ESTIMASI INTERVAL PARAMETER PADA MODEL REGRESI LINEAR UMUM
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Mencapai Derajat Sarjana S-1
OLEH
MEGA PUSPITA SARI F1A1 11 067
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI 2016 i
ii
KATA PENGANTAR 1.
Segala puji bagi Allah S.W.T atas segala rahmat, taufik, karunia dan hidayah-Nya sehingga penyusunan tugas akhir yang berjudul “Estimasi Interval Parameter pada Model Regresi Linear Umum” dapat terselesaikan dan tersusun sebagaimana mestinya. Tak lupa juga salawat serta salam penulis haturkan atas Nabi Muhammad Shallallahu Alaihi Wasallam, keluarga, sahabat dan para pengikutnya. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan tugas akhir ini tidak dapat terselesaikan tanpa bimbingan dan arahan dari Bapak Dr.rer.nat Wayan Somayasa, S.Si., M.Si selaku pembimbing I dan Ibu Rahmaliah Sahupala, S.Si., M.Sc selaku pembimbing II yang telah banyak meluangkan waktunya untuk membimbing dan mengarahkan serta memberikan dorongan dan motivasi kepada penulis sejak dari perencanaan hingga terselesaikannya tugas akhir ini. Oleh karena itu penulis mengucapkan banyak terima kasih. Melalui hasil karya ini secara khusus dan dengan hati yang tulus penulis persembahkan untuk ayahanda tersayang Syarif Hidayat dan ibunda tercinta Masni yang telah mendukung dan memberikan restu, motivasi serta doa yang tak pernah putus, tulus dan ikhlas demi kesuksesan penulis, saudara-saudariku Ritha Permata Sari, A.Md. Kom, Sri Indriani Sari, Andhika Yudha Wirautama dan Mahisya Putri Ramadhani yang selalu memberikan dukungan semangat untuk menyelesaikan tugas akhir ini. iii
Ucapan terima kasih juga penulis haturkan kepada berbagai pihak yang secara langsung membantu penulis selama menjalani perkuliahan dan dalam penyusunan tugas akhir ini khususnya kepada: 1.
Rektor Universitas Halu Oleo Kendari, Bapak Prof. Dr. Ir. H. Usman Rianse, M.S.
2.
Dekan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak Dr. Muh. Zamrun F., S.Si., M.Si.
3.
Ketua Jurusan Matematika dan sekretaris jurusan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak La Gubu, S.Si., M.Si dan Bapak Rasas Raya, S.Si., M.Si.
4.
Kepala Laboratorium Matematika F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Norma Muchtar, S.Si., M.Si.
5.
Dr.rer.nat Wayan Somayasa, S.Si., M.Si. selaku pembimbing dan penasehat akademik yang telah memberikan pengarahan dan bimbingan dalam memprogramkan mata kuliah.
6.
La Gubu, S.Si., M.Si., Rasas Raya, S.Si., M.Si., dan Dr. Asrul Sani, M.Sc., Ph.D selaku dewan penguji.
7.
Bapak dan Ibu Dosen Jurusan Matematika serta seluruh staf lingkungan F-MIPA UHO.
8.
Terkhusus buat saudara Pratu Jumran dan Ryan Saputra yang selalu memberikan dorongan semangat dan motivasi dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
9.
Teman-teman “Divisi Somayasa” Nini Karlis Kartini Filu, S.Mat, Wayan Eka Murtiawan, S.Mat, Riska Juliani, S.Mat, Ridayani, S.Mat, Hijrawati, S.Mat, Cakra Purnawati, S.Mat, Sartika dan Peni Saputra, S.Mat. iv
10.
Sahabat-sahabatku: Sitti Sardianti, S.Mat, Andi Nurul Musahida, S.Mat, Halma, S.Mat, Nining, S.Mat, Kalfin, S.Mat, Rahmat Budianto, S.Mat, dan Edikun Baharudin Jyusuf, S.Mat yang selalu ada disetiap tawa dan canda dalam kebersamaan yang tidak terlupakan.
11.
Teman-teman “Seperjuangan” Math 011: Kasliono, S.Mat, Muhamad Naim, S.Mat, Raful Sudirman, S.Mat, Cici, Ririn, Wahyu. M.N, S.Mat, Ade Rahayu Putri, S.Mat, Wd. Syarfin Tala, S.Mat, Desi Nurhasna Wati, S.Mat, Wd. Nurfalian Sari, S.Mat, Wd. Paulina, S.Mat, Almustakim, S.Mat, Arif, Usman, S.Mat, Syamsir, S.Mat, Abdul Gafur, S.Mat, Nisrina Nasrun, S.Mat, Citrawan Fitri, S.Mat, Uli Hidayati, S.Mat, Risna, S.Mat, Eka Rahmi, S.Mat, Nurhayati, S.Mat dan lain-lain yang telah memberikan dorongan moral dan spiritual serta kebersamaan yang tidak terlupakan.
12.
Teman-teman alumni SMAN 9 KENDARI (SMANLAN): Wd. Marleni Kamba, ST, Nasyirah Musabar, S.Farm (Cacing), Rahmatia Muru, S.Farm (Tiang), Lilis Angraeni, ST, Atrian Ardianti Putri, A.Md.Keb (Ather), Resky Auliani Hasan, S.I.K (Eppong), Nurmiati, S.Kom (Cumi), dan lainlain yang selalu memberi dukungan dan semangat kepada penulis.
13.
Senior-senior Matematika: Ka Alwan’07, Ka Yudi’08, Ka Ansar’08, Ka Alip’08, Ka Gusti’09, Ka Gusman’09, Ka Uthy’09, Ka Aim’09, Ka Diana’10, Ka Harma’10, Ka Hermanto’10, Ka Abi’10, Ka Dermawanti’10, Ka Nengah’10 dan semuanya yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
v
14.
Junior Matematika Angkatan 2012 dan 2013: Syech Muh. Syam, Rahmadin La Oga, Fadilonk, Endang, Selfiana, Mail 401, Guslan, Irfan “okto” dan semuanya yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
15.
Kepala Desa Koroha Kec. Kodeoha Kab. Kolaka Utara “Mursalim, S.Pd” dan teman-teman KKN di Desa Koroha: Rais, Ichal, Jamal, Noor, Kadir, Rudi, Ka Ilham, Udhin, Fajrin, Zalni, Nyong, Ka Titin, Vivi, Dian, Indhar dan Samsidar Serta seluruh keluarga besar Desa Koroha Kec. Kodeoha Kab. Kolaka Utara yang selalu akan menjadi keluarga baru bagi penulis.
Selanjutnya penulis menyadari bahwa penulisan tugas akhir ini masih jauh dari kesempurnaan. Sehingga dengan senang hati dan segala kerendahan hati penulis menerima segala saran yang sifatnya membangun demi penyempurnaannya. Akhir kata penulis berharap semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.
Kendari,
April 2016
Mega Puspita Sari
vi
DAFTAR ISI
Halaman HALAMAN JUDUL .............................................................................
i
HALAMAN PENGESAHAN ...............................................................
ii
KATA PENGANTAR ...........................................................................
iii
DAFTAR ISI ..........................................................................................
vii
DAFTAR GAMBAR .............................................................................
ix
DAFTAR LAMPIRAN .........................................................................
x
ABSTRAK .............................................................................................
xi
ABSTRACT ...........................................................................................
xii
BAB I PENDAHULAN 1.1 Latar Belakang................................................................. 1.2 Rumusan Masalah ........................................................... 1.3 Tujuan Penelitian ............................................................. 1.4 Manfaat Penelitian ...........................................................
1 3 3 3
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks ............................................................................. 2.1.1 Jenis-jenis Matriks .................................................. 2.1.2 Sifat-sifat Matriks ................................................... 2.1.3 Diferensial Fungsi Terhadap Vektor ...................... 2.2 Vektor Acak..................................................................... 2.2.1 Ekspektasi dari Vektor Acak .................................. 2.2.2 Kovariansi dari Vektor Acak .................................. 2.3 Fungsi Pembangkit Momen (MGF) ................................ 2.4 Penduga Maksimum Likelihood (MLE) ......................... 2.5 Regresi Linear Umum ..................................................... 2.6 Distribusi Normal Multivariate ....................................... 2.7 Daerah Kepercayaan ....................................................... 2.7.1 Interval Kepercayaan .............................................. 2.7.2 Kepercayaan Ellipsoid ............................................
4 4 5 7 8 8 9 10 11 12 13 14 14 17
BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ......................................... 3.2 Metode Penelitian ............................................................ 3.3 Prosedur Penelitian ..........................................................
19 19 19
vii
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Model Regresi Linear Umum .......................................... 4.2 Estimasi Parameter .......................................................... 4.3 Daerah Kepercayaan ....................................................... 4.4 Informasi Data ................................................................. 4.5 Analisis Model Regresi Linear Umum ............................
21 21 28 30 31
BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan ...................................................................... 5.2 Saran ................................................................................
34 34
Daftar Pustaka .......................................................................................
35
Lampiran ...............................................................................................
36
viii
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 4.1 Desain Pengeboran Pada Daerah Eksplorasi PT. Antam...
30
Gambar 4.2 Pola Kandungan Nikel (Ni) ...............................................
31
ix
DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1 Data Persentase Kandungan Nikel di Pomalaa -------------
37
Lampiran 2 Program Interval Kepercayaan untuk Parameter Regresi -
38
x
ESTIMASI INTERVAL PARAMETER PADA MODEL REGRESI LINEAR UMUM
Oleh
MEGA PUSPITA SARI F1A1 11 067
ABSTRAK
Tekhnik analisis regresi merupakan salah satu tekhnik analisis data dalam statistika yang sering kali digunakan untuk mengkaji hubungan beberapa variabel. Tujuan dari analisis regresi adalah untuk melakukan inferensi tentang parameter yang berupa estimasi. Estimasi parameter dilakukan untuk mendapatkan model regresi linear umum yang akan digunakan dalam analisis data. Dengan menggunakan metode MLE (maksimum likelihood), didapatkan nilai estimasi parameter berupa ̂ . Selanjutnya dengan suatu transformasi dapat ditunjukkan ) bahwa daerah kepercayaan ( untuk vektor parameter berbentuk ellipsoid. Kata Kunci
: Ellipsoid, MLE, Regresi Linear Umum.
xi
INTERVAL ESTIMATE PARAMETER OF GENERAL LINEAR REGRESSION MODEL
By
MEGA PUSPITA SARI F1A1 11 067
ABSTRACT
Technique of regression analysis is a technique of analysis data in statistic it often be used to investigate correlation some variables. The aim of analysis regression is to inverse the parameter in estimate. Parameter estimate is done to get general linear regression models which will be used in analysis data. The result of estimate used MLE method (Maximum Likelihood Estimation Method) for the parameter is ̂ . And then with transformation can be shown in the region ) confidence ( to the parameter vector is curved ellipsoid. Keywords
:
Ellipsoid,
MLE
Method,
General
Linear
Regression.
xii
BAB I PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang Perkembangan model linier dimulai dengan perkembangan analisis regresi
pada abad 19 oleh Pearson kemudian dilanjutkan dengan perkembangan korelasi. Teori regresi menjadi dasar perkembangan teori model linier. Model linier telah digunakan selama bertahun-tahun dalam analisis statistika, khususnya untuk menganalisis data kontinu. Selanjutnya model linier mengalami perkembangan dengan memberikan asumsi yang lebih luas baik pada distribusinya maupun pada hubungan antara mean dengan komponen sistematiknya. Perkembangan model linear lebih dititik beratkan pada dua asumsi dasar, yaitu distribusi dan independensi dari kesalahan (Tirta, 2008). Variabel acak yang diamati pada suatu percobaan sering ditemukan berhubungan dengan variabel yang satu dan lainnya yang dapat berupa acak atau deterministik. Metode statistika yang digunakan untuk menganalisa bentuk hubungan fungsional tersebut disebut analisis regresi (Regression Analysis) (Somayasa, 2013). Dalam analisis regresi, hasil pengamatan sebagai hasil pengamatan dari variabel acak ( ) dimana
( )
pada titik
dimodelkan
yang mempunyai sifat
( )
( ) merupakan fungsi yang tidak diketahui yang menggambarkan
hubungan antara ( ) dengan
. Selain itu variabel
juga diasumsikan
saling bebas. Cara lain untuk menyatakan model regresi linear pada
adalah
1
( ) ( )
( )
dan
(
(
, ))
(1.1)
tidak diketahui,
mewakili komponen kesalahan (error). Dalam berbagai situasi, fungsi ( ) sering diasumsikan berbentuk ( )
dimana
(
(1.2)
) adalah parameter yang tidak diketahui. Fungsi
( ) adalah linear dalam parameter , karena itu model ini disebut model regresi linear. Selanjutnya, yang menjadi suatu masalah mendasar yang terkait dalam pengambilan sampel suatu populasi adalah membuat taksiran atau estimasi terhadap parameter (Rusgiono, 2001). Estimasi parameter ini bertujuan untuk mendapatkan model regresi linier umum yang akan digunakan dalam analisis. Ada dua metode yang biasa digunakan untuk mengestimasi parameter model linear umum, yaitu metode penduga kuadrat terkecil (LSE) dan metode penduga maksimum likelihood (MLE). Dalam mengestimasi parameter, metode kuadrat terkecil berkaitan dengan mencari nilai yang sedekat mungkin dengan nilai harapannya yang biasanya dilakukan dengan meminimalkan jumlah kuadrat error atau kesalahan (galat). Sedangkan pada metode maksimum likelihood, setiap peubah respon merupakan sampel dari peubah acak yang berdistribusi normal ( )
(
) dan
saling independen dengan
( )
mengetahui distribusi dari
(error) dan penduga parameter tersebut, maka
, sehingga dengan
2
estimasi selang dengan taraf kepercayaan (
)
diperoleh dengan
melihat luas daerah dari kurva fungsi kepadatannya (Tirta, 2008). Berdasarkan uraian diatas, maka penulis tertarik untuk mempelajari dan mengkaji dan selanjutnya menuangkannya dalam bentuk tulisan yang berjudul “Estimasi Interval Parameter Pada Model Regresi Linear Umum”.
1.2
Rumusan Masalah Dari latar belakang yang telah dijelaskan sebelumnya, maka permasalahan
yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1.
Bagaimana estimasi parameter pada model regresi linear umum?
2.
Bagaimana mengkonstruksikan daerah kepercayaan (
)
untuk
parameter regresi?
1.3
Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1.
Mengetahui penduga parameter pada model regresi linear umum.
2.
Mengkonstruksikan daerah kepercayaan (
)
untuk parameter
regresi.
1.4
Manfaat Penelitian Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah:
1.
Bagi peneliti, yaitu dapat menambah pengetahuan tentang metode estimasi interval pada model regresi linear umum.
2.
Bagi Pembaca, yaitu dapat sebagai referensi tambahan tentang metode estimasi interval pada model regresi linear umum.
3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1
Matriks
Definisi 2.1 (Anton, 1987) Sebuah matriks adalah susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Lambang matriks dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan huruf kecil. Secara umum sebuah matriks dapat ditulis :
[
penulisan yang lebih singkat:
]
[
] dengan
dan
.
Indeks pertama ( ) menyatakan baris ke- dan indeks kedua ( ) menyatakan kolom ke- .
2.1.1
Jenis-jenis Matriks
Definisi 2.2 (Anton, 1987) Vektor Euclidean (Euclidean vector) adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom. Karena itu terdapat dua jenis vektor yaitu vektor baris dan vektor kolom.
Definisi 2.3 (Anton, 1987) Jika banyaknya baris dari suatu matriks
sama dengan banyaknya kolom,
maka matriksnya disebut matriks persegi (square matrix) dengan entri-entri 4
dinamakan entri-entri diagonal utama. Selanjutnya, matriks persegi
berukuran
cukup dituliskan dengan notasi
.
Definisi 2.4 (Nugroho, 2009) Matriks persegi
dengan semua elemen yang tidak terletak pada diagonal
utamanya adalah sama dengan nol,
untuk (
(diagonal matrix), dituliskan dengan untuk
, disebut matriks diagonal ). Jika
, disebut matriks identitas (identity matrix) berukuran
, dan
dituliskan
[
(
]
)
Definisi 2.5 (Nugroho, 2009) Matriks
dengan semua unsurnya sama dengan nol, disebut matriks nol
(zero matrix) dan dinotasikan dengan
.
Definisi 2.6 (Nugroho, 2009) Matriks simetris adalah matriks yang unsur-unsurnya simetris terhadap diagonal utama yaitu
untuk setiap dan .
2.1.2 Sifat-sifat Matriks Definisi 2.7 (Anton, 1987) Jika sehingga
adalah matriks kuadrat dan jika kita dapat mencari matriks , maka
dikatakan dapat dibalik (invertible) dan
dinamakan Invers (Invers) dari . 5
Teorema 2.1 (Anton, 1987) Jika
dan
adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang ukurannya
sama, maka (a)
dapat dibalik
(b) (
)
Teorema 2.2 (Anton, 1987) Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka dapat dibalik (
(a)
)
dapat dibalik dan (
(b)
(c) Untuk setiap skalar (
)
(
) untuk
yang tak sama dengan nol, maka
dapat dibalik dan
)
Definisi 2.8 (Anton, 1987) Jika dengan
adalah sebarang matriks
, maka transpose
dan didefinisikan dengan matriks
dinyatakan
yang kolom-kolomnya
merupakan baris-baris dari matriks .
Teorema 2.3 (Anton, 1987) Jika ukuran matriks seperti operasi diberikan dapat dilakukan, maka (a) (
)
(b) (
)
(c) (
)
(d) (
)
di mana
adalah sebarang skalar
6
Definisi 2.9 (Magnus dan Neudecker, 1988) Misalkan
adalah matriks simetris berukuran
semidefinit positif (positive semidefinite), jika Jika
untuk setiap
dengan
. Matriks
dikatakan
untuk setiap , maka
.
dikatakan definit
positif (positive definite).
2.1.3
Diferensial Matriks
Definisi 2.10 (Graybill, 1976) Misalkan ( ) adalah fungsi dari dari ( ) terhadap vektor
variabel bebas
. Turunan
dimana
[
]
didefinisikan sebagai ( ) ( )
( )
[
( ) ]
Teorema 2.4 (Graybill, 1976) Misalkan ( ) adalah bentuk linear dari ( )
∑
berukuran
dimana
yang didefinisikan sebagai
adalah sembarang vektor konstan
, maka: ( )
7
Teorema 2.5 (Graybill, 1976) Misalkan ( ) adalah bentuk kuadrat dari ( )
, dimana
yang didefinisikan sebagai
merupakan matriks simetris berukuran
maka:
( )
2.2
Vektor Acak Suatu vektor dikatakan vektor acak jika komponen-komponennya adalah
variabel-variabel acak. Vektor acak akan dinotasikan dengan huruf kapital yang dicetak tebal seperti
(
dan lain-lain. Jika
vektor acak, maka untuk
) merupakan
adalah variabel acak.
2.2.1 Ekspektasi dari Vektor Acak Definisi 2.11 (Serber, 1976) Untuk sebarang vektor acak
(
) , nilai ekspektasi dari
adalah suatu vektor acak yang komponen-komponennya terdiri dari nilai ekspektasi dari komponen-komponen yang bersesuaian dari vektor ( )
( (
)
(
. Jadi,
)) .
Teorema 2.6 (Serber, 1976) Misalkan
dan
adalah sebarang matriks berukuran
adalah vektor acak
dan
, maka berlaku: (
)
( )
( )
(2.1)
8
2.2.2
Covariansi dari Vektor Acak
Definisi 2.11 (Serber, 1976) (
Untuk sebarang vektor acak kovariansi antara
dan
)
(
dan
) ,
adalah suatu matriks berukursan
yang
didefinisikan sebagai: (
)
( )(
0.
[
( (
) )
( (
) )
( (
) )
(
)
(
)
(
)]
(
dimana
( )) /1
)
[(
Dalam kasus dimana
( ))(
( ))]
, maka operator
.
akan diganti dengan
yang
merupakan singkatan dari dispersi yaitu ( )
(
)
( )(
0. (
[
)
( )) /1 (
(
)
(
)
( (
) (
)
(
) ) (
)
) ]
Komponen-komponen pada diagonal utama dari matriks variansi
(
. Karena
suatu matriks simetris berukuran
)
(
(2.2)
( ) terdiri dari
) , maka
( ) adalah
dan
, untuk
.
Teorema 2.7 Misalkan dan . Jika
dan
merupakan vektor acak berukuran
adalah matriks berukuran (
dan
untuk sebarang
), maka (
)
(2.3) 9
Definisi 2.12 (Graybill, 1976) Trace dari suatu matriks
berukuran
entri-entri pada diagonal utama dari
didefinisikan sebagai jumlah
yaitu ( )
∑
(2.4)
Teorema 2.8 (Graybill, 1976) Jika ( )
(
)
(
) dan
, maka (
2.3
dengan ( )
merupakan bentuk dari
)
(
)
(2.5)
Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
Teorema 2.9 (Somayasa, 2013) Misalkan ( )
dan (
( ))
masing-masing merupakan barisan
variabel acak dan barisan MGF-nya yaitu
dimana
(
adalah suatu fungsi ( )
untuk setiap
(
*
(
(
)
. Misalkan
( ) untuk setiap
adalah sembarang bilangan real, maka
Untuk sebarang vektor acak dari
( )
( ). Jika
mempunyai MGF
( )
untukn
(
)
.
) , fungsi pembangkit momen yang didefinisikan sebagai
+)
∫
∫ {∑
} (
)
)
10
2.4
Penduga Maksimum Likelihood
Definisi 2.13 (Fungsi Likelihood) Fungsi kepadatan peluang bersama dari n variabel acak
yang
Independent and identically distribution (i.i.d) dan bernilai (
, yakni
) dinyatakan sebagai fungsi likelihood. Untuk
fungsi likelihood adalah suatu fungsi dari lambang ( ). Jika ( )
yang tetap,
dan sering dinotasikan dengan
mewakili suatu sampel acak dari (
(
)
(
)
(
)
∏
(
), maka )
(2.6)
Definisi 2.14 (Penaksir Maksimum Likelihood) Misalkan ( ) bersama dari dimana
(
),
, adalah fungsi kepadatan peluang
( ) maksimum, disebut sebagai penaksir maksimum likelihood dari .
Dengan demikian ̂ adalah suatu nilai dari ( Jika
suatu nilai ̂ di
. Untuk suatu hasil pengamatan
yang memenuhi
̂)
(
)
(2.7)
adalah suatu selang interval terbuka, dan jika ( ) dapat diturunkan
dan dapat diasumsikan maksimum pada , maka MLE adalah suatu penyelesaian dari persamaan maksimum likelihood berikut ( ) Nilai-nilai dari ( ̂
̂ ) yang memaksimumkan
(
) dengan
persamaan sebagai berikut: ( )
.
(2.8)
11
2.5
Regresi Linear Umum Model regresi linear umum berbentuk
dimana
adalah variabel kesalahan (error) yang diasumsikan i.i.d dengan
( )
( )
(
)
,
adalah variabel respon yang teramati
adalah prediktor yang dapat dikontrol dan
adalah parameter yang tidak diketahui. Adapun model polynomial berderajat didefinisikan sebagai (2.9) dapat dipandang sebagai kejadian khusus dari model linear umum, yaitu dengan mengambil
.
Misalkan dilakukan pengamatan ke (
kali pengamatan terhadap variabel
, dimana
adalah pengamatan yang dilakukan pada
)
[ ]
dengan
, maka
[
][
]
[ ]
atau
(2.10)
dimana
(
) adalah vektor respon, (
vektor parameter yang tidak diketahui, kesalahan
(error),
dimana
( )
(
) adalah ) ( )
adalah vektor dan
12
[
] adalah matriks konstanta berukuran
(
)
disebut matriks regresi yang dikonstruksikan dengan cara sedemikian hingga ( )
kolom-kolomnya saling bebas linear, yaitu
2.6
(Serber, 1976).
Distribusi Normal Multivariat
Definisi 2.15 (Arnold, 1981) (
Suatu vektor acak multivariat dengan ( )
) ( )
dikatakan berdistribusi normal (positif definit), jika
mempunyai
fungsi densitas berbentuk: (
)
(
)
| |
dimana | | adalah determinan dari
(
2
)
(
selanjutnya dinotasikan dengan
)3
(2.11) (
).
Teorema 2.10 (Arnold, 1981) (
Jika
( )
), maka
2
3
Teorema 2.12 (Arnold, 1981) (
Jika maka
(
) dan
adalah matriks berukuran
dengan rank ,
).
13
2.7
Daerah Kepercayaan
2.7.1 Interval Kepercayaan Misalkan
merupakan (
bersama
)
dengan
suatu interval. Misalkan
( ) merupakan suatu statistik dengan
( ) dan dan
variabel acak dengan fungsi densitas
( )
(
) . Jika (
maka (
( )
(
)
) merupakan realisasi dari
) dan
(
) merupakan nilai-nilai
teramati dari ( ) dan ( ).
Definisi 2.16 (Widiharih, 2009) Suatu interval ( ( ) untuk
jika
( )) disebut interval kepercayaan (
( ( )
( ))
)
dengan
Selanjutnya,
nilai-nilai teramati dari ( ) disebut batas bawah dan ( ) disebut batas atas. Dalam definisi (2.16) tersebut menganggap bahwa
( ) dan
( )
berhingga. Misalkan pada kasus salah satu dari ( ) atau ( ) tidak berhingga, maka diperoleh interval satu sisi. 1.
Interval kepercayaan untuk Misalkan
berdistribusi N (
dengan
adalah sampel acak yang saling bebas dari populasi ). Misalkan didefinisikan statistik ( )
Statistik
dan
√ (̅
)
( ) tergantung pada
yaitu ̅ berdistribusi ditentukan
diketahui
(
) , maka
(2.12) melalui statistik cukup dari
√ (̅
)
berdistribusi
(
) . Akan
sehingga
14
* 2
(
)
+
√ (̅
)
3
dan equivalen dengan, 2̅
2̅
Oleh karena itu, interval )
(
̅
√
̅
√
3
√
√
(2.13) 3 adalah interval kepercayaan
untuk . Panjang interval tersebut adalah (
) √
interval kepercayaan yang memenuhi dengan panjang interval terpendek sehingga
dan
memenuhi persamaan tersebut.
Dapat ditunjukkan bahwa terpendek jika (
adalah kuartil atas dari distribusi
) yang dinotasikan dengan
karena itu, interval kepercayaan untuk )
dengan Oleh
dengan koefisien konfidensi (
adalah [̅
√
2.
Interval kepercayaan untuk
3.
Misalkan (
) * *̅
dengan
√
]
tidak diketahui
sampel acak yang saling bebas dari populasi
berdistribusi (
̅
) keduanya tidak diketahui. Interval kepercayaan
untuk (
(̅
) (
dapat dibentuk sebagai berikut,
)
√
)√
( ̅
)+ (
)
√
+
15
* ̅
dimana
(
*
(
)
*
(
)
(̅
)√
*
)
̅
√
̅
√
(
(
(̅
)√
) (
√
)
)
(
√
)
√
Sehingga diperoleh interval kepercayaan ( [̅ (
4.
(
)
√
√
) adalah kuartil ke
+
+ ), maka
+
.
)
̅
√
+
berdistribusi dengan derajat bebas ( (
dimana
√
)
untuk (
)
√
adalah ] (
dari distribusi dengan
).
Interval kepercayaan untuk Misalkan
sampel acak dari populasi berdistribusi
(
) yang
tidak diketahui. Dapat dibuktikan bahwa (
)
berdistribusi Chi-square dengan derajat bebas ( Interval kepercayaan ( *
(
)
)
untuk
(
)
).
dapat dibentuk sebagai berikut : (
)+
atau equivalen dengan * Jadi, jika
(
) (
( )
) (
)
+
interval kepercayaan (
)
untuk
adalah
16
[
(
Misalkan
) (
( )
) (
)
merupakan sampel acak yang bersifat independen
dari populasi berdistribusi normal dengan rata-rata 1. Jika
]
diketahui,
̅
(
dan variansi
, maka
)
√
2. Jika
tidak diketahui diduga dengan variansi sampel ̅
∑
̅ ) maka
(
̅ √
̅
3. Jika
diketahui, ∑
4. Jika
tidak diketahui diduga dengan rata-rata sampel ̅
∑
2.7.2
.
̅
.
/ ∑
, maka
/
Kepercayaan Elipsoid
Definisi 2.17 (Geomans, 2009) Diberikan titik tengah (
merupakan matriks positif definit. Ellipsoid
) didefinisikan sebagai (
Jika
dan
)
*
(
)
(
matriks definit positif dimana
vektor eigen sedemikian sehingga
)
+
(2.14) , maka terdapat
maka (
)
(2.15)
17
Ellipsoid merupakan transformasi gabungan dari beberapa kumpulan bidang yang dinyatakan dengan (
) (
)
Teorema 2.13 Misalkan
adalah matriks simetris, equivalen
(i)
adalah positif definit
(ii)
dimana
(iii)
adalah matriks segitiga atas * +
untuk setiap (
(iv)
dan
)
dimana
adalah matriks orthogonal
untuk
18
BAB III METODELOGI PENELITIAN
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilakukan pada bulan Desember 2015 sampai ditemukannya
hasil penelitian ini dan bertempat di Laboratorium Komputasi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo.
3.2
Metode Penelitian Adapun metode penelitian yang digunakan dalam penulisan ini adalah
metode penelitian kepustakaan (Library Research) yaitu suatu metode yang dilakukan untuk mendapatkan pengetahuan dan landasan teoritis dalam menganalisis data dan permasalahan melalui karya tulis dan sumber-sumber lainnya sebagai bahan pertimbangan dalam penulisan proposal ini.
3.3
Prosedur Penelitian Adapun prosedur yang dijalankan untuk mencapai tujuan dalam penelitian
ini adalah sebagai berikut: 1. Menentukan penduga
dari model regresi linear umum dengan
menggunakan metode maksimum likelihood (MLE). a.
Membentuk fungsi logaritma.
b.
Mencari turunan pertama dari fungsi logaritma likelihood terhadap parameter
c.
yang disamakan dengan nol.
Selanjutnya uji turunan kedua untuk memastikan bahwa ̂ dan ̂ merupakan penduga yang memaksimumkan fungsi likelihood.
19
2. Merumuskan daerah kepercayaan ellipsoid (
)
untuk
dari model
regresi linear umum. 3. Analisis Data a. Pengambilan data dimana data yang diperoleh berupa data sekunder b. Membuat scatter plot pola kandungan data c. Menghitung nilai parameter
untuk model regresi linear umum
d. Mengkonstruksikan daerah kepercayaan ellipsoid (
)
untuk
model regresi linear umum 4. Menarik kesimpulan
20
BAB IV HASIL DAN PEBAHASAN
4.1
Model Regresi Linear Umum Model regresi linear umum berbentuk: (
(
dimana
) adalah vektor respon, (
vektor parameter yang tidak diketahui, kesalahan (error), dimana ( )
(
( )
)
) adalah )
adalah vektor
, sehingga
(
)
maka dengan sifat ketunggalan MGF dari distribusi normal multivariate dapat (
ditunjukkan bahwa
) yaitu, ()
() * {
(
Jadi, terbukti bahwa
4.2
() +
()
{
} }
)
Estimasi Parameter Salah satu metode yang diterapkan untuk mencari penduga untuk vektor
pada model (4.1) adalah
metode penduga maksimum likelihood (maksimum
likelihood estimation). Misalkan
adalah data yang diperoleh dari model
fungsi likelihood dari (
)
(
(
), maka
adalah )
21
(
{
(
) (
)
,(
)(
)-
) (
(
{
) (
sehingga fungsi log-likelihood untuk (
)
[ ( ( (
) ) )
(
)]
(
) (
)}
)}
adalah (
)
. )
(
/
)
(
)
Berdasarkan Teorema 2.4 dan Teorema 2.5 diperoleh: (
)
(
)
(
)
(4.2)
sedangkan (
)
( ( (
)
)
( ) (
( ) (
)
) (
)
) (4.3)
22
maka diperoleh ( Karena (
) (
)
) merupakan fungsi eksponensial negatif, maka vektor (
memaksimumkan (
(
)
) (
)
adalah
vektor
yang
yang
meminimumkan
), yang merupakan jumlah kuadrat dari variabel kesalahan yaitu (
(error). Jadi, penduga maksimum likelihood untuk
)
Selanjutnya karena ( (
) )
(
)
(
)
(
) (
)
maka dapat ditunjukkan bahwa ( (
) )
|
(
) ( (
sehingga dengan metode turunan kedua, titik
) ) mencapai maksimum pada
Jadi, terbukti bahwa penduga maksimum likelihood (MLE) untuk adalah ̂
(
) (4.4)
̂
(
̂) (
̂)
23
Teorema 4.1 (Serber, 1976) (
Jika rank 1. 2. 3.
) , dimana
adalah matriks berukuran
dengan
maka berlaku: ̂ (̂
(
(
)( ̂
) (
̂ dan
)
( )
adalah saling bebas (
4.
) )
)
(
)
Bukti: 1.
Karena ̂
(
)
dimana (
)
adalah matriks berukuran
dengan rank , maka berdasarkan Teorema 2.12 dapat ditunjukkan
2.
̂
(
(
) )
Dari bagian 1 jelas bahwa ( ̂
)
(
(
) ). Selanjutnya karena
merupakan matriks nonsingular berukuran matriks nonsingular
. Akibatnya (
yang bersifat (
. Didefinisikan transformasi maka diperoleh
(
, maka terdapat
)
(̂
) )
,
) . Sehingga dengan subtitusi
diperoleh [ (̂
)]
(̂
)
(̂
) (
(̂
)
(̂
)
)( ̂
)
24
Karena
∑
( ), maka terbukti bahwa (̂
3.
)( ̂
) (
)
Untuk menunjukkan bahwa ̂ dan ditunjukkan bahwa ̂ dan
( )
adalah saling bebas, cukup
̂ saling bebas. Tetapi karena keduanya (̂
berdistribusi normal, maka cukup ditunjukkan bahwa
̂)
.
Dengan menerapkan hasil pada teorema 7 dapat ditunjukkan bahwa
(̂
̂)
,(
)
,(
)
(
) (
4.
Misalkan
(
( (
(
( ), )
) (
)
( (
)
)
-
)
)
) -
(
‖
)
̂
‖ . Karena
ortogonal terhadap kolom-kolom dari , maka dengan teorema Phytagoras dapat ditunjukkan bahwa ‖
‖
‖
̂
‖
̂‖
(
̂) (
̂
‖
‖ (̂
)‖
̂)
(̂
) (
)( ̂
)
Sehingga, (
̂) (
̂)
(̂
) (
)( ̂
)
25
dimana
(̂
Karena
(
)( ̂
) (
)
), maka
(
) sehingga
( ) Dari bagian 2 diketahui bahwa (̂
)( ̂
) (
Pernyataan 3 menunjukkan bahwa
)
dan
( ) saling bebas sehingga
berlaku ( )
( ) ( )
( )
( )
yang merupakan MGF dari
(
)
(
)
(
( )
( )
(
)
(
)
). Jadi terbukti bahwa
(
)
(
)
Berdasarkan penduga yang diperoleh akan diselidiki sifat-sifat sampel bagi vektor acak . Nilai tengah vektor acak (̂)
,(
)
(
)
(
)
adalah ( )
26
sehingga bentuk matriks kovariansi dari (̂)
,(
dapat dituliskan sebagai berikut: )
-
(
)
( ),(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
-
dimana ̂ merupakan penduga tak bias untuk , oleh karena itu (̂
)
(
(
)
)
sehingga (
(
) ) (̂
)
(
)
atau
(
) (̂
)
(
)
Dari hasil teorema 4.1 bagian (2) diatas, maka (̂ dimana
( )
kebebasan
(
(̂ (
(
)
)( ̂
)
( )
adalah variabel acak berdistribusi chi square dengan derajat dan ( ̂
Selanjutnya karena
bebas dan
dimana
) (
)
(
) (
)( ̂ )
) (
)( ̂
) adalah saling
) maka )
(̂
) ( (
)( ̂ )
) (
)
adalah variabel acak berdistribusi F dengan derajat kebebasan
27
4.3
Daerah Kepercayaan Daerah yang ditentukan oleh sebuah data
)
,
-
( ) dikatakan akan menjadi daerah kepercayaan
adalah matriks data. Daerah (
( ) dengan
jika , ( )
-
Misalkan
dimana
kepercayaan (
) {
(̂
2( ̂ dimana
untuk ) ( (
) (
memiliki rank
)( ̂
)
(
)
)
dari distribusi
( ̂ )√(
√
}
)
. Interval kepercayaan simultan ( ̂
)
3 dengan derajat bebas untuk
dan
diberikan oleh
)
( ̂ ) adalah elemen diagonal dari
dengan
) Daerah
adalah
)( ̂
adalah kuantil ke
(
dan
(
)
yang berkorespondensi
ke Misalkan: ( ̂
)
adalah matriks positif definit, dan
(̂
)
maka, {( ̂
) ) (
) (( 2( ̂
)
(̂
) (̂ )
) (
( )
)
} 3
28
{. ( ̂
)/ . ( ̂ {̂ ̂
)/
(
(
)
}
} }
)
̂ ̂
Ketaksamaan
)
̂ ̂
{(
(
(4.5)
akan mendefinisikan daerah kepercayaan
)
( ) dalam ruang dari semua parameter yang mungkin. Dalam kasus ini, daerah akan menjadi ellipsoid dengan pusat ̂ . Ellipsoid ini adalah daerah kepercayaan (
)
untuk
. Ellipsoid kepercayaan adalah pusat pada penaksir
maximum Likelihood ̂ dan orientasinya dan ukuran ditentukan oleh nilai eigen dan vektor eigen dari
Jika nilai eigen mendekati nol, ellips kepercayaan akan
sangat panjang dalam arah dari vektor eigen yang berkorespondensi. Untuk
tidak dapat digambarkan daerah kepercayaan untuk . Akan
tetapi, dapat dihitung sumbu-x dari ellipsoid kepercayaan dan panjang relatifnya. Hal ini ditentukan dari nilai eigen
dan vektor eigen
dari . Arah dan panjang
sumbu-x dari (̂
)( ̂
) (
)
(
)
akan ditentukan oleh (
√
√ √
√
Unit sepanjang vektor eigen
)
konstan dimana
.
. Berawal dari pusat , sumbu-x dari ellipsoid
kepercayaan adalah (
√ √
)
dimana
29
Perbandingan dari
akan membantu dalam mengidentifikasi jumlah relatif dari
pemanjangan sepanjang pasangan sumbu-x. Dari persamaan model (4.5), dapat dikonstruksikan daerah kepercayaan (
)
untuk vektor
yang dinotasikan dengan
( ) dimana
( )
didefinisikan sebagai berikut ( )
4.3
{̂
̂ ̂ (
)
}
(4.6)
Informasi Data. Data yang digunakan dalam tugas akhir ini diperoleh dari (Murtiawan,
2015) yaitu data posisi kandungan nikel (Ni) di Pomalaa (Lampiran 1). Data posisi nikel yang dinyatakan dalam titik koordinat x, y dengan satuan meter m dan kandungan nikel dengan satuan persen % . Data terdiri dari 62 titik pengeboran dengan jarak antar titik pengeboran yaitu 25 meter. Rancangan atau desain pengeboran yang dilakukan berbentuk grid teratur seperti terlihat pada Gambar 4.1.
30
Gambar 4.1. Desain Pengeboran Pada Daerah Eksplorasi PT. Antam. Gambar 4.1 Mempresentasekan suatu plot posisi dari persentase kandungan nikel yang diperoleh dari hasil pengeboran oleh PT. Antam pada daerah ekplorasinya. Pola keadaan kandungan nikel pada tiap titik pengeboron dapat dilihat pada Gambar 4.2.
Gambar 4.2. Pola Kandungan Nikel Pada Gambar 4.2 sumbu
dan
menyatakan posisi dari titik pengeboran
pada daerah eksplorasi. Sedangkan sumbu vertikal menyatakan persentase kandungan nikel. Gambar 4.2 menunjukkan bahwa persentase kandungan nikel berubah-ubah seiring dengan perubahan posisi (koordinat) titik pengeboran (
)
pada daerah ekplorasi tersebut.
4.4
Analisis Model Regresi Linear Umum Berdasarkan penelitian yang dilakukan sebelumnya, persentase data
kandungan nikel bersifat stasioner order dua yang berarti memiliki distribusi yang sama. Berdasarkan uji Kolmogorov-Smirnov yaitu untuk mengecek data
31
berdistribusi normal, maka pada tingkat signifikansi 5% data persentase kandungan nikel berdistribusi normal (Murtiawan, 2015). Pada data persentase kandungan nikel terdapat dua variabel prediktor yang memandang hasil pengamatan
sebagai realisasi (nilai) dari suatu
peubah acak (4.7) Dari data yang disajikan pada lampiran 1, didefinisikan
[
]
[
]
Dengan menggunakan program Matlab (Lampiran 2), dihitung penduga (
maksimum likelihood untuk vektor parameter
) yang merupakan
koefisien-koefisien dari model (4.2) diperoleh nilai ̂ untuk data kandungan Nikel (Ni) adalah ̂
(
)
̂ [̂ ] ̂
[
]
Jadi, fungsi dugaan untuk persentase data kandungan Nikel di Pomalaa adalah ̂(
)
(4.8)
Selanjutnya dengan suatu transformasi pada model persamaan (4.6) dapat ditunjukkan bahwa daerah kepercayaan ( (
)
untuk vektor parameter
) pada persentase data kandungan Nikel (Ni) sebagai berikut 32
{̂
( )
([
̂ ̂ (
]) ([
][
( )
}
)
(
)
][ (
])
)
{
}
dimana, (̂
̂
)
[
][
( [( (
[
]
) ) )
(
)
( (
) )
( (
)] )
]
33
BAB V PENUTUP
5.1
Kesimpulan Berdasarkan pembahasan dan analisis pada bab sebelumnya, maka dapat
diperoleh kesimpulan sebagai berikut: 1.
Model estimasi parameter
pada regresi linear umum adalah ̂
Daerah kepercayaan (
2.
(
( )
) untuk vektor parameter regresi
) pada persentase data kandungan nikel di Pomalaa
diperoleh
[
] [
]
( ) {
5.2
}
Saran Untuk penelitian selanjutnya, disarankan untuk melakukan estimasi interval
parameter pada model regresi linear pada kasus dimana distribusi populasi tidak diketahui.
34
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1987. Aljabar Linear Elementer edisi kelima. Bandung: Erlangga. Arnold, S.F. 1981. The Theory of Linear Models and Miltivariate Analysis. John Wiley & Sons, New York. Geomans, M.X. 2009. Lecture notes on the Ellipsoid Algorithm. Combinatorial Optimazation (Handout). Massachusetts Institute of Technology. Graybill, F.A. 1976. Theory and Application of The Linear Model. Duxbury Press, Belmont, California. Magnus, J.R. dan Neudecker, H. 1988. Matrix Differential Calculus with Aplications in Statistics and Econometrick. John Wiley & Sons, New York. Murtiawan, W.E. 2015. Estimasi Data Spasial Menggunakan Metode Ordinary Kriging. Kendari: Universitas Halu Oleo. Nugroho, D.B. 2009.Diktat Kuliah (4 sks) MX 113 (MT 302): Aljabar Linear. Salatiga: Universitas Kristen Satya Wacana. Rusgiono, A. 2001.Aplikasi Besaran Pivotal Dalam Penentuan Selang Keyakinan Taksiran Parameter Populasi. UNDIP. Serber, G.A.F., & Alan. J.L. 1976. Linear Regression Analysis (Second Edition). New York: John Wiley & Sons Inc. Somayasa, W. 2013. Diktat Kuliah Statistika II (MAT 5163). Kendari: Universitas Halu Oleo. Tirta, I.M. 2008. Model Statistika Linear (Versi Elektronik). Universitas Jember. Widiharih, T. 2009. Buku Ajar Statistika Matematika II Pas 306/3 SKS. Semarang: Universitas Diponegoro.
35
36
Lampiran 1 (Data Persentase Kandungan Nikel di Pomalaa) No X1 X2 Y No X1 X2 Y 1 5825 5925 0,39 32 5650 5850 0,74 2 5800 5925 0,86 33 5825 5825 0,71 3 5775 5925 0,94 34 5800 5825 1,03 4 5750 5925 1,22 35 5775 5825 1,03 5 5725 5925 0,88 36 5750 5825 1,22 6 5700 5925 1,13 37 5725 5825 1,08 7 5675 5925 0,92 38 5700 5825 1,01 8 5650 5925 0,82 39 5675 5825 1,19 9 5825 5900 0,54 40 5650 5825 1,14 10 5800 5900 0,65 41 5825 5800 0,73 11 5775 5900 0,88 42 5800 5800 0,80 12 5750 5900 1,17 43 5775 5800 1,48 13 5725 5900 1,24 44 5750 5800 1,02 14 5700 5900 1,11 45 5725 5800 1,35 15 5675 5900 1,23 46 5700 5800 1,15 16 5650 5900 1,16 47 5650 5800 0,90 17 5825 5875 0,59 48 5800 5775 1,36 18 5800 5875 1,11 49 5775 5775 1,23 19 5775 5875 1,43 50 5750 5775 1,06 20 5750 5875 1,13 51 5725 5775 1,27 21 5725 5875 1,14 52 5700 5775 1,14 22 5700 5875 0,98 53 5675 5775 1,04 23 5675 5875 0,93 54 5650 5775 1,10 24 5650 5875 1,30 55 5825 5750 0,96 25 5825 5850 0,81 56 5800 5750 0,82 26 5800 5850 0,97 57 5775 5750 0,90 27 5775 5850 1,25 58 5750 5750 1,14 28 5750 5850 1,01 59 5725 5750 1,05 29 5725 5850 1,02 60 5700 5750 1,10 30 5700 5850 1,66 61 5675 5750 0,94 31 5675 5850 1,47 62 5650 5750 0,83 Sumber: Skripsi estimasi data spasial menggunakan metode ordinary kriging oleh W.Murtiawan (2015).
37
Lampiran 2 (Program estimasi untuk Parameter Regresi ) clear all; clc; format short t2=xlsread('data X1.xlsx');%perintah untuk membaca file dari excel t4=xlsread('data Y.xlsx'); beta=(inv(t2'*t2))*(t2'*t4) A=(t2'*t2)^(1/2)
beta =
12.1125 -0.0014 -0.0006
A=
1.0e+004 *
0.0000
0.0006
0.0006
0.0006
3.1887
3.2001
0.0006
3.2001
3.3016
38
