MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi

Silabus dan Tujuan Ilustrasi Peubah Acak Diskrit Distribusi Diskrit Peubah Acak dan Distribusi Kontinu Ekspektasi

MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

“Orang Biologi Tidak Anti Statistika”

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi


Silabus

Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi (cumulative distribution function), mean dan variansi, distribusi diskrit (binomial, Poisson, geometrik), distribusi kontinu (normal, seragam/uniform, eksponensial).




Tujuan

1

Memahami definisi dan menentukan peubah acak (p.a)

2

Menghitung fungsi peluang (f.p) dan fungsi distribusi (f.d); f.p ke f.d; f.d ke f.p

3

Menghitung mean dan variansi

4

Mempelajari distribusi diskrit (binomial, Poisson) dan kontinu (normal, eksponensial)

5

Menghitung peluang suatu p.a dari distribusi diskrit atau kontinu




Ilustrasi

(Ilustrasi-1) Manajemen suatu klinik kesehatan mengetahui bahwa lima persen penelepon yang mendaftar untuk periksa dokter tidak akan datang ke klinik. Dengan alasan ini, manajemen tidak ragu untuk menerima pendaftaran sebanyak 52 orang, walaupun kapasitas klinik sebenarnya hanya untuk 50 orang. Berapa peluang setiap penelepon/pendaftar yang datang akan dilayani dokter?




(Ilustrasi-2) Lama waktu (dalam menit) mahasiswa mengikuti praktikum di Lab adalah peubah acak dengan fungsi peluang tertentu. Tentukan peluang seorang mahasiswa mengikuti praktikum lebih dari 15 menit? antara 20 dan 35 menit?




0.050 0.025

10

20

30

40

Figure: Fungsi peluang lama waktu mahasiswa di Lab. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.



Peubah Acak

Peubah Acak: Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah” Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan anggota S ke bilangan real R




P.A. Diskrit

Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {ai , i = 1, 2, . . . } sedemikian hingga [ X P {X = ai } = P(X = ai ) = 1 i

i

Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit.




FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dari bilangan real dan barisan {pi , i = 1, 2, . . . } dari bilangan positif yang bersesuaian sedemikian hingga X pi = 1 i

dan FX (x) =

X

pi

ai ≤x




Jika diberikan himpunan terhitung P {ai , i = 1, 2, . . . } dan bilangan positif {pi , i = 1, 2, . . . } sdh i pi = 1, fungsi peluang pX (x) adalah pX (x) = pi = P(X = ai ), dengan x = ai




Fungsi distribusi (kumulatif): F (x) = P(X ≤ x) Sifat-sifat: (a) F fungsi tidak turun (b) limx→∞ F (x) = 1 (c) limx→−∞ F (x) = 0 (d) F fungsi kontinu kanan




Catatan: P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a) P(X ≤ b) 6= P(X < b) 1 n→∞ n 1 = lim P X ≤ b − n→∞ n 1 = lim F b − n→∞ n

P(X < b) = P


lim

X ≤b−



Contoh/Latihan

1. Diketahui S = {00, 01, 10, 11}. Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya “0”. Nilai yang mungkin dari X adalah..., dengan fungsi peluang dan fungsi distribusi...




2. Tentukan fungsi  0,    3/5, F (x) =  7/10,    1,

peluang dari fungsi distribusi berikut: x < −3.1 −3.1 ≤ x < 0 0≤x <1 1≤x




3. Diketahui  fungsi peluang sebagai berikut:  p, x = −1.9      0.1, x = −0.1    0.3, x = 20p f (x) =  p, x =3     4p, x = 4    0, yang lain Hitung P(−1.9 ≤ |X | ≤ 3), F (2), F (F (3.1))




Ilustrasi

(Ilustrasi-1) Pasien di IGD adalah orang-orang yang dianggap dekat dengan kematian. Kesembuhan dari penyakit yang dideritanya bagi mereka adalah seperti mimpi. Untuk bisa bertahan hidup dari hari ke hari sudahlah merupakan mukjizat. Asumsikan bahwa setiap orang memiliki peluang yang sama untuk dapat bertahan hidup sampai hari esok sebesar α. Jika jumlah pasien IGD pada suatu hari adalah 5 orang, berapa peluang besok hanya akan ada 2 orang saja yang masih hidup?




(Ilustrasi-2) Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi Poisson dengan parameter λ = 3. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada hari ini?




(Ilustrasi-3) Tiga mahasiswi dokter yang sedang melakukan residensi bertugas di kamar mayat. Untuk menentukan siapa yang akan masuk ke “ruangan idaman” tersebut pertama kali, mereka sepakat untuk mengundi dengan melantunkan koin. Seseorang dengan hasil lantunan yang berbeda dengan yang lain akan menjadi orang pertama. Jika X menyatakan banyaknya lantunan koin yang harus dilakukan, tentukan P(X = 3).




Distribusi Binomial Misalkan S = {sukses, gagal} adalah ruang sampel yang menotasikan ’sukses’ atau ’gagal’ dari suatu percobaan. Definisikan X (sukses) = 1 dan X (gagal) = 0 dan pX (1) = P(X = 1) = p pX (0) = P(X = 0) = 1 − p dimana 0 ≤ p ≤ 1 adalah peluang diperoleh sukses. X dikatakan peubah acak Bernoulli dengan parameter p. Jika dilakukan n percobaan independen dan jika X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh maka X dikatakan sebagai peubah acak Binomial dengan parameter (n, p), dimana pX (k) = B(k; n, p) = Ckn p k (1 − p)n−k Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.



Distribusi Poisson

Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang pX (i) = e −λ

λi i!

untuk i = 0, 1, 2, . . . dan λ > 0. X disebut peubah acak Poisson dengan parameter λ.




Distribusi Geometrik

Misalkan percobaan-percobaan dilakukan hingga diperoleh sukses yang pertama. Percobaan-percobaan tersebut saling bebas dan memiliki peluang sukses p. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mendapatkan sukses pertama tersebut, maka X dikatakan peubah acak Geometrik dengan parameter p. Fungsi peluangnya adalah p(n) = P(X = n) = (1 − p)n−1 p, untuk n = 1, 2, . . . dan p > 0.




Ilustrasi (Ilustrasi) Riset bidang psikologi melibatkan pengukuran perilaku. Hasil-hasil pengukuran akan berbeda antara individu satu dengan yang lainnya. Namun demikian, sesungguhnya hasil-hasil tersebut dapat diprediksi sebagai kelompok individu. Salah satu pola umum pada hasil pengukuran (tentunya berupa angka) adalah bahwa kebanyakan pengukuran-pengukuran tersebut terkonsentrasi di sekitar mean dari distribusi tersebut. Ada sedikit hasil pengukuran yang jauh dari mean. Apabila distribusi frekuensi digambarkan, akan tampak kurva berbentuk bel (bell-shaped curve) yang disebut DISTRIBUSI NORMAL.




P.A. Kontinu

Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya FX dapat diturunkan. Fungsi peluang fX adalah turunan dari fungsi distribusi, d FX (x) fX (x) = dx atau dengan kata lain Z x FX (x) = fX (t) dt −∞




Definisi: Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi peluangnya ada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai peubah acak kontinu. Catatan: Z ∞ 1 = FX (∞) = fX (t) dt −∞

Z P(a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) = Z a P(X = a) = fX (t) dt = 0

b

fX (t) dt a

a




Contoh/Latihan

1. Misalkan X p.a kontinu dengan fungsi peluang f (x) = c (4x − 2x 2 ), 0 < x < 2, Tentukan c. Hitung P(X > 1).




2. Misalkan X p.a kontinu dengan fungsi peluang f (x) = 10/x 2 , x > 10, Hitung P(X > 20). Tentukan fungsi distribusi dari X .




Distribusi Normal

Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Normal atau GAUSS dengan parameter µ dan σ 2 jika fungsi peluang fX nya sbb: fX (x) = √

1 exp(−(x − µ)2 / 2 σ 2 ), −∞ ≤ x ≤ ∞ 2πσ




Teorema Limit DeMoivre-Laplace: Jika Sn menyatakan ‘banyaknya sukses’ yang terjadi pada n percobaan independen, dengan peluang sukses adalah p, maka untuk setiap a < b, ! Sn − np P a≤ p ≤ b → Φ(b) − Φ(a), np(1 − p) untuk n → ∞. (pendekatan Normal untuk Binomial akan ‘baik’ jika np(1 − p) besar, np(1 − p) ≥ 10)




Contoh/Latihan

1. Misalkan X p.a berdistribusi normal dengan µ = 3 dan σ 2 = 9, hitung: (a) P(2 < X < 5); (b) P(X > 0); (c) P(|X − 3| > 6)




2. Ukuran ideal jumlah mahasiswa di kelas BioStat adalah 60 orang. Namun demikian, PS Biologi ITB mencatat bahwa biasanya hanya 30 persen mahasiswa saja dari total yang terdaftar yang benar-benar hadir dalam perkuliahan. Jika PS Biologi ITB memutuskan menerima 180 mahasiswa untuk kelas BioStat, berapa peluang bahwa lebih dari 60 orang hadir di kelas?




Distribusi Uniform

Peubah acak kontinu X dikatakan berdistrbusi seragam pada selang (a, b) jika fungsi peluang fX nya sbb: fX (x) =

1 , a≤x ≤b b−a




Contoh/Latihan

Lama waktu (dalam menit) mahasiswa mengikuti praktikum di Lab adalah peubah acak dengan fungsi peluang tertentu. Tentukan peluang seorang mahasiswa mengikuti praktikum lebih dari 15 menit? antara 20 dan 35 menit?




0.050 0.025

10

20

30

40

Figure: Fungsi peluang lama waktu mahasiswa di Lab. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.



Distribusi Gamma Peubah acak Gamma: Misalkan percobaan Bernoulli diulang-ulang sebanyak n kali, maka banyaknya ‘sukses’ yang diperoleh adalah peubah acak berdistribusi Binomial dengan parameter n dan p, dimana p adalah peluang sukses. Jika kita memandang banyaknya percobaan Bernoulli yang dilakukan sampai diperoleh (dan termasuk) sukses ke-r , maka kita dapatkan peubah acak beristribusi Binomial negatif dengan parameter r dan p. Peubah acak Gamma adalah analogi dalam bentuk kontinu untuk peubah acak Binomial negatif. Dalam hal ini kita pandang peubah acak Binomial negatif ini sebagai waktu yang diberikan untuk sukses ke-r .




Definisi: Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Gamma jika memiliki fungsi peluang f (x) =

λα α−1 −λx x e , x >0 Γ(α)

dimana α dan λ adalah bilang real positif. Kita katakan X berdistribusi Gamma dengan parameter α dan λ; x ∼ Gamma(α, λ).




Definisi Fungsi Gamma: Z

∞

Γ(t) =

x t−1 e −x dx

0

Catatan: Γ(t + 1) = t Γ(t), t > 0




Contoh/Latihan

1. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut:  0, x <0    1 x   3 + 5, 0 ≤ x < 1 F (x) = 53 , 1≤x <2   9  2≤x <3   10 ,   1, x ≥3




2. Pelajari distribusi eksponensial.




Definisi

Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah X x pX (x) E (X ) = x

dan

Z

∞

E (X ) =

x fX (x) dx −∞

dimana pX dan fX adalah fungsi peluang dari X .




Catatan: 1. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average) dari nilai yang mungkin dari X 2. Ekspektasi = mean = momen pertama 3. Ekspektasi suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-run average value) dari percobaan bebas yang berulang 3. Apakah ekspektasi harus berhingga? (Diskusi!)




Contoh/Latihan 1

Misalkan X adalah peubah acak dengan nilai yang mungkin −1, 0, 1 dan peluang: p(−1) = 0.2, p(0) = 0.5, p(1) = 0.3 Hitung E (X 2 ).

2

Diketahui fungsi peluang: f (x) = c (4x − 2x 2 ), 0 < x < 2 Hitung E (X ) dan P(1/2 < X < 3/2)

3

Jika X ∼ Pois(λ), tentukan E (X ). Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.



Sifat-sifat Ekspektasi

R∞

1

E (g (X )) =

2

E (a X + b Y ) = a E (X ) + b E (Y )

3

E (XY ) = E (X ) E (Y ), jika X dan Y saling bebas. R∞ E (X r ) = −∞ x r fX (x) dx (momen ke-r ) R∞ E ((X − µX )r ) = −∞ (x − µX )r fX (x) dx (momen pusat ke-r )

4 5 6

−∞

g (x) fX (x) dx

E ((X − µX )2 ) = Var (X ) = E (X 2 ) − (E (X ))2 Deviasi standar dari X adalah akar kuadrat Variansi dari X .




Contoh/Latihan 1. Misalkan Y menunjukkan banyaknya gol yang diciptakan oleh seorang pemain sepak bola di suatu pertandingan yang terpilih acak: y 0 1 2 3 4 5 6 p(y) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.05 0.05 Misalkan W adalah banyaknya pertandingan dimana seorang pemain sepak bola menciptakan 3 atau lebih gol dalam 4 pertandingan terpilih acak. Berapa nilai harapan banyak pertandingan dimana pemain menciptakan 3 atau lebih gol?




Solusi: P(Y ≥ 3) = 0.4 = P(’sukses’) = p E (W ) = n p = 4 (0.4) = 1.6




2. Misalkan X menyatakan lama (jam) mhs belajar BioStat dan fungsi peluang X adalah sbb: ( x − 2, 2 ≤ x < 3 f (x) = 1 4<x <6 4, 1

2 3

4

Berapa persen mhs menghabiskan waktu lebih dari 150 menit utk belajar BioStat? Berapa rata-rata lama waktu mhs belajar BioStat? Jika seorang mhs menghabiskan waktu lebih dari 130 menit, berapa peluang mhs itu selesai belajar kurang dari 4.5 jam ? Hitung P(X = 2), P(X = 3), P(X = E (X )), P(X < E (X ))




Solusi: R3

2.5 (x

− 2) dx +

R6

1

P(X > 2.5) =

2

E (X ) = 10/3

3

P(X < 4.5|X > 13/6) = P(13/6 < X < 4.5)/P(X > 13/6)

4

P(X = E (X )) = 0, P(X < E (X )) = P(X < 10/3) = 1/2


4

1/4 dx


MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi

Recommend Documents