STATISTIKA-2 (STATISTIKA INDUKTIF)

Brief Note on Inductive Statistics (2014: revised edition) Drs. Basuki, M.Si. (original edition : 1995)

STATISTIKA-2 (STATISTIKA INDUKTIF) MATERI KULIAH: 1. TEORI PROBABILITAS (TEORI PELUANG) 2. DISTRIBUSI PROBABILITAS 

HARAPAN MATEMATIK



TEORI KEPUTUSAN

3. DISTRIBUSI TEORITIS: 

DISTRIBUSI BINOMIAL



DISTRIBUSI NORMAL



DISTRIBUSI POISSON



DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

4. DISTRIBUSI SAMPLING 

DISTRIBUSI SAMPLING : MEAN (RATA-RATA)



DISTRIBUSI SAMPLING : BEDA 2 MEAN



DISTRIBUSI SAMPLING : PROPORSI



DISTRIBUSI SAMPLING : BEDA 2 PROPORSI

5. TEORI PENDUGAAN (ESTIMASI) 

ESTIMASI MEAN



ESTIMASI BEDA 2 MEAN



ESTIMASI PROPORSI



ESTIMASI BEDA 2 PROPORSI

Department of Management Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta

1


6. UJI HIPOTESIS 

UJI HIPOTESIS TERHADAP MEAN



UJI HIPOTESIS TERHADAP BEDA 2 MEAN



UJI HIPOTESIS TERHADAP PROPORSI



UJI HIPOTESIS TERHADAP BEDA 2 PROPORSI

7. UJI KAI-KUADRAT (CHI-SQUARE) UJI PROPORSI UJI GOODNESS OF FIT UJI INDEPENDENSI 8. ANALISIS VARIANS (ANALYSIS OF VARIANCE / ANOVA)


2


BAGIAN I TEORI PROBABILITAS 1. Pengantar Umum (Overview Statistika Induktif/inferens) 2. Beberapa Pengertian: Percobaan, Ruang Sampel, Titik Sampel, Ruang Kosong, Peristiwa, Peristiwa Sederhana, Peristiwa Majemuk. 3. Pengertian Probabilitas 4. Pendekatan Probabilitas : teoritis, frekuensi relatif, dan empiris. 5. Pengertian Peristiwa dan Perhitungan Probabilitas: P(A) = n(A)/N;

P(A’)=(N-n(A))/N;

0P(E)1; P() = 0;

P(A)+P(A’)=1

P(S) = 1

PERHITUNGAN PROBABILITAS DUA PERISTIWA ATAU LEBIH A. ATURAN PENJUMLAHAN: 1) Bila A dan B adalah dua peristiwa sembarang, maka : P(AB) = P(A)+P(B)-P(AB)


3


2). Bila A dan B saling terpisah, maka P(AB) = P(A)+P(B)

3) Bila A1, A2, A3,....An, saling terpisah, maka: P(A1A2A3...An) = P(A1)+P(A2)+P(A3)+.....+P(An) 4). Bila A dan A’ adalah dua peristiwa yang satu merupakan komplemen lainnya, maka : P(A)+P(A’) = 1; karena AA’=U dan peristiwa A dan A’ saling terpisah sehingga:


4


1=P(U) =P(AA’) =P(A)+P(A’) B. PERISTIWA BERSYARAT (CONDITIONAL EVENTS) Probabilitas peristiwa B, bila peristiwa A telah diketahui dilambangkan dengan P(B|A), didefinisikan sebagai:

P ( A| B ) 

P( A  B) , jika P(A)>0 P ( A)

Bila peristiwa A dan B dikatakan bebas, bila P(B|A)=P(B) atau P(A|B)=P(A). Bila syarat ini tidak terpenuhi, maka A dan B dikatakan tidak bebas. C. ATURAN PERKALIAN 1). Aturan Perkalian. Bila A dan B dua peristiwa yang dapat terjadi sekaligus, maka : P(AB)=P(A).P(B|A) 2). Aturan Perkalian Khusus. Bila A dan B dua peristiwa bebas, maka: P(AB)=P(A).P(B) Department of Management Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta

5


6. HUBUNGAN DUA PERISTIWA ATAU LEBIH Dua peristiwa atau lebih dapat berupa: a) Saling Meniadakan (Mutually Exclusive) b) Saling Melapis Sebagian (Partially Overlapping) c) Saling Bebas satu sama lain (Independent) d) Bergantung pada Peristiwa Lain (Dependent) A. Peristiwa Saling Meniadakan Terjadinya suatu peristiwa A mengakibatkan tidak terjadinya peristiwa B dan sebaliknya. Peristiwa A dan B tidak dapat terjadi bersamaan. P(A atau B)= P(AUB)=P(A) + P(B) P(A dan B) =P(AB)=0

Bila Peristiwanya lebih dari dua: P(A atau B atau C)= P(ABC)=P(A) + P(B)+P(C)


6


B. Peristiwa Yang Saling Melapis Sebagian Peristiwa A dan B saling melapis sebagian bila ada sebagian titik sampel peristiwa A yang juga menjadi anggota peristiwa B, sehingga: P(A atau B)=P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) Bila Peristiwanya lebih dari dua: P(AatauBatauC)= P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)-P(ABC)

C. Peristiwa Yang Saling Bebas Dua peristiwa A dan B disebut saling bebas (independent) bila terjadinya salah satu peristiwa tidak mempengaruhi probabilitas terjadi atau tidak terjadinya peristiwa yang lainnya. P(A dan B)=P(AB)=P(A).P(B) Department of Management Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta

7


D. Peristiwa Yang saling tergantung Dua peristiwa disebut tergantung, bila peristiwa B terjadi sesudah peristiwa A terjadi. Probabilitas peristiwa A dengan syarat peristiwa B telah terjadi. Dengan kata lain, probabiltas peristiwa B tergantung pada perIstiwa A. Probabilitas Peristiwa seperti ini disebut juga probabilitas bersyarat. P(B|A) = probabilitas peristiwa B dengan syarat peristiwa A sudah terjadi. P(A dan B) = P(AB)=P(A).P(B|A) P(A  B)

P(B|A) = -------------------P(A) P(BA)

P(A|B) = -------------------P(B)


8


BAGIAN II DISTRIBUSI PROBABILITAS A. Pengertian : Distribusi Probabilitas adalah distribusi variabel random Variabel random adalah variabel yang nilainya ditentukan oleh peluang. 1) Distribusi Probabilitas Variabel Random Diskrit Probabilitas Var. Random : P(X=a)=f(X=a)=p(X=a) Probabilitas Kumulatif = P(X=a)=F(X=a)=f(Xa) Syarat Distribusi Probabilitas dapat disebut Distribusi Probabilitas Variabel Random Diskrit: P(Xi)0 dan P(Xi)=1 Fungsi Probabilitas : fungsi yang menghubungkan antara nilai pada titik tertentu dari variabel random diskrit tersebut dengan probabilitasnya P(X=a)=f(X=a) Fungsi Distribusi Probabilitas: fungsi yang menghubungkan antara nilai pada titik tertentu dari variabel random diskrit tersebut dengan probabilitas kumulatifnya: Department of Management Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta

9


F(X=a) = f(X=a) 2) Distribusi Probabilitas Variabel Random Kontinyu P(X=a)= 0 Probabilitas Kumulatif = P(X=a)=F(X=a)=f(Xa) Syarat Distribusi Probabilitas dapat disebut Distribusi Probabilitas Variabel Random Kontinyu: P(Xi)0 dan  P(Xi)=1 Fungsi Kepadatan (density function): fungsi yang menghubungkan jarak vertikal antara nilai pada titik tertentu dari sumbu mendatar dengan titik pada grafik yang bersesuaian pada sumbu vertikal atau P(X).


10


B. Harapan Matematik - Mathematical Expectation- Expected Value Expected Value dari suatu variabel X adalah sama dengan jumlah seluruh perkalian dari nilai variabel random X dengan probabilitasnya. Expected Value suatu variabel merupakan nilai ratarata (mean) dari variabel random yang bersangkutan E(X)=  Xi.P(Xi) C. Teori Keputusan Teori Keputusan berhubungan dengan pengambilan keputusan dalam keadaan Certainty, Risk, Uncertainty dan Conflict. Certainty : bila semua informasi yang diperlukan untuk membuat keputusan tersedia penuh sehingga probabilitas hasil dapat diperkirakan dengan tepat. Uncertainty : bila tidak terdapat informasi cukup untuk membuat keputusan, sehingga probabilitas hasil tak dapat diperkirakan. Risk : bila informasi tidak tersedia tetapi probabilitas bahwa hasil (outcome) tertentu akan terjadi dapat diperkirakan. Kondisi Risk berada di antara Certainty dan Uncertainty Conflict : bila ada dua kepentingan atau lebih pengambil keputusan berada dalam kondisi persaingan. Pengambil keputusan tidak hanya tertarik pada tindakan mereka, tetapi juga pada tindakan pengambil keputusan yang lain (misal : Games Theory, Prisoner’s Dilemma, Pasar Oligopoli) Kondisi Risk Department of Management Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta

11


A) Expected Opportunity Loss (EOL) B) Expected Value of Perfect Information (EVPI) Kondisi Uncertainty A) Kriteria Maximin B) Kriteria Maximax C) Kriteria Hurwicz D) Kriteria Regret


12


BAGIAN III DISTRIBUSI TEORITIS 1. DISTRIBUSI BINOMIAL  Percobaan Binomial : percobaan yang hanya menghasilkan dua kemungkinan hasil (outcome): sukses atau gagal  Syarat-syarat Percobaan Bernoulli  Probabilitas Binomial :

B(x; n, p)



x

x

Cn . p .q

(n x)

 Rata-rata Binomial :

  n. p  Varians Binomial :



2



npq

 Probabilitas Binomial Kumulatif : jumlah probabilitas untuk semua x yang bernilai kurang dari a (atau x
DISTRIBUSI

NORMAL

(DISTRIBUSI

GAUSS/GAUSSIAN


13

DISTRIBUTION)  Pengertian distribusi normal  Sifat-sifat distribusi normal


 Fungsi kurva normal

x  N ( x;, )

1   2

1 x  ( ) 2 



2

; untuk -  < x < 

 Luas daerah di bawah kurva normal:

x  N ( x; , )



1 2





1 x  ( ) 2 



2



X   Z   Distribusi Normal Standard : =0 dan =1;   

x  N ( x;01 ,)

1  2

1  (Z) 2



2

 Fungsi kepadatan distribusi normal harus memenuhi syarat : 

N (X ) 

 n( X ).dX  1




14


3. DISTRIBUSI POISSON Distribusi Poison digunakan bila pendekatan binomial tidak dapat dilakukan karena n sangat besar, sedangkan p nilainya sangat kecil.  Probabilitas Poisson :

 P (x ) 

x . X e x!

. ;  = n.p

 Probabilitas Poisson Kumulatif. 4. DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Jika n0,05 N, maka harus digunakan distribusi Hipergeometrik dengan rumus distribusi sebagai berikut: N R

R

P(x ) 

Cr . C n  r C

N

;

n

di mana : R=jumlah sukses dalam populasi r= jumlah sukses dalam sampel N= ukuran populasi n=ukuran sampel


15


BAGIAN IV DISTRIBUSI SAMPLING Beberapa Pengertian: 1. Distribusi Sampling : distribusi probabilitas dengan statistik (statistic) sebagai variabel randomnya 2. Populasi : Pengertian, Jenis : Terbatas dan Tak Terbatas 3. Sampel : pengertian 4. Sampling -----> Statistik (statistic) (banyak adanya, stokastik, acak) 5. Sensus --------> Parameter (tunggal adanya, deterministik) 6. Sampling :  Without Replacement (Populasi terbatas);  With Replacement (Populasi Takterbatas)  Sampel Besar (n30); sampel kecil (n<30) 7. Metode Sampling:  Random Sampling : Simple random sampling, stratified random sampling, purposive random sampling, Proportionate stratified random sampling  Non Random Sampling 8. Distribusi Sampling terdiri dari :  Distribusi sampling rata-rata (mean)  Distribusi sampling beda dua rata-rata (mean difference)  Distribusi sampling Proporsi (proportion)  Distribusi sampling beda dua proporsi


16


9. Distribusi Sampling Rata-Rata dan Hubungan Parameter Dengan Statistik

A. Rata-rata :



x

B. Standard Error Sampling rata-rata  Populasi Terbatas atau sampling without replacement :

x 

 n

Nn N 1

 Populasi Takterbatas atau sampling with replacement:



x



 n

10. Distribusi Sampling Beda Dua Rata-rata Populasi I

: N1, 1, 1--------> Sampel 1 : n1, x1, x1

Populasi II

: N2, 2, 2--------> Sampel 2 : n2, x2, x2

Maka Distribusi Sampling selisih rata-ratanya adalah:


17




x1 x 2

    x1

x2

1

2

Dan Distribusi sampling selisih error (selisih standar deviasi sampling)nya adalah : Populasi Tak terbatas (sampling replacement):

 x1x 2 

 x1   x 2  2

2

1  2 2

2

Populasi Terbatas (sampling without replacement):

 x1x 2 

 x1   x 2 . 2

2

Nn N 1

Jika n1 dan n2 cukup besar (lebih dari 30), maka distribusi sampling beda dua rata-rata tersebut akan mendekati distribusi normal, dengan variabel random standar Z sbb:

Z

(X1 

X

2

)  (   )



1

2

x1 x 2

Dengan demikian probabilitasnya dapat dicari dengan tabel distribusi Normal.


18


11. Distribusi Sampling Proporsi dan Hubungan antara statistik dan parameter proporsi Proporsi adalah banyaknya unsur dalam suatu populasi atau sampel yang memenuhi kriteria tertentu.  Jika dalam suatu populasi terdapat sebanyak X unsur yang memenuhi kriteria tertentu dan populasi tersebut terdiri dari sebanyak N unsur, maka proporsi X dalam populasi tersebut adalah:

X  N  Jika dalam sampel yang diambil dari populasi tersebut terdapat sebanyak X unsur yang memenuhi kriteria tertentu, maka proporsi X dalam sampel tersebut adalah:

X p n A. Rata-rata Proporsi : k



p



p i 1

k

i

k

  p . P ( p ) ; k=banyaknya sampling; i 1

i

i

P: probabilitas.


19


B. Standar Deviasi Proporsi:

 ( p   p) k



p



2

i 1

k

 Jika didekati dengan distribusi Binomial, menjadi :

p

p(1  p) N  n . n N 1

 Jika banyaknya unsur dalam populasi takterbatas atau sampling with replacement :

p(1  p) . n

p

 Distribusi sampling proporsi akan mendekati normal bila n.p maupun n (1-p) >5; sehingga variabel randomnya adalah:

Z

p



p

p



p



p


20


 Dengan demikian probabilitasnya dapat dicari dengan tabel distribusi Normal. 12. Distribusi Sampling Beda Dua Proporsi A. Rata-rata proporsi

X

 Proporsi populasi I:

N

1

 Proporsi populasi II:



2

1



X N

-----> Proporsi Sampel I:

1

1

1

1

2

pX n

-----> Proporsi Sampel I:

2

p

2



X n

2

2

 Rata-rata proporsi = p

 Maka Rata-rata selisih dua proporsi :



p1 p 2

     p1

p2

1

2

B. Standar Deviasi selisih dua proporsi

 p1 p2 

 p1   p 2  2

2

p (1 p ) p (1 p )  n n 1

1

1

2

2

2

 Jika populasi terbatas dan n > 0.05N, maka standar deviasi menjadi:


21


 p1 p2 

 p1   p 2  2

2

p (1 p ) p (1 p ) 1



1

n1

2

2

n2

.

Nn N 1

 Jika n1p1, n1(1-p1); n2p2, n2(1-p2) >5, maka distribusi sampling selisih proporsi akan mendekati distribusi normal, sehingga variabel randomnya menjadi :

Z

( p  p )  (   ) 1

2



1

2

p1 p 2

 Dengan demikian probabilitasnya dapat dicari dengan tabel distribusi Normal.


22


BAGIAN V TEORI PENDUGAAN 1. BEBERAPA PENGERTIAN: 

Pendugaan : seluruh proses dalam menggunakan statistik (sifat sampel) untuk memperkirakan besarnya parameter (sifat populasi)



Penduga

(Estimator)

:

statistik

yang

digunakan

untuk

memperkirakan besarnya parameter Misal : X------>  s------>  s2----->2 p------> 2. CIRI-CIRI ESTIMATOR YANG BAIK :  Unbiased

: E(statistik) = Parameter

 Efficient : Varians Minimum  Consistent

: Ukuran sampel membesar ----> bias kuadrat

mengecil mendekati nol (varians mendekati nol)  Sufficient

: Dapat menampung seluruh informasi tentang para-

meter  Cheap

: Murah, mudah dan lengkap


23


3. MACAM-MACAM METODE PENDUGAAN :  Point Estimation (Pendugaan titik)----> dengan 1 nilai statistik  Interval Estimation (Pendugaan interval) ------> dengan sederetan nilai statistik dalam sebuah interval 4. PENDUGAAN TITIK  Pendugaan titik: menggunakan suatu nilai statistik St untuk menduga besarnya parameter P  Bila St adalah statistik (misalnya mean sampel) yang digunakan untuk menduga parameter P (mean populasi), maka besarnya kesalahan duga (error), E, adalah sebesar selisih keduanya, atau : E = (St-P)  Jika variabel E tersebut diubah ke dalam variabel standard Z, maka:

Z

E



atau Z 

St

St  P

 St

 Untuk populasi terbatas atau sampling without replacement:

 St 

 n

.

Nn N 1


24


Sehingga besarnya nilai Z untuk St adalah:

Z

E



N n N 1

.

n  Untuk populasi Takterbatas atau sampling with replacement:





 St

n

Sehingga besarnya nilai Z untuk St adalah:

Z

E

 n

 Dari formula tersebut, besarnya E (sampling error) adalah:

E  Z.

 n

 Error ini adalah Error maksimal yang dapat diterima bila diinginkan tingkat kebenaran sebesar (1-). Dengan demikian dapat dicari besarnya sampel yang diperlukan, yaitu:

E  Z.

 n

 Z .  n    E    Z .  n    E  

2


25


 n adalah banyaknya sampel yang harus diambil agar kesalahan (error) yang terjadi sebesar E atau kurang bila diinginkan tingkat keyakinan sebesar (Z|P)=(1-) 5. PENDUGAAN INTERVAL  Pendugaan interval dilakukan dengan menggunakan suatu jajaran nilai dalam sebuah interval yang di dalamnya terdapat nilai parameter yang tidak diketahui. Interval ditentukan berdasarkan nilai statistik dan standar error statistik yang bersangkutan.  Pendugaan interval disertai dengan probabilitas atau tingkat keyakinan yang dikehendaki, misalnya : (1-) Secara umum nilai standar Z adalah: Z

St  P

 St

 Karena diinginkan tingkat keyakinan sebesar (1-), maka : P(Z)=(1-)  Karena Z dapat bernilai negatip maupun positip, maka:

P( Z  . st  St     Z  . st)  (1   ) 2

2

Dengan modifikasi sederhana, dapat diubah menjadi:

P( St Z  . st    St  Z  . st )  (1   ) 2

2


26


5.1. Pendugaan Interval Mean Populasi  Populasi dan Sampel Berdistribusi Normal 1). Standar Deviasi Populasi  diketahui

P( X  Z  . x    X  Z  . x )  (1   ) 2

2

Besarnya standar error ditentukan sebagai berikut:



x



 n

Nn ; untuk populasi terbatas atau sampling tanpa N 1

dikembalikan Atau :



x



 n

; untuk populasi takterbatas atau sampling dikembalikan

2). Standar Deviasi Populasi  tidak diketahui Jika  tidak diketahui, maka standar error samplingnya harus diduga dari sampel dengan

menggunakan standar deviasi S,

yaitu: Department of Management Faculty of Economics- Mercubuana University of Yogyakarta

27


n

S

( X i 1

i

 X)

2

n 1

sehingga besarnya standar error adalah:

S

x



Nn ; untuk populasi terbatas atau sampling tak N 1

S n

dikembalikan Atau :

S

x



S n

;

untuk

populasi

tidak

terbatas

atau

sampling

dikembalikan Karena standar error samplingnya diduga dengan standar deviasi sampel, maka variabel random standarnya tidak mengikuti distribusi normal, tetapi mengikuti distribusi Student t. Hanya jika besarnya sampel 30 atau lebih (n30), maka distribusi t akan mendekati distribusi normal. Jadi, jika besarnya  tidak diketahui, ia digantikan dengan S yang dihitung dari sampel, dan Z/2 diganti dengan t/2, sehingga:

P( X t (  ;V ) . x    X t (  ;V ) . x )  (1   ) 2

2


28


v= derajat kebebasan = (n-1)

 Pedoman penggunaan Distribusi Z dan t  Gunakan Z jika : populasi beridtribusi normal dan  diketahui atau distribusi sampling mendekati normal (n30).  Gunakan t jika : populasi berdistribusi normal dan  tidak diketahui atau sampel berukuran kecil (n30). 5.2. Pendugaan Interval Beda 2 Mean Populasi

P[( X 1 

X ) Z  . 2

2

x1 x 2

   ( X1

X ) Z  . 2

2

x1 x 2

)]  (1   )

5.3. Pendugaan Interval Proporsi Populasi 1). Standar Error proporsi populasi=  p 

 (1   ) n

2). Standar Error proporsi berdasarkan sampel:

S

p



p(1  p) n

Nn ; untuk populasi terbatas atau sampling tak N 1

dikembalikan


29


S

p



p(1  p) ; untuk populasi tidak terbatas atau sampling n

dikembalikan Sp berguna untuk menduga besarnya p . Dengan demikian pendugaan interval proporsi populasi adalah:

P( p Z  . p    p  Z  . p)  (1   ) 2

2

5.4. Pendugaan Interval Beda 2 Proporsi Populasi  P ( p   1

p )  Z .S p 2

2



p2  1   2  ( p1 

p )  Z .S p 2

2



 p2   (1   )

di mana:



S p1 p2 

p (1  p ) p (1  p )  n 1 n 1 1

2

2

1

2

adalah standar error populasi tak

2

terbatas



S

 p1 p 2

p (1  p ) p (1  p )  . n 1 n 1 1

2

1

2

2

2

N  ( n1  n2) N 2

; adalah standar error populasi terbatas


30


BAGIAN VI UJI HIPOTHESIS 1. Hipotesis : pernyataan sementara mengenai parameter populasi. 2. Hipotesis harus dibuktikan, tetapi tidak harus terbukti. 3. Macam hipotesis: H0 dan H1 4. Metode Pengujian : 1 sisi (kiri atau kanan) dan 2 sisi (kiri dan kanan) 5. Titik kritis dan daerah kritis 6. Tipe Kesalahan:  Kesalahan Tipe I : Berdasarkan hasil observasi sampel kita menolak H0, padahal kenyataannya H0 BENAR (Kesalahan Tipe ).; Kesalahan tipe I disebut juga tingkat signifikansi  Kesalahan

Tipe II : Berdasarkan hasil observasi sampel kita

menerima H0, padahal kenyataannya H0 SALAH (Kesalahan tipe ). 7. Langkah-langkah pengujian hipotesis:  Formulasikan Hipotesis yang akan diuji  Tentukan tingkat signifikansi  Tentukan uji statistik yang sesuai (uji Z atau uji t)  Tentukan nilai kritis dan kriteria keputusan  Hitunglah nilai uji statistiknya dan buat keputusan  Buat kesimpulan


31


8. Pengujian Populasi Berdistribusi Normal  Uji hipotesis untuk sampel besar: a) Uji Rata-rata:  H0 : = 0 dan H1 : 0 --------> Uji dua sisi  H0 :  0 dan H1 :  0 --------> Uji satu sisi kiri  H0 :  0 dan H1 : 0 --------> Uji satu sisi kanan

Uji statistik :

Z



X 

 n

b) Uji Beda dua rata-rata  H0 : 1-2= 0 atau H0 : 1=2; dan H1 : 1-20 atau H1 : 12 (Uji dua sisi) 

H0 : 1-2 0 atau H0 : 1 2 ; dan H1 : 1-2 0 atau H1 : 1 2; (Uji satu sisi kiri)



H0 : 1-2 0 atau H0 : 1 2 ; dan H1 : 1-2 0 atau H1 : 12; (Uji satu sisi kanan)


32

STATISTIKA-2 (STATISTIKA INDUKTIF)

Recommend Documents