Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang (Tulisan ini diadaptasi dari buku PDP yang disusun oleh Dr. Sri Redjeki Pudjaprasetia)
M. Jamhuri UIN Malang
July 2, 2013
M. Jamhuri (UIN Malang)
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
1 / 13
Metode Beda Hingga Perhatikan persamaan gelombang utt − c 2 uxx = 0
(1)
dengan syarat awal u (x, 0) = φ (x) ,
dan
ut (x, 0) = ψ (x)
(2)
Persamaan beda skema CTCS (central time central space) untuk persamaan (1) adalah sebagai berikut n ujn+1 − 2ujn + ujn−1 u n − 2ujn + uj−1 2 j+1 − c =0 (3) ∆t 2 ∆x 2 atau dapat dituliskan sebagai n n ujn+1 = S uj+1 + uj−1 + 2 (1 − S) ujn − ujn−1 (4) dengan c 2 ∆t 2 ∆x 2 Perhatikan bahwa persamaan beda (4) memerlukan dua baris syarat awal, sementara permasalahan kita hanya mempunyai syarat awal (2), yang berarti uj0 , untuk j = 1, . . . , Mx . Untuk memperoleh uj1 terapkan beda pusat dengan akurasi O ∆t 2 pada ut |0j , yaitu S=
uj1 − uj−1 2∆t M. Jamhuri (UIN Malang)
(5)
= ψj
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
2 / 13
Persamaan (4) untuk n = 0 menghasilkan 0 0 + 2 (1 − S) uj0 − uj−1 uj1 = S uj+1 + uj−1 dan karena −uj−1 = 2∆tψj − uj1 maka diperoleh 0 0 + 2 (1 − S) uj0 + 2∆tψj − uj1 uj1 = S uj+1 + uj−1 atau uj1 =
S 0 0 uj+1 + uj−1 + (1 − S) uj0 + ∆tψj 2
(6)
Berikutnya, substitusikan kondisi uj0 = φj pada persamaan (6) sehingga diperoleh uj1 =
S 0 φj+1 + φ0j−1 + (1 − S) φ0j + ∆tψj 2
(7)
Jadi, persamaan beda (4) dapat diterapkan dengan menggunakan uj0 = φj dan persamaan (7) sebagai nilai awal untuk dua baris pertama.
M. Jamhuri (UIN Malang)
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
3 / 13
Syarat Kestabilan Syarat kestabilan dari persamaan beda (4) dapat dicari dengan cara mensubstitusikan ujn = ρn e iaj kedalam persamaan tersebut, yaitu ρn+1 e iaj = S ρn e ia(j+1) + ρn e ia(j−1) + 2 (1 − S) ρn e iaj − ρn−1 e iaj selanjutnya bagi persamaan diatas dengan ρn e iaj , sehingga diperoleh ρ = S e ia + e −ia + 2 (1 − S) − ρ−1
(8)
Karena e ±ia = cos a ± i sin a, maka persamaan (8) dapat ditulis sebagai ρ
=
S ([cos a + i sin a] + [cos a − i sin a]) + 2 (1 − S) − ρ−1
2
=
[2S (cos a − 1) + 2] ρ − 1
ρ atau
ρ2 − [2S (cos a − 1) + 2] ρ + 1 = 0
(9)
Misalkan S (cos a − 1) = p, maka diperoleh ρ2 − (2p + 2) ρ + 1 = 0 sehingga akar-akarnya adalah ρ1 = (p + 1) +
p p 2 + 2p
ρ2 = (p + 1) −
p p 2 + 2p
dan M. Jamhuri (UIN Malang)
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
4 / 13
Nilai dari ρ1 dan ρ2 terbagi menjadi tiga kasus yaitu: 1 2
3
Jika p 2 + 2p > 0 dan p < −2, diperoleh ρ1 dan ρ2 bernilai riil dan salah satu diantaranya bernilai < −1, jadi skema tidak stabil. Jika p 2 + 2p < 0 dan −2 < p ≤ 0, diperoleh ρ1 dan ρ2 p ρ1,2 = (p + 1) ± i −p 2 − 2p merupakan bilangan kompleks dengan |ρ1,2 | = 1. Jadi ρ1,2 = cos θ + i sin θ. Jika p = −2, maka akan diperoleh ρ = −1.
Dengan demikian, skema beda hingga stabil jika p ∈ [−2, 0] , ∀a, dan −2 ≤ S (cos a∆x − 1) ≤ 0,
∀a
dan karena −2 ≤ cos a∆x − 1 ≤ 0, ∀a, maka diperoleh −2 ≤ −2S ≤ 0 atau 0<S ≤1 Jasi syarat kestabilan untuk persamaan gelombang skema CTCS adalah S = c2
M. Jamhuri (UIN Malang)
∆t 2 ≤1 ∆x 2
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
5 / 13
Kekonsistenan Perhatikan uraian deret Taylor berikut: ujn±1
=
n uj±1
=
1 2 1 1 ∆t utt |nj ± ∆t 3 uttt |nj + ∆t 4 utttt |nj + · · · (10) 2 6 24 1 1 1 ∆x 4 uxxxx |nj + · · · (11) ujn ± ∆x ux |nj + ∆x 2 uxx |nj ± ∆x 3 uxxx |nj + 2 6 24 ujn ± ∆t ut |nj +
Dari persamaan (10) dan (11) diperoleh 1 1 n n ∆x 4 uxxxx |nj + · · · uj+1 + uj−1 = 2 ujn + ∆t 2 uxx |nj + 2 24 1 1 2 n−1 n n+1 n ∆x 4 utttt |nj + · · · uj + uj = 2 uj + ∆t utt |j + 2 24
(12) (13)
Substitusikan persamaan (12) dan (13) ke dalam persamaan beda (4) dan dengan sedikit manipulasi aljabar di peroleh 2ujn +∆t 2 utt |nj +
2 2 ∆t 4 utttt |nj −2Sujn −S∆x 2 uxx |nj −S ∆x 4 uxxxx |nj = 2 (1 − S) ujn (14) 24 24
Persamaan (14) diatas dapat disederhanakan menjadi n n 2 ⇔ ∆t 2 utt − c 2 uxx j + ∆t 4 utttt − S∆x 4 uxxxx j 24 M. Jamhuri (UIN Malang)
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
6 / 13
Skema diatas konsisten, Selanjutnya suku pertama truncation terms-nya adalah 2 ∆t 4 utttt − S∆x 4 uxxxx 4!
= =
2 ∆t 4 c 2 uxxxx − S∆x 4 uxxxx 4! 2 ∆x 4 S 2 − S uxxxx 4!
yang berupa suku difusi, dan akan bernilai nol jika dan hanya jika S 2 − S = 0 atau S = c2
M. Jamhuri (UIN Malang)
∆t 2 =1 ∆x 2
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
7 / 13
Simulasi
Perhatikan persamaan gelombang utt = uxx , untuk 0 ≤ x ≤ 10, dengan syarat batas ux (0, t) = 0 dan u (10, t) = 0, dan syarat awal ut (x, 0) = 0 dan ( 2 (x − 3)2 (x − 7)2 , 3 ≤ x ≤ 7 u (x, 0) = 16 0, untuk x lainnya Terapkan skema beda hingga orde-2 untuk persamaan gelombang. Gunakan pula hampiran orde-2 untuk menaksir u (x, ∆t) , juga untuk syarat batas kiri. Jika dipilih ∆x = 1, diperoleh suatu hampiran bagi simpangan awal berikut u (x, 0)
=
0
0
0
0
1
2
1
0
0
0
0
Hitung u (x, t) untuk beberapa selang waktu (hand-calculation), pilih ∆t = 1. Apa yang anda lihat pada batas? Implementasikan dan simulasikan perpecahan gundukan awal sampai gelombang pecahannya menabrak batas kanan dan kiri, kemudian berbalik. Amatilah! Kerjakan soal (c) namun simpangan awal nol, dan kecepatan awal ( 1, |x − 5| ≤ 1 ut (x, 0) = 0, x lainnya
M. Jamhuri (UIN Malang)
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
8 / 13
Jawaban Soal 1.b
Jawaban Soal 1.a Skema beda hingga orde-2 untuk persamaan gelombang diatas adalah n n ujn+1 = S uj+1 + uj−1 + 2 (1 − S) ujn − ujn−1
(15)
untuk ∆x = ∆t = 1, maka S = 1 dan persamaan (15), menjadi n n ujn+1 = uj+1 + uj−1 − ujn−1
untuk j = 0, dan n = 0 maka 0 u(−1) = u10
dengan S=
∆t 2
∆x 2 Hampiran orde-2 untuk syarat awal ut (x, 0) = 0 adalah uj1 − uj−1
=0 ∆t uj−1 = uj1
(16)
n u1n − u−1
M. Jamhuri (UIN Malang)
dan
u0−1 = u01
(19)
substitusikan (19) ke persamaan (18) untuk n = 0, dan j = 0 diperoleh u01 = u10
(20)
untuk n = 0, dan j = 1 · · · (Mx − 1), berlaku
Hampiran orde-2 untuk syarat batas kiri ux (0, t) = 0 adalah =0 2∆t n u(−1) = u1n
(18)
(17)
0 uj1 = uj+1 + uj−1 − uj−1
dengan mensubstitusikan (16) pada persamaan diatas diperoleh uj1 =
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
0 0 + uj−1 uj+1
2 July 2, 2013
(21) 9 / 13
Jawaban soal 1.b untuk n = 1 · · · Nt dan j = 0, berlaku n u0n+1 = u1n + u−1 − u0n−1
dan dengan mensubstitusikan (17) pada persamaan diatas diperoleh u0n+1 = 2u1n − u0n−1
(22)
Dengan menggunakan kondisi awal dan kondisi batas (20), (21), dan (22) diperoleh hasil sebagai berikut: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 t/x
0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0
M. Jamhuri (UIN Malang)
0 0 0 0.5 1 1 1 0.5 0 0 0 1
0 0 0.5 1 0.5 0 0.5 1 0.5 0 0 2
0 0.5 1 0.5 0 0 0 0.5 1 0.5 0 3
0 1 0.5 0 0 0 0 0 0.5 1 1 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 5
0 −1 −0.5 0 0 0 0 0 0.5 1 1 6
0 −0.5 −1 −0.5 0 0 0 0.5 1 0.5 0 7
0 0 −0.5 −1 −0.5 0 0.5 1 0.5 0 0 8
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
0 0 0 −0.5 −1 0 1 0.5 0 0 0 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10
July 2, 2013
10 / 13
Jawaban Soal 1.c Persamaan beda untuk persamaan gelombang utt = uxx adalah n n ujn+1 = S uj+1 + 2 (1 − S) ujn − ujn−1 , + uj−1 untuk j = 0, dan n = 0, maka persamaan (23) menjadi 0 u01 = S u10 + u−1 + 2 (1 − S) u00 − u0−1 (24) substitusikan persamaan (16) untuk j = 0, dan persamaan (17) untuk n = 0 pada persamaan (24), diperoleh u01 = S u10 + u10 + 2 (1 − S) u00 − u01 2u01 = 2Su10 + 2 (1 − S) u00
(23)
uj1 =
S 0 0 + (1 − S) uj0 uj+1 + uj−1 2 (27)
untuk j = 0 dan n = 2 · · · Nt persamaan (23) menjadi n u0n+1 = S u1n + u−1 +2 (1 − S) u0n − u0n−1 (28)
(25)
untuk n = 0 dan j = 1 · · · (Mx − 1) persamaan (23) menjadi 0 0 uj1 = S uj+1 + uj−1 + 2 (1 − S) uj0 − uj−1 M. Jamhuri (UIN Malang)
∆t 2 ∆x 2
dengan menggunakan (16), persamaan (26) menjadi
atau u01 = Su10 + (1 − S) u00
S=
dengan menggunakan (17), persamaan (28) menjadi u0n+1 = 2Su1n + 2 (1 − S) u0n − u0n−1
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
(29)
11 / 13
Simulasi Soal 1.c Hasil Simulai
M. Jamhuri (UIN Malang)
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
12 / 13
Simulasi Soal 1.d
Hasil Simulasi
M. Jamhuri (UIN Malang)
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
13 / 13
