MA5182 Topik dalam Statistika I: Statistika Spasial 22 November 2012 Utriweni Mukhaiyar

SpaceSpace p -time Models MA5182 Topik p dalam Statistika I: Statistika Spasial p 22 November 2012 Utriweni Mukhaiyar

Analisis Statistik D Data Analysis A l i Non-parametric A l i Analysis

Compound Poisson

Postulate General Class of Models



Stochastic St h ti Processes

Time Series Analysis

Multivariate Analysis

+

Spatiall Analysis =

Space-Time S Ti Analysis

ACF, PACF, PACF diff

Identify y Model Resampling

Parameter Estimation

Hidden Markov



Stationarity

Box&Jenkins Iteration

Maximum Likelihood Least Squares

Diagnostic Checking No

Yes

Forecasting

V i Variogram

Ki i Krigging

Estimation & Interpolation

Modelling

Adopted from Time Series Analysis

Weight matrix, STACF, STPACF, diff

Box&Jenkins Procedure/Iteration

Kovariansi dan Korelasi pada deretderetwaktu T  0,1,2,... SSuatu proses stokastik k k Z (t ), t  T  dengan d  Fungsi g Mean:  (t )  E  Z (t )   Fungsi Autokovariansi:  t1 , t 2   Cov Z t1 , Z t 2   E Z t1    t1 Z t 2    t 2 



Fungsi Autokorelasi: A

 t1 , t 2   Corr C Z t1 , Z t 2  

untuk

t1 , t 2  0,1,2,...

CovZ t1 , Z t 2 

Var Z t1  Var Z t 2 1 2



 t1 , t 2   t1 , t1  t 2 , t 2 1 2

Kovariansi dan Korelasi pada deretderetwaktu Kovariansi

Korelasi

1

 t1 , t1   Var Z t1 

2

 t1 , t 2    t 2 , t1 

 t1 , t1   1  t1 , t 2    t 2 , t1 

3

 t1 , t 2    t1 , t1  t 2 , t 2 

 t1 , t 2   1

Mean dan Kovariansi pada Analisis Spasial Untuk suatu proses stokastikZ ( s ), s  L dengan L  R, R 2 , R 3  Fungsi Mean:  ( s)  E  Z ( s)   

Kovariansi spasial: Cov  Z  s  , Z  s  h    E  Z  s      Z  s  h       E  Z  s  Z  s  h     2  C  h 

Var  Z  s    Cov  Z  s  , Z  s    C  0  

Korelasi spasial:  h 

Cov  Z  s  , Z  s  h  

Var  Z  s  Var  Z  s  h  



C h C 0

C h  C 0 C 0

Kestasioneran K Kestasioneran i

Deret-waktu D k Z(t) F  Z (t1 ), Z (t2 ),..., Z (tn ) 

Kuat

 F  Z (t1  k ), Z (t2  k ),..., Z (tn  k ) 

L Lemah h

Intrinsik

Spasial/Geostatistik S i l/G i ik Z(s) F  Z ( s1 ), Z ( s2 ), ),...,, Z ( sn )   F  Z ( s1  h), Z ( s2  h),..., Z ( sn  h) 

untuk sebarang n dan k.

untuk sebarang n dan h.

1 F 1. Fungsii mean konstan k t untuk t k semua waktu 2.  t , t  k    0 ,k untuk semua t a k.. dan

1 E  Z ( s)   1.

-





2. Cov Z  s  , Z  s  h   C  h  1. E  Z  s  h   Z  s    0 1 2. Var  Z  s  h   Z  s      h  2

Var  Z  s  h   Z  s    Var  Z  s  h    Var  Z  s    2Cov  Z  s  h   Z  s   2  h   C  0   C  0   2C  h 

  h   C 0  C  h

Semivariogram g lag-h

Aplikasi Pemodelan Space Time          

Transportasi (Garrido; T (G d 2000, 2000 Kamarianakis K k and d Prastacos; 2005) K i i l i (Liu Kriminologi (Li and dB Brown; 1998) Sosial (Hernandez-Murillo and Owyang; 2004) P Perminyakan i k (Ruchjana; (R hj 2002) Geologi dan Ekologi (Kyriakidis and Journel; 1999) Pertambangan Kedokteran Genetika Pertanian …

Analisis Space Time time 0

1 sN s0

s1 s2

sj

sN-1

…

sN

s0

s1 s2

sj

sN-1

i1 i-1

i sN

s0

s1 s2

sj

sN-1

… sN s0

s1 s2

T

sN-1

sj

“Observasi di suatu lokasi pada satu waktu di dipengaruhi hi oleh l h observasi-observasi b i b i di masa lampau di lokasi tersebut dan juga di lokasi sekitarn a ” sekitarnya.”

Model SpaceSpace-Time STARMA (p,q) :

p

s

q mss

Z(t )  sk W( k )Z(t  s )  e(t )  sk W( k )e(t  s ) s 1 k 0

STAR (p1) :

2

s 1

s 1

q

q

s 1

s 1

Z(t)  e(t)   s0e(t  s)   s1We(t  s) )

,...,  p

p

Syarat kestasioneran  wi(1k )Z1(t (  s )  wi(2k )Z2((t  s ) Zi (t )      ei (t ) GSTAR(11) (k)   ... w Z (t s )    s 1 k 0 (Nurani, dkk ) iN N   p

s

(k) sk

p

s





Zi (t ( )  (skk ) wi(1k )Z1((t  s )  wi(2k )Z2(t (  s )  ...  wiN( k )ZN ((t  s ) STARMAG ( p  ,  ,...,  , q m , m 1

2

p

1

s 1 k 0

2

,..., m p

)

q

ms



2006

Model M d l GSTAR(1;1) GSTAR(1 1) untuk galat berkorelasi waktu ((Borovkova, et al.))

2008



Model GSTAR(1;1) untuk galat berkorelasi spasial (Nurhayati)

2002

Di Giacinto

(skk ) wi(1k )e1(t  s )  wi(2k )e2(t  s )  ...  wiN( k )eN (t  s )  ei (t ) s 1 k 0

1980 

1

p

Z(t)  s0 Z(t  s)  s1WZ(t  s)  e(t)

STMA (q1) : G STAR (p G-STAR  , :

Pfeifer & Deutsch

s 1 k 0

Kestasioneran Model GSTAR dengan IMAk (Mukhaiyar)

2010 2012

Model VAR(1) 

Jika banyaknya lokasi adalah N maka vektor observasi z(t) = (z1(t) z2(t) ... zN(t))t yang mengikuti model VAR(1) akan memiliki bentuk: Z ( t )   Z ( t  1)  e ( t )



dengan e(t) adalah d d l h vektor kt galat l t acak. k Dengan D menggunakan operator backshift, B j Z(t )  Z(t  j ) maka, I  B Z(t )  e(t )

Kestasioneran Model VAR(1) Wei (1990, (1990 2006) menuliskan bahwa syarat kestasioneran untuk model VAR(1) adalah jika akar-akar dari B dari |I - B| = g satuan. 0 berada di luar lingkaran  Hal ini ekivalen dengan mengatakan bahwa syarat kestasioneran model VAR(1) adalah nilai eigen dari  berada di dalam li k lingkaran satuan. 

Operator Lag Spasial 

Untuk mempermudah dalam mendeteksi lag spasial, diperlukan pendefinisian dari operator lag spasial orde orde-ll (L((l)) ) berikut:

L Z i (t )  Z i (t ) (0)

N

L Z i (t )   wij Z j (t ) (l )



j 1

(l )

(l )

dimana wij merupakan kumpulan bobotbobot yang merupakan elemen dari matriks berukuran yang memenuhi, N

w j 1

ij

(l )

1

Matriks Bobot dan Orde Spasial  0  w W  ( wij )   21   w  11

Sistem radius

w12  w1N   0  w2 N       w11  0 

1. Matriks Bobot Biner Memiliki nilai 0 dan 1 di elemen selain diagonal utama.

2. Matriks Bobot Uniform  1 , j adalah tetangga i pada orde ke - l  (l ) wij   ni ( l ) 0 , lainnya 3. Matriks Bobot non-uniform ct. t matriks t ik bobot b b t euclidean lid wij

(l )

 1    1  d ij l 0 

, j adalah tetangga i pada orde ke - l , lainnya

Lag Spasial - grid 

Tetangga Terdekat pada Lag Spasial 1 sampai 5 untuk Lokasi s0 .



Angka-angka g g pada p grid g menunjukkan j orde spasial p titik tersebut yang ditentukan oleh jaraknya terhadap s0. Angka yang semakin kecil menunjukkan posisi yang semakin dekat terhadap s0.

5 4 3 4 5

4 3 4 5 2 1 2 4 1 s0 1 3 2 1 2 4 4 3 4 5

Model STARMA 

Misalkan Z(t) merupakan vektor variabel acak dari suatu proses STARMA di berbagai lokasi pada suatu waktu t. Model STARMA(( p ,..., , q m ,...,m ) dinyatakan y dalam: 1

p

1

q

s mr   q   (k ) (l ) Z(t )   s 0 Z(t  s )   sk W Z(t  s )     r 0e(t  r )    rl W e(t  r )  e(t ) s 1  k 1 l 1   r 1  p



dengan Z(t) merupakan vektor pengamatan (N1) dari N lokasi pada waktu t atau (Zi(t) ), W adalah matriks ik bbobot b (N (NN) N) pada d lag l spasial i l l,l t menyatakan waktu pengamatan ,1,2,...,T dan e(t) adalah vektor galat berdistribusi normal. normal

Model STARMA(1;1, STARMA(1;1 1;1) Z(t )  10 Z(t  1)  11 WZ(t  1)  10 e(t  1)   11 We(t  1)  e(t )

Model STAR(1;1) 

Model STAR(1;1) yang merupakan kasus khusus dari model STARMA(1;1, 1;1), yaitu tidak melibatkan unsur ggalat di lokasi sekitarnya y (yang (y g terdekat)) ppada waktu sebelumnya, dapat direalisasikan sebagai berikut: s

Z(t )  10 Z(t  1)   11 WZ (t  1)  e(t ) k 1



Model STAR(1;1) ini juga dapat dinyatakan dalam bentuk model VAR (1) yaitu: Z(t )  10 I  11 W Z(t  1)  e(t ) Z (t )  ΦZ (t  1)  e(t )

Identifikasi Model Space Time (Pfeifer and Deustch, 1980)

Model space time diidentifikasi melalui fungsi space time autokorelasi (STACF) dan fungsi space time parsial autokorelasi (STPACF). Matriks kovariansi antara lokasi dan waktu :

Γs   EZt Zt  s '

ˆΓ( s )   Z(t )Z(t  s ))' T s t 1 T s





' 1 tr W ( l ) W ( k ) Γ( s ) N

Rata-rata kovariansi space time pd lag-s :

 lk ( s ) 

F Fungsi autokorelasi k l space time (STACF) :

 lk ( s) 

 lk ( s)  ll (0) kk (0)1/ 2

… Fungsi parsial autokorelasi space time (STPACF), (STPACF)

:

lk

solusi persamaan Yule Walker :   00 1   00 0   01 0    0  0   00  1  01  1   0   1   1    0  0    0    1   1    1 11 1 10 11 1  10   10                  0 1    0 0   1 0     0    0  1  1  1     1   00 2         10 2       1 0       0 2                 00  p        10  p        p  1  p  2       0  p  

  10      11  1  p         1    20       21  2  p        2           p 0       p1  0         p 

Pola Teoritis STACF dan STPACF

Contoh STACF plots

Spatial Time Autocorrelation Function (ST-ACF)- lag spatial 1

Spatial Time Autocorrelation Function (ST-ACF)- lag spatial 3

0.8

0.8

0.8

0.8

0.6

0.6

0.6

0.6

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4

S patial T im e A utoc orrrelation

1

S patial T im e A utoc orreelation

1

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4

0.4

0.2 0 -0.2 -0.4

-0.6

-0.6

-0.6

-0.6

-0.8

-0.8

-0.8

-0.8

-1

0

2

4

6

8

10 12 Lag time

14

16

18

-1

20

0

2

4

6

8

10 12 Lag time

14

16

18

-1

20

-1

0

2

4

6

8

10 12 Lag time

14

16

18

20

Spatial Time Partial Autocorrelation Function (ST-PACF)- lag spatial 1

Spatial Time Partial Autocorrelation Function (ST-PACF)- lag spatial 2

0.8

0.8

0.8

0.8

0.6

0.6

0.6

0.6

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6

-0.8

-0.8

-0.8

-1

-1

-1

2



4

6

8

10 12 Lag time

14

16

18

20

0

2

4

6

8

10 12 Lag time

14

16

18

20

Spatial Tim m e Partial Autocorrelation

1

Spatial Tim m e Partial Autocorrelation

1

Spatial Tim m e Partial Autocorrelation

1

0.4

2

4

6

8

10 12 Lag time

14

16

18

20

Spatial Time Partial Autocorrelation Function (ST-PACF)- lag spatial 3

1

0

0

STPACF plots

Spatial Time Partial Autocorrelation Function (ST-PACF)- lag spatial 0

Spatial Tim m e Partial Autocorrelation

Spatial Time Autocorrelation Function (ST-ACF)- lag spatial 2

1

S patial T im e A utoc orreelation

S patial T im e A utoc orrrelation

Spatial Time Autocorrelation Function (ST-ACF)- lag spatial 0 1

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

0

2

4

6

8

10 12 Lag time

14

16

18

20

-1

0

2

4

6

8

10 12 Lag time

Model yang mungkin: GSTAR(1;1), ... ???

14

16

18

20

Model GSTAR Model GSTAR Orde waktu = p Orde waktu = p



GSTAR p; 1, 2 ,..., p

Generalized  G li d space time  autoregressive



Orde spasial = λ1, λ2,…, λp Pengamatan di lokasi i saat t Orde waktu = 1 Orde waktu = 1

GSTAR (1,1) Orde spasial =1 Generalized  space time  autoregressive

Nilai Zi (t) tergantung nilai satu periode sebelumnya yang  j y g terjadi di i dan di  lokasi yang  langsung terkait dengan i

Model GSTAR(1;1) 

Model GSTAR(1;1) untuk setiap lokasi i = 1, 1 2, 2 ..., N dan waktu t dinyatakan oleh: Zi (t )   Zi (t  1)   (i ) 10



(i ) 11

N

 w Z (t  1)  e (t ) j 1

ij

j

i

dan dalam notasi matriks dinyatakan sebagai:

Z(t )  Φ 0  Φ1 W Z(t  1)  e(t )



dengan

 Z 1 (t )     Z 2 (t )  Z(t )        Z (t )   N 

 e1 (t )     e2 (t )  e(t )        e (t )   N 

 0   w21 W   w  N1

w12 0  wN 2

 w1N    w2 N       0 



dengan

N

(1) (N ) Φ  diag  ,  ,  w  1 dan  1 1    ij

j 1

Proses Z(t) diasumsikan terpusat, yaitu E[Z(t)]=0 E[Z(t)] 0 untuk semua t. t  Perhatikan bahwa model STAR(1;1) merupakan k kkasus khusus kh dari d model d l GSTAR(1;1) dengan Φ 0   0 I dan Φ1  1I . 

GSTAR orde 1 GSTAR orde Bentuk umum N

Z i (t )  10 Z i (t  1)  11  wij Z j (t  1)  ei (t ) (i )

(i )

j 1

observasi pada waktu t,  b i d kt t untuk setiap lokasi‐i

N t i Notasi matriks, dalam bentuk VAR(1) t ik d l b t k VAR(1)

Z(t )  Φ 0  Φ1 W Z(t  1)  e(t )

Bentuk VAR (1) kestasioneran model  GSTAR(11)

Struktur model liner 

Y  Xβ  ε

P k i K d Penaksir Kuadrat  Terkecil      βˆ T

kekonsistenan

Kestasioneran GSTAR orde 1 



Jika solusi rs memenuhi persamaan, persamaan rs I  Φ 0  Φ 1 W   0 terletak di dalam lingkaran satuan ( maka GSTAR(1;1) stasioner. (Wei, 1990, 2006)

rs  1

) ),

Syarat cukup kestasioneran GSTAR(1;1) GSTAR(1;1), jika (i ) (i ) 10( i )  11( i )  1

dan

(Ruchjana 2002) (Ruchjana,

10  11  1

Kuadrat Terkecil GSTAR(1 GSTAR(1;1 ;1)) 

for time t = 1,2,…,T 1 2 T and spatial i = 1,2,…,N 12 N Yi  X i i  εi

Y1 dan YN

V1 (0)  Z1 (1)   Z1 (0)    V1 (1)  Z1 (2)   Z1 (1)           Z1 (T )   Z1 (T  1) V1 (T  1)                   Z N (1)   0 0    0 0  Z N (2)            0 0  Z N (T )   N

with Vi (t )   wij Z j (t ) j 1

  

X1dan d   

  e1 (1)       e1 (2)         01     11   e1 (T )        02     11       XN           Z N (0) Z N (0)  0 N   eN (1)      Z N (1) Z N (1)  1N   eN (2)           ( ) Z N (T  1) Z N (T  1)  e T  N  0 0  0

0 0  0

ε1 dan ε N

Kuadrat Terkecil GSTAR(11) Y  Xβ βε Penaksir  :

    ˆ  ( ,  ,...,  ,  ) ' memenuhi, memenuhi 01 11 0N 1N

X ' X ˆ  X 'Y Akibatnya,

ˆ   X ' X 1 X ' Y dimana,

X'X

harus non singulir.

Latihan N 3 N=3  Misalkan dipandang produksi perkebunan teh di 3 bulan berturut berturut-turut turut di 3 lokasi sbb: 

Produksi (ribu ton) Tahun 1992 Kebun 1 Kebun 2 Kebun 3 J Januari i 275 317 302 Februari 178 252 176 Maret 255 312 260

Misalkan proses mengikuti model GSTAR(1;1). Lakukan penaksiran parameter model dengan metode LS. Gunakan matriks bobot seragam.  Catatan: pusatkan data terlebih dahulu. 

GSTAR Orde 2 GSTAR Orde 2 Pengamatan di lokasi i saat t Pengamatan di lokasi i saat t Orde waktu = 2

Nilai Zi (t) tergantung nilai  dalam dua periode sebelumnya  yang terjadi di i dan di  lokasi  yang langsung terkait dengan i

Model GSTAR(2; 1 , 2 ) Orde spasial untuk  lag waktu 2 : λ2 Orde spasial untuk  lag waktu 1 : λ1

Generalized  space time  autoregressive

Lag spasial ((λ1, λ2)

1

2

…

1

GSTAR(2;1,1)

GSTAR(2;1,2)

…

2

GSTAR(2;2,1)

GSTAR(2;2,2)

…

d0

d0 d0

1 2

l







Model GSTAR orde 2 observasi pada waktu t, untuk setiap lokasilokasi-i



GSTAR(2;1,1) N

N

Z i (t )  10 Z i (t  1)  11  wijj Z j (t  1)  20 Z i (t  2)  21  wijj  Z j (t  2)  ei (t ) i 

i 

1

i 

i

j 1



1

j 1

GSTAR(2;1,2) N

N

N

Z i (t )  10 Z i (t  1)  11  wij Z j (t  1)  20 Z i (t  2)  21  wij Z j (t  2)  22  wij  Z j (t  2)  ei (t ) i 

i 

1

i 

i 

j 1



1

i 

j 1

2

j 1

GSTAR(2;2,1) N

N

N

Z i (t )  10 Z i (t  1)  11  wij Z j (t  1)  12  wij Z j (t  1)  20 Z i (t  2)  21  wij  Z j (t  2)  ei (t ) i 

i 

1

i 

j 1



 2

i 

i 

j 1

1

j 1

GSTAR(2 2 2) GSTAR(2;2,2) N

N

N

N

  Z i (t )  10 Z i (t  1)  11  wij  Z j (t  1)  12   wij  Z j (t  1)  20 Zi (t  2)  21  wij  Z j (t  2)  22  wij  Z j (t  2)  ei (t ) i

i

j 1

1

i

j 1

2

i

i

j 1

1

i

j 1

2

Model GSTAR orde 2 notasi matriks, dalam bentuk VAR(1)



GSTAR(211)

 Z (t )   10  11W   I  Z (t  1)  



GSTAR(2 ( 12)

 Z (t )   10  11W   I  Z (t  1)  



GSTAR(221)

 20   21W  Z (t  1)   e (t )     0  Z (t  2)   0 

 20   21W   22W (2)   Z (t  1)   e (t )     Z ( t  2) 0 0    

 Z (t )   10  11W  12W (2)   Z ( t  1) I   



GSTAR(222)

 Z (t )   10  11W  12W (2)    Z ( t 1) I   

 20   21W   Z (t  1)   e (t )     Z ( t  2) 0   0  

 20   21W   22W (2)   Z (t  1)   e (t )      Z ( t 2) 0   0  

Model GSTAR orde 2 struktur model linier Y  Xβ  ε  Y1 '   X1 0    Y ' 2     0 X2          Y ' 0  N   0   Z1 1   Z1  2       Z1  2   Z1  3             Z1 T       Z1 T  1              0  Z N  2       Z N  3   0         Z N T         0  

N

 w



j 1 N

 w



1  ij

j 1

 

N

 w j 1

2  ij



Z1  0 



Z j  2

Z1 1



0 0

N

 w j 1 N

2  ij

 w j 1

 0 0

 

N

 w j 1

Z j 0



0



0

0



Z j 1



0



0

0







0

0





2  ij



Z j T  1 Z1 T  2   



Z j 1

1  ij

2  ij

 0  1 '   ε1 '       0  2 '   ε 2 '                X N  ' ε '   N   N 





Z j T  2  

0





0 0

  



Z N 1



Z N  2



N

 w j 1 N

1  ij

 w j 1

1  ij



Z j 1

Z N 0



Z j 1

Z N 1



 

0

0



0

 Z N T  1 

N

 w j 1

1  ij

Z j 1 Z N T  2  

  1    10       1   e  2   0   11   1    1   e1  3     20               e1 T   0   1      22               N N    10  1     w Z 1    ij j     e 2   j 1     N  N    N    eN  3    1   wij Z j 1   11     j 1  N        20   eN T        N   1   wij Z j 1    N    j 1   22  0

Kuadrat Terkecil GSTAR(1 GSTAR(1;1 ;1)) Y( NT 1)  X ( NT 2 N )  ( 2 N 1)  ε ( NT 1)  X1   0 X    0 

0 X2  0

0    0       X N 



X i'  M i Z(0) Z(1)  Z(T  1) 0  0  M i    wi1  wi ,i 1

dapat ditulis, ditulis

X '  M  I  Z(0) Z(1)  Z(T  1)  dengan

1 0  0   0 wi ,i 1  wiN   M1   0 M    0 

      M N 

0  M2    0

0 0 

Y( NT 1)  X ( NT 2 N )  ( 2 N 1)  ε ( NT 1) Penaksir

:

ˆT  (ˆ01 , ˆ11 ,...,ˆ0 N , ˆ1N )' memenuhi, X' Xˆ  X' Y T

Akibatnya,

dimana,





X' X ˆT    X' ε X' X

harus non singulir. T   X X  M  I   Z(t  1)Z(t  1)' M ' t 1   '

 T  X ε  M   vec Z(t  1)e(t )'  t 1  '

Kuadrat Terkecil GSTAR(2;λ1, λ2)

Y  X  ε





ˆ  ˆ1 ,...,ˆ1 ,ˆ1 ,...,ˆ1 ,...,ˆ N  ,...,ˆ N  ,ˆ N  ,...,ˆ N  ' Penaksir β :  T 10 11 20 22 10 11 20 22 memenuhi, Akibatnya,

X' XˆT  X' Y





X' X ˆT    X' ε

dimana, X' X harus non singulir. p ˆ    T

Kekonvergenan Penaksir Parameter ? ˆ T   

Menyelidiki sifat limit dari

ˆ

T



 dapat dilihat dari perilaku: T

T

 Z(t  1)Z(t  1)' t 1

dan

 Z( t 1) e( t )' t 1

Referensi 

 



 



Borovkova, S.A., Lopuhaä, H.P., & Nurani, B., Consistency and Asymptotic Normality of Least Squares Estimators in Generalized Space-Time Models, Statistica Neerlandica, 62, pp. 482-508, 2008. Box, G.E.P., Jenkins, G.M. & Reinsel, G., Time Series Analysis, Forecasting and Control 3rd ed., Control, ed Prentice Hall, Hall New Jersey, Jersey 1994. 1994 Mukhaiyar, U. Kestasioneran Model Generalized STAR Melalui Metode Invers Matriks Autokovariansi, PhD Dissertation, Mathematics, Institut Teknologi Bandung, 2012. Mukhaiyar, U. Kekonsistenan Lemah Penaksir Kuadrat Terkecil Model SpaceTime GSTAR(1;1) Melalui Proses Beda Martingale: Studi Kasus pada Produksi Bulanan Perkebunan Teh di Wilayah Jawa Barat, Magister Thesis, Institut Teknologi Bandung, 2007. Pfeifer, P.E., & Deutsch, S.J., A Three-Stage Iterative Approach for Space-Time Modeling, Technometrics, 22(1), pp. 35-47, 1980. Ruchjana, j B.N. Suatu Model Generalisasi Space-Time p Autoregresi g dan penerapannya pada Produksi Minyak Bumi. , PhD Dissertation, Mathematics, Institut Teknologi Bandung, 2002. Wei, W.W.S., Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods 2nd. Ed Pearson Addison Wesley, Ed., Wesley Boston, Boston 2006. 2006