PENAKSIRAN Penaksiran Titik Penaksiran Selang Selang Kepercayaan untuk µ Selang Kepercayaan untuk σ2 MA 2181 Analisis Data Utriweni Mukhaiyar Oktober 2010 © 2008 by USP & UM
METODE PENAKSIRAN 1.
Penaksiran Titik Nilai tunggal dari suatu parameter melalui pendekatan metode tertentu.
2.
Penaksiran Selang Nilai sesungguhnya dari suatu parameter yang berada di selang tertentu.
2 © 2008 by UM
CONTOH 1.
2.
Seorang mahasiswa calon sarjana Matematika, memiliki target IP ketika lulus adalah 3,5. Seorang mahasiswa lainnya memiliki target IP ketika lulus adalah minimal 3.
Kasus 1: taksiran titik Kasus 2: taksiran selang
IP = 3,5 IP = [3,4]
3 © 2008 by UM
1
ILUSTRASI
Populasi
Parameter Populasi
Sampel
µ
σ2 titik?? ?? selang??
?
menaksir ki
?
Parameter Sampel
Parameter sampel menaksir parameter populasi 4
© 2008 by UM
PENAKSIRAN TITIK
Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran titik disebut penaksir atau fungsi keputusan. X
s2 2 Apakah X dan s2 merupakan penaksir yang baik
dan paling efisien bagi dan 2?
© 2008 by UM
5
PENAKSIR TAKBIAS DAN PALING EFISIEN Definisi ˆ dikatakan penaksir takbias parameter Statistik bila,
ˆ ] ˆ E[
Dari semua penaksir takbias yang mungkin dibuat, penaksir yang memberikan variansi terkecil disebut penaksir yang paling efisien
2ˆ 2ˆ 1
2
© 2008 by UM
6
2
PENAKSIR TAK BIAS UNTUK DAN 2 Misalkan peubah acak X ~ N(,2) X
s2
1 n Xi n i 1
penaksir tak bias untuk .
1 n 2 X i X penaksir takbias untuk 2. n 1 i 1
Bukti : dengan menunjukkan bahwa,
E[ X ] E[ s 2 ] 2
7
© 2008 by UM
PENAKSIRAN SELANG Taksiran selang suatu parameter populasi :
ˆ1 ˆ2 ˆ ˆ ˆ dan ˆ dan : nilai dari peubah acak 1 2 1 2 ˆ ˆ 1 dan 2 dicari sehingga memenuhi :
ˆ ˆ 1 P 1 2
dengan 0 < < 1.
taraf/koefisien kepercayaan
Selang kepercayaan : perhitungan selang ˆ1 ˆ2
berdasarkan sampel acak.
© 2008 by UM
8
SKEMA PENAKSIRAN POPULASI
σ2
µ
1 POPULASI
2 POPULASI BERPASANGAN
2 POPULASI
1 POPULASI
Tabel
D
σ2 diketahui
σ2 tidak diketahui
Tabel z
Tabel t
© 2008 by UM
2 POPULASI BERPASANGAN
n21
D
σ12 , σ22 diketahui
σ12 = σ22 tidak diketahui
σ12 ≠ σ22 tidak diketahui
Tabel z
Tabel t
Tabel t
2 POPULASI
Tabel
Fv1,v2
9
3
KURVA NORMAL BAKU (Z~N(0,1)) MENGHITUNG TABEL
z
P(-z1-/2 ≤ Z ≤ z1-/2)
/2
/2
1-
=0
-z1-/2
z1-/2
(1-/2)
= 5% maka z1-/2 = z0,975 =1,96 P(Z ≤ z0,975) = 1 – 0,025 = 0,975 10
dan -z1-/2 = -z0,95= -1,96. © 2008 by UM
KURVA T-STUDENT (T~TV) MENGHITUNG TABEL
t
P(-t/2 ≤ T ≤ t/2)
/2
/2
1-
=0
-t/2
t/2
= 5% dan n =10 maka t/2;n-1 = t0,025;9 = 2,262 P(T ≤ t0,025) = 0,025
dan -t/2;n-1 = -t0,025;9= -2,262
11
© 2008 by UM
SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK Kasus
1 populasi, 2 diketahui
P z Z z 1 1 1 2 2 TLP :
X Z ~ N (0,1) / n
1 X z P X z 1 1 n n 2 2
SK (1-) untuk jika 2 diketahui :
X z © 2008 by UM
1
2
n
X z
1
2
n
12
4
SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK Kasus
1 populasi, 2 tidak diketahui P t T t 1 2 2 X ~ t n 1 S/ n
S S 1 X t P X t n n 2 2
SK (1-) untuk jika 2 tidak diketahui :
X t © 2008 by UM
2
S S X t n n 2
13
CONTOH 1 Survey
tentang besarnya biaya pengeluaran yang dilakukan pada 50 buah rumah sakit di Amerika diketahui berdistribusi normal dengan simpangan baku $ 1,000 dan rata-rata pengeluaran l adalah d l h sebesar b $ 5,500. Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya !
14 © 2008 by UM
CONTOH 2 Survey
tentang besarnya biaya pengeluaran yang dilakukan pada 50 buah rumah sakit di Amerika diketahui berdistribusi normal. Ratarata pengeluaran adalah sebesar $ 5,500 dengan simpangan bakunya b k $ 1,000. Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya ! Dapatkah Anda membedakan contoh 1 dengan contoh 2? 15
© 2008 by UM
5
ANALISIS CONTOH
Contoh 1
Contoh 2
Diketahui :
n = 50 , X 5500, σ = 1000
n = 50 , X 5500 , S = 1000
Ditanya :
SK 98% untuk ( = 0,02) 0 02)
SK 98% untuk ( = 0,02) 0 02)
Jenis kasus :
kasus menaksir dengan diketahui,
Jawab :
z1-/2 = z0,99 = 2,33
X z
1
t/2;n-1 = t0,01;49 = 2,326
X z
1
n
2
kasus menaksir dengan 2 tidak diketahui,
2
2
n
X t 2
S S X t n n 2
© 2008 by UM
16
SOLUSI CONTOH 1 DAN 2 1. SK 98% untuk jika 2 diketahui : 5500 2,33
1000 1000 5500 2,33 50 50
5170,488 5829,512
2. SK 98% untuk jika 2 tidak diketahui : 5500 2,326
1000 1000 5500 2,326 50 50 17
5171,054 5828,946
© 2008 by UM
SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK 12 KASUS 2 POPULASI
X1 ~ N(µ1 , σ12)
X2 ~ N(µ2 , σ22)
1.SK (1-) untuk (1- 2) jika 12 dan 22 diketahui ( X 1 X 2 ) Z1 / 2
12 n1
22 n2
12
1 2 ( X 1 X 2 ) Z1 / 2
n1
22 n2
© 2008 by UM
18
6
SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK 1- 2 KASUS 2 POPULASI
2. SK (1-) untuk (1- 2) jika 12 , 22 tidak diketahui dan 12 ≠ 22
( X 1 X 2 ) t ; / 2
S12 S 22 S2 S2 1 2 ( X 1 X 2 ) t ; / 2 1 2 n1 n2 n1 n2 2
S12 S22 n n2 dimana 2 12 ( S1 / n1 ) ( S 22 / n2 ) 2 n1 1 n2 1 © 2008 by UM
19
SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK 1- 2 KASUS 2 POPULASI
3. SK (1-) untuk (1- 2) jika 12 , 22 tidak diketahui dan 12 = 22 ( X 1 X 2 ) t ; / 2 S p
dimana S p
1 1 1 1 1 2 ( X 1 X 2 ) t ; / 2 S p n1 n2 n1 n2
(n1 1) S12 (n2 1) S 22 n1 n2 2
n1 n1 X 12 X 1 1 1 atau S p
© 2008 by UM
2
dan v = n1 + n2 - 2
2 n2 n2 n1 X 22 X 2 n2 1 1 n1 n2 2
JK X1 X1 JK X 2 X 2 n1 n2 2
20
PENGAMATAN BERPASANGAN Ciri-ciri: Setiap satuan percobaan mempunyai sepasang pengamatan Data berasal dari satu p populasi p y yang g sama Contoh Berat badan sebelum dan sesudah diet Penentuan perbedaan kandungan besi (dalam ppm) beberapa sampel zat, hasil analisis X-ray dan Kimia
21
© 2008 by UM
7
SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK D SK untuk selisih pengamatan berpasangan dengandrataan dan simpangan baku Sd :
d tn 1;
2
Sd S D d tn 1; d 2 n n
dimana d 1 2 dengan n = banyaknya pasangan.
d merupakan rata-rata dari selisih 2 kelompok data. 22 © 2008 by UM
KURVA KHI KUADRAT (X~ v ) 2 2
MENGHITUNG TABEL
/2
P 2 X 2 2 1 1 2 2
/2
1-
0
2
1
2
2
2
= 5% dan n =10 maka, 2 2
,n 1
2
© 2008 by UM
1 , n 1 2
02,025;9 19,023
02,975;9 2,7
23
KURVA FISHER (F~Fv1 ,v2 ) MENGHITUNG TABEL
/2
f
1 ; n1 1, n2 1 2
1 f 2
F
1 P f F f ;v1 ,v2 1 2 ;v1 ,v2 2
; n2 1, n1 1
1-
0
f
1
f
2
2
= 5% , n1 = 10 dan n2 = 9 maka, f f
1 ; n1 1, n 2 1 2
© 2008 by UM
1 f 2
; n2 1, n1 1
/2
1 f 0, 975;8,9
2
; n1 1, n2 1
1 0, 24 4,1
f 0 , 025 ;9 ,8 4,36 dan 24
8
SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK σ2 Kasus
1 populasi P 2 X 2 2 1 2 1 2 X2
( n 1) S 2
2
~ n21
(n 1) S 2 (n 1) S 2 1 P 2 2 12 / 2 / 2
SK (1 - ) 100% untuk 2 :
(n 1) S 2
© 2008 by UM
2 ( n 1);
2
(n 1) S 2
2
( n 1);1
2
25
2
SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK 12 /22 Kasus
2 populasi
1 P f F f 1 ;v1 ,v2 ;v1 ,v2 2 2 22 S12 F 2 2 ~ f ,v ,v 1 S2 2 2 S 1 2 S2 12 12 f P 12 1 ;v2 ,v1 S f S 2 2 2 ;v1 ,v2 2 2 SK (1 - ) 100% untuk 12 /22 : 1
© 2008 by UM
S12 1 S 22 f 2
; v1 ,v2
12 S12 f 22 S 22 2 ;v ,v 2
2
1
26
REFERENSI Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, Inference USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000. Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice 27 Hall, 2007. © 2008 by UM
9
