METODE THETA UNTUK MENENTUKAN NILAI OPSI SAHAM TIPE EROPA Afri Andriyani Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru, 28293 afri
[email protected]
ABSTRACT This article discusses the determination of value of the European type stock options where the transaction is held at the expiry date. One way to determine the value of the option is using Black-Scholes model in the form of partial differential equation. Furthermore, the approximate solution of Black-Scholes model is obtained using theta finite difference method. Keywords: Options, Black-Scholes model, theta method ABSTRAK Artikel ini membahas mengenai penentuan nilai opsi saham tipe Eropa di mana transaksi dilaksanakan pada saat jatuh tempo. Salah satu cara untuk menentukan nilai opsi yaitu menggunakan model Black-Scholes yang berupa persamaan diferensial parsial. Selanjutnya, solusi hampiran model Black-Scholes diperoleh dengan menggunakan metode beda hingga theta. Kata kunci: Opsi, model Black-Scholes, metode theta 1. PENDAHULUAN Perkembangan perekonomian global mendorong para pelaku ekonomi untuk berinvestasi di pasar modal demi memperoleh keuntungan yang maksimal. Investor yang melakukan investasi berupa aset finansial, salah satunya saham. Sunariyah [8, h. 6] mendefinisikan saham merupakan lembaran surat berharga yang diterbitkan oleh badan usaha yang membutuhkan pendanaan dan dijual kepada para investor yang mengakibatkan para investor dapat memiliki sebagian kepemilikan perusahaan sebesar jumlah surat berharga yang dimiliki oleh investor. Seorang investor yang melakukan investasi saham di pasar modal merupakan hal yang menguntungkan, akan tetapi dengan keadaan harga saham yang bersifat fluktuasi dan juga memiliki risiko kerugian membuat investor berhati-hati dalam 1
berinvestasi. Hal tersebut menjadi salah satu faktor munculnya alternatif untuk berinvestasi yaitu opsi. Sunariyah [8, h. 232] mendefinisikan opsi sebagai suatu perjanjian kontrak antara penjual opsi (seller ) dengan pembeli opsi (buyer ) dimana penjual opsi menjamin adanya hak (bukan kewajiban) dari pembeli opsi untuk membeli atau menjual saham tertentu pada harga dan waktu yang telah ditetapkan. Opsi tipe Eropa adalah opsi yang pelaksanaan transaksinya pada saat waktu jatuh tempo. Nilai opsi merupakan besarnya biaya yang dikeluarkan oleh seorang investor untuk mendapatkan kontrak opsi dan pembayarannya dilakukan saat kontrak dibuat. Ada beberapa model untuk menentukan nilai opsi salah satunya model Black-Scholes. Hull [6, h. 277] menyatakan model penentuan nilai opsi saham tipe Eropa merupakan model Black-Scholes yang dikembangkan oleh Fischer Black dan Myron Scholes pada tahun 1973. Model Black-Scholes berbentuk persamaan diferensial parsial yang berasal dari persamaan diferensial stokastik nilai opsi. Selanjutnya model Black-Scholes dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan numerik yaitu metode beda hingga theta. Bernats [2, h. 226] mendefinisikan metode theta merupakan gabungan dari metode forward difference dan backward difference, dengan theta sebagai parameter. Dalam artikel ini dibahas metode theta untuk menyelesaikan model Black-Scholes sebagai penentuan nilai opsi saham tipe Eropa. Artikel ini merupakan kajian dari buku Desmon [5, h. 257]. Adapun sistematika penulisan, bagian 1 adalah pendahuluan yang berisi gambaran umum tentang permasalahan yang dibahas. Pada bagian 2 dijelaskan teori pendukung yang digunakan dalam menyelesaikan permasalahan yang dibahas. Pada bagian 3 membahas inti permasalahan penelitian dalam artikel ini, yaitu metode theta untuk menentukan nilai opsi saham tipe Eropa. Pada bagian 4 membahas simulasi. Selanjutnya, artikel ini diakhiri kesimpulan pada bagian 5. 2. PERSAMAAN DIFERENSIAL STOKASTIK NILAI OPSI SAHAM Nilai opsi merupakan suatu fungsi dari variabel stokastik yang bergantung terhadap harga saham dan waktu. Hull [6, h. 259] mendefinisikan setiap variabel yang nilainya berubah dari waktu ke waktu dengan cara yang tak tentu dikatakan mengikuti proses stokastik. Ross [7, h. 41] mendefinisikan proses stokastik merupakan kumpulan variabel random X(t), t ∈ T dengan t menyatakan waktu pada T dan X(t) menyatakan proses saat t. Proses stokastik memiliki beberapa bagian salah satunya proses Wiener. Tsay [9, h.253] mendefinisikan variabel wt sebagai proses Wiener yang memiliki sifat-sifat berikut. 1. Perubahan ∆wt selama selang waktu terkecil ∆t, dinyatakan dengan √ ∆wt = ǫ ∆t,
(1)
dengan ǫ merupakan sample random berdistribusi normal N (0, 1). 2
2. Nilai ∆wt untuk setiap interval waktu terkecil ∆t saling bebas. Hull [6, h. 265] memodelkan persamaan diferensial stokastik harga saham dengan variabel S mengikuti generalisasi proses Wiener dinyatakan dengan dS = µSdt + σSdwt ,
(2)
dengan µS merupakan tingkat rata-rata saham yang diharapkan, σS merupakan volatilitas saham dari return, dan wt merupakan proses Wiener. Alat komputasi yang terkenal di dalam dunia finansial adalah lema Ito. Lema Ito diperkenalkan oleh seorang ahli matematika bernama Kiyosi Ito pada tahun 1951. Willmot [11, h. 25] menyatakan lema Ito diperoleh dari penjabaran deret Taylor, dengan ekspansi deret Taylor terhadap fungsi G(S, t) yaitu ∆G =
∂G ∂G 1 ∂ 2G ∂ 2G 1 ∂G 2 2 ∆S + ∆t + ∆S + ∆S∆t + ∆t + · · · . 2 ∂S ∂t 2 ∂S ∂S∂t 2 ∂t2
(3)
Selanjutnya, lema Ito digunakan untuk menentukan persamaan diferensial stokastik untuk nilai opsi saham. Variabel S memenuhi persamaan (2) yaitu ∆S = µS∆t + σS∆wt . Dengan mensubstitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (4) diperoleh √ ∆S = µS∆t + σSǫ ∆t, atau √ ∆S 2 = µ2 S 2 ∆t2 + 2µσS 2 ǫ(∆t)3/2 + σ 2 S 2 (ǫ ∆t)2 ,
(4)
(5)
dengan ǫ memiliki rata-rata 0 dan variansi 1. Jika nilai V ar(ǫ) = E(ǫ2 ) − [E(ǫ)]2 , maka E(ǫ2 ) = 1. Kemudian, pada persamaan (5) dengan menggunakan sifat ekspektasi diperoleh [1, h. 72] ∆S 2 = µ2 S 2 ∆t2 + σ 2 S 2 ∆t.
(6)
Dengan mensubstitusikan persamaan (4) dan (6) ke dalam persamaan (3) diperoleh ∆G =
∂G ∂G 1 ∂ 2G 2 2 2 (µS∆t + σS∆wt ) + ∆t + (µ S ∆t + σ 2 S 2 ∆t) ∂S ∂t 2 ∂S 2 ∂ 2G 1 ∂G 2 + (µS∆t + σS∆wt )∆t + ∆t , ∂S∂t 2 ∂t2
(7)
saat limit ∆t menuju 0, dengan menggunakan definisi total diferensial diperoleh [10, h. 944] dG =
∂G ∂G ∂G 1 ∂ 2G 2 2 µSdt + σSdwt + dt + σ S dt. ∂S ∂S ∂t 2 ∂S 2
(8)
3
Misalkan V (S, t) adalah nilai opsi yang bergantung terhadap harga saham S dan waktu t, sehingga persamaan (8) menjadi ∂V ∂V 1 ∂ 2V 2 2 ∂V dV = σ S dt µS + + + σSdwt , (9) ∂S ∂t 2 ∂S 2 ∂S persamaan (9) merupakan persamaan diferensial stokastik nilai opsi saham untuk memperoleh model Black-Scholes. 3. METODE THETA UNTUK MENENTUKAN NILAI OPSI SAHAM Nilai opsi saham ditentukan dari model Black-Scholes yang diselesaikan menggunakan metode beda hingga theta. Hull [6, h. 286] menyatakan bahwa model BlackScholes memiliki beberapa asumsi diantaranya 1. Opsi yang digunakan adalah opsi tipe Eropa, yang berlaku pada saat jatuh tempo. 2. Volatilitas harga saham konstan selama usia dan diketahui secara pasti. 3. Suku bunga bebas risiko. 4. Saham yang digunakan tidak melakukan pembagian dividen. 5. Pajak dan biaya transaksi diabaikan. Suatu portofolio merupakan sekumpulan aset berharga salah satunya saham. Nilai portofolio yang dilambangkan dengan π terdiri dari V dengan perubahan saham jangka pendek, yang dinyatakan dengan [11, h. 12] π = V − δ(S).
(10)
Perubahan nilai portofolio suatu waktu dinyatakan dengan dπ = dV − δ(dS).
(11)
∂V merupakan tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap harga ∂S saham atau dikenal dengan pengendalian risiko (hedging), dengan mensubstitusikan persamaan (9) dan persamaan (2) ke dalam persamaan (11), diperoleh ∂V 1 2 2 ∂ 2V dπ = + σ S dt. (12) ∂t 2 ∂S 2 Misalkan δ =
Portofolio dikatakan tidak berisiko dikarenakan tidak adanya proses Wiener, oleh karena itu portofolio dikatakan konstan dan memiliki return yang sama dengan
4
return sekuritas bebas risiko lainnya. Jadi persamaan yang menunjukkan adanya persamaan return portofolio dengan return sekuritas bebas risiko lainnya adalah dπ = rπdt.
(13)
Dengan mensubstitusikan persamaan (10) dan persamaan (12) ke dalam persamaan (13), diperoleh ∂V 1 ∂ 2V ∂V + σ 2 S 2 2 + rS − rV = 0. ∂t 2 ∂S ∂S
(14)
Misalkan τ adalah perhitungan harga saham, yang diperoleh dari selisih waktu akhir dan waktu awal. Kemudian τ dapat dinyatakan sebagai berikut. τ = T − t. Dengan menurunkan kedua ruas terhadap t, diperoleh ∂τ = −1. ∂t
(15)
Kemudian, dengan menggunakan aturan rantai pada persamaan (15) diperoleh ∂V 1 ∂ 2V ∂V − σ 2 S 2 2 − rS + rV = 0. ∂τ 2 ∂S ∂S
(16)
Persamaan (16) merupakan model Black-Scholes untuk penentuan nilai opsi saham tipe Eropa. Berdasarkan kontrak, opsi (V ) terbagi atas dua yaitu call option (C) dan put option (P ). Higham [5, h. 3] menyatakan model Black-Scholes pada persamaan (16) memiliki syarat awal dan syarat batas untuk call option maupun put option, adapun syarat awal dan syarat batas call option yaitu C(0, τ ) = 0 dan C(Smax , τ ) = Smax − Ke−r(τ ) , serta payoff saat t = T adalah C(S, T ) = max (ST − K, 0), kemudian syarat awal dan syarat batas put option yaitu P (0, τ ) = Ke−r(T −t) dan P (Smax , τ ) = 0, serta payoff saat t = T adalah P (S, T ) = max (K − ST , 0).
5
Pada persamaan (16) dengan melakukan proses diskritisasi menggunakan metode forward difference diperoleh [3, h. 733] ∂V V j+1 − Vij ≈ i , ∂τ k j j Vi−1 − 2Vij + Vi+1 ∂ 2V ≈ , ∂S 2 h2 j j − Vi−1 Vi+1 ∂V ≈ , ∂S 2h sehingga persamaan (16) dapat ditulis menjadi j j j V j − 2Vij + Vi+1 Vi+1 − Vi−1 Vij+1 − Vij 1 − rS − σ 2 S 2 i−1 + rVij = 0. (17) k 2 h2 2h Selanjutnya pada persamaan (16) dengan menggunakan metode backward difference diperoleh [3, h. 733], j+1 j+1 Vi−1 − 2Vij+1 + Vi+1 ∂ 2V ≈ , ∂S 2 h2 j+1 V j+1 − Vi−1 ∂V ≈ i+1 , ∂S 2h sehingga persamaan (16) dapat ditulis menjadi j+1 j+1 j+1 V j+1 − 2Vij+1 + Vi+1 Vi+1 − Vi−1 Vij+1 − Vij 1 − σ 2 S 2 i−1 − rS + rVij+1 = 0. (18) k 2 h2 2h Jika persamaan (18) dan (17) dijumlahkan, kemudian hasilnya dibagi 2 dan memberi bobot yang dinotasikan dengan θ pada ruas kanan, sehingga diperoleh metode theta terhadap model Black-Scholes yaitu
σ 2 i2 k rik j+1 j+1 j+1 j+1 θ(Vi−1 − 2Vij+1 + Vi+1 )− θ(Vi+1 − Vi−1 )= 2 2 σ 2 i2 k j j (1 − rk(1 − θ))Vij + (1 − θ)(Vi−1 − 2Vij + Vi+1 ) 2 rik j j + (1 − θ)(Vi+1 − Vi−1 ), (19) 2 dengan 0 ≤ θ ≤ 1. Perhatikan persamaan (19) dengan menjalankan nilai i = 1, 2, · · · , m − 1 dan nilai j = 0, 1, 2, · · · , n − 1, diperoleh sistem persamaan linear yaitu ~j , B V ~j+1 = F V~ j + Q (20) (1 + rkθ)Vij+1 −
i
i
dengan b1 c 1 0 · · · 0 a2 b 2 c 2 · · · 0 ... 0 B = 0 a3 b 3 . . . . .. .. .. .. .. . 0 0 0 · · · b(m−1)
,
f1 g 1 0 · · · 0 e 2 f2 g 2 · · · 0 ... 0 F = 0 e 3 f3 . . . . .. .. .. .. .. . 0 0 0 · · · f(m−1)
, 6
Qj =
e1 V0j + a1 V0j+1 0 0 .. . g(m−1) Vmj + c(m−1) Vmj+1
.
Pada persamaan (19) dengan memisalkan entry pada matriks B, matriks F dan ~ Q adalah ai bi ci ei fi gi dan Vij yaitu
= −(1/2)kθ(σ 2 i2 − ri), = 1 + kθ(r + σ 2 i2 ), = −(1/2)kθ(σ 2 i2 + ri), = (1/2)k(1 − θ)(σ 2 i2 − ri), = 1 − k(1 − θ)(r + σ 2 i2 ), = (1/2)k(1 − θ)(σ 2 i2 + ri),
Vij =
V1j V2j V3j .. . j Vm−1
.
Chapra [4, h. 286] menjelaskan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear pada persamaan (20) dimiliki matriks yang berbentuk tridiagonal, sehingga persamaan (20) dapat diselesaikan dengan algoritma Thomas. 4. SIMULASI Misalkan seorang investor, Mr. A melaksanakan opsi saham kepada perusahaan PT. B yang bergerak di bidang perminyakan. Pada saat itu, Mr. A melaksanakan opsi dengan harga pelaksanaan sebesar $47 per lembar dengan tingkat suku bunga bebas risiko 15% per tahun. Perjanjian dilaksanaan selama 146 hari, maka nilai t yaitu 0.4 (1 tahun 365 hari) dan harga saham saat opsi dibuat sebesar $50 per lembar dengan volatilitas harga saham 24%, tipe opsi yang digunakan adalah tipe Eropa. Setelah kontrak dibuat Mr. A menghitung berapa dana yang akan dikeluarkan untuk call option dan put option, dengan menggunakan software matlab R2013a diperoleh call option sebesar $6.5839 per lembar saham dan untuk put option sebesar $0.8468 per lembar saham. Ilustrasi call option dan put option terlihat pada Gambar 1 (a) dan (b). Gambar 1 (a) untuk call option menjelaskan harga saham S lebih besar dibandingkan harga kesepakatan K. Pada saat jatuh tempo apabila Mr. A melaksanakan haknya maka Mr. A akan memperoleh keuntungan sebesar selisih harga saham S dengan 7
harga kesepakatan K. Semakin tinggi harga saham maka semakin besar pula keuntungan yang di peroleh Mr. A. Apabila pada saat jatuh tempo Mr. A tidak melaksanakan haknya maka Mr. A akan mengalami kerugian sebesar dana yang dikeluarkan oleh Mr. A kepada option writter yaitu sebesar $6.5839 per lembar saham. Gambar 1 (b) untuk put option menjelaskan harga kesepakatan K lebih rendah dibandingkan harga saham S. Hal ini dikarenakan pada saat awal kontrak dibuat Mr. A memprediksi harga saham PT. B akan mengalami peningkatan pada saat jatuh tempo, sehingga Mr. A tidak memungkinkan untuk melaksanakan put option.
50 40 30 20 10 0 0 100
50 50 100
0
(a)
(b)
Gambar 1: (a) call option dan (b) put option
5. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya dapat disimpulkan bahwa untuk menentukan nilai call option maupun nilai put option menggunakan model Black-Scholes. Model Black-Scholes yang berbentuk persamaan diferensial parsial dapat diselesaikan dengan metode beda hingga theta untuk memperoleh nilai opsi. Ucapan Terima Kasih Ucapan terima kasih disampaikan kepada Dr. Syamsudhuha, M.Sc. dan Zulkarnain, M.Si. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] L.J. Bain dan M. Engelhardt, Introduction to Probability and Mathematical Statistics, 2th Ed, Duxbury, Canada, 1992. 8
[2] R. A. Bernatz, Fourier Series and Numerical Methods for Partial Differensial Equations, John Wiley and Sons, Inc, New Jersey, 2010. [3] R. L. Burden dan D. J. Faires, Numerical Analysis, 9th Ed, Nelson Education, Ltd, Canada, 2011. [4] S. C. Chapra, Numerical Method for Engineers, 5th Ed, Mc Graw Hill, New York, 2006. [5] J. H. Desmond, An Introduction to Financial Option Valuation, Mathematics, Stochastics and Computation, Cambridge University Press, New York, 2004. [6] J. C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives, 7th Ed, Prentice Hall, New Jersey, 2003. [7] S. M. Ross, Stochastic Processes, 2nd Ed, Jhon Wiley dan Sons. Inc, New York, 1996. [8] Sunariyah, Pengetahuan Pasar Modal, AMP YKPN, 2003. [9] R. S. Tsay, Analysis of Jersey, 2010.
Financial
Time Series, Wiley-Interscience, New
[10] J. Stewart, Calculus, 7th , Cengage Learning, Spain, 1976. [11] P. Willmot, S. Howinson dan J. Dewynne, The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction, Cambridge University Press, New York, 1995.
9
