PENAKSIRAN NILAI PARAMETER POPULASI Setelah mengikuti perkuliahan minggu I, mahasiswa BOPR 5204 diharapkan mampu untuk (1) Menjelaskan penaksiran titik dan interval parameter populasi (2) Mengetahui jenis penaksiran parameter populasi (3) Menggunakan penaksiran nilai rata-rata dan proporsi yang sesuai dengan kasus (4) Menghitung jumlah sampel yang dibutuhkan
A. PENAKSIRAN PARAMETER POPULASI Keberadaan pedagang bensin jenis premium eceran sangat membantu masyarakat yang membutuhkan pelayanan dengan cepat. Namun demikian, karena tidak termasuk dalam jalur distribusi yang dikendalikan Pertamina masyarakat juga mengeluhkan kualitas bensin yang dicampur atau volume yang kurang. Menanggapi keluhan masyarakat tersebut, Lembaga Penelitian Universitas bermaksud mengajukan konsep kepada pihak Pertamina dan sebagai langkah awal perlu dilakukan penelitian tentang ketepatan timbangan premium isi 1 liter yang dijual pedangang eceran di wilayah Jakarta dengan menggunakan botol minuman. Seorang mahasiswa ditugaskan mencari data telah berhasil melakukan pengukuran ulang 10 botol isi 1 liter yang dibelinya dari 10 pedagang berlainan seperti data pada tabel berikut, Pedagang
Pedagang
1
Isi 1 botol (Liter) 0.90
2
Ke
Isi 1 botol (Liter)
6
0.90
0.95
7
1.00
3
0.95
8
0.80
4
0.80
9
0.95
5
0.85
10
1.00
Ke
Mahasiswa yang baru lulus Business Statistics I menyampaikan hasil temuannya sebagai berikut, (1) Rata-rata Terukur (Mean) 0.82 liter (2) Rata-Rata Lokasi (Median) 0.925 liter
Pengujian Hipotesa
Page 1
(3) Jumlah frekeuensi terbanyak (Modus) 0,95 liter. Pertanyaan yang muncul kalau hanya temuan mahasiswa tersebut yang akan dijadikan kesimpulan adalah sebagai berikut, (1) Statistik apakah yang paling tepat digunakan untuk menentukan rata-rata isi 1 liter yang dijual pedagang eceran (2) Apakah jumlah sampel 10 pedagang sudah cukup mewakili populasi bensin premium 1 liter yang dijual pedangan eceran di wilayah Jakarta
Statistik yang tepat untuk mengukur paramater rata-rata populasi adalah nilai tengah/mean (akan dijelaskan kemudian) dan tentu saja jumlah sampel 10 pedagang sangat tidak mewakili populasi rata-rata isi premium eceran di Wilayah Jakarta (akan dijelaskan kemudian). Untuk memenuhi persyaratan jumlah sampel dilakukan pengambilan data oleh 20 mahasiswa yang masing-masingnya mencari 10 pedagang berbeda sehingga jumlah sampel menjadi 200 botol isi 1 liter. Keseluruhan data yang berhasil disurvey mahasiswa menghasilkan nilai rata-rata yang tidak sama (Tabel II) Mahasiswa
1
Isi rata-rata botol 1 liter 0.90
11
Isi rata-rata botol 1 liter 0.90
2
0.95
12
0.85
3
0.95
13
0.82
4
0.80
14
0.85
5
0.85
15
0.80
6
0.82
16
0.90
7
0.90
17
0.85
8
0.85
18
0.83
9
0.90
19
0.84
10
0.82
20
0.80
Mahasiswa
Nilai rata-rata diatas akan membentuk distribusi sampel nilai rata-rata seperti ditunjukkan pada Tabel III
Pengujian Hipotesa
Page 2
Nilai Rata-rata
Frekuensi
0.80
3
0.82
3
0.83
1
0.84
1
0.85
5
0.90
5
0.95
2
Jumlah
20
Dari data nilai rata-rata yang diperoleh dari sampel, berapa taksiran nilai rata-rata volume botol 1 liter yang dijual pedagang eceran di Jakarta Dari distribusi sampel nilai rata-rata yang diambil dari 200 pedagang di jakarta dapat diperkirakan taksiran nilai rata-rata isi premium botol 1 liter yang dijual oleh pedagang di Jakarta (point estimation/ Penaksiran titik) dengan menggunakan nilai rata-rata (mean) yaitu sebeser 0.86 liter. Apabila distribusi sampel tersebut menghasilkan standar variansi 0.03, maka dapat dilakukan penaksiran interval kepercayaan (confidence level) nilai rata rata isi premiun botol 1 liter dengan memperhitungkan tingkat kepercayaan (level of confidence) yang ditetapkan. Dengan tingkat kepercayaan 90%, maka interval kepercayaan nilai rata-nilai rata adalah 0.86 + 1.645 (0.03) atau antara 0.81 liter sampai dengan 0.91 liter. Dengan tingkat kepercayaan 95%, maka interval kepercayaan nilai rata-rata adalah 0.86 + 1.960 (0.03) atau antara 0.80 liter sampai dengan 0.92 liter.
Penaksiran Titik (Point Estimation) adalah sebuah nilai yang diperoleh dari sampel (statistik sampel) yang digunakan untuk menduga nilai parameter populasi yang sesuai
Pengujian Hipotesa
Page 3
Penaksiran interval kepercayaan (Confidence Interval) adalah dugaan lebar interval parameter populasi yang diperoleh dari sampel pada tingkat kepercayaan yang ditetapkan
Tingkat Kepercayaan (level oi Confidence) adalah persentase dugaan selang yang memenuhi parameter yang diduga.
B. JENIS PENAKSIRAN PARAMETER Penaksiran parameter populasi yang sering digunakan digunakan untuk mendukung penelitian deskriptif terdiri dari, 1. Penaksiran nilai rata-rata ( µ ) populasi
•
∑
Penaksiran Nilai rata-rata populasi ∑ ∑
•
Interval Kepercayaan dari nilai rata-rata populasi tergantung dari besar sampel dan standar deviasi dari populasi, yaitu a. Bila standar deviasi populasi ( σ ) diketahui berdasarkan pengalaman
atau
penelitian
terdahulu
kepercayaan 1 maka / / √ √
dengan
tingkat
b. Bila standar deviasi populasi tidak diketahui dan jumlah sampel sama dengan atau lebih besar dari 30 ( n ≥ 30) dengan tingkat kepercayaan 1 maka /
√
/
√
c. Bila standar deviasi populasi tidak diketahui dan jumlah sampel sama dengan atau lebih besar dari 30 ( n < 30) dengan tingkat kepercayaan 1 maka Pengujian Hipotesa
Page 4
/
√
/
√
Untuk jumlah populasi yang terbatas (tertentu), maka interval kepercayaan harus dikoreksi dengan besaran faktor FPC (Finite Population Factor) yaitu
√
, sehingga menjadi
! ! !1 !1 √
2. Penaksiran nilai proporsi ( p ) populasi • •
Penaksiran proporsi populasi "# $
Penaksiran proporsi populasi untuk N besar atau p kecil "# 1 " "# 1 "# " "# /
"# /
C. PENAKSIRAN RATA-RATA POPULASI JIKA STANDAR DEVIASI (σ) POPULASI DIKETAHUI 1. Lihat exercises no 1 hal 297 (Lind/ Marchal/ Wathern) Diketahui : • • • •
Populasi normal n = 49 σ = 10 = 55
Ditanyakan : Interval kepercayaan 99 % dari nilai rata-rata populasi Jawab :
( 1 0.99 0.01 atau α/2 = 0.005) / 55 2.58
Pengujian Hipotesa
√
10
√49
/
√
55 2.58
10
√49 Page 5
55 2.58 1.428571 55 2.58 1.428571 55 3.68 55 3.68 51.314 58.686
2. Lihat exercises no 5 hal 297 (lind/Marchal/Wathen) Diketahui : • • • •
Belanja perokok setiap minggu berdistribusi normal n = 49 σ=$5 = $ 20
Ditanyakan : a. Penaksiran rata-rata dari populasi belanja perokok setiap minggu ? Alasannya ? b. Gunakan 95 % tingkat kepercayaan untuk menaksir interval kepercayaan belanja perokok setiap minggu ? ( 1 0.95 0.05 atau α/2 = 0.025) Jawab : a. µ = $ 20 . NIlai rata-rata sampel merupakan pekasiran terbaik untuk nilai rata-rata populasi /
b.
20 1.96
0
√
5
√49
/
0
√
20 1.96
20 1.4 20 1.4 18.60 21.4
5
√49
D. PENAKSIRAN RATA-RATA POPULASI JIKA STANDAR DEVIASI (σ) POPULASI TIDAK DIKETAHUI Lihat exercises no 9 hal 304 (Lind/ Marchal/ Wathern) Diketahui : • • •
= 20 n = 20 S=2
Pengujian Hipotesa
Page 6
Ditanyakan : a. Berapa rata-rata populasi ? Apa penaksiran terbaik untuk nilai ratarata populasi b. Mengapa harus menggunakan distribusi t ? Asumsi yang digunakan ? c. Untuk Tingkat kepercayaan 95%, berapa nilai t d. Hitung interval kepercayaan dari nilai rata-rata populasi e. Apakah cukup beralasan untuk menyimpulkan nilai rata rata populasi 21 telur ? 25 telur Jawab : a. Nilai rata-rata populasi belum diketahui. Penaksiran terbaik adalah 20 telur setiap bulan setiap ekor b. Jumlah sampel yang digunakan lebih kecil dari 30 dengan sumsi distribusi populasi normal atau mendekati normal c. t = 2.093
/
d.
/
1
√
1
√
2 2 20 2.093 2 3 20 2.093 √20 √20
20 2.093 0.4472 20 2.093 0.4472 20 0.94 20 0.94 19.06 20.94
e. Nilai rata-rata 21 atau 25 berada diluat interval kepercayaan E. PENAKSIRAN PROPORSI POPULASI Lihat exercises no 15 hal 308 (Lind/ Marchal/ Wathern) Diketahui : • •
N = 100 n = 80
Ditanyakan : a. Berapa proporsi populasi ? b. Interval kepercayaan proporsi untuk tingkat kepercayaan 95% 1 0.95 0.05 c. Interpretasikan hasil yang diperoleh pada jawaban b Jawab :
a. "# 55 0.80 45
Pengujian Hipotesa
Page 7
0.80 – 1.96
b.
5,45 5,5 55
" 0.80 1.96
5.45 5.5 55
0.80 – 1.96 0.04 " 0.80 1.96 0,04
0.80 – 1.96 0.04 " 0.80 1.96 0,04 0.80 – 0.08 " 0.80 0.08 0.72 " 0.88
c. Proporsi konsumen yang menggunakan kartu kredit atau kartu debut diperkirakan antara 72% sampai dengan 88% F. FAKTOR KOREKSI UNTUK PENAKSIRAN PARAMETER POPULASI TERBATAS Lihat exercises no 19 hal 310 (Lind/ Marchal/ Wathern) Diketahui : • • • •
N = 300 n = 36 35 S=5
Ditanyakan : Interval kepercayaan dari nilai rata-rata populasi untuk tingkat kepercayaan 95% sehingga 1 0.95 0.05
Jawab :
35 1.96
5
300 36 5 300 36 35 1.96 √36 300 1 √36 300 1
35 2.032 0.8333 0.939651 35 2.032 0,8333 0.939651 35 1.59 35 1.59 33.41 36.59
G. MENETAPKAN JUMLAH SAMPEL Untuk melakukan penaksiran yang lebih teliti maka kesalahan penaksiran dari parameter populasi sebenarnya akan semakin kecil. Hal tersbut hanya dimungkinkan apabila jumlah sampel semakin besar. Dengan demikian maka jumlah sampel yang harus diambil dipengaruhi oleh tiga factor, yaitu 1. Interval kepercayaan yang diinginkan 2. Batas maksimum kesalahan yang dibolehkan (E) 3. Variansi populasi Pengujian Hipotesa
Page 8
1. JUMLAH SAMPEL UNTUK MENDUGA NILAI RATA-RATA APABILA DEVIASI
STANDAR POPULASI DIKETAHUI Apabila E adalah batas maksimum kesalahan perkiraan nilai rata-rata, maka
Interval
/
kepercayaan
0
√
/
0
√
dapat
dinyatakan dengan rumusan sebagai berikut 8 8 yang mana
8 /
√
9: 0
;
<
√
9:/; <
Lihat Exercises no 23 hal 313. Diketahui : • • •
10
E=2
1 0.95 atau 0.05
Ditanyakan jumlah sampel yang dibutuhkan Jawab :
1.96 10 2
9.8 96.04 97 2. JUMLAH SAMPEL UNTUK MENDUGA PROPORSI
Apabila E adalah batas maksimum kesalahan yang diperkenankan bagi pendugaan Interval kepercayaan proporsi, maka
"# /
"# 1 " "# 1 "# " "# /
Dapat diubah menjadi "# 8 " "# 8 yang mana 8 =/ Pengujian Hipotesa
"# 1 "#
Page 9
8
=/
"# 1 "
8 "# 1 "# =/
=/ "# 1 "# 8 Lihat Exercises no 26 hal 313. Diketahui : • • •
" 0.45
E = 0.10
1 0.99 atau 0.005
Ditanyakan jumlah sampel yang dibutuhkan Jawab :
2.58 0.45 1 0.45 0.10 0.45 0.55 665.64 164,75 165
REFERENSI 1. Lind, Douglas, William marchal and Samuel Wathern., Statistical Techniques in Business and Economics, 14th Edition., Mc Graw Hill 2010 2. David C Howell., Statistical Methods for Psychology., Duxbury Press., Third Edition., 1992 3. Ronald E. Walpole., Pengantar Statistika., PT Gramedia., Edisi ketiga., Jakarta., 1988 4. Sugiarto.,dkk., Teknik Sampling., Penerbit PT Gramedia Pustaka Utama., Jakarta 2003
Pengujian Hipotesa
Page 10
