MODUL STATISTIKA I 2012 (INTERNAL)

MODUL STATISTIKA I – 2012 (INTERNAL)


MODUL STATISTIKA I LEMBAR PENGESAHAN MODUL PRAKTIKUM STATISTIKA I SEMESTER GENAP 2012 FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS PADJADJARAN

Disusun Oleh: Tim Asisten Dosen Statistika FE UNPAD

Mengetahui dan Menyetujui, Ketua Program Studi ESP UNPAD

Dr. Mohammad Fahmi, S.E., M.T. NIP. 197312302000121001

NB : Dimungkinkan terjadinya kesalahan pengetikan soal dan jawaban


KATA PENGANTAR Bismillahirahmaanirrahiim Assalamu‟alaikum Wr. Wb, Alhamdulillahirabbil‟alamin. Puji Syukur penyusun ucapkan atas segala Rahmat dan Karunia-Nya yang tidak henti-hentinya diberikan sehingga akhirnya kami dapat menyelesaikan Modul Praktikum Statistika I 2012 ini dengan sebaikbaiknya. Kami ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan modul ini. Penyusun berharap semoga modul ini dapat bermanfaat dan memberikan kontribusi aktif terhadap dunia akademis. Akhir kata, tidak ada gading yang tak retak, kesempurnaan hanya milik Allah SWT, penyusun menyadari bahwa penyusunan modul ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun sangat penyusun nantikan demi perbaikan modul ini ke arah sempurna. Wassalamu‟alaikum Wr. Wb.


Irsyad

Meisa

Sarah

Ditha

Hamdi

Nina

Yusti

Tiara

Ardina

Kore

Yessica

Yasyir

Heni


DAFTAR ISI

DISTRIBUSI FREKUENSI

1

UKURAN GEJALA PUSAT

29

UKURAN DISPERSI

59

ANGKA INDEKS

94

ANALISIS DERET BERKALA

110

PELUANG

142

DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS

163

DISTRIBUSI NORMAL DAN PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL OLEH DISTRIBUSI NORMAL

190

APPENDIX

205


DISTRIBUSI FREKUENSI

Ringkasan Teori Seringkali data yang telah tertumpuk tersedia dalam jumlah yang sangat besar sehingga kita mengalami kesulitan untuk mengenali ciri – cirinya. Oleh karena itu, data yang jumlahnya besar perlu ditata atau diorganisir dengan cara meringkas data tersebut kedalam bentuk kelompok data sehingga dengan segera dapat diketahui cirinya

dan dapat dengan mudah dianalisis sesuai dengan kepentingan kita.

Pengelompokan data tersebut dilakukan dengan cara mendistribusikan data dalam kelas atau selang dan menetapkan banyaknya nilai yang termasuk dalam tiap kelas yang disebut frekuensi kelas, Suatu pengelompokan atau penyusunan data menjadi tabulasi data yang memakai kelas – kelas data dan dikaitkan dengan masing – masing frekuensinya disebut distribusi frekuensi atau Sebaran frekuensi

Bagian Distribusi Frekuensi 1. Kelas ( Class ) Pengelompokan individu atau item dari data ( Class ) yang diobservasi kedalam batas – batas nilai tertentu 2. Batas kelas ( Class limit ) Bilangan – bilangan yang membatasi kelas – kelas ( class limit ) tertentu, yang memiliki 2 macam pengertian: a. Batas Kelas / ujung kelas ( State Class Limit ) yaitu bilangan

-

bilangan yang tertera didalam suatu distribusi frekeuensi yang membatasi kelas – kelas tertentu yang terdiri dari

1


i. Batas bawah kelas / Ujung bawah kelas (Lower State Class limit/ LCL) Adalah bilangan yang paling kecil yang membatasi kelas tertentu ii. Batas atas kelas/Ujung atas kelas (Upper State Class limit/ UCL) Bilangan yang paling besar yang membatasi kelas tertentu b. Batas kelas sebenarnya / Tepi kelas ( Class Boundaries ) yaitu bilangan – bilangan yang membatasi antara tiap dua kelas yang berurutan, yang terdiri dari : i. Batas bawah kelas sebenarnya/tepi bawah kelas ( Lower Class Boundaries / LCB ) Bilangan yang diperoleh dari rata-rata ujung atas kelas sebelumnya dengan ujung bawah kelas yang bersangkutan ii. Batas atas kelas sebenarnya/tepi atas kelas ( Upper Class Boundaries / UCB ) Bilangan yang diperoleh dari rata-rata ujung atas kelas yang bersangkutan dengan ujung bawah kelas yang berikutnya

3. Panjang kelas /Lebar kelas / Ukuran Kelas ( Class interval / Class Size )  Ci Bilangan – bilangan yang menunjukkan panjang / lebar / ukuran dari tiap – tiap kelas yang diperoleh dengan cara mengurangkan batas bawah kelas berikutnya dengan batas kelas yang bersangkutan 4. Frekuensi ( Frequency ) f Angka yang menunjukkan banyaknya data individual yang terdapat dalam satu kelas 2


5. Nilai tengah/ titik tengah/tanda kelas ( Midpoint / Class Mark )  X Bilangan – bilangan yang dapat mewakili kelas – kelas tertentu yang diperoleh dengan jalan atau cara merata – ratakan batas kelas yang bersangkutan.

Nilai tengah =

Contoh soal : Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester Mata kuliah Statistika I Batas kelas

Tepi Kelas

Nilai Tengah

Frekuensi

23 – 27

22,5 – 27,5

25

2

28 – 32

27,5 – 32,5

30

4

33 – 37

32,5 – 37,5

35

15

38 – 42

37,5 – 42,5

40

21

43 – 47

42,5 – 47,5

45

31

48 – 52

47,5 – 52,5

50

35

53 – 57

52,5 – 57,5

55

46

58 – 62

57,5 – 62,5

60

11

63 – 67

62,5 – 67,5

65

12

68 – 72

67,5 – 72,5

70

3

Jumlah

LCL

UCL

180

LCB

UCB Nilai tengah

Σf

f

3


Tahapan untuk menyusun suatu distribusi frekuensi Secara umum langkah – langkah yang diperlukan untuk membuat tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut : 1. Menyusun urutan (array) dari data yang di observasi Array : data yang disusun berdasarkan urut - urutan 2. Tentukan nilai maksimum ( terbesar ) dan nilai minimum ( terkecil ) dari data mentah, kemudian hitunglah sebaran / rentang/jangkauan/ Range dengan menggunakan : Rumus : R = Xmaksimum - Xminimum 3. Menentukan banyaknya kelas ( k ) dengan rumus Sturges k= 1 + 3,322 Log N atau k = 1 + 3,322 log n N = banyaknya anggota populasi;

n = banyaknya anggota sampel

4. Menentukan panjang/lebar/ukuran dari tiap – tiap kelas dengan rumus Ci =

=

Ci merupakan blangan bulat yang mempunyai nilai kelipatan 3 atau 5 yang diperoleh dengan cara membulatkan ke atas dari hasil perhitungan

5. Menentukan batas – batas kelas serta memasukkan setiap individu/item dari data yang diobservasi kedalam kelas yang bersangkutan 6. Menyusun suatu distribusi frekuensi secara jelas dan lengkap berdasarkan tabel pada tahap 5

Macam – macam Grafik Distribusi Frekuensi 1. Histogram ( Hystogram )

4


Suatu bentuk grafik distribusi frekuensi yang merupakan batang – batang yang disusun secara berderet tanpa jarak yang menggambarkan tinggi frekuensi tiap kelas

2. Poligon ( Polygon ) Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis patah – patah yang menghubungkan titik tengah histogram tiap kelasnya

3. Ozaiv ( Ogive ) Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis patah – patah yang menghubungkan tinggi frekuensi kumulatif dari tiap – tiap kelasnya.

5


4. Kurva Frekuensi ( Frequency Curve / Smoothing Curve) Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis lengkung yang juga merupakan penghalusan dari bentuk poligon sedemikian rupa sehingga luas daerah dibawahnya sama dengan luas daerah dibawah poligon. Macam – macam Distribusi Frekuensi a) Distribusi Frekuensi Distrikyaitu distribusi frekuensi yang diantara tiap dua kelas yang berurutan terdapat celah 1 unit / satuan b) Distribusi Frekuensi Kontinu yaitu distribusi frekuensi yang diantara tiap kelas yang berurutannya terdapat celah sebesar 0 atau bilangan yang mendekati 0 c) Distribusi Frekuensi tertutup yaitu distribusi frekuensi yang seluruh batas kelasnya dinyatakan dengan bilangan tertentu d) Distribusi Frekuensi terbuka yaitu distribusi frekuensi yang tidak seluruh batas kelasnya dinyatakan dengan bilangan tertentu, terdiri atas a. DF terbuka atas Adalah DF yang batas bawah kelas terakhirnya tidak dinyatakan dengan bilangan melainkan dengan keterangan “ kurang dari “ b. DF terbuka bawah Adalah DF yang batas atas kelas terakhirnya tidak dinyatakan dengan bilangan melainkan dengan keterangan “ lebih dari “ c. DF terbuka atas bawah Adalah DF yang batas bawah kelas pertama dan batas atas kelas terakhirnya masing – masing tidak dinyatakan dengan bilangan melainkan dengan keterangan “ kurang dari “ dan “ atau lebih “ e) Distribusi Frekuensi Relatif yaitu distribusi frekuensi yang frekuensinya dinyatakan dengan bilangan – bilangan tertentu yang berbentuk ratio atau persentase yang jumlah seluruh frekuensinya selalu sama dengan 1 atau 100 % 6


 dalam bentuk ratio

firelatif = firelatif =

x 100

 dalam bentuk persentase

f) Distribusi Frekuensi Kumulatif yaitu distribusi frekuensi yang frekuensinya ditambahkan atau dikurangkan secara bertahap dengan frekuensi tiap kelasnya dari DF asalnya. DF kumulatif terdiri dari : a. DF Kumulatif positif / DF kumulatif kurang dari/DF kumulatif less than DF kumulatif yang frekuensi kumulatifnya dimulai dengan 0 kemudian ditambahkan secara bertahap dengan frekuensi tiap – tiap kelas dari DF asalnya. b. DF Kumulatif negatif / DF kumulatif lebih dari/DF kumulatif more than DF kumulatif yang frekuensi kumulatifnya dimulai dengan jumlah seluruh frekuensi dari DF asalnya kemudian dikurangkan secara bertahap dengan frekuensi tiap-tiap kelas dari DF asalnya. Rumus - Rumus Yang Biasa Dipakai Dalam Distribusi Frekuensi UCBi = LCB(i+1)

Cii = UCB(i+1) – LCBi

UCB =

Cii =X (i+1) – Xi Untuk DF Yang memiliki Ci sama

Xi =

UCLi = LCLi –( Ci-1 ) Untuk DF Diskrit

Cii = LCL(i+1) – LCL

UCLi = LCLi –( Ci- ) Untuk DF Kontinu

fi kepadatan =

7


Contoh Soal : Berikut ini diberikan data tinggi badan mahasiswi Fakultas Ekonomi dan Bisnis , Universitas Harapan Ayah dan Ibu

a) Susunlah data tersebut ( Array ) ? b) Buatlah ditribusi frekuensinya ? c) Berapa jumlah mahasiswa yang memiliki tinggi badan maksimal 140 cm dan yang lebih dari 170 cm ? d) Buatlah distribusi frekuansi kumulatifnya ? e) Gambarkan Ogive nya ? Jawab : a) Array

b) Distribusi Frekuensi R = Xmaks – X min = 180 – 121 = 59

8


k=1+3,322 log n = 1 +3,322 log 40 = 6,3220 , diambil 6 Ci = R/k  59/6 = 9,8333, diambil 10 Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan Mahasiswa Universitas Harapan Ayah Dan Ibu Tinggi Badan

Jumlah Mahasiswa

121 – 130

2

131 – 140

3

141 – 150

11

151 – 160

10

161 – 170

9

171 – 180

5

Jumlah

40

Sumber : Contoh Soal Distibusi Frekuensi Modul Pratikum Statistika 1, 2012 c) Jadi, Jumlah mahasiswa yang memiliki tinggi maksimal dari 140 dan yang lebih dari 170 adalah 2+3+5 = 10 orang d) Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari adalah sebagai berikut : Tinggi badan

Jumlah

Frekuensi Kumulatif

Mahasiswa Nilai

Fk

kurang

Nilai

dari

Fk

lebih

dari

< 121

0

> 121

40

121 – 130

2

< 131

2

> 131

38

131 – 140

3

< 141

5

> 141

35

9


141 – 150

11

< 151

16

> 151

24

151 – 160

10

< 161

26

> 161

13

161 – 170

9

< 171

35

> 171

5

171 – 180

5

< 181

40

> 181

0

Jumlah

40

e) Gambar Ogive nya adalah :

10


SOAL DISTRIBUSI FREKUENSI

1. Berikut ini disediakan distribusi relatif umur dari 65 orang mahasiswa di universitas “ X “ Umur

Frekuensi relatif

16 – 20

12,31

21 – 25

15,38

26 – 30

24,62

31 – 35

21,54

36 – 40

15,38

41 – 45

7,69

46 – 50

3,08

a) Susunlah ke dalam distribusi frekuensi biasa ( distribusi frekuensi asalnya ), dan gambarkan histogram dan poligonya ? b) Buatlah distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari , serta gambarkan ogifnya ?

Jawab : ( Pokok – Pokok Materi Statistika 1 – M. Iqbal hasan, hal 61, no 3) a) Untuk mengembalikan ke dalam distribusi frekuensi asalnya kita gunakan rumus frel = jadi :

f1 =

x 100 =8

atau f i= f2 =

= 10 11


f3 =

= 16

f4 =

f5 =

= 10

f6 =

f7 =

= 14 =5

=2

Tabel 1. Umur mahasiswa universitas “X” Umur

X

Banyaknya Mahasiswa

16 – 20

18

8

21 – 25

23

10

26 – 30

28

16

31 – 35

33

14

36 – 40

38

10

41 – 45

43

5

46 – 50

48

2

Jumlah

66 Gambar 1a .

b) Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari adalah sebagai berikut : Umur

Banyaknya

Frekuensi Kumulatif

Mahasiswa

Nilai

fk

Nilai

fk

< 16

0

> 16

65

16 – 20

8

< 21

8

> 21

57

21 – 25

10

< 26

18

> 26

47

12


26 – 30

16

< 31

34

> 31

31

31 – 35

14

< 36

48

> 36

17

36 – 40

10

< 41

58

> 41

7

41 – 45

5

< 46

63

> 46

2

46 – 50

2

< 51

65

>51

0

Gambar Positif Negatif

1b.Ogif dan Untuk

Umur Mahasiswa „X„

2. Here is afrequency distribution of 75 measurements of the diameter pipe construction of abuilding. Midpoint

Amount of Pipes

14,5

11

24,5

10

34,5

7

44,5

24

54,5

14

64,5

9

a) Arrange the origin`s frequency distribution? b) Draw Histogramsandpolygons curve? c) What percentage of the measurement pipe at least 40 cm?. And how many pipes measuring more than 50 cm? 13


Jawab : ( Modul Statistika 1 , 2010 no 4) Mid point = Xn Ci

= Xn+1 - Xn = 24,5 – 14,5 = 10

X1 = 14,5 Tepi Atas

= 2Xn – Tb

Tepi Bawah

= Tb + Ci

2Xn – Tb

= Tb + Ci

2(14,5) – Tb = Tb + 10 29 – Tb

= Tb + 10

2Tb

= 29 – 10

Tb

= 9,5

Ta

= 2(14,5) – 9,5

Untuk Tepi bawah kelas 1

= 19,5 X2 = 24,5 Tepi Atas

= 2Xn – Tb

Tepi Bawah

= Tb + Ci

2Xn – Tb

= Tb + Ci

2(24,5) – Tb = Tb + 10


49 – Tb

= Tb + 10

2Tb

= 49 – 10

Tb

= 19,5

Ta

= 2(24,5) – 19,5 = 29,5

14


X3 = 34,5 Tepi Atas

= 2Xn – Tb

Tepi Bawah

= Tb + Ci

2Xn – Tb

= Tb + Ci

2(34,5) – Tb = Tb + 10


59 – Tb

= Tb + 10

2Tb

= 59 – 10

Tb

= 29,5

Ta

= 2(24,5) – 29,5 = 39,5

X4 = 44,5 Tepi Atas

= 2Xn – Tb

Tepi Bawah

= Tb + Ci

2Xn – Tb

= Tb + Ci

2(44,5) – Tb = Tb + 10


89 – Tb

= Tb + 10

2Tb

= 89 – 10

Tb

= 39,5

Ta

= 2(44,5) – 39,5 = 49,5

X5 = 54,5 Tepi Atas

= 2Xn – Tb

Tepi Bawah

= Tb + Ci

2Xn – Tb

= Tb + Ci

2(54,5) – Tb = Tb + 10 109 – Tb

= Tb + 10

2Tb

= 109 – 10


15


Tb

= 49,5

Ta

= 2(54,5) – 49,5 = 59,5

X6 = 64,5 Tepi Atas

= 2Xn – Tb

Tepi Bawah

= Tb + Ci

2Xn – Tb

= Tb + Ci

2(64,5) – Tb = Tb + 10

Untuk Tepi bawah kelas6

129 – Tb

= Tb + 10

2Tb

= 129 – 10

Tb

= 59,5

Ta

= 2(64,5) – 59,5 = 69,5

Distribusi Frekuensi pengukuran Pipa Pengukuran

Banyak Pipa / f

10 – 19

11

20 – 29

10

30 – 39

7

40 – 49

24

50 – 59

14

60 – 69

9

Total

75

Sumber : Soal No.2 Modul Pratikum Statistika 1, 2012

16


b)

d) Jadi. % jumlah pengukuran yang dilakukan minimal/ paling sedikit 40 cm adalah x 100 = 62,67 % Dan , jumlah pengukuran lebih dari 50 Cm adalah =14 + 9 = 23 Pengukuran 3. The following are50 students‟ grades instatistics IIat the University ofPadjadjaranSemesterII1997.

a) How manypeoplewho scoredbetween44-52and80-82? b) What percentageof peoplewho scoredbetween53-61and89-97? c) How many peoplewhoscore lessthan44 andlessthan 71? Jawab:

17


( Pokok – Pokok Materi Statistika 1 – M. Iqbal Hasan, hal 55) a) Tabel: Nilai Statistika II 50 mahasiswa Unpad semester II tahun1997 Nilai

Frekuensi / f

35 – 43

3

44 – 52

2

53 – 61

3

62 – 70

7

71 – 79

13

80 – 88

13

89 – 97

9

Jumlah

50

Jadi, Banyaknya mahasiswa yang mendapat nilai antara 44 – 52 adalah 2 orang dan antara 80 – 88 adalah 13 orang.

Sumber : Soal no 7 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad 2012 .

b) Tabel: Distribusi frekuensi relatif nilai statistika II mahasiswa Unpad tahun 1997 Nilai

Frekuensi / f

Frekuensi Relatif ( % )

35 – 43

3

6

44 – 52

2

4

53 – 61

3

6

62 – 70

7

14

71 – 79

13

26

80 – 88

13

26

89 – 97

9

18

Jumlah

50

100

Jadi, mahasiswa yang mendapat nilai antara 53 – 61 adalah 6 % dan yang mendapat nilai antara 89 – 97 adalah 18 %

c) Tabel : Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari

18


Nilai

Frekuensi / f

Frekuensi Relatif (fkumulatif) Nilai

Fk kurang dari

<35

0

35 – 43

3

<44

3

44 – 52

2

<53

5

53 – 61

3

<62

8

62 – 70

7

<71

15

71 – 79

13

<80

28

80 – 88

13

<89

41

89 – 97

9

<98

50

Sumber : Soal no 3 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad 2012 Jadi, banyaknya mahasiswa yang nilainya kurang dari 44 adalah 3 orang, dan yang kurang dari 71 adalah 15 orang.

4. Distribusi frekuensi kumulatif dari Gaji Bulanan 60 Orang Pekerja Pabrik X adalah sebagai berikut : Gaji ( Juta Rupiah)

Banyak Karyawan

Kurang dari 1

0

Kurang dari 2

4

Kurang dari 3

8

Kurang dari 4

15

Kurang dari 5

30

Kurang dari 6

45

Kurang dari 7

56

Kurang dari 8

60

19


a) Susunlah Distribusi Asalnya ? b) Buatlah distribusi Frekuensi relatifnya ?

Jawab : ( Modul Statistika 1, 2010 no 8 ) a) Panjang / lebar kelas = Ci = 2 – 1 = 1 Distribusi Frekuensi Gaji Bulanan Pabrik X Gaji ( Juta Rupiah) 1 – 1,9

Banyak Karyawan 4

2 – 2,9

4

3 – 3,9

7

4 – 4,9

15

5 – 5,9

15

6 – 6,9

11

7 – 7,9

4

Jumlah

60

Sumber : Soal no.4 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad f1 =

= 6,67 %

f5 =

= 25 %

f2 =

= 6,67 %

f6 =

= 18,33%

f3 =

= 11,67 %

f7 =

= 6,67 %

f4 =

= 25 %

Distribusi Frekuensi relatif Gaji Karyawan Pabrik X Gaji ( Juta Rupiah)

Banyak Karyawan

20


Relatif ( f relatif ) 1 – 1,9

6,67 %

2 – 2,9

6,67 %

3 – 3,9

11,67 %

4 – 4,9

25 %

5 – 5,9

25 %

6 – 6,9

18,33%

7 – 7,9

6,67 %

Jumlah

100 %

5. The databelowisthedata onbirthsper1000 populationin various district ofthe island of Javaforthe period1955 to 1959

a)

Arrange

a

goodfrequency

distributionforthis

data?

b) Make alist ofcumulativefrequencydistributionsof lessthanandmorethan?

Jawab :

21


(Prof.Dr. Sudjana. Statistika untuk Ekonomi dan Niaga ed. 5. Hal 88 no 10) a) Carilah banyaknya kelasnya terlebih dahulu k = 1 + 3,322 log n = 1 + 3,322 log 75 = 7,1878, ambil k = 8 Rentang kelas = Rmaks – Rmin = 44,3 – 13 = 31,3 Panjang / lebar kelas =

= 3,9125, ambil 4

Distribusi frekuensi kelahiran per 1000 penduduk di berbagai daerah di jawa 1955 – 1959 Kelahiran

f

per 1000 penduduk (banyaknya kelompok ) 13,0 – 16,9

2

17,0 – 20,9

3

21,0 – 24,9

0

25,0 – 28,9

7

29,0 – 32,9

20

33,0 – 36,9

22

37,0 – 40,9

12

41,0 – 44,9

9

Jumlah

75

Sumber : Soal no 5 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad 2012 b)

Distribusi frekuensi kurang dari dan lebih dari

22


Kelahiran per 1000 penduduk di jawa sellama 1955 - 1959 Frekuensi kumulatif Nilai

fk Kurang dari

Nilai

fk Lebih dari

Kurang dari 13,0

0

Lebih dari 13,0

75

Kurang dari 17,0

2

Lebih dari 17,0

73

Kurang dari 21,0

5

Lebih dari 21,0

70

Kurang dari 25,0

5

Lebih dari 25,0

70

Kurang dari 29,0

12

Lebih dari 29,0

63

Kurang dari 33,0

32

Lebih dari 33,0

43

Kurang dari 37,0

54

Lebih dari 37,0

21

Kurang dari 41,0

66

Lebih dari 41,0

9

Kurang dari 45,0

75

Lebih dari 45,0

0

Sumber : Soal no 5 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad 2012

6. Here

isthe

resultof

thequizFinancialReportconductedby

the

FinancialMarketCommunityin 2010against35 people.

a)Arrangearrayresultsfromthelowestquiz? b) Arrange a good FrekeunsiDistributionofthe data andcreatepolygons curve? c) How many peoplewhodo notpass ifthepassat least72?

23


Jawab : a) susunan hasil kuis dari terendah sampai yang tertinggi.

b) Range = Xmaks – Xmin = 95 – 32 = 63 k = 1 + 3,322 log n = 1 + 3,322 log 35 = 6,12939, ambil 6 Ci =

=

= 10,5, ambil 11

Distribusi frekuensi Kuis Financial Report Nilai

Banyak mahasiswa

32 – 42

2

43 – 52

6

53 – 62

2

63 – 72

8

73 – 82

9

83 – 92

5

93 – 102

3

Jumlah

35

Sumber : Soal no 6 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad 2012

24


Gambar : Poligon Hasil kuis finacial Report

c) Jumlah orang yang tidak lulus jika nilai lulus minimal 72 = 2+6+2+8 = 18 Orang 7. Berikut ini adalah data mengenai akumulasi nilai dari pertandingan Atletik dalam Kejuaraan Atletik Dunia :

Dari data yang diberikan diatas saudara diminta untuk: a) Buatlah Array ( susunan data) dari data tersebut ? b) Buatlah Distribusi Frekuensinya ? c) Berapa banyak peserta yang akan lolos kejuaraan jika akumulasi nilai minimal adalah 38 ? d) Berapa banyak

peserta kejuaraan yang memiliki akumulasi nilai

kurang dari 49 dan lebih dari 54 ? e) Berapa batas kelas ke 4 ? batas atas kelas ke 5 ? tepi bawah kelas ke 1 ? tepi atas kelas ke 6 ? 25


f) Buatlah distribusi frekuensi kumulatifnya ? g) Gambarkanlah kurva Ogive nya ?

Penyelesaian : a)

Array ( susunan data) dari data tersebut adalah

b) R = X maks – X min = 55 – 30 = 25 k= 1+3,322 log n = 1+ 3,322 log 45 = 6,491971970 ~ 6 Ci = R/k = 25/6 = 4,166666 ~ 4 Distrubusi Frekuensi Akumulasi Nilai Pada Kejuaraan Atletik Akumulasi Nilai

Jumlah peserta (f)

( interval kelas ) 30 – 33

5

34 – 37

6

38 – 41

9

42 – 45

7

46 – 49

8

50 – 53

9

54 – 57

1

26


Jumlah

45

Sumber : Soal no 7 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad 2012 c) Jumlah peserta yang akan lolos seleksi

jika akumulasi nilai

minimalnya 38 adalah sebanyak = 9 + 7 +8+9+1 = 34 orang d) banyak peserta kejuaraan yang memiliki akumulasi nilai kurang dari 46 dan lebih dari 54 adalah 27 ( 7 +9+6+5 ) + 1 = 28 orang e) Berapa batas bawah kelas ke 4 = 42 batas atas kelas ke 5 = 49 tepi bawah kelas ke 1 = 30 – 0,5 = 29,5 tepi atas kelas ke 6 = 53 + 0,5 = 53,5 f) Distribusi Frekuensi Kumulatif Akumulasi Nilai Pada Kejuaraan Atletik Frekuensi kumulatif Nilai

fk Kurang dari

Nilai

fk Lebih dari

Kurang dari 30

0

Lebih dari 30

45

Kurang dari 34

5

Lebih dari 34

40

Kurang dari 38

11

Lebih dari 38

34

Kurang dari 42

20

Lebih dari 42

25

Kurang dari 46

27

Lebih dari 46

18

Kurang dari 50

35

Lebih dari 50

10

Kurang dari 54

44

Lebih dari 54

1

Kurang dari 58

45

Lebih dari 58

0

27


g) Kurva Ogive

8. Berikanlah Komentar dan penjelesan saudara mengenai cara – cara pembentukan kelas – kelas dibawah ini ? a.

2,5 – 5,0

b.

2,5 – 7,5

5,0 – 7,5

5,0 – 10,5

7,5 – 10,0

7,5 – 12,5

Dan seterusnya

Penyelesaian :

a. Salah, seharusnya kelas – kelas intervalnya adalah 2,5 – 4,9 5,0 – 7,4 7,5 – 9,9 b. Salah, sebab ada bagian dari kelas interval tersebut yang berimpit ( 2,5 – 7,5 ) berisikan sebagian data dari ( 5,0 – 10,5 ) kelas ini juga berisikan sebagian dari data ( 7,5 – 12,5 )

28


UKURAN GEJALA PUSAT ( MEASURE OF CENTRAL TENDENCY )

Pengertian Ukuran Gejala Pusat / Ukuran Nilai Sentral / Rata – rata ( Average ) menunjukkan dimana suatu data memusat

atau suatu kumpulan pengamatan memusat

(mengelompok). Pengukuran pusat data penting untuk dilakukan karena suatu kelompok data bila diurutkan maka kecenderungan bahwa data tersebut akan memusat pada bagian tengah. UGP berfungsi sebagai alat untuk membandingkan dua atau lebih kelompok bilangan atau kelompok keterangan yang berbeda. Dengan demikian. Ukuran Gejala Pusat adalah bilangan atau keterangan yang dapat mewakili deretan bilangan atau deretan keterangan tertentu atau suatu nilai yang mewakili suatu kelompok

data yang pada umunya mempunyai kecenderungan

terletak di tengah – tengah dan memusat dalam suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai data

Macam – Macam Penggolongan UGP Meliputi : 1. Mayor mean, yang terdiri dari ; a. Rata – Rata hitung ( Arithmatic Mean ) b. Median c. Modus 2. Minor Mean, Terdiri dari : a. Rata – Rata Ukur ( Geometric Mean )

29


b. Rata – Rata Harmonis ( Harmonic Mean )

1. Mayor Mean 1.a. Rata – Rata Hitung ( Arithmatic Mean ) Adalah bilangan yang diperoleh dari hasil bagi antara jumlah bilangan – bilangan tersebut dengan banyaknya bilangan yang bersangkutan. Pengertian rata – rata hitung dapat dikembangkan menjadi rata – rata tertimbang ( weighted mean ) dan rata – rata dari rata – rata Sifat – sifat dari Rata – Rata hitung : 

Mudah dihitung



Rata – rata hitung sangat baik digunakan untuk menghitung rata – rata dari data yang mempunyai sebaran yang relatif kecil ( tidak mempunyai nilai ekstrim ) atau dari data yang berbentuk deret hitung.



Rata – rata hitung dapat digunakan untuk menghitung rata – rata dari data kualitatif ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi terbuka.

Untuk menghitungnya, digunakan rumus – rumus sebagai berikut : Data Tidak Berkelompok

Data berkelompok

( Ungroupped data ) Populasi

Sampel

( Groupped Data ) Populasi

Rata – Rata Hitung ( atau

Sampel

)

Cara Panjang :

Cara Panjang :

Cara Pendek

Cara Pendek :

Rata – Rata Tertimbang ( Wm )

30


Wm =

Rata – Rata dari Rata – Rata ( M

M

)

=

Keterangan : X = Nilai data yang diobservasi

N : Banyaknya data pada pupulasi

W = Weighted ( timbangan )

n : Banyaknya data pada sampel/ Jml

Frekuensi Xi = Nilai tengah / mid point

xo : Nilai tengah pada kelas u = 0

Ui = Skala arbiter pada kelas ke-i

Ci : Interval kelas

1.b. Median ( Me ) Adalah bilangan atau keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau deretan keterangan menajdi dua bagian yang sama sehingga letaknya berada di tengah data ketika data tersebut sudah diurutkan dari kecil sampai terbesar atau sebaliknya. Sifat – Sifat Median diantaranya : 

Median sangat baik digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mengandung nilai atau pengertian ekstrim

31




Median dapat pula digunakan untuk menghitung rata – rata dari data kualitatif ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi baik yang terbuka maupun yang tertutup.

Rumus – Rumus Median Data Tidak Berkelompok

Data berkelompok

( Ungroupped data ) Populasi Letak Me : ½ ( N + 1) Nilai Me : Data ke ½ ( N + 1)

( Groupped Data )

Sampel Letak Me :

Populasi Letak Me :

½ ( n + 1) Nilai Me : Data ke ½ ( n + 1)

½N

Sampel Letak Me : ½n

Nilai Me :

Nilai Me :

Tbme +

Tbme +

Keterangan : Tbme

: Tebi kelas bawah kelas median

F

: Frekuensi kumulatif sebelum Kelas media

fme

:

Ci

: Interval Kelas

Frekuensi sebenanrnya kelas median

Dari pengertian Median diatas dapat dikembangkan menjadi : i.

Kuartil ( Qi ) Adalah bilangan atau keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau deretan keterangan menjadi empat bagian yang sama

32


ii.

Desil ( Di ) Adalah bilangan atau keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau deretan keterangan menjadi sepuluh bagian yang sama

iii.

Persentil ( Pi ) Adalah bilangan atau keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau deretan keterangan menjadi seratus bagian yang sama

Rumus – Rumus Kuartil , Desil dan Persentil Data Tidak Berkelompok

Data berkelompok


( Groupped Data )

Sampel

Populasi

Kuartil ( Q i ) ; Letak Qi : ( N + 1)

Nilai Qi : Data ke ( N + 1)

Letak Qi :

Data ke ( n + 1)

Desil ( D i ) ; Letak Di : ( N + 1)

i = 1,2,3

Letak Qi :

( n + 1)

Nilai Qi :

Letak Di : ( n + 1)

Sampel

Letak Qi : N

n

Nilai Qi :

Nilai Qi :

TbQi +

TbQi +

i = 1,2,3,...,9 Letak Di :

Letak Di : N

n

33


Nilai Di : Data ke

Nilai Di : ( N + 1)

Data ke

( n + 1)

Persentil ( P i ) ; Letak Pi :

Letak Pi :

( N + 1)

Nilai Pi : Data ke

Nilai Di :

Nilai Di :

TbDi +

TbDi +

i = 1,2,3,...,99 Letak Pi :

( n + 1)

Nilai Pi : ( N + 1)

Data ke

LetakPi : N

Nilai Pi : ( n + 1)

Tbpi +

n

Nilai Pi : Tbpi +

1.c. Modus ( Mo ) Adalah bilangan atau keterangan yang paling sering muncul atau terjadi dalam suatu deretan bilangan atau deretan keterangan tertentu. Sifat – sifat dari Modus : 

Baik digunakan untuk menghitung rata – rata yang menunjukkan keadaan yang sedang Trendi atau kejadian yang sering muncul.



Dapat digunakan untuk menghitung nilai rata – rata dari data kualitatif ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi terbuka maupun tertutup.

34


Rumus – Rumus Modus : Data Tidak Berkelompok

Data berkelompok


Sampel

Mo = nilai data yang sering muncul

( Groupped Data ) Populasi

Mo = Tbmo +

Sampel

Cimo

Keterangan : Tbmo = Tepi bawah kelas modus d1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum kelas modus d2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah kelas modus

Hubungan Rata – Rata Hitung, Median, dan Modus Hubungan antara ketiga ukuran nilai pusat, akan memberikan gambaran bentuk kurva data yang bersangkutan. Hubungan antara ketiga ukuran nilai pusat ialah sebagai berikut :  Jika rata – rata hitung, medain dan modus memiliki nilai yang sama maka kurvanya berbentuk simetris. Pada kurva simetris sempurna, nilai rata – rata hitung, median dan modus terletak pada suatu titik di tengah – tengah absis dan ketiganya berimpitan.  Jika nilai rata – rata hitung lebih besar daripada nilai median dan lebih besar dari pada nilai modus maka kurvanya menceng ke kanan 35


 Jika nilai rata – rata hitung lebih kecil daripada nilai median dan lebih kecil dari pada nilai modus maka kurvanya menceng ke kiri

= Me = Mo

Mo Me

Me Mo

Jika distribusinya tidak terlalu menceng, hubungan rata – rata hitung, median dan modus secara matematis dituliskan sebagai berikut :

Rata – Rata Hitung – Modus = 3 ( Rata – Rata Hitung – Median ) - Mo = 3 (

2. Minor Mean 2.a. Rata – Rata Ukur ( Geometric Mean / GM) Adalah bilangan yang diperoleh dari akar pangkat banyaknya bilangan – bilangan tersebut dari hasil kali bilangan – bilangan yang bersangkutan Sifat – sifat Rata – Rata Ukur ( Geometric Mean / GM) : 

Rata – rata ukur sangat baik untuk menghitung rata – rata dari data yang menunjukkan suatu perkembangan atau perubahan yang dinyatakan dalam bentuk persentase atau rasio



Rata – rata ukur tidak dapat digunakan untuk menghitung rata – rata dari data kualitatif ataupun dari data yang berbentuk Distribusi frekuensi terbuka.

36


Data Tidak Berkelompok ( Ungroupped data ) Populasi GM =

Sampel GM =

Atau

Atau

Log GM =

Log GM =

Data berkelompok ( Groupped Data ) Populasi

GM =

Sampel

GM = Atau

Log GM =

Atau

Log GM =

Dari pengertian rata – rata ukur dapat dikembangkan menjadi : i.

Rata – rata tingkat bunga ( Mt )

Populasi dan sampel : Mt = Mo .

ii.

Rata – rata tingkat pertambahan jumlah penduduk ( Pt )

Populasi dan sampel : Pt = Po .

37


2.b. Rata – Rata Harmonis ( Harmonic Mean ) Adalah bialangan yang diperoleh dari hasil bagi antara banyaknya bilangan – bilangan tersebut dengan jumlah kebalikan bilangan – bilangan yang bersangkutan Sifat – sifat Rata – Rata Harmonis ( Harmonic Mean ) : 

Rata – rata harmonis sangat baik untuk menghitung rata – rata dari data per unit tertentu dengan syarat hasil kali antara banyaknya unit dengan nilai data tersebut konstan.



Rata-rata harmonis lebih sesuai bila digunakan pada data atau observasi yng unit pembilanngnya tetap, sedangkan unit penyebutnta berubah-ubah ( bervariasi )

 Rata – rata harmonis tidak dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif ataupun data yang berbentuk distribusi frekuensi terbuka .

Rumus – Rumus Rata – Rata Harmonis : Data Tidak Berkelompok

Data berkelompok

( Ungroupped data )

( Groupped Data )

Populasi

Sampel

Populasi

Sampel

HM =

HM =

HM =

HM =

Contoh Soal : 1. Berikut ini Jumlah pengunjung yang datang ke sebuah Mall dalam 6 hari terakhir di kota Bandung 295, 1002, 941, 768, 768, 1283.

38


a) Tentukanlah rata – rata pengunjung mall di kota bandung tersebut ? b) Tentukanlah Median dan Modusnya ?

Penyelesaian : Diketahui : n = 6 X1 = 295, X2 =1002, X3 = 941, X4 = 768, X5 = 768, X6 = 1283 Ditanya :a).

b). Me

c). Mo

Jawab: =

= 842.833

b). Urutkan data dari yang terkecil hingga data yang terbesar 295, 768, 768, 941,1002, 1283 Median = Data ke ½ ( n + 1) = ½ ( 6 + 1) = 3,5 berarti Me tertelak diantara data ke 3 dan ke 4 Sehingga mediannya = (768 + 941 ) / 2 = 854,5 Modus = Data yang sering muncul = 768 Jadi rata – rata, Median dan Modus dari pengunjung yang datang selama 6 hari terakhir ini adalah sebesar 842, 855, dan 768 pengunjung.

2. Berikut ini adalah distribusi frekuensi banyaknya surat yang harus dikirimkan oleh Fedex ke 50 kota yang berhasil dikumpulkan oleh suatu lembaga di Provinsi „ X „ pada tahun 2009

39


Distribusi Frekuensi Banyaknya surat yang harus dikirim Fedex ke 50 kota, tahun 2009 Jumlah surat yang harus dikirim

Banyaknya kota

20 – 29

5

30 – 39

8

40 – 49

12

50 – 59

6

60 – 69

7

70 – 79

10

80 – 89

2

Jumlah

50

a) Hitunglah rata – rata dengan cara pendek dan cara panjang ? b) Tentukan Median dan Modus ? c) Tentukan kuartil 2 ?

d) Tentukan Desil 9 dan Persentil 65 ?

Penyelesaian : Diketahui : n = 50,

Ci = Lcl2 – Lcl1 = 30 – 20 = 10

Kelas

Frekuensi

Xi

fi.xi

ui

fi.ui

20 – 29

5

24,5

122,5

-3

-15

30 – 39

8

34,5

276

-2

-16

40 – 49

12

44,5

534

-1

-12

50 – 59

6

54,5

327

0

0

60 – 69

7

64,5

451,5

1

7

70 – 79

10

74,5

745

2

20

80 – 89

2

74,5

169

3

6

40


50

Jumlah

2625

Ditanya : a)

-10

c) Q3

b) Me..? , Mo..?

d) D9 dan P65

Jawab : a) Cara Panjang : =

= 52,5

Cara Pendek : = 54,5 +

.10 = 52,5

Jadi, baik dengan cara panjang maupun cara pendek menunjukkan bahwa rata – rata surat yang harus dikirm Fedex ke 50 kota di Provinsi „ X „ pada tahun 2009 adalah 53 buah surat. b) Letak Me = ½ n = ½ 50 = 25  data ke 25 terletak pada kelas 40 – 49 Tbme =

=

Me = Tbme +

= 39,5

= 39,5 +

.10 = 49,5

Letak Mo = pada kelas 40 – 49 ( karena memiliki frekuensi terbanyak ) d1 = 12 – 8 = 4 d2 = 12 – 6 = 6 Mo = Tbmo +

Cimo = 39,5 +

. 10 = 43,5

41


Jadi, berdasarakan hitungan diatas, terlihat bahwa surat yang paling banyak diterima kota di Provinsi „ X „ pada tahun 2009 adalah berkisar 44 buah surat dengan median atau ½ dari kota – kota tersebut menerima surat kurang dari 50 dan sebagian kota lagi menerima lebih dari 50 buah surat c) Letak Q3 = ¾ n = ¾ 50 = 37,5  data ke 37,5 terletak di kelas 60 – 69 TbQ3=

=

Q3 = TbQ3 +

= 59,5 = 59,5 +

= 68,7857

Jadi, ¾ atau 75 % dari kota – kota di provinsi X pada tahun 2009 menerima surat berkisar sebesar 69 buah surat. Sedangkan sisanya menerima lebih dari 65 surat

d) Letak D9 = i/10 n = 9/10. 50 = 45  data ke 45 terletak dikelas 70 – 79 Tbd9 =

=

TbD9 +

= 69,5 +

= 69,5 = 76,5

Jadi, 9/10 kota – kota di Provinsi X pada tahun 2009 menerima surat berkisar kecil dari 77 buah surat ( desil 9 = 77 buah surat ),sedangkan sisanya menerima surat lebih dari 77 buah surat Letak P65 = i/100.n = 65/100 . 50 = 32,5  data le 32,5 terletak di kelas 60 – 69 Tbp65 =

=

TbP65+

= 59,5 +

= 59,5 = 61,6429

42


Jadi, 65/100 dari kota –kota di Provinsi X pada tahun 2009 menerima surat berkisar kecil dari 62 buah surat, sedangkan sisanya menerima surat lebih dari 62 buah surat

43


SOAL UKURAN GEJALA PUSAT

1. Setelah dilakukannya penelitian terhadap 2 depertemen yang berbeda pada suatu perusahaan independen terkemuka, didapat bahwa rata – rata gaji yang diterima pada 2 depertemen tersebut adalah $ 2.200 perbulan, pada depertemen Planning And Controling Qualityrata – rata gaji yang didapat oleh karyawannya sebesar $ 2.450 perbulannya, sedangkan departemen Financial Strategymenerima gaji sebesar $ 2.100 per bulan. Dengan data tersebut saudara diminta untuk menentukan perbandingan banyaknya karyawan pada 2 depertemen tersebut, dan beri kesimpulan yang jelas ?

Penyelesaian : Diket :

= $ 2.450 = $ 2.100 = $ 2.200

Ditanya : perbandingan n1 dan n1 Jawab : = $2.200 = 2.200 n2 + 2.200 n1 = 2.100 n2 + 2.450 n1 100 n2 = 250 n1 n2 = 2,5 n1

44


Jadi, perbandingan banyaknya jumlah karyawan departemen Financial S trategy dengan karyawan departemen Planning and Controling Quality adalah 1:1,25 2. Beloware giventhe population ofacountryduring theperiod1951 - 1963, ( inmillions ) Years

1951

1952

1953

1954

1955

1956

1957

1958

1959

Population

10,16

12,00

13,90

15,91

17,93

20,07

22,71

25,97

29,00

Years

1960

1961

1962

1963

Population

32,53

36,07

37,89

39,95

increase

ofthe

country's

Calculatewhat

percentage

ofthe

average

populationevery year? Solution : (Prof. Dr. Sudjana, Statistika untuk Ekonomi dan Niaga ed 5, hal. 149 no 45) Use formulate Pt = Po ( 1+

)t

Given : Po = 10,16

Pt = 39,95

dan t = 12

Asked : x ? Solution : Pt = Po ( 1+

)t

39,95 = 10,16 ( 1 +

) 12

Log 39,95 = log 10,16 + 12 log ( 1 +

)

Log 39,95 – log 10,16 = 12 log ( 1 +

)

45


0,594623075 = 12 log ( 1 + 0,049551922 = log ( 1 + X

) )

= 12

Jadi, rata – rata kenaikan penduduk negara tersebut selama tahun 1951 – 1963 adalah 12 % 3. Following represent data from salary`s CEO in NY City in billion Dollar USA ($) Salarys

Amount of CEO

Calculate :

11 - 20

14

21 - 30

16

31 - 40

25

41 - 50

35

51 - 60

18

61 - 70

12

71 - 80

30

a) Mean, Median and Mode of Salarys of CEO in NY City ? b) Determine quartil 1, quartil 2, and quartil 3 ? c) Determine desil 7 and what is means?

Solution: Given : n = 150

Ci =Lcl2 – Lcl1 = 20 – 10 = 10

46


Class

Frequency (fi)

Xi

Xi fi

11 - 20

14

15,5

217

21 - 30

16

25,5

408

31 - 40

25

35,5

887,5

41 - 50

35

45,5

1592,5

51 - 60

18

55,5

999

61 - 70

12

65,5

786

71 - 80

30

75,5

2265

Jumlah

150

Asked :

7155

a) Mean. Mode, Median b) Q1,Q2 dan Q3 c) D7 and what is means ?

Jawab : a) Mean =

=

=

= 47,7

Situation of Median = Me= ½n = 75 = ½ ( 150 + 1) = 75,5 Me = Lme +

= 40,5 +

Ci

10 = 46,21428571

So, mean of salary`s CEO in NY City is $ 47.700.000 with median of that is $ 46.214.285 b) situation of Q1 = ¼ ( n) = ¼ ( 150) = 37,5

47


Ci  30,5 +

Qi = Lq1 +

situation of

Q2 = 2/4 ( n) = 2/4 ( 150) = 75 Ci  40,5 +

Qi = Lq1 +

situation of Qi = Lq1 +

= 33,5

= 46,214285

Q3 =3/4 ( n) = ¾ ( 150) = 112,5 Ci  60,5 +

= 64,25

So, Calculate result for Q1, Q2 and Q3 Salary of CEO in NY City are $ 33.500.00 , $46.214.285 and $ 64.250.000 c) Situation of D7 = i/10 x n = 7/10 x 150 = 105 D7 = 50,5 +

.5 = 54,66666667

So, highest salarys from 70% lowest salarys of CEO in NY City are $54.666.666,67 4. Berikut ini disajikan berat badan dari mahasiswa fakultas ekonomi dan bisnis universitas padjadjaran pada tahun 2010 Berat badan ( Kg )

Banyaknya Mahasiswa

60 – 62

10

63 – 65

25

66 – 68

32

48


69 – 71

15

72 – 74

18

a) Tentukanlah rata – rata hitungnya ? dan berapa Modus nya ? b) Dengan menggunakan hubungan rata – rata hitung, median dan modus tentukanlah berapa median nya ? Penyelesaian : a) Berat badan

Frekuensi

( Kg )

(f)

60 – 62

=

Titik tengah ( X )

f.X

10

61

610

63 – 65

25

64

1600

66 – 68

32

67

2144

69 – 71

15

70

1050

72 – 74

18

73

1314

Jumlah

100

=

6718

= 67,18

Jadi rata –rata dari berat badan mahasiswa FEB Unpad pada tahun 2010 adalah 67,18 Kg Mo = Tb +

Ci

Kelas modus adalah kelas ke – 3 sehingga Tb = 65,5 d1 = 32 – 25 = 7, Mo = 65,5 +

d2 = 32 – 15 = 17,

dan Ci = 3

. 3 = 66,375

49


Jadi, modus dari berat badan mahasiswa FEB Unpad pada tahun 2010 sebesar 66,375 Kg a) Hubungan rata – rata hitung, median dan modus Rata – rata hitung – Modus = 3 ( Rata – rata hitung - Median ) 67,18 – 66,375 = 3 ( 67,18 – Me ) 0,81

= 201,54 – 3.Me

200,73

= 3.Me

66,91

= Me

Jadi, dengan menggunakan hubungan rata – rata hitung, median dan modus , didapat median dari berat badan mahasiswa FEB Unpad 2010 adalah 66,91Kg

5. Dalam tahun 1949, perusahaan – perusahaan asuransi kecelakaan mobil di amerika serikat telah membayar sebanyak 715,673 permintaan yang besarnya $ 100 atau kurang, rata – ratanya $ 33,91, juga mereka telah membayar sebanyak 157,879 permintaan yang besarnya $ 101 sampai dengan $ 1000 dengan rata – rata $ 216,89 dan sejumlah 1707 permintaan yang besarnya melebihi $ 1000 dengan rata – rata $ 1635,09. Tentukanlah permintaan rata – rata dari keseluruhan ? Penyelesaian : (Prof. Dr. Sudjana, Statistika untuk Ekonomi dan Niaga ed. 5, hal. 145 no 21) Sebaiknya disusun dahulu dalam daftar sebagai berikut :

50


Permintaan

Banyaknya (ni)

Rata – rata (xi)

ni.xi

Kurang dari $ 100

715,673

33,91

24.268.471,43

$ 101 - $ 1000

157,879

21,89

34.242.376,31

1,707

1635,09

2.791.098,63

Lebih adri $ 1000 Jumlah

875.256

Permintaan rata – rata =

61.301.946,36 = $ 70,04

Jadi, rata rata permintaan dari keseluruhan Asuransi adalah $ 70,04

6. Seseorang menanamkan modal dengan bunga 7 % dalam tahun pertama. Untungnya disatukan dengan modal asal yang kemudian ditanamkan lagi dengan bunga 9 % pada tahun kedua. Dengan jalan yang sama, pada tahun yang ketiga uang itu ditanamkan dengan bunga 10 %, pada tahun keempat 12 % dan pada tahun kelima 15 %. Berapa bunga rata – rata yang didapat selama periode 5 tahun itu ? Penyelesaian : (Prof. Dr. Sudjana, Statistika untuk Ekonomi dan Niaga ed. 5, hal. 147 no 36) =

=

% = 10,6 %

Jadi bunga rata – rata yang didapat selama periode 5 tahun dalam penanaman modal tersebut adalah 10,6 % 7. The followingdataare givenheight20Padjadjaran Universitystudent 148.121,142,143,148,125,132,143,149,134, 145,150,134,145,150,154,154,152,151,150

51


Make afrequency distributionandthen calculate: a) The medianandthe modewithgroupeddataformula? b) Percentile 45 and Deciles3 withthegroupeddata formula? Penyelesaian : R = Rmaks – Rmin = 154 – 121 = 33 k= 1+3,322 log n = 1+3,322 log 20 = 5,322 ~ 6 Ci = =

= 6,666 ~ 7

Tinggi badan ( Kelas Interval )

Jumlah Mahasiswa ( f )

121 – 127

2

128 – 133

1

134 – 140

2

141 – 147

5

148 – 154

10

Jumlah

20

a) Median Letak median = ½ n = ½ 20 = 10  data ke 10 terletak pada kelas 141 – 147 Tbme = Me = Tbme +

=

= 140,5 = 140,5 +

.7 = 147,5

Modus Letak Mo = pada kelas 148 – 154 ( karena memiliki frekuensi terbanyak ) d1 = 10 – 5 = 5

52


d2 = 10 – 0 = 0 Mo = Tbmo +

Cimo = 147,5 +

. 7 = 154,5

Jadi, 20 data tinggi badan mahasiswa FEB Unpad memiliki median sebesar 147,5 dan modusnya sebesar 154,5 b) Letak D3 = i/10 n = 3/10. 20 = 6 data ke 6 terletak dikelas 141 – 147 Tbd9 =

=

TbD9 +

= 140,5 +

= 140,5 = 141,9

Jadi, 3/10 dari 20 data tinggi badan mahasiswa FEB Unpad adalah berkisar kurang dar1 141,9 Cm, sedangkan sisanya memiliki tinggi badan lebih dari 141,9 cm Letak P45 = i/100.n = 45/100 . 20 = 9  data le 32,5 terletak di kelas 141 147 Tbp65 =

=

TbP45+

= 140,5 +

= 140,5 = 146,1

Jadi, 45/100 dari 20 data tinggi badan mahasiswa FEB unpad berkisar kecil dari 146,1 Cm, sedangkan sisanya lebih dari 146,1Cm

8. Hamdi`s Corporation adalah sebuah perusahaan sukses multinasional yang mempunyai banyak cabang perusahaan di dunia. Hamdi Ahmad Selaku CEO Hamdi`s Corporation suatu hari ingin melakukan investigasi terhadap

53


perusahaannya di 6 negara , dengan menggunakan pesawat jet pribadi, berikut ini adalah waktu tempuh dan kecepatan perjalanan yang dilakukan untuk menginvestigasi perusahaan.

Perjalanan

Waktu Tempuh ( Xt )

Kecepatan ( Wt )

Jakarta – Hongkong

5 Jam

8000 Km/ jam

Hongkong – Paris

8 Jam

7500 Km / jam

Paris – Amsterdam

2 Jam

8210 Km / jam

Amsterdam – Mesir

4 Jam

7710 Km / jam

Mesir – Rusia

9 Jam

8810 Km/ jam

Dari data diatas, berapakah rata – rata kecepatan pesawat jet yang digunakan oleh Hamdi Ahmad dalam melakukan perjalanan tersebut ? Penyelesaian :

=

=

=

= 8091,07142

Jadi, rata – rata kecepatan pesawat jet yang digunakan oleh Hamdi Ahmad dalam melakukan perjalanan tersebut adalah 8091,07142 KM/Jam 9. Ardina bermaksud berpergian dari Padang –Padang Panjang – Bukittinggi dengan menempuh jarak 90 Km, ketika Ardina pergi ke Padang Panjang mobil Limousin yang digunakanya menempuh rata – rata kecepatan 52 km/jam ,Ketika dari padang panjang ke Bukittinggi ardina menempuh hanya dengan kecepatan 40 Km. Namun ketika Ardina kembali ke Padang pada sore

54


hari, Limousinya menempuh rata – rata kecepatan 60 km/jam. Coba saudara hitung berapa kecepatan rata – rata yang digunakan ardina untuk pulang dan pergi ? Penyelesaian: Dik : n = 3

X1 = 52

X2 = 40

X3 = 70

Dit : HM ? Jawab : HM =

=

= 51,2676 km/jam

Jadi rata – rata Limousin yang digunakan ardina untuk menempuh Padang – Padang Panjang – Bukittinggi Pulang Pergi adalah 51,26 km/jam

10. Dibawah ini disajikan data mengenai upah mingguan karyawan di perusahaan “ A “ pada tahun 2007 ( dalam ribuan rupiah ) Upah

Banyaknya Karyawan

120 – 129

5

130 – 139

7

140 – 149

10

150 – 159

14

160 – 169

10

170 – 179

8

180 – 189

6

Pertanyaan : a) Berapa Besar Upah yang diterima oleh sebagian besar karyawan tersebut ?

55


b) Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah tertinggi adalah yang bekerja lebih dari 2 tahun, berapa upah minimalnya ? c) Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah terendah adalah yang bekerja lebih dari 2 tahun, berapa upah maksimalnya ? d) Berapa gaji rata – rata yang diterima oleh karyawan ? e) Gambarkan kurva histogramnya dari distribusi diatas ? Penyelesaian : a) Besar Upah yang diterima oleh sebagian besar karyawan tersebut Modus terletak di kelas ke 4  yang berarti tepi bawah kelasnya adalah 149,5 d1 = 14 – 10 = 4 d2 = 14 – 10 = 4 Ci = 10 Mo = Tbmo +

Cimo

= 149,5 +

.10 = 154,5

Jadi besar upah yang diterima sebagian besar karyawan adalah Rp 154.500 b) Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah tertinggi adalah yang bekerja lebih dari 2 tahun, upah minimalnya adalah Bisa digunakan P80 atau D8 disini kita gunakan P80 LetakP80 :

60 = 48

Nilai P80 : Tbpi +

169,6+

= 179,5

Jadi. Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah tertinggi adalah yang bekerja lebih dari 2 tahun, upah minimalnya adalah Rp 179.500

56


c) Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah terendah adalah yang bekerja lebih dari 2 tahun, berapa upah maksimalnya ? Bisa digunakan P20atau D2disini kita gunakan P20 LetakP80 :

60 = 12

Nilai P80 : Tbpi +

129,5+

= 139,5

Jadi. Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah terendah adalah yang bekerja lebih dari 2 tahun, upah maksimalnyanya adalah Rp 139.500 d) Rata – rata gaji yang diterima karyawan adalah Upah

Banyaknya

(Kelas )

Karyawan (fi)

120 – 129

5

124

620

130 – 139

7

134

938

140 – 149

10

144

1440

150 – 159

14

154

2156

160 – 169

10

164

1640

170 – 179

8

174

1392

180 – 189

6

184

1104

Jumlah

60

1078

=

=

Xi

Xi.fi

9290

= 154,8333333

Jadi rata – rata gaji karyawan adalah Rp. 154.833 e) Gambarkan kurva histogramnya dari distribusi diatas ?

57


58


UKURAN DISPERSI Ukuran Dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya. (pokok2 materi statistika 1 Ir. M Iqbal Hasan MM) Kegunaan Ukuran Dispersi 

Sebagai pelengkap dari ukuran gejala pusat dalam membandingkan dua atau lebih kelompok bilangan. Pada ukuran gejala pusat, nilai rata-rata seperti mean atau median hanya menitikberatkan pada pusat data, tapi tidak memberikan informasi tentang sebaran nilai pada data tersebut.



Untuk membandingkan sebaran data dari dua informasi distribusi nilai. (Statistika Teori dan Aplikasi, J. Supranto)

Macam-macam Ukuran Dispersi a. Ukuran Dispersi Absolut Ukuran dispersi absolut adalah ukuran dispersi yang hanya dapat digunakan untuk melihat penyimpangan-penyimpangan nilai yang terdapat pada suatu kumpulan data, bukan untuk beberapa kumpulan data. Ukuran dispersi absolut terdiri dari: 1. Rentang / Sebaran/ Jangkauan/ Range (R): adalah selisih data terbesar (maksimum) dengan data terkecil (minimum). Pada umumnya, semakin kecil rentang untuk sekumpulan data, makin merata tersebarnya data. Bila rentang makin besar maka data tersebut semakin tidak merata. Rumus: Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data) Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu: R=

-

59


Data Berkelompok (Grouped Data) Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu: R=

-

Dimana: 

merupakan nilai tengah kelas tertinggi



merupakan nilai tengah kelas terendah

2. Sebaran/ Rentang Antar Quartil/ Inter Quartile Range (IQR) Adalah suatu bilangan yang diperoleh dari selisih antara kuartil 3 dan kuartil 1. Rumus: Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu: IQR =

-

Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data berkelompok 3. Simpangan Kuartil/ Kuartil Deviasi/ Quartile Deviation (QD) Adalah suatu bilangan yang merupakan setengah bagian dari sebaran antar kuartil. Rumus: Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu: QD =

atau

QD =

Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data berkelompok 4. Simpangan Rata-rata/ Average Deviation (AD) Adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak penyimpangan nilai suatu variabel terhadap rata-rata hitungnya. Rumus:

60


Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data) Populasi: AD =

x

Sampel: AD =

Data Berkelompok (Grouped Data) Populasi: AD =

x

Sampel: AD =

5. Simpangan Baku/ Standar Deviasi/ Standard Deviation (σ atau s) Adalah suatu bilangan yang merupakan rata-rata penyimpangan nilai suatu variabel terhadap rata-rata hitungnya. Rumus: Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data) 

Populasi:

Metode biasa (cara panjang)

σ=

σ= 

Sampel besar (n>30):

Metode biasa (cara panjang) s= 

x

Metode angka kasar (cara pendek)

s=

Sampel kecil (n≤30):

Metode biasa (cara panjang) s=


x


s=

61


Data Berkelompok (Grouped Data) 

Populasi:

Metode biasa (cara panjang) σ= Cara pendek: Metode angka kasar

Metode Coding

σ=

σ=



Sampel besar (n>30)

Metode biasa (cara panjang)

x

s=

Cara pendek: Metode angka kasar

Metode Coding

s=

s=



Sampel kecil (n≤30):

Metode biasa (cara panjang) s=

x

Cara pendek: Metode angka kasar s=

Metode Coding s=

62


keterangan: c : panjang kelas u

= =

d

= X-M

X = nilai tengah M = rata-rata hitung sementara 6. Variasi/ Variance (V) Adalah suatu bilangan yang merupakan bentuk kuadrat dari simpangan bakunya. Rumus: Populasi:

V=

Sampel:

V=

Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data berkelompok b. Ukuran Dispersi Relatif Adalah ukuran dispersi yang dapat digunakan untuk membandingkan dispersi atau variasi dari beberapa kumpulan data. Dispersi Relatif dirumuskan: Dispersi relatif = Ukuran dispersi relatif terdiri dari: 1. Koefisien variasi / Coefficient of Variation (CV) Adalah suatu bilangan yang biasanya dinyatakan dalam persen yang merupakan hasil bagi atau perbandingan antara simpangan baku terhadap rata-rata hitungnya. Semakin kecil nilai koefisien variasinya maka data semakin homogen. Populasi:

CV = x 100%

63


Sampel:

CV =

x

x 100%

Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data berkelompok 2. Koefisien Variasi Kuartil/ Coefficient of Quartile Variation (CVQ) Adalah suatu bilangan yang biasanya dinyatakan dalam persen yang merupakan hasil bagi atau perbandingan antara simpangan kuartil terhadap mediannya atau antara selisih kuartil 3 dan kuartil 1 terhadap jumlah kuartil 3 dan kuartil 1. Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu: CVQ =

x 100%

atau

CVQ =

x 100%

Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data berkelompok 3. Angka Baku/ Standard Score (Z) Adalah suatu bilangan yang merupakan hasil bagi atau perbandingan antara selisih nilai tertentu suatu variabel dan rata-rata hitung terhadap simpangan bakunya. (Teori dan Aplikasi Statistika dan Probabilitas, Dr. Boediono, Dr, Ir Wayan Koster) Populasi:

Z=

Sampel:

Z=

x

Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data berkelompok UKURAN KEMENCENGAN (Skewness) Sk = Ukuran kemencengan adalah suatu ukuran yang menunjukan tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetris dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya, sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan bentuk

64


kurvanya akan menceng. Jika kurva distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan maka distribusi tersebut disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Sebaliknya jika kurva distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri maka distribusi tersebut disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif. Berikut adalaha gambar kurva distribusi normal, menceng ke kanan dan menceng ke kiri. a. Kurva distribusi normal

Mo=Me= x b. Kurva distribusi menceng ke kanan

Mo Me x

c. Kurva distribusi menceng ke kiri

x Me Mo

65


Metode yang digunakan untuk mengukur ukuran kemencengan (Skewness) 1. PEARSON (nilai selisih rata-rata dibagi simpangan baku) Rumus: Populasi:

Sk =

Sampel:

Sk =

x

atau

Sk =

atau

Sk =

x

2. BOWLEY (berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil dari sebuah distribusi) Rumus: Sk =

atau

Sk =

3. MOMEN (didasarkan pada perbandingan momen-momen ke-3 dengan pangkat tiga simpangan baku) Rumus: Data tunggal/ tidak berkelompok Populasi :

Sk =

=

Sampel :

Sk =

=

x

Data Berkelompok Populasi:

Sampel:

Sk =

=

Sk =

=

Sk =

=

atau .

x

atau

66


Sk =

=

.

Kemencengan kurva menurut Pearson ialah: 1. Sk = 0  kurva memiliki bentuk simetris 2. Sk > 0  kurva menceng ke kanan atau menceng positif 3. Sk < 0  kurva menceng ke kiri atau menceng negatif Batas-batas nilai ukuran kemencengan beserta artinya: 1. 0,0 ≤ (Sk =

< 0,1  bentuk kurva distribusinya bisa dianggap normal

2. 0,1 ≤ (Sk =

< 0,3  bentuk kurva distribusinya menceng.

Bila bernilai negatif menceng ke kiri, bila bernilai positif menceng ke kanan 3. (Sk =

≥ 0,3  bentuk kurva distribusinya sangat menceng

Bila bernilai negatif sangat menceng ke kiri, bila bernilai positif sangat menceng ke kanan UKURAN KERUNCINGAN (Kurtosis) Kt = Keruncingan distribusi data atau kurtosis adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Berdasarkan keruncingannya kurva distribusi dapat dibedakan atas 3 macam, yaitu: 1. Leptokurtik (puncak relatif tinggi/ runcing) 2. Mesokurtik (puncak tidak tinggi dan tidak mendatar atau bisa disebut normal) 3. Platikurtik ( puncak hampir mendatar/ tumpul)

Leptokurtik Mesokurtik Platikurtik

67


Batas-batas ukuran keruncingan: 1.

> 3 kurva distribusinya runcing (leptokurtik)

2.

= 3 kurva distribusinya normal (mesokurtik)

3.

< 3 kurva distribusinya tumpul (platikurtik)

Rumus- Rumus yang digunakan: Data tunggal/ tidak berkelompok Populasi :

=

Sampel :

=

x

Data Berkelompok Populasi:

=

atau

= . Sampel:

x

= =

atau

.

Contoh Soal: Berikut ini adalah sampel nilai dari mid test statistika I dari sekelompok mahasiswa di sebuah Universitas: 30, 35, 42, 50, 58, 66, 74, 82, 90, 98 Tentukanlah: a. Semua ukuran dispersi absolutnya b. Semua ukuran dispersi relatifnya, kecuali angka baku c. Ukuran kemencengan dan ukuran keruncingannya beserta artinya

68


Jawaban: X 30 35 42 50 58 66 74 82 90 98 ΣX= 625

x

X-x -32,5 -27,5 -20,5 -12,5 -4,5 3,5 11,5 19,5 27,5 35,5

x

x

1056,25 756,25 420,25 156,25 20,25 12,25 132,25 380,25 756,25 1260,25 Σ= 4950,5

900 1225 1764 2500 3364 4356 5476 6724 8100 9604 Σ= 44013

1115664,063 571914,0625 176610,0625 24414,0625 410,0625 150,0625 17490,0625 144590,0625 571914,0625 1588230,063 Σ= 4211386,625

X = 62,5

a. Ukuran dispersi absolut: 

R=

-

R = 98-30 = 68 

IQR

=

-

= 84-40,25 = 43,75 

QD

=



AD

=

=

x

= 

s= =



V= =

= 21,875

= 19,5

x

= 23,45326322 = 550,05555556

69


b. Ukuran dispersi relatif 

CV =



CVQ =

x

x 100% = x 100% =

x 100% = 37,52522115% x 100% = 35,28225806%

c. Ukuran kemencengan: Rumus Pearson: Sk =

x

=

= 0,063956984

Ternyata 0,0 <0,063956984< 0,1 0,0 < (Sk =

< 0,1  bentuk kurva distribusinya bisa dianggap normal

Gambar:

Ukuran keruncingan: = =

x = 1,391912716

Ternyata 1,391912716 < 3 < 3 maka kurva distribusinya berbentuk tumpul (platikurtik) Gambar:

70


Langkah-langkah dengan menggunakan Minitab: 1. Buka software Minitab 2. Masukan data pada worksheet 1 3. Ketik “nilai” pada kolom C1 lalu masukan data

4. Klik stat  Basic Statistic  display descriptive statistics  lalu masukan variabel nilai (C1) ke kotak variabel.

5. Pilih statistics, lalu akan muncul:

71


6. Pilih descriptive statistics yang dibutuhkan lalu Klik OK 7. Akan muncul output sebagai berikut: —— 12/2/2011 10:58:31 AM ———————————————————— Welcome to Minitab, press F1 for help.

Descriptive Statistics: nilai Variabel nilai

N 10

N* 0

Mean 62.50

SE Mean 7.42

StDev 23.45

Variance 550.06

Variabel nilai

Median 62.00

Q3 84.00

Maximum 98.00

Range 68.00

IQR 43.75

CoefVar 37.53

Skewness 0.09

Minimum 30.00

Q1 40.25

Kurtosis 1.30

72


SOAL UKURAN DISPERSI 1. Plywood Inc. Reported these returns on stockholder equity (in percent) for the past 5 years: 4,3 4,9 7,2 6,7 and 11,6 a. Compute the range, average deviation, standard deviation and variance b. Compute the coefficient of variation and coefficient of quartile variation Penyelesaian: X 4,3 4,9 7,2 6,7 11,6 ΣX= 625

Σ

X- x -2,64 -2,04 0,26 -0,24 4,66 x = 9,84

x 6,9696 4,1616 0,0676 0,0576 21,7156 Σ = 32,972

X = 6,94

a. 

R=

-

R = 11,6 – 4,3 = 7,3 

IQR

=

-

= 9,4 – 4,6 = 4,8 

QD

=



AD

=

=

x

= 

s= =

= 2,4

= 1,968

x

= 2,871062521

73




V= =



CV =



CVQ =

= 8,243

b.

x

x 100% = x 100% =

x100% = 41,36977696% x 100% = 31,59722222%

Langkah-langkah dengan menggunakan Minitab: 1. Buka software Minitab 2. Masukan data pada worksheet 1 3. Ketik “returns” pada kolom C1, lalu masukan data

4. Klik stat  Basic Statistic  display descriptive statistics  lalu masukan variabel returns ke kotak variabel.

74



6. Pilih descriptive statistics yang dibutuhkan lalu Klik OK

75


7. Akan muncul output sebagai berikut: ————— 12/2/2011 11:45:48 AM ————————————————— Welcome to Minitab, press F1 for help.

Descriptive Statistics: returns Variabel returns

N 5

N* 0

Variabel returns

Q3 9.40

Mean 6.94 Maximum 11.60

SE Mean 1.28

StDev 2.87

Variance 8.24

CoefVar 41.37

Minimum 4.30

Q1 Median 4.60 6.70

Range 7.30

2. Sampel berat badan 10 mahasiswa dan 10 mahasiswi disuatu perguruan tinggi adalah sebagai berikut: Berat badan mahasiswa Berat badan mahasiswi

40

50

60

55

70

65

60

55

65

80

45

55

50

60

45

40

55

50

65

60

a. Tentukan standar deviasi berat badan kelompok mahasiswa dan mahasiswi tersebut b. Tentukanlah koefisien variasinya, manakah yang lebih merata? Penyelesaian: Kelompok mahasiswa: Data terurut: X

40 50 55 55 60 60 65 65 70 80 Σ= 600 1600 2500 3025 3025 3600 3600 4225 4225 4900 6400 Σ=37100

s=

= = 11,05541597 Kelompok mahasiswi Data terurut:

76


X

40 45 45 50 50 55 55 60 60 65 ∑=525 1600 2025 2025 2500 2500 3025 3025 3600 3600 4225 ∑=28125

s= = = 7,90569415 b.

Koefisien variasi berat badan mahasiswa: CV =

x

x 100%

=

x 100%

= 18,42569328% Koefisien variasi berat badan mahasiswi: CV =

x

x 100%

=

x 100%

= 15,05846505% Kesimpulan: Koefisien variasi (CV) berat badan mahasiswi lebih kecil dari koefisien variasi (CV) berat badan

mahasiswa. Jadi data berat badan

mahasiswi jauh lebih merata daripada berat badan mahasiswa. 3. Pada ujian akhir semester yang lalu, untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi, Tenten memperoleh nilai 84, sedangkan untuk mata kuliah Statistika ia memperoleh nilai 90. Dikelas itu, terdapat 50 mahasiswa, dimana nilai ratarata untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi adalah 76 dengan simpangan baku 10. Sedangkan nilai rata-rata untuk mata kuliah Statistika adalah 82 dengan simpangan baku 16. Pada mata kuliah mana nilai Tenten lebih baik? Penyelesaian:

77


Untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi Z=

x

=

= 0,8

Untuk mata kuliah Statistika Z=

x

=

= 0,5

Kesimpulan: Nilai Z untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi lebih besar dari nilai Z untuk mata kuliah Statistika. Jadi nilai Tenten lebih baik pada ujian mata kuliah Pengantar Ekonomi. 4. Dari data pengukuran pipa dibawah ini: Diameter (mm) 65-67 68-70

F 2 5 13 14 4 2 40

71-73 74-76 77-79 80-82 Jumlah

a. Hitung standar deviasinya b. Tentukan ukuran keruncingannya, jelaskan artinya dan gambarkan Penyelesaian: Diameter(mm) 65-67 68-70

71-73 74-76 77-79 80-82 Jumlah

Xi 66 69 72 75 78 81

f 2 5 13 14 4 2 40

u -3 -2 -1 0 1 2

9 4 1 0 1 4

-27 -8 -1 0 1 8

81 16 1 0 1 16

fu -6 -10 -13 0 4 4 -21

f 18 20 13 0 4 8 63

f -54 -40 -13 0 4 16 -87

f 162 80 13 0 4 32 291

s=

78


s=

= 3,419703935 Ukuran keruncingan = = = 3,011326068 Karena ukuran keruncingannya (

hampir sama atau sama dengan 3 maka

bentuk kurvanya adalah mesokurtik atau bisa disebut normal. gambar:

5. Dua perusahaan, yaitu Perusahaan TIDAK RUGI dan Perusahaan UNTUNG memiliki karyawan sebanyak 50 orang. Untuk keperluan penelitian mengenai variasi gaji karyawan, diambil sampel sebanyak 6 orang dari setiap perusahaan dengan gaji masing-masing (dalam ribuan rupiah) adalah sebagai berikut: 300, 250, 350, 400, 500, 550 dan 200, 450, 250, 300, 350, 500 a. Tentukanlah ukuran dispersi relatif dari kedua perusahaan tersebut, kecuali angka bakunya b. Perusahaan mana yang memiliki variasi gaji lebih merata?

79


c. Budi merupakan salah satu karyawan di perusahaan untung. Berapakah gaji yang ia terima setiap bulannya jika ia memiliki angka baku untuk gajinya sebesar 0,62? Penyelesaian: a. Data yang telah diurutkan: Perusahaan Tidak Rugi: X

250 62500

300 90000

350 122500

400 500 160000 250000

550 Σ= 2350 302500 Σ=987500

 s= = = 115,8303357 

Koefisien variasi Perusahaan Tidak Rugi: CV =

x

x 100%

=

x 100%

= 29,57370273% 

CVQ =

x 100%

=

x 100% = 28,125%

Langkah-langkah dengan menggunakan Minitab: 1. Buka software Minitab 2. Masukan data pada worksheet 1 3. Ketik “gaji” pada kolom C1, lalu masukan data

80


4. Klik stat  Basic Statistic  display descriptive statistics  lalu masukan variabel gaji ke kotak variabel.


81


6. Pilih descriptive statistics yang dibutuhkan lalu Klik OK 7. Akan muncul output sebagai berikut: ————— 12/2/2011 11:45:48 AM ————————————————— Welcome to Minitab, press F1 for help.

Descriptive Statistics: gaji Variabel gaji

N 6

N* 0

StDev 115.8

Variance 13416.7

CoefVar 29.57

Minimum 250.0

Maximum 550.0

Data yang telah diurutkan: Perusahaan Untung X

200 40000

250 62500

300 90000

350 450 122500 202500

500 Σ= 2050 250000 Σ=767500

 s= = = 115,8303357 

Koefisien variasi Perusahaan Untung:

82


CV =

x

x 100%

=

x 100% = 34,00107701%



CVQ =

x 100%

=

x 100% = 32,1428571%

Dengan langkah yang sama seperti diatas, gunakan software minitab, maka akan diperoleh output seperti di bawah ini: ————— 12/2/2011 11:45:48 AM ————————————————— Welcome to Minitab, press F1 for help.

Descriptive Statistics: gaji Variabel gaji

N 6

N* 0

b. Koefisien

StDev 115.8

variasi

Variance 13416.7

(CV)

CoefVar 33.90

perusahaan

Minimum 200.0

Tidak

Maximum 500.0

rugi

adalah

sebesar

29,57370273% sedangkan koefisien variasi (CV) perusahaan Untung adalah sebesar 34,00107701%. CV perusahaan Tidak rugi < CV perusahaan Untung. Jadi dapat disimpulkan bahwa perusahaan yang memiliki variasi gaji lebih merata adalah perusahaan Tidak Rugi. c. Z =

x

0,62= x

= 413,4814748

Kesimpulan: Jadi, gaji yang diterima Budi di perusahaan Untung setiap bulannya adalah sebesar Rp. 413.481

83


6. The traffic citations issued last year by month in Beaufort Country, South Carolina, is reported below: Month

Citations

January

19

February

17

March

22

April

18

May

28

June

34

July

45

August

39

September

38

October

44

November

34

December

10

Total

348

a. Compute the range, average deviation, standard deviation and variance b. Determine the Inter Quartile Range and Quartile Deviation! c. Find the coefficient of Skewness, what is your conclusion regarding the shape of distribution? (use the Bowley method) Penyelesaian: Data : Month

Citations

January

19

February

17

March

22

April

18

x

X- x

-10

100

-12

144

-7

49

-11

121 84


May

28

June

34

July

45

August

39

September

38

October

44

November

34

December

10

Total

348 X = 32

a. R =

x

-1

1

5

25

16

256

10

100

9

81

15

225

5

25

-19

361

= 120

Σ

x =1488

-

R = 45-10 = 35

x

AD = =

= 10

x

s=

= 11,63068043

= V= =

= 135,2727273

b. Letak

nilai ke =

+ 0,25 (

= 3,25 -

)

= 18 + 0,25(19-18) = 18,25 Letak

=nilai ke =

= 9,75

85


+ 0,75 (

-

)

= 38 + 0,75(39-38) = 38,75 IQR =

-

= 38,75-18,25 = 20,5 QD =

=

= 10,25

Sk = = = - 0,243902439 0,1 < 0,243902439 < 0,3 and Sk < 0 0,1 <(Sk =

< 0,3 and Sk < 0

it means the curve is skewed to the left or negatively skewed gambar:

Langkah-langkah dengan menggunakan Minitab: 1. Buka software Minitab 2. Masukan data pada worksheet 1 3. Ketik “cititations” pada kolom C1

86


4. Klik stat  Basic Statistic display descriptive statistics  lalu masukan variabel cititations ke kotak variabel.


87


6. Pilih descriptive statistics sesuai kebutuhan lalu Klik OK 7. Akan muncul output sebagai berikut: ————— 12/2/2011 11:45:48 AM ————————————————— Welcome to Minitab, press F1 for help.

Descriptive Statistics: citations Variabel citations

N 12

N* 0

Mean 29.00

SE Mean 3.36

StDev 11.63

Variance 135.27

Variabel citations

Median 31.00

Q3 38.75

Maximum 45.00

Range 35.00

Skewness -0.13

CoefVar 40.11

Minimum 10.00

Q1 18.25

7. SC Coast, an internet provider in the Southeast, developed the following frequency distribution on the age of internet users. Find the deviation standard and variance with coding method) age 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60

frequency 3 20 18 12 7

88


Penyelesaian: Age 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 total

Xi 15 25 35 45 55

f 3 20 18 12 7 60

u -3 -2 -1 0 1

9 4 1 0 1

fu -9 -40 -18 0 7 -60

f 27 80 18 0 7 132

s= s= = 10,95445115 V=

=

= 120

So, the deviation standard is about 10,95445114 and variance is about 120 8. Gaji 5 orang manajer (dalam ribuan rupiah) di perusahaan A masing-masing adalah 4.500, 4000, 5000, 4750, 4250 sedangkan gaji 5 orang manajer di perusahaan B adalah 3750, 4200, 4500, 5250, 4750. Manakah yang lebih bervariasi (heterogen), gaji manajer di perusahaan A atau perusaan B ? Penyelesaian: Perusahaan A = 4500

x= s=

= = 395,2847075 CV =

x

x 100%

89


=

x 100%

= 8,784104612% = 4490

x= s=

= = 565,0221235 CV =

x

=

x 100% x 100%

= 12,58401166% Kesimpulan: Karena CV perusahaan B lebih besar dari perusahaan A, maka gaji manajer di perusahaan B lebih bervariasi (heterogen) dibanding dengan gaji manajer di perusahaan A. 9. Diketahui sebuah data mengenai interval kelas beserta frekuensinya sebagai berikut: Interval kelas

Frekuensi

31-40

4

41-50

3

51-60

5

61-70

8

71-80

11

81-90

7

91-100

2

Jumlah

40

Dari data yang didapatkan, tentukanlah:

90


a. Rata-rata dan simpangan bakunya b. Skewness dengan menggunakan rumus Pearson Penyelesaian: Interval kelas

Frekuensi

31-40

4

35,5

41-50

3

45,5

51-60

5

55,5

61-70

8

65,5

71-80

11

75,5

81-90

7

85,5

91-100

2

95,5

Jumlah

40

a. x =

=

Xi

fX

f

1260,25

142

5041

2070,25

136,5

6210,75

3080,25

277,5

15401,25

4290,25

524

34322

5700,25

830,5

62702,75

7310,25

598,5

51171,75

9120,25

191

18240,5

Σ= 2700

Σ= 193090

= 67,5

s= s=

= 16,46283694 b. Mo = L+ = 70,5 +

.c . 10

= 74,944444444 Sk =

x

= = -0,452196937

91


0,452196937 > 0,3 (Sk =

> 0,3 and Sk < 0 (nilainya negatif)

berarti kurva distribusinya sangat menceng ke kiri atau sangat menceng negatif

Gambar:

10. Berikut ini adalah data uang jajan dari mahasiswa Fakultas Ekonomi setiap bulannya: Uang jajan (rupiah)

Frekuensi (orang)

500.000 - 600.000

8

600.000 – 700.000

6

700.000 – 800.000

20

800.000 – 900.000

12

900.000 – 1000.000

4

Total

50

a. Bila seorang mahasiswa mempunyai uang jajan 750.000 per bulan, berapakah angka bakunya? d. Bila seorang mahasiswi mempunyai angka baku 0,12 berapakah pendapatan yang diperolehnya tiap bulan? Penyelesaian: Uang jajan

f

x

X-

fx

x

x

500.000 - 600.000

8

550000

4400000

-196000

38416000000

600.000 – 700.000

6

650000

3900000

-96000

9216000000

92


700.000 – 800.000

20

750000

15000000

4000

16000000

800.000 – 900.000 900.000 – 1000.000

12 4

850000

10200000

104000

10816000000

950000

3800000

204000

41616000000

Total

50

a. x =

=

37.300.000

100.080.000.000

= 746.000

x

s= s=

= 44739,24452 Z=

x

= = 0,09 Kesimpulan: Bila seorang mahasiswa mempunyai uang jajan 750.000 per bulan, maka angka bakunya adalah sebesar 0,09 b. Z 0,12

=

x

=

5368,709344 = x- 746.000 x

= 751.368,7093

Kesimpulan: Bila seorang mahasiswi mempunyai angka baku 0,12 maka pendapatan yang diperolehnya setiap bulan adalah sebesar Rp. 751.369

93


ANGKA INDEKS Angka Indeks adalah suatu bilangan yang dinyatakan dalam presentase (%) yang menunjukkan besarnya perbandingan atau perubahan nilai suatu variabel tertentu pada waktu/periode waktu tertentu dibandingkan dengan nilai variabel tersebut pada waktu/periode dasarnya. 

Waktu tertentu (waktu bejalan) adalah waktu atau periode waktu saat dilakukan penghitungan angka indeks suatu variabel.



Waktu dasar adalah waktu atau periode waktu yang dijadikan dasar perhitungan angka indeks suatu variabel. Periode waktu dasar biasanya dinyatakan dalam angka indeks sebesar 100.

Pada umumnya dalam pengukuran angka indeks terdapat dua kesulitan atau kendala, yaitu : 

Data yang layak diperbandingkan dan data yang sesuai kebutuhan,



Pemilihan tahun dasar, karena tahun dasar sebagai pembanding yang baik harus mempunyai dua kriteria yaitu saat keadaan stabil dan waktu yang dijadikan tahhun dasar tidak terlalu lama. Dapat digunakan interval waktu lima tahun. I. Sumber Data

Sumber data untuk perhitungan indeks bisa didapatkan dari data-data internal seperti data penjualan perusahaan, data produksi sebuah pabrik, dan lain-lain. Selain itu, sumber data untuk perhitungan indeks yang bersifat umum bisa didapatkan dari pemerintah, seperti Indeks Harga Konsumen yang bisa dilihat pada data BPS (Biro Pusat Statistika).

94


II. Jenis – Jenis Angka Indeks 2.1.Angka Indeks Harga (Po/n) Angka Indeks Hargaadalah angka indeks pada variabel tertentu yang diperbandingkannya

berupa

harga

barang/jasa

dan

dipakai

untuk

menunjukkan perubahan harga barang/jasa. Indeks ini bertujuan mengukur perubahan harga antara dua interval waktu tertentu, misal antar tahun, antar kuartal, antar bulan, dan sebagainya. Dalam praktek indeks harga adalah indeks yang paling sering digunakan seperti indeks harga konsumen, indeks harga saham gabungan (IHSG) dan lainnya. 2.2.Angka Indeks Kuantitas (Qo/n) Angka Indeks Kuantitasadalah angka indeks yang variabel tertentu diperbandingkannya

berupa

jumlah/kuantitas

barang.Indeks

kuantitas

mengukur perubahan sejumlah kuantitas barang dari masa ke masa. Sebagai contoh, jika diketahui indeks kuantitas tepung terigu tahun 2006 adalah 115, dengan dasar tahun 2002, maka ada peningkatan jumlah tepung terigu sebesar 15%. 2.3.Angka Indeks Nilai (Vo/n) Angka

Indeks

Nilaiadalah

angka

indeks

yang

variabel

tertentu

diperbandingkannya berupa nilai barang atau jasa dan dipakai untuk melihat perubahan nilai dari suatu barang/jasa. Dimana besaran nilai didapat dari perhitungan V  P  Q

III. Metode Mengukur Angka Indeks Harga Metode ini menentukan pada penggunaan variabel harga dari waktu ke waktu suatu komoditi tertentu. Sebagai dasar penghitungannya adalah harga sebagai pembanding sekaligus tahun dasar (tahun ke 0) diberi simbol P o dan harga yang

95


diperbandingkan dan terjadi pada tahun ke-n diberi simbol P n. Di samping itu tahun dasar sebagai permulaan dan dasar perbandingan maka indeks selalu besarnya 100% (angka indeks dinyatakan dalam persentase). 3.1.Metode Tak Tertimbang Pada metode ini dianggap semua variabel yang akan diukur indeksnya mempunyai nilai yang sama. Metode ini merupakan metode yang paling sederhana dan praktis dalam mengukur sebuah indeks (bisa indeks harga, indeks kuantitas, atau jenis indeks lain), walaupun cara ini mempunyai kelemahan-kelemahan. 3.2.Metode Tertimbang Pada metode ini ada bobot yang digunakan untuk membedakan variabel yang satu dengan yang lain. Seperti adanya penimbangan berupa kuantitas barang yang terjual untuk berbagai jenis barang yang berlainan harganya. Metode ini dalam praktek masih terbagi dalam beberapa cara perhitungan indeksnya seperti metode Laspeyers, Paasche, Fisher, dan sebagainya. 3.3.Metode Relatif Jika pada metode tertimbang atau tak tertimbang, proses perhitungan dimulai dengan menjumlahkan seluruh komponen yang ada kemudian dilakukan ratarata, maka metode relatif memulai dengan menghitung setiap indeks komponen, kemudian baru melakukan rata-rata dari semua indeks yang didapat. 3.4.Metode Rantai Metode ini menghitung indeks secara berantai, missal dari tahun 1998 dibandingkan dengan tahun 1997, kemudian tahun 1999 dibandingkan dengan tahun 1998, dan seterusnya.

96


AIH Tidak

AIH Agregatif

AIH Rata-rata Relatif

Angka Indeks

Tertimbang

Tertimbang

Tertimbang

Berantai

Harga Relatif

AIH Laspeyers

Bila timbangannya nilai Angka

P

o/n



P P

n

 100

o

(cenderung berlebih ke atas-upward bias)

IL

 P Q   P Q n

o/n

o

n

 100

o

(cenderung berlebih ke

Q IQ  Q IV 

n

 100

 P Q  P Q

AIH

n

n

o

o

o/n

 P Q   P Q

Agregatif AIH



P P

o/n



o

o

o

o

barang

pada

waktu

tertentu

 P P  Q  P P   P Q n

n

n

o

n

 100

n

n

o

o/n

n

n

 100

Sederhana

P

o/n

o

P

Bila timbangannya nilai

bawah-downward bias)

IP

 P P  Q  P P   P Q o

P IP  P

 100

dasar

o/n

AIH Paasche

o

waktu Berantai

pada

n

Indeks Gabungan n

barang

Marshall

Edgeworth n o

 100

ME

 o/n

 P Q  Q  100  P Q  Q  n

o

n

o

o

n

Indeks

97

P ..... P P P 1

n

0

n 1


Rata-rata AIH Walsh

AIH

Relatif Sederhana

 P  100 P P  k

W

o/n



n

 P Q Q  P Q Q n

o

n

o

o

n

 100

o

o/n

AIH Drobisch

I  L

(rata-rata hitung)

I

ID 2 P  100  log AIH Irving Fisher P  LogP k o/n

Po / n

o/n

n

o

o/n

(rata-rata ukur)

IF

 o/n

IL IP o/n

o/n

IV. Pergeseran waktu atau periode waktu dasar Bila jarak antara waktu atau periode waktu dasar dengan waktu atau priode waktu tertentu sudah cukup jauh, maka hasil perhitungan angka indeksnya tidak atau kurang representatif. Oleh karena itu, periode atau waktu dasar tersebut harus disesuaikan dengan rumus sebagai berikut:

I

B



I I

L

 100

LD

98


Ket: IB : angka indeks baru setelah dilakukan pergeseran waktu atau periode dasar IL : angka indeks lama sebelum dilakukan pergeseran waktu atau periode dasar ILD: angka indeks lama yang waktu atau periode waktunya dijadikan waktu atau periode dasar baru

V.

Beberapa Penerapan Angka Indeks

5.1.Pendeflasian Adalah suatu metode untuk menghitung daya beli suatu mata uang tertentu berdasarkan nilai nominalnya serta menghitung pendapatan nyata berdasarkan pendapatan uangnya. DB =

x 100

PN =

x 100

Keterangan DB : Daya beli suatu mata uang PN : Pendapatan nyata tertentu NN : Nilai nominal suatu mata uang PU : Pendapatan uang asing tertentu IHK : Indeks Harga Konsumen

99


5.2.Perubahan Pendapatan PPUo/n =

x 100

5.3.Perubahan Pendapatan Nyata PPUo/n =

x 100

5.4.Inflasi Inflasi =

x 100

100


SOAL ANGKA INDEKS

1. Below is data of sales for PT. Sinar Trija (In million Rupiah/ton) : 2010

Product

2011

Price

Quantity

Price

Quantity

A

51

5

60

8

B

32

7

30

9

C

73

8

78

10

D

81

9

98

6

E

93

6

95

6

Find Price Index, Quantity Index, and Value Index! Jawaban : 2010

Product

2011

Po

Qo

Po.Qo

Pn

Qn

Pn.Qn

A

51

5

255

60

8

480

B

32

7

224

30

9

270

C

73

8

584

78

10

780

D

81

9

729

98

6

588

E

93

6

558

95

6

570

Total

330

35

2.350

361

39

2.688

a. IP 

P P

n

 100 

361  100  109,39 330

 100 

39  100  111,43 35

o

b. IQ 

Q Q

n

o

101


c. IV 

 P Q  P Q n

n

o

o

 100 

2.688  100  114,38 2.350

2. PT. Tambang Ganda merupakan salah satu perusahaan pengekspor timah ke beberapa negara di Asia dan Eropa. Berdasarkan daftar harga ekspor timah per 100 kg perusahaan tersebut berikut ini : Tahun

2005

2006

2007

2008

Harga (Rp)

1.987

2.178

2.234

2.315

Tentukan angka indeks harga tiap tahun dengan menggunakan tahun dasar 2006? dan berikan interpretasi dari angka indeks tersebut? Jawaban : Angka Indeks Harga

P

o/n



P P

n

 100

o



Angka Indeks Harga tahun 2005 =

= 91,23




= 100




= 102,57




= 106,29

Selama tahun 2005 – 2008 diketahui bahwa harga ekspor timah per 100 kg umumnya mengalami kenaikan, tampak dari angka indeks yang makin lama makin besar. Diketahui pula bahwa dalam 3 tahun dari tahun 2006 – 2008 harga ekspor timah per 100 kg telah naik sebesar 6,29%.

102


3. Berdasarkan data penjualanFinding Motor mengenai penjualan mobil berbagai tipe pada perusahan tersebut di bawah ini. Tentukan angka indeks agregatif sederhana tahun 2011 dan angka indeks rata-rata relatif sederhana tahun 2011 beserta interpretasinya: Tipe Mobil

Tahun 2010 Tahun 2011

Revolution

3570

3647

Super AT

1398

1508

Excalibur

2456

2431

Jawaban : -

Angka Indeks Agregatif Sederhana : Perkembangan harga penjualan mobil

Tipe Mobil

Harga

Harga

Angka Indeks Agregatif

Tahun 2010

Tahun 2011

Sederhana 2011

Revolution

3570

3647

Super AT

1398

1508

Po/n = (7586/7424)x 100

Excalibur

2456

2431

= 102,18

Jumlah

7424

7586

Angka indeks agregatif sederhana pada tahun 2011 sebesar 102,18% atau mengalami kenaikan sebesar 2,18% dibandingkan dengan harga pada tahun 2010. -

Angka Indeks Rata-rata Relatif Sederhana : Perkembangan harga penjualan mobil

Tipe Mobil

Harga

Harga

Angka Indeks Rata-rata

Tahun 2010

Tahun 2011

Relatif Sederhana 2011

Revolution

3570

3647

(3647/3570)x100 = 102,16

Super AT

1398

1508

(1508/1398)x100 = 107,87

Excalibur

2456

2431

(2431/2456)x100 = 98,98

103


Jumlah Indeks rata-rata relatif sederhana 2011

309,01 Po/n = 309,01 / 3 = 103,0033

Dengan menggunakan angka indeks rata-rata relatif sederhana, pada tahun 2011 terjadi kenaikan harga jual ketiga tipe mobil tersebut sebesar 3,0033% dibandingkan tahun 2010. 4. Below is data export : Export

Price ($/kg)

Quantity (kg)

2008

2010

2008

2010

Coffee

0,3

0,34

354

467

Tea

0,21

0,27

451

478

Pepper

0,13

0,11

568

512

Corn

0,29

0,31

752

752

Chili

0,18

0,22

535

607

Find : a. Price Indexes of Laspeyers b. Price Indexes of Paasche c. Price Indexes of Drobisch d. Price Indexes of Fisher Jawaban : Export

Price ($/kg)

Quantity (kg)

PoQo

PnQo

PoQn

PnQn

2008

2010

2008

2010

Coffee

0,3

0,34

354

467

106,2

120,36

140,1

158,78

Tea

0,21

0,27

451

478

94,71

121,77

100,38

129,06

Pepper

0,13

0,11

568

512

73,84

62,48

66,56

56,32

104


Corn

0,29

0,31

752

752

218,08

233,12

218,08

233,12

Chili

0,18

0,22

535

607

96,3

117,7

109,26

133,54

655,43

634,38

710,82

Total 589,13 a. Price Indexes of Laspeyers

IL 

 P Q  P Q n

o

o

o

 100 

655,43  100  112,25 589,13

b. Price Indexes of Paasche

I

 P

 P Q  P Q n

n

o

n

 100 

710,82  100  112,05 634,38

c. Price Indexes of Drobisch

I

D



I I L

P

2



112,25  112,05  112,15 2

d. Price Indexes of Fisher

I

F



I I L

P

 112,25  112,05  112,14

5. Berikut ini adalah tabel barang-barang makanan hasil produksi pada tahun 2009 dan 2011 di Indonesia. Jenis makanan

Harga (ribuan)

Kuantitas (kwintal)

2009

2011

2009

2011

Beras

8

10

15

18

Garam

6

8

7

9

Gula

5

6

8

11

Lada

4

6

4

5

Tentukan angka indeks relatif rata-rata tertimbang dengan timbangannya nilai barang pada waktu dasar dan juga menggunakan timbangan waktu tertentu ? (tahun dasar 2009) 105


Jawaban : Harga (ribuan)

Jenis makanan

Kuantitas (kwintal)

PoQo

Pn/Po

Pn/Po(PoQo)

PnQn

Pn/Po(PnQn)

Po

Pn

Qo

Qn

Beras

8

10

15

18

120

1,25

150

180

225

Garam

6

8

7

9

42

1,333

55,9986

72

95,9976

3 Gula

5

6

8

11

40

1,2

48

66

79,2

Lada

4

6

4

5

16

1,5

24

30

45

Total

218

277,9986

348

445,1976



Indeks relatif rata-rata tertimbang periode waktu dasar

 P P  Q  277,9986 P  100   100  127,52 IRH  218  P Q n

o

o

o

W

o



o

Indeks relatif rata-rata tertimbang periode waktu tertentu

 P P  Q  445,1976 P  100   100  127,93 IRH  348  P Q n

n

n

o

W

n

n

6. Berapakah angka indeks berantai dengan mengambil mulai dari tahun 2005 berdasarkan daftar harga Laptop Acer

selama tahun 2005-2011 beserta

interpretasinya? Tahun Harga (Juta rupiah)

2005

2006

3,4

3,8

2007 2008 4,5

5,5

2009

2010

2011

5,4

5,6

6,2

Jawaban :

106


Angka Indeks berantai Tahun

Harga

Indeks berantai

Keterangan

2005

3,4

2006

3,8

(3,8/3,4) x 100 = 111,77

Naik 11,77 % dari tahun sebelumnya

2007

4,5

(4,5/3,8) x 100 = 118,42


2008

5,5

(5,5/4,5) x 100 = 122,22


2009

5,3

(5,3/5,5) x 100 = 96,36

Turun 3,64 % dari tahun sebelumnya

2010

5,6

(5,6/5,3) x 100 = 105,66


2011

6,2

(6,2/5,6) x 100 = 110,71


7. Below is Price Index of Tin export for 100 kgs with base year 2003 : Year

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

Index

104

109

121

119

128

131

125

An economic wants to shift the base year to 2005. In other words, he wants to compute these index numbers with a base period of 2005 rather than 2003. Can you help him out? Jawaban :

I

B



I I

L

 100

LD

Tahun

Index

New Index

2005

104

100

2006

109

(109/104) x 100 = 104,81

2007

121

(121/104) x 100 = 116,35

2008

119

(119/104) x 100 = 114,42

2009

128

(128/104) x 100 = 123,08

107


2010

131

(131/104) x 100 = 125,96

2011

125

(125/104) x 100 = 120,19

8. Berikut merupakan tabel pendapatan karyawan PT. Grand Fury dari tahun 2004 sampai tahun 2011 beserta IHK (Indeks Harga Konsumen) tahun-tahun tersebut : Tahun

Pendapatan (Juta Rupiah)

IHK

2004

18,2

105

2005

21,5

108

2006

24,89

125

2007

29,65

119

2008

31

123

2009

34,5

134

2010

37

125

2011

41,5

132

a. Hitung daya beli mata uang Rp1.200.000,00 pada tahun 2004-2011 berdasarkan nominalnya pada tahun tersebut ? b. Berapakah pendapatan sebenarnya pada tahun 2010 ? c. Hitung laju inflasi dari tahun 2004 – 2011, analisis laju inflasinya ? Jawaban : a. Nilai nominal Rp1.200.000

DB 

N

N

IHK

 100

Tahun

DB

2004

(1.200.000/105) x 100

Rp1.142.857,143

2005

(1.200.000/108) x 100

Rp1.111.111,111

2006

(1.200.000/125) x 100

Rp960.000,00

108


2007

(1.200.000/119) x 100

Rp1.008.403,361

2008

(1.200.000/123) x 100

Rp975.609,7561

2009

(1.200.000/134) x 100

Rp895.522,3881

2010

(1.200.000/125) x 100

Rp960.000,00

2011

(1.200.000/132) x 100

Rp909.090,9091

b. Pendapatan sebenarnya tahun 2010

P

N



P

U

IHK

 100 

37.000.000  100  Rp 29.600.000,00 125

c. Laju inflasi Tahun

IHK

Inflasi

2004

105

100

2005

108

(108/105) x 100

102,86

2006

125

(125/108) x 100

115,74

2007

119

(119/125) x 100

95,2

2008

123

(123/119) x 100

103,36

2009

134

(134/123) x 100

108,94

2010

125

(125/134) x 100

93,28

2011

132

(132/125) x 100

105,6

Berdasarkan hasil perhitungan, dapat disimpulkan dari tahun 2004 sampai 2011 pada umumnya terjadi fluktuasi laju inflasi yang memiliki kecenderungan naik. Ini terlihat dari nilai inflasi tahun 2011 meningkat 5,6% dibandingkan tahun 2004.

109


ANALISIS DERET BERKALA

Deret berkala adalah sekumpulan data yang dicatat dalam satu periode waktu. (Suharyadi, Statistika : 174). Melakukan analisis deret berkala berguna untuk mengetahui kondisi masa mendatang atau meramalkan kondisi mendatang. Ada beberapa sub bab dalam analisis deret berkala (Time Series) menurut Suharyadi, antara lain: 1. Trend 2. Indeks Musim 3. Variasi Siklus 4. Variasi yang tidak tetap 1. Trend Trend adalah suatu gerakan kecenderungan naik atau turun dalam jangka panjang yang diperoleh dari rata-rata perubahan dari waktu ke waktu dan nilainya cukup rata (atau mulus) (Suharyadi, Statistika:176). Trend biasanya digunakan dalam melakukan peramalan di masa yang akan datang. *. Trend Positif Tren positif mempunyai kecenderungan nilai ramalan (Y‟) meningkatnya waktu (X). Persamaannya Ŷ = a + bX Dimana a= konstanta dan b adalah tingkat kecenderungan. Apabila X naik 1 satuan, maka Ŷ akan naik sebesar b satuan. *. Trend Negatif

110


Tren negatif mempunyai kecenderungan nilai ramalan (Y‟) menurun dengan meningkatnya waktu (X). Ŷ = a – bX Dimana a= konstanta dan b adalah tingkat kecenderungan. Apabila X naik 1 satuan, maka Ŷ akan turun. sebesar b satuan. Metode-metode dalam menghitung dan menggambarkan garis trend, antara lain: a. Metode Setengah Rata-rata (Semi Average Method) Metode semi rata-rata membuat trend dengan cara mencari rata-rata kelompok data. Langkah-langkahnya : 1. Mengelompokan data menjadi dua bagian. Jika data ganjil, maka nilai yang ditengah dapat dihilangkan atau dihitung dua kali yaitu 1 bagian menjadi kelompok pertama dan 1 bagian menjadi kelompok kedua. 2. Menghitung rata-rata hitung kelompokK1 dan kelompok K2. K1 diletakkan pada tahun pertengahan pada kelompok 1 dan K2 diletakan pada tahun pertengahan pada kelompok 2. Nilai K1 dan K2 merupakan nilai konstanta (a) dan letak tahun merupakan tahun dasar. Nilai K1 dan K2 menjadi intercept pada persamaan trendnya. 3. Menghitung selisih K1 dan K2. Apabila K2-K 1 > 0 berarti tren positif dan bila K2 –K1<0, maka trendnya negatif> 4. Nilai perubahan tren (b) diperoleh dengan cara: b= 5. Untuk mengetahui trendnya, tinggal memasukan nilai X pada persamaan Y‟ = a +bX yang sudah ada

111


b. Metode Rata-rata Bergerak (Moving Average Method) Dalam metode ini, setelah rata-rata dihitung, diikuti oleh gerakan satu periode ke belakang. Metode ini disebut juga rata-rata bergerak terpusat karena ratarata bergerak diletakkan pada pusat dari periode yang digunakan. Langkah-langkah pengerjaan: 1. Menghitung rata-rata dari sejumlah data yang paling awal. 2. Melupakan nilai data yang pertama. 3. Mengulang tahap 1 dan tahap 2 sampai data yang terakhir. Metode ini terdiri dari dua pola, yaitu: a. Pola gerak ganjil (taraf N ganjil) b. Pola gerak genap (taraf N genap) Dengan menggunakan metode ini, jumlah moving averagenya adalah jumlah data asli dikurangi satu (N-1), semakin banyak tahun yang bersangkutan yang diambil, semakin kurang fluktuasi rata-ratanya dan semakin halus (smooth) grafiknya. c. Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) Garis Trend dalam persamaan matematik: Yt = a + bX dimana untuk menemukan nilai a dan b dapat dicari dengan cara: 

Cara panjang (ΣX ≠ 0) Harus ada koding,

X1 = 0 (koding tahun pertama), X2 = 1 dan

seterusnya. Rumus a=

dan

112




Cara Pendek ( ΣX = 0) Koding untuk N ganjil

: ...,-2,-1,0,1,2,...

Koding untuk N genap

: ...,-2,5;-1,5;-0,5;0,5;1,5;2,5...

Rumus: a=

b=

Mengubah trend tahunan menjadi triwulan dan bulanan. Dirumuskan: Trend triwulanan: Y= Trend Bulanan Y=

Contoh : Berikut merupakan data peminat Fakultas FE UNPAD periode 2001-2011 Tahun

Jumlah Peminat (orang)

2001

3060

2002

3420

2003

3650

2004

4120

2005

4100

2006

4930

113


2007

5330

2008

6000

2009

6500

2010

6790

2011

7020

Tentukan persamaan garis trendnya dengan menggunakan Least Square Method (Cara pendek dan panjang). a. Cara Pendek Tahun

Jumlah Peminat (orang) yi

ui

.yi

ui²

2001

3060

-5

-15300

25

2002

3420

-4

-13680

16

2003

3650

-3

-10950

9

2004

4120

-2

-8240

4

2005

4100

-1

-4100

1

2006

4930

0

0

0

2007

5330

1

5330

1

2008

6000

2

12000

4

2009

6500

3

19500

9

2010

6790

4

27160

16

2011

7020

5

35100

25

Σ

54920

0

46820

110

a= b=

= =

= 425,636363

114


maka persamaan trendnya: Yt = 4992,727273 + 425,636363X Origin

: 1 Juli 2006

Unit X : 1 tahun Unit Y

: Jumlah peminat dalam satuan orang.

Cara Perhitungan Menggunakan Software SPSS Langkah-langkah adalah sebagai berikut : 1. Buka Software SPSS 2. Pilih variabel view, lalu masukan peminat (yi) dan koding (ui) 3. Pilih data view dan masukan data untuk masing-masing variabel. 4. Masuk ke menu bar, pilih analyze, kemudian pilih sub menu dan pilih regression linear. 5. Masukan yi sebagai variabel dependen dan jumlah mesin yang terjual sebagai variabel dependen 6. Lalu masuk ke menu statistik 7. Check list estimates, dan confidence intervals.. 8. Klik Ok Hasilnya Variables Entered/Removedb Variables

Variables

Model

Entered

Removed

Method

1

xa

.

Enter

a. All requested variables entered. b. Dependent Variable: yi

115


Coefficientsa Standardized Unstandardized Coefficients Coefficients Model 1

B

Std. Error

(Constant)

4992.727

62.468

X

425.636

19.754

Beta

.990

95% Confidence Interval for B t

Sig.

Lower Bound

Upper Bound

79.924

.000

4851.415

5134.040

21.547

.000

380.949

470.323

a. Dependent Variable: yi

Maka Persamaan trendya: Yt = 4992,727 + 425,636X Origin

: 1 Juli 2006.

Unit X

: 1 Tahun.

Unit Y

: Jumlah Peminat dalam satuan orang.

Cara Panjang Tahun

Jumlah (orang) yi

Peminat

x

x.y

x²

2001

3060

0

0

0

2002

3420

1

3420

1

2003

3650

2

7300

4

2004

4120

3

12360

9

2005

4100

4

16400

16

2006

4930

5

24650

25

2007

5330

6

31980

36

2008

6000

7

42000

49

2009

6500

8

52000

64

2010

6790

9

61110

81

2011

7020

10

70200

100

116


Σ

54920

55

a=

321420

385

=

b=

= 2864,545455

=

=425,63636363

Maka persamaan trendya: Yt = 2864,545455 + 425,63636363X Origin : 1 Juli 2001 Unit X : 1 tahun Unit Y : Jumlah peminat dalam satuan orang Hasil Komputer

Coefficientsa

Model 1

Unstandardized

Standardized

95% Confidence Interval for

Coefficients

Coefficients

B

B

Std. Error

(Constant) 2864.545

116.867

X

19.754

425.636

Beta

.990

T

Sig.

Lower Bound Upper Bound

24.511

.000

2600.174

3128.917

21.547

.000

380.949

470.323

a. Dependent Variable: y1 Variables Entered/Removed

b

Variables

Variables

Model

Entered

Removed

Method

1

xa

.

Enter

a. All requested variables entered. b. Dependent Variable: y1

117


Maka Persamaan trendnya: Y = 2864,545 + 425,63636X Origin : 1 Juli 2001 Unit X : 1 Tahun Unit Y : Jumlah peminat dalam satuan orang 2. Indeks Musim Apabila tren berhubungan dengan jangka panjang, maka indeks musim berhubungan dengan perubahan atau fluktuasi dalam musim-musim tertentu atau tahunan. Dalam perhitungan statistik, komponen musim dinyatakan dalam suatu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk presentase yang disebut Indeks Musim. Manfaat indeks musim antara lain: a. Untuk deasonalisasi Y desasonalisasi = b. Untuk meramalkan dengan memperhitungkan pengaruh musim. Y ramalan =

Macam-macam metode untuk menghitung Indeks musim: 1. Metode Rata-rata Sederhana (Percentage Average Method) Metode rata-rata sederhana mengasumsikan bahwa pengaruh tren dan siklus yang tidak besar dan dianggap tidak ada. Indeks Musim hanya berdasarkan pada data aktual dan nilai rata-ratanya saja. Indeks Musim dirumuskan sebagai berikut : Indeks Musim = 2. Metode rata-rata dengan trend Metode rata-rata dengan trend adalah metode rata-rata yang disesuaikan dengan trend. Indeks Musim pada metode rata-rata dengan tren merupakan

118


perbandingan antara nilai data asli dengan nilai tren. Oleh sebab itu, nilai trend harus diketahui lebih dahulu. Indeks musim dirumuskan: Indeks Musim = 3. Metode ratio rata-rata bergerak (Ratio to moving average method) Metode rasio rata-rata bergerak (ratio to moving average method) adalah metode yang dilakukan dengan cara membuat rata-rata tidak ada ketentuan berapa periode (n). Nilai n bisa 2,3,4 atau 12 tergantung pada kondisi pengaruh fluktuasi musiman. Dirumuskan: Indeks Musim = Nilai rasio X Faktor koreksi, Dimana: Nilai ratio

: Data asli/data rata-rata bergerak

Faktor koreksi : (100xn)/Jumlah rata-rata ratio selama n Contoh Soal: Hitunglah indeks musim dengan metode ratio rata-rata bergerak untuk tiga triwulan dari data produksi padi berikut. Tahun

Produksi

2003

Triwulan I

II

III

44

22

14

8

2004

48

25

15

8

2005

48

26

14

8

2006

47

24

14

9

Penyelesaian: 1. Membuat rata-rata bergerak dan rasio data asli dengan nilai rata-rata bergerak.

119


Ta

Tahun 2003

2004

2005

2006

Triwulan

Data

Tren bergerak 3

Asli

triwulan

Rata-rata

Indeks Musim

I

22

II

14

22+14+8 = 44

14,67

95,43285617

III

8

14+8+25 = 47

15,67

51,05296745

I

25

8+25+15 = 48

16,00

156,25

II

15

25+15+8 = 48

16,00

93,75

III

8

15+8+26 = 49

16,30

49,0797546

I

26

8+26+14 = 48

16,00

162,5

II

14

26+14+8 =48

16,00

87,5

III

8

14+8+24 = 46

15,33

52,18525766

I

24

8+24+14 = 46

15,33

156,555773

II

14

24 +14+9 = 47

15,67

89,34269304

III

9

a. membuat rata-rata bergerak dengan 3 triwulan, maka dibuat penjumlahan setiap 3 triwulan. Contoh penjumlahan triwulan pertama =22+14+8 =44. Nilai ini bisa diletakkan pada triwulan I , II ,III, tidak ada aturan baku. Untuk contoh ini diletakkan pada triwulan 2 karena posisinya ada di tengah. Untuk jumlah total triwulan selanjutnya bergerak yaitu meninggalkan triwulan I tahun 2003 dan masuk triwulan I tahun 2004 sehingga menjadi 14+8+25 = 47. Hal ini diteruskan sampai selesai. b. membuat rata-rata bergerak. Jumlah penjumlahan selama 3 triwulan perlu dibuat rata-ratanya dengan cara membagi jumlah pada kolom 4 dengan 3. Contoh 44/3 = 14,67

120


c. Membuat indeks musim dengan membuat rasio antara data asli dengan data ratarata. Contoh : (14/14.67)x100 = 95,43285617 2. Setelah mendapatkan indeks musim setiap triwulan, perlu mengetahui rata-raata setiap kuartalan dari setiap tahunnya. Maka dari indeks musim triwulan dikelompokan ke dalam triwulan yang sama. Tahun

Triwulan I

2003

II

III

95,43285617

51,05296745

2004

156,25

93,75

49,0797546

2005

162,5

87,5

52,18525766

2006

156,555773

89,34269304

Rata-rata

158,4352577

91,5063873

50,7726599

Maka indeks musim kuartalan selanjutnya: Triwulan I = 158,4352577 Triwulan II = 91,5063873 Triwulan III = 50,7726599

121


SOAL ANALISIS DERET BERKALA 1. Berikut adalah daftar jumlah peminat Teaching Assistant Statistic FEB UNPAD tahun 2005-2011 Tahun

Jumlah

2005

43

2006

38

2007

40

2008

52

2009

46

2010

33

a. Tentukan persamaan trendnya dengan metode Least Square Method Cara Panjang! b. Berdasarkan persamaan trend yang didapatkan, berapa estimasi jumlah peminat Teaching Assistant Statistic 2012? Jawab: Tahun

Jumlah (Y)

x

xy

x²

2005

43

0

0

0

2006

38

1

38

1

2007

40

2

80

4

2008

52

3

156

9

2009

46

4

184

16

2010

33

5

165

25

Jumlah

252

15

623

55

A. a =

=

= 43

122


b=

=

= -0,4

Maka persamaan trendya: Yt = 43 – 0,4X Origin : 1 Juli 2005 Unit X : 1 tahun Unit Y : Jumlah peminat dalam satuan orang B. Y = 43-0,4X Y = 43 – 0,4(6) Y = 40,6 Y = 41 orang Origin : 1 Juli 2012 Unit X

: 1 Tahun

Unit Y

: Jumlah peminat dalam satuan orang.

Jadi, berdasarkan persamaan tren yang ada, maka jumlah peminat STA yang akan diperkirakan terjadi tahun 2012 adalah 41 orang.

2. This Following table is showing the total applicants of Ajou International School held by UNPAD for the last six years. Seasons

Year

Fall

Summer

Winter

Spring

2006

120

60

68

46

2007

89

68

45

23

2008

98

56

60

35

2009

100

70

72

26

2010

79

56

56

38

2011

95

68

80

42

123


Determine a typical seasonal index using Percentage Average Method for eah of the four quarters! Jawab Tahap 1. Year

Seasons

Jumlah

Ratarata

Fall

Summer

Winter

Spring

2006

120

60

68

46

294

73,5

2007

89

68

45

23

225

56,25

2008

98

56

60

35

249

62,25

2009

100

70

72

26

268

67

2010

79

56

56

38

229

57,25

2011

95

68

80

42

285

71,25

Tahap 2 Year

Seasons Fall

Summer

Winter

Spring

2006

163,2653061

81,63265306

92,5170068

62,58503401

2007

158,2222222

120,8888889

80

40,88888889

2008

157,4297189

89,95983936

96,38554217

56,2248996

2009

149,2537313

104,4776119

107,4626866

38,80597015

2010

137,9912664

97,81659389

97,81659389

66,37554585

2011

133,3333333

95,43859649

112,2807018

58,94736842

Total

899,4955783

590,2141836

586,4625312

323,8277069

Rata-rata

149,9159297

98,3690306

97,7437552

53,97128449

124


So the seasonal index for each quarter is 149,9159297, 98,3690306, 97,7437552, 53,97128449. 3. Berikut ini adalah perkembangan produk domestik bruto Indonesia tahun 20022011. Tahun

PDB (Rp. Milliar)

2002

413

2003

399

2004

358

2005

379

2006

398

2007

411

2008

426

2009

401

2010

424

a. Tentukan persamaan trendnya, gunakan Least Square Method cara pendek! b. Tentukan persamaan trend kuartal dan trend bulanannya! c. Jika tahun dasarnya digeser menjadi tahun 2008, tentukan persamaan trend yang barunya. Jawab Tahun

PDB (Rp. Milliar)/ Y

X

XY

X²

2002

413

-4

-1652

16

2003

399

-3

-1197

9

2004

358

-2

-716

4

2005

379

-1

-379

1

2006

398

0

0

0

125


2007

411

1

411

1

2008

426

2

852

4

2009

401

3

1203

9

2010

424

4

1696

16

Jumlah

3609

0

218

60

A. a = b=

= =

401 = 3,633333333

maka persamaan trendnya: Yt = 401+ 3,633333333 X Origin : 1 Juli 2006 Unit X : 1 tahun Unit Y : Jumlah PDB dalam Milliar rupiah. B. Trend Triwulanan Y= Maka persamaan trendnya adalah 99.22812509 + 0.2270833313X Origin : 15 Februari 2006 Unit X : 1 tahun Unit Y : Jumlah PDB dalam Milliar rupiah Trend Bulanan Y= Maka persamaan trendnya adalah 33,27789352+ 0,0252314917X Origin : 15 Januari 2006 Unit X : 1 tahun Unit Y : Jumlah PDB dalam Milliar rupiah C. Persamaan trendya jika tahun dasarnya menjadi 2008 126


Yt = a + b(2) + bx Yt = 401+ 3,633333333(2) + 3,633333333X Yt = 409,266666+ 3,633333333X Origin : 1 Juli 2008 Unit X : 1 Tahun Unit Y : Jumlah PDB dalam Milliar rupiah

4. Berikut ini peredaran jumlah mobil di Indonesia pada tahun 2005-2011 per caturwulan. Nilai dalam Jutaan Caturwulan

Tahun

I

II

III

2005

45

26

50

2006

56

34

45

2007

59

28

43

2008

69

36

58

2009

64

40

61

2010

63

44

67

2011

72

42

73

a. Tentukanlah indeks musim dengan menggunakan Ratio to Trend Method b. Hitunglah peramalan peredaran jumlah mobil untuk caturwulan I sampai dengan III pada tahun 2012. Jawaban: Tahun Kuartal 2005

Y

X

XY

X²

Yt

Y/Yt * 100

I

45

0

0

0

39,476190480

113,9927624

II

26

1

26

1

40,647619051

63,96438612

III

50

2

100

4

41,819047622

119,562742

127


I

56

3

168

9

42,990476193

130,2614089

II

34

4

136

16

44,161904764

76,98943282

III

45

5

225

25

45,333333335

99,26470588

I

59

6

354

36

46,504761906

126,8687282

II

28

7

196

49

47,676190477

58,72952457

III

43

8

344

64

48,847619048

88,02885553

I

69

9

621

81

50,019047619

137,9474486

II

36

10

360

100

51,190476190

70,3255814

III

58

11

638

121

52,361904761

110,7675518

I

64

12

768

144

53,533333332

119,5516812

II

40

13

520

169

54,704761903

73,11977716

III

61

14

854

196

55,876190474

109,1699335

I

63

15

945

225

57,047619045

110,4340568

II

44

16

704

256

58,219047616

75,57663995

III

67

17

1139

289

59,390476187

112,8127005

I

72

18

1296

324

60,561904758

118,8866174

II

42

19

798

361

61,733333329

68,03455724

III

73

20

1460

400

62,904761900

116,0484482

1075

210

11652

2870

1074,999999990

2100,337540100

2006

2007

2008

2009

2010

2011 Jumlah

a=

=

b=

= 39.47619048 =

= 1.171428571

Maka persamaan trendya: Yt = 39.47619048 +1.171428571 X Origin : 1 Juli 2005 Unit X : 1 tahun 128


Unit Y : Jumlah mobil yang beredar dalam jutaan unit Tahap 2 Tahun

Kuartal I

Kuartal II

Kuartal III

2005

113,9927624

63,96438612

119,562742

2006

130,2614089

76,98943282

99,26470588

2007

126,8687282

58,72952457

88,02885553

2008

137,9474486

70,3255814

110,7675518

2009

119,5516812

73,11977716

109,1699335

2010

110,4340568

75,57663995

112,8127005

2011

118,8866174

68,03455724

116,0484482

Jumlah

857,9427035

486,7398993

755,6549374

122,5632434

69,53427132

107,9507053

Ratarata

Maka, indeks musim Jumlah Mobil yang beredar pada kuartal (I, II, III) adalah 122,5632434, 69,53427132, 107,9507053 B. Forecasting jumlah mobil yang beredar untuk tahun 2012 pada kuartal 1 sampai 3 Yt = 39.47619048 +1.171428571 X Origin : 1 April 2005 Unit X : 1 kuartal Unit Y : Jumlah peredaran mobil Yt = 39.47619048 +1.171428571 (21) = 64,07619047 Yt = 39.47619048 +1.171428571 (22) = 65,24761904 Yt = 39.47619048 +1.171428571 (23) = 66,41904761

129


Forecasting dengan memperhitungkan pengaruh musim Y Tahun

Kuartal

Yt

Im

forecasting

I

64,07619047

122,5632434

78,53385729

II

65,24761904

69,53427132

45,36945645

III

66,41904761

107,9507053

71,69983035

2012

Jumlah total

195,6031441 = 196

Jadi forecasting jumlah mobil yang beredar pada kuartal 1 sampai 3 pada tahun 2012 adalah 78,53385729, 45,36945645, 71,69983035 5. This following table shows consumption of apple in twelve months at Bandung District in 2009. Mont

200

200

200

200

200

200

200

200

200

201

201

h

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

Apple

123

145

138

148

159

168

179

188

194

209

220

(KG) a. Determine the trend equation use Semi Average Method, which median is ignored and origin 2003! b. Determine trend equation, if the median is counted twice! Jawab: Kelompok

K1

Month

Apple

Rata-

(Kg)

rata

Nilai X

2001

123

-2

2002

145

-1

2003

138

142,6

0

130


2004

148

1

2005

159

2

2007

179

3

2008

188

4

2009

194

2010

209

6

2011

220

7

2006

K2

198

5

a = 142,6 b= maka persamaan regresinya adalah : Y = 142,6 + 9,23333333X Origin: I juli 2003 Unit X : 1 Tahun Unit Y : Jumlah apple b. Jika tahun 2006 dihitung dua kali Kelompok

K1

Month

Apple

Rata-

(Kg)

rata

Nilai X

2001

123

-5

2002

145

-3

2003

138

2004

148

2005

159

3

2006

168

5

146,8333

-1 1

131


K2

2006

168

7

2007

179

9

2008

188

2009

194

2010

209

15

2011

220

17

193

11 13

a= 146,8333 b Maka persamaan trendnya adalah : Y = 146,83333 + 3,847222X Origin : I januari 2004 Unit X = ½ tahun Unit Y = Jumlah apple 6. Berikut adalah data mengenai produksi sepatu pada PT. STA, cibaduyut tahun 2003-2008. Nilai dalam ribuan pasang sepatu Tahun

Triwulan I

II

III

IV

2003

165

335

607

192

2004

163

342

577

181

2005

167

385

568

205

2006

167

367

593

206

2007

175

372

607

223

132


2008

178

378

615

212

Tentukan Indeks Musim serta variasi musimnya dengan menggunakan Percentage Average Method. Jawab: Tahap 1 Tahun

Triwulan I

II

Rata-

III

IV

Jumlah

rata

2003

165

335

607

192

1299

324,75

2004

163

342

577

181

1263

315,75

2005

167

385

568

205

1325

331,25

2006

167

367

593

206

1333

333,25

2007

175

372

607

223

1377

344,25

2008

178

378

615

212

1383

345,75

Tahap 2 Tahun

Triwulan I

II

III

IV

2003

50,80831409

103,1562741

186,91301

59,12240185

2004

51,62311956

108,3135392

182,739509

57,32383215

2005

50,41509434

116,2264151

171,471698

61,88679245

2006

50,11252813

110,1275319

177,944486

61,81545386

2007

50,83514887

108,0610022

176,325345

64,77850399

2008

51,48228489

109,3275488

177,874187

61,31597975

Jumlah

305,2764899

655,2123112

1073,268235

366,2429641

Rata-rata

50,87941498

109,2020519

178,8780391

61,04049401

133


Maka seasonal indeks buat tiap triwulannya adalah 50,87941498, 109,2020519, 178,8780391, 61,04049401.

7. Sales of clothes monthly since 2008 until 2011 for STA Corporation are shown belom (in $000) Month

Triwulan 1

Triwulan 2

Triwulan 3

Triwulan 4

2000

246,3

346,5

357,7

470,5

2001

267.8

321,8

348,3

465,4

2002

300.5

345,6

349,4

468,7

2003

310,4

333,3

358,6

477,1

2004

320.0

348,8

363,5

489,6

2005

314,2

349,5

365,7

485.2

Determine the typical seasonal pattern for sales using the ratio to moving average Method. Tahap 1 Four Tahun

Kuartal

Y

Total 4

Quarter

kuartal

Moving Average

2000

I

246,3

II

346,5 1421

III IV

470,5

Moving Average

Y/Yt *100

(Yt)

355,25

357,7 1442,5

Centered

357,9375

99,93364763

317,3125

148,2765413

360,625

134


1096 I

267,8 1408,4

II 2001

IV I II 2002

III IV I II

2003

III IV

2004

I

94,51984548

367,2875

95,12983698

366,9875

127,7155216

366,6

84,66993999

368,8

90,37418655

371,05

96,64465705

374,1875

127,502923

376,7375

84,93977902

376,125

320 1509,4

365,6375

372,25

477,1 1504,5

82,30903551

369,85

358,6 1489

365,0875

367,75

333,3 1479,4

128,5724152

365,45

310,4 1471

361,975

368,525

468,7 1461,8

98,13686472

366,05

349,4 1474,1

354,9125

365,225

345,6 1464,2

91,56026603

364,95

300,5 1460,9

351,4625

359

465,4 1459,8

85,54544003

350,825

348,3 1436

313,05 352,1

321,8 1403,3

III

274

377,35

135


II

348,8 1521,9

III

1516,1 1516,8 314,2

II

1029,4 365,7

IV

485.1

379,1125

129,1437238

379,475

82,79860333

318,55

109,7159002

379,75

349,5

III

95,72086899

379,2

1519 2005

379,75 379,025

489,6

I

92,05291459

380,475

363,5

IV

378,9125

257,35

Tahap 2 Tahun

Triwulan I

II

2000

III

IV

99,93364763

148,2765413

2001

85,54544003

91,56026603

98,13686472

128,5724152

100

2002

82,30903551

94,51984548

95,12983698

127,7155216

4

2003

84,66993999

90,37418655

96,64465705

127,502923

2004

84,93977902

92,05291459

95,72086899

129,1437238

2005

82,79860333

109,7159002

Jumlah

420,2627979

478,2231129

485,5658754

661,2111249

Rata-rata

84,05255958

95,64462257

97,11317507

132,242225

409,0525822

IM

82,19242536

93,52794896

94,9640015

129,3156242

0,977869392

136


Faktor koreksi = (100Xn)/ jumlah rata-rata rasio selama n =

So, the typical seasonal pattern for sales using the ratio to moving average Method is 82,19242536, 93,52794896, 94,9640015, 129,3156242 8. Berikut adalah data mengeni jumlah permintaan terhadap shampo “Wangi Setiap hari” mulai dari tahun 2000-2011. Dalam Ribuan Unit Tahun

Jumlah

2000

345

2001

467

2002

399

2003

420

2004

457

2005

469

2006

478

2007

499

2008

483

2009

494

2010

502

2011

506 a. Dengan Menggunakan Moving Average Method, tentukan jumlah bergerk tertimbang tahun 2000-2011 (per tiga tahun). b. Tentukan juga rata-rata bergerak tiga tahun.

137


Tahun

Jumlah

TMA

MA

2000

345

2001

467

1211 403,6666667

2002

399

1286 428,6666667

2003

420

1276 425,3333333

2004

457

1346 448,6666667

2005

469

1404

468

2006

478

1446

482

2007

499

1460 486,6666667

2008

483

1476

492

2009

494

1479

493

2010

502

1502 500,6666667

2011

506

9. This Following table shows the production of „ X Sandal‟ in Bandung for current years. In thousands pairs Year

Pairs

2003

1230

2004

1650

2005

1285

2006

1380

2007

1789

2008

1890

2009

1956

a. Determine the trend equation with Long Least Square Method! b. How many pairs the „X Sandals‟ in 2012 !

138


Year

Pairs

X

X*Y

X²

2003

1230

0

0

0

2004

1650

1

1650

1

2005

1285

2

2570

4

2006

1380

3

4140

9

2007

1789

4

7156

16

2008

1890

5

9450

25

2009

1956

6

11736

36

21

36702

91

Jumlah

11180

=

a=

= 1258.357143 =

b=

= 112,9285714

So the regression equation is: Yt =1258.357143 +112,9285714X Origin : 1 July 2005 Unit X : 1 Year Unit Y : Pairs of shoes

10. Berikut ini adalah jumlah permintaan terhadap mobil Y beberapa tahun terakhir. Dalam ribuan unit Tahun

Jumlah

1999

356

2000

366

2001

373

2002

378

139


2003

389

2004

407

2005

408

2006

423

2007

425

2008

444

2009

451

a. Dengan Metode setengah rata-rata, berapakah jumlah permintaan di awal tahun 2005 jika tahun dasar 2001 dan nilai tengah diabaikan? b. Dengan Metode setengah rata-rata Berapakah Jumlah permintaan di pertengahan 1998, jika diketahui tahun dasar 2001? c. Dengan Metode setengah rata-rata Berapakah jumlah permintaan di pertengahan 2012, jika tahun dasar 2001? Tahun

Jumlah

TSA

1999

356

-2

2000

366

-1

2001

373

2002

378

1

2003

389

2

2005

408

3

2006

423

4

2007

425

2008

444

6

2009

451

7

1862

2151

SA

465,5

537,75

X

0

5

140


a= 465,5

b=

Maka persamaan trendya adalah Y = 465,5 + 12,04166667 A. Maka jumlah permintaan di tahun 2005 jika tahun dasar 2001 adalah Y = 465,5 + 12,04166667X Y = 465,5 + 12,04166667(3) Y = 501,625 = 502625 unit Maka, jumlah permintaan terhadap mobil Y pada pertengahan 2005 adalah 502625 unit. B. Jumlah permintaan di pertengahan 1998 jika tahun dasar 2001 adalah Y = 465,5 + 12,04166667X Y = 465,5 + 12,04166667(-3) Y = 429,375 = 429375 unit Maka, jumlah permintaan terhadap mobil Y pada pertengahan 1998 adalah 429375unit. C. Jumlah permintaan di pertengahan 2012 jika tahun dasar 2001 adalah Y = 465,5 + 12,04166667X Y = 465,5 + 12,04166667(10) Y = 585,917 = 585917 unit Maka, jumlah permintaan terhadap mobil Y pada pertengahan 2012 adalah 585917unit.

141


PROBABILITAS (PELUANG)

Ketidakpastian adalah sesuatu yang tidak dapat terpisahkan dalam kehidupan sehari-hari. Ketidakpastian juga dapat disebut probabilita atau peluang. Secara umum, peluang adalah sebuah angka yang menggambarkan kesempatan suatu peristiwa yang terjadi. Peluang terjadi pada suatu peristiwa akan bernilai antara 0 sampai dengan 1. Probabiltas biasanya dinyatakan dalam bentuk decimal atau pecahan. Terdapat istilah dimana mempelajari peluang, diantaranya adalah (Lukas Setia Atmadja Ph.D ; statistika untuk Bisnis dan Ekonomi) : 1. Percobaan (experiment) adalah proses pembuatan suatu observasi atau pengambilan pengukuran, misalnya percobaan pelemparan mata dadu. 2. Kejadian (event) adalah suatu hasil dari percobaan, misalnya munculnya mata dadu 1 atau 2 pada percobaan pelemparan mata dadu. Pendekatan-Pendekatan dalam Perumusan Peluang Terdapat dua pendekatan dalam perumusan peluang yaitu objective probability dan subjective probability. 1. Objective probability (Pendekatan Objektif) a. Pendekatan Klasik Pendekatan ini mengasumsikan bahwa semua kejadian dalam suatu percobaan akan mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul. Dengan demikian :

142


Dimana: P (A) = Peluang kejadian A x

=Banyaknya kejadian A

n

= Banyaknya semua kejadian yang mungkin terjadi

Contoh : sebuah dadu dilemparkan sebanyak 1 kali. Berapa peluang terjadinya mata dadu bilngan ganjil? Jawab : n = 6 (banyaknya angka yang mungkin mucul dalam pelemparan dadu

kali)

x = 3 (banyaknya bilangan ganjil pada mata dadu ; 1, 3, 5)

Jadi peluang terjadinya mata dadu bilngan ganjil dari sebuah daduyang dilemparkan satu kali adalah ½. b. Pendekatan Frekuensi Relatif Dalam pendekatan ini, peluang ditentukan dengan percobaan berulang kali dan dicatat besarnya frekuensi relatif masing-masing kejadian.

Dimana

:

P(A) = Peluang kejadian A f(A) = Frekuensi munculnya kejadian A N

= Frekuensi secara keseluruhan

143


Contoh : Terdapat 1000 pelajar SMA yang mengikuti tes masuk sebuah universitas, yang lulus hanya 250 orang. Maka peluang pelajar SMA yang lulus tes masuk universitas tersebut adalah :

Maka peluang pelajar SMA yang mengikuti tes masuk universitas tersebut adalah ¼ atau 0,25. 2. Subjective Probability (Pendekatan Subjektif) Dalam pendekatan ini, peluang ditentukanoleh seorang individu berdasarkan informasi yang tersedia. Contoh : Peluang terjadinya banjir di Jakarta tahun ini adalah sebesar 0,7. Peluang ini ditentukan menurut subjektivitas seseorang, tentu saja akan berbeda dengan peluang yang di tentukan orang lain. Faktorial Faktorial merupakan banyaknya cara yang dihasilkan dari n obyek yang berbeda, dilambangkan dengan n! atau n factorial. Contoh : Bila terdapat 5 orang mengantri membeli tiket bisoskop, maka ada berapa cara antrian tersebut dapat dihasilkan? Jawab : n = 5 n! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Maka terdapat 120 cara antrian yang dapat dihasilkan.

144


Permutasi Permutasi adalah kemungkinan susunan dari r obyek yang diambil dari n obyek. Permutasi sangat memperhatikan susunan letak dari obyek, dalam hal ini berarti XYZ akan berbeda dengan XZY, YZX, dsb.

=

Rumus :

Dimana : n = jumlah obyek r = jumlah obyek yang dipilih Contoh : Dari 7 orang pelamar PNS, hanya dipilih 3 orang yang berhak menjadi PNS. Berapakah kemungkinan cara yang dtempuh untuk menempati 3 lowongan tersebut? Banyak cara adalah

=

Misalnya terdapat n obyek dimana obyek jenis kedua,….,

merupakan obyek jenis kesatu,

merupakan obyek jenis k, dan

merupakan ,

maka :

Rumus :

nP

Contoh : Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata “GELANGGANG”? Jawab : terdapat 10 hurufpada kata GELANGGANG ( n = 10), terdiri dari 4 huruf G (

), 2 huruf A (

1 huruf L (

, 2 huruf N (

, 1 huruf E (

, dan

)

145


Maka banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat adalah :

=

= 37800 cara

Kombinasi Kombinasi adalah banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi pada saat seseorang melakukan pengambilan r obyek dari n obyek yang tersedia tanpa mempehatikan letak susunannya. Dalam hal ini XYZ sama artinya dengan XZY, YZX, dsb. Rumus : Dimana :n = jumlah obyek r = jumlah obyek yang dipilih Contoh : Terdapat 6 orang mahasiswa yang akan dipilih menjadi delegasi dalam sebuah konferensi, dan yang akan dipilih hanya 2 orang secara acak maka berapa banyak cara yang mungkin dihasilkan? Jawab : n = 6, r = 2 maka banyaknya cara adalah

Macam - Macam Kejadian (Event) 1. Kejadian Terpisah (Mutually Exclusive) Dua kejadian A dan B disebut saling terpisah bila kedanya tidak mungkin terjadi secara bersamaan, atau dengan kata lain munculnya kejadian A menghilangkan peluang munculnya kejadian B, sehingga P (A

= 0. 146


Rumus : P ( A

= P (A) + P (B)

Contoh : setumpuk kartu dikocok, kemudian diambil secara acak, berapa peluang terambilnya kartu Queen hati atau As berwarna hitam?

Jawab : P (Queen hati

As hitam) = P (Queen hati) + P (As hitam) =

2. Kejadian Bukan Terpisah (Inclusive) Terjadinya peristiwa bukan menghilangkan peristiwa yang lain, tapi kejadian yang ada mungkin memiliki sifat gabungan dari kejadian yang lain, sehinga P (A

0

Rumus : P ( A

= P (A) + P (B) - P ( A

Contoh : sebuah dadu dilempar, maka berapa peluang muncul angka genap atau mata dadu empat? Jawab : angka genap pada dadu (A) = 2, 4, 6 angka mata dadu empat (B) = 4 Sifat gabungan(A P ( angka genap

= 4 mata dadu empat) =

3. Kejadian Bebas Dua kejadian disebut bebas bila nilai peluang kejadian A tidak bergantung pada muncul atau tidaknya kejadian B, dan begitu pula sebaliknya. Rumus : P ( A

= P(A) x P(B)

147


Contoh : Peluang terjadinya banjir di Jakarta 0,7 dan peluang terjadinya banjir Bandung 0,4. Berapa peluang banjir di Jakarta dan di Bandung? Jawab : P ( banjir di Jakarta

banjir di Bandung ) = 0,7 x 0,4 = 0,28

4. Kejadian Tak Bebas Dua Kejadian A dan B disebut tidak bebas bila kejadian yang satu dipengaruhi oleh kejadian yang lainnya. Rumus : P ( A

= P(A) x P(B / A) atau P ( A

B) = P (B) x P ( A / B)

Dimana P ( B / A) adalah peluang munculnya kejadian B setelah munculnya kejadian A, begitu pula sebaliknya untuk P (A / B) Contoh : Sebuah dus berisi 2 buah kemeja, 3 buah celana, dan 6 buah kaos. Jika diambil 2 barang secara berturut-turut dari dus tersebut tanpa pengembalian, maka berapa peluang terambilnya yang pertama kemeja dan yang kedua celana? Jawab : P ( Kemeja

Celana ) = P (Kemeja) x P ( Celana / Kemeja) =

Teknik Pengembalian 1. Dengan Pengembalian Suatu cara pengambilan yang pengambilan berikutnya dilakukan setelah mengembalikan terlebih dahulu pengambilan sebelumnya. Contoh : Sebuah kotak berisi 2 bola merah, 4 bola putih, dan 4 bola hijau. Dilakukan pengambilan 3 bola dari kotak tersebut secara acak dengan 148


pengembalian. Berapakah peluang terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih berturut-turut? Jawab : P (M

=

2. Tanpa Pengembalian Suatu cara pengambilan yang pengembalian berikutnya tanpa mengembalikan terlebih dahulu pengambilan sebelumnya. Contoh : Kotak berisi 3 bola merah, 4 bola putih, 3 bola hijau. Dilakukan pengambilan 3 bola dari kotak tersebut secara random tanpa pengembalian. Brapakah peluang terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih berturut-turut?

Jawab : P (M

=

Teorema Bayes Teorema Bayes merupakan probabilitas bersyarat suatu kejadian yang terjadi setelah kejadian yang lain muncul. Rumus :

P(

/B)=

Contoh : Suatu operator telekomunikasi nirkabel mempunyai 2 pilihan tempat untuk membangun pemancar sinyal yaitu di dareah A dan B dengan masing-masing memiliki peluang 0.4, 0.6. Bila pemancar dibangun di daerah A maka peluang terjadi gangguan sinyal adalah 0.07, peluang terjadinya gangguan sinyal di daerah B

149


0.08.Bila diketahui peluang terjadi gangguan sinyal, berapa peluang operator tersebut ternyata telah membangun pemancar di daerah B? 

Dik : = Pemancar sinyal dibangun di daerah A = Pemancar sinyal dibangun di daerah B B = Terjadinya ganggan sinyal





P(

= 0,4 Probabilita dinbangunya pemancar sinyal di daerah A

P(

= 0,6Probabilita dinbangunya pemancar sinyal di daerah B

P(

= 0,07 Probabilita terjadinya gangguan sinyal di daerah A

P(

= 0,08 Probabilita terjadinya gangguan sinyal di daerah B

Dit : P(

operator tersebut ternyata telah membangun pemancar di daerah B

Jawab : P(

=

= = 0,6315789 ≈ 0,6316 Jadi probabilita yang terambil merupakan microchip rusak yang dibeli dari Chip Sales adalah 0,6316 atau 63,16%

150


Harapan Matematis / Mathematical Expectation (ME) Rumus : ME = Dimana : ME = Nilai harapan matematis = Peluang terjadinya kejadian = Besarnya nilai kejadian Contoh : Seorang pengusaha ingin melakukan ekspansi. Maka perlu pemilihan tempat yang baru untuk mendirikan cabang perusahaan tersebut. Andaikan daerah A memiliki kentungan Rp5.000.000 dengan probabilita 0,7 dan modal yang digunakan adalah Rp1.000.000. untuk daerah B dibutuhkann modal Rp800.000, dengan probabilita 0,5 keuntungan yang diperoleh sebesar Rp6.000.000. Dimanakah sebaiknya pengusaha tersebut membuka cabang baru? Asumsi : 1 = Untung , 2 = Rugi Dik : Daerah A = 0,7

= 1- 0,7 = 0,3

= Rp5.000.000

= - Rp1.000.000

Daerah B = 0,5

= 1- 0,5 = 0,5

= Rp6.000.000 Dit :

= - Rp800.000

;

151


Jawab : = = (0,7

)+( Rp5.000.000) + (0,3

= Rp3.200.000 = = (0,5

)+( Rp6.000.000) + (0,5

= Rp2.600.000 Maka pengusaha tersebut sebaiknya membuka cabang baru di tempat A, karena

152


SOAL PROBABILITAS

1.

Tabel Tinggi Badan Mahasiswa FE Unpad Tinggi Badan (X) Banyaknya Mahasiswa (f) < 150 cm

15

150 cm < 155 cm

45

155 cm < 160 cm

50

≥ 160 cm

15

Total

125

Apabila bertemu salah satu mahasiswa FE Unpad tersebut, berapakah probabilitasnya bahwa mahasiswa tersebut memiliki tinggi badan : a. 150 cm < X < 155 cm b. 155 cm < X < 160 cm c. X ≥ 160 cm Jawab: P (150 cm < X < 155 cm) =

=

= 0,36

P (155 cm < X < 160 cm) =

=

= 0,40

P(X ≥ 160 cm) =

=

= 0,12

153


Jadi besarnya probabilitas mahasiswa tersebut memiliki tinggi badan antara 150 cm dan 155 cm adalah 0,36 , antara 155 cm dan 160 cm adalah 0,40 , dan lebih besar atau sama dengan 160 cm adalah 0,12

2. Suatu bola diambil secara acak dari satu kotak yang berisi 8 bola merah, 5 bola hijau, dan 7 bola biru. Jika bola diambil secara beruntun, berapa probabilitas pengambilan pertama merah, kedua hijau, dan ketiga biru, apabila: a. Bola dikembalikan setelah pengambilan (replacement) b. Bola tidak dikembalikan setelah pengambilan (without replacement) Jawab: a. P (M

=

= 0, 035

Jadi besarnya probabilitas pengambilan bola pertama adalah merah, kedua hijau, dan ketiga biru dengan pengembalian adalah 0,035 b.P (M

=

= 0,0409357

Jadi besarnya probabilitas pengambilan bola pertama adalah merah, kedua hijau, dan ketiga biru tanpa pengembalian adalah 0,0409357 3. Petugas perpustakaan akan menyusun 3 buku Statistika yang sama, 2 buku Pengantar Bisnis yang sama, 4 buku Mikroekonomi yang sama secara berderet pada sebuah rak buku. Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat? Jawab:

154


Dik : n = 9 3

nP =

= 1260

Jadi banyaknya susunan yang memungkinkan adalah 1260 cara. 4. Tiga bola akan diambil berturut-turut dari dalam kitak berisi 5 bola merah, 3 bola putih dan 2 bola biru. a. Berapa banyak cara pengambilan 3 bola sekaligus dari kotak? b. Berapa banyak cara pengambilan 3 bola terdiri dari 2 bola merah dan bola putih? c. Berapa banyak cara pengambilan 3 bola terdiri dari 1 bola merah, 1 bola putih, dan 1 bola biru? d. Berapa banyak cara pengambilan 3 bola sedemikian sedikitnya terdapat 2 bola merah? Jawab: a. n = 10 , r = 3

= 120 Jadi banyak cara pengambilan 3 bola sekaligus dari kotak adalah 120 cara.

155


b. Tersedia 5 bola merah, diambil 2 bola Banyak cara pengambilan 2 bola merah :

Tersedia 3 bola putih, diambil satu bola Banyaknya cara pengambilan 1 bola putih :

Banyak cara pengambilan 2 bola mrah dan 1 bola putih adalah

c. Dengan cara yang sama dengan poin b maka :

2 = 30 Jadi banyak cara pengambilan 3 bola terdiri dari 1 bola merah, 1 bola putih, dan 1 bola biru adalah 30 cara. d. Kemungkinan-kemungkinan terambil sedikitnya 2 bola merah : 

Terambil 2 merah dan 1 putih atau



Terambil 2 merah dan 1 biru atau



Terambil ketiganya merah

+

+

= 10 . 3 + 10 . 2 + 2 = 60

Jadibanyak cara pengambilan 3 bola sedemikian sedikitnya terdapat 2 bola merah adalah 60 cara.

156


5. The Ludlow Wildcats baseball team, a minor league team in Cleveland Indians organization, plays 70 percent of their games at night and 30 percent during the day. The team wins 50 percent of their night games and 90 percent of their day games. According to today‟s newspaper, they won yesterday. What is the probability the game was played at night? Jawab: 1. Given : * P(night) = 0,7 ( the probability play games at night) * P (day) = 0,3 (the probability play games at day) * P (win / night) = 0,5 * P( win/ day) = 0,9 Question : What is the probability they won the night game yesterday? P(Night/win) Answer :

P(

/B)=

P(Night/win) =

=

= 0,5645

Conclusion : so probability they won the night game yesterday is 0,5645

157


6. A survey of executives dealt with their loyalty to the company. One of the question was, „If you were given an offer by another company equal to or slightly better than your present position, would you remain with the company?”. The responses of the 200 executives in the survey were cross classified with their length of service with the company. Length of Service Loyalty

Less than

1–5

6 – 10

More than

1 Year

Years

Years

10 Years Total

Would remain

10

30

5

75

120

Would not remain 25

15

10

30

80 200

What is the probability of randomly selecting an executive who is loyal with the company (would remain) and who has more than 10 years of services that would remain with the company? Jawab: Event A = is an executive who would remain the company despite equal to or slightly better offer from other company : P(A) = 120 / 200 Event B = is an executive who has ,more than 10 years of service with the company. P(B/A) is the conditional probability who has more than 10 years of services that would remain with the company. So P(B/A) = P (A and B) = P(A) . P(B/A)

=

.

= 158


So the probability of randomly selecting an executive who is loyal with the company (would remain) and who has more than 10 years of services that would remain with the company is 0,375 7. Pemakaian mesin produksi tertentu yang berjalan lancar (tanpa kerusakan) memberi keuntungan Rp 8 juta sedangkan jika mengalami gangguan ringan memberi keuntungan hanya Rp 4 juta. Namun jika gangguannya berat, terjadi kerugian sebesar Rp2 juta. Pengalaman menunjukan peluang mesin berjalan lancar adalah 0,6 , berjalan dengan gangguan ringan 0,3 dan gangguan berat hanya 0,1. Hitung harapan keuntugan yang diperoleh dari pemakaian mesin produksi tersebut. Jawab: Dik : Asumsi : 1 = mesin jika berjalan lancar 2 = mesin mengalami sedikit gangguan 3 = mesin mengalami gangguan berat =8

=4

= 0,6

= 0,3

= -2 = 0,1

Dit : harapan Keuntungan Jawaban :

ME = =(

×

)+(

×

)+

×

)

= (8 × 0,6) + (4 × 0,3) + (-2 × 0,1) = 5,8

159


Maka harapan keuntungan yang dapat diperoleh dari mesin produksi tersebut adalah Rp5,8 juta. 8. Suatu operator telekomunikasi nirkabel mempunyai 3 pilihan tempat untuk membangun pemancar sinyal yaitu di dareah A dan B dengan masing-masing memiliki peluang 0.4, 0.6. Bila pemancar dibangun di daerah A maka peluang terjadi gangguan sinyal adalah 0.05, peluang terjadinya gangguan sinyal di daerah B 0.06. Bila diketahui peluang terjadi ganggan sinyal, berapa peluang operator tersebut ternyata telah membangun pemancar di daerah B? Jawab: Dik : 

Terdapat tiga kejadian = microchip dibeli dari Good Electronics = microchip dibeli dari Chip Sales

= microchip dibeli dari Micro Components 

P(

= 0,4 Probabilita microchip dibeli dariGood Electronics

P(

= 0,3Probabilita microchip dibeli dariChip Sales

P(

= 0,3 probabilita microchip dibeli dariMicro Components



= microchip yang rusak = microchip yang tidak rusak



P(

= 0,03 Probabilita microchip rusak yang dibeli dari Good

Electronics

160


P(

= 0,04 Probabilita microchip rusak yang dibeli dari Chip Sales

P(

= 0,02 Probabilita microchip rusak yang dibeli dari Micro

Components Dit : P(

probabilita yang terambil merupakan microchip rusak yang

dibeli dari Chip Sales. Jawab : P(

=

= = 0,4 Jadi probabilita yang terambil merupakan microchip rusak yang dibeli dari Chip Sales adalah 0, 4 atau 40% 9. There is a record of what type of payment that consumer did sex in a supermarket,based on their sex. Type of Payment

Female

Male

Cash

324

672

Credit

567

1290

a. Determine the probability that a female pay with credit! b. Whether those two Events (the sex and the type of payment) are an independent event or not? Answer:

161


Type of Payment

Female

Male

Total

Cash

324

672

996

Credit

567

1290

1857

Total

891

1962

2853

P(Female Credit) = P(Female)

=

P(Credit/Female) =

=

= 0,6363

a. So the probability the probability that a female pay with credit is 0,6363 or 63,63% b. Those two events are an independent event. 10. Dalam suatu rapat perusahaan, tim direksi mempresentasikan 8 rencana investasi kepada dewan komisaris . Dalam rapat dewan komisaris diminta untuk memebrikan rank atau penilaian terhadap 4 rencana invesatsi yang dianggap feasible. Ada berapa macam urutan ranking yang mungkin terjadi dari setiap dewan komisaris? Jawab: n=8 r=4

=

=

=

= 1680

Jadi banyaknya macam urutan ranking yang mungkin terjadi dari setiap dewan komisaris adalah 1680 macam. 162


DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS

Distribusi teoritis memungkinkan para pembuat keputusan untuk memperoleh dasar logika yang kuat di dalam keputusan, dan sangat berguna bagi dasar pembuatan ramalan

(forecasting/prediction)

berdasarkan

informasi

yang

terbatas

atau

pertimbangan teoritis, dan berguna pula untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu kejadian. (Sumber: Supranto, Johanes. 2001. Statistik : Teori dan Aplikasi. Jakarta: Penerbit Erlangga) I. Variabel Diskrit dan Variabel Kontinyu Untuk memahami variabel diskrit dan kontinyu, marilah mencermati definisi beberapa istilah berikut ini: 1. Variabel Random adalah variabel yang nilainya diperoleh dari suatu percobaan. Variabel random dapat berupa variabel diskrit atau variabel kontinyu. 2. Variabel Diskrit adalah variabel yang didapat dari proses penghitungan dimana hasilnya merupakan bilangan bulat dan jumlahnya terbatas. Misalnya: -

Jumlah penjualan mobil per hari: x = 0, 1, 2, 3, ...

-

Jumlah orang yang suka produk tertentu dari 500 responden: x = 0, 1, 2, 3, ..., 500

-

Jumlah munculnya mata dadu 1 pada peristiwa pelemparan sebuah dadu sebanyak 10 kali: x = 0, 1, 2, ..., 10

3. Variabel Kontinyu adalah variabel yang didapat dari proses pengukuran dimana terdiri dari nilai-nilai yang terletak dalam suatu interval tertentu, sehingga dapat berupa bilangan pecahan maupun bilangan bulat.

163


Misalnya: -

Tinggi badan 100 responden: x = 145 cm, 156,76cm, ...

-

Waktu terbang dari Yogyakarta ke Jakarta: 45‟ < x < 120‟

-

Berat ayam goreng KFC: 50 gram < x < 200 gram

(Sumber: Setia Atmaja, Lukas. 2009. Statistika untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: Penerbit ANDI) II. Macam-macam Distribusi Peluang Teoritis Variabel Diskrit 1. Distribusi Binomial Distribusi binomial dapat diterapkan pada peristiwa yang memiliki ciri-ciri percobaan binomial atau Bernoulli (Bernoulli Trial) sebagai berikut: -

Setiap percobaan hanya mempunyai dua kemungkianan hasil, diberi istilah hasil yang dikehendaki (sukses) dan hasil yang tidak dapat dikehendaki (gagal).

-

Setiap percobaan bersifat independen atau dengan pengembalian. Probabilitas sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan p, sedangkan probabilitas gagal dinyatakan dengan q. Jumlah p dan q harus sama dengan 1.

-

Jumlah percobaan, dinyatakan dengan n, harus tertentu jumlahnya.

Rumus distribusi binomial:

Keterangan: P(x) = probabilitas peristiwa sukses sebanyak x C = kombinasi x dari n n = jumlah percobaan

164


p = probabilitas sukses q = probabilitas gagal x = jumlah sukses yang dicari probabilitasnya Parameter dalam distribusi binomial: Rata-rata (µ) = n.p Standar deviasi (σ) = Penyelesaian dengan MINITAB: 

Buka software Minitab



Di bawah kolom C1 ketikkan nilai x (0, 1, 2, ..., n)



Pilih dan klik CalcProbability Distributions Binomial



Klik Probabilty atau Cumulative Probability



Masukkan banyaknya jumlah percobaan pada kotak Probability Trials



Masukkan peluang sukses pada kotak Probability of Success



Pada Input Column ketikkan kolom C1



Pada Optional Storage ketikkan kolom C2



Klik OK

165


Contoh soal: Sebuah dadu dilempar 5 kali. Berapa probabilitas keluarnya mata dadu 1 sebanyak 3 kali? Dik:

p = probabilitas keluarnya mata dadu 1 = q = probabilitas keluarnya mata dadu selain 1 = n=5 x=3

Dit: P(x = 3)

P(x = 3) = = = Jadi, probabilitas keluarnya mata dadu 1 sebanyak 3 kali dari 5 kali pelemparan adalah 0,032150205 atau 3,2150205%. Output MINITAB:

166


2. Distribusi Multinomial Perluasan dari distribusi binomial ialah distribusi multinomial. Misalkan sebuah eksperimen menghasilkan peristiwa-peristiwa E1, E2, ..., Ek dengan peluang π1 = P(E1), π2 = P(E2), ..., πk = P(Ek) dengan π1 + π2 + ... + πk = 1. Terhadap eksperimen ini kita lakukan percobaan sebanyak n kali, maka peluang akan terdapat x1 peristiwa E1, x2 peristiwa E2, ..., xk peristiwa Ek di antara N, ditentukan oleh distribusi multinomial berikut:

(Sumber: Sudjana. 1997. Metoda Statistika Edisi Keenam. Bandung: Tarsito) Contoh soal: Sebuah kotak berisi 3 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 4 oleh mesin B dan 5 oleh mesin C. Kecuali dikategorikan berdasarkan mesin, identitas lainnya mengenai barang tersebut sama. Sebuah barang diambil secara acak dari kotak itu, identitas mesinnya dilihat, lalu disimpan kembali ke dalam kotak. Tentukan peluang di antara 6 barang yang diambil dengan jalan demikian didapat dari 1 mesin A, 2 dari mesin B, dan 3 dari mesin C! Dik:

πmesin A =

xmesin A = 1

πmesin B =

xmesin B = 2

πmesin C =

xmesin C = 3

n=6 Dit:

P( 1 dari mesin A, 2 dari mesin B, dan 3 dari mesin C)

167


Jawab:

= 60 . . . = = 0,120563271 Jadi, peluang di antara 6 barang yang diambil dengan jalan demikian didapat dari 1 mesin A, 2 dari mesin B, dan 3 dari mesin C adalah 0,120563271 atay 12,0563271%. 3. Distribusi Hipergeometrik Distribusi hipergeometrik sangat erat kaitannya dengan distribusi binomial. Perbedaannya antara distribusi hipergeometrik dengan binomial adalah bawa pada distribusi hipergeometrik, percobaan tidak bersifat independen. Untuk mencari probabilitas x sukses dalam ukuran sampel n, kita harus memperoleh x sukses dari r sukses dalam populasi, dan n-x gagal dalam N-r gagal. Sehingga fungsi probabilitas hipergeometrik dapat dituliskan sebagai berikut:

Keterangan: r = jumlah unit/elemen dalam populasi yang berukuran N x = jumlah elemen berlabel diantara n unit

168


N = jumlah observasi dalam populasi n = jumlah observasi dalam sampel Sumber: (Supranto, Johanes. 2001. Statistik : Teori dan Aplikasi. Jakarta: Penerbit Erlangga) Penyelesaian dengan MINITAB: 







Pilih dan klik CalcProbability DistributionsHypergeometric



Klik Probability atau Cumulative Probability



Masukkan angka pada Probability Size (N)



Masukkan angka pada Successes in Population



Masukkan angka pada Sample Size (n)









Klik OK

169


Contoh soal: Sebuah anggota komite terdiri dari 5 orang, dimana 3 adalah wanita dan 2 lakilaki. Misalkan 2 orang dari 5 anggota komite tersebut dipilih untuk mewakili delegasi dalam sebuah konvensi/pertemuan. Berapa probabilitas bahwa dari pemilihan secara acak didapat 2 orang wanita? Dik:

r=3

n=2

x=2

N=5

Dit: P(x=2)

Jadi, probabilita bahwa dari pemiligan secara acak didapar 2 orang wanita yang terpilih mewakili delegasi dalam sebuah konvensi adalah 0,3 atau 30%. Output MINITAB:

4. Distribusi Poisson Pada percobaan binomial, seandainya n relatif besar, katakanlah lebih besar dari 50 dan p relatif kecil, katakanlah lebih kecil dari 0,1 maka perhitungan probabilitas dengan menggunakan rumus distribusi binomial akan menjadi

170


sulit. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan pendekatan Poisson untuk menghitung probabilitas percobaan binomial. Rumus Distribusi Poisson:

Keterangan: λ = rata-rata = n.p x = jumlah sukses e = 2,718281828 (Sumber: Setia Atmaja, Lukas. 2009. Statistika untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: Penerbit ANDI) Penyelesaian dengan MINITAB: 







Pilih dan klik Calc Probability DistributionsPoisson



Klik Probability atau Cumulative Probability



Masukkan angka pada kotak Mean









Klik OK

171


Contoh soal: Berdasarkan pengalaman, setiap kali mencetak 10.000 lembar kertas terdapat 100 lembar yang rusak. Pada suatu waktu, perusahaan mencetak 1.000 lembar kertas. Berapa probabilitas mendapatkan 5 lembar kertas yang rusak? Dik:

p=

λ = n.p = 1000 . 0,01 = 10 Dit: P (x = 5) Jawab:

= = 0,037833274 Jadi, probabilitas dari 1000 lembar kertas mendapatkan 5 lembar kertas yang rusak adalah 0,037833274 atau 3,7833274%.

172


Output MINITAB:

173


SOAL DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS 1. Perusahaan A adalah perusahaan penghasil barang-barang elektronik. Dari barangbarang yang dihasilkan tersebut ternyata terdapat 18% barang yang rusak. Untuk menyelidiki hal tersebut perusahaan mengambil secara acak 28 buah barang untuk diselidiki. Tentukan peluang dari barang tersebut: a. Seluruh barang tersebut bagus b. Terdapat satu barang yang rusak c. Paling sedikit tiga barang rusak Dik :

p = probabilitas barang rusak = 18% q = probabilitas barang bagus = 82% n = 30

Dit: a. P(x = 0) b. P(x = 1) c. P(x ≥ 3) Jawab:

a. = 1 . 1 . 0,003861783003 = 0,003861783003 Jadi, peluang dari 28 buah barang seluruhnya merupakan barang bagus (tidak ada yang rusak) adalah 0,003861783003 atau 0,3861783003%.

174


b. = 28 . 0,18 . 0,004709491467 = 0,023735836 Jadi, peluang dari 28 buah barang terdapat satu buah yang rusak adalah 0,023735836 atau 2,3735836%. c.

P(x ≥ 3) = 1 – (0,003861783003 + 0,023735836 +

)

= 1 - 0,097936745 = 0,902063254 Jadi, peluang dari 28 buah barang terdapat paling sedikit tiga buahyang rusak adalah 0,902063254 atau 90,2063254%. Output MINITAB: P(x ≥ 3) = 1 – P(x ≤ 2) = 1 – 0,0979367467002 = 0,902063253

175


2. Dari 150 buah lampu pijar untuk mobil di pabrik A ternyata 18 buah akan putus sebelum masa jaminan berakhir, berapakah peluang jika diambil secara acak 20 buah lampu pijar terdapat paling banyak 4 buah lampu yang putus sebelum masa jaminan berakhir? Hitung pula rata-rata lampu yang putus dan standar deviasinya! Dik: p = probabilitas lampu putus = q = pobabilitas lampu tidak putus = n = 20 Dit: P(x ≤ 4) µ dan σ

P(x ≤ 4) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4) P(x = 0) = P(x = 1) = P(x = 2) = P(x = 3) =

P(x = 4) =

P(x ≤ 4) = = 0,917280621 Jadi, peluang jika diambil secara acak 20 buah lampu pijar terdapat paling banyak 4 buah lampu yang putus sebelum masa jaminan berakhir adalah 0,917280621 atau 91,7280621%. Output MINITAB:

176


µ = n.p = 20 . 0,12 = 2,4 σ= Jadi, rata-rata lampu pijar yang putus adalah 2 buah lampu dengan standar deviasi (besarnya penyimpangan terhadap nilai rata-rata) adalah 1 buah lampu. 3. From observation in Bank HagaBandungindicates that probability of non-approval of the company that submitted a proposal for sustainable business capital is 79%. From the6 companies that submitted proposal, determine the probability: a. 2 companies are approved b. No one is approved c. At most 1 is approved Given:

p = probability of company‟s approved = 21% q = probability of company‟s approved = 79% n=6

Asked:

a. P(x = 2) b. P(x = 0) c. P(x ≤ 1)

177


a. P(x = 2) =

So, from6 companies that submitted proposal,the probabilitythat there aretwocompanies that are approvedis0.257654785 or 25,7654785%. b. P(x = 0) =

So, from6 companiesthat submitted proposal,the probabilitythat there is no one‟s approved is 0,243087455 or 24,3087455%. c. P(x ≤ 1) = P(x = 0) + P(x = 1) P(x = 1) =

P(x ≤ 1) = 0,243087455 + 0,387709106 = 0,630796561 So, from6 companies that submitted proposal, the probabilitythat there is at most 1 approvedis0,630796561 or 63,0796561%. Output MINITAB:

178


4.

PT Shark, sebuah perusahaan radio, sedang melakukan pengawasan kualitas terhadap 1000 unit radio yang akan dipasarkan. Berdasarkan data historis, 500 dari 100.000 unit radio yang diperiksa dalam kondisi rusak. Berapa probabilitas: a. Memperoleh 1 unit radio rusak b. Memperoleh kurang dari 4 buah radio rusak dari pemeriksaan tersebut c. Hitunglah rata-rata dan standar deviasi dari distribusi di atas Dik: n = 1000 p= Dit: a. P(x = 1) b. P(x < 4) c. µ dan σ

a. P(x = 1) =

179


Jadi, probabilitas dari 1000 unit radio yang akan dipasarkan diperoleh 1 unit radio rusak adalah 0,033689735 atau 3,3689735%. b. P(x < 4) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x=3) P(x = 0) = P(x = 1) = 0,033689735 P(x = 2) = P(x = 3) = P(x < 4) = = 0,265025914 Jadi, probabilitas dari 1000 unit radio yang akan dipasarkan diperoleh kurang dari 4 buah radio rusak dari pemeriksaan tersebut adalah 0,265025914 atau 26,5025914%. Output MINITAB: P(x < 4) = P(x ≤ 3)

c.

Jadi, rata-rata kerusakan radio adalah 5 radio dengan standar deviasi (besarnya penyimpangan rata-rata) sebesar 2 radio.

180


5.

Management of PT Bureau is consideringtoincrease the capacity oftelephone service. based ona three-day surveyof the numberof calls, the dataobtained: Day

Number of Hours

Number of Calls

Monday

8

696

Wednesday

8

640

Saturday

6

644

From these data, it is known that thecurrent telephoneservice capacityis 2calls perminute. Based onthese data, give the best adviceto the director ofPTBureautoadd ornotthe capacity oftelephone service! Given: λ (average of incoming calls)

=

Telephone service capacity = 2 calls/minute (It means if at a certain minute has more than 2 incoming calls in phone line, then forced to reject one of them because full service capacity already) Asked: Give the best adviceto the director ofPTBureautoadd ornotthe capacity oftelephone service

Probability reject the calls: P(x > 2) = 1 – [ P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)] P(x = 0) =

181


P(x = 1) = P(x = 2) = P(x > 2) = 1 – ( = 1 – 0,80884683 = 0,19115317 So, probability incoming calls that is not served is 19,115317%, it means that there is 19 out of 100 calls that are not served. This is relatively large amount, so the capacity of telephone service should be added. Output MINITAB: P(x > 2) = 1 – P(x ≤ 2) = 1 – 0,808847 = 0,191153

Proof if capacity is added: P(x = 3) = P( x > 3) = 1 – 0,80884683 – 0,125510715 = 0,065642455

182


It shows that probability incoming calls that is not served is decreasing of 6,5642455%. Output MINITAB: P(x > 3) = 1 – P(x ≤ 3 ) = 1 – 0,934358 = 0,065642

6.

Jika diketahui rata-rata kedatangan nasabah di suatu bank adalah 120 orang per jam, hitunglah probabilitas pada satu menit tertentu yang akan datang: a. 3 nasabah b. Kurang dari 3 nasabah Dik: λ = Dit: a. P(x = 3) b. P(x < 3)

a. P(x = 3) = Jadi, probabilitas pada satu menit tertentu akan datang 3 nasabah adalah 0,180447044 atau 18,0447044%.

183


b. P(x < 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) P(x = 0) = P(x = 1) = P(x = 2) = P(x < 3) =

+

= 0,676676415 Jadi, probabilitas pada satu menit tertentu akan datang kurang dari 3 nasabah adalah 0,676676415 atau 67,6676415%. Output MINITAB:

7.

Bila dua dadu dilempar 7 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah 3 atau 8 muncul 3 kali, berjumlah bilangan prima muncul 2 kali, dan bilangan berjumlah lebih dari 7 muncul 3 kali? Dik:

π1 = berjumlah 3 atau 8 = {(1,2), (2,1), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}

= π2 = berjumlah bilangan prima = {(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3), (5,2), (5,6), (6,1), (6,5)} =

184


π3= berjumlah bilangan lebih dari 7 = {(2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} = x1 = 3 x2 = 2 x3 = 3 n=7 Dit: P(3, 2, 3) Jawab:

Jadi, peluang mendapatkan jumlah 3 atau 8 muncul 3 kali, berjumlah bilangan prima muncul 2 kali, dan bilangan berjumlah lebih dari 7 muncul 3 kali adalah 0,005629917132 atau 0,5629917132%. 8.

A boxcontains 4small redballs, 5 green ballsand 3yellow balls.Other identifyinghomogeneous(same). Aball is drawnat random, seecolor, thenput it backin the box.Determine probabilityamongfiveballsto be loadedthere are 2redballs, 2 yellow balls, 1 greenball! Given:

x1 = red ball = 2 x2 = green ball = 1 185


x3 = yellow ball = 2 π1 = π2 = π3 = n=5 Asked: P(2, 1, 2) Solution:

So, the probability amongfiveballsto be loadedthere are 2redballs, 2 yellow balls, 1 greenball is 0,08680555 or 8,6805555%. 9.

A team ofmarketingdivisionconsistsof25 peopleand3 of themlived Sukajadi.Randomlytaken6

people.

Determinethe

in

probability:

a.No onelived in Sukajadi b.At mostapersonlived in Sukajadi Given:

N = 25 n=6 r=3

186


Asked:

a. P(x = 0) b. P(x ≤ 1)

a. P(x = 0)

= = = 0,421304347

So, the probability that no onelived in Sukajadi from randomly taken 6 people is 0,421304347 or 42,1304347%. b. P(x ≤ 1) = P( x =1) = = = 0,446086956 P( x ≤ 1) = 0,421304347 + 0,446086956 = 0,867391303 So, the probability that at most 1 peoplelived in Sukajadi from randomly taken 6 people is 0,867391303 or 86,7391303%. Output MINITAB:

187


10. Seorang pemilik kebun mangga memetik 18 buah mangga dan diantara 18 buah mangga tersebut terdapat 5 buah mangga yang busuk namun pemilik tersebut tetap akan menjualnya kepada pembeli. Bila pembeli akan membeli 4 buah mangga secara acak, berapakah probabilitas bahwa pembeli tersebut tidak akan memilih mangga yang busuk tadi? Dik:

N = 18 r=5 n=4

Dit: P(x = 0)

P(x = 0) = = = 0,23366013

188


Jadi, dari pemilihan secara acak 4 buah mangga dari 18 buah mangga, probabilitas pembeli tersebut tidak akan memilih buah mangga yang busuk adalah 0,23366013 atau 23,366013%. Output MINITAB:

189


DISTRIBUSI NORMAL DAN PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL OLEH DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi Normal Distribusi normal atau sering disebut dengan distribusi Gauss adalah distribusi peluang teoritis dengan variable random continue yang memiliki ciri-ciri sebagai berikut :  Kurva distribusi normal berbentuk seperti bel atau lonceng dan simetris terhadap sumbu tegak X   .  Kurva distribusi normal selalu berada di atas sumbu X dan mendekati sumbu datar X, dimulai dari X    3 sampai X    3 .  Luas daerah dibawah kurva distribusi normal sering disebut sebagai luas daerah kurva normal standar yang besarnya selalu sama dengan satu. Merupakan peluang terjadinya variable random continue X tertentu dari distribusi normal.

Penyelesaian persoalan distribusi normal dapat dilakukan dengan menggunakan rumus : Z

X 

 190


dan tabel statistik tentang luas daerah kurva normal standar.

Pendekatan Distribusi Binomial Oleh Distribusi Normal Penyelesaian persoalan distribusi binomial yang memiliki jumlah sampel lebih dari 30 (n > 30), dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus distribusi normal : Z

X 



dengan;    n     n    1    dan terlebih dahulu disesuaikan variabel random diskritnya menjadi variable random continue dengan menggunakan faktor penyesuaian sebesar 0,5 dengan ketentuan sebagai berikut : Variabel Random Diskrit

Variable Random Continue

X a

a  0,5  X  a  0,5

a X b

a  0,5  X  b  0,5

a X b

a  0,5  X  b  0,5

Contoh Soal Distribusi Normal 1. Suatu perusahaan kertas memiliki rata-rata waktu produksi satu lusin kertas selama 15 menit dengan standar deviasi 3 menit. Tentukan : a. Peluang produksi kertas tersebut dapat selesai kurang dari 10 menit ? b. Dari 120.000 lembar kertas yang dihasilkan perusahaan tersebut. Berapakah banyak lusin kertas yang dihasilkan membutuhkan waktu produksi lebih besar dari 18 menit ?

191


Jawaban : Dik

:

µ = 15 menit/lusin σ = 3 menit/lusin

Dit

:

a.

P(X < 10) ?

b.

Jika, N = 120.000 lembar atau 10.000 lusin, berapa n dengan P(X > 18) ?

Jwb

:

a. P(X < 10) ? Z

X 





10  15  1,67 3

Luas kiri 0 Luas Z – 0 Luas kiri Z

Z

= 0,5000 = 0,4525 = 0,0475

0

Jadi, Peluang produksi kertas tersebut dapat selesai kurang dari 10 menit adalah sebesar 0,0475 atau 4,75%. b. n ? P(X >18) ? Z

X 





18  15 1 3

Luas kanan 0 = 0,5000 Luas 0 – Z = 0,3413 Luas kanan Z = 0,1587

0

Z

N

120.000lembar  10.000lusn 12

n  10.000  0,1587  1.587lusn 192


Jadi, dari 120.000 lembar atau 10.000 lusin kertas, ada 1.587 lusin kertas yang diproduksi membutuhkan waktu produksi lebih besar dari 18 menit.

Contoh Soal Pendekatan Distribusi Binomial Oleh Distribusi Normal 1. Sebuah perusahaan televisi mengklaim bahwa penjualan merek meningkat 15% setelah dilakukan promosi di Jakarta Fair. Dari 100 orang pengunjung pameran pada hari minggu, berapakah peluang 12 hingga 24 orang pengunjung pameran tersebut tertarik untuk membeli televisi tersebut ? Jawaban : Dik

:

π = 15% = 0,15 1 – π = 0,85 n = 100

Dit

:

Jwb

:

P(12 ≤ X ≤ 24) ?

P(12 ≤ X ≤ 24) di continue kan menjadi P(11,5 ≤ X ≤ 24,5)?   n    100  0,15  15

  n    1     100  0,15  0,85  3,570714214

Z

1



X

1







11,5  15  0,98 3,570714214

Z

2



X

2







24,5  15  2,66 3,570714214

Luas Z1 – 0 = 0,3365 Luas 0 – Z2 = 0,4961 + Luas Z1 – Z2 = 0,8326

Z1

0

Z2

Jadi, peluang bahwa terdapat 12 hingga 24 orang pengunjung pameran tertarik untuk membeli televisi tersebut sebesar 0,8326 atau 83,26%.

193


SOAL DISTRIBUSI NORMAL DAN PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL OLEH DISTRIBUSI NORMAL 1. Tentukan, a. Luas kurva distribusi normal, jika : i. Nilai Z = 2,11 ii. Nilai Z = -1,86 b. Nilai Z bila luas kurva normalnya : i. Sebelah kanan Z = 0,8665 ii. Sebelah kanan Z = 0,1335 iii. Antara Z1 dan Z2 = 0,2573, jika luas antara 0 – Z2 = 0,4962 iv. Sebelah kiri Z = 0,6255 Jawaban : a. i. Luas 0 – Z

= 0,4826

Jadi, luas kurvanya adalah 0,4826

0

Z

ii. Luas 0 – Z

= 0,4686

Jadi, luas kurvanya adalah 0,4686

Z

0

b. i. Luas kanan Z = 0,8665 Luas kanan 0 = 0,5000 Luas Z – 0 = 0,3665 Jadi, nilai Z nya adalah -1,11 Z

0 194


ii. Luas kanan 0 = 0,5000 Luas kanan Z = 0,1335 Luas 0 – Z = 0,3665 Jadi, nilai Z nya adalah 1,11

0

Z

iii. Luas 0 – Z2 = 0,4962 Luas Z1 – Z2 = 0,2573 Luas 0 – Z1 = 0,2389 Jadi, nilai Z1 nya adalah 0,64

0

Z1

Z2

iv. Luas kiri Z Luas kiri 0 Luas 0 – Z

= 0,6255 = 0,5000 = 0,1255

Jadi, nilai Z nya adalah 0,32 0

Z

2. The lifetime ofbatterythat produce by a company approacheda normaldistribution. The averagelifetime500 hourswith a standarddeviation of53 hours. Determine: a. Probability thebatteryhavelifetimebetween 430and 510hours ? b. Probability the battery have lifetime maximal 600 hours ? Answer : Given

: µ = 500 σ = 53

Answer

Question

: a. P(430 < X < 510)? b. P(X ≤ 600)?

:

195


a. P(430 < X < 510)?

Z1 

X

1







430  500  1,32 53

Z2 

X

2







510  500  0,19 53 Luas Z1 – 0 = 0,4066 Luas 0 – Z2 = 0,0753 + Luas Z1 – Z2 = 0,4819

Z1 So,

0

Probability

Z2 thebatteryhavelifetimebetween

430and

510hoursis0.4819or48.19%. b. P(X ≤ 600)? Z

X 





600  500  1,89 53

Luas 0 – Z Luas kiri 0 Luas kiri Z

0 So,

Probability the 0.9706or97.06%.

battery

= 0,4706 = 0,5000 + = 0,9706

Z have

lifetime

maximal

600

hoursis

3. Apabila terdapat 10% dari lampu mobil akan putus sebelum masa jaminan berakhir, berapakah peluang seorang agen yang telah menjual 200 lampu mobil tersebut itu : a. Akan mengganti 25 atau lebih lampu ? b. Akan mengganti kurang dari 8 lampu ? c. Akan mengganti paling sedikit 5 dan paling banyak 10 lampu ? Jawaban : Dik

: π = 10% = 0,1 1 – π = 0,9

Dit

: a. P(X ≥ 25)? b. P(X < 8)?

196


n = 200

Jwb

c. P(5 ≤ X ≤ 10)?

  n    200  0,1  20

:

  n    1     200  0,1  0,9  4,242640687

a. P(X ≥ 25) dikontinyukan menjadi P(X ≥ 24,5)? Z

X 





24,5  20  1,06 4,242640687


0

Z

Jadi, peluang agen tersebut akan mengganti 25 atau lebih lampu yang rusak adalah sebesar 0,1446 atau 14,46%. b. P(X < 8) dikontinyukan menjadi P(X ≤ 7,5)? X  7,5  20 Z   2,95  4,242640687 Luas kiri 0 Luas Z – 0 Luas kiri Z

Z

= 0,5000 = 0,4984 = 0,0016

0

Jadi, peluang agen tersebut akan mengganti kurang dari 8 lampu yang rusak adalah sebesar 0,0016 atau 0,16%. c. P(5 ≤ X ≤ 10) dikontinyukan menjadi P(4,5 ≤ X ≤ 10,5)?

Z1 

X

1







4,5  20  3,65 4,242640687

Z2 

X

2







10,5  20  2,24 4,242640687

197


Luas Z1 – 0 = 0,4999 Luas Z2 – 0 = 0,4875 + Luas Z1 – Z2 = 0,0124

Z1

Z2

Jadi, peluang agen tersebut akan mengganti dari 5 sampai 10 lampu yang rusak adalah sebesar 0,0124 atau 1,24%.

0

4. Pemberian upah pada sebuah perusahaan retail dilakukan secara bulanan dengan tiap bulan terdapat 28 hari kerja. Bila besar upah berdistribusi normal dengan rata-rata Rp1.300.000,00 dan simpangan baku Rp7.000,00, berapakah : a. Bila upah minimum buruh Rp45.560,00/hari, berapa persen buruh yang upahnya di bawah upah minimum ? b. Berapa upah perbulan minimal dari 20% golongan buruh dengan upah tertinggi ? Jawaban : Dik

:µ = Rp1.300.00,00

Dit

σ = Rp7.000,00

:a.P(X < Rp1.275.680,00)? b. X=? bila X ≥ 80%

X = Rp45.560,00 x 28 = Rp1.275.680,00 Jwb

:

a. P(X < Rp1.275.680,00)? Z

X 





2.275.680  1.300.000  3,47 7.000

Luas kiri 0 Luas Z – 0 Luas kiri Z

Z

= 0,5000 = 0,4997 = 0,0003

0

Jadi, pada perusahaan retail tersebut, peluang buruh yang mempunyai upah di bawah upah minimum adalah sebesar 0.0003 atau 0,03%. b. X=? bila X ≥ 80%

198

MODUL STATISTIKA I – 2012 (INTERNAL) P = 30% = 0,3 Maka nilai Z = 0,84

Z

0



X  1.300.000 7.000 X  Rp1.305.880,00

Z

80%

X 

0,84 

20% 30%

Jadi, upah perbulan minimal dari 20% golongan buruh dengan upah tertinggi adalah sebesar Rp1.305.880,00

5. An insurance company get the fact that each year 0.05% of the population died due to some kind of disease. Find the chance that the company would pay more than 5 among 10,000 policyholders in a given year? Jawaban : Given

:

π = 0,05% = 0,0005

Question

:

P(X > 5)?

1 – π = 0,9995 n = 10.000 Answer

: P(X > 5) dikontinyukan menjadi P(X ≥ 5,5)?   n    10.000  0,0005  5

  n    1     10.000  0,0005  0,9995  2,235508891 Z

X 





5,5  5  0,22 2,235508891

Luas kanan 0 = 0,5000 Luas 0 – Z = 0,0871 + Luas kanan Z = 0,5871

0 6. Some

companiesarelistingtheir

So, the chance company willpay thepolicyholdermorethan5 personsamounted to0.5871or58.71%.

Z shareson

the

Stock

Exchangehad

an

averagevalueof shares ofRp5.820,00 with a varianceRp6.012.304,00,normal distribution.

There

are200

companieswith

astockvaluebetweenRp5.950,00

andRp6.720,00, how manycompaniesare listingtheir shareson the Stock Exchange? Answer :

199


Given

:

µ = Rp5.820,00 σ2 = Rp6.012.304,00 σ = Rp2.452,00

Question : N = ? Ifn=200 witha value betweenRp5.950, 00 andRp6.720, 00 Answer

Z

1



X

1

:







5.950  5.820  0,05 2.452

Z

2



X

2







6.720  5.820  0,37 2.452

Luas 0 – Z2 = 0,1443 Luas 0 – Z1 = 0,0199 Luas Z1 – Z2 = 0,1244 = 12,44% N

0

Z1

100%  200  1.607,717 12,44%

Z2

So, there are 1.608 companies listing their shares on Stock Exchange. 7. Dari suatu uji kualitas pada sebuah perusahaan mobil didapat 80% dari mobil yang diuji dinyatakan lulus uji kualitas. Dari 10.000 mobil yang akan diuji berapa persen mobil tersebut dapat lulus uji bila diharapkan setidaknya ada 8.000 atau lebih unit mobil dinyatakan lulus uji? Jawaban : Dik

:

π = 80% = 0,8

Dit

:

P(X ≥ 8.000)?

1 – π = 0,2 n = 10.000 Jwb

: P(X ≥ 8.000) dikontinyukan menjadi P(X ≥ 7.999,5)?   n    10.000  0,8  8.000

  n    1     10.000  0,8  0,2  40 Z

X 





7.999,5  8.000  0,01 40

Luas kanan 0 = 0,5000 Luas 0 – Z = 0,0040 + Luas kanan Z = 0,5040

Z

0

200


Jadi, peluang 8.000 atau lebih mobil akan lulus tes uji adalah sebesar 0,5040 atau 50,40%. 8. Rata-rata perjalanan yang dibutuhkan seorang manajer perusahaan menuju tempatnya bekerja adalah 45 menit dengan standar deviasi 5 menit. Jika waktu tersebut berdistribusi normal, hitunglah : a. Peluang lama perjalanan manajer tersebut minimal 48 menit ? b. Bila kantor dibuka pukul 09.00 dan ia berangkat dari rumahnya pukul 08.10 setiap hari, berapa peluang manajer tersebut akan tepat waktu ? c. Bila ada kemungkinan ia akan terlambat sebesar 35%, pukul berapa sebaiknya ia berangkat agar tidak telat ? Jawaban : Dik

:

µ = 45

Dit

:

a. P(X ≥ 48)?

σ=5

b. P(X ≤ 50)? c. X = ? bila peluang telat 35%

Jwb

: a. P(X ≥ 48) Z

X 





48  45  0,6 5


0

Z

Jadi, peluang lama perjalanan manajer tersebut minimal 48 menit adalah sebesar 0,2743 atau 27,43%. b. X = 09.00 – 08.10 = 08.60 – 08.10

Z

X 





50  45 1 5

= 50 menit

201



0

= 0,3413 = 0,5000 + = 0,8413

Z

Jadi, peluang manajer tersebut akan tepat waktu bila ia berangkat dari rumahnya pukul 08.10 adalah sebesar 0,8413 atau 84,13%. c. P = 15% = 0,15 Maka nilai Z = 0,39 Z

0



X  45 5 X  46,95menit

0,39 

Z

65%

X 

35% 15%

= 46 menit + 0,95 menit = 46 menit 57 detik = 47 menit

Jadi, agar tidak telat sebaiknya manajer tersebut berangkat dari rumahnya 47 menit sebelum jam buka kantor atau berangkat pada pukul 08.13.

9. Dari hasil penelitian disebuah universitas terkemuka di Indonesia, diketahui bahwa 20% dari mahasiswa fakultas ekonomi jurusan manajemennya tertarik untuk memilih konsentrasi manajemen operasi. Dari 200 mahasiswa yang diobservasi, tentukan : a. Peluang lebih besar atau sama dengan 50 mahasiswa tertarik memilih manajemen operasi ? b. Juga peluang dari 44 sampai 55 mahasiswa akan tertarik ? c. Peluang maksimal 40 mahasiswa akan tertarik ? Jawaban : Dik

:

π = 20% = 0,2

Dit

:

a. P(X ≥ 50)?

1 – π = 0,8

b. P(44 ≤ X ≤ 55)?

n = 200

c. P(X ≤ 40)?

202


Jwb

:   n    200  0,2  40

  n    1     200  0,2  0,8  5,656854249 a. P(X ≥ 50) dikontinyukan menjadi P(X ≥ 49,5)? Z

X 





49,5  40  1,68 5,656854249


0

Z

Jadi, peluang lebih besar atau sama dengan 50 mahasiswa universitas tersebut tertarik untuk memilih konsentrasi manajemen operasi sebesar 0,0465 atau 4,65%. b. P(44 ≤ X ≤ 55) dikontinyukan menjadi P(43,5 ≤ X ≤ 55,5)?

Z1 

X

1







43,5  40  0,62 5,656854249

Z2 

X

2







55,5  40  2,74 5,656854249

Luas 0 – Z2 = 0,4969 Luas 0 – Z1 = 0,2324 Luas Z1 – Z2 = 0,2645

0

Z1

Z2

Jadi, peluang dari 44 sampai 55 mahasiswa universitas tersebut akan tertarik memilih konsentrasi manajemen operasi adalah sebesar 0,2645 atau 26,45%. c. P(X ≤ 40) dikontinyukan menjadi P(X ≤ 40,5)? Z

X 





40,5  40  0,09 5,656854249


= 0,0359 = 0,5000 + = 0,8359 203


0

Z

Jadi, peluang akan terdapat maksimal 40 mahasiswa universitas tersebut akan tertarik memilih manajemen operasi adalah sebesar 0,8359 atau 83,59%.

10. Bloodbathing Convection diminta memasok sebanyak 7.000 semacam baju pasien ke sebuah rumah sakit pada awal tahun. Berdasarkan hasil penelitian didapat ratarata masa pakainya 278 hari dan simpangan baku 93 hari serta berdistribusi normal. Pada awal tahun, Bloodbathing Convection telah memasok ke rumah sakit tersebut sebanyak 7.000 baju. Berapa banyak baju yang diharapkan bisa dipasok pada tahun berikutnya, jika rumah sakit tersebut hanya menghendaki jumlah peredaran dan persediaan baju pasien sebanyak 7.000 seragam (asumsi 1 tahun = 365 hari) ? Jawaban : Dik

:

µ = 278

Dit

:

P(X < 365)?

σ = 93 N = 7.000 Jwb

: Z

X 





365  278  0,94 93


= 0,0359 = 0,5000 + = 0,8359

n  10.000  0,8359  8.359

0

Z

Jadi, banyaknya baju yang diganti dalam satu tahun adalah sebanyak 8.359 baju dan sebanyak itu pula yang diharapkan akan dipasok dari perusahaan.

204


APPENDI X

205


206


207

MODUL STATISTIKA I 2012 (INTERNAL)

Recommend Documents