IMPLEMENTASI METODE BEDA HINGGA DALAM PENENTUAN NILAI KONTRAK OPSI EROPA, AMERIKA, DAN BERMUDA. Irma Palupi 1

ISSN : 2407 - 6511 IMPLEMENTASI METODE BEDA HINGGA DALAM PENENTUAN NILAI KONTRAK OPSI EROPA, AMERIKA, DAN BERMUDA Irma Palupi1 1

Prodi S1 Ilmu Komputasi, Fakultas Informatika, Universitas Telkom 1 [email protected], [email protected]

Abstrak Kontrak opsi tipe Eropa, Amerika dan Bermuda dibedakan berdasarkan bagaimana fitur exercise dilakukan. PDP Black-Scholes adalah model untuk penentuan nilai kontrak opsi tipe Eropa, dimana kontrak ini hanya dapat dilaksanakan saat jatuh tempo. Sedangkan kontrak opsi tipe Amerika dan Bermuda memiliki fitur tambahan yang memungkinkan pemilik opsi untuk melaksanakan opsi sebelum jatuh tempo. Opsi tipe Bermuda merupakan transisi antara tipe Eropa dan Amerika, sehingga nilainya pun untuk kondisi aset acuan yang sama selalu berada diantara nilai opsi Eropa dan Amerika. Modifikasi PDP Black-Scholes untuk opsi Amerika dan Bermuda dilakukan untuk memasukan fitur early exercise yang secara implisit juga didesain untuk menemukan solusi kurva batas exercise melalui masalah pencarian free baoundary. Skema beda hingga yang diimplementasikan kedalam model menghasilkan hasil yang cukup memuaskan untuk perhitungan nilai ketiga tipe opsi. Metode ini mampu merepresentasikan kurva batas exercise yang belum mampu dengan cukup baik ditemukan dengan menggunakan metode Lattice dan simulasi MonteCarlo. Selain itu, melalui metode beda hingga juga dapat diperlihatkan kekonvergenan solusi kurva batas exercise opsi bermuda menuju solusi opsi Amerika jika pilihan waktu exercise semakin diperbanyak. Kata kunci: Opsi Vanilla, Opsi Eropa, Opsi Bermuda, Opsi Amerika, Metode Beda Hingga, 24. Pendahuluan Masalah menentukan harga kontrak opsi tidak bisa terlepas dari persamaan yang pertama kali di munculkan oleh Black dan Scholes [4]. Opsi adalah salah satu jenis produk investasi keuangan yang nilainya bergantung pada nilai aset terkait (underlying asset). Pada dasarnya opsi berisi hak untuk menjual (put) atau membeli (call) underlying asset dengan harga dan waktu yang telah disepakati. Opsi dalam industri keuangan pertama kali diperjualbelikan pada 26 April 1973. Chicago Board Option Exchange (CBOE) adalah yang pertama kali membuat standardisasi mengenai perdagangan opsi dalam pasar keuangan. CBOE memulai dengan produk opsi untuk menjual aset (opsi call ) yang pada saat itu hanya 16 jenis aset terkait saja. Opsi yang berisi hak untuk menjual aset (opsi put) baru dirilis sekitar tahun 1977. Di Amerika, terdapat lebih dari 50 Exchange yang melakukan perdagangan opsi, diantaranya CBOE, The American Stock Exchange, The Pacific Stock Exchange, dan The Philadelphia Stock Exchange. Berdasarkan waktu pelaksanaan (exercise), opsi terbagi menjadi opsi tipe Eropa, Amerika, dan Bermuda[5]. Opsi Bernuda memiliki karakter di antara opsi tipe Eropa dan opsi tipe Amerika, sehingga harganya pun tidak lebih tinggi dari opsi Amerika dan tidak lebih rendah daripada nilai opsi tipe Eropa. Solusi dari persamaan diferensial parsial (PDP) Black-Scholes adalah solusi dari penentuan harga opsi Eropa, di bawah asumsi bebas resiko. Sedangkan untuk penentuan harga opsi Amerika, terdapat syarat yang harus dipenuhi, yaitu nilainya yang harus lebih tinggi daripada nilai payoff, karena menghindari resiko arbitrase. Penentuan harga opsi Amerika mempertimbangkan kemungkinan jika ternyata pemiliknya lebih memilih melaksanakan opsi sebelum waktu kadaluarsa opsi tiba, daripada mempertahankannya. Pertimbangan yang sama juga terjadi pada opsi Bermuda, karena keduanya samasama memiliki fitur early exercise. Hal mendasar, yang membedakan antara opsi Amerika dan opsi Bermuda adalah pada waktu dimana early exercise diperbolehkan. Jika pada opsi Amerika, waktu early exercise bersifat kontinyu sepanjang waktu hingga masa kadaluarsa, maka waktu untuk melakukan early exercise pada opsi Bermuda bersifat diskrit dan telah disepakati dalam kontrak. Artikel ini menjelaskan bagaimana metode beda hingga digunakan untuk perhitungan ketiga tipe opsi, juga bagaimana model Black-Scholes untuk opsi Eropa disesuaikan dengan fitur early exercise pada opsi Bermuda dan Amerika. Melalui metode beda hingga sangat dimungkinkan mendapatkan solusi kurva

317

ISSN : 2407 - 6511 batas exercise . Selain ini akan ditunjukan melalui solusi numerik bagaimana solusi kurva batas exercise untuk opsi bermuda akan konvergen menuju solusi kurva batas opsi Amerika. Opsi Vanilla Model Pergerakan Aset Beresiko Misalkan pada saat t harga aset adalah S(t), dan misal dt adalah interval waktu perubahan harga S(t) menjadi S + dS. Selanjutnya, bagaimana kita memodelkan return aset dS S . Model yang paling umum digunakan adalah membangun nilai return ini dari dua bagian, yaitu bagian yang deterministik dan bagian yang acak. (2) dS  SdX  S dt , merupakan bagian yang deterministik, yaitu ekspektasi dari tingkat return aset. Sedangkan menggambarkan faktor keacakan yang mewakili pengaruh dari kejadian-kejadian tidak terduga yang membuat nilai aset S tidak dapat ditentukan secara deterministik [1]. merupakan volatilitas dari . Sedangkan

merupakan proses Wiener yang biasa dituliskan dengan: √ , dimana variabel acak . Model pergerakan mengikuti fenomena random walk[3], dan memiliki sifat sebagai

berikut. [ ] [ ] (3) 𝑟[ ] (4) Model Black-Scholes untuk opsi EropaVEr (S , t ) mengadopsi model pergerakan harga aset (2) dalam domain kontinu. Model Black-Scholes untuk Opsi Eropa, Amerika dan Bermuda Konstruksikan suatu portofolio dengan skenario membeli satu lembar opsi dan menjual lembar saham S. Dengan V(S,t) merupakan nilai opsi saat t ketika harga aset terkait jatuh pada level S, maka nilai portfolio pada saat t adalah sebagai berikut. Π (5) Π (6) Selanjutnya, di bawah asumsi risk Neutral Valuation, dan dengan menggunakan deret Taylor untuk menghampiri dV, serta mensubstitusikan dS pada (1) diperoleh persamaan Black-Scholes yang solusinya merupakan nilai dari harga opsi Eropa (7).

1.

𝑟 𝑟 . (7) Dengan , r, dan q secara berturut-turut merupakan volatilitas return aset, suku bunga bebas resiko, dan tingkat deviden tetap. Adapun nilai payoff opsi baik call maupun dapat dituliskan seperti pada (8). 𝑃

{

(8)

Jika fitur early exercise tidak pernah digunakan hingga tanggal kadaluarsanya, maka nilai opsi Amerika pada saat tanggal kadaluarsa akan sama dengan nilai opsi Eropa, yaitu seharga dengan nilai payoff-nya. Baik opsi Amerika maupun opsi eropa dapat diketahui memiliki kondisi akhir yang sama, dan perhitungan nilai kedua opsi ini dilakukan secara mundur. Misalkan V Am(S, t) merupakan nilai opsi Amerika pada saat t, ketika harga aset terkait jatuh di level S. Ketika pemilik opsi melaksanakan opsi amerika, maka harga opsi pada saat itu adalah senilai dengan nilai fungsi payoff-nya. Harga opsi Amerika tidak dapat lebih rendah daripada nilai payoff-nya, karena hal ini akan menyebabkan opsi tidak layak untuk dipertahankan, dan para pemilik opsi akan berbondong-bondong melaksanakan opsinya, karena return dari harga pelaksanaan opsi lebih tinggi daripada nilai opsi sendiri. Oleh karena itu, kondisi (9) harus dipenuhi oleh nilai opsi Amerika. ∞ [ ] (9) Sehingga, skema perhitunganopsi Amerika yang secara implisit juga dapat mengetahui solusi kurva batas exercise-nya, dapat dinyatakan dalam (10). [6] ,

-

{

] ∈ ∈

∞ ∞ ]

(10) 318

ISSN : 2407 - 6511 Skema perhitungan opsi Bermuda serupa dengan opsi Amerika hanya pada waktu-waktu yang telah disepakati untuk melakukan early exercise. Sedangkan untuk waktu diluar kesepakatan waktu exercise, perhitungan nilai opsi bermuda diperlakukan sama dengan skema perhitungan opsi Eropa. Oleh karena itu, nilai opsi Eropa, Bermuda, dan Amerika harus memenuhi (11). (11) Dengan waktu kesepakatan untuk melakukan early exercise pada opsi Bermuda dapat dinyatakan sebagai himpunan waktu diskrit seperti pada (12). [ ] (12) 25. Hasil Numerik Dengan menggunakan metode beda hingga skema eksplisit [1], dibentuk skema diskrit dari persamaan model (10) untuk komputasi numerik. Komputasi dilakukan dengan menggunakan C programming language melalui gcc compiler, dan Gnuplot sebagai software untuk merepresentasikan hasil perhitungan dalam plot grafik. Tabel 1 merupakan sampel hasil komputasi numerik untuk ketiga opsi, dengan menggunakan nilai parameter r = 0:25; q = 0:2; ς = 0:6;K = 10.

S(t) 9,24 10,03 16,74 20,1 22,2 9,24 10,03 16,74 20,1 22,2 9,24 10,03 16,74 20,1 22,2

Tabel 1. Sampel nilai opsi call Eropa, Bermuda, dan Amerika CEr(S,t) CBer(S,t) CAm(S,t) Sf(t) t=1.0 1.687644 1.695681 1.7012161 2.075665 2.096879 2.1090020 6.819847 6.872340 6.9060152 22.255743 10.092847 10.158849 10.1891489 12.179004 12.261003 12.2903884 t=0.5 1.176553 1.2188754 1.2397697 1.589901 1.6108874 1.6580751 6.765209 6.810965 6.8641347 19.945154 9.865401 10.098227 10.189558 12.109287 12.278922 12.290388 t=0.25 0.7025574 0.797653 0.81220710 1.1399065 1.193660 1.2097191 6.6375590 6.7098433 6.7523622 17.843376 10.098354 10.148602 10.189558 11.698275 12.222084 12.294502

Terlihat pada tabel (1) bahwa hasil perhitungan dengan skema beda hingga dari model (10), untuk nilai opsi Eropa, Bermuda, dan Amerika memenuhi pertaksamaan (11). S f(t) merupakan solusi batas exercise pada saat t. Dengan mengambil sampel hasil komputasi untuk t=1, t=0.5, dan t=0.25, nilai solusi batas exersice untuk masing-masing t secara berturut-turut adalah 22.255743, 19.945154, dan 17.843376. Ini berarti, misalkan untuk Sf(t=0.25)= 19.945154, opsi call amerika secara optimal dapat dilaksanakan jika kondisi harga aset memenuhiS(t=0.25)≥19.945154. Nilai opsi Call dan opsi put untuk ketiga jenis opsi disajikan dalam gambar (1) dan (2). Skenario komputasi yang dilakukan juga melihat pengaruh penambahan parameter deviden dalam model opsi. Pada opsi call Amerika dengan underlying asset tanpa deviden, seperti pada [3] terjadi yang disebut dengan perpetuity of American option, yang mana nilai opsi Call Amerika selalu secara mutlak lebih besar dari nilai payoff-nya. Oleh karena itu, untuk opsi call Amerika, opsi cenderung dipertahankan hingga waktu jatuh tempo, daripada melaksanakannya di awal.

319

ISSN : 2407 - 6511 bar (1) grafik nilai opsi put dan opsi call Eropa

Gambar (2). Grafik opsi put dan opsi cal Amerika dan Bermuda dengan deviden dan tanda deviden

320

ISSN : 2407 - 6511 Kurva boundary exercise untuk opsi call Amerika terlihat pada gambar (3). Skenario perhitungan juga dibuat untuk melihat pengaruh jumlah diskritisasi pada partisi domain untuk metode beda hingga dalam implementasi untuk perhitungan harga opsi. Seperti pada [6], dikatakan bahwa kurva boundary exercise adalah kurva yang smooth, yaitu memiliki turunan pertama yang kontinu. Gambar (3) memperlihatkan bahwa hampiran dengan menggunakan metode beda hingga untuk memperoleh kurva boundary exercise, harus diatur dengan jumlah partisi yang banyak. Hal ini juga sesuai dengan syarat stabilitas metode beda hingga eksplisit, seperti dikemukakan dalam [1]. Gambar (3). Kurva boundary exercise opsi Amerika dengan berbagai nilai jumlah partisi

Gambar (4) Perbandingan Nilai opsi Eropa, Amerika, dan Bermuda

Kekonvergenan opsi bermuda ke opsi Amerika

321

ISSN : 2407 - 6511

Untuk solusi kurva boundary exercise untuk opsi Bermuda, pada perhitungan numerik terlihat akan konvergen menuju solusi kurva boundary exercise untuk opsi Amerika. Metode beda hingga dapat menangkap fenomena tersebut, yang mana solusi eksak kurva boundary exercise sendiri masih sulit untuk ditentukan solusinya secara eksak. Kekonvergenan solusi boundary exercise opsi Bermuda sangat masuk akal, karena dengan jumlah perjanjian exercise yang diperbanyak pada opsi ini, karakteristik opsi tersebut akan semakin mirip dengan fitur early exercise pada opsi Amerika. Gambar (5)Kekonvergenan solusi kurva exercise opsi Bermuda menuju solusi kurva exercise opsi Amerika

26. Kesimpulan Metode Beda Hingga dapat menghasilkan perhitungan yang cukup memuaskan untuk harga opsi Eropa, Amerika, dan Bermuda melalui model Black-Scholes. Walaupun belum dijamin secara robust bahwa hasil untuk solusi numerik kurva boundary exercise selalu dapat diperoleh jika syarat kestabilan dipenuhi. Fenomena perpetuity of American option juga dapat digambarkan melalui skema numerik ini. Selain itu, melalui metode beda hingga juga dapat diperlihatkan kekonvergenan solusi kurva batas exercise opsi bermuda menuju solusi opsi Amerika jika pilihan waktu exercise semakin diperbanyak. Daftar Pustaka: [1] [2] [3] [4] [5] [6]

Seydel, R. U. (2009). Tools for Computational Finance. Berlin: Springer Berlin Heidelberg. Min K, dan Khanna A. 1994. Convergence Of American Option Values From Discrete- To ContinuousTime Financial Models. Mathematical Finance. Vol. 4, No. 4 (October 1994), 289-304 Wilmott. P, „Derivatives‟. England: John Willey and Son Ltd, 1998 Black-Scholes The Pricing of Options and Corporate Liabilities . An Introduction to Financial Option Valuation K.Ishi and S.Omata, Convergence of the approximation scheme to American option pricing via the discrete morse flow, Application Mathematics and Optimization, vol.64, pp.363-415,2011

322

ISSN : 2407 - 6511

SEGMENTASI KARAKTER HURUF ARAB BERHARAKAT DENGAN METODE HISTOGRAM Khaerul Anwar1 1

Prodi S2 Pascasarjana Teknik Informatika, Fakultas Informatika, Telkom University 1 [email protected]

Abstrak Tulisan Arab merupakan salah satu tantangan dalam Optical Character Recognition (OCR). Sudah banyak para peneliti yang melakukan penelitian terhadap tulisan Arab, baik itu dengan masukan printed ataupun handwritten, baik dengan versi tulisan standar maupun dengan gaya khat (kaligrafi Arab) yang khas. Namun, belum ada penelitian tulisan Arab dengan menggunakan harakat dikarenakan tingkat kesulitan yang tinggi dalam teknik segmentasi. Dalam paper ini akan diusulkan pengembangan algoritma segmentasi karakter huruf arab berharakat printed dengan menggunakan metode histogram. Segmentasi dari tulisan Arab menjadi potongan huruf Arab dan harakat.

Kata kunci : Karakter Huruf Arab, Segmentasi, Harakat. 1. Pendahuluan Bahasa Arab merupakan salah satu bahasa yang paling banyak dipakai oleh masyarakat dunia. Bahasa Arab dijadikan bahasa resmi di 25 negara di dunia dan menjadi bahasa dunia diurutan ketiga setelah Bahasa Inggris dan Perancis. Selain itu, Bahasa Arab merupakan bahasa yang sering dipakai dalam kegiatan ritual ibadah dalam Islam. Ada sekitar 1,57 milyar muslim yang menggunakan bahasa arab ini dalam ritual ibadahnya. Selain itu, tulisan Arab merupakan tulisan yang memiliki keunikan tersendiri dibandingkan dengan tulisan Latin yang sudah kita gunakan sehari-hari karena bentuk huruf Arab mirip huruf aksara pada tulisan Mandarin, India, dll. Tulisan Arab adalah tulisan yang unik karena tulisan Arab ditulis dari kanan ke kiri. Tulisan Arab memilik 28 karakter yang dari setiap karakter tersebut memiliki bentuk yang berbeda-beda tergantung posisi/lokasi penulisan dalam satu kata (awal, tengah, dan akhir) lihat tabel 1. Dalam aplikasi keseharian ritual orang-orang Islam, untuk memudahkan mereka dalam membaca tulisan Arab biasanya mereka menambahkan tanda baca (disebut harokat) pada setiap karakter yang berbentuk garis yang berada di atas maupun di bawah seperti terlihat pada tabel 2. Ada beberapa penelitian yang dilakukan pada tulisan Arab. Beberapa peneliti mengalami kesulitan yang cukup untuk mengembangkan sistem OCR pada tulisan Arab. Karena masalah terbesar dalam sistem OCR pada tulisan Arab terletak pada segmentasi.

323

ISSN : 2407 - 6511 Tabel 1. Bentuk Karakter Tulisan Arab

No

Nama Karakter

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Alif Ba Ta Tsa Jim Ha Kha Dal Dzal Ra Za Sin Syin Shad Dhad Tha Zha 'Ain Ghain Fa Qaf Kaf Lam Mim Nun Waw HA Ya

Bentuk Karakter Dalam Satu Kata Sendirian ‫ا‬ ‫ب‬ ‫ة‬/‫ت‬ ‫ث‬ ‫ج‬ ‫ح‬ ‫خ‬ ‫د‬ ‫ذ‬ ‫ر‬ ‫ز‬ ‫س‬ ‫ش‬ ‫ص‬ ‫ض‬ ‫ط‬ ‫ظ‬ ‫ع‬ ‫غ‬ ‫ف‬ ‫ق‬ ‫ك‬ ‫ل‬ ‫م‬ ‫ن‬ ‫و‬ ‫ه‬ ‫ي‬

Akhir ‫ـا‬ ‫ــب‬ ‫ ـة‬/ ‫ـت‬ ‫ـث‬ ‫ػج‬ ‫ػح‬ ‫ػخ‬ ‫ـد‬ ‫ـذ‬ ‫ػر‬ ‫ػز‬ ‫ـس‬ ‫ـش‬ ‫ػط‬ ‫ػػغ‬ ‫ػط‬ ‫ػػغ‬ ‫ــؽ‬ ‫ــغ‬ ‫ــف‬ ‫ػػق‬ ‫ــم‬ ‫ــل‬ ‫ــم‬ ‫ػػن‬ ‫ػػو‬ ‫ــه‬ ‫ػػي‬

Tengah ‫ـبػ‬ ‫ـتػ‬ ‫ـثػ‬ ‫ػجػػ‬ ‫ػحػػ‬ ‫ػخػػ‬ ‫ــسػػ‬ ‫ــضػػ‬ ‫ػػعػػ‬ ‫ػػضػػ‬ ‫ػػعػػ‬ ‫ػػؼػػ‬ ‫ــعػػ‬ ‫ــغػػ‬ ‫ــفػػ‬ ‫ــلػػ‬ ‫ــكػػ‬ ‫ــلػػ‬ ‫ــمػػ‬ ‫ــنػػ‬

Awal ‫بػػ‬ ‫ثػػ‬ ‫جػػ‬ ‫حػػ‬ ‫حػػ‬ ‫خػػ‬ ‫سػػ‬ ‫صػػ‬ ‫ظػػ‬ ‫ضػػ‬ ‫ظػػ‬ ‫ػػػ‬ ‫ؾػػ‬ ‫ػػػ‬ ‫فػػ‬ ‫كػػ‬ ‫نػػ‬ ‫مػػ‬ ‫مػػ‬ ‫هػػ‬

‫ػػهػػ‬ ‫ــيػػ‬

‫هػػ‬ ‫يػػ‬

Tabel 2. Bentuk Harokat No 1 2 3 4 5 6

Nama Harokat (Tanda Baca) Fathah Kasroh Dhommah Sukun Tasydid Tanwin (Double) - Double Fathah -Double Kasroh -Double Dhommah

Bentuk Contoh Harokat

َ َ َ َ َ

‫نـتـب‬ ‫نـتـاب‬ ‫نـتـب‬ ‫انــتـب‬

َ َ

‫نـتـاب‬ ‫نـتـاب‬

َ

‫نـتـب‬

324

ISSN : 2407 - 6511 2.Latar Belakang Tantangan dalam paper ini adalah melakukan segmentasi karakter tulisan Arab secara otomatis. Dalam melakukan segmentasi karakter tulisan Arab memiliki kesulitan yang lebih tinggi dibandingkan dengan tulisan yang lainnya seperti tulisan Latin dan China [1][2][3][4]. Tujuan dari paper ini adalah mengembangkan algoritma segmentasi dari penelitian sebelumnya [5] untuk mengenali huruf Arab dari tulisan Arab berharakat. Objek yang menjadi penilitian ini adalah tulisan Arab berharakat yang diambil dari hasil printscreen (printed) dengan jenis font Traditional Arabic dan besar font 70. Pada penelitian sebelumnya [5], peneliti melakukan segmentasi tulisan Arab hasil printed dengan menggunakan pendekatan proyeksi. Ada beberapa faktor masalah yang dihadapi dalam melakukan segmentasi pada tulisan Arab berharakat. Pertama, adanya kemiripan huruf Arab satu sama lainnya, yang membedakan hanya letak titik pada karakter yang sama, misalnya seperti huruf : ‫ ع غ‬،‫ ط ظ‬،‫ ص ض‬،‫ ر ز‬،‫ د ذ‬،‫ ج ح خ‬. Masalah yang kedua, dalam thesis inputan karakter Arabnya menggunakan tanda baca (harokat/discritic) seperti terlihat pada tabel 2 yang kesulitan dalam melakukan pengenalan karakternya akan lebih sulit jika dibandingkan dengan yang tidak menggunakan harokat. Daftar Pustaka: [1]

[2] [3] [4] [5]

J, H. AlKhateeb J. Ren S . Ipson and J. Jiang, Knowledge-based Baseline Detection and Optimal Thresholding for Words Segmentation in Efficient Pre-Processing of Handwritten Arabic Text. Fifth international conference on information technology: new generations. IEEE computer society. 2008. pp. 1158-1159. V .Argner, and H. El Abed, Databases and Competitions: Strategies to Improve Arabic Recognition Systems. 2008. pp. 82-103. A. Broumandnia, J. Shanbehzadeh, and M. Nourani3, Handwritten Farsi/Arabic Word Recognition. IEEE. 2007. pp. 767-771. Shatnawi, Atallah Mahmoud. Safwan Al Salaimeh. Farah H Al Zawaideh. Khairuddin O, Offline Arabic Text Recognition – An Overview. World of Computer Science and Information Technology Journal (WCSIT) M.A.A Mousa, M.S. Sayed, M.I. Abdalla. “Arabic Character Segmentation Using Prijection-Based Approach with Profile’s Amplitude Filter”. 2013.

325