Perhitungan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Gerak Brown Geometri Kristoforus Ardha Sandhy Pradhitya1), Bambang Susanto2), dan Hanna Arini Parhusip3) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika 1) email:
[email protected] 2)
[email protected] 3)
[email protected] 2) 3) Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
ABSTRAK Pada dasarnya opsi didefinisikan sebagai kontrak antara dua pihak (writer dan holder) dimana writer memberikan hak tetapi bukan kewajiban kepada holder untuk membeli (call option) atau menjual (put option) suatu saham dengan harga yang telah disepakati di masa mendatang. Hal ini jelas akan mengakibatkan kerugian bagi writer. Untuk menghindari hal tersebut, maka writer harus memberi harga pada opsi. Pada umumnya perhitungan harga opsi dilakukan dengan menggunakan model Black – Scholes (1973). Dalam penelitian ini akan dibahas cara menentukan harga Opsi Eropa menggunakan metode Gerak Brown Geometri. Pergerakan harga saham dimasa mendatang diasumsikan mengikuti model Gerak Brown Geometri, oleh karena itu dilakukan simulasi untuk memprediksi pergerakan harga saham tersebut yang selanjutnya harga Opsi Eropa dihitung dengan menggunakan fungsi payoff. Sebelum melakukan simulasi tersebut, nilai volatility dari harga saham harus diketahui terlebih dahulu. Estimasi untuk volatility dilakukan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation. Dalam penelitian ini digunakan data harga saham penutupan harian dari PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012. Hasil yang didapatkan dari penelitian ini adalah harga Opsi Eropa seandainya terjadi suatu kontrak opsi antara PT. HM. Sampoerna Tbk. dengan pihak lain. Kata Kunci: Opsi Eropa, Gerak Brown Geometri, Maximum Likelihood Estimation, payoff, volatility
PENDAHULUAN Saham merupakan surat berharga sebagai bukti tanda penyertaan atau kepemilikan seseorang atau badan hukum dalam suatu perusahaan, khususnya perusahaan publik yang memperdagangkan sahamnya. Investasi dalam bentuk saham banyak dipilih para investor karena saham mampu memberikan keuntungan yang menarik. Selain berinvestasi dengan cara memiliki secara langsung saham yang diperdagangkan di pasar, investor juga dapat berinvestasi dengan cara membeli turunan dari nilai saham (financial derivative). Salah satu turunan yang telah banyak dikenal dan diperdagangkan oleh masyarakat adalah opsi. Opsi memberikan hak kepada holder tetapi sebaliknya writer harus membeli atau menjual sahamnya kepada holder. Hal ini menyebabkan resiko kerugian, karena itu writer harus mengganti kerugian dengan cara memberi harga pada opsi. Masalah perhitungan harga opsi
1
(option pricing) adalah menghitung harga yang wajar (fair value) dimana opsi bisa dibeli atau dijual. Data dari PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012 digunakan untuk mengilustrasikan penentuan harga opsi menggunakan model Gerak Brown Geometrik dengan nilai volatility terbaik dicari menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation.
DASAR TEORI Opsi Opsi adalah suatu perjanjian atau kontrak dimana seorang writer memberikan hak,bukan kewajiban bagi seorang holder untuk membeli atau menjual suatu saham dengan harga dan waktu yang telah ditetapkan. Dilihat dari hak yang dimiliki holder, opsi dibedakan menjadi dua,yaitu: 1. Opsi beli
Opsi beli yang lebih dikenal sebagai call option, adalah suatu hak untuk membeli sebuah saham pada harga kesepakatan (strike price) dan dalam jangka waktu tertentu. 2. Opsi Jual
Opsi jual yang lebih dikenal sebagai put option, adalah suatu hak untuk menjual sebuah saham pada harga kesepakatan (strike price) dan dalam jangka waktu tertentu. Dilihat dari waktu pelaksanaan, opsi dibedakan menjadi dua, yaitu : 1. Opsi Eropa Opsi Eropa yaitu suatu kontrak opsi yang hanya bisa di laksanakan pada hari terakhir saat tanggal jatuh tempo masa berlakunya opsi tersebut. 2. Opsi Amerika Opsi Amerika yaitu suatu kontrak opsi yang bisa dilaksanakan kapan saja di dalam masa berlakunya kontrak opsi.
Fungsi Payoff Sekarang diperhatikan Opsi Eropa. Pada saat 0 t < T sebelum expiry date dari opsi akan ditemukan kesulitan untuk menghitung nilai opsi (V), tetapi pada saat expiry date T akan mudah sekali untuk menghitung nilai tersebut. Untuk harga Opsi Call Eropa, terdapat tiga kasus yang mungkin, yaitu
2
1.
Harga saham lebih besar dari Strike Price (S > K) Karena tidak ada biaya transaksi, maka nilai opsi adalah V = S – K > 0. Ini adalah alasan bagi holder untuk membeli saham dengan strike price K tetapi sebaliknya untuk Opsi Put Eropa.
2.
Harga saham lebih kecil dari Strike Price (S < K) Hal ini akan menyebabkan kerugian karena holder akan membeli saham tersebut dengan harga di atas harga pasar tetapi sebaliknya untuk Opsi Put Eropa.
3. Harga Saham sama dengan Strike Price (S = K ) Dalam kasus ini tidak ada perbedaan apakah holder akan menggunakan haknya untuk membeli(opsi call) atau menjual (opsi put) saham karena akan memberikan nilai V=0. Dari ketiga kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai dari Opsi Eropa pada saat expiry date T adalah V(S, T) = maks{d(K – ST), 0} dengan d=
(1)
.
Gerak Brown Suatu gerak Brown [
,t ≥ 0] adalah proses stokastik yang memiliki sifat – sifat
berikut : 1. B(0) = 0. 2. Untuk t > s : 3. Untuk 0 ≤ s ≤ t ≤ u : 4. Lintasan kontinu :
berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi t-s. dan
saling bebas.
adalah fungsi kontinu dari t tetapi tidak terdeferensial
dimanapun. Secara khusus gerak Brown dengan mean sama dengan 0 dan variansi sama dengan 1 dinamakan gerak Brown baku.
Model harga saham Didalam pemodelan harga saham terdapat dua faktor yang sangat berpengaruh, yaitu keadaan saham pada waktu lalu yang berpengaruh pada harga saham saat ini dan respon saham terhadap informasi baru tentang saham. Berdasarkan kedua faktor ini dapat dikatakan 3
bahwa perubahan harga saham mengikuti proses rantai Markov. Proses rantai Markov merupakan proses stokastik dimana harga saat ini berpengaruh untuk memprediksi harga yang akan datang. Harga saham dilambangkan dengan S dan waktu dilambangkan dengan t. Perubahan harga saham dikenal sebagai return. Model umum return dari saham terdiri atas dua bagian, bagian pertama adalah bagian deterministik yang dilambangkan dengan µdt Ukuran dari rata-rata pertumbuhan harga saham atau yang lebih dikenal dengan drift ditunjukkan sebagai µ. Sedangkan bagian kedua merupakan model perubahan harga saham secara random yang disebabkan oleh faktor eksternal. Faktor eksternal dilambangkan dengan σdBt. Nilai σ didefinisikan sebagai volatility saham yang digunakan untuk mengukur standar deviasi dari return dan dapat dinyatakan sebagai fungsi dari S dan t. Nilai µ dan σ dapat diestimasi menggunakan harga saham pada hari sebelumnya. Model harga saham yang dipengaruhi oleh nilai µ dan σ dengan masing-masing bergantung pada S dan t dirumuskan sebagai berikut
dengan µ
: nilai ekspektasi dari return ; σ : volatility saham (standar deviasi dari return)
Model dari harga saham diatas dapat dituliskan dalam bentuk (2) dengan
merupakan gerak Brown baku sehingga model (2) disebut juga Gerak Brown
Geometri untuk harga saham. Dengan mengaplikasikan Lemma Ito untuk f = ln(S(t)), persamaan (2) dapat dituliskan menjadi (Hull,2009) . Untuk
(3)
= 0, maka persamaan (3) dapat dituliskan kembali menjadi atau
dengan B(T)=
; Z~N(0,1) dan
(4)
return.
Karena saham merupakan suatu asset yang berisiko (pergerakannya tidak dapat diprediksi), maka diperlukan suatu model agar pergerakan harga saham menjadi tidak berisiko sehingga dapat diprediksi pergerakanya. Selanjutnya dijelaskan pemodelan harga saham yang bebas risiko atau Risk Neutral Pricing.
4
Risk Neutral Pricing Hubungan antara suku bunga dan harga saham juga merupakan perhatian dalam finansial. Misalnya hal ini ditunjukan Alam dan Uddin (2009) yang membahas tentang suku bunga dan harga saham diantara negara berkembang. Pada makalah tersebut digunakan analisa runtun waktu dan regresi. Pada makalah ini kita akan membahas suku bunga dalam fungsi diskrit dan fungsi kontinu sebagaimana dibahas pada paragraf berikut. Dimisalkan besarnya tabungan awal F = 1. Besarnya tabungan setelah t periode dinotasikan dengan
. Bunga yang dibayarkan untuk periode t sama dengan
Jika bunga sebanding dengan besarnya
maka dinamakan bunga berganda. Artinya (5)
dimana r > 0 dinamakan suku bunga (interest rate). Persamaan (5) dapat dituliskan kembali menjadi (6) dan diambil
= F = 1, maka diperoleh
dengan
adalah
besarnya tabungan. Sekarang diandaikan bahwa r suku bunga tahunan yang dibayarkan n kali setiap tahunnya. Kita membagi satu tahun menjadi n subperiode dengan lebar sama, sehingga suku bunga untuk setiap periode
, maka besarnya tabungan setelah m periode dirumuskan oleh .
Dimisalkan
(7)
untuk bilangan – bilangan asli m dan n , maka besarnya deposito
saat t untuk bunga berganda dengan suku bunga r mempunyai rumus .
5
(8)
Untuk n mendekati tak hingga maka dipunyai
=
= F = 1,maka secara umum dipunyai bentuk
. Karena
atau dapat pula dituliskan dalam
bentuk (9) dengan
disebut sebagai faktor terdiskon.
Selanjutnya dimisalkan harga saham pada saat expiry date T dinyatakan dengan S (T) dan diasumsikan bahwa: 1. X = ln 2. S (0) =
~ N(µT,σ2T) E(S (T)).
Dari asumsi pertama, pdf untuk X dapat dituliskan dengan (10) Sehingga pdf untuk S(T) dapat diperoleh dengan menggunakan teknik transformasi peubah acak melalui persamaan (10) .
(11)
Expected asset dapat diturunkan dengan memanfaatkan asumsi pertama,yaitu E[S(T) / S0] = E[
] = E[
Sehingga
]=
.
(12)
Dari asumsi kedua dan persamaan (12),dapat diperoleh S0 =
=
S0
sehingga
Jadi
.
(13)
Sehingga pdf untuk persamaan (11) dapat dituliskan menjadi ;
sehingga (14)
Maximum Likelihood Estimation untuk Data Berdistribusi Normal 6
Misalkan
sampel acak dengan pdf f(xi,θ) ,i = 1, 2, ... ,n dengan θ ϵ Θ.
Apabila L yaitu fungsi peluang bersama dari X1,X2,...,Xn dipandang sebagai fungsi dari θ dan X1, X2, ... , Xn konstan, maka L(θ) =
disebut sebagai fungsi likelihood.
Misalkan X1,X2,...,Xn sampel acak dengan pdf f(xi,θ) dan fungsi likelihood L(θ). Nilai = θ(X1,X2,...,Xn) yang memaksimumkan L(θ) yakni L( ) ≥ L(θ) untuk semua θ ϵ Θ dinamakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk θ. Selanjutnya dibentuk fungsi Likelihood
Diambil l adalah nilai logaritma dari fungsi Likelihood diatas sehingga diperoleh bentuk
.
Nilai optimal µ diperoleh dengan kondisi
yaitu
.
Demikian pula nilai optimal
diperoleh dengan memenuhi kondisi
. Diperoleh
(15)
, yaitu
(16) Untuk mempelajari sifat optimal
selanjutnya dibentuk matrik Hessian dr l
7
karena
dan det(
dan
) > 0, maka
memaksimumkan
negatife definite (Peressini,1988) yang berarti .
ANALISIS DAN PEMBAHASAN Estimasi Parameter Volatility saham merupakan nilai standar deviasi dari return. Perhitungan menggunakan rumus harga saham yang ditunjukan oleh persamaan (4) berdasarkan data saham penutupan harian PT. H.M. Sampoerna Tbk. yang diambil pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012. Data ditunjukkan oleh Gambar 1. Return dari harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. ditunjukkan Gambar 2 yang merupakan selisih dari nilai logaritma harga saham saat t dengan harga saham saat t-1. 4
5.5
Harga Saham Penutupan Harian PT. HM Sampoerna
x 10
Nilai Return dari Harga Saham 0.2
5
0.15
4.5 0.1
Return Harga Saham
Harga Saham
4 3.5 3 2.5
0.05
0
-0.05 2 -0.1
1.5 1
0
50
100
150
200
250 300 waktu (t)
350
400
450
-0.15
500
0
Gambar 1. Harga saham PT. HM. Sampoerna
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Gambar 2 return dari harga saham
Dengan menggunakan persamaan (15) dan (16), maka diperoleh
= 0,00281 ,
=
0,000402 dan volatility = 0,02004.
Simulasi Harga Saham Setelah didapatkan estimasi volatility, maka selanjutnya dilakukan 100 simulasi harga saham dengan expiry date T = 1 tahun menggunakan model harga saham Risk Neutral. Nilai r yang digunakan adalah suku bunga acuan yang dikeluarkan oleh Bank Indonesia atau yang lebih dikenal sebagai BI rate sebesar 5,75% per tahunnya. Hasil dari simulasi pergerakan harga saham selama satu tahun mendatang ditunjukkan oleh Gambar 3 dan untuk hasil simulasi harga saham satu tahun kedepan ditunjukkan oleh Gambar 4. 4
5.9
4
Simulasi Pergerakan Harga Saham
x 10
5.9
5.8
Simulasi Harga Saham Saat Satu Tahun Kedepan
x 10
5.8
5.7
8
5.5
Harga Saham
Harga Saham
5.7 5.6
5.6
5.5 5.4 5.4
5.3
5.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 waktu
0.6
0.7
0.8
0.9
1
5.3
0
10
20
30
40
50 simulasi
60
70
80
90
100
Gambar 3. S0 = 53.000 , T = 1 Tahun , σ = 0,02004 dan r = 5,75%.
Gambar 4. Hasil simulasi harga saham saat satu tahun kedepan.
Perhitungan Nilai Opsi Eropa Selanjutnya dihitung harga Opsi Eropa saat ini menggunakan persamaan (1) dan (9) dapat diperoleh persamaan
dengan M : Banyaknya simulasi,K : Harga pelaksanaan (Strike Price ) dan d= Karena terdapat tiga nilai K yang mugkin yaitu K<
, K=
, dan K>
maka
diambil K dengan nilai 50.000, 53.000,dan 56.000 dan diperoleh hasil yang ditunjukan oleh Tabel 1. Tabel 1. Harga opsi Call dan Put Eropa dengan S0 = 53.000 , T = 1 Tahun , σ = 0,02004, r = 5,75% dan K yang berbeda.
Strike Price (K)
Harga Call Option
Harga Put Option
50.000
5.777
0
53.000
2.944
0
56.000
470
358
Tabel diatas menunjukan harga Opsi Eropa baik Call Option maupun Put Option dari data harga saham penutupan harian PT. H.M. Sampoerna Tbk. Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa harga Put Option bernilai nol jika Strike Price berada dibawah atau sama dengan harga pasar. Sehingga PT. H.M. Sampoerna Tbk. tidak akan menjual sahamnya karena tidak akan menghasilkan keuntungan.
KESIMPULAN
9
Pada makalah ini telah dijelaskan bagaimana melakukan perhitungan harga Opsi Eropa dengan menggunakan data harga saham penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 maret 2010 sampai 29 februari 2012. Metode yang digunakan adalah Gerak Brown Geometri dan diperoleh hasil berbagai harga Opsi Eropa baik Call Option maupun Put Option untuk harga kesepakatan yang berbeda. Jadi jika terjadi kontrak opsi antara PT Sampoerna terhadap pihak lain baik sebagai holder dan sebagai writer maka PT. H.M. Sampoerna Tbk. dapat menentukan harga opsi sehingga tidak terjadi kerugian saat kontrak opsi dilaksanakan.
DAFTAR PUSTAKA Alam,M.M dan Uddin , G.S. 2009. Relationship between Interest Rate and Stock Price: Empirical Evidence from Developed and Developing Countries, Journal of Business and Management, Vol 4. No. 3, http://ccsenet.org/journal/index.php/ijbm/article/view/217, (diakses pada 24 April 2012). BI Rate, http://www.bi.go.id/web/id/Moneter/BI+Rate/Penjelasan+BI+Rate, (diakses pada 6 Maret 2012). Black, F. Scholes, M. 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities, The Journal of Political Economy, Vol 81. No. 3 Brigo, D. D’alessandro, A. Neugebauer, M. and Triki, F. 2007. A Stochastic Processes Toolkit for Risk Management, http://ssrn.com/abstract=1109160, (diakses pada 25 Februari 2012).
Higham, Desmond J., 2004. An Introduction to Financial Option Valuation. United Kingdom: Cambridge University Press. HMSP.JK Historical Prices, http://finance.yahoo.com, (diakses pada 1 Maret 2012). Hull, John C. 2009. Options,Futures, And Other Derivatives, 7th Edition. New Jersey: Pearson Education Nugroho, D. B. 2008. Aplikasi Metode Elemen Hingga Dalam Perhitungan Harga Opsi Asia Pada Traded Account, Thesis, Bandung: Institut Teknologi Bandung. Peressini, A. L. Sullivan, F.E. and Uhl, J.J. 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming. New York : Springer-Verlag. Rahman, A. 2010. Model Black-Scholes Put-Call Parity Harga Opsi Tipe Eropa Dengan Pembagian Dividen, Skripsi. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. 10
Wikipedia, http://id.wikipedia.org/wiki/Opsi_%28keuangan%29, (diakses pada 3 Januari 2012).
11
