Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
“Orang Biologi Tidak Anti Statistika”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Silabus
Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi (cumulative distribution function), mean dan variansi, distribusi diskrit (binomial, Poisson, geometrik), distribusi kontinu (normal, seragam/uniform, eksponensial).
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Tujuan
1
Memahami definisi dan menentukan peubah acak (p.a)
2
Menghitung fungsi peluang (f.p) dan fungsi distribusi (f.d); f.p ke f.d; f.d ke f.p
3
Menghitung mean dan variansi
4
Mempelajari distribusi diskrit (binomial, Poisson) dan kontinu (normal, eksponensial)
5
Menghitung peluang suatu p.a dari distribusi diskrit atau kontinu
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Ilustrasi
(Ilustrasi-1) Manajemen suatu klinik kesehatan mengetahui bahwa lima persen penelepon yang mendaftar untuk periksa dokter tidak akan datang ke klinik. Dengan alasan ini, manajemen tidak ragu untuk menerima pendaftaran sebanyak 52 orang, walaupun kapasitas klinik sebenarnya hanya untuk 50 orang. Berapa peluang setiap penelepon/pendaftar yang datang akan dilayani dokter?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
(Ilustrasi-2) Lama waktu (dalam menit) mahasiswa mengikuti praktikum di Lab adalah peubah acak dengan fungsi peluang tertentu. Tentukan peluang seorang mahasiswa mengikuti praktikum lebih dari 15 menit? antara 20 dan 35 menit?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
0.050 0.025
10
20
30
40
Figure: Fungsi peluang lama waktu mahasiswa di Lab.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Peubah Acak
Peubah Acak: Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah” Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan anggota S ke bilangan real R
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
P.A. Diskrit
Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {ai , i = 1, 2, . . . } sedemikian hingga [ X P(X = ai ) = 1 P {X = ai } = i
i
Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dari bilangan real dan barisan {pi , i = 1, 2, . . . } dari bilangan positif yang bersesuaian sedemikian hingga X pi = 1 i
dan FX (x) =
X
pi
ai ≤x
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Jika diberikan himpunan terhitung P {ai , i = 1, 2, . . . } dan bilangan positif {pi , i = 1, 2, . . . } sdh i pi = 1, fungsi peluang pX (x) adalah pX (x) = pi = P(X = ai ), dengan x = ai
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Fungsi distribusi (kumulatif): F (x) = P(X ≤ x) Sifat-sifat: (a) F fungsi tidak turun (b) limx→∞ F (x) = 1 (c) limx→−∞ F (x) = 0 (d) F fungsi kontinu kanan
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Catatan: P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a) P(X ≤ b) 6= P(X < b) 1 n→∞ n 1 = lim P X ≤ b − n→∞ n 1 = lim F b − n→∞ n
P(X < b) = P
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
lim
X ≤b−
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Contoh/Latihan
1. Diketahui S = {00, 01, 10, 11}. Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya “0”. Nilai yang mungkin dari X adalah..., dengan fungsi peluang dan fungsi distribusi...
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
2. Tentukan fungsi 0, 3/5, F (x) = 7/10, 1,
peluang dari fungsi distribusi berikut: x < −3.1 −3.1 ≤ x < 0 0≤x <1 1≤x
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
3. Diketahui fungsi peluang sebagai berikut: p, x = −1.9 0.1, x = −0.1 0.3, x = 20p f (x) = p, x =3 4p, x = 4 0, yang lain Hitung P(−1.9 ≤ |X | ≤ 3), F (2), F (F (3.1))
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Ilustrasi
(Ilustrasi-1) Pasien di IGD adalah orang-orang yang dianggap dekat dengan kematian. Kesembuhan dari penyakit yang dideritanya bagi mereka adalah seperti mimpi. Untuk bisa bertahan hidup dari hari ke hari sudahlah merupakan mukjizat. Asumsikan bahwa setiap orang memiliki peluang yang sama untuk dapat bertahan hidup sampai hari esok sebesar α. Jika jumlah pasien IGD pada suatu hari adalah 5 orang, berapa peluang besok hanya akan ada 2 orang saja yang masih hidup?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
(Ilustrasi-2) Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi Poisson dengan parameter λ = 3. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada hari ini?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
(Ilustrasi-3) Tiga mahasiswi dokter yang sedang melakukan residensi bertugas di kamar mayat. Untuk menentukan siapa yang akan masuk ke “ruangan idaman” tersebut pertama kali, mereka sepakat untuk mengundi dengan melantunkan koin. Seseorang dengan hasil lantunan yang berbeda dengan yang lain akan menjadi orang pertama. Jika X menyatakan banyaknya lantunan koin yang harus dilakukan, tentukan P(X = 3).
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Distribusi Binomial Misalkan S = {sukses, gagal} adalah ruang sampel yang menotasikan ’sukses’ atau ’gagal’ dari suatu percobaan. Definisikan X (sukses) = 1 dan X (gagal) = 0 dan pX (1) = P(X = 1) = p pX (0) = P(X = 0) = 1 − p dimana 0 ≤ p ≤ 1 adalah peluang diperoleh sukses. X dikatakan peubah acak Bernoulli dengan parameter p. Jika dilakukan n percobaan independen dan jika X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh maka X dikatakan sebagai peubah acak Binomial dengan parameter (n, p), dimana pX (k) = B(k; n, p) = Ckn p k (1 − p)n−k Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Distribusi Poisson
Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang pX (i) = e −λ
λi i!
untuk i = 0, 1, 2, . . . dan λ > 0. X disebut peubah acak Poisson dengan parameter λ.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Distribusi Geometrik
Misalkan percobaan-percobaan dilakukan hingga diperoleh sukses yang pertama. Percobaan-percobaan tersebut saling bebas dan memiliki peluang sukses p. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mendapatkan sukses pertama tersebut, maka X dikatakan peubah acak Geometrik dengan parameter p. Fungsi peluangnya adalah p(n) = P(X = n) = (1 − p)n−1 p, untuk n = 1, 2, . . . dan p > 0.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Ilustrasi
(Ilustrasi) Riset bidang psikologi melibatkan pengukuran perilaku. Hasil-hasil pengukuran akan berbeda antara individu satu dengan yang lainnya. Namun demikian, sesungguhnya hasil-hasil tersebut dapat diprediksi sebagai kelompok individu. Salah satu pola umum pada hasil pengukuran (tentunya berupa angka) adalah bahwa kebanyakan pengukuran-pengukuran tersebut terkonsentrasi di sekitar mean dari distribusi tersebut. Ada sedikit hasil pengukuran yang jauh dari mean. Apabila distribusi frekuensi digambarkan, akan tampak kurva berbentuk bel (bell-shaped curve) yang disebut DISTRIBUSI NORMAL.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
P.A. Kontinu
Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya FX dapat diturunkan. Fungsi peluang fX adalah turunan dari fungsi distribusi, d FX (x) fX (x) = dx atau dengan kata lain Z x FX (x) = fX (t) dt −∞
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Definisi: Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi peluangnya ada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai peubah acak kontinu. Catatan: Z ∞ fX (t) dt 1 = FX (∞) = −∞
Z P(a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) = Z a P(X = a) = fX (t) dt = 0
b
fX (t) dt a
a
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Distribusi Normal
Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Normal atau GAUSS dengan parameter µ dan σ 2 jika fungsi peluang fX nya sbb: fX (x) = √
1 exp(−(x − µ)2 / 2 σ 2 ), −∞ ≤ x ≤ ∞ 2πσ
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Contoh/Latihan
Ukuran ideal jumlah mahasiswa di kelas BioStat adalah 60 orang. Namun demikian, PS Biologi ITB mencatat bahwa biasanya hanya 30 persen mahasiswa saja dari total yang terdaftar yang benar-benar hadir dalam perkuliahan. Jika PS Biologi ITB memutuskan menerima 180 mahasiswa untuk kelas BioStat, berapa peluang bahwa lebih dari 60 orang hadir di kelas?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Teorema Limit DeMoivre-Laplace: Jika Sn menyatakan ‘banyaknya sukses’ yang terjadi pada n percobaan independen, dengan peluang sukses adalah p, maka untuk setiap a < b, ! Sn − np P a≤ p ≤ b → Φ(b) − Φ(a), np(1 − p) untuk n → ∞. (pendekatan Normal untuk Binomial akan ‘baik’ jika np(1 − p) besar, np(1 − p) ≥ 10)
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Distribusi Uniform
Peubah acak kontinu X dikatakan berdistrbusi seragam pada selang (a, b) jika fungsi peluang fX nya sbb: fX (x) =
1 , a≤x ≤b b−a
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Contoh/Latihan
Lama waktu (dalam menit) mahasiswa mengikuti praktikum di Lab adalah peubah acak dengan fungsi peluang tertentu. Tentukan peluang seorang mahasiswa mengikuti praktikum lebih dari 15 menit? antara 20 dan 35 menit?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
0.050 0.025
10
20
30
40
Figure: Fungsi peluang lama waktu mahasiswa di Lab.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Distribusi Gamma Peubah acak Gamma: Misalkan percobaan Bernoulli diulang-ulang sebanyak n kali, maka banyaknya ‘sukses’ yang diperoleh adalah peubah acak berdistribusi Binomial dengan parameter n dan p, dimana p adalah peluang sukses. Jika kita memandang banyaknya percobaan Bernoulli yang dilakukan sampai diperoleh (dan termasuk) sukses ke-r , maka kita dapatkan peubah acak beristribusi Binomial negatif dengan parameter r dan p. Peubah acak Gamma adalah analogi dalam bentuk kontinu untuk peubah acak Binomial negatif. Dalam hal ini kita pandang peubah acak Binomial negatif ini sebagai waktu yang diberikan untuk sukses ke-r .
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Definisi: Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Gamma jika memiliki fungsi peluang f (x) =
λα α−1 −λx x e , x >0 Γ(α)
dimana α dan λ adalah bilang real positif. Kita katakan X berdistribusi Gamma dengan parameter α dan λ; x ∼ Gamma(α, λ).
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Definisi Fungsi Gamma: Z
∞
Γ(t) =
x t−1 e −x dx
0
Catatan: Γ(t + 1) = t Γ(t), t > 0
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Contoh/Latihan
1. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x <0 1 x 3 + 5, 0 ≤ x < 1 F (x) = 53 , 1≤x <2 9 2≤x <3 10 , 1, x ≥3
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
2. Pelajari distribusi eksponensial.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist