METODE BEDA HINGGA dan PENGANTAR PEMROGRAMAN

Praktikum m.k Model dan Simulasi Ekosistem

Hari / Tanggal : Nilai

METODE BEDA HINGGA dan PENGANTAR PEMROGRAMAN

Oleh Nama

:

NIM

:

PROGRAM STUDI ILMU KELAUTAN FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SRIWIJAYA 2012

Praktikum-1 METODE BEDA HINGGA DAN PENGANTAR PEMROGRAMAN Tujuan Instruksional Khusus:

Setelah mengikuti praktikum ini, mahasiswa dapat memahamai dan

mendiskritisasi

persamaan

dengan

menggunakan

konsep

metode beda hingga dalam pemodelan.

Sub Pokok Bahasan 

Pengenalan metode beda hingga



Pengantar Pemrograman



Diskritisasi

persamaan

dengan

menggunakan

konsep

metode beda hingga.

Tujuan Praktikum: 

Mahasiswa dapat memahami konsep metode beda hingga dan pemrograman



Mahasiswa dapat mendiskritisasi suatu persamaan dengan menggunakan konsep metode beda hingga.

PENDAHULUAN 1.1 METODE BEDA HINGGA (FINITE DIFFERENCE) Metode

ini

digunakan

untuk

memecahkan

persamaan

diferensial parsial secara numerik, dengan menggunakan deret Taylor yang diputus pada orde tertentu sesuai kebutuhan yang ada.

Sebagai contoh uraian deret Taylor adalah: x x 2 x 3 f ' ( x)  f ' ' ( x)  f ' ' ' ( x)  ... 1! 2! 3! x x 2 x 3 f ( x  x)  f ( x)  f ' ( x)  f ' ' ( x)  f ' ' ' ( x)  ... 1! 2! 3! f ( x  x)  f ( x) 

(1.1)

pendekatan dari

f dapat ditulis sebagai: x

a. Beda maju (forward difference)

f ' ( x) 

f ( x  x )  f ( x ) x

(1.2)

b. Beda mundur (backward difference) f ' ( x) 

f ( x)  f ( x  x) x

(1.3)

c. Selisih pusat (Centre difference)

f ' ( x) 

f ( x  x)  f ( x  x) 2 x

Bila diferensialnya sampai orde 2

(1.4)

2 f , maka uraian x 2

deret Taylor sampai orde 2 kemudian dijumlahkan: x x 2 f ' ( x)  f ' ' ( x) 1! 2! x x 2 f ( x  x)  f ( x )  f ' ( x)  f ' ' ( x) 1! 2!  f ( x  x)  f ( x) 

(1.5)

f ( x  x)  f ( x  x)  2 f ( x)  x f ' ' ( x ) f ( x  x )  2 f ( x)  f ( x  x) f ' ' ( x)  x 2 2

1.2 DISKRITISASI Pemodelan numerik membutuhkan grid yang menggambarkan daerah yang ditinjau.

Bila kita akan menghitung f’(x) dan

f’’(x), maka digunakan grid dan notasi berikut:

j

dy

dx i

f i 1  2 f i  f i 1 x 2 f i 1, j  2 f i , j  f i 1, j f ' ' ( x, y )  x 2 f ' ' ( x) 

1.3 KESALAHAN MEMUTUS Dalam metode beda hingga ini, pendekatan untuk turunan pertama dan kedua berdasarkan deret Taylor yang diputus sesuai dengan keperluan.

Pemutusan ini merupakan salah satu

sumber kesalahan dalam pendekatan numerik. Sebagai

contoh,

tinjau

turunan

pertama

dengan

menggunakan metode beda pusat: f ' ( x) 

f ( x  x)  f ( x  x) 2 x

misal f(x) = A sin kx ; k = 2/L dimana: A=amplitudo; k = bilangan gelombang; L = panjang gelombang. dapat

diturunkan

f’(x)

=

A

k

pendekatan beda pusat diperoleh: f ' ( x)  A

sin k ( x  x)  sin k ( x  x ) 2x

= A (cos kx . sin kx)/x = A k cos kx

sin kx kx

cos

kx.

Secara analitik Namun

dengan

sin kx yang menyimpang dari kx

Jadi terlihat adanya faktor solusi analitik.

sin kx kx

Pendekatan akan baik bila faktor

mendekati nilai 1 atau kx mendekati 0, karena sin kx  1. kx kx  0

Artinya semakin kecil x yang digunakan,

lim

maka pendekatan numerik akan lebih baik.

1.4 PENGANTAR PEMROGRAMAN Salah satu tahapan penting dalam pemrograman adalah pembuatan

bagan

dan

struktur

penyelesaian

permasalahan.

Dalam tahapan ini dibuat bagan penyelesaian secara global, mendeskripsikan bagian

dalam

tugas serta bagan

sub-tugas dari

tersebut.

Setelah

dilakukan,

dipilih metode penyelesaian dari tiap tugas. penyelesaian algoritma.

masalah

yang

lengkap

masing-masing maka

Uraian metode

tersebut

disebut

Algoritma inilah yang kemudian diterjemahkan

dalam bahasa pemrograman tertentu. Ada dua cara penulisan algoritma: 1. Menggunakan bagan-bagan/simbol-simbol tertentu, biasa disebut diagram alir (flowchart). 2. Menggunakan

kata-kata/kalimat,

mirip

dengan

bahasa

pemrograman tertentu (mis: Fortran). Diagram alir terdiri dari dua jenis: 1. Diagram alir sistem 2. Diagram alir program. Simbol-simbol dasar yang umum dipakai dalam pembuatan diagram alir program diantaranya:

Terminal awal/akhir

Proses/pengolahan `

Proses terdefinisi/prosedur/fungsi Penghubung

Pilihan untuk memenuhi kondisi ya/tidak Operasi masukan/keluaran Memberi harga awal, penambahan/pengurangan, harga akhir untuk pencacah. Penunjuk arah aliran proses

Tugas: Jika diketahui Persamaan adveksi 1 dimensi: F F  u , diskritisasi persamaan tersebut dengan t x



beda maju (forward difference) untuk turunan waktu dan ruang.



beda mundur (backward difference) untuk turunan waktu dan ruang.



selisih pusat (Centre difference) untuk turunan waktu dan ruang.



beda maju (forward difference) untuk turunan waktu, beda mundur (backward difference) untuk turunan ruang



beda maju (forward difference) untuk turunan ruang, beda mundur (backward difference) untuk turunan waktu



beda maju (forward difference) untuk turunan waktu, beda pusat (Centre difference) untuk turunan ruang



beda maju (forward difference) untuk turunan ruang, beda pusat (Centre difference) untuk turunan waktu



beda mundur (backward difference) untuk turunan waktu, beda pusat (Centre difference) untuk turunan ruang



beda mundur (backward difference) untuk turunan ruang, beda pusat (Centre difference) untuk turunan waktu.

DAFTAR PUSTAKA Hoffmann, K. A. Engineers.

1989.

Computational Fluid Dynamics for

The University of Texas at Austin, Texas.

Kowalik, Z. and Murty, T. S. Ocean

Dynamics.

Pte. Ltd.

London

1993.

World

Numerical Modeling of

Scientific

Publishing

Co.