STATISTIKA
Distribusi Normal
Distribusi Binomial
Ingat contoh pemilihan 1 kegiatan (Kegiatan A) dari 4 kegiatan untuk didanai
Distribusi Binomial
Statistika
Distribusi Normal
Histogram Distribusi Probabilitas Sukses
2
1
Distribusi Binomial
Ilustrasi contoh pemilihan kegiatan
Statistika
Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan acak untuk menetapkan alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D). Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang sama untuk terpilih (mendapatkan dana). Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 5×, 4×, 3×, 2×, 1×, 0×?
3
Distribusi Normal
Distribusi Binomial
(2)
(3)
Setiap kali pemilihan prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilih prob(As) = ¼ = 0.25 = p prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih prob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q Dalam 5 kali pemilihan peluang terpilih (sukses) 3 kali adalah
⎛ 5⎞ f X ( x; n, p ) = f X (3;5,0.25) = ⎜⎜ ⎟⎟ 0.253 0.752 = 0.088 ⎝ 3⎠ Statistika
Distribusi Normal
4
2
Distribusi Binomial
(4) koefisien binomial
Dalam 5 kali pemilihan (n = 5)
jumlah sukses
jumlah kejadian
peluang terjadi
0
1
0.237
1
5
0.396
2
10
0.264
3
10
0.088
4
5
0.015
5
1
0.001 ∑=
Statistika
1.000 5
Distribusi Normal
0.45
0.40
0.40 0.35
0.25
0.26 0.24
0.20
n = 5 tahun
probabilitas
0.30
Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana
0.15
0.09
0.10 0.05
0.01
0.00
0.00 0
1
2
3
4
5
frekuensi perolehan dana
Statistika
Distribusi Normal
6
3
Distribusi Binomial Apabila pemilihan dilakukan untuk waktu yang lebih panjang
10 tahun 20 tahun n tahun
diperoleh n + 1 kemungkinan hasil Kegiatan A dapat memperoleh dana sejumlah n kali, n – 1 kali, ... 0 kali
Statistika
0.30
0.28
Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana
0.25
0.25
0.20 probabilitas
7
Distribusi Normal
0.19
0.15
0.15
n = 10 tahun
0.10 0.06
0.06
0.05 0.02 0.00
0.00
0.00
0.00
7
8
9
10
0.00 0
1
2
3
4
5
6
frekuensi perolehan dana
Statistika
Distribusi Normal
8
4
0.25
Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana
0.20 0.19
0.20
0.15
0.13 0.11
n = 20 tahun
probabilitas
0.17
0.10
0.07
0.06
0.05
0.03
0.02
0.01 0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00
0.00 0.00 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
frekuensi perolehan dana
Statistika
9
Distribusi Normal
Distribusi Binomial vs Kurva Normal
Apabila pemilihan (experimen) dilakukan sejumlah n kali dan n >>
histogram distribusi probabilitas sukses (Kegiatan A memperoleh dana) memiliki interval kecil garis yang melewati puncak-puncak histogram → kurva mulus berbentuk seperti lonceng
Kurva Normal Statistika
Distribusi Normal
10
5
0.25
Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana
0.15
0.10
n = 20 tahun
probabilitas
0.20
0.05
0.00 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
frekuensi perolehan dana
Statistika
Distribusi Normal
11
Kurva Normal Distribusi Normal
Kurva Normal berbentuk seperti lonceng dengan karakteristik tertentu tidak setiap kurva berbentuk seperti lonceng adalah kurva normal Kurva Normal menggambarkan suatu distribusi yang disebut Distribusi Normal Permasalahan distribusi binomial dapat diselesaikan dengan pendekatan distribusi normal Lebih mudah dilakukan karena karakteristik distribusi normal telah diketahui (didefinisikan) tabel distribusi normal perintah dalam MS Excel
Statistika
Distribusi Normal
12
6
Distribusi Normal
Karakteristik
simetri terhadap nilai rata-rata (mean) score mengumpul di sekitar nilai rata-rata kisaran score tak terbatas, namun sangat sedikit yang berada di luar kisaran 3 kali simpangan baku dari nilai rata-rata
Statistika
13
Distribusi Normal
Distribusi Normal
Luas = 1
–∞ μ−4σ μ−3σ μ−2σ
Statistika
μ−σ
μ
Distribusi Normal
μ+σ
+∞ μ+2σ μ+3σ μ+4σ X 14
7
Luas = 0.9973
Luas = 0.00135
Luas = 0.00135
Distribusi Normal
–∞
+∞
μ−3σ μ−2σ μ−σ
Statistika
μ
μ+σ μ+2σ μ+3σ
X
15
Distribusi Normal
pdf pX(x) Ν(μ,σ2)
μ
–∞
(
p X (x ) = 2πσ2 Statistika
)
+∞
−1 2 −1 2( x−μ ) σ2
Distribusi Normal
e
16
8
pdf pX(x) Ν(μ1,σ12)
μ1 = μ2 = μ3 σ1 < σ2 < σ3
Ν(μ2,σ22) Ν(μ3,σ32)
μ
–∞
Statistika
+∞
17
Distribusi Normal
pdf Ν(μ1,σ12)
–∞
Statistika
Ν(μ2,σ22) pX(x)
μ
Distribusi Normal
Ν(μ3,σ32) μ1 < μ2 < μ3 σ1 = σ2 = σ3
+∞
18
9
Distribusi Normal
Jika X berdistribusi normal, N(μ,σ2), maka probabilitas X ≤ x dapat dicari dengan: prob( X ≤ x ) = PX ( x ) =
∫ (2πσ ) x
2 −1 2 −1 2(t −μ )2 σ2
e
dt
−∞
luas di bawah kurva pdf Æ cdf
Statistika
19
Distribusi Normal
pdf - cdf PX(x) 1
pX(x)
cdf
pdf
–∞
Statistika
μ
Distribusi Normal
+∞
0
20
10
Distribusi Normal
Luas di bawah kurva
menunjukkan probabilitas suatu event menunjukkan percentile rank prob(X ≤ x) = prob(–∞ ≤ X ≤ x) = luas di bawah kurva antara –∞ s.d. x prob(–∞ ≤ X ≤ +∞) = 1 = luas di bawah kurva antara –∞ s.d. +∞ prob(X ≥ x) = prob(+∞ ≥ X ≥ x) = luas di bawah kurva antara x s.d. +∞ = 1 – prob(X ≤ x)
Statistika
Distribusi Normal
21
Distribusi Normal
Probabilitas
Statistika
prob(X ≤ μ) = prob(X ≥ μ) = 0.50 prob(μ−x ≤ X ≤ μ) = prob(μ ≤ X ≤ μ+x)
Distribusi Normal
22
11
Distribusi Normal
Probabilitas
prob(X = x)
= luas di bawah kurva antara x s.d. x =0 prob(X ≤ x) = prob(X < x) prob(X ≥ x) = prob(X > x) prob(xa ≤ X ≤ xb) = prob(xa < X < xb)
Statistika
Distribusi Normal
23
Distribusi Normal Standar
Distribusi normal umumnya disajikan dalam bentuk distribusi normal standar
dipakai nilai z scores
zX =
X −μ σ
Z berdistribusi normal dengan μ = 0 dan σ = 1, N(0,1) Æ distribusi normal standar Statistika
Distribusi Normal
24
12
Distribusi Normal Standar
pZ ( z ) =
1 −z2 e 2π
2
prob(Z ≤ z ) = PZ ( z ) =
−∞ ≤ z ≤ +∞ z
∫
−∞
Statistika
1 −t 2 2 e dt 2π
25
Distribusi Normal
Distribusi Normal Standar
–∞
+∞
−3
−2
−1
0
μ−3σ μ−2σ μ−σ Statistika
μ
Distribusi Normal
1
2
3
μ+σ μ+2σ μ+3σ
Z X 26
13
Tabel Distribusi Normal Standar
Tabel z vs ordinat kurva normal standar
z vs ordinat pdf (probability density function)
Tabel z vs luas di bawah kurva
z vs cdf (cumulative distribution function) luas kurva dari 0 s.d. zx luas kurva dari –∞ s.d. zx
Statistika
Distribusi Normal
27
Perintah (Fungsi) MS Excel
Distribusi Normal
NORMDIST(x,mean,standard_dev,cumulative)
NORMINV(probability,mean,standard_dev)
Statistika
x = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusi normalnya mean = nilai rata-rata (aritmetik) standard_dev = nilai simpangan baku cumulative = TRUE atau FALSE; TRUE jika ingin menghitung cdf, FALSE jika ingin menghitung pdf probability = probabilitas suatu distribusi normal mean = nilai rata-rata (aritmetik) standar_dev = nilai simpangan baku
Distribusi Normal
28
14
Perintah (Fungsi) MS Excel
Distribusi Normal Standar
NORMSDIST(z)
NORMSINV(probability)
menghitung nilai cdf distribusi normal standar
kebalikan dari NORMSDIST(z) mencari nilai z apabila probabilitasnya diketahui
Ingat
Distribusi Normal Standar mean = 0 simpangan baku = 1
Statistika
Distribusi Normal
29
Perintah (Fungsi) MS Excel
Contoh 1
NORMDIST(15,12,3,TRUE)
NORMINV(0.8,12,3)
Statistika
rata-rata = 12 simpangan baku = 3 prob(X < 15) = NORMDIST(15,12,3,TRUE) = 0.841 prob(X < x) = 0.8 x = NORMINV(0.8,12,3) = 14.52
Distribusi Normal
30
15
Perintah (Fungsi) MS Excel
Contoh 2
NORMSDIST(3)
rata-rata = 0 simpangan baku = 1 prob(Z < 3) = NORMSDIST(3) = 0.9987 prob(0 < Z < 3) = NORMSDIST(3) – 0.5 = 0.4987 prob(1 < Z < 3) = NORMSDIST(3) – NORMSDIST(1) prob(Z > 1.5) = 1 – NORMSDIST(1.5)
NORMSINV(0.65)
prob(Z < z) = 0.65 z = NORMSINV(0.65) = 0.385
Statistika
Distribusi Normal
31
Perintah (Fungsi) MS Excel
Tugas
Buatlah tabel distribusi normal standar
Statistika
tabel pdf tabel cdf
Dapat memakai perintah MS Excel untuk mengerjakannya
Distribusi Normal
32
16
Fungsi Linear Distribusi Normal Variabel random X berdistribusi normal, N(μ,σ2) Jika Y = a + b X, maka Y berdistribusi normal N(a + b μ, b2σ2)
Statistika
Distribusi Normal
33
Teorema Limit Sentral Xi, i = 1,2,…,n Æ masing-masing variabel random yang berdistribusi n normal N(μ,σ2) sn = ∑ X i i =1
Jika n → ∞
Statistika
Æ
distribusi sn mendekati (asimtotis) distribusi normal N(nμ,nσ2)
Distribusi Normal
34
17
Kurva Normal Data Pengamatan
Perbandingan antara data pengamatan vs distribusi normal Contoh
data debit maximum (lihat tabel) klas ke-2: 200 – 300 m3/s Æ 250 m3/s debit rata-rata 659 m3/s ≈ 660 m3/s simpangan baku debit 212 m3/s ≈ 210 m3/s
Statistika
35
Distribusi Normal
Data Debit Puncak Sungai XYZ Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Statistika
473 544 872 657 915 535 678 700 669 347 580 470 663 809 800 523 580 672 115 461 524 943
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
1110 717 961 925 341 690 734 991 792 626 937 687 801 323 431 770 536 708 894 626 1120 440
Distribusi Normal
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
843 450 284 460 804 550 729 712 468 841 613 871 705 777 442 206 850 829 887 602 403 505
36
18
Debit puncak Sungai XYZ selama 66 tahun 1200
1000
3
Debit (m /s)
800
600
400
200
0 0
10
20
30
40
50
60
70
Tahun ke-
Statistika
37
Distribusi Normal
Histogram Data Pengamatan Debit Puncak Sungai XYZ selama 66 tahun 0.20 0.18 0.16
Frekuensi Relatif
0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 100-200
200-300
300-400
400-500
500-600
600-700
700-800
800-900
900-1000 1000-1100 1100-1200
3
m /s
Statistika
Distribusi Normal
38
19
Pengamatan vs Teoretik Debit Puncak Sungai XYZ selama 66 tahun 0.20 Distribusi Normal Teoretik
0.18
Frekuensi Relatif
0.16
Data Pengamatan
0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 100-200
200-300
300-400
400-500
500-600
600-700
700-800
800-900
900-1000 1000-1100 1100-1200
m3/s
Statistika
39
Distribusi Normal
Pengamatan vs Teoretik
Expektasi frekuensi relatif
klas ke-2 −1 2
f Q (q = 250 ) = ∫ (2 πsQ 2 ) 300
−1 2 (q − Q )
2
e
sQ 2
dq
200
−1 2
∫ (2 ⋅ π ⋅ 210 )
300
=
2
e −1 2 (q − 660 )
2
210 2
dq
200
= FQ (300 ) − FQ (200 ) ⎛ 300 − 660 ⎞ ⎛ 200 − 660 ⎞ = FZ ⎜ ⎟ − FZ ⎜ ⎟ 210 ⎝ 210 ⎠ ⎝ ⎠ = 0 .4857 − 0 .4564 = 0 .0293
Statistika
Distribusi Normal
40
20
Pengamatan vs Teoretik
Cara lain untuk memperkirakan frekuensi relatif dalam suatu interval klas
fQ (qi ) = Δqi ⋅ pQ (qi ) pQ (qi ) = pZ (zi )
Statistika
d z pZ (zi ) = σQ dq
Distribusi Normal
41
Pengamatan vs Teoretik
Cara lain … (lanjutan) i = 2: Δqi = 100 m3 s qi = 250 m3 s → zi = pZ (zi ) = 0.0593
250 − 660 = −1.95 210
⎛ 0.0593 ⎞ fQ (qi ) = 100⎜ ⎟ = 0.028 ⎝ 210 ⎠ Statistika
Distribusi Normal
42
21
Hitungan dan Penggambaran
Hitungan dan penggambaran dilakukan dengan spreadsheet: ST Contoh Data Debit
Statistika
Distribusi Normal
43
Distribusi Normal vs Distribusi Random Kontinu
Umumnya distribusi normal cukup baik untuk mendekati distribusi-distribusi yang lain, baik distribusi diskrit atau kontinu
khususnya di bagian tengah distribusi kurang baik di sisi pinggir (tail)
Apabila distribusi kontinu dipakai untuk mendekati distribusi diskrit, diperlukan koreksi
Statistika
koreksi tengah interval, x – ½, x + ½ misal: prob(X = x) Æ prob(x – ½ < X < x + ½)
Distribusi Normal
44
22
Distribusi Normal vs Distribusi Random Kontinu Diskrit X=x x≤X≤y X≤x X≥x X<x X>x
Statistika
Kontinu x−½≤X≤x+½ x−½<X
x+½ X≤x−½ X≥x+½
Distribusi Normal
45
23
