1
PELUANG & ATURAN BAYES
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK UTRIWENI MUKHAIYAR
Eksperimen 2
Ci i i i eksperimen Ciri-ciri k i acakk (Statistik): (St ti tik) Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri maupun orang lain. lain Proporsi keberhasilan dapat diketahui dari hasilhasil sebelumnya. sebelumnya Bisa diukur (diamati). Hasilnya H il tid tidakk bisa bi dit ditebak b k karena k adanya d galat/error.
Ruang Sampel 3
Ruangg sampel p S , yyaitu himpunan p dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak (statistik). (statistik)
Ruang Sampel Diskrit 4
A.
Diskrit: Di k it banyaknya b k (number) ( b ) elemen l pada d S tsb dapat dihitung/dicacah (countable). Hasil pencacahannya mungkin saja berhingga atau tidak berhingga. Contoh 1.S pada (percobaan) pemeriksaan jenis kelamin mencit di suatu tempat pengembangbiakan mencit untuk percobaan. Setiap mencit dipilih (secara acak), diperiksa, lalu digolongkan sebagai mencit jantan atau betina. betina
Ruang g Sampel p Kontinu 5
B.
Kontinu: K i elemen-elemen l l d darii S tsb b adalah d l h bagian dari suatu interval. Contoh 2. S pada percobaan pengukuran suhu maksimum setiap jam pada suatu reaksi kimia (satuan oC), misalnya S = {x: 30 < x < 40}. Jika kita pilih jam-jam secara acak, maka mungkin ditemukan jam-jam dengan suhu 31 oC atau 30,5 oC atau 37,5 oC atau nilai lainnya yang y g berkisar antara 30 < x < 40.
Kejadian j (Event) ( ) 6
Himpunan bagian (subset) dari suatu ruang sampel S . Notasi untuk even (kejadian) umumnya huruf kapital misal A, kapital, A B, B dan lain-lain. lain lain Jika kejadiannya banyak, bisa ditulis sebagai barisan misal E1, E2, ......dst. barisan, dst
Ruang Sampel dan Kejadian
R Ruang sampel, l di dinotasikan t ik S Ruang g Sampel p Diskrit Ruang Sampel Kontinu
S= {
, ... ,
}
,
}
Event (kejadian)
E = { 7
,
,
7
Populasi dan sampel 8
Pada Contoh 1: Semua mencit di tempat pengembangbiakan tersebut adalah populasi, g beberapa p mencit yang y g diambil sedangkan disebut sampel. Ruang sampel pada contoh ini adalah semua jenis kelamin mencit yang mungkin, yaitu i {j {jantan, betina} b i } dan d termasukk jenis j i diskrit, di k i karena banyaknya elemen pada S ini dapat dihitung yaitu ada 2 buah dihitung, buah, n(S ) = 2. 2
Contoh 3 Menentukan Ruang g Sampel p & Kejadian j 9
Dua p pasien diberi obat untuk satu minggu. gg Sukses atau tidaknya pengobatan untuk tiap pasien dicatat setelah 1 minggu. Tentukan ruang sampelnya dan berilah contoh t h kkejadian/eventnya. j di / t
Jawab:
Ruang sampelnya adalah S = {SS,ST,TS,TT}, {SS ST TS TT} dimana S = Sukses; T = Tidak sukses (nominal) Contoh kejadian, j , mis kejadian j E1 dimana kedua p pasien pengobatannya sukses, maka E1 ={SS}; dan E2 dimana salah satu pasien tetap sakit E2={ST,TS}
Contoh 4 10
Jawab:
Dilakukan survey y dan p pencatatan tingkat curah hujan setiap hari yang terjadi di suatu daerah pegunungan.
Misalkan X : tingkat g curah hujan j ((mm),), ruang sampel S = { x | 0 x 600, x R} dan E2 adalah kejadian tingkat curah hujan lebih dari 200 mm, mm maka E2 = {x | 200 < x 600, x R} e a a bahwa ba wa E2 S Perhatikan
Gabungan 11
Union U i d dua peristiwa i i E1 dan d E2 ditulis di li E1EE2, adalah himpunan semua elemen yang ada di d l E1 atau dalam t di d dalam l E2 (termasuk (t k di d dalam l keduanya jika ada).
Contoh.
Perhatikan Contoh 3.
j salah seorang gp pasien Misal E1 adalah kejadian sembuh, dan E2 adalah kejadian tidak ada pasien yang sembuh. Maka E1 E2 = {ST,TS,TT}.
Irisan 12
IIrisan i d dua peristiwa i i E1 dan d E2, ditulis di li E1∩E2, adalah himpunan semua elemen yang ada di d l E1 dan dalam d di d dalam l E 2.
Contoh. C h
Perhatikan P h ik C Contohh 2 2. Misalkan E1: himpunan suhu maksimum suatu percobaan b lebih l bih dari d i 36,5 36 5 oC, C dan d E2: himpunan hi suhu maksimum percobaan kurang dari 37,9 oC. Maka Ma a E1 ∩ E2 = {{x | 36,5 < x < 37,9}.
Komplemen 13
Komplemen suatu peristiwa E1, ditulis E1c, adalah himpunan semua elemen yang tidak di dalam E1.
Contoh. Contoh
Perhatikan Contoh 4. 4
E2c= {0 ≤ x ≤ 200}, yaitu himpunan tingkat curahh hujan h j dari d i 0 sampaii dengan d 200 mm.
Peluang g Suatu Kejadian j 14
Prinsip P i i dasar d : ffrekuensi k i relatif l tif Jika suatu ruang sampel mempunyai n(S ) elemen, dan suatu event E mempunyai n(E) elemen elemen, maka probabilitas E adalah:
n( E ) P( E ) n( S )
Contoh 5 15
Seorang pengusaha sukses merencanakan untuk berlibur keliling Indonesia 1 bulan penuh (terhitung tanggal 1 sampai tanggal terakhir bulan ybs) tahun 2010. Perusahaannya mewajibkan setiap anggotanya membuat surat izin tertulis dengan menyertakan lama waktu izin (dalam h i) Kantor hari). K t tempat t t pengusaha h tersebut t b t bekerja b k j 7h harii d dalam l 1 minggu. i Berapa peluang bahwa pengusaha sukses tersebut mengajukan izin 31 hari?
Jawab: n(S) = 12 (banyak bulan dalam 1 thn). Misal E : kejadian bulan dengan 31 hari, hari maka n(E) = 7 yaitu E = {Jan, Mar, Mei, Jul, Agt, Okt, Des}
n( E ) 7 P( E ) n( S ) 12
Aksioma Peluang 16
1 1.
0 ≤ P(E) ≤ 1. 1
2.
P(S) = 1.
3.
Jika E1 dan E2 adalah dua kejadian yang saling lepas,maka berlaku: P(E1E2 ) = P(E1) + P(E2)
4 Jika E1, E2,…,EEn adalah kejadian yang saling 4. lepas mutual, maka berlaku : P(E1EE2…EEn) = P(E1) + P(E2) +…+ + + P(En)
Peluang Bersyarat 17
Peluang bersyarat (conditional probability) dikatakan bersyarat y karena eventnya y sudah dibatasi. event pembatas itu A dan event yang probabilitasnya ingin dihitung adalah B, maka p peluang g bersyaratnya y y adalah:
Jika
P( A B) P( B A) P( A)
Peluang Bersyarat 18
Dalam P(B|A), event A adalah kejadian yang terjadi terlebih dahulu atau yang diamati lebih dulu, baru kemudian B.
Jika
A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas maka bebas, P(B|A) = P(B)
Contoh
6
19
Jenis Rambut
Warna Hit Hitam
Tid k Hit Tidak Hitam
Lurus
2
0
Ik l Ikal
2
4
Keriting
1
2
P(Lurus Hitam) 2 5 2 P(Lurus | Hitam) = : ( ) 11 11 5 P(Hitam)
Kejadian Saling Bebas dan Saling Lepas 20
D kejadian Dua k j di E dan d F dikatakan dik t k saling li b bebas b (independent) jika berlaku:
P ( EF ) P ( E ).P ( F ) Dua
kejadian E dan F dikatakan saling lepas jjika berlaku:
P ( EF ) 0
Contoh 7 7-21
Sebuah kartu dipilih secara acak dari serangkai kartu bridge yang berjumlah 52 kartu. Jika E adalah kejadian terpilih kartu As dan F adalah k j di terpilih kejadian ilih gambar b hhati.i TTunjukkan j kk b bahwa h E dan F saling bebas. Apakah E dan F saling lepas?
--Contoh Contoh 7 22
Jawab: P( EF ) 1/ 52 karena hanya terdapat satu As yang bergambar hati.
P( E ) 4 / 52 karena terdapat p 4 As dalam kartu bridge g
P( F ) 13 / 52 karena terdapat 13 kartu bergambar hati
4 13 52 1 P ( E ).P ( F ) . P ( EF ) 52 52 52 52.52 52 52 Jadi E dan F saling bebas, tapi tidak saling lepas.
Peluang Bersyarat Banyak kejadian 23
B5
B1 A B1 A B2
S
B2
A
A B5 A B3
A B4
B3
B4
Peluang Bersyarat Banyak kejadian 24
Aturan Bayes 25
Contoh 8 26
Sua u perusahaan Suatu pe usa aa besar besa menggunakan e ggu a a tiga ga hotel o e sebagai sebaga tempat menginap para langganannya. Dari pengalaman yang lalu diketahui bahwa 20% langganannya di tempatkan di Hotel I,I 50% di Hotel BB, dan 30% di Hotel S. S Bila 5% di Hotel I kamar mandi tidak berfungsi dengan baik, 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel S, berapa peluang bahwa, a. Seseorang langganan mendapat kamar yang kamar mandinya tidak baik. b. Seseorang g yang y g mendapat p kamar mandi yang y g tidak baik ditempatkan di Hotel S.
Solusi 27
Referensi 28
Dekking F.M., et.al., A Modern Introduction to Probability and Statistics,
London : Springer, 2005. Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Rosner, Bernard, Fundamentals of Biostatistics, 6th edition, Thomson Brooks/Cole, 2006. Walpole, p , Ronald E. dan Myers, y , Raymond y H.,, Ilmu Peluang g dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, p , Ronald E.,, et.al,, Statistitic ffor Scientist and Engineering, g g, 8th Ed., 2007. Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis y and Inference, f , USA: John J Wiley&Sons,Inc., y , , 2000.
