BAB III TAKSIRAN PROPORSI POPULASI JIKA TERJADI NONRESPON. Dalam bab ini akan dibahas penaksiran proporsi populasi jika terjadi

BAB III TAKSIRAN PROPORSI POPULASI JIKA TERJADI NONRESPON

Dalam bab ini akan dibahas penaksiran proporsi populasi jika terjadi nonrespon dan dilakukan callback sebanyak t = 2 kali. Selain itu, juga akan dibahas penentuan ukuran sampel yang diperlukan jika diduga terjadi nonrespon dan akan dilakukan callback sebanyak t = 2 kali. Dalam tugas akhir ini hanya akan dibahas pengambilan sampel yang dilakukan secara SRS pada setiap callback. Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu besarnya bias yang ditimbulkan pada taksiran proporsi populasi jika terjadi nonrespon.

3.1

Bias pada Taksiran Proporsi Populasi jika Terjadi Nonrespon

Nonrespon adalah suatu keadaan dimana unit populasi yang terpilih menjadi sampel tidak menanggapi angket yang telah dikirimkan. Misalkan angket yang dikirimkan adalah angket sederhana dan jawabannya hanya dapat berupa ’’setuju’’ atau ‘’tidak setuju’’. Jika peneliti akan melakukan penaksiran parameter (dalam tugas akhir ini proporsi) populasi berdasarkan data yang diperoleh dari responden yang merespon, maka akan terjadi bias

54

Taksiran Proporsi..., Nandya Ratna Eva Mutia, FMIPA UI, 2008

55

pada taksiran yang diperoleh. Misalkan populasi terbagi menjadi dua strata, yaitu: 1.

Stratum I: populasi yang memberikan respon

2.

Stratum II: populasi yang tidak memberikan respon

Misalkan notasi yang digunakan dalam populasi adalah:

N11 = ukuran populasi yang menjawab "setuju" dan memberikan respon N01 = ukuran populasi yang menjawab "tidak setuju" dan memberikan respon N12 = ukuran populasi yang menjawab "setuju" tetapi tidak memberikan respon N02 = ukuran populasi yang menjawab "tidak setuju" tetapi tidak memberikan respon N1 = ukuran populasi yang memberikan respon = N11 + N01 N2 = ukuran populasi yang tidak memberikan respon = N12 + N02 N = ukuran keseluruhan populasi = N1 + N2

Untuk lebih jelasnya mengenai notasi, perhatikan tabel berikut:

Tabel 3.1 Notasi Ukuran Populasi Jawaban Respon

Setuju

Tidak Setuju

Total Ukuran

Merespon

N11

N01

N1

Tidak Merespon

N12

N02

N2

Total Ukuran


N

56

Sebut: W1 = proporsi populasi yang memberikan respon =

N1 N

W2 = proporsi populasi yang tidak memberikan respon =

N2 N

p1 = proporsi populasi yang menjawab "setuju" dan memberikan respon =

N11 N1

p2 = proporsi populasi yang menjawab "setuju" tetapi tidak memberikan respon =

N12 N2

Parameter yang akan ditaksir dalam populasi adalah p, yaitu proporsi populasi yang memberikan jawaban “setuju”, dengan p =

N11 + N12 . Akan N

tetapi, karena tidak semua elemen populasi merespon maka taksiran proporsi hanya dapat diperoleh dari p1 . Oleh karena itu, terjadi bias (sebut =b), yaitu: b = p1 − p b=

N11 N11 + N12 − N1 N

b=

N11 N11 N1 N12 N2 − − N1 N1 N N2 N

b=

N11 ⎛ N1 ⎞ N12 N2 1− ⎟ − N1 ⎜⎝ N ⎠ N2 N

b = p1 (1 − W1 ) − p2W2


57

b = p1W2 − p2W2 = W2 ( p1 − p2 )

(3.1.1)

Persamaan (3.1.1) menyatakan bahwa bias merupakan selisih antara p1 , yaitu proporsi populasi yang menjawab “setuju” dan memberikan respon dengan p2 , yaitu proporsi yang menjawab ”setuju” tetapi tidak memberikan respon. Karena p2 merupakan proporsi maka: 0 ≤ p2 ≤ 1 Berdasarkan (3.1.1), jika p2 =0 maka b = W2 p1 dan jika p2 =1 maka b = W2 ( p1 − 1) = −W2 (1 − p1 ) . Sehingga diperoleh batas bawah untuk b (sebut

= m ) dan batas atas untuk b (sebut = M) sebagai berikut: m = −W2 (1 − p1 ) ≤ b ≤ W2 p1 = M

3.2

(3.1.2)

Callback

Jika terjadi responden yang tidak merespon salah satu cara mengatasinya adalah dengan melakukan pengambilan subsampel secara SRS dari responden yang tidak merespon. Tehnik pengambilan sampel ini yang biasa disebut callback merupakan penerapan double sampling untuk stratifikasi yang telah dibahas pada bab sebelumnya.


58

Misalkan populasi berukuran N dan diambil simple random sample berukuran n ' untuk dikirimkan angket. Misalkan dari sampel berukuran n ' tersebut, responden yang memberikan respon dianggap sebagai stratum 1 dan responden yang tidak memberikan respon dianggap sebagai stratum 2. Misal stratum 1 berukuran n1' dan stratum 2 berukuran n2' . Kemudian, pada tahap kedua ambil subsampel secara SRS dari stratum 1 dengan ukuran sampel n1 =

n2 =

1 ' n1 , dimana k1 = 1 dan dari stratum 2 dengan ukuran sampel k1

1 ' n2 , dimana k2 > 1 . Angket dikirimkan kembali hanya kepada n2 unit k2

subsampel untuk mendapatkan data respon.

Jadi, prosedur callback untuk t = 2 kali yang dilakukan adalah sebagai berikut: 1.

Kirimkan angket untuk sampel berukuran n ' yang dipilih secara SRS dari populasi berukuran N. Pada langkah ini menghasilkan sampel yang merespon dengan ukuran n1' dan sampel yang tidak merespon dengan ukuran n2' .

2.

Kirimkan kembali angket untuk sampel berukuran n2 =

1 ' n2 yang k2

dipilih secara SRS dari sampel yang tidak merespon pada langkah 1. Pada langkah ini mungkin juga menghasilkan sampel yang merespon dan tidak merespon. Akan tetapi, karena t dibatasi hanya sampai 2


59

kali maka tidak dilakukan kembali pengiriman angket. Ilusrasi callback seperti ditunjukkan oleh gambar berikut:

Gambar 3. 2 Callback diantara Responden yang Tidak Merespon

Misalkan Nh adalah ukuran populasi pada stratum ke-h, dimana h = 1 dan 2. Sebut w h = nh' n ' , maka w h adalah taksiran yang tak bias untuk

Wh = Nh N .

3.2.1 Taksiran untuk Proporsi jika Dilakukan Callback

Misalkan dalam populasi berukuran N diketahui nilai populasi

{u1,u2 ,...,uN }

dengan:

ui = 0 ; jika elemen ke-i memberikan jawaban ”tidak setuju” ui = 1; jika elemen ke-i memberikan jawaban ”setuju” dimana i = 1,2, ..., N.


60

{

}

Misalkan uh1, uh 2 ,..., uhNh adalah nilai populasi dari stratum ke-h, h = 1 dan 2 dengan:

uhi = 0 ; jika elemen ke-i pada stratum ke-h memberikan jawaban ”tidak setuju”

uhi = 1; jika elemen ke-i pada stratum ke-h memberikan jawaban ”setuju” dimana i = 1, 2, ..., Nh. Misalkan p adalah proporsi populasi yang memberikan jawaban ”setuju”, maka: N

p=

∑u i =1

i

N

Proporsi populasi pada stratum ke- h yang memberikan jawaban ”setuju”, ph , adalah: Nh

ph =

∑u i =1

hi

Nh

Dengan demikian, p dapat dinyatakan sebagai:

1 2 Nh p = ∑∑ uhi N h =1 i =1 p=

1 2 ∑ Nh ph N h =1


61

2

Nh ph h =1 N

p=∑ 2

p = ∑ Wh ph

.

h =1

p = W1p1 + W2 p2

{

Misalkan y h1, y h 2 ,..., y hnh

} adalah simple random sample {

dari stratum ke-h yang mempunyai elemen uh1, uh 2 ,..., uhNh

yang diambil

}

Definisikan:

pˆ =

1 n'

2

2 nh' ˆ p = w h pˆ h = w1pˆ1 + w 2 pˆ 2 ∑ h ' h =1 n h =1 2

∑ nh' pˆh = ∑ h =1

dimana pˆ h adalah taksiran proporsi populasi yang memberikan jawaban nh

”setuju” pada stratum ke-h, yaitu pˆ h =

∑y i =1

nh

hi

. Sehingga didapatkan

nh

L

pˆ = ∑ w h h =1

∑y i =1

nh

hi

.

Dapat dibuktikan bahwa: (a) pˆ adalah taksiran yang tak bias untuk proporsi populasi ( ≡ p ) .


62

(b) V ( pˆ ) =

Np (1 − p ) ⎛ 1 1 ⎞ W2N2 p2 (1 − p2 ) − + ( k2 − 1) , dengan k2 suatu N − 1 ⎜⎝ n ' N ⎟⎠ ( N2 − 1) n '

bilangan yang > 1

(

)

N − n' nh pˆ h (1 − pˆ h ) ⎛ k h 1 ⎞ n ' ( N − 1) ⎡ 2 ˆ ˆ ⎢∑ w h (c) V ( p ) = ' − + ( nh − 1) ⎜⎝ n ' N ⎟⎠ ( N − 1) n' n − 1 N ⎢⎣ h =1

(

)

(

)

N − n' ⎛ w h kh ⎞ − ' ⎟+ ⎜ ' ⎝ N n ⎠ ( N − 1) n

2

∑ w ( pˆ h

h =1

h

2

nh pˆ h (1 − pˆ h )

h =1

nh − 1

∑

⎤ 2 − pˆ ) ⎥ adalah taksiran yang tak bias ⎦⎥

dari V ( pˆ ) , dengan k1 = 1 dan k2 > 1 .

Pembuktian: (a) Untuk membuktikan bahwa taksiran tak bias dari proporsi populasi ( ≡ p ) 2

adalah pˆ = ∑ w h pˆ h yaitu dengan menunjukkan bahwa E ( pˆ ) = p . h =1

Bukti:

Karena pada double sampling untuk stratifikasi telah dibuktikan bahwa: L

L

h =1

h =1

pˆ = ∑ w h pˆ h adalah taksiran yang tak bias untuk p = ∑ Wh ph . Maka pada callback:

2

pˆ = ∑ w h pˆ h h =1

pˆ = w1pˆ1 + w 2 pˆ 2 =

(

1 ' n1pˆ1 + n2' pˆ 2 n'

)


(3.2.1.1)

⋅

63

2

adalah taksiran yang tak bias untuk p = ∑ Wh ph . h =1

Karena telah diperoleh E ( pˆ ) = p , maka terbukti bahwa pˆ =

(

)

2 1 ' ' ˆ ˆ n p + n p adalah taksiran tak bias untuk p = Wh ph . ∑ 1 1 2 2 n' h =1

(b) Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa V ( pˆ ) =

Np (1 − p ) ⎛ 1 1 ⎞ W2N2 p2 (1 − p2 ) − + ( k2 − 1) , dengan k2 suatu bilangan N − 1 ⎜⎝ n ' N ⎟⎠ ( N2 − 1) n'

yang > 1. Bukti:

Karena pada double sampling untuk stratifikasi telah dibuktikan bahwa: V ( pˆ ) =

Np (1 − p ) ⎛ 1 1 ⎞ L WhNh ph (1 − ph ) − +∑ ( kh − 1) , dimana kh suatu N − 1 ⎜⎝ n ' N ⎟⎠ h =1 ( Nh − 1) n '

bilangan yang ≥ 1. Maka pada callback diperoleh:

V ( pˆ ) =

Np (1 − p ) ⎛ 1 1 ⎞ 2 WhNh ph (1 − ph ) − +∑ ( kh − 1) N − 1 ⎜⎝ n ' N ⎟⎠ h =1 ( Nh − 1) n '

V ( pˆ ) =

Np (1 − p ) ⎛ 1 1 ⎞ W1N1p1 (1 − p1 ) W N p (1 − p ) − ⎟+ ( k1 − 1) + 2 2 2 ' 2 ( k2 − 1) ⎜ ' ' N −1 ⎝ n N ⎠ ( N2 − 1) n ( N1 − 1) n

Karena pada callback n2 =

1 ' n2 , dimana k2 > 1 dan n1 = n1' , sehingga k1 = 1. k2

Sehingga diperoleh:


64

V ( pˆ ) =

Np (1 − p ) ⎛ 1 1 ⎞ W2N2 p2 (1 − p2 ) − + ( k2 − 1) N − 1 ⎜⎝ n ' N ⎟⎠ ( N2 − 1) n '

Dengan demikian terbukti bahwa V ( pˆ ) =

Np (1 − p ) ⎛ 1 1 ⎞ W2N2 p2 (1 − p2 ) ( k2 − 1) . ⎜ − ⎟+ N − 1 ⎝ n' N ⎠ ( N2 − 1) n '

(3.2.1.2)

(c) Untuk membuktikan

(

)

N − n' nh pˆ h (1 − pˆ h ) ⎛ k h 1 ⎞ n ' ( N − 1) ⎡ 2 ˆ ⎢∑ w h V ( pˆ ) = ' − + nh − 1 ⎜⎝ n ' N ⎟⎠ ( N − 1) n ' n − 1 N ⎢⎣ h =1

(

) (N − n ) '

⎛ w h kh ⎞ − ' ⎟+ ⎜ ' ⎝ N n ⎠ ( N − 1) n

2


h =1

nh − 1

∑

⋅

⎤ 2 ˆ ˆ − w p p ) ⎥ adalah taksiran yang tak bias dari ∑ h( h h =1 ⎦⎥ 2

V ( pˆ ) , dengan k1 = 1 dan k 2 > 1 yaitu dengan menunjukkan bahwa

E ⎣⎡Vˆ ( pˆ ) ⎤⎦ = V ( pˆ ) . Bukti:

Karena pada double sampling untuk stratifikasi telah dibuktikan nh ⋅ pˆ h (1 − pˆ h ) ⎛ k h 1 ⎞ g ' n ' ( N − 1) ⎡ L ˆ ˆ bahwa: V ( p ) = ' ⎢∑ w h ⎜ n' − N ⎟ + n' nh − 1 n − 1 N ⎢⎣ h =1 ⎝ ⎠

(

⎛ w h kh ⎞ g ' ⎜ N − n' ⎟ + n' ⎝ ⎠

)

L

∑ w ( pˆ h =1

h

h

L

nh ⋅ pˆ h (1 − pˆ h )

h =1

nh − 1

∑

2⎤ − pˆ ) ⎥ adalah taksiran yang tak bias untuk ⎦

WhNh ph (1 − ph ) ⎛ k h 1 ⎞ g ' L N p (1 − ph ) − ⎟ + ' ∑ (Wh − 1) h h ⎜ ' ( Nh − 1) ⎝ n N ⎠ n N h=1 ( Nh − 1) h =1 L

V ( pˆ ) = ∑ g' n'

L

∑W ( p h =1

h

h

− p ) . Maka pada callback: 2


65

(

)

N − n' nh pˆ h (1 − pˆ h ) ⎛ k h 1 ⎞ n ' ( N − 1) ⎡ 2 ˆ ˆ ⎢∑ w h V ( p) = ' − + ( nh − 1) ⎜⎝ n ' N ⎟⎠ ( N − 1) n' n − 1 N ⎢⎣ h =1

(

)

(

)

N − n' ⎛ w h kh ⎞ − ' ⎟+ ⎜ ' ⎝ N n ⎠ ( N − 1) n

2

∑ w ( pˆ h

h =1

h

2


∑ (n h =1

h

− 1)

⎤ 2 − pˆ ) ⎥ ⎦⎥

⋅

(3.2.1.3)

adalah taksiran yang tak bias dari V ( pˆ ) =

Np (1 − p ) ⎛ 1 1 ⎞ W2N2 p2 (1 − p2 ) ( k2 − 1) . ⎜ − ⎟+ N − 1 ⎝ n' N ⎠ ( N2 − 1) n '

Dengan demikian, terbukti bahwa

(

)

N − n' nh pˆ h (1 − pˆ h ) ⎛ k h 1 ⎞ n ' ( N − 1) ⎡ 2 ˆ ⎢∑ w h V ( pˆ ) = ' − + nh − 1 ⎜⎝ n ' N ⎟⎠ ( N − 1) n ' n − 1 N ⎢⎣ h =1

(

) (N − n ) '

⎛ w h kh ⎞ − ' ⎟+ ⎜ ' ⎝ N n ⎠ ( N − 1) n

2

∑ w ( pˆ h =1

h

h

2


h =1

nh − 1

∑

⋅

⎤ 2 − pˆ ) ⎥ adalah taksiran yang tak bias dari V ( pˆ ) ⎦⎥

dengan k1 = 1 dan k 2 > 1 .

Sampling error dari taksiran proporsi tersebut adalah: ⎧⎪ n ' ( N − 1) ⎡ 2 nh pˆ h (1 − pˆ h ) ⎛ kh 1 ⎞ B ( pˆ ) = 2 Vˆ ( pˆ ) = 2 ⎨ ' ⎢∑ w h ⎜ n' − N ⎟ + n 1 − n N 1 − ⎝ ⎠ = 1 h ⎢ h ⎪⎩ ⎣

(

(

)

)

(

)

1

⎤ ⎫2 N −n N −n nh pˆ h (1 − pˆ h ) ⎛ w h kh ⎞ 2 ⎪ − + ∑ w h ( pˆ h − pˆ ) ⎥⎥ ⎬ nh − 1 ⎜⎝ N n ' ⎟⎠ ( N − 1) n ' h =1 ( N − 1) n ' ∑ h =1 ⎦ ⎭⎪ '

2

dengan k1 = 1 dan k 2 > 1 .


'

2

66

3.2.2 Ukuran Sampel Optimum jika Dilakukan Callback

c0 = biaya dalam pengambilan setiap unit sampel pertama kali

Misalkan

c1 = biaya dalam pengolahan per unit data yang diperoleh dari sampel tahap pertama yang merespon c2 = biaya dalam pengambilan dan pengolahan per unit data dari sampel yang tidak merespon pada tahap pertama tetapi merespon pada tahap kedua

Sehingga total biaya (c) adalah:

c = c0 n ' + c1n1' +

c2 n2' k2

Ekspektasi dari c (sebut= C) adalah: ⎛ c2n2' ⎞ c2 ' ' ' ' ' C = E ( c ) = E ⎜ c0 n + c1n1 + ⎟ = c0 n + c1E n1 + E n2 k2 ⎠ k2 ⎝

( )

C = c0 n ' + c1W1n ' +

c2 W2n ' k2

( )

(3.2.2.1)

Variansi dari pˆ (sebut= V) adalah:

V = V ( pˆ ) =

Np (1 − p ) ⎛ 1 1 ⎞ W2N2 p2 (1 − p2 ) ( k2 − 1) ⎜ − ⎟+ N − 1 ⎝ n' N ⎠ ( N2 − 1) n '


(3.2.2.2)

67

Permasalahan dalam menentukan ukuran sampel adalah: 1. Memilih n ' dan k2 supaya meminimumkan variansi V dengan C tertentu, atau 2. Memilih n ' dan k2 supaya meminimumkan C dengan variansi V tertentu.

Penyelesaian kedua masalah tersebut adalah sebagai berikut:

1. Untuk meminimumkan V =

Np (1 − p ) ⎛ 1 1 ⎞ W2N2 p2 (1 − p2 ) − + ( k2 − 1) ( N − 1) ⎜⎝ n ' N ⎟⎠ ( N2 − 1) n '

⎛ ⎞ c dengan syarat C − ⎜ c0 n ' + c1W1n ' + 2 W2n ' ⎟ = 0 k2 ⎝ ⎠

Akan dicari n ' dan k2 yang memenuhi dengan menggunakan pengali Lagrange. Sebelumnya, akan dibuktikan terlebih dahulu suatu pengujian nilai minimum, yaitu jika D > 0 dan

Pandang: D ( n ' , k 2 ) =

∂V > 0 , V adalah sebuah nilai minimum. ∂n '∂n '

∂V ∂V ∂V . Akan dibuktikan: D n ' , k 2 > 0 . − ' ' ' ∂n ∂n ∂k 2∂k2 ∂n ∂k 2

(

Bukti:

(

'

D n , k2

)

⎡ 2Np 1 − p ⎤ 2W2N2 p2 (1 − p2 ) 1 ( ) 1 ⎢ = + k − 1) ⎥ 0 − 3 3 ( 2 ' ' ' ⎢ ( N − 1) ⎥ N − 1 n ( ) 2 n n ⎣ ⎦

( )

( )

⎡ W N p 1− p ⎤ 1 ⎥ 2) ⎢− 2 2 2 ( ⎢ ( N2 − 1) n' n' 2 ⎥ ⎣ ⎦

( )


)

68

(

)

D n ' , k2 =

W2N2 p2 (1 − p2 )

( N2 − 1) n

'

1

(n ) '

2

Karena N2 > 1 sehingga ( N2 − 1) > 0 , n ' > 0 sehingga ( n ' ) > 0 , 2

0 < W2 < 1, dan 0 < p2 < 1 sehingga 0 < 1 − p2 < 1. Oleh karena itu diperoleh:

(

)

D n' , k2 > 0 .

Akan dibuktikan bahwa

∂V > 0. ∂n '∂n '

Bukti:

2Np (1 − p ) 1 2W2N2 p2 (1 − p2 ) 1 ∂V = + k − 1) 3 ( 2 ∂n ' ∂n ' ( N − 1) n ' 3 ( N2 − 1) n ' n'

( )

( )

Karena N > 1 sehingga ( N − 1) > 0 , N2 > 1 sehingga ( N2 − 1) > 0 ,

( )

n ' > 0 sehingga n '

2

> 0 , 0 < W2 < 1, 0 < p < 1 sehingga 0 < 1 − p < 1 , dan

0 < p2 < 1 sehingga 0 < 1 − p2 < 1. Oleh karena itu diperoleh:

∂V > 0. ∂n ' ∂n ' Lagrangian (sebut= L) adalah:

L=

⎡ Np (1 − p ) ⎛ 1 1 ⎞ W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎛ ⎞⎤ c − ⎟+ ( k2 − 1) + λ ⎢C − ⎜ c0n ' + c1W1n ' + 2 W2n ' ⎟ ⎥ ⎜ ' ' k2 ( N − 1) ⎝ n N ⎠ ( N2 − 1) n ⎝ ⎠⎦ ⎣


69

⎡ ⎤ c ∂L 1 Np (1 − p ) 1 ( k 2 − 1) W2N2 p2 (1 − p2 ) = − − + λ ⎢c0 + c1W1 + 2 W2 ⎥ = 0 2 2 ' ' ' ∂n k2 ( N − 1) ( N2 − 1) ⎣ ⎦ n n

( )

( )

(1) ⎛c ⎞ ∂L W2N2 p2 (1 − p2 ) = − λ ⎜ 22 W2 n ' ⎟ = 0 ' ∂k 2 ( N2 − 1) n ⎝ k2 ⎠

(2)

⎛ ⎞ c ∂L = C − ⎜ c0 n ' + c1W1n ' + 2 W2 n ' ⎟ = 0 k2 ∂λ ⎝ ⎠

(3)

dari (1) diperoleh:

⎡

λ ⎢c0 + c1W1 + ⎣

⎡

λ ⎢c0 + c1W1 + ⎣

⎤ c2 1 Np (1 − p ) 1 ( k2 − 1)W2N2 p2 (1 − p2 ) W2 ⎥ = + 2 2 k2 ( N − 1) ( N2 − 1) ⎦ n' n'

( )

⎤ c2 1 W2 ⎥ = 2 k2 ⎦ n'

( )

( )

⎡ Np (1 − p ) ( k 2 − 1)W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎤ + ⎢ ⎥ ( N2 − 1) ⎣⎢ ( N − 1) ⎦⎥

⎡ Np (1 − p ) ( k 2 − 1) W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎤ + ⎢ ⎥ ( N − 1) ( N2 − 1) ⎣ ⎦ λ= 2 ⎡ ⎤ c n ' ⎢c0 + c1W1 + 2 W2 ⎥ k2 ⎣ ⎦

( )

dari (2) diperoleh: W2N2 p2 (1 − p2 )

( N2 − 1) n

'

N2 p2 (1 − p2 )

( N2 − 1) ( n ' )

2

⎛c ⎞ = λ ⎜ 22 W2n ' ⎟ ⎝ k2 ⎠

⎛c ⎞ = λ ⎜ 22 ⎟ ⎝ k2 ⎠


(4)

70

k2 = λ 2

( )

c2 n '

2

(5)

N2 p2 (1 − p2 ) ( N2 − 1)

Substitusikan (4) ke (5), sehingga diperoleh:

k22

⎡ Np (1 − p ) ( k 2 − 1) W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎤ 2 + ⎢ ⎥ ' c n 1 1 N − N − ( ) ( ) 2 2 ⎦ =⎣ N2 p2 (1 − p2 ) 2 ⎡ ⎤ c n ' ⎢c0 + c1W1 + 2 W2 ⎥ k2 ( N2 − 1) ⎣ ⎦

k22

⎡ Np (1 − p ) ( k 2 − 1) W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎤ + ⎢ ⎥ 1 N − ( ) ( N2 − 1) c2 ⎣ ⎦ = N2 p2 (1 − p2 ) ⎡ ⎤ c2 ⎢c0 + c1W1 + k W2 ⎥ ( N2 − 1) 2 ⎣ ⎦

( )

( )

⎡ Np (1 − p ) ( k 2 − 1) W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ N p (1 − p2 ) ⎤ c k 2 2 ⎢c0 + c1W1 + 2 W2 ⎥ ⎢ 2 2 + ⎥ = c2 ⎢ ⎥ k2 ( N2 − 1) ⎢⎣ ( N − 1) ⎣ ⎦ ⎣⎢ ( N2 − 1) ⎦⎥ ⎦⎥ ⎡ N p (1 − p2 ) ⎤ ⎡ c2W2N2 p2 (1 − p2 ) c2W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎤ − k 2 2 [c0 + c1W1 ] ⎢ 2 2 ⎥ + k2 ⎢ ⎥ ( N2 − 1) ( N2 − 1) ⎢⎣ ( N2 − 1) ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡W N p (1 − p2 ) Np (1 − p ) ⎤ +c 2 ⎢ 2 2 2 − ⎥=0 ( N2 − 1) ( N − 1) ⎦⎥ ⎣⎢ ⎡ N p (1 − p2 ) ⎤ ⎡W2N2 p2 (1 − p2 ) Np (1 − p ) ⎤ k 2 2 [c0 + c1W1 ] ⎢ 2 2 − ⎥ + c2 ⎢ ⎥=0 ( N2 − 1) ( N − 1) ⎥⎦ ⎢⎣ ( N2 − 1) ⎥⎦ ⎢⎣

k22

⎡ Np (1 − p ) W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎤ c2 ⎢ − 1 N − ( ) ( N2 − 1) ⎥⎦ ⎣ = ⎡ N p (1 − p ) ⎤ [c0 + c1W1 ] ⎢ 2 N2 − 1 2 ⎥ ⎣ ( 2 ) ⎦


71

Karena k2 > 1 , maka solusi untuk k2 adalah:

⎡ Np (1 − p ) W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎤ c2 ⎢ − − N 1 ( ) ( N2 − 1) ⎥⎦ ⎣ k2 = ⎡ N p (1 − p ) ⎤ [c0 + c1W1 ] ⎢ 2 N2 − 1 2 ⎥ ⎣ ( 2 ) ⎦

p dan p2 tidak diketahui, maka karena tidak ada informasi apapun mengenai p dan p2 , ambil p = 0.5 dan p2 = 0.5 . Sehingga Np (1 − p )

( N − 1)

≈

N2 p2 (1 − p2 )

( N2 − 1)

. Oleh karena itu:

k2 =

c2 [1 − W2 ]

2. Untuk meminimumkan C = c0 n ' + c1W1n ' +

V−

(6)

[c0 + c1W1 ]

c2 W2n ' dengan syarat k2

Np (1 − p ) ⎛ 1 1 ⎞ W2N2 p2 (1 − p2 ) − − ( k2 − 1) = 0 . ( N − 1) ⎜⎝ n ' N ⎟⎠ ( N2 − 1) n '

Akan dicari n ' dan k2 yang memenuhi dengan menggunakan pengali Lagrange.

Lagrangian (sebut= L) adalah:


72

L = c0 n ' + c1W1n ' +

⎡ ⎤ Np (1 − p ) ⎛ 1 1 ⎞ W2N2 p2 (1 − p2 ) c2 W2n ' + λ ⎢V − k 1 − − − ( ) ⎥ 2 ⎜ ⎟ k2 ( N − 1) ⎝ n ' N ⎠ ( N2 − 1) n ' ⎢⎣ ⎥⎦

⎡ ⎤ c2 ∂L ⎢ 1 Np (1 − p ) + 1 ( k2 − 1)W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎥ = 0 c c W W λ = + + + 0 1 1 2 2 ' ⎢ n ' 2 ( N − 1) ⎥ k2 ∂n ' ( N2 − 1) n ⎣ ⎦

( )

( )

(1’) ⎛ W N p (1 − p2 ) ⎞ c ∂L = − 22 W2 n ' − λ ⎜ 2 2 2 ⎟⎟ = 0 ' ⎜ k2 ∂k 2 ⎝ ( N2 − 1) n ⎠

(2’)

Np (1 − p ) ⎛ 1 1 ⎞ W2N2 p2 (1 − p2 ) ∂L =V − − − ( k2 − 1) = 0 ∂λ ( N − 1) ⎜⎝ n' N ⎟⎠ ( N2 − 1) n '

(3’)

dari (1’) diperoleh: ⎡ ⎤ c2 1 Np (1 − p ) 1 ( k 2 − 1)W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎥ ⎢ + c0 + c1W1 + W2 = −λ 2 ⎢ n ' 2 ( N − 1) ⎥ k2 ( N2 − 1) n' ⎣ ⎦

( )

c0 + c1W1 +

( )

c2 −λ ⎡ Np (1 − p ) ( k 2 − 1) W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎤ W2 = + ⎥ 2 ⎢ k2 ( N2 − 1) n ' ⎢⎣ ( N − 1) ⎦⎥

( )

⎡ ⎤ c2 ⎢c0 + c1W1 + k W2 ⎥ ⎣ ⎦ 2 λ=− ⎡ Np (1 − p ) ( k2 − 1)W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎤ + ⎢ ⎥ ( N2 − 1) ⎣ ( N − 1) ⎦

(n ) '

2

dari (2’) diperoleh: ⎛ W N p (1 − p2 ) ⎞ c2 W2n ' = −λ ⎜ 2 2 2 2 ⎜ ( N − 1) n ' ⎟⎟ k2 2 ⎝ ⎠


(4’)

73

⎛ N p 1− p ⎞ ⎛ c2 ⎞ 2) ⎟ ⎜ 2 2( ⎜ 2 ⎟ = −λ ⎜ ' 2 ⎟ ⎝ k2 ⎠ ⎝ n ( N2 − 1) ⎠

( )

k22

⎛ ⎞ 2 ⎜ ⎟ ' n c2 ⎜ ⎟ =− λ ⎜ N2 p2 (1 − p2 ) ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ( N2 − 1) ⎠

( )

(5’)

Substitusikan (4’) ke (5’), sehingga diperoleh:

k22 = −

⎡ ⎤ c2 ⎢c0 + c1W1 + k W2 ⎥ 2 ⎣ ⎦ − ⎡ Np (1 − p ) ( k2 − 1) W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎤ + ⎢ ⎥ ( N2 − 1) ⎣ ( N − 1) ⎦ '

k22

( )

c2

(n )

⎛ ⎞ 2 ⎜ ⎟ ' n ⎜ ⎟ ⎜ N2 p2 (1 − p2 ) ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ( N2 − 1) ⎠

2

⎛ ⎡ Np (1 − p ) ( k2 − 1) W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎤ ⎞ + ⎜⎢ ⎥⎟ ( N2 − 1) c2 ⎜ ⎣ ( N − 1) ⎦⎟ = ⎜ ⎟ N2 p2 (1 − p2 ) ⎡ ⎤ c2 ⎜ ⎟ + + c c W W ⎢ 0 1 1 ⎟ N2 − 1) k2 2 ⎥⎦ ⎜ ( ⎣ ⎝ ⎠

⎡ Np (1 − p ) ( k 2 − 1) W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎤ ⎡ ⎤ N p (1 − p2 ) c k 2 2 ⎢c0 + c1W1 + 2 W2 ⎥ 2 2 = c2 ⎢ + ⎥ k2 ( N2 − 1) ⎢⎣ ( N − 1) ⎥⎦ ⎣ ⎦ ( N2 − 1) k 2 2 [c0 + c1W1 ]

N2 p2 (1 − p2 )

( N2 − 1)

+ k2c2W2

N2 p2 (1 − p2 )

( N2 − 1)

= k 2c 2

W2N2 p2 (1 − p2 )

( N2 − 1)

+ c2 ⋅

⎡ Np (1 − p ) W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎤ − ⎢ ⎥ ( N2 − 1) ⎦⎥ ⎣⎢ ( N − 1)


74

⎡ N p (1 − p2 ) ⎤ ⎡ c2W2N2 p2 (1 − p2 ) c2W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎤ − k 2 2 [c0 + c1W1 ] ⎢ 2 2 ⎥ + k2 ⎢ ⎥ ( N2 − 1) ( N2 − 1) ⎢⎣ ( N2 − 1) ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡W N p (1 − p2 ) Np (1 − p ) ⎤ +c2 ⎢ 2 2 2 − ⎥=0 ( N2 − 1) ( N − 1) ⎦⎥ ⎣⎢ ⎡ N p (1 − p2 ) ⎤ ⎡W2N2 p2 (1 − p2 ) Np (1 − p ) ⎤ k 2 2 [c0 + c1W1 ] ⎢ 2 2 − ⎥ + c2 ⎢ ⎥=0 ( N2 − 1) ( N − 1) ⎥⎦ ⎢⎣ ( N2 − 1) ⎥⎦ ⎢⎣

k22

⎡ Np (1 − p ) W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎤ c2 ⎢ − ⎥ N − 1 ( ) ( N2 − 1) ⎦ ⎣ = ⎡ N p (1 − p ) ⎤ [c0 + c1W1 ] ⎢ 2 N2 − 1 2 ⎥ ⎣ ( 2 ) ⎦

Karena k2 > 1 , maka solusi untuk k2 adalah:

⎡ Np (1 − p ) W2N2 p2 (1 − p2 ) ⎤ c2 ⎢ − N 1 − ( ) ( N2 − 1) ⎥⎦ ⎣ k2 = ⎡ N p (1 − p ) ⎤ [c0 + c1W1 ] ⎢ 2 N2 − 1 2 ⎥ ⎣ ( 2 ) ⎦

p dan p2 tidak diketahui, maka karena tidak ada informasi apapun mengenai p dan p2 , ambil p = 0.5 dan p2 = 0.5 . Sehingga Np (1 − p )

( N − 1)

≈

N2 p2 (1 − p2 )

( N2 − 1)

. Oleh karena itu:

k2 =

c2 [1 − W2 ]

[c0 + c1W1 ]


(6’)

75

Berdasarkan (6) dan (6’) diperoleh nilai k2 optimum adalah:

k 2 opt =

c2 [1 − W2 ]

[c0 + c1W1 ]

Dalam penelitian biasanya biaya ditentukan, maka jika C ditentukan akan dicari n ‘ dari (3), yaitu: ⎛ ⎞ c C − ⎜ c0 n ' + c1W1n ' + 2 W2n ' ⎟ = 0 k2 ⎝ ⎠ C = c0 n ' + c1W1n ' +

c2 W2n ' k2

⎛ ⎞ c C = ⎜ c0 + c1W1 + 2 W2 ⎟ n ' k2 ⎝ ⎠ ' nopt =

C ⎛ ⎞ c ⎜ c0 + c1W1 + 2 W2 ⎟ ⎜ ⎟ k2opt ⎝ ⎠

Dengan demikian, diperoleh k2 optimum adalah:

k 2 opt =

c2 [1 − W2 ]

[c0 + c1W1 ]

dan ukuran sampel optimum adalah:

' nopt =

C ⎛ ⎞ c ⎜ c0 + c1W1 + 2 W2 ⎟ ⎜ ⎟ k 2opt ⎝ ⎠


BAB III TAKSIRAN PROPORSI POPULASI JIKA TERJADI NONRESPON. Dalam bab ini akan dibahas penaksiran proporsi populasi jika terjadi

Recommend Documents