PENAKSIRAN Penaksiran Titik Penaksiran Selang Selang Kepercayaan untuk RATAAN Selang Kepercayaan untuk VARIANSI MA2181 ANALISIS DATA Utriweni Mukhaiyar y 17 Oktober 2011
Metode Penaksiran 2
1
2
Penaksiran Titik
PPenaksiran ki Selang g
Nilai tunggal dari suatu parameter melalui pendekatan metode tertentu.
Nilai sesungguhnya dari suatu parameter berada di selang tertentu.
Contoh 1. Seorang mahasiswa ITB, ketika berada di tingkat pertama, memiliki target IP lulus adalah 3,5.
Contoh 2. Seiring berjalannya waktu, mahasiswa tersebut mengubah target IP lulus adalah minimal 3
IP = 3.5
IP = [3, 4]
Ilustrasi 3
Populasi Sampel
Parameter Populasi µ
σ2 titik?? selang??
?
menaksir ki
?
Parameter Sampel
Parameter sampel menaksir parameter populasi
Penaksiran Titik 4
Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran titik disebut penaksir atau fungsi keputusan. X
s2 2 Apakah X dan s2 merupakan penaksir yang baik
dan paling efisien bagi dan 2?
Penaksir Takbias dan Paling g Efisien 5
Definisi ˆ dikatakan penaksir takbias parameter Statistik bila, bil
ˆ ] ˆ E[
Dari semua penaksir takbias y yang g mungkin g dibuat, penaksir yang memberikan variansi terkecil disebut penaksir yang paling efisien
2 ˆ 1
2 ˆ 2
Penaksir Tak Bias untuk dan 2 6
Misalkan peubah acak X ~ N(,2)
1 n X Xi n i 1
penaksir tak bias untuk .
1 n 2 2. s X X penaksir takbias untuk i n 1 i 1 2
Bukti : dengan menunjukkan bahwa,
E[ X ] E[ s 2 ] 2
Penaksiran Selang 7
Taksiran T k i selang l g suatu t parameter t populasi l i :
ˆ1 ˆ2
ˆ1 dan ˆ2 : nilai dari peubah acak ˆ 1 dan ˆ 2 ˆ1 danˆ2 dicari sehingga memenuhi :
ˆ ˆ 1 P 1 2
dengan 0 < < 1.
taraf/koefisien kepercayaan
Selang kepercayaan : perhitungan selang
berdasarkan sampel p acak.
ˆ1 ˆ2
Skema Penaksiran 8
σ2
µ
1 POPULASI
2 POPULASI BERPASANGAN
2 POPULASI
1 POPULASI
Tabel
D
σ2 diketahui
σ2 tidak diketahui
Tabel z
Tabel t
2 POPULASI BERPASANGAN
n21
D
σ12 , σ22 diketahui
σ12 = σ22 tidak diketahui
σ12 ≠ σ22 tidak diketahui
Tabel z
Tabel t
Tabel t
2 POPULASI
Tabel
Fv1,v2
Kurva Normal Baku (Z~N(0,1)) menghitung tabel z 9
/2
P(-z1-/2 ≤ Z ≤ z1-/2)
/2
1-
-z1-/2
=0
z1-/2
( (1-/2) )
= 5% maka z1-/2 = z0,975 =1,96 P(Z ≤ z0,975) = 1 – 0,025 = 0,975 dan -z1-/2 = -z0,95= -1,96.
Kurva t-Student (T~tv) menghitung tabel t 10
P(-t/2 ≤ T ≤ t/2)
/2
/2
1-
-t/2
=0
t/2
= 5% dan n =10 maka t/2;n-1 = t0,025;9 = 2,262 P(T ≤ t0,025) = 0,025
dan -tt/2;n-1 2,262 262 /2 1 = -tt0,025;9 0 025 9= -2
Selang Kepercayaan (1 (1-) ) untuk 11
Kasus 1 p populasi, p , 2 diketahui
P z Z z 1 1 2 1 2 TLP :
X Z ~ N (0,1) / n
1 P X z X z 1 1 n n 2 2
SK (1 (1-) ) untuk jika 2 diketahui :
X z
1
2
n
X z
1
2
n
Selang g Kepercayaan p y ((1-)) untuk 12
Kasus 1 populasi, 2 tidak diketahui
P t T t 1 2 2 X ~ tn 1 s/ n
s s P X t X t 1 n n 2 2
SK (1-) (1 ) untuk jika 2 tidak diketahui :
X t 2
s s X t n n 2
Contoh 1 13
Survey tentang besarnya biaya pengeluaran yang dilakukan pada 50 buah rumah sakit di Amerika k d diketahui k h b berdistribusi d b normall d dengan simpangan baku $ 1,000 dan rata-rata pengeluaran l adalah d l h sebesar b $ 5,500. Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang l k kepercayaannya !
Contoh 2 14
Survey tentang besarnya biaya pengeluaran yang dilakukan pada 50 buah rumah sakit di Amerika k d diketahui k h b berdistribusi d b normal. l Ratarata pengeluaran adalah sebesar $ 5,500 dengan simpangan bakunya b k $ 1,000. Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang l k kepercayaannya ! Dapatkah Anda membedakan contoh 1 dengan contoh 2?
Analisis Contoh 15
Contoh 1
Contoh 2
Diketahui :
n = 50 , X 5500, σ = 1000
n = 50 , X 5500 , S = 1000
Ditanya :
SK 98% untuk ( = 0,02) 0 02)
SK 98% untuk ( = 0,02) 0 02)
Jenis kasus :
kasus menaksir dengan 2 diketahui diketahui,
kasus menaksir dengan 2 tidak diketahui, diketahui
Jawab :
z1-/2 = z0,99 = 2,33
t/2;n-1 = t0,01;49 = 2,326
X z
1
2
n
X z
1
2
n
X t 2
S S X t n n 2
Solusi Contoh 1 dan 2 S l Selang K Kepercayaan untukk 16
1. Jika 2 diketahui. 5500 2,33
1000 1000 5500 2,33 50 50
5170,488 5829,512
2. Jika 2 tidak diketahui. 5500 2,326
1000 1000 5500 2,326 50 50
5171,054 5828,946
Selang Kepercayaan (1-) untuk 1- 2 K Kasus 2 populasi l 17
X1 ~ N(µ N( 1 , σ12)
X2 ~ N(µ2 , σ22)
1. SK (1-) untuk (1- 2) jika 12 dan 22 diketahui ( X 1 X 2 ) Z1 / 2
12 n1
22 n2
1 2 ( X 1 X 2 ) Z1 / 2
12 n1
22 n2
Selang Kepercayaan (1-) untuk 1- 2 Kasus 2 populasi
18
2. SK (1-) untuk (1- 2) jika 12 , 22 tidak diketahui dan 12 ≠ 22
( X 1 X 2 ) t ; / 2
s12 s22 s12 s22 1 2 ( X 1 X 2 ) t ; / 2 n1 n2 n1 n2 2
s s n n dimana 2 12 2 2 ( s1 / n1 ) ( s2 / n2 ) 2 n1 1 n2 1 2 1
2 2
Selang Kepercayaan (1-) untuk 1- 2 Kasus 2 populasi
19
3. SK (1-) untuk (1- 2) jika 12 , 22 tidak diketahui dan 12 = 22 ( X 1 X 2 ) t ; / 2 s p
1 1 1 1 1 2 ( X 1 X 2 ) t ; / 2 s p n1 n2 n1 n2
(n1 1) S12 (n2 1) S22 dimana S p n1 n2 2
dan v = n1 + n2 - 2
2 2 n1 n2 n1 n2 2 2 X 1 X 1 n1 X 2 X 2 n2 1 1 1 1 atau S p n1 n2 2
JK X1 X1 JK X 2 X 2 n1 n2 2
Pengamatan Berpasangan 20
Ciri-ciri: Setiap p satuan p percobaan mempunyai p y sepasang p g pengamatan Data berasal dari satu populasi yang sama Contoh Produksi minyak sumur A pada tahun 1980 dan 2000 Penentuan p perbedaan kandungan g besi ((dalam pp ppm)) beberapa sampel zat, hasil analisis X-ray dan Kimia
Selang Kepercayaan (1 (1-) ) untuk d 21
SK untuk selisih pengamatan berpasangan dengan rataan d dan simpangan baku Sd :
d tn 1; 2
sd n
D d tn 1; 2
sd n
d 1 2 dengan di dimana d n : banyaknya b k pasangan.
k rata-rata dari d i selisih li ih 2 kelompok k l k data. d d merupakan
Kurva khi kuadrat (x~ ) menghitung tabel
2
22
/2
P 2 X 2 2 1 2 1 2
/2
1-
0
2
2
2
2
1
= 5% dan n =10 maka, 2 2
2
, n 1
1 , n 1 2
02,025;9 19,023
02,975;9 2,7
2 v
Kurva fisher (F~
)
Fv1 ,v2
menghitung tabel F 23
/2
f
1 ; n1 1, n2 1 2
1 f 2
1 P f F f 1 ;v1 ,v2 ;v1 ,v2 2 2
; n2 1, n1 1
1-
0
f
1
f
2
2
= 5% , n1 = 10 dan n2 = 9 maka, f f
1 ; n1 1, n 2 1 2
1 f 2
; n 2 1, n1 1
/2
1 f 0 ,975 ;8, 9
2
; n1 1, n 2 1
1 0,24 4,1
f 0 , 025 ;9 ,8 4,36 dan
Selang g Kepercayaan p y ((1-)) untuk σ2 24
Kasus 1 populasi 2 2 2 P X 1 2 1 2 X 2
( n 1) s 2
2
~ n21
2 (n 1) s 2 ( n 1) s 2 P 1 2 2 1 /2 /2
SK ((1 - )) 100% untuk 2 :
(n 1) s 2
2
( n 1);
2
2
(n 1) s 2
2
( n 1);1
2
Selang Kepercayaan (1-) untuk 12 /22
25
Kasus 2 p populasi p
1 P f F f 1 ;v1 ,v2 ;v1 ,v2 2 2 2 2 2 s1 F 2 2 ~ f ,v ,v 1 s2 2 2 2 2 1 s1 s1 1 2 2 f 1 P 2 ;v , v s2 f ;v1 ,v2 2 s2 2 2 1 2 SK (1 - ) 100% untuk 12 /22 : 1
s12 1 s22 f 2
;v1 , v2
12 s12 2 2 f 2 s2 2 ;v ,v 2
1
2
Referensi 26
Devore, J.L. D J L and dP Peck, k R., R Statistics St ti ti – The Th Exploration E l ti andd Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Pasaribu U Pasaribu, U.S., S 2007 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. Biostatistika Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, Inference USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000. Walpole Ronald E. Walpole, E Dan Myers, Myers Raymond H., H Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice Hall, 2007.
