ESTIMASI PARAMETER MODEL ARELLANO DAN BOND PADA REGRESI DATA PANEL DINAMIS

ESTIMASI PARAMETER MODEL ARELLANO DAN BOND PADA REGRESI DATA PANEL DINAMIS Lailatul Urusyiyah Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail : [email protected] ABSTRAK Data panel merupakan gabungan dari cross section dan time series. Terdapat dua model data panel yaitu data panel statis dan dinamis. Karena melihat keunggulan model data panel dinamis yang sanggup mengatasi masalah endogenitas terkait penggunaan lag variabel dependen dimana pada model data panel statis penggunaan lag variabel dependen menyebabkan hasil estimasi menjadi bias dan tidak konsisten sehingga penulis meneliti tentang model regresi data panel dinamis. Sebagai langkah awal untuk mengestimasi parameter yang tidak diketahui pada model regresi data panel dinamis yaitu dengan hanya memanfaatkan kondisi ortogonalitas yang ada di antara nilai-nilai lag dan error-nya maka model regresi data panel dinamis tersebut menjadi model Arellano dan Bond. Untuk mengestimasi model Arellano dan Bond maka dilakukan beda pertama pada model tersebut, kemudian mencari matriks varians-kovarians dan mendefinisikan matriks instrumen dari model tersebut. Setelah itu, estimasi parameter model Arellano dan Bond menggunakan metode Generalized Least square (GLS). Berdasarkan pembahasan diperoleh rumus estimasi parameter model Arellano dan Bond adalah sebagai berikut: 𝛿̂𝑔𝑙𝑠 = (∆𝑦−1 𝑊(𝑊(𝐼𝑁 ⊗ 𝐺)𝑊)−1 𝑊Δ𝑦−1 )−1 Δ𝑦−1 𝑊(𝑊(𝐼𝑁 ⊗ 𝐺)𝑊)−1 Δ𝑦 Kata Kunci: Regresi Data Panel Dinamis, Model Arellano dan Bond, Estimasi Parameter, Metode Generalized Least Square (GLS). ABSTRACT Panel Data is a combination of cross section and time series. There are two models of panel data namely static panel data and dynamic panel data. Because of seeing the advantage of dynamic panel data model is able to handle the problem of endogeneity related to the using of the dependent variable lag when static panel data used the dependent variable for causing the estimation result be biased and inconsistent. It makes the writer research the model of dynamic panel data regression. For the first step to estimate unknown parameters of the regression dynamic panel data model by using orthogonality conditions that existed among Lag and an error values, so the regression dynamic panel data becomes Arellano and Bond model. For estimating Arellano and Bond model, we differ that model for the first time, then we seek a matrix variance-covarriance and define matrix instruments of the model. Then, estimating of the Arellano and Bond model parameters using Generalized Least Square methods ( GLS ). According to the mater we get the estimation formula parameters Arellano and Bond model as follow: 𝛿̂𝑔𝑙𝑠 = (∆𝑦−1 𝑊(𝑊(𝐼𝑁 ⊗ 𝐺)𝑊)−1 𝑊Δ𝑦−1 )−1 Δ𝑦−1 𝑊(𝑊(𝐼𝑁 ⊗ 𝐺)𝑊)−1 Δ𝑦 Keywords: The dynamic panel data regression, Arellano and Bond Model, an Estimation of the parameters, a method of Generalized Least Square ( GLS ).

PENDAHULUAN Pada penelitian ini penulis tertarik untuk mengkaji tentang data panel dinamis, dimana data panel merupakan gabungan antara data time series dan cross section. Terdapat beberapa model regresi data panel dinamis, yaitu model Arellano dan Bond, Arellano dan Bover, kondisi momen Ahn dan Schmidt, sistem GMM Blundel dan Bond, serta Keane dan Runkle. Dari beberapa model tersebut, bentuk yang paling sederhana adalah

model Arellano dan Bond, sehingga penulis mengambil judul “Estimasi Parameter Model Arellano dan Bond pada Regresi Data Panel Dinamis”. TEORI DASAR A. Pendekatan Matriks untuk Model Regresi Linier Dengan menggeneralisasikan model regresi linier dua atau tiga variabel, maka model

Estimasi Parameter Model Arellano dan Bond pada Regresi Data Panel Dinamis regresi populasi k-variabel yang melibatkan variabel tak bebas y dan sebanyak K  1 variabel bebas 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝐾 dapat ditulis sebagai 𝑦𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑥2𝑖 + 𝛽3 𝑥3𝑖 + ⋯ + 𝛽𝐾 𝑥𝐾𝑖 + 𝜀𝑖 dimana 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 dan 𝛽1 adalah intersep, 𝛽2 sampai 𝛽𝐾 adalah koefisien kemiringan parsial, 𝜀 unsur error stokastik, dan 𝑖 adalah observasi ke-𝑖, 𝑁 merupakan besarnya populasi (Gujarati, 2004). Untuk 𝑖 = 1 hingga 𝑁, persamaan di atas dapat ditulis sebagai: y1  1   2 x21   3 x31    K xK 1   1 y2  1   2 x22   3 x32 

  K xKN   N

1

2

N

 1  1     1  

x x

x

x

21

x

22

x

2N

N 1

x

31

x

32

x

3N

K1

K2

KN

        

0

1

K

          

K 1

N K

S     (y  X ) (y  X ) T

T

S  (y  X) (y  X) T

persamaan tersebut dapat ditulis dengan cara lain yang lebih menjelaskan sebagai berikut:

y y   y 

Dalam penggunaan regresi, terdapat beberapa asumsi dasar yang dapat menghasilkan estimator linier tidak bias yang terbaik dari model regresi yang diperoleh dari metode kuadrat terkecil atau biasa dikenal dengan regresi OLS agar estimasi koefisien regresi itu bersifat BLUE (Best Linear Unbiased Estimator). Untuk tujuan ini maka perlu memilih parameter  sehingga nilai fungsi, sekecil mungkin (minimal). Persamaan tersebut adalah skalar, sehingga komponen-komponennya juga skalar. Akibatnya, transpose skalar tidak mengubah nilai skalar tersebut. Sehingga S dapat ditulis sebagai

  K xK 2   2

y N  1   2 x2 N   3 x3 N 

D. Metode Ordinary Least Square (OLS)

1

2

N

     

N 1

persamaan matriks tersebut dapat ditulis sebagai: y  X 



 y  X T

T

 y  X  

 y y  y X   X y   X X T

T



T

 y y  y X T

T



T

T

  X y   X X T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T



 0  2X y  X X    X X T

d

T

T

T



T

 2 X y  X X   X X  T T  2 X y  2 X X  T

T

dan menyamakannya dengan nol diperoleh

  A 

T

A

X X  X y T

 A  B   A  B dan  A  B   A  B (c)  kA   kA , dengan k adalah skalar (b)

T

Untuk meminimumkannya dapat di peroleh dengan melakukan turunan parsial pertama S terhadap  ,

Menurut Anton dan Rorres (2004), sifatsifat transpose antara lain: T

T

 y y  2 X y   X X  T

T

(a)

T

T

 y y   X y   X y   X X

dS

B. Sifat-sifat Transpose

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

yang dinamakan sebagai persamaan normal, dan ˆ  ( X X ) X y T

1

T

ols

sebarang (d)

 AB 

T

E. Metode Generalized Least Square (GLS)

B A T

T

C. Matriks Ortogonal Anton dan Rorres (2004) menyatakan bahwa matriks bujursangkar A yang memiliki sifat 1

A A

T

disebut sebagai matriks ortogonal. Dari definisi ini diketahui bahwa matriks bujursangkar A ortogonal jika dan hanya jika AA  A A  I T

T

Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382

Menurut Greene (1997), penanggulangan kasus heteroskedastisitas dapat dilakukan dengan estimasi melalui pembobotan (weighted) yang dapat pula dikatakan sebagai kuadrat terkecil yang diberlakukan secara umum atau disebut Generalized Least Squares (GLS). Model persamaan linier umum adalah 𝑦 = 𝑋𝛽 + 𝜀 dengan 𝜀 ∈ 𝑁(0, Φ), dimana

11

Lailatul Urusyiyah

 0    0

2

  2



F.

  0     

0

1

0

2 2

2

0

n

matriks simetri dan positive definite. Karena  matriks simetri dan positive definite maka ada matriks 𝐶 yang ortogonal (𝐶 𝑇 𝐶 = 𝐶𝐶 𝑇 = 𝐼) sedemikian hingga 𝐶 𝑇 Φ𝐶 = 𝐷 adalah matriks diagonal yang elemen-elemennya merupakan nilai-nilai eigen dari  . Misalkan

 0 D  0 

0

0

1



0

    

2

0

n

dan tulis

P 

         

1 0



0

1

1 0



0 2

1 0

0



n

         

Dari persamaan model statistik linier diperoleh transformasi model menjadi

𝑦 =𝑋 𝛽+𝜀





*T

*



1

X

y

Least

Squares

1

  X



 X 



2

T T

T

T

   

Φ X 2

T

1

1

 X  X

1

1

1

X  T





T

1

1

T

X Φ y

1

X

T

X W Wy

X





1

1

X

X T

1

  

 1  2 

X  y T

T

2

variabel terikat untuk unit individu ke- i dan waktu ke- t

=

matriks dengan ordo 1  k



=

parameter yang tidak diketahui dengan matriks k  1

 it

=

error untuk unit individu ke- i dan waktu ke- t

i

=

1, 2,  , N untuk unit individu

t

=

1, 2,  , T untuk waktu

'

xit

*

WX T WX   WX T Wy 

 X W WX

12

*T

𝑦𝑖𝑡 = 𝑥𝑖𝑡𝑇 𝛽 + 𝜀𝑖𝑡

∗

disebut sebagai Generalized Estimator (GLSE), yaitu

ˆgls  X X

Menurut Firdaus (2004) analisis regresi adalah teknik analisis yang mencoba menjelaskan bentuk hubungan antara variabel yang mendukung sebab akibat. Regresi menggunakan data panel disebut model regresi data panel. Bentuk umum model regresi data panel adalah sebagai berikut: dimana: yit =

𝑊𝑦 = 𝑊(𝑋𝛽 + 𝜀) = 𝑊𝑋𝛽 + 𝑊𝜀 atau ∗

Menurut Rosadi (2006) data panel adalah tipe data yang dikumpulkan menurut urutan waktu dalam suatu rentang waktu tertentu pada sejumlah individu atau kategori. Menurut Winarno (2007) data panel merupakan gabungan antara data silang (cross section) dengan data runtut waktu (time series). Menurut Setiawan dan Kusrini (2010) ada banyak sebutan untuk data panel ini, misalnya data terkelompok (pooled data), kombinasi berkala (kumpulan data berkala dan tampang lintang), data mikropanel (micropanel data), data bujur (longitudinal data atau studi sekian waktu pada sekelompok objek penelitian), analisis riwayat peristiwa (event history analysis) atau studi sepanjang waktu dari sekumpulan objek sampai mencapai keberhasilan atau kondisi tertentu. Menurut Gujarati (2003) data panel dapat dibedakan menjadi dua, balanced panel dan unbalanced panel. Balanced panel terjadi jika panjangnya waktu untuk setiap unit cross section sama. Sedangkan unbalanced terjadi jika panjangnya waktu tidak sama untuk setiap unit cross section. G. Model Regresi Data Panel

maka diperoleh 𝑃𝑇 𝐷𝑃 = 𝐼. Karena 𝐶 𝑇 Φ𝐶 = 𝐷 maka 𝑃𝑇 𝐶 𝑇 Φ𝐶𝑃 = 𝑃𝑇 𝐷𝑃 = 𝐼. Misalkan 𝑊 = 𝑃𝐶 maka 𝐼 = 𝑃𝑇 𝐶 𝑇 Φ𝐶𝑃 = 𝑊 𝑇 Φ𝑊 akibatnya diperoleh Φ = (𝑊 𝑇 )−1 𝑊 −1 = (𝑊 𝑇 𝑊)−1 atau Φ−1 = 𝑊 𝑇 𝑊.

∗

Pengertian Data Panel

1

 1 y  

y

H. Model Regresi Data Panel dinamis Analisis data panel dapat digunakan pada model yang bersifat dinamis karena data panel cocok untuk analisis dynamic of adjusment.

Volume 3 No. 1 November 2013

Estimasi Parameter Model Arellano dan Bond pada Regresi Data Panel Dinamis Sejalan dengan adanya model cross section atau time series, hubungan dinamis yang dicirikan oleh data panel dengan memasukkan lag dari peubah atau variabel dependen sebagai regresor dalam regresi. Akibatnya muncul masalah endogenitas, sehingga bila model diestimasi dengan pendekatan fixed-effect maupun random-effect akan menghasilkan penduga yang bias dan tidak konsisten. Untuk itu maka muncul pendekatan GMM (Generalized Method of Moments). Sebagai ilustrasi, dapat diketahui dengan model data panel dinamis yang telah dikemukakan oleh Baltagi (2005) sebagai berikut:

Dengan menggabungkan persamaan (1) dan (2), maka diperoleh: yit   yi , t 1  xit    i   it T

𝑦𝑖𝑡

=

𝑦𝑖,𝑡−1

=

𝛿

=

𝑥𝑖𝑡𝑇

=



=

menyatakan matriks berukuran 1  k dan 

uit

=

berukuran k  1 . Dalam hal ini  it diasumsikan

i

=

mengikuti model one way error component sebagai berikut: uit   i   it

 it

yit   yi , t 1  X it   uit

variabel terikat untuk unit individu ke-i dan waktu ke-t variabel bebas untuk unit individu ke- i dan waktu ke- t koefisien lag variabeldependen matriks berukuran (1 × 𝐾) yang berisikan variabel bebas untuk unit individu ke-i dan waktu ke-t matriks berukuran (1 × 𝐾) yang berisikan parameter variabel bebas error untuk unit individu ke-𝑖 dan waktu ke-𝑡 error untuk cross-section

T

untuk i = 1, 2, 3, …, n dan t = 1, 2, 3, …, T. dimana  menyatakan besaran skalar,

'

xit

dimana  i ~ IID(0,   ) menyatakan pengaruh 2

individu dan  ~ IID(0,  ) menyatakan error 2



it

yang saling bebas satu sama lain. I.

(3)

Dimana:

error atau gangguan yang saling bebas satu sama lain i = 1,2, … , 𝑁 t = 1,2,3,…,𝑇 Karena x adalah matriks yang berukuran =

T

it

1  K  dan  adalah matriks yang berukuran  K  1 , maka persamaan (3) menjadi:

     

Kronecker Product

Menurut Graham (1981), misalkan matriks A   aij  dengan ordo m  n dan makriks B  bij 

y  y it

dengan ordo r  s . Kronecker product dari kedua matriks tersebut, disimbolkan dengan A  B adalah matriks partisi

a a AB    a 

11

21

m1

B

a B

B

a B

12

22

B

a B m2

a B

mn

x

x 2 it

Kit

 x   1

2 it

2

K

 i

it

 x   

2

Kit

x 

K

i

it

K

 y

i , t 1

  1

kit

   k

i

it

untuk 𝑡 = 2 hingga 𝑡 = 𝑇 persamaan tersebut menjadi:

a B

a

i , t 1

 1

     

k2

1n

2n

 y

i , t 1

1

   B

x K

 y   

y i 2

i1

1

   ki 2

k

i

i 2

k2

x K

A  B dipandang matriks berordo mr  ns .

y  y    i 3

i 2

1

   ki 3

k

i

i 3

k2

PEMBAHASAN

x K

y  y iT

A. Model Regresi Data Panel Dinamis

yit   yi , t 1  xit   uit T

(1) dengan u it diasumsikan mengikuti one way error (2)

dimana  i ~ IID(0,   ) dan  it ~ IID(0,   ). 2

2

  1

k

i

iT

atau dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks sebagai berikut: 𝑦𝑖1 𝑦𝑖2 1 𝑥2𝑖2 ⋯ 𝑥𝐾𝑖2 𝛽1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ][ ⋮ ] [ ] = 𝛿 [ ⋮ ] + [⋮ 𝑦𝑖𝑇 ⏟ 𝛽𝐾 ⏟𝑦𝑖(𝑇−1) ⏟1 𝑥2𝑖𝑇 ⋯ 𝑥𝐾𝑖𝑇 ⏟ 𝑁(𝑇−1)×1

𝑁(𝑇−1)×1

𝜛𝑖 + [⋮] 𝜛𝑖 ⏟ 𝑁(𝑇−1)×1

Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382

    kiT

k2

Bentuk umum model data panel dinamis adalah sebagai berikut:

component sebagai berikut: uit   i   it

i ,T 1

𝑁(𝑇−1)×𝐾

𝐾×1

𝜋𝑖2 + [ ⋮ ] ⏟𝜋𝑖𝑇 𝑁(𝑇−1)×1

13

Lailatul Urusyiyah

y y   y  y  y   y   y y    y

Dalam penelitian kali ini, peneliti hanya akan mengestimasi parameter yang  merupakan langkah awal (pre-estimation) model regresi data panel dinamis. Karena dengan diketahuinya parameter  , maka untuk langkah selanjutnya yaitu mengestimasi parameter  dapat dilakukan dengan mudah menggunakan estimasi Ordinary Least Square (OLS) atau Maximum Likelihood (ML).

model one way error component sebagai berikut:  it  i  vit (5) dimana 𝜇𝑖 ~𝐼𝐼𝐷(0, 𝜎𝜇2 ) menyatakan pengaruh individu dan 𝑣𝑖𝑡 ~𝐼𝐼𝐷(0, 𝜎𝜇2 ) menyatakan gangguan yang saling bebas satu sama lain. Dengan menstubtitusikan persamaan (5) pada persamaan (4), maka diperoleh yit   yi , t 1  i  vit (6) untuk i = 1, 2, 3, …, N t = 1, 2, 3, …, T

1T

2T

NT

11

1

N2

21

2

y y y y

N3

1T

2T

NT

N1

N

2

N

22

N2

1

2

N

1 , T 1

2. T  1

N ,T 1

2

N 1

1

2

N

 v  v      v    v    v     v      v  v        v

12

22

N2

13

23

N3

1T

2T

NT

2

                   

2

N 1

N 1

Untuk mendapatkan estimasi yang konsisten dari  dimana N   dengan T tertentu, maka dilakukan beda pertama pada persamaan (6) yaitu y y it

i , t 1

 (y  (y  (y

i , t 1

i , t 1

i , t 1

y y y

i ,t  2

i ,t 2

i ,t 2

)   (  v )  (  v )  i

it

i , t 1

i

)  (  v    v ) i

it

i

i , t 1

)  (v  v ) it

i , t 1

misalkan yit  yi , t 1  y dan vit  vi ,t 1  v , maka persamaan tersebut menjadi: y  y1  v

 Untuk 𝑡 = 3 maka

12

1

22

variabel instrumental yang valid, karena yi 1

y y

N2

y y

2 , T 1

N , T 1

N

 v

2T

 v N

dan

tidak

 Untuk 𝑡 = 4 maka

1T

2

( yi 2  yi 1 )

selama vit tidak berkorelasi serial.

N3

 v 1

dengan

berkorelasi dengan error-nya yaitu (vi 3  vi 2 )

23

 v

1 , T 1

berkorelasi

13

2

pada persamaan tersebut merupakan

N2

NT

atau dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks sebagai berikut:

14

1

C. Estimasi Parameter Model Arellano dan Bond

yi 1

22

y  v

y y  v 23

                                      

yi 3  yi 2   ( yi 2  yi 1 )  (vi 3  vi 2 )

y y  v 13

21

12

2

12

y y  v y

11

N1

N 1

y y  v 22

23

  y   y      y     y     y     y      y  y        y

dimana (vit  vi , t 1 ) adalah MA (1) dengan unit root.

untuk i  1, 2, ..., N dan t  2, 3, ..., T adalah sebagai berikut: 12

13

N3

Arellano dan Bond berpendapat bahwa tambahan instrumen dapat diperoleh dalam model data panel dinamis jika memanfaatkan kondisi ortogonalitas yang ada di antara nilai-nilai lag dari yit dan gangguan vit . Sehingga tanpa

 it pada persamaan (4) diasumsikan mengikuti

22

N2

B. Model Arellano dan Bond pada Data Panel Dinamis

regressor, persamaan (1) dapat ditulis sebagai berikut: yit   yi ,t 1   it (4) untuk i  1, 2, ..., N ; dan t  2, 3, ..., T

12

yi 4  yi 3   ( yi 3  yi 2 )  (vi 4  vi 3 )

dengan variabel instrumental yang valid adalah yi 2 .  Untuk 𝑡 = 5, maka

Volume 3 No. 1 November 2013

Estimasi Parameter Model Arellano dan Bond pada Regresi Data Panel Dinamis Agar terdapat identitas pada persamaan

yi 5  yi 4   ( yi 4  yi 3 )  (vi 5  vi 4 )

dengan variabel instrumental yang valid adalah yi 3 . Begitu seterusnya hingga t  T dengan variabel instrumental yang valid adalah yi ,T  2 , jadi himpunan variabel instrumental

yang  yi1 , yi 2 , yi 3 , ..., yi ,T 2  .

valid

adalah

tersebut, maka misalkan

iT

y

i3

y

i4

y

i5

y

  y   y    y       y

i2

i3

i4

i , T 1

i3

i4

i , T 1

N  T  2 1

y

i2

y

i2

y

y

 v  v   v       v

i1

i3

i ,T  2

iT

N  T  2 1

v

i3

i2

v

i4

v

i5

v

i3

i4

i ,T 1

      





i2

Didefinisikan Wi

i4

i3

i , T 1

iT

i3

v

T  2  

N  T  2  1

v v

i2

i4

v v

i3

iT

i , T 1

1 N  T  2 

N  T  2 1

  (v  v )(v  v )  E    (v  v )(v  v ) i3

i2

i , T 1

iT

 var(v    cov  (v  v iT

     Karena

i3

i3

i3

iTi 3

i3

i2



i , T 1 i 3

i2

i , T 1

iT



 T  2  T  1 2

iTi 2

i , T 1

i2



dengan

    )  

   i 3 iT

i 2 iT

 

i , T 1 i 2

2

2

iT

i , T 1

i 3 i , T 1

 2



iTi , T  1

2

it

v



0 0    2 

N T  2  N T  2 

Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382

0

0

[ y i 1 , ..., y i , T  2

i 2 i , T 1

W2

T



T

T

WN

N T  2  

momennya



 T  2  T  1 2

adalah



dan

E (Wi vi )  0 . T

(7) Persamaan merupakan persamaan semi linier, sehingga  dapat diestimasi secara GLS sebagai berikut, misalkan: W y  W ( y1 ) T

  

   

begitu juga kovariansnya adalah 0, sehingga matriks varians-kovarians di atas dapat ditulis sebagai  2 1  1 2 ' 2 E vv  v     0 0

[ yi 1 , yi 2 ]

     ]

T

maka    , t dan i 2

0

Dengan perkalian kiri W , didapatkan

i , T 1

iT

T

ordo

persamaan

i , T 1

iT

yaitu

0

i1

W  W1

var( v  v )

i2

i 3i 2

 

iT

i3

𝑣𝑖𝑡 ~𝐼𝐼𝐷(0, 𝜎𝑣2 )



[ y ]  0    0 



maka matriks instrumennya adalah

cov  ( v  v ), ( v  v )  

), ( v  v )  i3

i , T 1

iT

( v  v )( v  v

i2

i2

    2 2

i3

v )

i , T 1

2

       

( v  v )( v  v ) 

i2

adalah matriks yang

elemen diagonal utamanya merupakan matriks dari variabel instrumental yang valid dengan ordo

Wi

   v   





t  T dapat ditulis : i3

yang

     1 0 0   2 1 0       0 1 0   1 2 0  E vv'  v2            1   0 0 2    0 0    N N T  2 T  2    2   v I N G

sehingga, matriks varians-kovarians dari error ( vit ) pada persamaan (4) dengan t  3 hingga

  v v  v v E (  v  v ')  E      v  v 

0 0    2

berordo  T  2    T  2  , sehingga menurut definisi Kronecker product persamaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

Jika ditulis dalam bentuk matriks untuk t  3 hingga t  T , maka diperoleh hasil sebagai berikut:

y y  y    y

 2 1  1 2 G    0 0

T



W v T

y  W y * T y 1  W y 1 *

T

v  W v *

T

maka persamaan (7) menjadi y  y1   v *

*

(8)

*

dimana, 𝐸(Δ𝑣 ∗ ) = 𝐸(𝑊 𝑇 Δ𝑣) = 𝑊 𝑇 𝐸(Δ𝑣) = 0 dan



E v v *

*T

  E W v W v    E W vv W   W E  vv  W  W    I  G   W T

T

dengan ordo



T

T

T

T

 2   T  1

T

T



T

2

N

T

 2   T  1



2

2



.

15

Lailatul Urusyiyah Error pada persamaan (8) diasumsikan Independent Identically Distribution (IID) yaitu ∆𝑣 ∗ ~𝐼𝐼𝐷(0, Φ), sehingga:



   v  W  v  I N  G W   v W 2

T

2

2

T

I

 matriks

 G W

N

simetri dan positive definite. Karena  matriks simetri dan positive definite maka ada sebarang

 CC

matriks C yang orthogonal

C C I

T

T



sedemikian hingga C C  D adalah matriks yang elemen diagonal utamanya merupakan nilainilai eigen dari  , maka

PENUTUP Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa model Arellano dan Bond dapat diperoleh dengan hanya memanfaatkan kondisi ortogonalitas yang ada di antara nilai-nilai lag dan error pada regresi data panel dinamis, sehingga diperoleh: 𝑦𝑖𝑡 = 𝛿𝑦𝑖,𝑡−1 + 𝜀𝑖𝑡

T



0

0

1

0 D  0 



0

    

2

0

n

dan misalkan P adalah matriks yang elemen 1

diagonal utamanya adalah

√𝜆𝑖

ditulis      P      

1

1

0

0

2

0

0

. Sehingga dapat

 0    0      1  n  

1

T maka diperoleh P DP  I . Karena C C  D ,

T

maka P C CP  P DP  I . Misalkan W  PC T

T

T

maka I  P C CP  W W , akibatnya diperoleh T

T

T

Φ = (𝑊 𝑇 )−1 𝑊 −1 = (𝑊 𝑇 𝑊)−1 Φ −1 = 𝑊 𝑇 𝑊 sehingga bentuk estimator model Arellano dan Bond adalah sebagai berikut:



ˆgls  y 1 y 1 *T







 y

1



 y

1



 y

1

 

 

W y 1 T

*



1

 T



1

T

WW WW y 1

T

WΦ W y 1

T

T



T



2

y 1 W W T

I

N

T



T



1

I



1

1

 G W

W y 1 T

 T

W y T



y 1 WW WW y T

T

1

T



 G W



T

y 1 WΦ W y

T

1

diasumsikan

𝛿̂𝑔𝑙𝑠 = (∆𝑦−1 𝑊(𝑊(𝐼𝑁 ⨂𝐺)𝑊)−1 )𝑊∆𝑦−1 𝑊(𝑊(𝐼𝑁 ⨂𝐺)) Pada penelitian selanjutnya dapat meneruskan untuk mencari parameter regresi data panel dinamis pada variabel eksogennya dan dapat mengaplikasikan model tersebut pada permasalahan-permasalahan yang terkait dengan ekonometri. DAFTAR PUSTAKA [1]

Anton, H. dan Rorres, C.. 2004. Aljabar Linier Elementer Versi Aplikasi; alih bahasa, Refina Indriasari, Irzam Harmein; editor, Amalia Safitri Edisi Delapan Jilid 1. Jakarta: Erlangga.

[2]

Aziz, A.. 2010. Ekonometrika Teori dan Praktek Eksperimen dengan MATLAB. Malang: UIN-Maliki Press.

[3]

Baltagi, B.H.. 2005. Econometric Analysis of Panel Data, Third Edition. England: John Wiley & Son, Ltd.

[4]

Dudewicz, E.J. dan Mishra, S.H.. 1995. Statistika Matematika Modern; terjemahan RK Sembiring. Bandung: ITB.

[5]

Firdaus, M.. 2004. Ekonometrika Suatu Pendekatan Aplikatif. Jakarta: Bumi Aksara.

T



1

y 1 W  v  T



1



2



1

W y T

W y 1 y 1 W T

T

y

yang dikatakan sebagai bentuk akhir estimator parameter  untuk model Arellano dan Bond.

16

tersebut

menyatakan pengaruh individu dan 𝑣𝑖𝑡 ~𝐼𝐼𝐷(0, 𝜎𝑣2 ) menyatakan gangguan yang saling bebas satu sama lain. Untuk mendapatkan estimasi yang konsisten dari  dimana N   dengan T tertentu, maka dilakukan beda pertama pada model tersebut, kemudian mencari matriks varians-kovarians dari error dan mendefinisikan matriks instrumen dari model tersebut. Setelah itu, estimasi parameter model Arellano dan Bond menggunakan metode Generalized Least square (GLS). Berdasarkan pembahasan diperoleh rumus estimasi parameter model Arellano dan Bond dengan metode GLS adalah sebagai berikut:

T

W y 1

N

persamaan

mengikuti model one way error component sebagai  it  i  vit , dimana 𝜇𝑖 ~𝐼𝐼𝐷(0, 𝜎𝜇2 )

y 1 WW y

T

1

 

T

pada

*

1

W y 1

WW y 1

y 1 W  v 

T

*T

T

T

W

y 1 y

 it

Volume 3 No. 1 November 2013

Estimasi Parameter Model Arellano dan Bond pada Regresi Data Panel Dinamis [6]

Graham, A.. 1981. Kronecker Products and Matrix Calculus: with Application. England: IEB.

[7]

Greene, W.H.. 1997. Econometric Analysis. New York: Prentice Hall International, Inc.

[8]

Gujarati, D.N.. 2003. Basic Econometrics. New York: McGraw-Hill.

[9]

Gujarati, D.N. 2004. Basic Econometrics, Fourth edition. New York: McGraw-Hill.

Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382

[10] Rosadi, D. 2006. Diktat Kuliah Pengantar Analisis Runtun Waktu. Yogyakarta: UGM. [11] Setiawan & Kusrini,D.E. 2010. Ekonometrika Yogyakarta: C.V ANDI OFFSET. [12] Winarno,W.W..2007. Analisis Ekonometrika dan Statistika Eviews. Yogyakarta: UPP STIM YKPN.

17