EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN SOLUSI HARGA OPSI EROPA

Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009

EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN SOLUSI HARGA OPSI EROPA SUTRIMA [email protected] Jurusan Matematika FMIPA UNS Abstrak Harga opsi tipe Eropa oleh Black and Scholes (1973) merupakan fungsi dari asset pokok dan waktu. Secara matematis hubungan fungsi ini dapat dimodelkan sebagai persamaan diferensial parsial, yang dikenal sebagai model Black-Scholes. Model BlackScholes ini merupakan tipe masalah Cauchy abstrak. Untuk tipe masalah ini, Teorema HilleYosida dalam semigrup dapat digunakan untuk membuktikan eksistensi dan ketunggalan solusi masalah tersebut. Untuk tujuan ini dipilih ruang dengan syarat-syarat tertentu, kemudian ditunjukkan bahwa operator Black-Scholes yang muncul dalam masalah Cauchy merupakan generator infinitesimal dari semigrup-C0 T(t). Kata kunci: harga opsi Eropa, operator Black-Scholes, semigrup, generator infinitesimal

PENDAHULUAN Opsi merupakan investasi aset finansial yang banyak dilakukan, disamping investasi pada aset riil seperti: tanah, mesin, bangunan, dan emas. Opsi adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak dimana satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk membeli dan menjual aset tertentu pada harga dan periode tertentu. Hak untuk membeli suatu saham dengan harga tertentu/harga kesepakatan (exercise price) disebut opsi beli (call option), sedangkan hak untuk menjual suatu saham dengan harga tertentu pada waktu tertentu atau sebelumnya disebut opsi jual (put option). Masa jatuh tempo (expiry date) merupakan tanggal hak pembeli saham untuk melakukan exercise habis (Husnan, 1993 ). Berdasarkan waktu eksekusi yang terjadi, opsi dikelompokkan menjadi dua, yaitu tipe Eropa dan tipe Amerika. Opsi tipe Eropa adalah opsi yang hanya dapat dilaksanakan pada tanggal tertentu saja. Sedangkan tipe Amerika adalah opsi yang dapat dilaksanakan pada tanggal tertentu atau sebelumnya. Namun yang banyak dianut pasar keuangan adalah model opsi tipe Eropa. Opsi tipe Eropa mendasarkan pada beberapa asumsi, antara lain: saham tidak memberikan pembayaran deviden, tidak ada biaya transaksi dan pajak, tingkat suku bunga bebas-resiko konstan selama umur opsi, dan perubahan harga saham mengikuti pola acak (Husnan, 1993 ). Black dan Scholes (1973) berhasil menyusun model pergerakan harga opsi tipe Eropa, yang selanjutnya disebut model Black-Scholes. Model Black-Scholes dari opsi beli tipe Eropa C, sebagai fungsi aset pokok, x, dan waktu, t, sehingga C = C(x,t) memenuhi persamaan diferensial parsial:

∂C 1 2 2 ∂ 2C ∂C + σ x + rx − rC = 0 2 ∂t 2 ∂x ∂x

(1.1)

dengan C(0,t) = 0; C(x,t) ∼ x apabila x → ∞;

(1.2)

C(x,T) = CT = maks(x – E,0), x ∈ (0, ∞), dengan σ volatilitas aset pokok, E harga kesepakatan, T waktu jatuh tempo, dan r tingkat suku bunga. Dalam hal ini σ dan r diambil konstanta, dan aset tanpa deviden. Secara terpisah Merton (1973) juga meneliti pergerakan harga opsi. Hal yang sama dilakukan Wilmot. (2001). M-287

Sutrima/Eksistensi dan Ketunggalan

Perkembangan teori semigrup begitu mengesankan dalam usaha membantu memecahkan masalah waktu kontinu, yang biasanya dalam bentuk persamaan diferensial parsial. Masalah (1.1)– (1.2) jika ditinjau dari teori persamaan diferensial parsial termasuk klasifikasi persamaan diferensial parsial parabolik tipe masalah Cauchy. Untuk tipe masalah ini, pendekatan semigrup dapat diimplementasikan untuk membuktikan eksistensi dan ketunggalan penyelesaian masalah tersebut (Pazy, 1983; Curtain dan Zwart, 1995). Oleh karena itu dalam artikel akan diberikan syarat cukup dan syarat perlu eksistensi ketunggalan penyelesaian masalah (1.1)-(1.2) melalui pendekatan semigrup Teori Semigrup Teori semigrup memberikan kontribusi yang signifikan terhadap pemecahan masalah waktu kontinu dari masalah Cauchy abstrak. Dalam hal ini, hasil yang sangat terkenal adalah teorema HilleYosida. Definisi 2.1 Misalkan X adalah ruang Banach. Keluarga operator terbatas dari X ke X berparameter-satu T(t), 0 ≤ t < ∞ disebut semigrup pada X, jika memenuhi: (a) T(0) = I , dengan I operator identitas pada X, (b) T(s + t) = T(s)T(t) untuk setiap s, t ≥ 0. Semigrup dari operator linear terbatas T(t) dikatakan kontinu seragam (uniformly continuous) jika

lim T (t ) − I = 0. t →0

Dari definisi ini jelas bahwa jika T(t) kontinu seragam, maka

lim T ( x) − T (t ) = 0. x →t

Operator linear A yang didefinisikan dengan

T (t ) x − x t →0 t

Ax = lim  

pada D( A= )  x ∈ X : lim t →0

T (t ) x − x  ada  disebut generator infinitesimal dari semigrup T(t). t 

Berkaitan dengan definisi ini, Pazy (1983) dan Curtin dan Zwart (1995) memberikan hasil berikut. Teorema 2.2 Operator linear A adalah generator infinitesimal dari semigrup kontinu seragam jika dan hanya jika A operator linear terbatas. Dari Definisi 2.1 jelas bahwa semigrup T(t) mempunyai generator infinitesimal yang tunggal. Lebih lanjut, jika T(t) kontinu seragam, maka mempunyai generator infinitesimal berupa operator linear terbatas. Definisi 2.3 Semigrup T(t), 0 ≤ t < ∞, dari operator linear terbatas pada X dikata-kan kontinu kuat (strongly continuous), jika

lim T (t ) x = x t →0

untuk setiap x ∈ X. Semigrup kontinu kuat dari operator linear terbatas pada X selanjut-nya disebut semigrup-C0.

M-288


Misalkan A operator linear, tidak harus terbatas, pada X, himpunan resolvent dari A, dinotasikan ρ(A), didefinisikan sebagai himpunan dari semua bilangan kompleks λ sehingga (λI – A)-1 adalah operator terbatas pada X. Keluarga operator linear terbatas R(λ:A) = (λI – A)-1, λ ∈ ρ(A), disebut resolvent dari A. Definisi 2.4 Semigrup T(t), 0 ≤ t < ∞, dari operator linear terbatas pada X disebut semigrup penyusutan (contraction), jika T(t) semigrup-C0 dan memenuhi

T (t ) ≤ 1 untuk setiap t ≥ 0. Teorema berikut dikenal sebagai teorema Hille-Yosida (Curtain dan Zwart, 1995) yang sangat penting dalam penelitian ini. Teorema 2.5 Operator linear A adalah generator infinitesimal dari semigrup kontraksi jika dan hanya jika (a) A tertutup dan D ( A) = X , (b) Himpunan resolvent ρ(A) memuat Ρ+ dan untuk setiap λ > 0 berlaku

R (λ : A) ≤

1

λ

Sebagai akibat teorema diatas akan berlaku hasil berikut ini (Pazy, 1983; Curtain dan Zwart, 1995). Akibat 2.6 Operator linear A bstra generator infinitesimal dari semigrup-C0 yang memenuhi T (t ) ≤ eωt bst dan hanya bst (a) A tertutup dan D ( A) = X , (b) Himpunan resolvent ρ(A) memuat sinar {λ ∈ Χ : Imλ = 0, λ > ω } dan untuk setiap λ > 0 berlaku

R (λ : A) ≤

1 . λ −ω

Akibat 2.7 Misalkan A bstra generator infinitesimal dari semigrup-C0 yang memenuhi T (t ) ≤ eωt . Jika c > maks(0, ω) dan x ∈ D( A2 ) , maka T(t)x =

Cauchy

1 c + i∞ λ x e R (λ : A) x d λ . 2π i ∫c −i∞

Teorema berikut merupakan kontribusi dari teori semigrup dalam memecahkan masalah bstrae (Pazy, 1983).

Teorema 2.8 Misalkan A operator linear rapat dengan himpunan resolvent tak kosong. Masalah nilai awal

M-289


du (t ) = Au (t ) , t > 0, u(t0) = x dt

(x ∈ X)

(2.1)

mempunyai penyelesaian tunggal u(t), yang mempunyai turunan kontinu pada [0,∞), untuk setiap x ∈ D(A) jika hanya jika A generator infinitesimal dari semigrup-C0 T(t).

HASIL PENELITIAN Sebagai langkah awal, dikonstruksi ruang X α yang memungkinkan operator Black-Scholes dapat bekerja. Didefinisikan

= Xα

{f :x

α +1

f ∈ C (0, ∞), f

α ∞

}

<∞

(3.1)

dengan

f

α ∞

= sup xα +1 f ( x) ,

(3.2)

0≤ x <∞

dan C(0,∞) menyatakan himpunan semua fungsi kontinu pada (0,∞). Mudah ditunjukkan bahwa f

α ∞

α

merupakan norma pada X . Selanjutnya, didefinisikan operator A : D ( A) ⊂ X α → X α dengan

1 ∂2 f ∂f Af = − σ 2 x 2 2 − rx + rf 2 ∂x ∂x

(3.3)

dengan

{

}

D( A) = f ∈ X α : Af ∈ X α .

(3.4)

Dapat ditunjukkan bahwa operator A bersifat linear pada D(A). Dengan operator ini persamaan diferensial parsial (2.1) dapat dituliskan kembali sebagai

du (t ) = Au (t ) . dt

(3.5)

Persamaan ini sepadan dengan masalah Cauchy (2.1). Syarat perlu agar Teorema 2.8 dapat diimplementasikan terhadap (3.5), maka X α haruslah ruang Banach.

(

Teorema 3.1 Ruang X α , f

α ∞

) merupakan ruang Banach.

Bukti. Ambil sembarang barisan Cauchy

( fn )

di dalam X α terhadap norma f

sembarang ε > 0, maka terdapat H ∈ Ν sehingga untuk m, n ≥ H berlaku

fm − fn

M-290

α ∞

<ε .

α ∞

. Diberikan

(3.6)


Akibatnya untuk untuk m, n ≥ H berlaku

xα +1 f m ( x) − f n ( x) < ε Jadi untuk setiap x∈[0,∞),

( f n ( x) )

untuk setiap x ∈ [0,∞).

adalah barisan Cauchy di dalam Ρ, sehingga konvergen dalam Ρ.

Didefinisikan f sebagai fungsi limit, yaitu f ( x) = lim f n ( x) untuk setiap x∈[0,∞). Dengan (3.7), n →∞

untuk setiap n ≥ H berlaku

xα +1 f n ( x) − f ( x) < ε Hal ini menunjukkan bahwa

( fn )

untuk setiap x ∈ [0,∞).

konvergen seragam ke f pada [0,∞). Karena

( fn )

barisan fungsi

kontinu, maka dengan Teorema 8.2.2 (Bartle, 1992) f kontinu pada [0,∞), sehingga f ∈ X α . Jadi,

(X

α

, f

α ∞

) adalah ruang bernorma yang lengkap, yaitu ruang Banach.

 Teorema 3.2 Operator diferensial A adalah generator infinitesimal dari semigrup-C0 T(t).

{f :x

Bukti. Untuk α ∈  didefinisikan = C0,∞α rapat di dalam X

α

∞ 0,α

karena D(A) memuat C

α +1

}

f ( x) ∈ C0∞ .Operator A tertutup, dan D(A)

yang mana rapat di dalam X α .

Untuk membuktikan bahwa A adalah generator infinitesimal harus ditunjukkan bahwa himpunan resolvent ρ(A) memuat sinar {λ ∈ Χ : Imλ = 0, λ > ω } dan untuk setiap λ > 0 berlaku

R (λ : A) ≤

1 . λ −ω

Dengan kata lain, harus dicari fungsi g di dalam D(A) sehingga

(λ I − A) g ( x) = f ( x)

(3.7)

yaitu,

(λ − r ) g ( x) + rx

dg 1 2 2 d 2 g f ( x) . + σ x = dx 2 dx 2

(3.8)

Persamaan ini dapat dituliskan kembali sebagai 2

1  dg 1 2  d   + σ  x  g ( x) = (λ − r ) g ( x ) +  r − σ 2  x f ( x) . 2  dx 2  dx  

(3.9)

Untuk menyelesaikan (3.10) akan digunakan transformasi Mellin, yaitu

= M( g ( x)) ( s )

∞

∫x

s −1

g ( x) d x (Re s > 0) .

(3.10)

0

M-291


Dengan transformasi Mellin ini diperoleh bahwa

  d 2  M   x  g ( x)  ( s ) = s 2G ( s ),   dx    

 d  M  x g ( x)  ( s ) = − sG ( s ),  dx 

(3.11)

dengan G ( s ) = M g ( s ) . Dengan (3.11), (3.9) ditransformasi menjadi

1  1  (λ − r )G ( s ) −  r − σ 2  sG ( s ) + σ 2 s 2G ( s ) = F (s) , 2  2 

(3.12)

dan penyelesaian untuk G(s)

G (s) =

F (s) (1/ 2) σ s − (r − (1/ 2) σ 2 ) s − r + λ 2 2

= =

2

σ

2

2

σ

2

F ( s ).

F ( s ).

1 s − (2r / σ − 1) s − (2(r − λ ) / σ 2 ) 2

2

(3.13)

1 , ( s − s1 )( s − s2 )

dengan s1,2 =r / σ 2 − 1/ 2 ± (r / σ 2 + 1/ 2)2 − 2λ =α ± β 2 − 2λ , untuk = α r / σ 2 − 1/ 2;

= β (r / σ 2 + 1/ 2) 2 . Diambil kasus r > (1/ 2) σ 2 , untuk kasus yang lain dibuktikan serupa. Dengan menerapkan invers tranformasi Mellin terhadap (3.13) diperoleh

 f ( x) ∗ {( s1 − s2 ) −1.( x s1 − x s2 )} , 0 < x < 1, g ( x) =  1 < x < ∞, 0,

(3.14)

dengan * menyatakan konvolusi Mellin, yaitu ∞ x 1 f ∗ g ( x) = ∫0 f  y  g ( y) y dy

Akibatnya, untuk 0 < y < 1, g(x) = R(λ:A)f

M-292

(3.15)


β 2 − 2λ ∞  x  1  − α + . y = f σ 2 (2λ − β 2 ) ∫0  y  y 

β 2 −2λ

− y −α −

β 2 −2λ

 .  dy

(3.16)

Di pihak lain, dengan (3.16) dan tranformasi variabel u = x / y memberikan

x

α +1

β 2 − 2λ 1 f 2 σ 2λ − β 2

g ( x) ≤ C1

 ∞   x  . x ∞  ∫x  u  

β 2 −2λ

α

u du − ∫ −2

∞

x

 x   u

− β 2 −2λ

 u −2 du  (3.17)  

dengan c1 konstanta positif. Dengan menghitung dua integral terakhir diperoleh

xα +1 g ( x) ≤ C2

1

λ −β /2 2

f

α ∞

,

(3.18)

sehingga,

g

α ∞

≤ C2

1

λ −β /2 2

f

α ∞

(3.19)

2 dengan c2 konstanta positif, dan Re λ > β= 2 (1/ 2)(r / σ 2 + 1/ 2) 4 .

Dengan Akibat 2.6 dan Akibat 2.7, A membangkitkan semigrup-C0 T(t) dengan T(t)f(x) =

1 c + i∞ λ x e [ R(λ : A) f ]( x) d λ 2π i ∫c −i∞ 1 2π iσ 2

 ∞   f (u ) x − a −1u a +1   x  e   ∫c−i∞  ∫x  u    c + i∞

λx

β 2 −2λ

x −  u

− β 2 −2λ

 2  x  du  β − 2λ d λ  u 2  (2λ − β 2 )  

untuk Re λ > β 2 2 .  Dengan Teorema 2.8 dan Teorema 3.2 telah dapat dibuktikan eksistensi dan ketunggalan solusi dari masalah (1.1)-(1.2) dengan syarat C ∈ X α . Lebih lanjut, solusi tersebut secara ekplisit dapat ditentukan, sebagaimana diberikan oleh teorema berikut. Teorema 3.3 Terdapat solusi tunggal C(x,t) dari masalah (1.1)-(1.2) di dalam ruang X α , dan C(x,t) = T(t)CT. KESIMPULAN Melalui pendekatan teori semigrup eksistensi dan ketunggalan solusi harga opsi Eropa dapat ditentukan. Hal ini dilakukan dengan mengkonstruksikan ruang Banach X α yang memungkinkan operator Black-Scholes A bekerja. Selanjutnya, ditunjukkan bahwa operator A adalah generator infinitesimal dari semigrup-C0.

M-293


DAFTAR PUSTAKA Bartle, R.G dan Sherbert, D.R. (1992). Introduction to Real Analysis. Singapore: John Wiley & Sons, Inc. Black, F and Scholes, M. (1973) The Pricing of Options and Corporate Liabilities. J. Polit. Econ. 81, pp. 637–654. Curtain, R.F and Zwart, H.J. (1995). Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems Theory. New York: Springer-Verlag. Husnan, S. (1993 ). Dasar-Dasar Teori Portopolio dan Analisis Sekuritas. UPP-AMP, YKPN, Yogyakarta. Merton, R.C. (1973). Theory of Rational Option Pricing. Bell J. Econom. Management Sci. 4, pp.141– 183. Pazy, A. (1983). Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. New York: Springer-Verlag, Wilmot, P. (2001). Paul Wilmott Introduces Quantitative Finance. New York: John Wiley & Sons.

M-294

EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN SOLUSI HARGA OPSI EROPA

Recommend Documents