempurna, sedangkan 1 artinya kedua aset mempunyai korelasi positif sempurna. (Bodie et al. 2002) 2.2 Proses Stokastik Proses stokastik digunakan sebagai model matematika untuk mewakili suatu peubah yang nilainya berubah secara acak menurut waktu. Untuk memahami proses stokastik diperlukan definisi berikut Definisi 14 (Percobaan Acak) Dalam suatu percobaan sering kali dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan pasti. Percobaan yang semacam ini disebut percobaan acak. (Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 15 (Ruang Contoh) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh (ruang sampel), dinotasikan dengan Ω. (Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 16 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. (Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 17 (Medan- ) Medanadalah himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian dari
5 :
0,1 yang diberikan . (Grimmett dan Stirzaker 1992)
ruang contoh Ω yang memenuhi syarat-syarat berikut:
adalah fungsi oleh
1. . 2. Jika , , , … . , maka ∞ . 3. Jika maka , dengan menyatakan komplemen dari himpunan . (Hogg et al. 2005)
Definisi 22 (Peubah Acak Kontinu) Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat diekspresikan sebagai:
Definisi 18 (Ukuran Peluang) Suatu ukuran peluang P pada ruang ukuran Ω, adalah fungsi : 0,1 yang memenuhi: 1. Untuk setiap kejadian berlaku 1. 2. Ω 1. 3. Jika , , ,…. adalah barisan kejadian-kejadian yang saling lepas yaitu , untuk setiap pasangan , dengan maka: ∞
∞
Pasangan (Ω, , disebut dengan ruang peluang (probability space). (Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 19 (Peubah Acak) Misalkan adalah medan- dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak adalah suatu fungsi Ω: dengan sifat Ω: untuk setiap . (Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 20 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang tercacah , , , … dari . Catatan: Suatu himpunan bilangan C disebut bilangan tercacah jika C terdiri atas bilangan berhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif. (Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 21 (Fungsi Masa Peluang) Fungsi masa peluang (probability mass function) dari suatu peubah acak diskret X
∞
untuk suatu fungsi : 0, ∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut fungsi kepekatan peluang bagi . (Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 23 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret) Jika adalah peubah acak diskret dengan himpunan semua kemungkinan nilai X adalah A dan dengan fungsi massa peluang , maka nilai harapan dari adalah
jika jumlah diatas konvergen mutlak. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai harapan dari X tidak ada. (Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 24 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu) Jika adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang , maka nilai harapan dari adalah ∞ ∞
jika jumlah diatas konvergen mutlak. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai harapan dari X tidak ada. (Grimmett dan Stirzaker 1992) Lema 1 (Sifat Nilai Harapan) Beberapa sifat dari nilai harapan diantaranya: 1. Jika adalah suatu konstanta, maka . 2. Jika adalah suatu konstanta dan adalah peubah acak, maka .
6 3. Jika , adalah konstanta dan , adalah suatu peubah acak, maka , , . (Bukti : Lihat Hogg et al. 2005) (Hogg et al. 2005)
Untuk proses stokastik yang didefinisikan pada ruang probabilitas (Ω, , berlaku hal berikut: Misalkan adalah proses Wiener pada (Ω, , . Integral stokastik adalah proses stokastik dengan bentuk:
Definisi 25 (Ragam dan Simpangan Baku) Misalkan adalah peubah acak (diskret atau kontinu). Ragam atau dinotasikan dengan , didefinisikan
0
, ,
2 (Hull 2003)
Standar deviasi didefinisikan
dinotasikn dengan
,
(Ghahramani 2005) Definisi 26 (Proses Stokastik) Proses stokastik , adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state . 2.3 Gerak Brown Proses stokastik , disebut gerak Brown jika: 1. 0 0 2. Untuk 0 , peubah acak , 1, 2, … . , saling bebas. 3. Untuk 0, berdistribusi normal dengan rataan 0 dan ragam . (Hull 2003) 2.4 Proses Wiener Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan ragam 1. Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak dapat dinyatakan sebagai berikut: (1) disebut sebagai komponen deterministik dan menyatakan komponen stokastik, serta adalah proses Wiener, sedangkan dan masing-masing menyatakan drift rate dan variance rate dari .
2.5 Proses Itô Proses Itô adalah proses Wiener umum dengan dan menyatakan suatu fungsi dari peubah acak dan waktu . Proses Itô dapat dinyatakan sebagai berikut: , , . (3) (Hull 2003) Lema 2 (Lema Itô) Misalkan proses memenuhi persamaan (3) dan fungsi , adalah kontinu serta turunan-turunan , , , kontinu, maka , memenuhi persamaan berikut: , , 1 4 , 2 dengan ,
,
dan 0 (Hull 2003) Bukti: Lihat Lampiran 1
III. PEMBAHASAN Dalam bab ini akan dijelaskan tentang beberapa model satu-faktor, diantaranya adalah model Vasicek, model Cox-IngersollRoss. Kedua model tersebut dapat diperluas, namun dalam karya ilmiah ini hanya akan dijelaskan salah satunya yaitu perluasan model Vasicek. Selanjutnya akan diberikan model penentuan nilai opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond. Misalkan diberikan model one-statevariable dari struktur waktu di mana tingkat suku bunga jangka pendek, r, mengikuti proses mean reversion (5) di mana a, b, σ dan β adalah konstanta positif dan dz adalah proses Wiener. Hal ini masuk akal untuk menduga bahwa dalam beberapa situasi ekspektasi pasar tentang suku bunga masa depan melibatkan parameter yang tergantung pada waktu. Dengan kata lain, drift rate dan volatilitas dari r merupakan fungsi dari waktu. Ketergantungan dari waktu dapat timbul dari sifat siklus ekonomi, harapan masa depan tentang dampak kebijakan moneter, dan tren yang diharapkan dalam variabel makro ekonomi lainnya. Pada karya ilmiah ini model pada persamaan (5) akan diperluas untuk mencerminkan ketergantungan waktu ini. Akan ditambahkan drift yang tergantung waktu, , pada persamaan (5), dan memungkinkan reversion rate, a, dan faktor volatilitas, σ, menjadi fungsi dari waktu, sehingga model menjadi seperti berikut:
(6)
3.1 Model Vasicek Model Vasicek adalah model satu-faktor yang merupakan kasus khusus dari persamaan (5) dengan asumsi 0. Sehingga diperoleh persamaan .
(7)
Model Vasicek juga digunakan untuk menentukan nilai zero coupon bond pada waktu t dengan nilai pari sebesar $1 pada saat jatuh tempo T, dengan persamaan harga obligasi diberikan oleh teorema berikut: Teorema 3.1 Misalkan t adalah waktu, dengan T adalah waktu jatuh tempo obligasi dan r adalah suku bunga bebas risiko. Maka harga zero coupon bond untuk 0 adalah ,
,
,
(8)
dengan ,
,
exp
1
9
,
2
, 4
. 10
Bukti: lihat (Rolski et al. 1999) . Pada persamaan (8), merupakan nilai r pada saat t, 0
1 11
Bukti: lihat Lampiran 2 Salah satu kelemahan dari asumsi 0 adalah bahwa tingkat suku bunga jangka pendek, r, bisa menjadi negatif. 3.2 Perluasan Model Vasicek Perluasan model Vasicek merupakan kasus khusus dari persamaan (6) dengan 0, sehingga diperoleh persamaan berikut: (12)
8 penentuan harga obligasi pada persamaan (8), (9) dan (10). Fungsi, , dalam model diperluas harus dipilih untuk mencerminkan volatilitas saat ini dan masa depan tingkat suku bunga jangka pendek, r. Langkah pertama dalam analisis adalah menentukan , , , dan , dalam hal 0, , 0, , dan . Turunkan persamaan (15) dan (16) terhadap T, maka diperoleh
Harga dari contingent claim, f, tergantung pada r memenuhi 1 2
0 13
dimana . Harga zero coupon bond dengan nilai pari sebesar $1 pada waktu T adalah solusi untuk persamaan (13) yang memenuhi syarat batas 1 saat , diberikan persamaan berikut , ,
2
(19)
(14) Eliminasi dari persamaan (16) dan (19) menghasilkan
Persamaan (14) memenuhi persamaan (13) dan kondisi batas 1 0 15 2
0. Eliminasi menghasilkan
dan 1
0 18
2 0.
,
,
0,
(16)
(20)
dari persamaan (15) dan (18)
dengan ,
1;
,
0.
Bukti : lihat Lampiran 3
Kondisi batas untuk persamaan (20) dan (21) adalah nilai-nilai diketahui 0, dan 0, , , 1, dan , 0. Solusi untuk (20) dan (21) yang memenuhi kondisi batas adalah persamaan (22) dan (23). Selanjutnya substitusikan persamaan (22) dan (23) ke persamaan (15) dan (16), sehingga diperoleh persamaan (24) dan (25).
Ini berarti bahwa jika persamaan (15) dan (16) diselesaikan sesuai dengan kondisi batas pada persamaan (17), persamaan (14) merupakan harga dari zero coupon bond yang jatuh tempo pada T. Penyelesaian persamaan (15) dan (16) untuk situasi dimana , , dan konstan mengikuti formula Vasicek untuk 0,
,
,
0,
0,
,
log ,
.
0,
22
0, / 0,
, 1 2
di mana
0. 21
2
(17)
,
0, 0,
/
23
9
0, / 0, / 0,
0,
24 0, 0,
/
25
Bukti: lihat Lampiran 5
3.3 Penentuan nilai Opsi call tipe Eropa pada Zero Coupon Bond menggunakan Perluasan Model Vasicek Misalkan , , adalah harga pada saat dari zero coupon bond yang jatuh tempo pada saat . Maka persamaan harga obligasi dapat ditulis sebagai berikut, , ,
,
,
sehingga nilai opsi C diberikan oleh
, ,
dimana 1
log
, , , ,
2
.
Bukti: lihat Lampiran 6 Karena volatilitas tersebut tidak bergantung pada r, distribusi harga obligasi pada waktu tertentu tergantung pada harga pada waktu sebelumnya harus lognormal. Diberikan opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond, dengan karakteristik opsi X = harga strike L = nilai pari (par value) T = waktu jatuh tempo opsi s = waktu jatuh tempo obligasi t = waktu, . Opsi call dapat dianggap sebagai pilihan untuk pertukaran unit X dari zero coupon bond yang jatuh tempo pada T waktu untuk satu unit zero coupon bond yang jatuh tempo pada saat s. Diberikan
, , (26)
2
Menggunakan lema Itô, diperoleh volatilitas , , , . adalah σ
= volatilitas harga zero coupon bond yang jatuh tempo pada waktu s, pada waktu τ = volatilitas harga zero coupon bond yang jatuh tempo pada waktu T, pada waktu τ = korelasi langsung antara dua harga obligasi.
(27) dan • adalah fungsi distribusi kumulatif normal. Salah satu karakteristik dari model satu-faktor adalah instantaneous returns pada obligasi adalah berkorelasi positif sempurna, sehingga, 1. Selanjutnya, volatilitas dari obligasi yang jatuh tempo pada s dan T dapat ditulis , , , . Sehingga, ,
.
,
Dari persamaan (22) menjadi
0, 0,
0,
/
. (28)
Bukti: lihat Lampiran 7 Persamaan (26) dan (28) memberikan solusi analitik sederhana untuk harga opsi call tipe Eropa.
10 3.4 Model Cox-Ingersoll-Ross Model Cox-Ingersoll-Ross (CIR) adalah model satu-faktor dan pertama kali menghilangkan kemungkinan dari suku bunga yang negatif. Model CIR dapat dinyatakan oleh persamaan (5) dengan 0.5. √
,
2
,
dimana 2
3.5 Penentuan nilai Opsi call tipe Eropa pada Zero Coupon Bond menggunakan Model Cox-Ingersoll-Ross Misalkan diberikan opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond, dengan karakteristik opsi X L T s t
1
, / ,
• adalah fungsi distribusi noncentral khikuadrat. (Cox et al. 1985)
= = = = =
harga strike nilai pari (par value) waktu jatuh tempo opsi waktu jatuh tempo obligasi waktu,
sehingga nilai persamaan (33)
,
2
.
Bukti: lihat (Rolski et al. 1999).
(30)
dimana
2 (32)
; ,
log
1
(29)
dengan
2
2
,
Teorema 3.2 Misalkan t adalah waktu, dengan T adalah waktu jatuh tempo obligasi dan r adalah suku bunga bebas risiko. Maka harga zero coupon bond untuk 0 adalah ,
1 1
(31)
dimana, dz adalah proses Wiener untuk mengukur risiko netral. Model CIR ini juga dapat digunakan dalam penentuan tingkat suku bunga derivatif. Faktor standar deviasi model CIR ini adalah √ , sehingga memastikan bahwa tingkat bunga tidak akan menjadi negatif. Pada model CIR, formulasi untuk menghitung harga zero coupon bond pada waktu t dengan nilai pari sebesar $1 pada saat jatuh tempo T diberikan oleh teorema 3.2
,
2
,
4
opsi
C,
diberikan
oleh
2
,
, 2
;
4
,
2
33
IV. SIMULASI 0.2 0.06 1 $100 0.217 115.904
Pada bagian ini diberikan simulasi yang akan membandingkan, seberapa baik perluasan model Vasicek dapat menduplikasi harga opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond. Perluasan model Vasicek akan dibandingkan dengan model satu-faktor CIR. 4.1 Simulasi pada Model satu-faktor CIR Dengan menggunakan persamaan (30) (33), dipilih nilai parameter sebagai berikut 0.2, 0.02, 0.06 dan tingkat suku bunga 10% per tahun, akan dihitung nilai opsi call tipe Eropa dengan waktu jatuh tempo 1 tahun pada zero coupon bond dengan waktu jatuh tempo 3 tahun. Diketahui nilai pari $100 dan harga strike $85. Dari illustrasi tersebut, diperoleh nilai-nilai sebagai berikut:
0.02 0.1 3 $85 497.39 0.114
74.16
63.03
140.79; 22.22, 89.36 140.41; 22.22, 100.26
0.0765 Tabel 1 menunjukan nilai opsi call tipe Eropa untuk beberapa harga strike dan jangka waktu, pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun menggunakan model CIR.
Tabel 1 Nilai Opsi call Tipe Eropa pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun menggunakan Model CIR Jangka Harga Strike Waktu Opsi 80 82.5 85 87.5 90 (Tahun) 1 2.0162 0.6053 0.0765 0.0025 0.0000 1.25 3.5988 1.6760 0.4458 0.0449 0.0009 1.5 5.2962 3.1948 1.3741 0.3044 0.0204 1.75 6.9867 4.8909 2.8418 1.1013 0.1831 2 8.6379 6.5904 4.5446 2.5363 0.8513 2.25 10.2471 8.2498 6.2525 4.2557 2.2796 2.5 11.8151 9.8668 7.9186 5.9703 4.0220 8
Nilai Opsi Call
7 6 5 4 3 2 1 0 1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
Jatuh Tempo Opsi Gambar 1 Nilai Opsi Call vs Waktu pada Model CIR dengan harga strike $85
4.2 Simulasi pada Perluasan Model Vasicek Asumsikan bahwa , , dan adalah parameter dari model CIR dan model ini menggambarkan evolusi yang benar dari
struktur waktu. Ini berarti bahwa 0, dan 0, fungsi yang akan diperkirakan untuk perluasan model Vasicek
12
2
0,
0,
2
1
2
1 1
2
34
35
dimana 2
.
Fungsi A dan B lengkap untuk perluasan model Vasicek dapat dihitung dari 0, dan 0, pada persamaan (34) dan (35) menggunakan persamaan (22) dan (23). Persamaan (26) dan (28) dapat digunakan
untuk menilai opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond. Parameter nilai-nilai tersebut dipilih 0.02 dan 0.2. Tingkat suku bunga jangka pendek awal diasumsikan 10% per tahun. Untuk Perluasan Model Vasicek, sudah ditetapkan sama dengan konstanta 0.06√0.1 , ini memastikan bahwa volatilitas suku bunga jangka pendek suku setara dalam model CIR. Subtitusikan persamaan (34) dan (35) ke persamaan (26) dan (28). Tabel 2 menunjukan menunjukan nilai opsi call tipe Eropa untuk beberapa harga strike dan jangka waktu, pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun menggunakan Perluasan Model Vasicek.
Tabel 2 Nilai Opsi call Tipe Eropa pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun menggunakan Perluasan Model Vasicek Jangka Waktu Opsi (Tahun) 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5
Harga Strike 80
82.5
1.9945 3.5834 5.2932 6.9866 8.6379 10.2471 11.8151
0.6145 1.6550 3.1772 4.8883 6.5904 8.2498 9.8668
85
87.5
90
0.0987 0.4625 1.3561 2.8243 4.5431 6.2525 7.9186
0.0075 0.0660 0.3269 1.0873 2.5214 4.2553 5.9703
0.0003 0.0044 0.0372 0.2084 0.8416 2.2698 4.0220
8
Nilai Opsi Call
7 6 5 4 3 2 1 0 1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
Jatuh Tempo Opsi Gambar 2 Nilai Opsi call vs Waktu pada Perluasan Model Vasicek dengan harga strike $85
13 Tabel 3 Nilai Opsi call Tipe Eropa pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun Jangka Waktu Opsi (Tahun) 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5
Harga Strike Model Perluasan Vasicek CIR Perluasan Vasicek CIR Perluasan Vasicek CIR Perluasan Vasicek CIR Perluasan Vasicek CIR Perluasan Vasicek CIR Perluasan Vasicek CIR
80
82.5
85
87.5
90
1.9945 2.0162 3.5834 3.5988 5.2932 5.2962 6.9866 6.9867 8.6379 8.6379 10.2471 10.2471 11.8151 11.8151
0.6145 0.6053 1.6550 1.6760 3.1772 3.1948 4.8883 4.8909 6.5904 6.5904 8.2498 8.2498 9.8668 9.8668
0.0987 0.0765 0.4625 0.4458 1.3561 1.3741 2.8243 2.8418 4.5431 4.5446 6.2525 6.2525 7.9186 7.9186
0.0075 0.0025 0.0660 0.0449 0.3269 0.3044 1.0873 1.1013 2.5214 2.5363 4.2553 4.2557 5.9703 5.9703
0.0003 0.0000 0.0044 0.0009 0.0372 0.0204 0.2084 0.1831 0.8416 0.8513 2.2698 2.2796 4.0220 4.0220
8
Nilai Opsi Call
7 6 5 4
Perluasan Vasicek
3
CIR
2 1 0 1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
Jatuh Tempo Opsi Gambar 3 Nilai Opsi call vs Waktu dengan harga strike $85 Dari gambar tersebut, dapat dilihat bahwa nilai opsi call tipe Eropa yang diperoleh dengan menggunakan perluasan
model Vasicek dan model CIR memberikan hasil yang hampir sama.
V. SIMPULAN Penentuan nilai opsi dapat menggunakan beberapa model, diantaranya adalah model Vasicek dan model Cox-Ingersoll-Ross (CIR). Tetapi model Vasicek dapat memberikan nilai suku bunga yang negatif, model CIR memberikan alternatif supaya suku bunga tidak negatif. Karya ilmiah ini menunjukkan bahwa model Vasicek dapat diperluas. Dalam kasus perluasan model Vasicek, parameter, suku bunga jangka pendek dan nilai opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond dapat
ditentukan secara analitik. Hal ini membuat model sangat menarik sebagai alat praktis. Pada karya ilmiah ini nilai opsi call tipe Eropa yang diperoleh dengan menggunakan perluasan model Vasicek dan model CIR memberikan hasil yang hampir sama. Dari karya ilmiah ini terdapat beberapa hal yang dapat dikaji lebih lanjut oleh pihak-pihak yang tertarik dengan bidang ilmu ini, antara lain adalah nilai opsi put tipe Eropa dan nilai opsi tipe Amerika.
VI. DAFTAR PUSTAKA Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2002. Investments. Ed ke-3. New Jersey: Prentice Hall.
Hull J, White A. 1990. Pricing Interest Rate Derivatives Securities. The Review of Financial Studies 3:573-792.
Cox JC, Ingersoll JE, Ross SA. 1985. A Theory of the Term Structure of Interest Rates. Econometrica 53:385-467.
Hull JC. 2003. Options, Futures and Other Derivatives. Ed ke-5. New Jersey: Pearson Education, Inc.
Fabozzi FJ, Modigliani F. 2003. Capital Markets Institusions and Instrumens. Ed ke -3. New Jersey: Prentice Hall.
Morgenson G, Harvey CR. 2002. The New York Times Dictionary of Money and Investing: The Essential A-to-Z Guide to The Language of The New Market. New York: Times Books.
Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability with Stochastic Processes. Edisi Ke-3. New Jersey: Pearson Education, Inc. Grimmett GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. New York: Clarendon Press Oxford. Hogg RV, Carig A, McKean JW. 2005. Intoduduction to Mathematicals Statistic. Ed ke 6. New Jersey: Pretince Hall inc.
Pass C, Bryne L, Davies L. 1988. Kamus Lengkap Ekonomi. Edisi Ke-2. Rumapea T, Haloho P, penerjemah; Sihombing D, editor. New York: HarperCollins Publishing. Terjemahan dari: Dictionary of Economics, Second Edition. Rolski T, Schimidli H, Schmidt V, Teugels J. 1999. Stochastic Processes for Insurance and Finance. Chicester: John Wiley & Sons.
LAMPIRAN
17 Lampiran 1 Bukti Lema Itô: ,
Misalkan
diberikan. Perhatikan
,
,
,
(1a)
Dengan ,
,
(1b)
Dengan mengkruadratkan kedua ruas pada persamaan (1b), maka diperoleh: 2
, 0
0
,
,
,
,
(1c) 0 dan
Dengan
Selanjutnya dengan menyubsitusikan
. ke persamaan (1a) diperoleh:
dan 1 2
(1d) 1 2 Dari definisi proses Wiener, bentuk differensial stokastik pada persamaan (1d) juga dapat dituliskan dalam bentuk integral stokastik sebagai berikut: ,
0 ,0
,
1 2
,
, (1e) Kemudian akan dibuktikan bahwa persamaan (1e) berlaku. Untuk memperlihatkan bahwa persamaan (1e) berlaku, cukup dilihat untuk kasus dimana a dan b merupakan fungsi konstan terhadap t yaitu , dan ,
18 Sedangkan untuk it yang lebih luas dapat didekati dengan menggunakan limit. Dengan menggunakan Deret Tayor diperoleh: ,
0 ,0
∆
1 2
∆
∆
1 2
∆
∆
∆ (1f)
Dengan ∆ ∆ ,
∆
,
∆
,
∆
untuk semua j
Perhatikan bahwa: 1.
∑
lim∆
∆
∑
lim∆
,
∆
, 2.
∑
lim∆
∆
lim∆
∑
,
∆
, 3.
Dari persamaan (1b) diperoleh ∆
∆
∆
.
Maka, lim
∆
∆
lim
∆
∆
lim
∆
∆ lim
∆
2
∆
∆
∆
2 lim
∆
∆
∆
diperoleh, lim
∆
∆
.
∆
19 Karena ∆
lim
∆
Maka dapat disimpulkan untuk ∆
0 berlaku
0
0 dan
0 sehinnga
∆
0,
0.
Juga diperoleh: ∆
lim
∆
∆
Dan berlaku ∆
lim
∆
Maka dapat disimpulkan untuk ∆
0 berlaku
0,
0 dan
0 sehinnga
0. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa: ∆
lim
∆
,
Misalkan
.
,
. Perhatikan
∆
∆
∆
∆
∆
∆
,
Untuk
,
, ∆
∆ , ∆
∆ adalah saling bebas. Akibatnya nilai
ekspektasi perkaliannya adalah nol. Begitu pula untuk Untuk
.
diperoleh: ∆
∆
∆
3 ∆
2
∆
2 ∆
2 ∆
∆
∆
∆
20 Untuk ∆
0 diperoleh:
lim
2
∆
∆
0.
Karena ∆
∆
0
∆
∆
0
Maka
lim
∆
∆
.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa:
Dari hal di atas juga dapat disimpulkan bahwa untuk ∆
0 maka
0.
Dengan menyubsitusikan hasil yang diperoleh ke persamaan (1f), dapat disimpulkan bahwa persamaan (1e) berlaku. Dengan demikian, Lema 1 Terbukti.
Lampiran 2 Penurunan persamaan (11) Diberikan model Vasicek (2a) Misalkan 0, akan dicari solusi deterministik dari persamaan (2a) dengan menggunakan metode pemisahan variabel
1
Integralkan kedua ruas 1 1
ln
21 ln
(2b) Persamaan (2b) merupakan solusi umum dari persamaan (2a). selanjutnya akan dicari solusi khusus dengan memberikan nilai awal 0 0, sehingga 0 0 Substitusikan
ke persamaan (2a), sehingga didapakatkan solusi khusus dari persamaan (2b) 0 0
1 ■
Dengan menggunakan persamaan (2c) akan dicari solusi persamaan (2a). (2c) Dengan menyubsitusikan persamaan (2a) ke (2c), diperoleh
Integralkan kedua ruas
0
0
0
0
1
1 ■
22 Lampiran 3 Penurunan persamaan (13) – (17)
Dengan asumsi bahwa harga pasar risiko suku bunga memiliki bentuk fungsional , dan dibatasi pada interval waktu 0, . Dengan menggunakan lema Itô untuk menurunkan persamaan diferensial parsial umum yang harus dipenuhi oleh setiap tingkat bunga contingent claim, f: 1 2
1 2
1 2 1 2
1
2
2
(3a)
Harga pasar merupakan risiko yang diperlukan kembali kelebihan atas risk-free rate. Hubungan ini dilambangkan dengan: (3b)
Substitusikan persamaan (3a) ke (3b)
1
2
2 1
2
2 1
2
0
2
0 (3c) dimana
Misalkan bahwa harga dari contingent claim f, sebagai berikut: , , Dengan kondisi batas
, ,
,
,
(3d)
1. Selanjutnya turunkan persamaan (3d), sehingga didapatkan
(3e)
23
Subtitusikan persamaan (3d) dan (3e) ke persamaan (3c) 1
2
0
2 1 2
1
1 0 dengan
,
1
dengan
,
0
0
0
■
Lampiran 4 Bukti Bahwa Persamaan (22) dan (23) memenuhi kondisi batas yang diberikan. Akan dibuktikan persamaan (22) dan (23) memenuhi kondisi batas yang diberikan. •
,
Akan dibuktikan persamaan (22) memenuhi kondisi batas Diketahui persamaan (22) 0, 0, , 0, / Sehingga
0,
,
0
0, 0,
/
0 0, / , •
0
(4a) ■ ,
Akan dibuktikan persamaan (23) memenuhi kondisi batas Diketahui persamaan (23) 0, , 0, 0, , 1 2 Dengan
,
log ,
exp
, 0, 1 2
Subtitusi persamaan (4a)
0,
,
0, ,
, maka
exp
0, ,
1
,
, 0,
0, 0,
/
/
24
,
exp 0
,
0,
0
exp 0
0
exp 0
1
1 0 2
0, 0,
/
0 ■
Lampiran 5 Penurunan Persamaan (24) dan (25) Diketahui persamaan (15) dan (16) 0 1
(5a)
0
(5b)
Turunkan persamaan (5a) terhadap T, maka didapat 0
(5c)
Turunkan persamaan (5b) terhadap T, maka didapat 0 Eliminasi
(5d)
dari persamaan (5b) dan (5d), menghasilkan 0
Eliminasi
(5e)
dari persamaan (5c) dan (5e), menghasilkan 0
(5f)
Kondisi batas untuk (5e) dan (5f) adalah nilai-nilai diketahui 0, dan 0, , , 1, dan , 0. Solusi untuk (5e) dan (5f) yang memenuhi kondisi batas, adalah sebagai berikut ,
, , Di mana
0, ,
0, log
1 ,
1 ,
,
,
(5g)
, /
,
,
,
, , /
(5h)
. Substitusikan ke persamaan (5g) ke (5b), sehingga diperoleh
25 0,
0,
0,
0,
0,
1
0, / 0,
0,
1
0,
0, / 0,
0,
1
0, / 0,
0, /
0,
0, / 0, / Maka persamaan (24) terbukti ■ ,
Karena
log
,
,
,
, maka exp
0,
,
,
. Sehingga 0,
, 0,
,
0,
/
terhadap t, maka exp
, Akan dicari
,
0,
1 2 Turunkan
exp
,
,
,
exp
,
,
,
,
0,
0, 1 2
0,
0,
,
0, 0,
, 1 2
0,
, 0, 0,
/ 0,
,
0,
,
0, 0,
, , ,
/
0,
, ,
0,
0,
,
0,
, 0,
/ 1 2 0,
,
0, 0,
/
,
26 Substitusikan ke persamaan (5h) ke (5a), 1 2 ,
, , 1 2
,
1 2
,
1 ,
1 2
, , ,
, , , 0,
0,
,
,
,
0,
,
0,
1 2
0,
0,
,
0,
,
0,
,
1
,
1 2
/
,
0,
, 0,
0,
0,
0, 0,
0,
0,
0,
0,
/
0,
0, 0, /
0,
0,
/
0, 0,
0, 0,
0,
0,
0,
/
0, 0,
0,
0,
0,
0,
0, 0,
0,
/
0, 0,
/
maka persamaan (25) terbukti ■
27 Lampiran 6 Bukti volatilitas harga zero coupon bond Misalkan , , adalah harga pada saat dari zero coupon bond yang jatuh tempo pada saat . Maka persamaan harga obligasi dapat ditulis sebagai berikut, , ,
,
,
.
Menggunakan lema Itô, diperoleh 1 2
1 2
1 2
1 2
dan , , , ,
Maka terbukti bahwa volatilitas
,
σ ,
adalah σ
■
Lampiran 7 Penurunan persamaan (28) Diketahui persamaan (27) 2 1.
Karena menggunakan model satu-faktor, dengan,
, ,
, .
sehingga,
Subtitusikan persamaan (24)
,
,
,
,
,
,
, , /
.
28 0,
0, 0,
0,
0,
0,
/
0, 0,
0,
0,
0, 0,
/
0,
/
/ 0,
maka persamaan (28) terbukti ■
Lampiran 8 Program Simulasi menggunakan Mathematica 7.0 • .
Diketahui Fungsi Distribusi Kumulatif Normal,
In[1]:= a1 = 0.319381530; a2 = −0.356563782; a3 = 1.781477937; a4 = −1.821255978; a5 = 1.330274429;
In[2]:= norcum @p_D :=
•
1−
p2 − 1 ∗ 2 ∗ Ia1 ∗ 1 ê H1 + 0.2316419 pL + a2 ∗ H1 ê H1 + 0.2316419 pLL2 p≥0 2π + a3 ∗ H1 ê H1 + 0.2316419 pLL3 + a4 ∗ H1 ê H1 + 0.2316419 pLL4 + a5 ∗ H1 ê H1 + 0.2316419 pLL5 M 1 − norcum @−pD
p<0
Model Cox-Ingersoll-Ross (CIR) Diketahui persamaan (31) 2
,
1 1
2
g HT -tL − 1N í JHγ + ψL J g HT -tL − 1N + 2 γN In[3]:= Bcir@t_, T_D := 2 J
Diketahui persamaan (32) 2
, In[4]:= Acir@t_, T_D := 2 γ
1
2
2φ Hg +y L HT -tL 2 σ cir g H T t L 2 ì JHγ + ψL J − 1N + 2 γ N
Persamaan harga obligasi ,
,
,
−Bcir @t,T D r In[5]:= Pcir@r_, t_, T_D := Acir@t, T D
Persamaan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan model CIR, persamaan (33) 2 1
29 In[6]:= Xi@t_, T_D :=
In[7]:= η =
Hγ + ψL σcir2
2γ σcir2 I g HT -tL − 1M
;
, /
log
In[8]:= rstar@T_, s_, L_, X_D :=
LogB
,
Acir @T ,sD F X êL
Bcir@T , sD
2
,
, ,
;
4
2
;
In[9]:= opsiCIR@r_, t_, T_, s_, L_, X_D :=
L Pcir@r , t, sD ∗ NBCDFBNoncentralChiSquareDistributionB 2 rstar@T , s, L, X D HXi@t, T D + η + Bcir@T , sDLFF −
4φ σcir2
X Pcir@r , t, T D ∗ NBCDFBNoncentralChiSquareDistributionB
,
4φ σcir2
2
,
, 4
,
2 ξ
2 HXi@t, T DL2 r g HT -tL
Xi@t, T D + η + Bcir@T , sD
,
2 HXi@t, T DL2 r g HT -tL Xi@t, T D + η
F,
F, 2 rstar@T , s, L, X D HXi@t, T D + ηLFF
•
Perluasan Model Vasicek Subtitusikan persamaan (35) ke persamaan (22) Bcir@0, TD − Bcir@0, tD F In[10]:= SimplifyB D@Bcir@0, tD, tD −t γ
Out[10]=
−
I t γ − T γ M II1 + t γ M γ + I− 1 + t γ M ψM
γ II1 + T γ M γ + I− 1 + T γ M ψM
selanjutnya In[11]:= Bev@t_, T_D := −
−t γ I t γ − T γ M II1 + t γ M γ + I−1 + t γ M ψM γ II1 + T γ M γ + I−1 + T γ M ψM
Diketahui Persamaan (23) ,
0,
0, ,
Karena log
,
log ,
,
0,
1 0, , 2 0, / , substitusikan persamaan (22) sehingga menjadi 0, 0,
log 1 2
log
, 0,
0,
0,
0,
/
Untuk memudahkan, persamaan tersebut akan dibagi menjadi beberapa bagian.
30 log
0,
In[12]:= Simplify@D@Log@Acir@0, tDD, tDD
−
Out[12]=
I− 1 + t γ M φ Iγ2 − ψ2 M
σcir2 II1 + t γ M γ + I− 1 + t γ M ψM
In[13]:= tur1@t_D := −
I−1 + t γ M φ Iγ 2 − ψ2 M σcir2 II1 + t γ M γ + I−1 + t γ M ψM
0,
/
2 In[14]:= IntegrateAH1 ê D@Bcir@0, τD, τDL , 8τ, 0, t<E
Out[14]=
− −2 t γ Hγ − ψL4 − 8 −t γ Hγ − ψL3 Hγ + ψL + 8 t γ Hγ − ψL Hγ + ψL3 + 2 t γ Hγ + ψL4 + 4 γ I− 10 γ2 ψ + 6 ψ3 + 3 t Iγ2 − ψ2 M2 M 32 γ5
In[15]:= int1@t_D :=
1 32 γ5
J− −2 t γ Hγ − ψL4 − 8 −t γ Hγ − ψL3 Hγ + ψL
2 + 8 t γ Hγ − ψL Hγ + ψL3 + 2 t γ Hγ + ψL4 + 4 γ J−10 γ2 ψ + 6 ψ3 + 3 t Iγ2 − ψ2 M NN
maka log
,
0, 0,
log 1 2
In[16]:= Abar@t_, T_D := LogB
dengan
,
log
, 0,
0,
0,
0,
Acir@0, T D
/
1 F − Bev@t, T D ∗ tur1@tD − ∗ HBcir@0, T D − Bcir@0, tDL2 ∗ Hint1@tDL; Acir@0, tD 2
log
,
.
Abar @t,T D In[17]:= Aev@t_, T_D :=
Persamaan harga obligasi ,
,
,
.
−Bev @t,T D∗r In[18]:= Pev@r_, t_, T_D := Aev@t, T D ∗
Persamaan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan perluasan model Vasicek Diketahui persamaan (28) 0,
0,
0,
0,
/
/
31 2 In[19]:= IntegrateAH1 ê D@Bcir@0, τD, τDL , 8τ, t, T<E
Out[19]=
1 32 γ5
2 J −2 t γ JHγ − ψL4 + 8 t γ Hγ − ψL3 Hγ + ψL − 8 3 t γ Hγ − ψL Hγ + ψL3 − 4 t γ Hγ + ψL4 − 12 2 t γ t γ Iγ2 − ψ2 M N +
−2 T γ
2 J− Hγ − ψL4 − 8 T γ Hγ − ψL3 Hγ + ψL + 8 3 T γ Hγ − ψL Hγ + ψL3 + 4 T γ Hγ + ψL4 + 12 2 T γ T γ Iγ2 − ψ2 M NN
In[20]:= int2@t_, T_D := 1 2 J −2 t γ JHγ − ψL4 + 8 t γ Hγ − ψL3 Hγ + ψL − 8 3 t γ Hγ − ψL Hγ + ψL3 − 4 t γ Hγ + ψL4 − 12 2 t γ t γ Iγ2 − ψ2 M N + 32 γ5
−2 T γ J−Hγ − ψL4 − 8 T γ Hγ − ψL3 Hγ + ψL + 8 3 T γ Hγ − ψL Hγ + ψL3 + 4 T γ Hγ + ψL4 + 12 2 T γ T γ Iγ2 − ψ2 M2 NN
sehingga,
In[21]:= sigmaPV@t_, T_, s_D := σ HBcir@0, sD − Bcir@0, T DL
1
In[22]:= ha@r_, t_, T_, s_, L_, X_D :=
log
1
, , , ,
sigmaPV@t, T , sD
2
∗ LogB
int2@t, T D
L Pev@r , t, sD Pev@r , t, T D X
F+
sigmaPV@t, T , sD 2
Persamaan (26) , ,
, ,
In[23]:= opsiEV@r_, t_, T_, s_, L_, X_D := L Pev@r , t, sD norcum @ha@r , t, T , s, L, X DD − X Pev@r , t, T D norcum @ha@r , t, T , s, L, X D − sigmaPV@t, T , sDD
Parameter yang digunakan In[24]:= φ = 0.02;
σ = 0.06 ∗ 0.1 ; σcir = 0.06; ψ = 0.2; γ=
ψ2 + 2 σcir2 ;
In[29]:=
[email protected], 0, 1, 3, 100, 85D Out[29]= 0.0987123 In[30]:=
[email protected], 0, 1, 3, 100, 85D Out[30]= 0.0765442
