Penaksiran Parameter Model Regresi Polinomial Berkson Menggunakan Metode Minimum Distance Dian Kurniawati Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424
[email protected]
Abstrak
Berkson Measurement Error Model merupakan model regresi dimana nilai dari variabel prediktor yang terobservasi telah ditentukan sebelumnya dan mengandung error pengukuran atau error observasi. Pada model regresi nonlinier dengan kasus Berkson Measurement Error, fungsi regresi tidak hanya nonlinier dalam parameter tetapi fungsi regresinya dapat nonlinier dalam variabel prediktor seperti pada model regresi polinomial Berkson. Penaksiran parameter model regresi polinomial Berkson dapat dilakukan dengan beberapa metode diantaranya dengan metode OLS dan metode Minimum Distance. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode Minimum Distance berdasarkan momen pertama dan kedua dari variabel respon diberikan variabel prediktor terobservasi. Penaksir parameter model diperoleh dengan mensubstitusikan taksiran dari parameter-parameter baru yang muncul pada momen pertama dan kedua dari variabel respon diberikan nilai variabel prediktor terobservasi. Kata Kunci : Berkson Measurement Error, regresi polinomial Berkson, Minimum Distance, momen pertama dan kedua
Abstract
Berkson Measurement Error model is a regression model where the value of the observed predictor variable was determined and contained errors of measurement or error of observation. In the nonlinier regression model with Berkson case, the regression function not only nonlinear in parameters but it can be nonlinear in predictor variables such as Berkson polynomial regression model. The Parameter estimation of Berkson polynomial regression model can be estimated with several methods such as by OLS method and Minimum Distance methods. The method used in this journal is the Minimum Distance based on the first two conditional moment of the response variable given the value of observed predictor variable. Parameter estimators of model were obtained by substituting the value of new parameter estimators that appear on the first two conditional moment of the response variable given the value of observed predictor variable. Keywords : Berkson Measurement Error, Berkson polynomial regression model, minimum distance, first two conditional moment
1.
PENDAHULUAN
Pada model regresi linier maupun nonlinier yang dipelajari pada umumnya, diasumsikan bahwa nilai variabel prediktornya merupakan nilai yang sesungguhnya yang diperoleh dari hasil pengukuran atau observasi. Namun, adakalanya nilai yang sesungguhnya tersebut tidak diketahui atau tidak dapat diukur secara tepat sehingga hasil pengukuran yang terbaca mengandung error pengukuran atau error observasi. Variabel prediktor yang tak dapat diukur nilainya secara tepat ini disebut variabel prediktor tak terobservasi, sedangkan variabel yang
diperoleh dari hasil pembacaan pengukurannya disebut variabel prediktor terobservasi. Dalam analisis regresi, kasus ini dikenal dengan Measurement Error Model atau Error in Variable Model. Salah satu tipe Measurement Error Model adalah Berkson Measurement Error Model yang dapat dipelajari pada [1], [2], [3]. Pada model ini diasumsikan bahwa error observasi independen dengan variabel prediktor terobservasi, sedangkan antara error observasi dan variabel prediktor tak terobservasi saling dependen. Dalam hal ini nilai variabel prediktor terobservasi
Kekonsistenan penaksir..., Dian Kurniawati, FE UI, 2013
Diasumsikan fix sedangkan nilai variabel prediktor tak terobservasi bervariasi secara random diantara nilai variabel prediktor terobservasi tersebut. Pada definisi model regresi nonlinier dengan kasus Berkson Measurement Error Model, fungsi regresinya tidak hanya nonlinier dalam parameter seperti dalam teori model regresi umumnya [6], tetapi fungsi regresinya dapat merupakan fungsi nonlinier dalam variabel prediktor seperti model regresi polinomial Berkson yang dipelajari dalam [5],[7]. Penaksiran parameter model regresi polinomial Berkson dapat dilakukan dengan beberapa metode diantaranya dengan metode Ordinary Least Square yang dipelajari dalam [5] atau dengan metode Minimum Distance berdasarkan momen pertama dan kedua dari variabel respon diberikan variabel prediktor terobservasi yang diperkenalkan dalam [7]. Penelitian ini akan membahas proses penaksiran parameter model regresi polinomial Berkson menggunakan metode Minimum Distance berdasarkan momen pertama dan kedua dari variabel respon diberikan variabel prediktor terobservasi.Variabel prediktor yang akan digunakan yaitu variabel prediktor univariat dan distribusi dari Measurement Error adalah normal dengan mean nol dan variansi konstan.
2.
METODE PENELITIAN
Metode penelititan yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur tentang Nonlinear Regression Measurement Error Model khususnya pada teori Berkson Measurement Error Model dan studi literatur tentang ekspektasi matematika khususnya pada teori ekspektasi matematika bersyarat. Literatur yang dipelajari akan digunakan untuk mengembangkan penelitian tentang penaksiran parameter model regresi polinomial Berkson.
3.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Secara umum model regresi polinomial Berkson dapat dimodelkan sebagai berikut : ๐
๐ฆ๐ = ๐0 + ๐1 ๐ฅ๐ + ๐2 ๐ฅ๐2 + . . . + ๐๐ ๐ฅ๐ + ๐๐ (1) ๐ฅ๐ = ๐ง๐ โ ๐ฟ๐ ; i = 1,2,โฆn.
(2)
dimana: ๐ฆ๐ = variabel respon, ๐ฅ๐๐ = variabel prediktor yang tak terobservasi, k = 1,2, . . .p ๐๐ parameter model yang tidak diketahui,๐๐ โ 0 m = 0,1, . . .p ๐๐ = error model ๐ง๐ = variabel prediktor yang terobservasi ๐ฟ๐ = error observasi (Measurement Error)
dengan asumsi bahwa : 1. ๐ฆ๐ ๐ ๐
, ๐ฅ๐ ๐ ๐
, ๐ง๐ ๐ ๐
, i = 1,2,โฆn dimana nilai-nilai ๐ง๐ dikotrol dan merupakan variabel yang fix dalam beberapa pengulangan pengambilan sampel sedangkan nilai ๐ฅ๐ berkisar seara random diantara ๐ง๐ 2. ๐ฝ ๐ ๏๏ ๐
๐+1 dimana ๐ฝ = ๐0 , ๐1 , ๐2 , . . . , ๐๐ adalah vektor yang entri-entrinya adalah parameter ๐๐ , ๐ = 0,1,2, โฆ ๐ dan ๏ adalah ruang paremeter dari nilai-nilai ๐ฝ yang mungkin. 3. Error model, ๐๐ ~ ๐๐๐๐ (0, ๐๐2 ) , ๐๐2 โ ๐ ๏ ๐
dimana ๏๐ adalah ruang paremeter dari nilainilai variansi error model ๐๐2 yang mungkin. 4. Error observasi, ๐ฟ๐ ~ ๐๐๐๐ 0, ๐๐ฟ2 , ๐๐ฟ2 โ ๐ฟ ๏ ๐
dimana ๏ฮด adalah ruang paremeter dari nilainilai variansi error observasi ๐๐ฟ2 yang mungkin. 5. Antara ๐๐ , ๐ฟ๐ dan ๐ง๐ mutually independen untuk semua i, j dan ๐ dimana i = 1,2,โฆn , j = 1,2,โฆn dan ๐= 1,2,โฆn Berdasarkan persamaan (1), model regresi polinomial Berkson mengandung parameterparameter yang tidak diketahui nilainya. Parameterparameter tersebut yaitu : koefisien regresi ๐๐ , ๐ = 0,1,2, โฆ , ๐; variansi error model ๐๐2 dan variansi Measurement Error ๐๐ฟ2 . Dalam penelitian ini, metode Minimum Distance akan digunakan untuk menaksir parameter-parameter tersebut. Misalkan ๐ฆ๐ , ๐ง๐ menyatakan data sampel untuk ๐ = 1,2, โฆ , ๐. Maka berdasarkan persamaan (1), penaksir parameter model regresi polinomial Berkson menggunakan metode Minimum Distance diperoleh dengan meminimumkan fungsi objektif : ๐๐ (๐ธ)=
๐ ๐=1 [(๐ฆ๐
โ ๐1 ๐ง๐ ; ๐ธ )2 + (๐ฆ๐2 โ ๐2 ๐ง๐ ; ๐ธ )2 ]
dimana: ๐1 ๐ง๐ ; ๐ธ
= model untuk ๐ธ[๐ฆ|๐ง๐ ] (momen pertama dari variabel respon ๐ฆ diberikan variabel prediktor terobservasi ๐ง = ๐ง๐ ) ๐2 ๐ง๐ ; ๐ธ = model untuk ๐ธ[๐ฆ 2 |๐ง๐ ] (momen kedua dari variabel respon ๐ฆ diberikan variabel prediktor terobservasi ๐ง = ๐ง๐ ) ๐ธ = vektor dari parameter-parameter dalam model (1) yang nilainya tidak diketahui. dimana ๐ธ = (๐ฝt , ๐๐2 , ๐๐ฟ2 )๐ dan ๐ธ โ ๏๏RP+3 . Himpunan ๏ merupakan ruang parameter yang memuat nilainilai ๐ธ yang mungkin. Berdasarkan persamaan model (1) beserta asumsi pada model tersebut akan ditentukan momen pertama dan kedua dari variabel respon ๐ฆ๐ diberikan variabel prediktor terobservasi ๐ง๐ sebagai berikut : Dalam teorema binomial diketahui bahwa ๐โ๐
๐
๐
= ๐=0
Kekonsistenan penaksir..., Dian Kurniawati, FE UI, 2013
(โ1)i
๐ ๐
๐๐โ๐ ๐ i
(3)
berdasarkan teorema tersebut dan berdasarkan bentuk momen ke-k dari Measurement Error ๐ฟ๐ yang dijelaskan dalam [4] :
๐ธ ๐ฟ๐
0 , ๐ = ๐ ๐! , ๐ 2๐/2 !
๐+1
๐ธ ๐ฟ๐
๐ bilangan genap
2
๐0โ
=
๐1โ
=
0 0
2 2 โ1 ๐ ๐๐ 1 ๐ + 32 0 1 ๐โ1
๐0 +
โ1
๐2โ
=
2 0
โ1 โฎ =
๐๐โ
๐ 0
4 2 ๐โ2
๐2 +
๐2 ๐๐ฟ2 + ๐๐ ๐ธ
5 4
๐5
๐ 4 4! 22 2 ! ๐ 4 4!
๐๐ ๐ธ
22 2 ! ๐ฟ๐๐โ1
6 4
๐ 4 4! 6 22 2 !
๐4 ๐๐ฟ2 + ๐ ๐โ2
๐4
๐๐ ๐ธ
๐
๐๐
(5)
Selanjutnya akan ditentukan momen kedua dari variabel respon ๐ฆ๐ diberikan variabel prediktor terobservasi ๐ง๐ sebagai berikut : ๐
๐ธ ๐ฆ๐2 |๐ง๐
= ๐ธ (๐0 + ๐1 ๐ฅ๐ + ๐2 ๐ฅ๐2 + . . . + ๐๐ ๐ฅ๐ +
๐)2|๐ง๐
๐๐2 ๐ธ[๐ฟ 2๐โ2 ]
(7)
๐1 (๐ง๐ ; ๐พ) = ๐ ๐0โ + ๐1โ ๐ง๐ + ๐2โ ๐ง๐2 + . . . + ๐๐โ ๐ง๐ (8)๐2 ๐ง๐ ; ๐พ = # 2๐ ๐0# + ๐1# ๐ง๐ + ๐2# ๐ง๐2 + . . . + ๐2๐ ๐ง๐ (9)
+ โฏ+
+ โฏ+
+...+
Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh model untuk momen pertama dan kedua dari variabel respon ๐ฆ๐ diberikan variabel prediktor terobservasi ๐ง๐ :
+ โฏ+
๐ฟ๐๐โ2
๐ธ ๐ฟ๐
โฎ โฎ = ๐๐2
# ๐2๐
๐ฟ๐๐
๐3 ๐๐ฟ2 + ๐ ๐โ1
4 4
๐+2
๐+1 ๐โ1
.
2๐ 2๐โ2
2๐โ2
โ1
๐
dimana
๐+2
2๐2 ๐๐ โ1
maka momen pertama dari variabel respon ๐ฆ๐ diberikan variabel prediktor terobservasi ๐ง๐ adalah : ๐ธ ๐ฆ๐ |๐ง๐ =๐ธ ๐0 + ๐1 ๐ฅ๐ + ๐2 ๐ฅ๐2 + . . . + ๐๐ ๐ฅ๐ + ๐ |๐ง๐ =๐ธ ๐0 + ๐1 (๐ง๐ โ ๐ฟ๐ + ๐2 (๐ง๐ โ ๐ฟ๐ )2 + . . . . + ๐๐ (๐ง๐ โ ๐ฟ๐ )๐ + ๐ |๐ง๐ ๐ = ๐0โ + ๐1โ ๐ง๐ + ๐2โ ๐ง๐2 + . . . + ๐๐โ ๐ง๐ (4)
2๐ โ 1 2๐โ2 ๐ธ ๐ฟ๐ 2๐ โ 2
2๐โ2
๐โ2 ๐ ๐ธ ๐ฟ๐ + = 2๐0 ๐2 20 + โฏ + ๐0 ๐๐ โ1 ๐โ2 ๐โ2 4 2 ๐ 2 + โฏ + 2๐1 ๐๐ โ1 ๐+1 . + 2๐1 ๐3 ๐12 2 ๐ฟ 0 ๐โ1 ๐+1 ๐ธ ๐ฟ๐ + ๐22 ๐๐ฟ2 + โฏ + ๐โ1
๐2#
๐ bilangan ganjil
+ โฏ + 2๐๐ โ1 ๐๐ โ1
Langkah selanjutnya adalah mencari penaksir # dari ๐0โ , ๐1โ , ๐2โ , . . . ๐๐โ , ๐0# ๐1# , ๐2# , . . . ๐2๐ pada persamaan (8) dan (9) menggunakan metode Minimum Distance. Penaksir dari parameterparameter dalam kedua persamaan tersebut diperoleh dengan mencari solusi dari : (๐ฆ๐ โ ๐1 ๐ง๐ ; ๐พ )2 + (๐ฆ๐2 โ ๐2 ๐ง๐ ; ๐พ )2
๐ ๐=1
Min๐๐ ๐พ =Min
Fungsi ๐๐ (๐พ) diatas harus diminimumkan terhadap # ๐0โ , ๐1โ , ๐2โ , . . . ๐๐โ , ๐0# ๐1# , ๐2# , . . . ๐2๐ sedemikian sehingga memenuhi persamaan-persamaan berikut :
๐
=๐ธ[๐02 + 2๐0 ๐1 ๐ฅ๐ + 2๐0 ๐2 ๐ฅ๐2 + โฏ + ๐0 ๐๐ ๐ฅ๐ + ๐ ๐ ๐ ๐ ๐+1 3 2 2 ๐ 2 โ โ โ โ 2๐0 ๐ + ๐1 ๐ฅ๐ + 2๐1 ๐2 ๐ฅ๐ + โฏ + 2๐1 ๐๐ ๐ฅ๐ + ๐ฆ๐ ๐๐0 + ๐1 ๐ง๐ + ๐2 ๐ง๐ + . . . + ๐๐ ๐ง๐ = ๐+2 ๐=1 ๐=1 ๐=1 ๐=1 2๐1 ๐ฅ๐ ๐ + ๐22 ๐ฅ๐4 + โฏ + 2๐2 ๐๐ ๐ฅ๐ + ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ 2๐ ๐ 2๐2 ๐ฅ๐2 ๐ +. . . +๐๐2 ๐ฅ๐ + 2๐๐ ๐ฅ๐ ๐ + ๐ 2 |๐ง๐ ] ๐0โ ๐ง๐ + ๐1โ ๐ง๐2 + ๐2โ ๐ง๐3 + . . . + ๐๐โ ๐ง๐๐+1 = ๐ฆ๐ ๐ง๐ # 2๐ ๐=1 ๐=1 ๐=1 ๐=1 ๐=1 = ๐0# + ๐1# ๐ง๐ + ๐2# ๐ง๐2 + . . . + ๐2๐ ๐ง๐ (6) โฎ ๐
dimana ๐0# = ๐02 ๐ ๐
0 0
+ 2๐0 ๐2 22 ๐ ๐ธ ๐ฟ๐ +๐12 22
๐๐ฟ2 +2๐1 ๐3
4!๐ 4
4 4 22 2 !
+ โฏ+
๐+1
2๐2 ๐4
๐=1
๐๐0#
๐โ1 1 ๐ +โฆ+2๐0 ๐๐ โ1 ๐โ1 ๐โ1 ๐ธ[๐ฟ๐ ]+ 0 ๐ 2๐1 ๐2 32 ๐๐ฟ2 +โฆ+2๐1 ๐๐ โ1 ๐ ๐+1 ๐ธ ๐ฟ๐ ๐ 4!๐ 4 2๐2 ๐3 54 2 +โฆ+2๐2 ๐๐ โ1 ๐+1 ๐+2 ๐+1 2 2!
๐ง๐
๐
+
๐
๐
๐
๐=1
๐ 2๐ ๐ง๐
๐0#
+
๐ 2๐+1 ๐ง๐
๐1# ๐=1
+
๐=1
๐
๐ง๐
โฎ ๐ง๐
๐=1 ๐
๐ 4๐
# + . . . +๐2๐
๐=1
๐ฆ๐2 ๐ง๐
=
๐=1
2๐+2
๐2#
๐
2๐+1
# ๐ง๐3 + . . . + ๐2๐
๐ฆ๐2
=
๐=1
๐ง๐2 + ๐2# ๐=1
๐
2๐ ๐ง๐
# ๐2๐
๐ฆ๐ ๐ง๐ ๐=1
๐
+ . . .+
๐
๐ง๐ = ๐=1
๐ง๐2
๐2#
๐
2๐
+ . . . + ๐๐โ
๐=1
๐ง๐ + ๐1# ๐=1
๐ง๐ ๐=1
๐
๐ง๐ + ๐=1
๐
๐+2
+ ๐2โ
๐=1
๐1#
๐
๐0#
๐=1
= 2๐0 ๐1
๐
๐+1
๐ง๐ + ๐1โ
๐๐ฟ2 + โฏ + 2๐0 ๐๐ โ1 ๐ .
6 6 6!๐ +โฆ+ 6 23 3 ! ๐+2 ๐+2 ๐+2 ๐ธ ๐ฟ๐ +. . . + 2๐2 ๐๐ โ1 ๐+2 2๐ 2๐ ๐๐2 (โ1)2๐ 2๐ ๐ธ ๐ฟ๐ + ๐๐2
2๐1 ๐๐ โ1
๐1#
๐
๐
๐0โ
๐ง๐ ๐=1
2๐
๐ฆ๐2 ๐ง๐
= ๐=1
yaitu terbentuk persamaan normal sebanyak 3p+2 , jika dinotasikan dalam matriks maka diperoleh : B ๏= A
Kekonsistenan penaksir..., Dian Kurniawati, FE UI, 2013
# Maka penaksir untuk ๐0โ , ๐1โ , ๐2โ , . . . ๐๐โ , ๐0# ๐1# , ๐2# , . . . ๐2๐ dapat diperoleh dengan cara :
๐ โ๐
โ โ
๐+2๐
๐ธ ๐ฟ๐
โ โ Dengan mensubstitusi ๐0โ , ๐1โ , ๐2โ , . . . , ๐๐โ2 , ๐๐โ1 , ๐๐โ 2 โ โ โ โ โ โ dengan ๐0 , ๐1 , ๐2 , . . . , ๐๐โ2 , ๐๐โ1 , ๐๐ ๐๐ฟ yang diperoleh ๐+2๐ +1 matriks ๏ dan mensubstitusikan ๐๐ฟ2 , ๐ธ ๐ฟ๐ atau
B ๏= A B ๏= ๐ โ๐ A ๏= ๐ โ๐ A
๐+2๐
๐ธ ๐ฟ๐ Berdasarkan diperoleh :
persamaan
= ๐๐โ โ = ๐๐โ1 โ = ๐๐โ2 โ ๐2 ๐๐ ๐๐ฟ2 โ = ๐๐โ3 โ ๐โ1 ๐๐โ1 ๐๐ฟ2 2 โฎ โฎ = ๐1โ โ 32 ๐3โ โ โฏ โ โ1 ๐โ3
๐๐ ๐๐โ1 ๐๐โ2 ๐๐โ3
๐1
5 4
๐5โ โ โฏ โ โ1
โ1
๐0
= ๐0โ โ ๐2โ โ 6 4
4 2
๐ ๐โ1
๐โ1
2 2 ๐4โ
๐ ๐
๐๐โ ๐ธ ๐ฟ๐๐โ3 ๐๐ฟ2 โ
๐๐โ ๐ธ ๐ฟ๐๐โ5
๐ 4 4! 22 2 !
โ โฏโ
๐๐โ ๐ธ ๐ฟ๐๐โ1
๐6โ โ โฏ โ โ1
๐
๐ ๐โ3
๐ ๐โ6
๐โ6
๐โ2
๐โ4
๐โ4
๐ ๐โ2
๐+2๐
atau ๐ธ ๐ฟ๐ maka diperoleh penaksir bagi ๐0 , ๐1 , ๐2 , . . . , ๐๐โ2 , ๐๐โ1 , ๐๐ dalam persamaan (10) yaitu : ๐0 , ๐1 , ๐2 , . . . , ๐๐โ2 , ๐๐โ1 , ๐๐ (12) Langkah selanjutnya ialah mencari penaksir bagi variansi error model ๐๐2 . Berdasarkan bentuk ๐0# dalam persamaan (7) dan dengan mensubstitusikan setiap ๐0 , ๐1 , ๐2 , . . . , ๐๐โ2 , ๐๐ โ1 , ๐๐ , ๐0# , ๐๐ฟ2 dan ๐+2๐ +1 ๐+2๐ ๐ธ ๐ฟ๐ atau ๐ธ ๐ฟ๐ dengan ๐+2๐ +1
๐0 , ๐1 , ๐2 , . . . , ๐๐โ2 , ๐๐โ1 , ๐๐ , ๐0# , ๐๐ฟ2 dan ๐ธ ๐ฟ๐ ๐+2๐
atau ๐ธ ๐ฟ๐ maka diperoleh penaksir bagi variansi error model :
.
๐4โ โ โฏ โ โ1 โ1
๐ ๐โ5
๐โ5
โ โฏ โ โ1
โ1
4 4
(5) secara rekursif
๐ ๐โ4
๐๐โ ๐ธ ๐ฟ๐๐โ4 ๐๐ฟ2 โ
๐๐โ ๐ธ ๐ฟ๐๐โ6
๐ 4 4! 22 2 !
โ โฏ โ ๐๐ฟ2 -
๐๐2 =
๐ ๐ 4 4! ๐๐โ ๐ธ ๐ฟ๐๐โ4 โ โฏโ ๐โ4 22 2 !
2๐1 ๐3
๐ 2
๐๐โ
2
โ
2๐ 2
# ๐2๐ ๐๐ฟ2
Sehingga diperoleh : ๐๐ฟ2
=
# โ 2๐๐โ โ2 ๐๐โ โ๐2๐ โ2 + ๐๐ โ1
2
2 # 2 ๐2 ๐๐โ โ 2๐ 2 ๐2๐
# # โ Dengan mensubtitusikan setiap ๐2๐ , ๐2๐โ2 , ๐๐โ , ๐๐โ1 # # โ โ โ dengan ๐2๐ , ๐2๐โ2 , ๐๐โ , ๐๐โ1 dan ๐๐โ2 yang dan ๐๐โ2 diperoleh dari matriks ๏ maka diperoleh penaksir bagi variansi error observasi (measurement error) ๐๐ฟ2 yaitu :
๐๐ฟ2
=
# โ 2๐๐โ โ2 ๐๐โ โ ๐2๐ โ2 + ๐๐ โ1
2
๐+2๐ +1
๐ธ ๐ฟ๐
Sebaliknya, jika ๐ adalah genap maka akan diperoleh:
4!๐๐ฟ4 22 2 !
๐ ๐
๐ธ
โ โฏ โ 2๐1 ๐๐ โ1
๐+1
.
sehingga diperoleh penaksir bagi parameter-parameter model polinomial Berkson, yaitu : ๐0 , ๐1 , ๐2 , . . . , ๐๐โ2 , ๐๐โ1 , ๐๐ , ๐๐2 dan ๐๐ฟ2 . Model fit Minimum Distance untuk regresi polinomial Berkson adalah :
2 # 2 ๐2 ๐๐โ โ 2๐ 2 ๐2๐
(11) Jika derajat polinom ๐adalah ganjil maka berdasarkan bentuk ๐ธ ๐ฟ ๐ dan dengan mensubstitusi ๐๐ฟ ๐+2๐ +1 dengan ๐๐ฟ ๐+2๐ +1 maka akan diperoleh :
4 4
๐
2 2
๐๐ฟ2 โ โฏ โ 2 ๐ ๐ฟ๐ ๐1 22 ๐๐ฟ2 โ
โ 2๐0 ๐2 ,
๐+1 2 4 ๐+1 โ ๐ธ ๐ฟ๐ โ ๐2 ๐+1 4 4 6 6! ๐๐ฟ6 2 4 4! ๐๐ฟ 2๐2 ๐4 โ ๐ โ 2 6 23 3 ! 4 22 2 ! 4 4 2 4 4! ๐๐ฟ 2 4 4! ๐๐ฟ ๐2 โ ๐ โ 2 4 22 2 ! 4 22 2 ! 6 6 6! ๐๐ฟ 2๐2 ๐4 โ โฏ + 2๐2 ๐๐ โ1 ๐+2 . 6 23 3 ! 2 ๐+2 2๐ ๐+2 ๐ธ ๐ฟ๐ โ. . . โ๐๐ (โ1)2๐ 2๐ ๐ธ ๐ฟ๐ ๐+2 2๐ (13)
Berdasarkan persamaan (7) diperoleh bahwa : # ๐2๐ = ๐๐2 โ 2
2 0 0
4! ๐๐ฟ4 22 2 !
(10)
2
๐0# โ ๐0
2๐0 ๐๐ โ1
๐๐โ ๐ธ ๐ฟ๐๐โ2
๐๐โ ๐ธ ๐ฟ๐๐
# โ โ โ ๐2๐ โ2 =2๐๐โ2 ๐๐ + ๐๐โ1
๐+2๐ +1
masing-masing dengan ๐๐ฟ2 dan ๐ธ ๐ฟ๐
๐
๐ฆ๐ = ๐0 + ๐1 ๐ฅ๐ + ๐2 ๐ฅ๐2 + . . . + ๐๐ ๐ฅ๐ ; ๐ฅ๐ = ๐ง๐ โ ๐ฟ๐ ; i = 1,2,โฆn
4.
KESIMPULAN
Penaksir parameter model regresi polinomial Berkson dapat diperoleh dengan meminimumkan fungsi objektif Minimum Distance berdasarkan momen pertama dan kedua dari variabel respon
Kekonsistenan penaksir..., Dian Kurniawati, FE UI, 2013
diberikan vaiabel prediktor terobservasi. Dengan mensubstitusikan parameter-parameter baru yang muncul pada momen pertama dan kedua secara simultan maka akan diperoleh seluruh parameterparameter model regresi polinomial Berkson.
UCAPAN TERIMAKASIH Penulis mengucapkan terima kasih banyak kepada Ibu Siti Nurrohmah dan Ibu Dian Lestari selaku pembimbing skripsi yang telah memberikan banyak masukan dan arahan dalam penulisan makalah ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih banyak kepada orangtua penulis dan adik-adik tercinta terutama dudu yang setia menemani dan memberikan doa-doa terbaiknya, terima kasih atas kado terindahnya.
[2] R. J. Carroll,D. Ruppert, and L. A. Stefanski, Measurement
Error
In
Nonlinier
Models,
Chapman and Hall, London,2006 [3] W. A. Fuller,Measurement Error Models, John Wiley & Sons, New York ,1987 [4] R. V.Hogg, andA. T.Craig, Introduction to mathematical statistics, 5th ed, Prentice Hall Inc, New Jersey, 1995 [5] L. Huwang, andY. H. S. Huang,Y. H,On error-in Variables in Polinomial Regression Berkson case. Statistic Sinica, 10, (2000), 923-936. [6] D. C.Montgomery, E. A.Peck, andG.G. Vining, Introduction to Linier Regression Analysis, 3rd ed,
DAFTAR ACUAN
John Wiley & Sons, New York, 2001 [7] L. Wang,Estimation Of Nonlinier Berkson-Type
[1] J. Berkson, Are There Two Regression?. American Statistical Association, 45, (1950), 164180.
Measurement Error Models. Statistica Sinica, 13, (2003), 1201-1210.
Kekonsistenan penaksir..., Dian Kurniawati, FE UI, 2013