BAB 3 Pengantar Metode Statistik
Ensambel Statistik Distribusi Binomial Nilai Rata-rata Sistem Spin Distribusi Probabilitas Kontinu
Riview Bab 2 : Konsep probabilitas sangat penting digunakan untuk memahami sistem makroskopik Penggunaan Konsep Probabilitas: 1. 2. 3. 4. 5.
Permainan (Game) Bisnis Asuransi BMG (Prakiraan Cuaca) Biologi (Genetika) Dll.
Penggunaan Konsep Probabilitas dalam Bidang Fisika: • • • •
Peluruhan Radioaktif Sinar kosmik yang sampai ke permukaan bumi Emisi acak elektron dari filamen panas Deskripsi atom & molekul dalam kuantum
Ensambel Statistik Tinjau sebuah sistem A dimana dapat dilakukan suatu eksperimen Apakah kita dapat mengetahui secara pasti hasil yang akan kita peroleh jika eksperimennya dilakukan tunggal? Tidak, mengapa? Karena informasi yang diperoleh dari sistem tidak cukup untuk membuat suatu prediksi hasil eksperimen. Lalu, bagaimana supaya kita dapat memprediksi hasil eksperimen tersebut? Perlu banyak informasi tentang sistem. Caranya, eksperimen yang sama dilakukan berulang-ulang sebanyak mungkin. Sehingga kita dapat memprediksi hasil eksperimen melalui Konsep Probabilitas Bagaimana cara menggunakan Konsep Probabilitas tersebut?
• Tinjau sebuah ensambel yang terdiri dari N buah (sangat besar) sistem identik dengan sistem A • Identik juga termasuk perlakuan yang sama untuk tiap sistem seperti pada sistem A
Misalkan hasil eksperimen tertentu disimbolkan dengan r dan diantara N sistem dalam ensambel, Nr buah sistem yang memiliki hasil eksperimen tertentu yang sama. Maka probabilitas munculnya hasil eksperimen r ditulis:
Nr Pr = N Kesimpulan: Probabilitas munculnya hasil sebuah eksperimen pada sebuah sistem dapat ditentukan dengan mengulang eksperimen yang sama sebanyak mungkin
Distribusi Binomial Tinjau sistem ideal berupa N buah partikel spin ½ ditempatkan dalam medan magnet B Apa yang terjadi? Maka tiap momen magnetiknya dapat dapat paralel (up) atau anti paralel (down) dengan arah B
Tinjau satu spin saja, probabilitas keadaaan up : p probabilitas keadaaan down : q Maka p + q = 1 Ketika B = 0, p = q = ½ B ≠ 0, p > q
Pertanyaan: Bila n : jumlah momen magnetik yang paralel dan n’ : jumlah momen magnetik yang anti paralel dan n + n’ = N, maka untuk setiap nilai n yang mungkin, berapa probabilitas P(n) yaitu n dari N momen magnetik total yang up? Jawab p : probabilitas sebuah momen magnetik arah up q : probabilitas sebuah momen magnetik arah down Maka Probabilitas munculnya satu keadaan/konfigurasi dimana n momen magnetik up dan n’ momen magnetik down adalah p.p …… p . q.q …… q = pn qn’
►
►
Tetapi, keadaan untuk n momen magnetik yang up dapat Tetapi, bervariasi maka dikenalkan: dikenalkan: yaitu jumlah keadaan yang berbeda dari N momen N magnetik dimana n momen magnetik berarah up (n’ Cn momen magnetik down) dimana
N! C = n!(N − n)! N n
►
Sehingga P(n) :
P(n) = C p q N n
n
N −n
N! = p n q N−n n!(N − n)!
Nilai Rata-rata α
N1u1 + N 2 u 2 + ....... + N α u α u= = N Nr Karena = Pr N
∑N u r
r =1
N
r
α
= ∑ Pr u r r =1
Jika f(u) adalah fungsi dari u maka rata - rata f atau f(u) : α
f(u) = ∑ Pr f(u r ) r =1
Nilai Rata-rata Jika f(u) dan g(u) fungsi dari u, maka N
N
N
i =1
i =1
i =1
f(u) + g(u) = ∑ pi [f(ui ) + g(ui )] = ∑ pi f(ui ) +∑ pi g(ui ) = f(u) + g(u)
Jika c konstanta, maka N
N
i =1
i =1
cf(u) = ∑ p i [cf(u i )] = c∑ p i f(u i ) = cf(u)
Jika ∆u adalah simpangan dari rata-rata ū, maka
∆u = u − u Rata-rata simpangan:
(
)
N
N
N
i =1
i =1
i =1
∆u = u − u = ∑ p i u i − ∑ p i u = u − u ∑ p i = u−u =0 Rata-rata kuadrat simpangan/dispersi/varians:
(∆u )
2
α
α
= ∑ Pr (∆u ) = ∑ Pr (u r − u ) ≥ 0 2
r =1
2
r =1
(
)
Karena (∆u ) = (u − u ) = u − 2uu + u = u − 2uu + u 2
2
= u2 − u2 ≥ 0
2
2
2
2
Standar Deviasi:
∆u =
(∆u )
2
Latihan Buku Reif no 2.9 dan 2.13
Nilai Rata-rata Sistem Spin Tinjau sebuah sistem ideal yang terdiri N spin ½ Berapakan nilai rata-rata momen magnetik totalnya (M) Momen magnetik total adalah penjumlahan momen magnetik dari semua spin:
i=N
M = µ 1 + µ 2 + µ 3 + µ 4 + ......... + µ N = ∑ µ i i =1
Rata-rata momen magnetik: i=N
i= N
i =1
i =1
M = ∑ µi = ∑ µi
Karena probabilitas tiap momen magnetik berarah up atau down sama, maka rata-rata momen magnetik tiap spin sama juga, sehingga
M = Nµ
Standar Deviasi Sistem Spin ►
Kita cari dispersi/varians dari sistem spin tersebut: i= N
i=N
i =1
i =1
(∆M )2
∆M = M − M = ∑ (µ i − µ ) = ∑ ∆µ i
i=N i= N (∆M ) = (∆M )(∆M ) = ∑ ∆µ i ⋅ ∑ ∆µ i = (∆µ1 + ∆µ 2 + ∆µ 3 + .K) ⋅ (∆µ1 + ∆µ 2 + ∆µ 3 + K) i =1 i =1 2
(∆M )2 = {(∆µ o )2 + (∆µ 2 )2 + (∆µ 3 )2 + K + (∆µ N )2 }+ {(∆µ1∆µ 2 ) + (∆µ1∆µ 3 ) + (∆µ1∆µ 4 ) + K + (∆µ1∆µ N )}+ {(∆µ 2∆µ1 ) + (∆µ 2∆µ 3 ) + (∆µ 2∆µ 4 ) + K + (∆µ 2∆µ N )}+ K + (∆µ N ∆µ N ) (∆M )
2
(∆M )
2
i= N
= ∑ (∆µ i ) + ∑∑ (∆µ i )(∆µ j ), 2
i =1
i= N
N
N
i ≠ j sehingga
dengan
i =1 j=1
i=N
i = N j= N
i= N
= ∑ (∆µ i ) + ∑∑ (∆µ i )(∆µ j ) = ∑ (∆µ i ) + ∑∑ (∆µ i )(∆µ j ) = ∑ (∆µ i ) i =1
2
N
N
i =1 j=1
i≠ j
i =1
2
i =1 j=1
i≠ j
i =1
2
Standar Deviasi Sistem Spin Dispersi/varians dari sistem spin tersebut:
(∆M )
2
i=N
= ∑ (∆µ i )
2
i =1
Karena probabilitas tiap momen magnetik berarah up atau down sama, maka dispersi/varians tiap spin sama juga, sehingga
(∆M )2 = N(∆µ i )2 Standar deviasinya:
∆M = ∆µ N
Distribusi Probabilitas Kontinu
∑ P(u ) = 1 r
r
a2
∫ P(u ) du = 1
a1
f (u ) = ∑ P(u r ) f (u r ) r
a2
f (u ) = ∫ P (u ) f (u ) du a1
Rapat Probabilitas P (u) didefinisikan dari sifat bahwa P (u) du menghasilkan Probabilitas menemukan variabel kontinu u dalam range antara u dan u + du
Tugas 2 Buku Reif no 2.15, 2.16 dan 2.17
