PENAKSIRAN PARAMETER PADA MODEL REGRESI SPATIAL PANEL DATA SATU ARAH RIFKI KOSASIH. Penaksiran parameter..., Rifki Kosasih, FMIPA UI, 2009

PENAKSIRAN PARAMETER PADA MODEL REGRESI SPATIAL PANEL DATA SATU ARAH

RIFKI KOSASIH 0305010548

UNIVERSITAS INDONESIA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN MATEMATIKA DEPOK 2009

Penaksiran parameter..., Rifki Kosasih, FMIPA UI, 2009

PENAKSIRAN PARAMETER PADA MODEL REGRESI SPATIAL PANEL DATA SATU ARAH

Skripsi diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

Oleh: RIFKI KOSASIH 0305010548

DEPOK 2009


SKRIPSI

: PENAKSIRAN PARAMETER PADA MODEL REGRESI SPATIAL PANEL DATA SATU ARAH

NAMA

: RIFKI KOSASIH

NPM

: 0305010548

SKRIPSI INI TELAH DIPERIKSA DAN DISETUJUI DEPOK, 29 JUNI 2009

DRA. SITI NURROHMAH, M. SI PEMBIMBING I

Dr. DIAN LESTARI, DEA PEMBIMBING II

Tanggal lulus Ujian Sidang Sarjana: Penguji I

:

Penguji II

:

Penguji III

:


KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas segala anugrah dan karuniaNya yang terus diberikan kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dari Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Salawat dan salam kepada teladan seluruh umat manusia, Nabi Muhammad SAW, serta para pengikutnya yang istiqomah hingga akhir zaman. Penulis menyadari bahwa masih terdapat kekurangan dalam tugas akhir ini. Penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari para pembaca untuk menyempurnakan tugas akhir ini. Penulis mohon maaf atas segala kesalahan dan kekurangan dalam penulisan tugas akhir ini dan penulis berharap semoga tugas akhir ini bermanfaat.

Penulis 2009

i Penaksiran parameter..., Rifki Kosasih, FMIPA UI, 2009

ABSTRAK

Regresi data panel merupakan suatu regresi yang menggabungkan dua jenis data, yaitu data cross section dan data longitudinal. Berdasarkan komponen errornya regresi data panel dibedakan menjadi dua yaitu komponen error satu arah dan dua arah. Pada regresi data panel dibutuhkan beberapa asumsi tentang error yaitu error mempunyai mean nol dan mempunyai variansi konstan (homoskedastis) serta error antar observasi saling bebas. Dalam analisis regresi data panel, pada saat melakukan pengambilan observasi di suatu lokasi sering ditemui bahwa nilai observasi pada suatu lokasi bergantung pada nilai observasi di lokasi disekitarnya atau dengan kata lain ada korelasi spasial antar observasi. Inilah yang disebut dengan spatial dependent. Jika pengaruh spasial ini ada dan tidak dilibatkan dalam model maka asumsi error antar observasi saling bebas tidak terpenuhi. Sehingga model yang diperoleh menjadi kurang baik. Untuk itu dibutuhkan suatu model yang melibatkan pengaruh spasial dalam analisis regresi data panel yang dinamakan spatial panel data model. Dalam tugas akhir ini akan dibahas bagaimana cara menaksir parameter pada model regresi spasial panel satu arah dengan menggunakan metode maksimum likelihood. Kata kunci : regresi data panel, spatial dependent, spatial panel data model, metode maksimum likelihood ix+95 hlm.; lamp.; tab. Bibliografi : 11 (1982 – 2006) iii Penaksiran parameter..., Rifki Kosasih, FMIPA UI, 2009

DAFTAR ISI

Halaman KATA PENGANTAR .............................................................................

i

ABSTRAK .............................................................................................

iii

DAFTAR ISI ..........................................................................................

iv

DAFTAR GAMBAR ...............................................................................

vii

DAFTAR TABEL ...................................................................................

viii

DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................

ix

BAB I.

PENDAHULUAN .................................................................

1

1.1 Latar Belakang .............................................................

1

1.2 Perumusan Masalah ....................................................

3

1.3 Tujuan Penulisan ..........................................................

4

1.4 Pembatasan Masalah ...................................................

4

1.5 Sistematika Penulisan ..................................................

4

LANDASAN TEORI .............................................................

6

2.1 Variabel random .......................................................

6

2.2 Metode Maksimum Likelihood...................................

7

2.3 Metode Transformasi Variabel..................................

8

2.4 Kronecker Product ...................................................

9

BAB II.

iv Penaksiran parameter..., Rifki Kosasih, FMIPA UI, 2009

BAB III.

2.5

Diagonalisasi ...........................................................

11

2.6

Regresi Data Panel ………………………..................

12

2.7

Koefisien Determinasi …………………………………

14

2.8

Uji Durbin Watson……………………………………...

15

2.9

Model Spatial Dependen ………………....................

16

2.10 Matriks Bobot Spatial ……………………..................

17

ANALISIS REGRESI SPATIAL PANEL SATU ARAH.........

20

3.1

Model Regresi Spatial Panel Satu Arah .....................

20

3.2

Model Regresi Spatial Lag Panel Satu Arah..............

21

3.2.1 Fungsi Likelihood Model Regresi Spatial Lag

22

Panel Satu Arah……....................................... 3.2.2 Taksiran Parameter Model Regresi Spatial

25

Panel Satu Arah......................................... 3.3

Model Regresi Spatial Panel Error Satu

38

Arah.............. 3.3.1 Fungsi Likelihood Model Regresi Spatial Error

41

Panel Satu Arah.................................................. 3.2.2 Taksiran Parameter Model Regresi Spatial

44

Panel Satu Arah.................................................

BAB IV.

APLIKASI MODEL SPATIAL PANEL..........................

v Penaksiran parameter..., Rifki Kosasih, FMIPA UI, 2009

57

4.1 Scatter Plot Data .....................................................

58

4.2 Penaksiran Parameter Model Regresi Panel Satu

59

Arah……………………………………………………… 4.3 Gray-Scale Map Penjualan Rokok ...............................

60

4.4 Penaksiran Parameter Model Regresi Spasial Panel

61

Satu Arah……………………………………………….. 4.4.1 Model Regresi Spatial Lag Panel Satu Arah….

61

4.4.2 Model Regresi Spasial Error Panel Satu Arah…

62

4.5 Periksa Asumsi ...........................................................

63

4.5.1 Asumsi Mean Sama Dengan Nol……….............

63

4.5.2 Variansi Error Konstan (Homoskedastisitas)......

64

4.5.3 Error berdistribusi normal...................................

65

4.5.4 Error Saling Bebas…………………………………

66

4.6 Kesimpulan …………...................................................

67

PENUTUP ...........................................................................

68

5.1 Kesimpulan ...................................................................

68

5.2 Saran ............................................................................

69

DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................

70

LAMPIRAN ............................................................................................

72

BAB V

vi Penaksiran parameter..., Rifki Kosasih, FMIPA UI, 2009

DAFTAR GAMBAR

Gambar

Halaman

1.

Scatter plot antara log harga rokok dan log penjualan rokok……..

58

2.

Scatter plot antara log rata-rata harga rokok dari negara bagian

58

yang bertetanggaan dan log penjualan rokok………..................... 3.

Scatter plot antara pendapatan perkapita dan penjualan rokok....

59

4.

Gray-scale map dari variabel Perjualan Rokok..............................

60

5.

Scatter plot antara nilai prediksi Y terhadap residual spasial lag…

64

6.

Scatter plot antara nilai prediksi Y terhadap residual spasial error.

64

vii Penaksiran parameter..., Rifki Kosasih, FMIPA UI, 2009

DAFTAR TABEL

Tabel

Halaman

1.

Descriptive Statistics Regresi Spatial Lag Panel Satu Arah……

63

2.

Descriptive Statistics Regresi Spatial Error Panel Satu Arah……

63

3.

Uji Normal pada Model Regresi Spatial Lag Panel Satu Arah.....

65

4.

Uji Normal pada Model Regresi Spatial Error Panel Satu Arah......

66

viii Penaksiran parameter..., Rifki Kosasih, FMIPA UI, 2009

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1.

Halaman

Pembuktian  memaksimumkan L   ekivalen dengan 

72

memaksimumkan ln L   …………………………………………… 2.

N K N N     pembuktian  it  yit    wij y jt  k  xitk    wij x jtk    i    wij  j  j 1 k 1 j 1 j 1    

80

3.

Pembuktian IT  ( I N   WN )Y *  X *    * .......................................

81

4.

Pembuktian taksiran untuk ˆ pada model regresi spatial lag panel

82

data satu arah dan model regresi spatial error panel data satu arah adalah unbiased............................................................................... 5.

Data……………………………………………………………................

85

6.

Output Model……...........................................................................

91

7.

Pembentukan matriks pada model regresi spatial lag panel data

93

satu arah.......................................................................................... 8.

Iterasi Newton-Raphson ......................................................

ix Penaksiran parameter..., Rifki Kosasih, FMIPA UI, 2009

94

BAB I PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Dalam ilmu statistik jenis data dibagi menjadi dua yaitu data cross section dan data longitudinal. Data cross section merupakan data banyak individu yang dikumpulkan dalam satu waktu. Data cross section ini biasanya digunakan pada model regresi linear. Untuk memperoleh model regresi linear yang baik dibutuhkan beberapa asumsi tentang error yaitu error berdistribusi normal dengan mean nol dan mempunyai variansi konstan ( homoskedastis ) serta error antar observasi saling bebas. Sedangkan data longitudinal adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu terhadap satu individu. Sama halnya dengan model regresi pada data cross section, pada model regresi data longitudinal juga diperlukan asumsi tentang error yaitu error mempunyai mean nol dan mempunyai variansi konstan (homoskedastis). Ada kalanya seorang peneliti dalam analisisnya menggunakan data yang merupakan gabungan dari data longitudinal dan data cross section. Untuk mengatasi hal tersebut maka akan digunakan regresi data panel. Regresi data panel merupakan suatu regresi yang menggabungkan dua jenis data, yaitu data cross section dan data longitudinal. Jenis data panel dibagi menjadi dua yaitu data panel lengkap dan data panel tidak

1 Penaksiran parameter..., Rifki Kosasih, FMIPA UI, 2009

2

lengkap. Data panel lengkap adalah data dimana setiap individu terobservasi pada kurun waktu yang sama. Sedangkan data panel tidak lengkap adalah data dimana setiap individu yang terobservasi berada pada kurun waktu yang berbeda-beda. Berdasarkan komponen errornya model regresi data panel dibagi menjadi dua yaitu komponen error satu arah dan komponen error dua arah. Selanjutnya berdasarkan asumsi yang digunakan pada model regresi komponen error dibagi menjadi dua yaitu fixed effect dan random effect. Pada fixed effect diasumsikan bahwa komponen errornya merupakan parameter tetap. Sedangkan pada random effect diasumsikan bahwa komponen errornya merupakan variabel random. Karena data panel merupakan gabungan dari data cross section dan data longitudinal maka pada regresi data panel tersebut dibutuhkan juga beberapa asumsi tentang error yaitu error mempunyai mean nol dan mempunyai variansi konstan ( homoskedastis ) serta error antar observasi saling bebas. Dalam analisis regresi data panel, pada saat melakukan pengambilan observasi di suatu lokasi sering ditemui bahwa nilai observasi pada suatu lokasi bergantung pada nilai observasi di lokasi disekitarnya atau dengan kata lain ada korelasi spasial antar observasi. Inilah yang disebut dengan spasial dependen. Model spasial dependen dibagi menjadi dua, yaitu model yang memperhatikan dependensi variabel dependen antar lokasi disebut model


3

spasial lag dan model yang memperhatikan dependensi error antar lokasi disebut dengan model spasial error. Jika pengaruh spasial ini ada dan tidak dilibatkan dalam model maka asumsi error antar observasi saling bebas tidak terpenuhi. Sehingga model yang di peroleh menjadi kurang baik. Untuk itu dibutuhkan suatu model yang melibatkan pengaruh spasial dalam analisis data panel yang dinamakan spatial panel data model. Karena regresi data panel yang melibatkan pengaruh spasial dependen ini merupakan gabungan dari data cross section dan longitudinal maka model akan mempunyai observasi yang lebih banyak dibandingkan dengan data cross section atau longitudinal saja. Karena observasinya lebih banyak maka panel data ini akan lebih banyak memberikan informasi dan akan meningkatkan ketelitian hasil estimasi. Akan tetapi karena observasinya lebih banyak maka persamaan modelnya akan menjadi lebih kompleks. Oleh karena itu diperlukan teknik tersendiri dalam menaksir parameter dari model yang menggunakan data panel yang melibatkan pengaruh spasial dependen baik itu spasial lag maupun spasial error. Untuk itu pada tugas akhir ini akan dibahas penaksiran parameter pada regresi data panel yang melibatkan pengaruh spasial dependen baik itu spasial lag maupun spasial error dengan komponen error satu arah.


4

1.2 PERUMUSAN MASALAH

Bagaimana cara mengestimasi parameter pada model data panel yang melibatkan pengaruh spatial dependent baik spasial lag maupun spasial error dengan komponen error satu arah.

1.3 TUJUAN

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah membahas penaksiran parameter pada model regresi data panel yang melibatkan pengaruh spasial dependen baik itu spasial lag maupun spasial error dengan komponen error satu arah.

1.4 PEMBATASAN MASALAH

Pada tugas akhir ini model yang akan dibahas adalah model data panel dengan efek tetap yang melibatkan pengaruh spatial dependen baik itu spasial lag maupun spasial error dengan komponen error satu arah. Metode penaksiran yang digunakan adalah metode maksimum likelihood.


5

1.5 SISTEMATIKA PENULISAN

Sistematika penulisan tugas akhir ini, dibagi menjadi lima bab, yaitu : Bab I membahas mengenai latar belakang, perumusan masalah, tujuan penulisan, pembatasan masalah dan sistematika penulisan. Bab II membahas teori-teori dasar yang akan digunakan dalam analisis model regresi spatial panel data satu arah. Diantaranya adalah teori mengenai peubah acak, metode transformasi variabel, metode maksimum likelihood, kronecker product, data panel dan spasial dependen. Bab III membahas analisis model regresi spasial panel data satu arah yaitu model regresi spasial lag panel satu arah dan model regresi spasial error panel satu arah, metode penaksiran parameter dan penjelasan tentang spatial weight matrices. Bab IV membahas aplikasi dari model regresi spasial panel data satu arah. Bab V berisi kesimpulan dan saran.


BAB II LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dijelaskan teori-teori dasar yang akan digunakan dalam analisis mode regresi spatial panel data, diantaranya adalah teori mengenai peubah acak, metode transformasi variabel, kronecker product, data panel, spatial dependen.

2.1 VARIABEL RANDOM

Misalkan terdapat suatu percobaan random pelemparan sebuah koin dengan kemungkinan hasil yaitu gambar atau angka. Maka ruang sampel dari percobaan ini adalah C = {c; c adalah gambar atau c adalah angka}. Misalkan X adalah suatu fungsi sedemikian sehingga X(c) = 0 jika c adalah gambar dan X(c) = 1 jika c adalah angka, maka X merupakan sebuah fungsi yang memetakan elemen-elemen himpunan ruang sampel C ke himpunan bilangan real A = {0,1}. Dalam hal ini fungsi X disebut variabel random dengan ruang sampel C . Definisi 1 Misalkan terdapat suatu percobaan random dengan ruang sampel C. Jika terdapat suatu fungsi X yang memetakan setiap elemen c di C ke satu dan hanya satu bilangan riil x yaitu X(c) = x. Maka X disebut dengan variabel


7

random. Domain dari X adalah C dan range dari X adalah himpunan bilangan A = { x | x = X(c), c  C }. Definisi 2 Misalkan variabel random X dengan ruang sampel A yang merupakan himpunan bilangan real. Jika fungsi f memenuhi sifat sifat berikut: 1.

f ( x)  0 x  A

2.



3.

Jika A  A maka berlaku P ( A )  Pr(X  A) =  f ( x)dx

A

f ( x ) dx  1

A

Maka X disebut variabel random Kontinu dan f(x) disebut probability density function (p.d.f) dari X.

2.2 METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD

Metode maksimum likelihood digunakan untuk melakukan penaksiran titik dari suatu parameter dalam suatu fungsi probabilitas. Definisi 3 Misalkan X1,…,Xn adalah sample acak dari sebuah distribusi dengan p.d.f. f ( x; ),   dengan Ω adalah ruang parameter. Fungsi likelihood didefinisikan sebagai p.d.f bersama dari X1,…,Xn : L  ; x1 , x2 ,..., xn   f  ; x1 , x2 ,..., xn  L  ; x1 , x2 ,..., xn   f  x1 ,   f  x2 ,   ... f  xn ,   ,

 


8

Metode maksimum likelihood untuk mencari taksiran parameter  diperoleh dengan memaksimum fungsi likelihood dimana taksiran  disebut

 . Selanjutnya  disebut taksiran maksimum likelihood dari  . Selain memaksimumkan fungsi likelihood, untuk menaksir parameter  dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-likelihood yaitu ln L(  ) atau biasa disebut    . Hal tersebut dapat dibuktikan pada lampiran 1 dalam tugas akhir ini. Nilai  yang memaksimumkan fungsi log-likelihood diperoleh dengan mencari solusi persamaan berikut ini :

   

0

2.3 METODE TRANSFORMASI VARIABEL

Metode transformasi variabel digunakan untuk menentukan distribusi dari suatu peubah acak yang merupakan fungsi satu-satu dari peubah acak lainnya yang distribusinya diketahui. Definisi 4 Misalkan X1,…,Xn adalah peubah acak kontinu dengan p.d.f bersama h  X 1 , X 2 ,..., X n  . A adalah ruang berdimensi n dari peubah acak X.

Jika y1  u1  x1 , x2 ,..., xn  , y2  u2  x1 , x2 ,..., xn  ,..., yn  un  x1 , x2 ,..., xn  didefinisikan sebagai suatu fungsi satu – satu yang memetakan  x1 , x2 ,..., xn  dari ruang A


9

ke  y1 , y2 ,..., yn  pada ruang B dan x1  w1 ( y1 , y2 ,..., yn ) , x2  w2 ( y1 , y2 ,..., yn ),..., xn  wn ( y1 , y2 ,..., yn ) merupakan fungsi inversnya, Dan jacobian transformasi dari ruang A berdimensi n ke suatu ruang B berdimensi n didefinisikan sebagai berikut :  x1  y  1  x2  y  1 J  det     xn  y1    

xn   yn   xn  yn      xn   yn     

maka p.d.f bersama dari peubah acak

Y1  u1  x1 , x2 ,..., xn  , Y2  u2  x1 , x2 ,..., xn  ,..., Yn  un  x1 , x2 ,..., xn 

adalah : g  y1 , y2 ,..., yn   h  w1 ( y1 , y2 ,..., yn ),..., wn ( y1 , y2 ,..., yn )  J

=0

,  y1 , y2 ,..., yn   B , lainnya

2.4 KRONECKER PRODUCT

Misalkan A adalah matriks berukuran N×N dan B adalah matriks berukuran T×T. maka matriks A  B berukuran NT×NT.


10

Contoh : Misalkan A adalah matriks berukuran 2×2 dan B adalah matriks berukuran 2×2 yaitu :  a11 A  a21

a12   a22 

 b11 b12  B   b21 b22 

  b11 b12   b11 b12    a11   a12    b21 b22   b21 b22    Maka: A  B   b  b  b b  a21  11 12  a22  11 12      b21 b22     b21 b22     a11b11   a11b21   a21b11 a b  21 21



a11b12

a12b11

a11b22

a12b21

a21b12

a22b11

a21b22

a22b21

  a12b12  a12b22   a22b12  a22b22 

Sifat-Sifat Kronecker product 1. A   B  C   A  B  A  C 2.

 A  B  C  A C  B C

3.

 kA   B  A   kB   k  A  B 

4.

 A  B  C  A   B  C 

dimana A, B and C adalah matriks dan k adalah scalar. Definisi 5 Misalkan A dan B adalah suatu matriks bujur sangkar yang berukuran n×n dan q×q. Jika λ1, ..., λn adalah nilai eigen dari A dan µ1, ..., µq adalah nilai eigen dari B maka nilai eigen dari A  B adalah :


11

i  j ,

i  1,..., n ,

j  1,..., q

Selanjutnya jika ingin mencari trace dan determinant dari A  B adalah : tr  A  B   trAtrB q

det  A  B   det  A  det  B 

n

2.5 DIAGONALISASI

Definisi 6 Suatu matriks bujur sangkar A yang mempunyai nilai eigen

1 , 2 ,..., n ,dikatakan dapat didiagonalkan jika ada suatu matriks P sedemikian sehingga P 1 AP adalah suatu matriks diagonal (D). Jadi

D = P 1 AP

Jika terdapat suatu matriks bujur sangkar A yang mempunyai nilai eigen 1 , 2 ,..., n , maka determinan dari matriks A merupakan perkalian dari nilai-nilai eigennya. Bukti : A = PDP 1 Maka :



det  A   det PDP 1

  

 det  P  det  D  det P 1


12

 det  P  det  D 

1 det  P 

 det  D 

  i i

Misalkan I N adalah matriks identitas berukuran N  N dan A suatu matriks bujur sangkar berukuran N  N dan mempunyai nilai eigen

1 , 2 ,..., n . Maka nilai eigen dari matriks  I N  A  adalah 1   Bukti : Karena A suatu matriks bujur sangkar berukuran N  N dan mempunyai nilai eigen 1 , 2 ,..., n maka : Ax   x x  Ax  x   x

 I N  A x  1    x Sehingga dari atas didapat bahwa nilai eigen dari matriks  I N  A  adalah1  

2.6 REGRESI DATA PANEL

Regresi data panel merupakan suatu regresi yang menggunakan dua jenis data, yaitu data cross section dan data longitudinal. Dimana data cross section merupakan data banyak individu yang dikumpulkan dalam satu waktu. Sedangkan data longitudinal adalah data yang dikumpulkan dari


13

waktu ke waktu terhadap satu individu. Jadi data panel merupakan data beberapa individu yang dikumpulkan dari waktu ke waktu. a) Jenis Data Panel dibagi menjadi dua : •

Data panel lengkap : Data dimana setiap individu terobservasi pada kurun waktu yang sama.

•

Data panel tidak lengkap : Data dimana setiap individu yang terobservasi berada pada kurun waktu yang berbeda-beda. Model Regresi Data Panel

yit  xit   uit

i = 1, … , N t = 1, … , T

yit

= Variabel dependen untuk individu ke-i waktu ke-t

xit

= Variabel independen untuk individu ke-i waktu ke-t

 it

= Error individu ke-i waktu ke-t

b) Jenis Model Regresi Data Panel Berdasarkan Komponen Error •

Model Regresi Komponen Error Satu Arah uit  i +  it

i = 1, … , N ; t = 1, …, T

Model Regresi Komponen Error Dua Arah uit  i  t   it

i = 1, … , N ; t = 1, …, T

i merupakan pengaruh individu ke-i yang tidak terobservasi


14

t merupakan pengaruh waktu ke-t yang tidak terobsevasi  it merupakan pengaruh yang benar-benar tidak diketahui c) Berdasarkan Asumsi yang digunakan pada Model Regresi Panel. Model regresi panel dibagi dua : •

Fixed Effect Model : dimana i diasumsikan merupakan parameter tetap.

•

Random Effect Model



dimana : i ~N 0,  2



 it ~N  0,  2 

Pada regresi data panel tersebut dibutuhkan beberapa asumsi tentang error yaitu error berdistribusi normal dengan mean nol dan mempunyai variansi konstan ( homoskedastis ) serta error antar observasi saling bebas.

2.7 KOEFISIEN DETERMINASI (R2)

Koefisien determinasi (R2) merupakan proporsi variasi dari peubah terikat yang dapat dijelaskan oleh peubah bebas melalui model regresi linier. Nilai koefisien determinasi berada di antara nol dan satu, 0  R2  1. Angka tersebut dapat mengukur seberapa dekat garis regresi yang terestimasi dengan data sesungguhnya. Semakin besar nilai R2, maka semakin baik model regresi linier yang terbentuk. Secara statistik, interpretasi dari koefisien determinasi (R2) adalah sekitar (R2 x 100%) variasi dari sampel pada peubah terikat dapat dijelaskan


15

oleh peubah-peubah bebas untuk memprediksi peubah terikat dalam model regresi garis linier.

2.8 UJI DURBIN-WATSON

Uji Durbin-Watson digunakan untuk mendeteksi apakah terdapat korelasi antar-residual. 

Hipotesis:

H0: Tidak ada korelasi antar-residual H1: Terdapat korelasi antar-residual n

 (ˆ  ˆ t



Statistik uji DW:

d  t 2

t 1

)2

n 2 t

 ˆ t 1

dengan n adalah jumlah pengamatan dan (ˆt  ˆt 1 ) menyatakan selisih antara residual yang berurutan. Dengan menjabarkan persamaan di atas, maka diperoleh n

n 2 t

 ˆ

d  t n 2

 ˆt2 t 1

n 2 t 1

 ˆ

 t n2

 ˆt2 t 1

n

2 ˆt ˆt 1 

t 2 n

2 ˆt ˆt 1  2

 ˆt2

t 2 n

.

 ˆt2

t 1

t 1

n

Jika antar-residual tidak berkorelasi maka

 ˆ ˆ

t t 1

 0 , sehingga nilai

t 2

statistik uji d  2 . Jika antar-residual sangat berkorelasi positif maka n

n

 ˆt ˆt 1   ˆt2 , sehingga nilai statistik uji d  0 . Jika antar-residual

t 2

t 2


16

n

sangat berkorelasi negatif maka

n

ˆ2 t 1     t , sehingga nilai

 ˆ ˆ t

t 2

t 2

statistik uji d  4 .

2.9 MODEL SPASIAL DEPENDEN

Misalkan diamati variabel Z pada suatu lokasi, data spasial dependen adalah data dimana observasi pada lokasi i ,dinotasikan dengan Zi, dipengaruhi oleh observasi pada lokasi j , dinotasikan dengan Zj, dimana lokasi j merupakan suatu lokasi yang terletak disekitar lokasi i. dengan i ≠ j. Dengan perkataan lain, Zi = f ( Zj )

i = 1,...,n

Terdapat dua jenis spasial dependen yaitu spasial lag dan spasial error. A. Spasial lag Spasial lag ini muncul saat nilai observasi variabel dependen pada suatu lokasi berkorelasi dengan nilai observasi variabel dependen di lokasi sekitarnya atau dengan perkataan lain terdapat korelasi spasial antar variabel dependen. Pada model ini terdapat fungsi dari variabel dependen pada lokasi j yang digunakan sebagai variabel bebas untuk memprediksi nilai dari variabel dependen pada lokasi i.


17

Anselin (1988) memberikan definisi model umum regresi spatial lag : N

K

yi    wij y j    k xik   i j 1

k 1

 i ~ N (0,  2 ) B. Spasial Error Spasial error ini muncul saat nilai error pada suatu lokasi berkorelasi dengan nilai error di lokasi sekitarnya atau dengan perkataan lain terdapat korelasi spasial antar error. Pada model spasial error, bentuk error pada suatu lokasi i merupakan fungsi dari error pada lokasi j. ( j merupakan suatu lokasi yang terletak disekitar lokasi i ). Anselin (1988) memberikan definisi model umum regresi spatial error : K

N

yi   xik k  ui , k 1

ui    wij u j   i j 1

 i ~ N (0,  2 )

2.10 MATRIKS BOBOT SPASIAL

Spatial weight matrices WN adalah matrices berukuran N  N yang menyatakan hubungan antara observasi spasial dependen. wij adalah elemen


18

dari matriks WN pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan wij > 0 untuk j = 1, 2, …, N. dimana j merupakan lokasi di sekitar observasi i. Selanjutnya akan dijelaskan jenis – jenis Spatial weight matrices 1. Contiguity weight 1.1. Rook Contiguity Didefinisikan : wij = 1 jika lokasi i dan j mempunyai common edge wij = 0 jika lainnya

1.2. Bishop Contiguity Didefinisikan : wij = 1 jika lokasi i dan j mempunyai common vertecs wij = 0 jika lainnya

1.3. Queen Contiguity Didefinisikan : wij = 1 jika lokasi i dan j mempunyai common edge atau

common vertecs wij = 0 jika lainnya

2. Distance weight Bobot dari matriks dapat dipandang sebagai fungsi jarak. Logikanya, jika suatu lokasi berdekatan maka karakteristik dari lokasi tersebut cenderung similar dan semakin jauh jaraknya maka


19

karakteristik dari lokasi tersebut akan semakin bervariasi. Hal inilah yang menjadi dasar pemikiran dari bobot matriks sebagai fungsi jarak. Semakin dekat lokasi observasi maka bobot yang diberikan semakin besar. Berikut akan dibahas beberapa matriks berdasarkan jarak : Invers jarak ( Inverse distance ) Didefinisikan :

wij 

1 jika dij  D dij

wij  0 jika dij  D

Dimana : dij adalah jarak dari lokasi i dengan lokasi j biasanya

dinyatakan dalam jarak antar centroid di R2 D adalah suatu limit jarak yang ditentukan. Tidak ada teori yang menjelaskan pemilihan matriks bobot spasial yang akan digunakan dalam model spasial dependen. Namun para peneliti biasanya menggunakan queen contiguity.


BAB III ANALISIS REGRESI SPATIAL PANEL SATU ARAH

3.1 MODEL REGRESI SPATIAL PANEL SATU ARAH

Regresi data panel merupakan suatu regresi yang menggunakan dua jenis data, yaitu data cross section dan data longitudinal. Dimana data cross section merupakan data banyak individu yang dikumpulkan dalam satu waktu. Sedangkan data longitudinal adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu terhadap satu individu. Pada regresi data panel tersebut dibutuhkan beberapa asumsi tentang error yaitu error mempunyai mean nol dan mempunyai variansi konstan (homoskedastis) serta error antar observasi saling bebas. Dalam analisis regresi data panel, pada saat melakukan pengambilan observasi di suatu lokasi sering ditemui bahwa nilai observasi pada suatu lokasi bergantung pada nilai observasi di lokasi disekitarnya atau dengan kata lain ada korelasi spasial antar observasi. Inilah yang disebut dengan spatial dependen. Model spasial dependen dibagi menjadi dua, yaitu model yang memperhatikan dependensi variabel dependen antar lokasi disebut model spasial lag dan model yang memperhatikan dependensi error antar lokasi disebut dengan model spasial error.Untuk itu dibutuhkan suatu model yang melibatkan aspek lokasi dalam analisis regresi data panel.


21

Pada bab ini akan dibahas regresi data panel yang lengkap yang melibatkan pengaruh spasial dependen baik itu spasial lag ataupun spasial error dengan menggunakan effect tetap (fixed effect). Pada model regresi spatial panel lengkap satu arah ini diasumsikan bahwa matriks bobot spasial WN konstan setiap waktu.

3.2 MODEL REGRESI SPASIAL LAG PANEL SATU ARAH

Pada model regresi spasial lag panel satu arah ini diasumsikan bahwa spatial specific effect (komponen error satu arah  ) adalah fixed (tetap). Model umum spasial panel lag individual pada lokasi i dinyatakan pada N

K

persamaan berikut : yit    wij y jt    k xitk  i   it j 1

(3.1)

k 1

Yang dijabarkan sebagai berikut ini : y11    w11 y11  w12 y 21  ...  w1 N y N 1   x111 1  x112  2  ... x11K  K  1   11 y 21    w21 y11  w22 y 21  ...  w2 N y N 1   x 211 1  x212  2  ... x21 K  K   2   21  y N 1    w N 1 y11  w N 2 y 21  ...  w NN y N 1   x N 11 1  x N 12  2  ... x N 1 K  K   N   N 1 y12    w11 y12  w12 y 22  ...  w1 N y N 2   x121 1  x122  2  ... x12 K  K  1   12 y 22    w21 y12  w22 y 22  ...  w2 N y N 2   x221 1  x 222  2  ... x 22 K  K   2   22  y N 2    w N 1 y12  w N 2 y 22  ...  wNN y N 2   x N 21  1  x N 22  2  ... x N 2 K  K   N   N 2  y1T    w11 y1T  w12 y 2 T  ...  w1 N y NT   x1T 1 1  x1T 2  2  ...x1TK  K  1   1T y 2 T    w21 y1T  w22 y 2T  ...  w2 N y NT   x 2 T 1 1  x 2T 2  2  ... x 2TK  K   2   2 T  y NT    w N 1 y1T  w N 2 y 2T  ...  w NN y NT   x NT 1  1  x NT 2  2  ...x NTK  K   N   NT


22

Atau dinyatakan dalam notasi matrix : Y   WNT Y  X   T  I N    

(3.2)

Dimana : Y

= vektor variabel dependen berukuran NT  1

X

= matriks variabel independen berukuran NT  k



= vektor error berukuran NT  1 yang independen dan berdistribusi identik dengan mean nol dan matrik kovariansi

 2 I NT . β

= vektor parameter yang berukuran k  1



= koeffisien spasial lag



= Spatial specific effect berukuran N × 1

WN

= matriks bobot spasial berukuran N  N diketahui.

T

= vektor berukuran T × 1 yang setiap entrinya berisi 1. Jika koeffisien spasial lag  = 0 maka model umum fixed effect

spatial panel lag modelnya menjadi model data panel yaitu : Yit =i   X it   it

i = 1,…, N t = 1,…, T

3.2.1 Fungsi Likelihood Model Regresi Spasial Lag Panel Satu Arah

Penaksiran parameter pada model regresi spatial lag panel satu arah dilakukan dengan menggunakan metode maksimum likelihood. Metode ini


23

digunakan untuk mendapatkan statistik yang memaksimumkan fungsi likelihood. Selanjutnya akan dibahas fungsi likelihood dari model regresi spatial panel lag satu arah. Fungsi likelihood dari variabel dependen Y adalah 2  N T  N K      yit    wij y jt   k xitk  i   | IT  (I N  WN ) |  i 1 t 1  j 1 k 1 2   L(,  ,  ,  , y11..., yNT )  exp   NT 2 2 2 2   (2 )     (3.3)

Bukti : Pada model spasial lag diasumsikan



~ N (0,  2 I NT ) . Sehingga berdasarkan

asumsi ini  it ~ N (0,  2 ) dimana adalah  it error pada lokasi i dan waktu ke t . P.d.f. dari  it :   it 2  f ( it )  exp   2  1 2 2  2  (2 ) 1

   it  

i = 1 ,…, N t = 1 ,…, T P.d.f. bersama dari n peubah acak 11 ,  21...,  NT adalah : f (11 ,  21...,  NT )  f (11 ) f ( 21 )... f ( NT )

       it 2      it 2      it 2   1 1 1   exp   2  exp   2  ... exp   2  1 1 1      2  2  2 2 2 2     (2 ) 2     (2 ) 2  2    (2 )    


24

  N T 2      it   1 = exp   i 1 t 1 2   NT  2   2 2  (2 )     

  1   '     exp   2  NT   2   2 2  (2 )  P.d.f. bersama dari variabel dependen Y diperoleh dengan metode transformasi variabel yang memetakan ruang  berdimensi NT ke sebuah ruang Y berdimensi NT. Y   WNT Y  X   T  I N    

  Y   WNT Y  X   T  I N     I NT Y   WNT Y  X   T  I N     ( IT  I N )Y   ( IT  WN )Y  X   T  I N     ( IT  I N )Y  ( IT   WN )Y  X   T  I N     ( IT  ( I N   WN ))Y  X   T  I N   Atau bisa ditulis dalan persamaan : N

K

 it  yit    wij y jt    k xitk  i j 1

k 1

Jacobian dari transformasi ini adalah

 = IT  ( I N   WN ) yang Y

menyatakan determinan dari matriks IT  ( I N   WN ) yang berukuran N  T .


25

Sehingga diperoleh p.d.f bersama dari peubah acak y11 , y21..., yNT adalah : f ( y11 , y21 ,..., y NT )  f (11 ) f ( 21 )... f ( NT ) J   N T 2      it 1 = exp   i 1 t 1 2 NT  2  2 2  (2 )  

    IT  ( I N   W N )    

  N T 2   I  (I  W )     it   T N N exp   i 1 t 1 2   = NT 2    (2 2 ) 2       N K   N T  ( y   w y   k xitk   i ) 2        it ij jt  I  ( I N   WN ) i 1 t 1 j 1 k 1  = T exp   NT 2  2    (2 2 ) 2      

Fungsi likelihood dari variabel dependen Y adalah :

L (  ,  ,  ,  2 , y11..., y NT )  f ( y11 , y21 ,... y NT ) N K  N T  ( y   w y  k xitk  i )2     it ij jt  | I  (I N  WN ) | i 1 t 1 j 1 k 1  L(,  ,  , 2 , y11..., yNT )  T exp  NT 2 2    (2 2 ) 2    

3.2.2 Taksiran Parameter Model Regresi Spasial Lag Panel Satu Arah

Taksiran parameter untuk model regresi spasial lag panel satu arah diperoleh dengan cara memaksimumkan fungsi likelihood yang ekuivalen dengan memaksimumkan logaritma dari fungsi likelihood pada persamaan


26

diatas. Logaritma dari fungsi likelihood dari variabel dependen Y dapat ditulis sebagai berikut : LnL  LnL(  ,  ,  2 , y11..., y NT ) N K   N T  ( y   w y   k xitk  i )2       it ij jt  I  ( I N   WN ) i 1 t 1 j 1 k 1   Ln  T exp   NT 2   2   (2 2 ) 2      

N



NT Ln(2 2 )  Ln  IT  ( I N  WN )   2

T

N

K

 ( yit    wij y jt   k xitk  i )2 i 1 t 1

j 1

k 1

2

2

Berdasarkan definisi 5 maka :

IT  ( I N   WN )  IT

N

T

 ( I N   WN )  ( I N   WN )

T

Sehingga : N

LnL  

NT Ln(2 2 )  TLn ( I N   WN )  2

T

N

K

 ( yit    wij y jt    k xitk  i )2 i 1 t 1

j 1

k 1

2

2

(3.4) Taksiran untuk  ,  2 ,  ,  diperoleh dengan cara memaksimumkan fungsi log likelihood pada persamaan diatas secara simultan yaitu :



LnL 0 

LnL 0 

LnL 0  2

LnL 0 

Taksiran untuk  adalah :

i 

N K 1 T ( y   w y   k xitk )  it   ij jt T t 1 j 1 k 1


(3.5)

27

Bukti : Nilai exstrem untuk µ diperoleh dengan :

LnL 0  N T N K   ( y   w y   k xitk  i )2     it ij jt  NT j 1 k 1   Ln(2 2 )  TLn ( I N  WN )  i 1 t 1 2  2 2    LnL    i i

N K  N T 2 ( y   w y    it  ij jt k xitk  i )  j 1 k 1    i 1 t 1 2  2    NT   Ln(2 2 )     TLn ( I   W ) LnL 2 N N         i i i i

Perhatikan fungsi log likelihood diatas. Hanya suku terakhir yang merupakan fungsi parameter µ, sehingga suku-suku sebelumnya dianggap sebagai konstanta. Nilai maksimum log likelihood pada persamaan diatas dapat dicapai ketika suku terakhir dari fungsi likelihood tersebut bernilai minimum sehingga : T

LnL 2  i 2 2

N

t 1

j 1

T

N

(y

it

t 1

T it

t 1

k 1

K

   wij y jt    k xitk  i )  0 j 1

T

y

K

 ( yit    wij y jt    k xitk  i )  0

N

k 1

T

K

T

  wij y jt  xitk  k   i  0 t 1 j 1

t 1 k 1

t 1


28

T

T

T

   y i

t 1

N

T

K

it   wij y jt  xitk  k

t 1

t 1 j 1

T

T

t 1 k 1

N

T

K

T i   yit   wij y jt  xitk  k t 1



t 1 j 1

t 1 k 1

i 

T N T K  1 T   yit   wij y jt   xitk  k  T  t 1 t 1 j 1 t 1 k 1 

ˆ i 

N K 1 T ( y   w y  xitk  k )  it   ij jt T t 1 j 1 k 1

Taksiran untuk  2 adalah :

ˆ

2

Y 

*



 ˆ( IT  WN )Y *  X *ˆ ' Y *  ˆ( IT  WN )Y *  X *ˆ NT



(3.6)

Bukti : Nilai exstrem untuk  2 diperoleh dengan : LnL 0  2 N T N K   ( y   w y  k xitk  i )2     it ij jt  NT j 1 k 1   Ln(2 2 )  TLn (I N   WN )  i 1 t 1 2 2  2    LnL     2  2 N



NT  2 2

N

K

 ( yit    wij y jt    k xitk  i )2

N

NT  2 2

T

i 1 t 1

j 1

k 1

2 2

2( ) T

N

K

2 it    wij y jt    k xitk  i )

 ( y i 1 t 1

=0

j 1

k 1

2( 2 )2


29

N

T

N

K

 ( yit    wij y jt    k xitk  i ) 2 ˆ 2 

i 1 t 1

j 1

k 1

NT

untuk memudahkan mencari penaksir ˆ 2 akan disubstitusikan ˆ i yang sudah didapatkan kedalam persamaan diatas sehingga : N

T

N

K

N K 1 T ( y   w y   k xitk )) 2  it   ij jt T t 1 j 1 k 1 NT

 ( yit    wij y jt    k xitk  ˆ 2 

i 1 t 1

j 1

k 1

2

N  K    1 T  1 T N 1 T y  y   w y   w y   x  x     it T  it   ij jt T  ij jt  k  itk T  itk   i 1 t 1  t 1 j 1 t 1 j 1 t 1      k 1  2 ˆ  NT N

T

1 T x  xitk   xitk T t 1

1 T Misalkan : y  yit   yit T t 1

* itk

* it

N K  *  * *  yit    wij y jt    k xitk   i 1 t 1  j 1 k 1  ˆ 2  NT N

T

N

T

2

* 2

    it

ˆ 2 

i 1 t 1

NT N

Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis

T

2

   =   ' *

*

it

i 1 t 1

  '   *

ˆ

2

*

NT

Dimana :

 *  Y *   WNT Y *  X *


*

.

30

 *  Y *   ( IT  WN )Y *  X * Y *  QY

X *  QX

( IT  WN )Y *  Q ( IT  WN )Y

Dengan :

1 Q  I NT  T T  ' I N T Sehingga :

ˆ

2

Y  

*



  ( IT  WN )Y *  X *  ' Y *   ( IT  WN )Y *  X * 



NT

Taksiran untuk β adalah :

ˆ 

1

1

  X  ' X   X  'Y    X  ' X   X  ' (I *

*

*

*

*

*

*

T

 WN )Y *

Dimana : Y *  QY

X *  QX

( IT  WN )Y *  Q ( IT  WN )Y

Dengan :

1 Q  I NT  T T  ' I N T Sehingga : 1 1 ˆ   X ' Q ' QX  X ' Q ' QY   X ' Q ' QX  X ' Q ' Q ( I T  WN )Y

Bukti : Nilai exstrem untuk β diperoleh dengan:

LnL 0 


(3.7)

31

N T N K   ( y   w y   k xitk  i ) 2      it ij jt  NT   j 1 k 1   Ln (2 2 )  TLn ( I N   W N )  i 1 t 1  2 2  2    LnL   

(3.8) Setelah itu untuk memudahkan mencari penaksir  maka akan disubstitusikan ˆ i yang sudah didapatkan kedalam fungsi log likelihood pada persamaan 3.4 sehingga : N T

N K N K 1T 2 ( y   w y   x  ( y   w y      it ij jt  k itk it ij jt k xitk )) T t1 NT i1 t1 j1 k1 j1 k1 LnL  Ln(22) TLn (IN WN)  2 2 2 2

 K  1 T  1 T N  1 T  N y  y   wy   wy   it  it   ij jt   ij jt k xitk  xitk  T T NT i  1 t  1 t  1 j  1 t  1 j  1    k1  T t1   LnL Ln(22)TLn (IN WN)  2 2 2 N T

2

 1 T  N  1T  K  1 T   yit  yit wij  yjt  yjt k  xitk  xitk   T t1  j1  T t1  k1  T t1  NT i1 t1  LnL Ln(22) TLn (IN WN)  2 2 2 N T

Misalkan :

yit*  yit 

1 T  yit T t 1

* xitk  xitk 

1 T  xitk T t 1

Maka : 2

N K  *  * * y   w y  k xitk  it     ij jt NT i 1 t 1  j 1 k 1  2 LnL   Ln(2 )  TLn ( I N   WN )  2 2 2 N

T


32

N

T

   *

LnL  

NT Ln(2 2 )  TLn ( I N   WN )  2

i 1 t 1

2 2 N


2

it

T

* 2

   =   '  it

*

*

.

i 1 t 1

Sehingga :

 

 * ' * NT 2 LnL   Ln(2 )  TLn ( I N   WN )  2 2 2 Dimana :

 *  Y *   WNT Y *  X *  *  Y *   ( IT  WN )Y *  X * Y *  QY

X *  QX

( IT  WN )Y *  Q ( IT  WN )Y

Dengan : 1 Q  I NT  T T  ' I N T

Sehingga fungsi log likelihoodnya bisa ditulis :





Y *   ( IT WN )Y *  X * ' Y *   ( IT WN )Y *  X * NT 2 LnL   Ln(2 )  TLn (I N  WN )  2 2 2

(3.9) Jadi dari peramaan 3.8 dapat ditulis kembali menjadi :





 NT Y *   (IT WN )Y *  X * ' Y *   ( IT WN )Y *  X*   Ln(2 2 )  TLn ( I N  WN )   2 2  2  LnL   



Perhatikan fungsi log likelihood diatas. Hanya suku terakhir yang merupakan fungsi parameter  , sehingga suku-suku sebelumnya dianggap




33

sebagai konstanta. Nilai maksimum log likelihood pada persamaan diatas dapat dicapai ketika suku terakhir dari fungsi likelihood tersebut bernilai minimum Sehingga :





 Y *   ( IT  WN )Y *  X *  ' Y *   ( IT  WN )Y *  X *    2 2  LnL   

   

(3.10) Misalkan suku terakhir dari fungsi log likelihoodnya adalah :





S (  )  Y *   ( IT  WN )Y *  X * ' Y *   ( IT  WN )Y *  X * 



Maka :







 

S (  )  Y *   ( IT  WN )Y * ' Y *   ( IT  WN )Y *   ' X * ' Y *   ( I T  WN )Y *







 

 Y *   ( IT  WN )Y * ' X *   ' X * ' X *

  

 



Karena  ' X * ' Y *   ( IT  WN )Y * ' = Y *   ( IT  WN )Y * ' X *  berukuran 1 1 maka :

 '  X *  '  Y *   ( IT  WN )Y *  = Y *   ( IT  WN )Y *  ' X *  mempunyai nilai skalar yang sama Sehingga :







 



 

S (  )  Y *   ( IT WN )Y * ' Y *   ( IT WN )Y *  2 ' X * ' Y *   ( IT  WN )Y *   ' X * ' X * 

Jadi dari peramaan 3.10 dapat ditulis kembali menjadi :


34







 



 

 Y *   ( IT  WN )Y * ' Y *   ( IT  WN )Y *  2 ' X * ' Y *   ( IT  WN )Y *   ' X * ' X *    2 2  LnL     

Nilai exstrem untuk β diperoleh dengan:

LnL 0 



 

  

2 X * ' Y *   ( IT  WN )Y *  2 X * ' X *  2 2

 X ' X *

*

   X *  ' Y *   ( IT  WN )Y * 

 X ' X

*

   X *  ' Y *  ( IT   WN )Y * 

*

1

0

ˆ 

  X  ' X   X  ' Y

ˆ 

  X  ' X   X  'Y    X  ' X   X  ' (I

*

*

*

*

*

1

*

*

  ( IT  WN )Y *

*

*

*



1

*

 WN )Y *

T

1 1 ˆ   X ' Q ' QX  X ' Q ' QY   X ' Q ' QX  X ' Q ' Q ( IT  WN )Y

Persamaan diatas dapat ditulis :

ˆ   ols  lag

(3.11)

Dimana : 1

 ols 

  X  ' X   X  'Y

lag 

 X  ' X   X  '( I

*

*

*

*

1

*

*

1

  X ' Q ' QX  X ' Q ' QY 1

*

T

 WN )Y *   X ' Q ' QX  X ' Q ' Q ( IT  WN )Y

 ols merupakan parameter yang diperoleh dengan metode OLS dari model Y *  X *   eols


35

 lag merupakan parameter yang diperoleh dengan metode OLS dari model ( IT  WN )Y *  X *   elag 

Taksiran untuk 

untuk menaksir parameter  yang memaksimumkan fungsi log likelihood tersebut tidak diperoleh dengan memiminimumkan suku terakhir dari persamaan (3.9). Hal ini disebabkan oleh adanya suku Ln ( I N   WN ) yang merupakan fungsi dari parameter  . Menurut Ord pada tahun 1975, solusi dari masalah ini adalah dengan menguraikan I N   WN   (1 i ) , dimana i

i merupakan nilai eigen dari WN (Anselin 2006). Menurut Pace dan barry metode lain yang digunakan untuk menghitung Ln ( I N   WN ) adalah dengan menggunakan direct sparse matrix algorithms seperti dekomposisi LU (Anselin 2006). Untuk menaksir parameter  langkah pertama substitusikan :

ˆ

2

Y 

*



  ( IT  WN )Y *  X * ' Y *   ( IT  WN )Y *  X *



NT

Ke dalam persamaan log likelihood (3.9) dibawah ini :





Y *  (IT WN )Y *  X * ' Y *   (IT WN )Y *  X * NT 2 LnL   Ln(2 )  TLn (I N  WN )  2 2 2



Sehingga :

 

 

 

Y *  ( IT WN )Y *  X * ' Y *   (IT WN )Y *  X * NT NT 2 LnL   Ln(2 )  Ln  TLn ( I N  WN )  2 2 Y *  (IT WN )Y *  X * ' Y *   (IT WN )Y *  X * 2 NT


36







* * * * * * NT NT Y (IT WN )Y  X  ' Y (IT WN )Y  X  NT LnL  Ln(2)  Ln TLn (IN WN )  2 2 NT 2

Karena ˆ   ols  lag (3.11) maka :











Y *   (IT WN )Y *  X *  ols  lag  ' Y *   (IT WN )Y *  X *  ols  lag  NT NT LnL   Ln(2 )  Ln 2 2 NT

… TLn ( I N   WN )  LnL  

NT 2



Y *   (IT WN )Y *  X *ols  X *lag ' Y *  (IT WN )Y *  X *ols  X *lag NT NT Ln(2 )  Ln 2 2 NT

… TLn ( I N   WN ) 

NT 2



 





Y *  X *ols   ( IT WN )Y *  X *lag ' Y *  X *ols   (IT WN )Y *  X *lag NT NT LnL   Ln(2 )  Ln 2 2 NT

… TLn ( I N   WN ) 



NT 2

LnL  

 eols   elag  '  eols   elag   TLn (I  W )  NT NT NT Ln(2 )  Ln N N 2 2 NT 2

LnL  

NT NT NT NT Ln(2 )  LnNT   Ln  eols   elag  '  eols   elag   TLn (I N  WN ) 2 2 2 2

LnL  C 

NT Ln  eols   elag  '  eols   elag   TLn ( I N   WN ) 2

LnL  C 

NT Ln eols ' eols  2 elag ' eols   2 elag ' elag  TLn ( I N   WN ) 2

LnL  C 

NT Ln eols ' eols  2 elag ' eols   2elag ' elag  TLn 1  i  2 i










37

Nilai exstrem untuk  diperoleh dengan : LnL 0    NT C  Ln eols ' eols  2 elag ' eols   2elag ' elag  TLn 1  i   2 LnL i     





Karena nilai log likelihood yang didapatkan merupakan fungsi polinomial terhadap  maka solusi untuk  menjadi tidak unik. sehingga diperlukan suatu iterasi numerik untuk mendapatkan panaksir untuk  yang memaksimumkan fungsi log likelihood tersebut. Pada iterasi ini fungsi objektif LnL diaproksimasi dengan second order taylor series disekitar initial value  1 . Secara umum metode ini melakukan aproksimasi dengan taylor order kedua untuk log likelihood disekitar nilai parameter permulaan, yaitu :

LnL  LnL  1

LnL  2 LnL     1    1  2





      1

 1

2

2

Untuk memperoleh kondisi optimum, fungsi tersebut diturunkan terhadap parameter  dengan operasi sebagai berikut : LnL LnL  2 LnL      1  0 2    1   1





LnL LnL  2 LnL     2   1  0 2    1   1






38

2 LnL LnL   2   1   2   1   1



 

 2

 2



1





 2 LnL  LnL      1   2  1 

 2 LnL  LnL       1   2  1 

1

1

1

Bila persamaan diatas ,   2 menggantikan  1 maka akan diperoleh

  3 dan seterusnya. Sehingga persamaan umumnya dapat ditulis sebagai

berikut : 

 n 1



n

LnL     n

  2 LnL     2 n     

1

Persamaan inilah yang disebut dengan Newton-Raphson Iteration. Jika iterasi sudah konvergen yaitu   n1    n , atau   n1    n   maka dari

persamaan diatas dapat disimpulkan

LnL  0 dimana memenuhi syarat   n 

kondisi turunan pertama.

3.3 MODEL REGRESI SPATIAL ERROR PANEL SATU ARAH

Pada model regresi spatial error panel satu arah ini diasumsikan bahwa spatial specific effect  adalah fixed (tetap). Model spasial error panel individual pada lokasi i dinyatakan pada persamaan berikut :


39

K

yit   xitk  k  i  it ,

(3.12)

k 1

N

it    wij jt   it j 1

Yang dijabarkan sebagai berikut : y11  x111 1  x112  2  ... x11 K  K  1  11 y21  x211 1  x212  2  ... x21 K  K   2   21  y N 1  x N 11 1  x N 12  2  ... x N 1K  K   N   N 1 y12  x121 1  x122  2  ... x12 K  K  1  12 y22  x221 1  x222  2  ...x22 K  K   2   22  y N 2  xN 21 1  xN 22  2  ...x N 2 K  K   N  N 2

 y1T  x1T 1 1  x1T 2  2  ...x1TK  K  1  1T y2T  x2T 1 1  x2T 2  2  ... x2TK  K   2  2T  y NT  xNT 1 1  xNT 2  2  ... xNTK  K   N  NT

11    w1111  w12 21  ...  w1 N  N 1    11  21    w 2111  w 22 21  ...  w 2 N  N 1    21 

 N 1    w N 111  w N 2 21  ...  w NN  N 1    N 1 12    w1112  w12 22  ...  w1 N  N 2    12  22    w 2112  w 22 22  ...  w 2 N  N 2    22 

 N 2    w N 112  w N 2 22  ...  w N N  N 2    N 2 

1T    w111T  w12 2 T  ...  w1 N  NT    1T  2 T    w 211T  w 22 2 T  ...  w 2 N  NT    2 T 

 NT    w N 11T  w N 2 2 T  ...  w NN  NT    NT


40

Atau dinyatakan dalam notasi matrix :

Y  X   T  I N    

(3.13)

  WNT    Dimana : Y = vektor variabel dependen berukuran NT  1 X = vektor variabel independen berukuran NT  k

 = vektor error berukuran NT  1  = vektor error berukuran NT  1 yang independen dan berdistribusi identik dengan mean nol dan matrik kovariansi  2 I NT . β = vektor parameter yang berukuran k  1

 = koeffisien spasial error  = Spatial specific effect W = matriks bobot spasial berukuran N  N diketahui.

T = vektor berukuran T × T yang setiap entrinya berisi 1.

Jika koeffisien spasial lag  = 0 maka model umum fixed effect spatial panel error modelnya menjadi model data panel yaitu : Yit =i   X it   it

i = 1,…, N t = 1,…, T


41

3.3.1 Fungsi Likelihood Model Regresi Spatial Error Panel Satu Arah

Penaksiran parameter pada spatial error panel model ini adalah dengan menggunakan metode maksimum likelihood. Metode ini digunakan untuk mencari statistik yang memaksimumkan fungsi likelihood. Selanjutnya akan dibahas fungsi likelihood dari model regresi spatial error panel data. Fungsi likelihood dari variabel dependen Y adalah :

L(,  , , 2 , y11..., yNT ) 

IT  (I N  WN ) 2

(2 )

NT 2

...



  IT  I N  WN   Y  X   T  I N    '  IT   I N  WN   Y  X   T  I N    exp  2 2   (3.14)

   

Bukti : Pada model spasial error diasumsikan error

 ~ N (0, 

2

I NT ) . Sehingga

berdasarkan asumsi ini  it ~ N (0,  2 ) dimana adalah  it error pada lokasi i dan waktu ke t . P.d.f. dari  it : f ( it ) 

  it 2  exp  2  1 2 2  2  (2 ) 1

   it  

i = 1 ,…, N t = 1 ,…, T P.d.f. bersama dari n peubah acak 11 ,  21...,  NT adalah :


42

f (11 ,  21...,  NT )  f (11 ) f ( 21 )... f ( NT )

       it 2      it 2      it 2   1 1 1   exp   2  exp   2  ... exp   2  1 1 1  2    2    2 2 2 2 2 2    2    (2 )   (2 )   (2 )    N T 2      it   1  = exp   i 1 t 1 2   NT  2   2 2  (2 )     

  1   '     exp   2  NT   2   2 2  (2 )  P.d.f. bersama dari variabel dependen Y diperoleh dengan metode transformasi variabel yang memetakan ruang  berdimensi NT ke sebuah ruang Y berdimensi NT

Y  X    

  WNT    I NT     IT  WN    

  I NT     IT  WN      IT  I N      IT  WN     IT  I N     IT  WN  

   IT   I N  WN    1

   IT   I N  WN    Lalu substitusi ke persamaan sehingga


43

1

Y  X   T  I N     IT   I N  WN   

   IT   I N  WN   Y  X   T  I N    Atau dapat ditulis menjadi : N N     it  yit  wij yjt k  xitk  wij xjtk    i  wij  j  (lampiran 1) j 1 k 1 j 1 j 1     N

K

Jacobian dari transformasi ini adalah IT  ( I N  WN ) yang menyatakan determinan dari matriks IT  ( I N  WN ) yang berukuran N  T . Sehingga diperoleh p.d.f bersama dari peubah acak y11 , y21..., yNT adalah :   N T   it 2       1 = exp   i 1 t 1 2   I T  ( I N  W N ) NT  2   2 2  (2 )     

  IT  ( I N  WN )   '    = exp   2  NT   2   2 2 (2  )   Fungsi likelihood dari variabel dependen Y adalah L(  ,  ,  ,  2 , y11..., y NT )  f ( y11 , y21 ,... y NT )

L(,  , , 2 , y11..., yNT ) 

IT  (I N  WN ) 2

(2 )

NT 2

...



  IT   I N  WN   Y  X   T  I N    '  IT  I N  WN   Y  X   T  I N    exp  2 2  


   

44

3.3.2 Taksiran Parameter Model Regresi Spatial Error Panel Satu Arah

Taksiran parameter untuk model regresi spasial error panel didapatkan dengan cara memaksimumkan fungsi likelihood yang ekuivalen dengan memaksimumkan logaritma dari fungsi likelihood pada persamaan diatas. Logritma dari fungsi likelihood dari variabel dependen Y dapat ditulis sebagai berikut : LnL  LnL( ,  ,  ,  2 , y11..., yNT )  I  (I N  WN ) LnL(,  , , 2 , y11..., yNT )  Ln  T ... NT  2 2  (2 )



  IT   I N  WN   Y  X   T  I N    '  IT   I N  WN   Y  X   T  I N    ...exp  2 2  

    

2

N K N N      y   w y   x   w x      it  ij jt  k  itk  ij jtk   i wij j   i1 t1  j1 k 1 j1 j1 NT       Ln 2 2  Ln IT (IN  WN )  2 2 2 N T





Berdasarkan definisi 5 maka :

IT  ( I N  WN )  IT

N

 I N  WN

T

 I N  WN

T

Sehingga : 2

N K N N       yit   wij y jt k  xitk  wij xjtk    i  wij  j   i 1 t 1  j1 k 1 j 1 j 1 NT      LnL   Ln 2 2  TLn IN  WN  2 2 2 N



T



(3.15)


45

Taksiran untuk  ,  2 ,  ,  diperoleh dengan cara memaksimumkan fungsi log likelihood pada persamaan diatas secara simultan yaitu :



LnL 0 

LnL 0 

LnL 0  2

LnL 0 

Taksiran untuk  adalah : K 1 T   ˆ i    yit   xitk ˆk  T t 1  k 1 

(3.16)

Bukti : Nilai ekstrem untuk µ diperoleh dengan:

LnL 0 i 2  N T  N K N N       yit  wij yjt k  xitk  wij xjtk   i  wij j   i1 t 1  j1 k1 j1 j1   NT     2  Ln 2 TLn IN  WN   2 2  2    LnL    i i





Perhatikan fungsi log likelihood diatas. Hanya suku terakhir yang merupakan fungsi parameter µ, sehingga suku-suku sebelumnya dianggap sebagai konstanta. Nilai maksimum log likelihood pada persamaan diatas dapat dicapai ketika suku terakhir dari fungsi likelihood tersebut bernilai minimum Sehingga :


46

2  N T  N K N N           yit    wij y jt   k  xitk    wij x jtk    i    wij  j    j 1 k 1 j 1 j 1  i 1 t 1           2 2     LnL     i i

N K N N N     2 T  y   w y   x   w x     w  (1   wij )  0             it ij jt k itk ij jtk i ij j 2 2 t 1  j 1 k 1 j 1 j 1 j 1    

N

2(1    wij ) j 1 2

2

N K N N      y   w y   x   w x     wij  j   0  it     ij jt  k  itk ij jtk   i t 1  j 1 k 1 j 1 j 1      T

N

2(1    wij )

Karena

2

j 1 2

 0 maka :

N K N N      y   w y   x   w x     wij  j    0  it     ij jt  k  itk ij jtk   i  t 1  j 1 k 1 j 1 j 1     T

K N    T   y   w y   x   w x    i    wij  j   0         it ij jt k itk ij jtk   t 1  j k 1 j 1 j    t 1   T

K N      y   w y   x   wij x jtk    T  i    wij  j   0  it     ij jt k  itk  t 1  j k 1 j 1 j     T

K N      y   w y   x   w x  T  i    wij  j        it ij jt k itk ij jtk     t 1  j k 1 j 1 j     T

T

I

T

  I N  WN   Y  X    T  I T   I N  WN    T  I N   

t 1

T

 IT   I N  WN    Y  X    T  IT   I N  WN    T  I N    t 1


47

T

 Y  X    T  

T

 IN   

t 1

T

 y

 xit    T i

it

t 1

T

T i    yit  xit   t 1

ˆ i  

K 1 T   y  xitk ˆk    it  T t 1  k 1 

Taksiran untuk  2 adalah :







 IT   I N  WN   Y *  X *  '  IT   I N  WN   Y *  X *  ˆ   NT 2



(3.17) Bukti : Nilai exstrem untuk  2 diperoleh dengan : LnL 0  2 2  N T  N K N N       yit  wij yjt k  xitk  wij xjtk   i  wij j    NT i1 t 1  j1 k1 j1 j1      2  Ln 2 TLn IN  WN   2 2  2    LnL    2 2





N K   yit    wij y jt    k   i 1 t 1  j 1 k 1 NT    2 2 N

T

N   xitk    wij x jtk j 1  2 2 2( )

N         i    wij  j   j 1    


2

0

48

K N       y   w y   x   wij x jtk    i    wij  j    it     ij jt k  itk i 1 t 1  j k 1 j 1 j NT        2 2 2 2 2( ) N

T

K N       ˆ y   w y   x   wij x jtk    î    wij ˆ j    it     ij jt k  itk i 1 t 1  j k 1 j 1 j       ˆ 2  NT N

T

2

2

Setelah itu untuk memudahkan mencari penaksir ˆ 2 akan disubstitusikan ˆ i pada persamaan (3.16) ke dalam persamaan diatas sehingga : 2

K N K T K    1 T   ˆ    w 1  y  x ˆ  ˆ y   w y   x   w x  y  x            it ij jt  k itk ij jtk it  itk k  ij jt  itk k    T t1  i1 t1  j k 1 j1 k 1  j k1      T t1  ˆ2  NT N T

2

K   1T  1 T  K  1 T  1 T    yit  yit   ˆ wij  yjt  yjt  ˆk  xitk  xitk   ˆ wij ˆk  xitk  xitk   T t1  T t1   k1  T t 1  T t 1  i1 t 1  j j k1    ˆ 2  NT N T

Misalkan : yit*  yit 

1 T  yit T t 1

* xitk  xitk 

K K  * * * ˆ * ˆ  ˆ ˆ y   w y  x    w       it ij jt itk k ij  xitk  k  i 1 t 1  j k 1 j k 1  ˆ 2  NT N

T

K  *  *   * ˆ y   w y  ˆk  xitk  ˆ  wij x*jtk    it    ij jt i 1 t 1  j k 1 j     ˆ 2  NT N

T

N

T

   *


2

2

2

it

ˆ 2 

i 1 t 1

NT


49

N


T

    *

2

it

 

=  * ' * .

i 1 t 1

  '  *

ˆ

2

*

NT

Dimana :

 *  Y *  WNT Y *   X *  WNT X *    *  I NT Y *   ( IT  WN )Y *   I NT X *   ( IT  WN ) X *    *  ( IT  I N )Y *   ( IT  WN )Y *   ( IT  I N ) X *   ( IT  WN ) X *    *   IT   I N  WN   Y *   IT   I N  WN   X *   *   IT   I N  WN   Y *  X *   Y *  QY

X *  QX

( IT  WN )Y *  Q ( IT  WN )Y

Dengan : 1 Q  I NT  T T  ' I N T

Sehingga :







 IT   I N  WN   Y *  X *  '  IT   I N  WN   Y *  X *  ˆ   NT 2



Taksiran untuk β adalah :





1



ˆ    X *   IT  WN  X *  '  X *   IT  WN  X *     

 X

*

 

  IT  WN  X * ' Y *   I T  WN  Y *



Dimana


(3.18)

50

Y *  QY

X *  QX

Q  I NT 

(IT  WN )Y* =Q(IT  WN )Y

1 iT  iT  ' I N T

Bukti : Nilai exstrem untuk β diperoleh dengan :

LnL 0  2   N T         wij  j   yit    wij y jt   xit    wij x jt     i      NT j i 1 t 1  j j      2    Ln 2  TLn I N  WN   2 2 2      LnL     





(3.19)

Setelah itu untuk memudahkan mencari penaksir  maka akan disubstitusikan ˆ i yang sudah didapat kedalam fungsi log likelihood pada persamaan (3.15) sehingga :

LnL  

NT Ln 2 2  TLn IN  WN ... 2





N K N    1 T 1T ˆ y   w y   x   w x  y  x    w yjt  xjt ˆ  it  ij jt  k  itk  ij jtk    it it  j ij T  T i1 t1  j  1 k  1 j  1 t  1 t  1     ...  22 N T








2



  

51

LnL 

NT Ln 22 TLn IN WN ... 2





2

   1T   1 T   K  1T   1 T   yit  yit   wij  yjt  yjt  k  xitk  xitk   wij  xjtk  xjtk   T t1   j  T t1   k1  T t1   j  T t1  i1 t1   ... 22 N T

1 T x  xitk   xitk T t 1

1 T Misalkan : y  yit   yit T t 1

* itk

* it

2

K  *   * y   w y  k  xitk*    wij x jtk*   it    ij jt i 1 t 1  j k 1 j NT    LnL   Ln 2 2  TLn I N  WN  2 2 2 N



T



N

T

   *

LnL  

NT Ln 2 2  TLn I N  WN  2





2

it

i 1 t 1

2 2 N


T

    *

it

2

 

=  * ' * .

i 1 t 1

 

 * ' * NT 2 LnL   Ln 2  TLn I N  WN  2 2 2





Dimana :

 *  Y *  WNT Y *    X *  WNT X * 



 *   IT  I N  Y *   IT  WN  Y *    IT  I N  X *   IT  WN  X *  

 *   IT   I N  WN   Y *  X *   Y *  QY Q  I NT 

X *  QX

(IT  WN )Y* =Q(IT  WN )Y

1 iT  iT  ' I N T




52

Sehingga fungsi log likelihoodnya dapat ditulis menjadi :







 IT  IN  WN   Y*  X*  '  IT  IN  WN   Y*  X* NT 2  LnL  Ln 2 TLn IN  WN   2 2 2 (3.20)







Jadi dari persamaan (3.19) dapat ditulis kembali menjadi :



LnL  







  IT   I N  WN   Y *  X *  '  IT   I N  WN   Y *  X *  NT      Ln 2 2  TLn I N  WN    2 2 2   







Nilai exstrem untuk β diperoleh dengan :

LnL 0  Perhatikan fungsi log likelihood diatas. Hanya suku terakhir yang merupakan fungsi parameter β, sehingga suku-suku sebelumnya dianggap sebagai konstanta. Nilai maksimum log likelihood pada persamaan diatas dapat dicapai ketika suku terakhir dari fungsi likelihood tersebut bernilai minimum Sehingga :



  

 Y*  I  W  Y*  X *   I W  X *  ' Y*   I  W  Y*  X *   I  W  X * T N T N T N T N    2 2   





Misalkan :



X **  X *   IT  WN  X *





Y **  Y *   IT  WN  Y *

Maka :





 Y **  X **  ' Y **  X **    2 2  

 

  0




     

0

53

 





 

 



 Y ** ' Y **  X ** ' Y **  Y ** ' X **   X ** ' X **    2 2  

Karena

 X   'Y  '  Y  '  X   dan **

 X   'Y **

**

**

**

 

**

   

0

berukuran 1 1 maka :



 Y ** ' X **  mempunyai nilai skalar yang sama Sehingga :

 









 Y ** ' Y **  2 ' X ** ' Y **   ' X ** ' X **      2 2    0 











2 X ** ' Y **  2 X ** ' X **  2

2

 X  'Y   X  ' X **

**

 X  'Y

**

**

**



**

0

 0



 X ** ' X ** 

ˆ   X **  ' X ** 

1

 X  'Y **

**

Sehingga :



1



ˆ    X *   IT  WN  X *  '  X *   IT  WN  X *     

 X 

*

 

  IT  WN  X * ' Y *   I T  WN  Y *

Taksiran untuk





Untuk menaksir parameter  tidak diperoleh dengan memiminimumkan suku terakhir dari persamaan (3.20). Hal ini disebabkan oleh adanya suku Ln ( I N  WN ) yang merupakan fungsi dari parameter  . Menurut Ord pada


54

tahun 1975, solusi dari masalah ini adalah dengan menguraikan

I N   WN   (1 i ) , dimana i merupakan nilai eigen dari WN (Anselin i

2006). Menurut Pace dan barry metode lain yang digunakan untuk menghitung Ln ( I N   WN ) adalah dengan menggunakan direct sparse matrix algorithms seperti dekomposisi LU (Anselin 2006). Perhatikan fungsi log likelihood dari persamaan (3.19) ini : LnL(  ,  ,  ,  2 , y11..., y NT )  

NT Ln 2 2  TLn I N  WN … 2











 IT   I N  WN   Y *  X *  '  IT   I N  WN   Y *  X *   …  2 2



Untuk memudahkan perhitungan substitusikan ˆ 2 kedalam fungsi log likelihood sehingga :









* * * * NT NT  IT  IN WN   Y X  ' IT  IN WN   Y X  LnL(,, , , y11..., yNT )  Ln 2  Ln ... 2 2 NT 2

 

 

 

 

 IT   I N  WN   Y *  X *  '  IT   I N  WN   Y *  X *   … TLn I N  WN   * *  IT   I N  WN   Y  X   '  IT   I N  WN   Y *  X *  2 NT

LnL(  ,  ,  ,  2 , y11..., y NT )  

NT NT  * ' * Ln  2   Ln  TLn I N  WN 2 2 NT

 

 

 

 

 IT   I N  WN   Y *  X *   '  I T   I N  WN   Y *  X *     * *  IT   I N  WN   Y  X   '  IT   I N  WN   Y *  X *  2 NT


55

LnL(  ,  ,  ,  2 , y11..., y NT )  

NT NT  * ' * NT Ln  2   Ln  TLn I N  WN  2 2 NT 2

NT  * ' * LnL(  ,  ,  , , y11..., y NT )  C  Ln  TLn I N  WN 2 NT 2

LnL(  ,  ,  ,  2 , y11..., y NT )  C 

NT  * ' * Ln  TLn 1  i  2 NT i 2

N N  *  *   * *  yit  wij y jt   xit  wij xjt     j 1 j 1 NT i1 t1     LnL(,  , , 2 , y11..., yNT )  C  Ln  TLn1   i 2 NT i N

T

Karena nilai log likelihood yang didapatkan merupakan fungsi polinomial terhadap  maka solusi untuk  menjadi tidak unik. Sehingga diperlukan suatu iterasi numerik untuk mendapatkan penaksir dari  yang memaksimalkan fungsi log likelihood tersebut. Cara menaksir parameter  sama dengan cara menaksir  pada model regresi spatial lag panel satu arah. Pada iterasi ini fungsi objektif LnL diaproksimasi dengan second order taylor series disekitar initial value  1 . Secara umum metode ini melakukan aproksimasi dengan taylor order kedua untuk log likelihood disekitar nilai parameter permulaan, yaitu :

LnL  LnL  1

LnL  

     1

 1

 2 LnL   2

     1

 1

2

2

Untuk memperoleh kondisi optimum, fungsi tersebut diturunkan terhadap parameter  dengan operasi sebagai berikut :


56

LnL LnL    LnL LnL     2 LnL  2

 

 2

 2

 1

 1

      0 1

 1

       0 2

 1

           LnL 

 1



 2 LnL  2



2



 2 LnL  2



1

1



1

LnL  

LnL  

1

 1

  2 LnL    2  1 

  2 LnL  2 1     

    1 

   1   

1

1

Bila persamaan diatas ,   2 menggantikan  1 maka akan diperoleh

 3 dan seterusnya. Sehingga persamaan umumnya dapat ditulis sebagai berikut :



 n 1



 n

LnL  

 n 

  2 LnL    2 

    n 

1

Persamaan inilah yang disebut dengan Newton-Raphson Iteration. Jika iterasi sudah konvergen yaitu   n1    n  , atau   n1    n   maka dari


LnL 

 0 dimana memenuhi syarat   n



BAB IV APLIKASI MODEL SPATIAL PANEL

Pada bab ini akan dibahas tentang contoh dari penaksiran parameter model regresi spatial panel satu arah. Penaksiran parameter model regresi spatial panel satu arah ini akan dilakukan dengan menggunakan bantuan software SPSS 13, Eviews 3 dan Matlab 7. Data yang digunakan adalah data penjualan rokok di 46 negara bagian Amerika selama 6 tahun. Variabel yang digunakan adalah : 

Variabel respon : LogCit = konsumsi rokok oleh perokok yang berusia 14 tahun atau lebih di negara bagian ke-i pada waktu ke-t. (dalam skala logaritma)



Variabel independent :

LogPit = harga rokok (dalam skala logaritma) LogYit = pendapatan perkapita (dalam skala logaritma) LogPnit =rata-rata harga rokok dari negara bagian yang bertetanggaan (dalam skala logaritma) Tujuan : Ingin melihat bagaimana variabel-variabel independen mempengaruhi variabel dependen.


58

4.1 SCATTER PLOT DATA

Scatter plot data ini merupakan suatu plot yang digunakan untuk melihat hubungan antar variabel. Scatter plot data tersebut adalah sebagai berikut :

5.500000

logc

5.000000

4.500000

4.000000

-0.400000

-0.300000

-0.200000

-0.100000

0.000000

0.100000

0.200000

0.300000

logp

Gambar 1.Scatter plot antara log harga rokok dan log penjualan rokok

Dari gambar 1 terlihat bahwa ada hubungan linear antara log harga rokok dan log penjualan rokok.

5.500000

logc

5.000000

4.500000

4.000000

-0.400000

-0.300000

-0.200000

-0.100000

0.000000

0.100000

logpn

Gambar 2. Scatter plot antara log rata-rata harga rokok dari negara bagian yang bertetanggaan dan log penjualan rokok


59

Dari gambar 2 terlihat bahwa ada hubungan linear antara log rata-rata harga rokok dari negara bagian yang bertetanggaan dan log penjualan rokok

5.500000

logc

5.000000

4.500000

4.000000

4.000000

4.200000

4.400000

4.600000

4.800000

5.000000

logy

Gambar 3. Scatter plot antara log pendapatan perkapita dan log penjualan rokok

Dari gambar 3 terlihat bahwa ada hubungan linear antara log pendapatan perkapita dan log penjualan rokok.

4.2 PENAKSIRAN PARAMETER MODEL REGRESI PANEL SATU ARAH

Model regresi panel satu arah dengan efek tetap adalah : y it  i +xit    it Dimana i merupakan pengaruh individu ke-i yang tidak terobservasi Dalam contoh kasus ini i yang dimaksud adalah adanya aturan larangan merokok pada suatu wilayah yang menyebabkan menurunnya penjualan rokok pada suatu wilayah.


60

Berdasarkan hasil yang terdapat pada lampiran 6 yang didapatkan dari program eviews, maka model regresi panel sebagai berikut: log Cît  1.605485-1.041989logPit  0.146363logPN it +0.703143logYit

Akan tetapi dari hasil tersebut terlihat bahwa nilai R-squared sangat kecil yaitu 0.386135, hal ini menunjukkan bahwa taksiran model yang didapat kurang baik. Selanjutnya karena melakukan pengambilan observasi di lokasi – lokasi yang berdekatan maka muncul dugaan bahwa nilai observasi pada suatu lokasi bergantung pada nilai observasi di lokasi disekitarnya atau dengan kata lain ada korelasi spatial antar observasi. Oleh karena itu akan dibuat gray-scale map dari variabel Perjualan Rokok.

4.3 GRAY-SCALE MAP DARI VARIABEL PENJUALAN ROKOK

Gray-scale map digunakan untuk melihat distribusi spatial dari sebuah variabel.

Gambar 4. Gray-scale map dari variabel Perjualan Rokok


61

Dari gambar 4 terlihat bahwa terdapat pola spasial dari variabel Perjualan Rokok. Daerah yang berdekatan cenderung memiliki nilai yang similar yang digambarkan dengan pola warna yang sama. Selanjutnya akan dibuat model regresi panel satu arah yang melibatkan pengaruh spatial baik itu spatial lag atau spatial error.

4.4 PENAKSIRAN PARAMETER MODEL REGRESI SPASIAL PANEL

4.4.1 Model Regresi Spasial Lag Panel Satu Arah.

Model regresi spatial lag panel satu arah dengan efek tetap adalah : N

yit   wij yjt  xit   i  it j 1

Berdasarkan hasil yang terdapat pada lampiran 6 yang didapatkan dari program Matlab 7, maka taksiran model regresi spasial lag panel dengan komponen error satu arah ( i ) sebagai berikut: N

log Cît  0.198966log wijCjt -0.608632logPit  0.233016logPNit +0.294657logYit j 1

Dari lampiran 6 didapatkan bahwa nilai R-squared didapatkan sudah sangat besar yaitu 0.9729, sehingga taksiran model regresi


62

spatial lag panel dengan komponen error satu arah ( i ) sudah bagus.

4.4.2 Model Regresi Spasial Error Panel Satu Arah

Model regresi spatial error panel satu arah dengan efek tetap adalah : yit  xit   i  it N

it    wijit   it j 1

Berdasarkan hasil yang terdapat pada lampiran 6 yang didapatkan dari program Matlab 7, maka taksiran model regresi spasial error panel satu arah ( i ) dengan efek tetap sebagai berikut N

log Cit  -0.618106logPit  0.129409logPNit +0.335804logY ij itjt  0.299957log  w  j 1

Dari lampiran 6 didapatkan bahwa nilai R-squared sudah sangat besar yaitu 0.9742, sehingga taksiran model regresi spasial error panel satu arah ( i ) dengan efek tetap sudah bagus. Selanjutnya akan dilakukan uji asumsi pada model regresi spasial panel lag satu arah dan spasial panel error satu arah


63

4.5 PERIKSA ASUMSI

Dalam model regresi spasial panel diasumsikan bahwa error berdistribusi normal dengan meannya nol dan variansinya konstan serta error saling bebas.

4.5.1 Asumsi Mean Sama Dengan Nol

akan diperiksa apakah E(it) = 0. Hal tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini: a) Regresi spasial lag panel satu arah Tabel 1. Descriptive Statistics N residlag

276 276

Valid N (listwise)

Minimum -.112300

Maximum .157440

Mean -.00000002

Std. Deviation .035322948

Pada tabel di atas terlihat bahwa mean residual-nya mendekati nol, yang dengan kata lain menunjukkan bahwa E(i) = 0. b) Regresi spasial error panel satu arah Tabel 2. Descriptive Statistics

N residerror

276

Valid N (listwise)

276

Minimum -.113460

Maximum .135540

Mean -.00000003

Std. Deviation .039121948

Pada tabel di atas terlihat bahwa mean residual-nya mendekati nol, yang dengan kata lain menunjukkan bahwa E(i) = 0.


64

4.5.2 Variansi Error Konstan (Homoskedastisitas)

a) Regresi spasial lag panel satu arah 0.200000

residlag

0.100000

0.000000

-0.100000

4.000000

4.500000

5.000000

5.500000

logc

Gambar 5. Scatter plot antara nilai prediksi Y terhadap residual spasial lag

Berdasarkan gambar 5 terlihat bahwa nilai prediksi dari variabel dependen Y terhadap residual tidak membentuk pola tertentu, maka asumsi variansi konstan (homoskedastisitas) dianggap terpenuhi. Regresi spasial error panel satu arah 0.150000

0.100000

residerror

0.050000

0.000000

-0.050000

-0.100000

-0.150000

4.000000

4.500000

5.000000

5.500000

logc

Gambar 6. scatter plot antara nilai prediksi dari variabel dependen Y terhadap residual spasial error


65

Berdasarkan gambar 5 terlihat bahwa antara nilai prediksi dari variabel dependen Y terhadap residual tidak membentuk pola tertentu, maka asumsi variansi konstan (homoskedastisitas) dianggap terpenuhi.

4.5.3 Error Berdistribusi Normal a) Regresi spatial lag panel satu arah Asumsi ini akan di uji dengan Shapiro-Wilk. Tabel 3. Tests of Normality

Kolmogorov-Smirnov(a) Statistic df Sig. .031 276 .200(*) * This is a lower bound of the true significance. residlag

Shapiro-Wilk Statistic .989

df 276

Sig. .029

a Lilliefors Significance Correction

Berdasarkan uji Shapiro-Wilk di atas, dengan Hipotesis : H0 : residual berdistribusi Normal H1 : residual tidak berdistribusi Normal 2

T / 2  (T  t 1) Statistik uji: W  T  ˆ( t ) ) .   at (ˆ   (ˆt  ˆ )  t 1 1

t 1

Aturan keputusan: H0 ditolak jika ˆ   Dengan tingkat signifikasi 5 % didapatkan bahwa residual tidak berdisribusi normal.


66

b) Regresi spatial error panel satu arah Tabel 4. Tests of Normality

Kolmogorov-Smirnov(a)

Shapiro-Wilk

Statistic df Sig. residerror .035 276 .200(*) * This is a lower bound of the true significance.

Statistic .996

df 276

Sig. .720

a Lilliefors Significance Correction

Berdasarkan uji Shapiro-Wilk di atas, dengan Hipotesis : H0 : residual berdistribusi Normal H1 : residual tidak berdistribusi Normal Dengan tingkat signifikasi 5 % didapatkan bahwa residual berdisribusi normal.

4.5.4 Error Saling Bebas

Akan diuji apakah terdapat korelasi antar-residual dengan menggunakan uji Durbin-Watson. Pengujiannya adalah sebagai berikut: Hipotesis: H0 : Tidak ada korelasi antar-residual, H1 : Terdapat korelasi antar-residual. Tingkat signifikansi:  = 0,05. T



Statistik uji: d  t  2

(ˆt  ˆt 1 )2 T

.

 ˆt2 t 1

Aturan keputusan: H0 ditolak jika nilai statistik uji d  2 .


67

Karena nilai stastistik uji Durbin-Watson dari model regresi spatial lag panel data satu arah dan spatial error panel data satu arah adalah d = 1.8047 dan d = 1.8004 mendekati nilai 2, maka diputuskan untuk menolak H0. Jadi, dapat disimpulkan bahwa pada tingkat signifikansi lima persen residual tidak saling berkorelasi atau dengan kata lain tidak terjadi otokorelasi.

4.6 KESIMPULAN

Berikut adalah kesimpulan yang diperoleh dari hasil penelitian yaitu : 1. Pada model regresi spasial lag panel data satu arah diperoleh bahwa asumsi kenormalan tidak terpenuhi sehingga taksiran model yang didapat kurang baik. 2. Pada model regresi spasial error panel satu arah semua asumsi terpenuhi sehingga taksiran model yang diperoleh dapat menggambarkan keadaan penjualan rokok di 46 negara Amerika selama 6 tahun.


BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 KESIMPULAN

Model spasial dependen merupakan model yang memperhatikan dependensi spasial antara suatu lokasi dengan lokasi lainnya. Model spasial dependen dibagi menjadi dua, yaitu spasial lag dan spasial error. Model spasial lag ini muncul saat nilai observasi variabel dependen pada suatu lokasi berkorelasi dengan nilai observasi variabel dependen di lokasi sekitarnya. Sedangkan model spasial error muncul saat nilai error pada suatu lokasi berkorelasi dengan nilai error di lokasi sekitarnya. Dalam analisis regresi data panel, jika pengaruh spasial ini ada dan tidak dilibatkan dalam model maka asumsi error antar observasi saling bebas tidak terpenuhi, sehingga model yang di peroleh menjadi kurang baik. Untuk itu dibutuhkan suatu model yang melibatkan pengaruh spatial baik itu spatial lag atau spatial error dalam analisis data panel. Model yang melibatkan pengaruh spasial ini dinamakan spatial panel data model. Dengan memperhatikan pengaruh spasial dependen ini diharapkan model yang didapat menjadi lebih baik dalam mempresentasikan data. Penaksiran parameter menggunakan metode maksimum likelihood.


69

5.2 SARAN

Saran yang perlu diperhatikan adalah 1. model yang akan dibahas hanyalah model data panel dengan efek tetap (fixed effect) yang melibatkan pengaruh spatial dependen baik itu spasial lag maupun spasial error dengan komponen error satu arah. Untuk pembahasan lebih lanjut perlu juga diperhatikan model data panel dengan efek acak (random effect) yang melibatkan pengaruh spatial dependen baik itu spatial lag atau spatial error. 2. Dalam tugas akhir ini pengaruh spatial yang dibahas hanyalah spatial lag (variabel dependen antar lokasi saling berkorelasi) dan spatial error (error antar lokasi saling berkorelasi). Untuk pembahasan lebih lanjut perlu juga diperhatikan adanya korelasi antar variabel bebas antar lokasi. 3. Diperlukan pembahasan tentang pengujian autokorelasi model spasial dependen, yaitu dengan Morans I.


DAFTAR PUSTAKA

Andra, Novi. 2007. Model Regresi Linear pada Data Spatial Dependen, Skripsi. Universitas Indonesia, Depok Anselin, Luc. Le Gallo J., Jayet H. 2006. Spatial Panel Econometrics. In: Matyas L, SevestreP. (eds) The Econometrics of Panel Data, Fundamentals and Recent Developments in Theoryand Practice, 3rd edn. Kluwer, Dordrecht, pp 901-969 Anton, Howard. 2000. Dasar-Dasar Aljabar Linear. 7th edition. Interaksara, Batam Centre Baltagi, Badi H. 2005. Econometric Analysis of Panel Data. 3rd ed. John Wiley & Sons Ltd, Chichester. Elhorst , J P. 2003. Specification and Estimation of Spatial Panel Data Models. International Regional Science Review 26(3):244-268 Hogg, Robert V. & Allen T. Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics.Prentice-Hall International, New jersey Mendenhall, W. & T. Sinsisch. 1990. A Second Course in Statistics: Regression Analysis, 5th edition. Prentice Hall International, New York Montgomery, D.C. & E.A. Peck. 1992. Introduction to Linear Regression Analysis, 2nd edition. John Wiley & Sons, Inc., New York


71

Nachrowi, D.N. & H. Usman. 2006. Pedoman Populer dan Praktis Ekonometrika untuk Analisis Ekonomi dan Keuangan. Lembaga Penerbit Universitas Indonesia, Jakarta. Rencher, Alvin C. 2002. Method of Multivariate Analysis, 2nd edition. John Wiley & Sons, Inc., New York. Shearle, S Hayley. 1982. Matrix Algebra Useful for Statistics. John Wiley & Sons, Inc., New York. http://www.rug.nl/staff/j.p.elhorst/index, 8 April 2009, pk. 19.30. http://www.regroningen.nl/elhorst/software.html, 8 April 2009, pk. 19.45. http://www.spatial-econometrics.com/, 8 April 2009, pk. 20.00.


Lampiran 1

Akan dibuktikan :

 memaksimumkan L     memaksimumkan ln L   Dimana  = 1 , 2 ,... p  Bukti :

   Oleh karena  

L   1

memaksimumkan L   maka :

0

L    2

0



L    p



 2 L    2i

0

i = 1, 2, …, p

 0,

2



 2 L    2 L     2 L    D    0, i = 1, 2, …, p.j = 1, 2, …, p. i  j      2i  2 j i j  

akan ditunjukkan bahwa  juga memaksimumkan ln L   yaitu : 

 ln L   1  ln L   1

0



1 L   1   0 L   1 L  


73





 ln L   1

 ln L    2  ln L    2



0

0



 ln L    2

1 L   1   0 L    2 L  

0



 ln L    p  ln L    p 



0



 ln L    p

 2 ln L    2i

 0,

1 L   1   0 L    p L   0

i = 1, 2, …, p

 2 L      ln L      1 L          2  i i  i  i  L   i  

  1  L   1   L            i  L     i L   i  i 

2   1  L   1  L         i  L    i L    2i



2   1  1  L    0      i  L    L    2i

2 1  L   1    0  0 2 L    i L  


74



 2 L    2i

0 2



 2 ln L    2 ln L     2 ln L    D    0, i = 1, 2, …, p.j = 1, 2, …, p.      2i  2 j i j  

i j  L       ln L      ln L      i      2i i   i   i  L        2

 L     L     2 L    L       2 i   i    i 



L2  

 L       ln L      ln L       j      2 j  j   j   j  L        2



  L      L     2 L    L      2    j     j   j     L2  

 L       2 ln L      ln L       j     i  j i   j   i   j     



 L     L     2 L    L         i  j  i    j  L2  

 2 ln L    2 ln L     2 ln L    D        2i  2 j i j  

2


75

2

2  L    L      2 L   2 L   L     L      L     L       L    L    L       L                        2 2  j    j    i j i i   i     j  i    j             L2   L2   L2                 

2 2 2  L   L    1   L    L   2  4   L         i L    i2  2j  j   



 2 L    i2

2 2   L     L     2 L     L        L      2   j       i j     

2 2 2  L   L      2 L   L   L     1   L    2  L      4      L      2   i  j  i  j   L    i  j  i  j    

L2     2 L    2 L     2 L      4    i  j  L    i2  2j   

2

   

2 2 L      2 L   L   L     2 L    L     L     2 L     2    L           L4     i  j i  j  i2   j   i   2j   

2 2 2 2 1   L    L     L      2     i  j   L    i2  2j     2 2    2 L   1    L   2 2  L    2  L   0  0   0  0            3 2 2 L      i  j  i  j   2 2 2 2 1   L    L     L     1 = 2   0  0   2 2 2  L    i  j     L      i j    2

 2 ln L    2 ln L     2 ln L    D     0,      2i  2 j i j  

Dengan perkataan lain terbukti bahwa  juga memaksimumkan ln L   .


76

Akan dibuktikan :

   Oleh karena  



 ln L   1  ln L    2

memaksimumkan ln L   maka :

0

0







 ln L    p

0

 2 ln L    2i

i = 1, 2, …, p

 0,

2



 2 ln L    2 ln L     2 ln L    D    0, i = 1, 2, …, p.j = 1, 2, …, p.      2i  2 j i j  

i j akan ditunjukkan bahwa  memaksimumkan L   yaitu : 

L   1

0

L   1



 L   





L   1

L   L   1 L     L     L   1 L   1

 ln L   1

 L    0  0

0



L    p

0


77

L  



 p

 ln L  

 L   





 p

L    p

 2 L    2i

L   L   1 L     L     L    p L    p  L    0  0

0

i = 1, 2, …, p

 0,

 L      i   L    ln L          L     2  i i i   i  2

L    ln L    2 ln L     L    i  i i2



2  2 ln L    1  L    2     L      L    i  i2   

 2 ln L    1  2 2   0   L     L    i2   L   



D

 2 ln L   i2

 2 L    2i

 L    0  0

0

 2 L    2 L     2 L       0,   i j   2i  2 j    2 L    2i  2 L    2 j

i = 1, 2, …, p.j = 1, 2, …, p. i  j

2  2 ln L    1  L    2       L    L    i   i2    2  2 ln L    1  L    2      L    L     j   j2   


78

 2 L    i  j



L   L   2  2 ln L     L    i  j i  j

 2 L    2 L     2 L    D    i j   2i  2 j   2 2  1  L  2 2 ln L      1  L    2 ln L      L   L   2 2 ln L    2 2        L     L      L               L   i  i2    L     j   j2    i  j i j       

2

 2 ln L    2 ln L   1  L   L    4  2      L    L    i  j  i2  j2  2

2

 L     2 ln L    L     2 ln L   2  L       L         2       i2 i j j     2

2   2 ln L    1  L   L    4  2     L      L     i  j  i  j   

2

L   L   2  2 ln L    2   L      i  j i  j  L4     2 ln L    2 ln L     2 ln L      2     i  j  L     i2  2j    2

2

   

2

L2    L     2 ln L    L     2 ln L     2       j  L     i   2j i2   

2

L   L   2  2 ln L      L      i  j i  j 

  2 ln L    2 ln L     2 ln L   2    L        i  j    j2  i2     2

2 2  2 ln L    2  ln L   2  ln L   2  =  0   0  2  0  0  L       j2 i2  i  j 


79

  2 ln L    2 ln L     2 ln L    2  2  L         L    0  0 2 2   j  i  i  j    2

2

 2 L    2 L     2 L    D     0,      2i  2 j  i j 

Dengan perkataan lain terbukti bahwa  juga memaksimumkan L   . Terbukti bahwa  memaksimumkan L     memaksimumkan ln L  


80

LAMPIRAN 2



Akan dibuktikan bahwa error pada model regresi spatial error satu arah N K N N       y   w y   x   w x     wij  j  adalah : it    it ij jt  k  itk ij jtk   i j 1 k 1 j 1 j 1    

Bukti : Model regresi spatial error satu arah adalah : K

N

yit   xitk  k  i  it ,

dimana

k 1

it    wij jt   it j 1

K

it  yit   xitk  k  i

N

Maka  it  it    wij jt

k 1

dimana

j 1

K

 jt  y jt   x jtk  k   j k 1

Jadi K

N

K    it  yit   xitk  k  i    wij  y jt   x jtk  k   j  k 1 j 1 k 1  

N K N N      it  yit    wij y jt   k  xitk    wij x jtk    i    wij  j  j 1 k 1 j 1 j 1    

(terbukti)


81

LAMPIRAN 3

Akan ditunjukkan bahwa IT  ( I N   WN )Y *  X *    * N

K

yit    wij y jt    k xitk  i   it j 1

k 1

Substitusikan i  N

N K 1 T ( y   w y   k xitk ) ke dalam persamaan diatas.  it   ij jt T t 1 j 1 k 1

K

yit    wij y jt    k xitk  j 1

yit 

k 1

N K 1 T ( y   w y   k xitk )   it  it   ij jt T t 1 j 1 k 1

N 1 T  1 T  K  1 T  yit    wij  y jt   y jt     k  xitk   xitk    it  T t 1 T t 1  k 1  T t 1 j 1  

Misalkan :

yit*  yit  N

1 T  yit T t 1

* xitk  xitk 


K

* yit*    wij y *jt    k xitk   it j 1

k 1

Atau dinyatakan dalam bentuk matriks : Y *   WNT Y *  X *    * Y *   WNT Y *  X *    * I NT Y *    IT  WN  Y *  X *    *

 IT  I N  Y *    IT  WN  Y *  X *   * IT  ( I N   WN )Y *  X *    *


82

LAMPIRAN 4

1.

Akan dibuktikan bahwa taksiran untuk ˆ pada model regresi spatial lag panel data satu arah adalah unbiased yaitu :

 

E ˆ   Bukti : E ˆ  E  X * ' X * 

1

E ˆ  E  X * ' X * 

1

E ˆ  E  X * ' X * 

1

     

1

     X  'Y    X  ' X   X  ' ( I *

*

     X  ' Y *

    X  ' I

*

*

*

T

*

*

T

 WN )Y *  

  ( I T  WN )Y *  



 ( I N   WN )Y *  



pada lampiran 3 diketahui bahwa IT  ( I N   WN )Y *  X *    * Maka : 1 E ˆ  E   X * ' X *  X * ' X *    *    

 

 

 



1 1 E ˆ  E   X * ' X *  X * ' X *    X * ' X *  X * '  *      

 

 

 

 

 

1 1 E ˆ  E   X * ' X *  X * ' X *    E   X * ' X *  X * '  *       

 

 

 

 

E ˆ  E      X * ' X * 

 

1

 

 

 X  ' E   *

*

 

Karena E  * = 0 maka :


83

 

E ˆ  E    Sehingga :

 

E ˆ   (terbukti) Akan dibuktikan bahwa taksiran dari  pada model regresi spatial error

2.

panel data satu arah adalah taksiran yang unbiased yaitu :

 

E ˆ   . Bukti : 1   * E ˆ  E   X *   IT  WN  X * ' X *   IT  WN  X *   X *   IT  WN  X * ' Y *   IT  W  N Y    



1   E ˆ  E   X *   IT  WN  X * ' X *   IT  WN  X *   X *   IT  WN  X * '  IT  I N  WN   Y *    





 

 



 

 







 



 

Karena :

 *   IT   I N  WN   Y *  X *  

I

T

  I N  WN   X *   *   IT   I N  WN   Y *

 X I *

T



 WN  X *    *   IT   I N  WN   Y *

Maka : 1   E ˆ E X*  IT WN  X* ' X*  IT WN  X*   X*  IT WN  X* ' X*  IT WN  X*  *     





 

 

 





1   E ˆ  E X*  IT WN  X* ' X*  IT WN  X*  X*  IT WN  X* ' X*  IT WN  X*      





 

 






84

E   X *   IT  WN  X * ' X *   IT  WN  X *   





 





1

 X I 1

*

  X I

E ˆ  E      X *   IT  WN  X * ' X *   IT  WN  X * 

*

 

Karena E  *  E     0 maka :

 

E ˆ  E    Sehingga :

 

E ˆ  

( terbukti )


T

T

 WN  X * '  *  



  

 WN  X * ' E  *

85

LAMPIRAN 5 DATA

id _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _10 _11 _12 _13 _14 _15 _16 _17 _18 _19 _20 _21 _22 _23 _24 _25 _26 _27 _28 _29 _30 _31 _32 _33 _34 _35 _36 _37 _38 _39 _40 _41 _42 _43 _44

year

logc 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4.481872 4.750136 4.644391 4.822698 4.964242 5.104733 5.412984 4.862135 4.65396 4.596129 4.887337 4.900076 4.693181 4.60617 4.961445 4.764735 4.909709 4.801559 4.85203 4.899331 4.733563 4.488636 4.922168 4.754452 4.695925 5.245444 5.575949 4.869072 4.60417 4.827513 4.574711 4.865995 4.727388 4.763028 4.962145 4.561218 4.609162 4.693181 4.685828 4.16356 4.858261 4.810557 4.620059 4.785824

logp 0.022728 -0.106 -0.11886 0.017094 -0.106 -0.08388 -0.26495 -0.08388 -0.04406 -0.08388 0.022728 -0.15511 0.0422 -0.07146 -0.28005 -0.06838 -0.08388 -0.11886 0.008584 -0.08388 -0.06224 -0.0262 -0.17545 -0.07146 -0.04707 -0.05919 -0.15176 -0.00866 -0.03212 -0.00866 -0.07455 -0.1221 -0.1092 0.044951 -0.08076 -0.16523 -0.06224 -0.06531 0.002869 -0.07455 -0.0262 -0.25008 0.064 -0.106

logpn

logy

-0.08388 -0.07455 -0.17545 -0.106 -0.08076 -0.11886 -0.25008 -0.04406 -0.16523 -0.07455 -0.28005 -0.28005 -0.17545 -0.17545 -0.25008 -0.11886 -0.15176 -0.26495 -0.15176 -0.15511 -0.07455 -0.11886 -0.28005 -0.08388 -0.17545 -0.106 -0.08388 -0.08388 -0.1092 -0.106 -0.07146 -0.28005 -0.17545 -0.1221 -0.106 -0.04406 -0.07455 -0.28005 -0.11886 -0.106 -0.15176 -0.28005 -0.08388 -0.28005


4.147724 4.358906 4.120516 4.663844 4.718354 4.476998 4.68057 4.40947 4.286604 4.297846 4.634086 4.446947 4.429141 4.438434 4.235759 4.239137 4.318704 4.502615 4.582358 4.49791 4.41481 4.010242 4.463019 4.328858 4.388386 4.649986 4.539662 4.721426 4.247546 4.6344 4.246219 4.484066 4.293643 4.468 4.482228 4.177609 4.258406 4.253625 4.359403 4.303398 4.453614 4.385757 4.571063 4.147666

86

_45 _46 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _10 _11 _12 _13 _14 _15 _16 _17 _18 _19 _20 _21 _22 _23 _24 _25 _26 _27 _28 _29 _30 _31 _32 _33 _34 _35 _36 _37 _38 _39 _40 _41 _42 _43 _44 _45

0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

4.713127 4.916325 4.50092 4.734443 4.633758 4.819475 4.974663 5.167639 5.357529 4.797442 4.687671 4.611152 4.870607 4.889597 4.681205 4.630838 4.985659 4.752728 4.906755 4.806477 4.865224 4.893352 4.721174 4.51086 4.92144 4.765587 4.685828 5.291293 5.515443 4.797442 4.465908 4.807294 4.57368 4.858261 4.688592 4.74232 4.768988 4.646312 4.629863 4.675629 4.712229 4.183576 4.902307 4.819475 4.607168 4.719391 4.714025

-0.03509 -0.06838 -0.00273 -0.01648 -0.17202 -0.00273 -0.13081 -0.13081 -0.29956 0.118086 -0.07055 -0.14017 -0.04173 -0.21163 -0.01926 -0.11846 -0.30694 -0.09722 -0.09422 -0.17851 -0.04743 -0.14017 -0.11235 -0.05316 -0.20492 -0.11846 -0.1093 -0.09722 -0.20492 0.050476 0.032174 0.050476 -0.12771 -0.15279 0.005435 -0.00546 0.045281 -0.23548 -0.12462 -0.11235 -0.06472 -0.09722 -0.07055 -0.25991 0.024227 -0.13392 -0.08825

-0.06224 -0.08388 -0.11235 -0.09722 -0.20492 -0.09722 -0.04743 -0.17851 -0.25991 -0.07055 -0.23548 -0.11846 -0.30694 -0.30694 -0.20492 -0.20492 -0.25991 -0.17202 -0.20492 -0.29956 -0.20492 -0.21163 -0.12771 -0.17202 -0.30694 -0.14017 -0.20492 -0.14017 -0.09422 -0.13081 -0.09722 -0.13081 -0.12462 -0.30694 -0.20492 -0.17851 -0.13081 -0.07055 -0.12771 -0.30694 -0.17202 -0.14017 -0.20492 -0.30694 -0.14017 -0.30694 -0.11235


4.43651 4.430257 4.170958 4.396768 4.131955 4.670913 4.724623 4.495051 4.667751 4.446386 4.309331 4.33955 4.638831 4.466431 4.457207 4.456673 4.255834 4.226016 4.344239 4.524176 4.593345 4.50001 4.427122 4.03208 4.445534 4.331003 4.438601 4.665417 4.555977 4.725613 4.246368 4.63749 4.28783 4.497588 4.298866 4.485218 4.488511 4.207759 4.264203 4.270539 4.379536 4.300724 4.456137 4.411605 4.566106 4.163195 4.43944

87

_46 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _10 _11 _12 _13 _14 _15 _16 _17 _18 _19 _20 _21 _22 _23 _24 _25 _26 _27 _28 _29 _30 _31 _32 _33 _34 _35 _36 _37 _38 _39 _40 _41 _42 _43 _44 _45

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4.910447 4.497585 4.74667 4.608166 4.812184 4.787492 5.043425 5.300315 4.817051 4.699571 4.628887 4.826712 4.902307 4.68675 4.736198 5.048573 4.752728 4.855929 4.816241 4.822698 4.856707 4.647271 4.536891 4.798267 4.71133 4.683057 5.244389 5.582368 4.793308 4.49981 4.779123 4.541165 4.800737 4.685828 4.675629 4.819475 4.640537 4.529368 4.603168 4.667206 4.18205 4.808927 4.822698 4.571613 4.740575 4.667206

-0.11846 0.020409 -0.0448 -0.05564 0 0.084 0.005141 -0.30852 0.114341 -0.12327 -0.13796 0.064861 -0.23742 -0.02876 -0.12619 -0.31556 -0.12327 -0.02083 -0.17411 0.020409 -0.14092 0.007702 -0.06936 -0.0749 -0.13206 -0.13501 0.002574 -0.21161 0.055152 0.022931 0.047808 -0.03943 -0.05837 -0.01036 -0.01036 0.012804 -0.17718 -0.00776 0.027956 0.04041 -0.11457 -0.02876 -0.29804 -0.00258 -0.14092 -0.00776

-0.14017 -0.12327 -0.11457 -0.12327 -0.0448 0.012804 -0.17411 -0.29804 -0.12327 -0.17718 -0.13206 -0.31556 -0.31556 -0.13501 -0.13501 -0.29804 -0.06936 -0.21161 -0.30852 -0.21161 -0.23742 -0.03943 -0.12327 -0.31556 -0.13796 -0.12912 -0.13796 -0.02876 -0.01036 -0.11457 -0.02876 -0.13206 -0.31556 -0.12619 -0.17411 0.020409 -0.12327 -0.13501 -0.31556 -0.12327 -0.13796 -0.21161 -0.31556 -0.13796 -0.31556 -0.02876


4.425417 4.201394 4.434069 4.163137 4.682699 4.74948 4.500714 4.684966 4.485991 4.333002 4.367124 4.638966 4.444754 4.464044 4.476573 4.283475 4.245938 4.381987 4.558425 4.618287 4.477634 4.452895 4.057368 4.46996 4.377896 4.441994 4.725768 4.546766 4.754656 4.27378 4.665029 4.260247 4.495427 4.334227 4.500661 4.503772 4.238224 4.286015 4.288179 4.407896 4.33971 4.471111 4.438445 4.547985 4.227319 4.455256

88

_46 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _10 _11 _12 _13 _14 _15 _16 _17 _18 _19 _20 _21 _22 _23 _24 _25 _26 _27 _28 _29 _30 _31 _32 _33 _34 _35 _36 _37 _38 _39 _40 _41 _42 _43 _44 _45

2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

4.884316 4.558079 4.696837 4.645352 4.795791 4.767289 5.082025 5.361292 4.812184 4.751001 4.68675 4.833102 4.93663 4.685828 4.632785 5.096813 4.785824 4.891852 4.841822 4.799091 4.837075 4.757033 4.657763 4.8489 4.750136 4.687671 5.249652 5.627621 4.829113 4.528289 4.81462 4.590057 4.825109 4.748404 4.666265 4.813809 4.744932 4.571613 4.666265 4.69043 4.215086 4.823502 4.85515 4.574711 4.714025 4.657763

-0.12912 0.052897 -0.05064 -0.04288 -0.01995 0.11641 0.019561 -0.21699 0.078332 -0.12335 -0.18678 0.021979 -0.22934 -0.05064 -0.04031 -0.29678 -0.03008 -0.04288 -0.16908 0.01227 -0.03263 -0.00993 -0.07696 -0.0958 -0.15456 -0.15456 0.082888 -0.172 0.029199 0.029199 0.029199 -0.04031 -0.06109 -0.01744 0.098672 -0.00743 -0.16616 -0.05064 0.026798 0.036368 -0.10125 -0.025 -0.29346 -0.00495 0.026798 -0.00743

-0.13796 -0.12335 -0.10125 -0.0958 -0.05064 -0.00743 -0.16908 -0.29346 -0.12335 -0.16616 -0.16325 -0.29678 -0.29678 -0.15456 -0.15456 -0.29346 -0.07696 -0.172 -0.29346 -0.172 -0.22934 -0.05064 -0.04288 -0.29678 -0.18678 -0.16325 -0.18678 -0.04288 0.019561 -0.10125 -0.025 -0.15456 -0.29678 -0.0958 -0.16908 0.01227 -0.12335 -0.16325 -0.29678 -0.04288 -0.18678 -0.172 -0.29678 -0.18678 -0.29678 -0.05064


4.434038 4.230815 4.473317 4.203538 4.691304 4.75733 4.523036 4.732632 4.513101 4.3662 4.383778 4.669484 4.47903 4.461233 4.519479 4.307393 4.263222 4.394471 4.584779 4.641369 4.51769 4.466222 4.0992 4.494184 4.377309 4.470677 4.731904 4.562523 4.781466 4.313828 4.68686 4.359485 4.514648 4.347717 4.51525 4.503731 4.258615 4.332614 4.324229 4.41569 4.367373 4.506316 4.477048 4.54916 4.260377 4.482578

89

_46 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _10 _11 _12 _13 _14 _15 _16 _17 _18 _19 _20 _21 _22 _23 _24 _25 _26 _27 _28 _29 _30 _31 _32 _33 _34 _35 _36 _37 _38 _39 _40 _41 _42 _43 _44 _45 _46

3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

4.880527 4.61611 4.828314 4.643429 4.816241 4.707727 5.051777 5.396351 4.836282 4.762174 4.837075 4.841033 5.005288 4.695011 4.70953 5.189618 4.830711 4.916325 4.891852 4.769837 4.878246 4.572647 4.719391 4.867534 4.805659 4.653008 5.291293 5.691035 4.85515 4.598146 4.786658 4.642466 4.823502 4.801559 4.691348 4.90082 4.776599 4.634729 4.714025 4.687671 4.266896 4.927254 4.919981 4.483003 4.766438 4.689511 4.941642

-0.16325 0.011891 -0.09531 0.053563 -0.04652 0.204794 0.067077 -0.2154 0.112987 -0.02177 -0.2154 0.002389 -0.25166 0.002389 -0.07448 -0.3119 -0.04402 -0.0072 -0.19775 0.095745 -0.04402 0.078201 -0.11123 -0.10324 -0.04152 -0.01689 -0.02913 -0.1466 0.007151 -0.01689 0.021303 -0.0719 -0.08484 -0.04903 0.067077 -0.0048 -0.2036 -0.06677 -0.0048 0.115121 -0.11659 -0.04402 -0.33504 0.097917 -0.01203 -0.03654 -0.19484

-0.18678 -0.11123 -0.11659 -0.11123 -0.09531 -0.0048 -0.19775 -0.33504 -0.02177 -0.2036 -0.19484 -0.3119 -0.3119 -0.10324 -0.10324 -0.33504 -0.11123 -0.1466 -0.33504 -0.1466 -0.25166 -0.0719 -0.04402 -0.3119 -0.2154 -0.19484 -0.2154 -0.04402 0.021303 -0.11659 -0.04402 -0.06677 -0.3119 -0.10324 -0.19775 0.095745 -0.02177 -0.19484 -0.33504 -0.04903 -0.2154 -0.1466 -0.3119 -0.2154 -0.33504 0.002389 -0.2154


4.463367 4.285007 4.510036 4.256817 4.711933 4.774018 4.565075 4.777102 4.555696 4.418207 4.460124 4.692365 4.513129 4.533981 4.591981 4.350156 4.29824 4.429704 4.613025 4.666142 4.563176 4.498529 4.161058 4.522437 4.479527 4.540754 4.740624 4.589323 4.803016 4.364563 4.700908 4.503046 4.54308 4.373499 4.543278 4.537502 4.30228 4.437856 4.384053 4.447514 4.413172 4.504265 4.520524 4.579067 4.312318 4.513566 4.554962

90

_1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _10 _11 _12 _13 _14 _15 _16 _17 _18 _19 _20 _21 _22 _23 _24 _25 _26 _27 _28 _29 _30 _31 _32 _33 _34 _35 _36 _37 _38 _39 _40 _41 _42 _43 _44 _45 _46

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

4.633758 4.854371 4.682131 4.823502 4.694096 5.041488 5.344246 4.887337 4.785824 4.80238 4.823502 5.049856 4.70592 4.74667 5.307773 4.841822 4.927254 4.922168 4.797442 4.895598 4.670958 4.744932 4.883559 4.786658 4.669084 5.305789 5.631212 4.789157 4.594109 4.776599 4.688592 4.79165 4.821088 4.706824 4.955827 4.832306 4.639572 4.697749 4.70411 4.286341 4.989071 4.963544 4.51086 4.758749 4.695925 4.950177

-0.05319 -0.1374 0.015643 -0.10686 0.130712 -0.00905 -0.25228 0.065383 -0.04609 -0.20142 -0.07967 -0.29977 -0.05795 -0.12201 -0.37224 -0.10686 -0.07967 -0.22936 0.035402 -0.09937 0.026668 -0.17425 -0.16358 -0.08211 -0.0748 -0.09689 -0.18503 0.096538 -0.06034 0.031045 -0.11947 -0.05557 -0.09441 0.011198 -0.08947 -0.28169 -0.11441 -0.08456 0.04406 -0.19593 -0.10937 -0.38871 0.033226 -0.10686 -0.04139 -0.25518

-0.17425 -0.19593 -0.17425 -0.1374 -0.08947 -0.22936 -0.38871 -0.05319 -0.28169 -0.25518 -0.37224 -0.37224 -0.16358 -0.16358 -0.38871 -0.17425 -0.18503 -0.38871 -0.18503 -0.29977 -0.11947 -0.10686 -0.37224 -0.25518 -0.25518 -0.20142 -0.10937 -0.00905 -0.19593 -0.10937 -0.11441 -0.37224 -0.16358 -0.22936 0.035402 -0.04609 -0.25518 -0.38871 -0.10686 -0.25518 -0.18503 -0.37224 -0.20142 -0.38871 -0.07967 -0.20142


4.33463 4.554347 4.341281 4.744489 4.818668 4.604736 4.784283 4.615017 4.471864 4.541431 4.755172 4.602288 4.689256 4.681191 4.41033 4.341293 4.467839 4.658829 4.69585 4.617707 4.621879 4.227299 4.585058 4.568872 4.659764 4.774066 4.640593 4.83608 4.396978 4.719539 4.846211 4.591793 4.454551 4.586794 4.552546 4.359757 4.633356 4.43715 4.508234 4.438372 4.541903 4.570991 4.639138 4.345616 4.566022 4.619767

91

LAMPIRAN 6 OUTPUT MODEL

1. MODEL REGRESI PANEL SATU ARAH Dependent Variable: LOGC? Method: Pooled Least Squares Date: 06/07/09 Time: 01:36 Sample: 1 276 Included observations: 276 Total panel observations 276 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

LOGP? LOGPN? LOGY? Fixed Effects _A--C

-1.041989 0.146363 0.703143

0.121016 0.124377 0.066013

-8.610354 1.176771 10.65159

0.0000 0.2403 0.0000

1.605485

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Log likelihood Durbin-Watson stat

0.386135 0.379364 0.178776 223.5546 0.469263

Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid F-statistic Prob(F-statistic)

4.798510 0.226930 8.693389 85.54694 0.000000

2. MODEL REGRESI SPATIAL LAG PANEL DATA SATU ARAH Dependent Variable = logcit R-squared

=

Rbar-squared sigma^2

0.9729 =

0.9670

=

0.0014

Durbin-Watson =

1.8047

Nobs,Nvar,TNvar

=

log-likelihood

=

# of iterations

=

min and max rho total time in secs = time for lndet

=

276,

3,

50

514.76733 12 = -1.0000, 1.0000 0.0630 0.0470


92

No lndet approximation used *************************************************************** Variable

Coefficient Asymptot t-stat

z-probability

logp

-0.608632

-12.653520

logpn

0.233016

3.559311

0.000372

logy

0.294657

7.708424

0.000000

W*dep.var.

0.198966

2.952892

0.003148

0.000000

3. MODEL REGRESI SPATIAL ERROR PANEL DATA SATU ARAH Dependent Variable = logcit R-squared

=

Rbar-squared sigma^2

0.9742 =

=

0.9687 0.0013

Durbin-Watson =

1.8004

log-likelihood =

519.38811

Nobs,Nvar,TNvar = # iterations

=

276,

3,

49

13

min and max rho = -0.9900, 0.9900 total time in secs =

0.1090

time for optimiz =

0.0310

time for lndet

=

0.0620

No lndet approximation used *************************************************************** Variable

Coefficient Asymptot t-stat

z-probability

Logp

-0.618106

-13.173758

0.000000

logpn

0.129409

2.020164

0.043366

logy

0.335804

7.491020

0.000000

spat.aut.

0.299957

4.467190

0.000008


93

LAMPIRAN 7

MODEL REGRESI SPASIAL LAG PANEL SATU ARAH Y   WNT Y  X   T  I N    

Dapat ditulis :   y11   y   w11  21   w21         y N1  w  y12   N1     y22            yN 2          y1T       y2T          yNT     x1 1 1 x  2 11     x N 11  x1 2 1   x 2 21    x N 21    x1 T 1   x2T 1    x N T 1

w12  w1N w22

 w2 N



 

0

w21

w22

 w2N





 

0

 0

 w11

w12 

w21

w22









wN 1 wN 2 





  



 

x N 22



 x 1T 2

 

x 2T 2





 xNT 2

xNT 2

w12  w1N

0

x 2 12

x 22 2

w11

wN1 wN 2  wNN



x1 2 2

0

wN 2  wNN

x1 1 2

x N 12

0 

x1 1 k  x 2 1 k     x N 1k  x1 2 k   x 22 k   1 2    xN 2k   k   x 1T k   x 2T k     x N T k 

  1  1        1    0     0      0   1 

0 1

0 0

0

1

0

0

   y11   y    21     y    N1    y12      y22      +…     yN 2         y1T  w1N     y2T  w2 N           yNT  wNN 

0    1  0   2  0    1     N


  11    21      N1  12      22      N2      1T    2T     NT

                    

94

LAMPIRAN 8 ITERASI NEWTON-RAPHSON Misalkan diketahui : L  ; x1 , x2 ,..., xn   f  x1 ,   f  x2 ,   ... f  xn ,   ,

Taksiran parameter  diperoleh dengan cara memaksimumkan fungsi likelihood yang ekuivalen dengan memaksimumkan logaritma dari fungsi likelihood. Nilai  yang memaksimumkan fungsi log-likelihood diperoleh dengan mencari solusi persamaan berikut ini :

Ln   0  Kadang kala untuk mendapatkan taksiran  tidak langsung didapatkan. Untuk mengatasi hal ini diperlukan suatu iterasi numerik yaitu iterasi newton-raphson. Pada iterasi ini fungsi objektif LnL diaproksimasi dengan second order taylor series disekitar initial value  1 . Secara umum metode ini melakukan aproksimasi dengan taylor order kedua untuk log likelihood disekitar nilai parameter permulaan, yaitu :

LnL  LnL  1

LnL  2 LnL     1    1  2





      1

 1

2

2

Untuk memperoleh kondisi optimum, fungsi tersebut diturunkan terhadap parameter  dengan operasi sebagai berikut :


95

LnL LnL  2 LnL      1  0 2 1        1





LnL LnL  2 LnL     2   1  0 2 1        1





2 LnL LnL   2  1   2   1   1



       2

  2

1



 2 LnL  LnL      1   2  1 

 2 LnL  LnL   1      1   2  1 

1

1

Bila persamaan diatas ,   2 menggantikan  1 maka akan diperoleh

 3 dan seterusnya. Sehingga persamaan umumnya dapat ditulis sebagai

berikut : 

 n 1



 n

  2 LnL  LnL      n    2  n  

1

Persamaan inilah yang disebut dengan Newton-Raphson Iteration. Jika iterasi sudah konvergen yaitu   n1    n , atau   n 1    n   maka dari


LnL  0 dimana memenuhi syarat    n



PENAKSIRAN PARAMETER PADA MODEL REGRESI SPATIAL PANEL DATA SATU ARAH RIFKI KOSASIH. Penaksiran parameter..., Rifki Kosasih, FMIPA UI, 2009

Recommend Documents