ESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL DENGAN MODEL REGRESI LINIER BERGANDA BAYESIAN

ESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL DENGAN MODEL REGRESI LINIER BERGANDA BAYESIAN Vania Mutiarania, Adi Setiawanb, Hanna Arini Parhusipc a Program Studi Matematika FSM UKSW Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, [email protected] b Program Studi Matematika FSM UKSW Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, [email protected] c Program Studi Matematika FSM UKSW Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, [email protected]

ABSTRAK Regresi linier berganda merupakan model regresi linier dengan satu variabel dependen dan lebih dari satu variabel independen. Dalam makalah ini, diambil data SUSENAS (Survey Sosial Ekonomi Nasional) tahun 2011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan sebagai variabel dependen dan pengeluaran masyarakat Salatiga (pengeluaran untuk konsumsi makanan dan pengeluaran untuk konsumsi non makanan) sebagai variabel independen dengan sampel 𝑛 = 135. Hubungan antar variabel tersebut membentuk garis lurus yang tidak dapat ditentukan secara tepat dan membutuhkan taksiran parameter yang dapat dicari menggunakan model regresi linier Bayesian yaitu dengan merancang rantai Markov dari distribusi posterior (dari model regresi linier Bayesian) dengan bantuan Gibbs sampling. Sehingga dengan mencari rata-rata dari sebanyak 4500 nilai Gibbs sampler diperoleh hasil taksiran parameter yaitu 𝜍 2 = 0.032, 𝛽0 = 1.44, 𝛽1 = 0.355, dan 𝛽2 = 0.493 dan dihasilkan pula fungsi densitasnya. Dari fungsi densitas tersebut dihasilkan interval kredibel 95% untuk masing-masing taksiran parameter 𝜍 2 , 𝛽0 , 𝛽1 , dan 𝛽2 berturut-turut yaitu (0.025, 0.041), (0.596, 2.271), (0.176, 0.543) dan (0.365, 0.621). Kata Kunci : model regresi linier berganda Bayesian, estimasi parameter, interval kredibel.

ABSTRACT Multiple linear regression is a linear regression model using one dependent variable and more than one independent variable. In this paper, data are taken SUSENAS (National SocioEconomic Survey) from BPS Salatiga in 2011. The income is supposed as the dependent variable and expenditure of Salatiga society (expenditure for food consumption and non-food consumption expenditure) as an independent variable with sample size of 𝑛 = 135. The relationship between these variables form a straight line that can not be precisely determined and requires estimates of parameters using the Bayesian linear regression model. Markov chain design can be constructed based on the posterior distribution (Bayesian linear regression model) using Gibbs sampling. So by finding the average of the 4500 of the Gibbs sampler values, point estimation of parameters can be found i.e. 𝜍 2 = 0.032 , 𝛽0 = 1.44 , 𝛽1 = 0.355 , and 𝛽2 = 0.493 and also its density function. Based on the density function can be found 95% credible intervals for each parameter estimates 𝜍 2 , 𝛽0 , 𝛽1 , and 𝛽2 respectively are (0.025, 0.041), (0.596, 2.271), (0.176, 0.543) and (0.365, 0.621) . Keywords : Bayesian multiple linear regression model, parameter estimates, credible intervals.

SENDIKMAD 2012

1

dan 𝛽1 = 0.708 sehingga

Pendahuluan

persamaan

Analisis regresi merupakan alat

garis regresi dugaan : 𝑦𝑖 = 2.101 +

statistik yang banyak digunakan dalam

0.708 𝑥𝑖 dengan 𝑦𝑖 adalah dugaan untuk

berbagai bidang yang bertujuan untuk

pendapatan masyarakat dan 𝑥𝑖 adalah

mengetahui hubungan antara variabel

pengeluaran masyarakat. Dari nilai-nilai

dependen

dan

Gibbs sampler yang telah didapatkan,

(Suwarno,

2009).

variabel

variabel

independen

Hubungan

dependen

dan

antara

independen

dihasilkan fungsi densitas untuk masingmasing

parameter

sehingga

interval

membentuk garis lurus yang disebut juga

kepercayaan Bayesian (interval kredibel)

garis regresi yang tidak dapat ditentukan

95% untuk taksiran parameter 𝜍 2 adalah

secara tepat sehingga diperlukan taksiran

(0.0034, 0.0097), untuk 𝛽0 yaitu (1.607,

parameter untuk model regresi linier.

2.601)

Untuk memperoleh taksiran parameter

parameter 𝛽1 .

dan

(0.6282,

0.7879)

untuk

tersebut, biasanya dicari dengan metode

Dalam penelitian ini dilakukan

kuadrat terkecil. Namun, ada cara lain

pengembangan dari makalah sebelumnya

yaitu

yaitu

dengan

model

regresi

linier

Bayesian.

dengan

berganda.

Pada

makalah

model

Regresi

regresi linier

linier

berganda

terdahulu

merupakan model regresi linier dengan

(Mutiarani dkk., 2012) telah dijelaskan

satu variabel dependen dan lebih dari satu

tentang penerapan model regresi linier

variabel independen. Dalam makalah ini

Bayesian untuk mengestimasi parameter

akan digunakan model regresi linier

dan interval kredibel dengan mengambil

berganda

dalam

data

mengambil

SUSENAS

Bayesian.

2011

yang

Dengan

Salatiga

yaitu

(Survey Sosial Ekonomi Nasional) tahun

pendapatan dan pengeluaran masyarakat

2011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan

Salatiga dengan sampel 𝑛 = 30 . Untuk

dan pengeluaran masyarakat Salatiga

mengestimasi parameter garis regresi

(pengeluaran untuk konsumsi makanan

dengan model regresi linier Bayesian,

dan pengeluaran untuk konsumsi non

dirancang rantai Markov dari distribusi

makanan) dengan sampel 𝑛 = 135, akan

posterior yaitu dengan bantuan Gibbs

dijelaskan

sampling sebanyak 5000 iterasi dan

parameter

diperoleh

Bayesian

diperoleh

dari

tahun

konteks

BPS

taksiran

parameter

yang

merupakan rata-rata dari nilai Gibbs

data

bagaimana dan

interval

(interval

SUSENAS

mengestimasi kepercayaan

Kredibel)

dengan

model regresi linier berganda Bayesian.

sampler yaitu 𝜍 2 = 0.0057 , 𝛽0 = 2.101 SENDIKMAD 2012

2

Dasar Teori

1.1.

Distribusi Prior Konjugat Prior konjugat adalah suatu prior

1. Regresi Linier Berganda Bayesian Dalam statistik, regresi linier

yang jika dikombinasikan dengan fungsi

Bayesian merupakan pendekatan untuk

likelihood

akan

menghasilkan

regresi linier dimana analisis statistik

posterior dengan distribusi yang sama

yang dilakukan dalam konteks inferensi

dengan distribusi prior (Gelman, 2006).

Bayesian (Web 1). Saat model regresi

Dengan 𝜷 = 𝛽0 , 𝛽1 , 𝛽2

memiliki error yang berdistribusi normal,

prior :

T

suatu

, bentuk untuk

𝑝 𝜷, 𝜍 2 = 𝑝 𝜍 2 𝑝 𝜷 𝜍 2

dan jika bentuk khusus dari distribusi

𝜍2

Inv −

prior diasumsikan, hasil eksplisit tersedia

dengan

untuk distribusi probabilitas posterior

Gamma(𝑎0 , 𝑏0 ) dengan 𝑎0 = 𝑣0 /2 dan

dari parameter model.

𝑏0 = 𝑣0 𝑠02 dengan 𝑣0 = 1 dan 𝑠02 = 1 .

Analisis regresi linier berganda adalah

pengembangan

dari

analisis

berdistribusi

Kepadatan prior ditulis sebagai 𝑝 𝜍2 ∝ 𝜍2

− 𝑣0 /2+1

regresi linier sederhana. Analisis regresi linier berganda ialah suatu alat analisis peramalan nilai pengaruh dua atau lebih variabel independen terhadap variabel dependen untuk membuktikan ada atau tidaknya hubungan fungsi atau hubungan kausal antara dua variabel atau lebih 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 , … , 𝑋𝑛 dengan satu variabel dependen (Suwarno, 2009).

dua variabel bebas dirumuskan: 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥1𝑖 + 𝛽2 𝑥2𝑖 + 𝜀𝑖 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛

lanjut,

dan

galat

(0)

.

Pada T

(0)

𝝁0 = 𝛽0 , 𝛽1 , 𝛽20

ini,

𝜀𝑖 ~𝑁(0, 𝜍 ).

prior bersyarat : 𝑝(𝜷|𝜍 2 ) ∝ 𝜍 2

−𝑘/2

exp −

1 𝜷 − 𝝁0 T 𝚲 0 𝜷 − 𝝁0 2𝜍 2

𝜷 − 𝝁0 T 𝚲0 𝜷 − 𝝁0

dengan

T

𝛽00 𝛽0 𝛽1 − 𝛽10 𝛽2 𝛽20

yang

𝛽00 𝛽0 𝛽1 − 𝛽10 𝛽2 𝛽20

I3×𝟑

0

0

0

𝛽2 − 𝛽2

Fungsi likelihood : 1

exp − 2𝜍 2 𝐲 − 𝐗𝜷

𝑇

𝐲 − 𝐗𝜷

.

dengan 𝐗 = 𝟏 𝑥1𝑖 𝑥2𝑖 ; 𝜷 = 𝛽0 , 𝛽1 , 𝛽2 T .

= 𝛽0 − 𝛽00

Sehingga

𝟐

+ 𝛽1 − 𝛽10

kepadatan

0

I3×𝟑 𝛽1 − 𝛽10

= 𝛽0 − 𝛽0 , 𝛽1 − 𝛽1 , 𝛽2 − 𝛽2

−𝑛 /2

=

0, 0, 0 T , 𝚲0 = I dan memiliki kepadatan

𝛽0 − 𝛽0

2

𝑝 𝐲 𝐗, 𝜷, 𝜍 2 ∝ 𝜍 2

.

2𝜍 2

bersyarat 𝜷|𝜍 2

𝑁(𝝁0 , 𝜍 2 𝚲−1 0 )

berdistribusi makalah

prior

𝑣0 𝑠02

dijabarkan sebagai berikut :

Persamaan regresi ganda dengan

dengan

Lebih

exp −

𝟐

0

+ 𝛽2 − 𝛽20

prior

𝟐

bersyarat

menjadi :

SENDIKMAD 2012

3

𝑝(𝜷|𝜍 2 ) ∝ 𝜍 2

−𝑘/2

exp −

1 2𝜍 2

+ 𝛽1 − 𝛽1

𝟐

0

+ 𝛽2 −

Jika 𝜍 2 ~Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ), maka :

𝟐

0

𝛽0 − 𝛽0

0 𝛽2

𝟐

𝜍 2 |𝐲, 𝐗~Inv − Gamma 1 2

1.2.

dapat

sebagai

distribusi

dengan

distribusi

dinyatakan

normal

dikalikan

invers-gamma

dan

diparameterisasi sebagai berikut : 𝑝(𝜷, 𝜍 2 |𝐲, 𝐗) ∝ 𝑝(𝜷|𝜍 2 , 𝐲, 𝐗)𝑝 𝜍 2 |𝐲, 𝐗 dengan kedua faktor sesuai dengan kepadatan

dari

𝑁 𝝁𝑛 , 𝜍 2 𝐗 T 𝐗 + 𝚲0

distribusi

−1

dan

Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 )

dengan

2

𝑛 + 𝑣0 , 𝑏0 +

𝐲 T 𝐲 + 𝝁T0 𝚲0 𝝁0 − 𝝁T𝑛 𝚲𝑛 𝝁𝑛

Distribusi Posterior Posterior

1

Jika

(*)

𝜇1 𝜇2 , Σ11 Σ21 𝜇3

𝛽0 𝛽1 ~𝑁3 𝛽2

Σ12 Σ22

,

(Jennings et al., 2010) maka distribusi dari 𝛽0 bersyarat pada 𝛽10 , 𝛽20 : −1 𝛽0 |𝛽10 , 𝛽20 ~𝑁 𝜇1 + Σ12 Σ22 −1 ′ Σ11 − Σ12 Σ22 Σ12

𝛽10

𝜇2 − 𝜇 3

𝛽20

.

,

(**)

dengan Σ11 = 𝜍11 , Σ12 = 𝜍12 𝜍22 𝜍23 Σ22 = 𝜍 𝜍33 . 23

𝜍13 ,

parameternya diberikan oleh 1

𝑎𝑛 = 2 (𝑛 + 𝑣0 ) , (pada makalah ini 𝑣0 = 1 dan 𝑛 = 135) 𝑏𝑛 = 𝑏0 +

1 (𝐲 T 𝐲 2

+

T

𝝁T0 𝚲0 𝝁0

−1

𝝁𝑛 = 𝐗 𝐗 + 𝚲0

−

𝝁T𝑛 𝚲𝑛 𝝁𝑛 ),

Diberikan 𝜍 2 dan vektor 𝜷 yang tidak diketahui : 𝜷 = 𝛽0 , 𝛽1 , 𝛽2

1. Dipilih nilai awal 𝜍 2 (0) , 𝛽00 , 𝛽10 , 𝛽20 . 𝜍2

2. Sampel

T

𝐗 𝐲 + 𝚲0 𝝁0 ,

𝚲0 = I.

sehingga 𝜍 2

Pada makalah ini, 𝐗 T 𝐗 bertipe 3 × 3

Sampel

sehingga 𝚲0 bertipe 3 × 3 yaitu I3×3 .

𝑝 𝛽01 𝜍 2

1.3. MCMC (Markov Chain Monte Carlo)

Salah satu cara untuk merancang rantai

Markov

yaitu

dari

distribusi

posterior dengan 2

𝑝 𝜍 |𝐲, 𝐗 ~Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ) 𝑝 𝜷 𝜍 2 , 𝐲, 𝐗 ~𝑁 𝝁𝑛 , 𝜍 2 𝐗 T 𝐗 + 𝚲0

dan −1

yaitu dengan Gibbs Sampling yang menghasilkan

rantai

Markov

sampling dari distribusi bersyarat.

oleh

𝛽01 |𝜍 2

(1)

(1)

dari

𝑝 𝜍2

(1)

|𝐲, 𝐗 memenuhi (*). 𝛽01

1

(1)

𝐲, 𝐗

dari

, 𝛽10 , 𝛽20 , 𝐲, 𝐗

sehingga

, 𝛽10 , 𝛽20 memenuhi (**).

3. Langkah 2 diulangi sebanyak bilangan besar B, misalnya 5000 kali. 4. Akhirnya 𝑝 𝜍 2 |𝐲, 𝐗

didapatkan

sampel

dari

dan 𝑝(𝜷|𝜍 2 , 𝐲, 𝐗) dalam

bentuk rantai Markov.

1.4. Interval

Kredibel

(Interval

Kepercayaan Bayesian) Dalam statistik Bayesian, interval kredibel

SENDIKMAD 2012

T

1 − 𝛼 100%

merupakan 4

𝑝(𝜷|𝜍 2 , 𝐲, 𝐗)~𝑁(𝝁𝑛 , 𝜍 2 𝐗 T 𝐗 +

interval di dalam domain dari distribusi

dan

probabilitas posterior yang digunakan

𝚲0

untuk penaksiran interval (Web 2).

yang menghasilkan 4 rantai Markov

Salah

satu

mengestimasi

metode

interval

kredibel

−1

) yaitu dengan Gibbs Sampling

untuk

dengan iterasi sebanyak 5000 yaitu

yang

untuk taksiran parameter 𝜍 2 , 𝛽0 , 𝛽1

paling mudah digunakan adalah interval

dan 𝛽2 .

kredibel dua ekor (Johnson, 2009).

2. Taksiran parameter 𝜍 2 , 𝛽0 , 𝛽1 dan 𝛽2

Interval kredibel dua ekor disusun dengan

diperoleh dengan mencari rata-rata

menemukan kuantil 𝛼/2 dan 1 − 𝛼/2

dari nilai Gibbs sampler.

dengan tingkat signifikansi 𝛼.

3. Dari

nilai-nilai

Gibbs

sampler

tersebut, dihasilkan fungsi densitas untuk 𝜍 2 berdistribusi invers-gamma

Metode Penelitian Data

yang

digunakan

dalam

penelitian adalah nilai logaritma dari data SUSENAS

(Survey

Sosial

Ekonomi

dan

𝛽0 , 𝛽1

𝛽2

dan

berdistribusi

normal. 4. Mencari interval kredibel 95% untuk

Nasional) masyarakat Salatiga tahun

masing-masing

2011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan

berdasarkan

sebagai variabel dependen 𝐲 terhadap

dengan tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05.

taksiran

pada

fungsi

parameter densitas

pengeluaran untuk konsumsi makanan sebagai variabel independen 𝐗 𝟏 dan pengeluaran

untuk

konsumsi

non

makanan sebagai variabel independen 𝐗 𝟐 dengan

𝑛 = 135 .

Pada

Gambar

1

diperlihatkan

diagram pencar untuk data logaritma

Dalam

pendapatan (𝐲) terhadap data logaritma

melakukan perhitungan, digunakan alat

pengeluaran untuk konsumsi makanan

bantu program WinBUGS 1.4.3.

( 𝐗 𝟏 ), sedangkan Gambar 2 merupakan

Langkah-langkah

diagram pencar untuk data logaritma

untuk

sampel

Hasil dan Pembahasan

mengestimasi

penyelesaian parameter

dan

pendapatan (𝐲) terhadap data logaritma

interval kredibel menggunakan model

pengeluaran

regresi linier Bayesian sebagai berikut :

makanan (𝐗 𝟐 ).

1. Merancang distribusi

rantai

Markov

untuk

konsumsi

non

dari

posterior 𝑝(𝜷, 𝜍 2 |𝐲, 𝐗) ∝

𝑝 𝜍 2 |𝐲, 𝐗 𝑝(𝜷|𝜍 2 , 𝐲, 𝐗)

dengan

𝑝 𝜍 2 |𝐲, 𝐗 ~Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ) SENDIKMAD 2012

5

7

𝜍 2 𝐗 T 𝐗 + 𝚲0

6.8 6.6

−1

0.175 −0.029 0.0001 = −0.029 0.009 −0.004 0.0001 −0.004 0.004

yaitu dengan Gibbs sampling sebanyak

6.4

5000 iterasi.

6.2

1. Taksiran Parameter 𝜍 2 dan Interval

6

Kredibel 𝜍 2

5.8 5.6 5.4 5.2

Untuk 5.4

5.6

5.8

6

6.2

6.4

6.6

6.8

Gambar 1. Diagram Pencar Data Logaritma Pendapatan (𝐲) Terhadap Data Logaritma Pengeluaran Untuk Konsumsi Makanan (𝐗 𝟏 )

mendapatkan

parameter

invers-gamma, sampling

6.8

yang

berdistribusi

dilakukan

sebanyak

Gibbs

5000

iterasi

dengan memilih nilai awal 𝜍 2 Kemudian

7

𝜍2

taksiran

500

iterasi

0

= 1.

pertama

dipotong dan diperoleh rantai Markov

6.6

yang konvergen pada Gambar 3.

6.4 6.2 6 5.8 5.6 5.4 4.5

5

5.5

6

6.5

7

Gambar 2. Diagram Pencar Data Logaritma Pendapatan (𝐲) Terhadap Data Logaritma Pengeluaran Untuk Konsumsi Non Makanan (𝐗 𝟐 ) Selanjutnya untuk mendapatkan estimasi 𝛽0 , 𝛽1 , 𝛽2

parameter T

𝜍2

dengan model regresi linier

dari

distribusi

Diperoleh hasil taksiran parameter

rantai

𝜍 2 = 0.032 dengan mencari rata-rata

posterior

dari 4500 nilai Gibbs sampler. Dari

berganda Bayesian, dirancang Markov

𝜷=

dan

Gambar 3. Rantai Markov untuk Taksiran Parameter 𝜍 2

𝑝(𝜷, 𝜍 2 |𝐲, 𝐗) ∝ 𝑝 𝜍 2 |𝐲, 𝐗 𝑝(𝜷|𝜍 2 , 𝐲, 𝐗)

nilai Gibbs sampler tersebut dihasilkan

dengan

fungsi

𝑝 𝜍 2 |𝐲, 𝐗 ~Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ) 𝑝(𝜷|𝜍 2 , 𝐲, 𝐗)~𝑁(𝝁𝑛 , 𝜍 2 𝐗 T 𝐗 + 𝚲0 dengan 𝝁𝑛 = 1.431, 0.355, 0.494

dan −1 T

)

densitas

pada

Gambar

4

sehingga interval kredibel 95% untuk taksiran 𝜍 2 adalah (0.025, 0.041).

dan

kovarians SENDIKMAD 2012

6

Gambar 6 sehingga interval kredibel 95% adalah (0.596, 2.271).

Gambar 4. Fungsi Densitas Taksiran Parameter 𝜍 2 2. Taksiran Parameter 𝛽0 dan Interval Kredibel 𝛽0 Dengan memilih nilai awal 𝛽00 = 0, lalu

dilakukan

Gibbs

sampling

Gambar 6. Fungsi Densitas Taksiran Parameter 𝛽0 3. Taksiran Parameter 𝛽1 dan Interval Kredibel 𝛽1

Setelah

Untuk memperoleh taksiran parameter

memotong 500 iterasi pertama untuk

𝛽1 yang berdistribusi normal, dipilih

taksiran 𝛽0 yang berdistribusi normal,

nilai awal 𝛽10 = 0 kemudian dengan

didapatkan

melakukan Gibbs sampling sebanyak

sebanyak

5000

rantai

iterasi.

Markov

yang

5000 iterasi dan memotong 500 iterasi

konvergen pada Gambar 5.

pertama, diperoleh rantai Markov yang konvergen pada Gambar 7.

Gambar 5. Rantai Markov untuk Taksiran Parameter 𝛽0 Dengan mencari rata-rata dari 4500 nilai

Gibbs

sampler

yang

ada,

Gambar 7. Rantai Markov untuk Taksiran Parameter 𝛽1

diperoleh hasil taksiran 𝛽0 = 1.44 dan

Dari 4500 nilai Gibbs sampler yang

dihasilkan

ada pada Gambar 7 di atas, setelah

fungsi

densitas

pada

dicari SENDIKMAD 2012

rata-ratanya

didapat

hasil 7

taksiran 𝛽1 = 0.355. Nilai-nilai Gibbs

ada, diperoleh hasil taksiran 𝛽2 =

sampler tersebut menghasilkan fungsi

0.493 . berdasarkan nilai-nilai Gibbs

densitas pada Gambar 8 sehingga

sampler tersebut dihasilkan fungsi

interval kredibel 95% adalah (0.176,

densitas pada Gambar 10 dan interval

0.543).

kredibel 95% (0.365, 0.621).

Gambar 8. Fungsi Densitas Taksiran Parameter 𝛽1

Gambar 10. Fungsi Densitas Taksiran Parameter 𝛽2

4. Taksiran Parameter 𝛽2 dan Interval Kredibel 𝛽2 Dipilih nilai awal untuk 𝛽20 = 0 . Kemudian dilakukan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi, dan memotong 500 iterasi pertama sehingga diperoleh rantai Markov yang konvergen pada Gambar 9.

Dengan estimasi parameter yang telah

diperoleh

𝜷 = 1.44, 0.355, 0.493

T

yaitu dibentuk

persamaan garis regresi linier berganda dugaan : 𝑦𝑖 = 1.44 + 0.355 𝑥1𝑖 + 0.493 𝑥2𝑖 . Gambaran penggunaan: Dipilih nilai 𝑥1 = 6.15 dan 𝑥2 = 5.96 , kemudian

nilai-nilai

disubstitusikan

ke

dalam

tersebut persamaan

regresi linier berganda di atas, sehingga didapatkan hasil dugaan 𝑦 = 6.56 . Artinya, dalam nilai logaritma, dengan pengeluaran untuk konsumsi makanan sebesar 6.15 dan pengeluaran untuk Gambar 9. Rantai Markov untuk Taksiran Parameter 𝛽2

konsumsi non makanan sebesar 5.96, dugaan untuk pendapatan sebesar 6.56

Selanjutnya dengan mencari rata-rata

atau

Rp

3.643.594,183.

Sedangkan

dari 4500 nilai Gibbs sampler yang SENDIKMAD 2012

8

pendapatan

pada

data

asli

sebesar

diketahui, yaitu 𝜍 2 = 0.032 , 𝛽0 =

Rp 3.550.000, sehingga error (galat)

1.44, 𝛽1 = 0.355, dan 𝛽2 = 0.493.

dalam persamaan garis regresi dugaan

2. Dari sebanyak 4500 nilai Gibbs

pada

titik

data

tersebut

yaitu

𝑒 = 𝑦 − 𝑦 = 3550000 − 3643594.183 = −93594.183 = 93594.183

atau

sebesar

sampler yang ada, dihasilkan fungsi densitas untuk taksiran parameter 𝜍 2 berdistribusi

invers-gamma

dan

2.64 %.

taksiran parameter 𝛽0 , 𝛽1 , dan 𝛽2

Sebagai perbandingan, dengan program R

berdistribusi normal. Sehingga dengan

2.15.1., diperoleh hasil estimasi sebagai

tingkat

berikut :

diperoleh interval kredibel 95% untuk

Coefficients: Estimate Std. Error t value

Pr(>|t|)

signifikansi

𝛼 = 0.05

,

taksiran parameter 𝜍 2 , 𝛽0 , 𝛽1 , dan 𝛽2

3.415 0.000849 ***

berturut-turut yaitu (0.025, 0.041),

x1

0.35401 0.09423 3.757 0.000257 ***

(0.596, 2.271), (0.176, 0.543) dan

x2

0.49355 0.06422 7.686 3.08e-12 ***

(Intercept) 1.43890 0.42138

---

(0.365, 0.621).

Signif. codes: 0 „***‟ 0.001 „**‟ 0.01 „*‟ 0.05 „.‟ 0.1 „ ‟1

Pustaka

Jadi, hasil estimasi parameter 𝛽0 , 𝛽1 , dan 𝛽2 signifikan karena berdasarkan uji t, nilai p masing-masing parameter lebih kecil dari tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05.

Kesimpulan Berdasarkan pembahasan, dengan mengambil data SUSENAS masyarakat Salatiga tahun 2011 dari BPS Salatiga dengan

sampel

𝑛 = 135

sebagai

simulasi, dapat disimpulkan bahwa: 1. Dengan merancang rantai Markov dari distribusi posterior dengan bantuan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi, lalu memotong 500 iterasi pertama agar tidak mengacaukan hasil taksiran dan diperoleh hasil taksiran untuk masing-masing parameter yang tidak SENDIKMAD 2012

Gelman, A. 2006. Bayesian Analysis. Department of Statistics and Department of Political Science : Columbia University. Hair, J. F. 2010. Multivariate Data Analysis Seventh Edition. USA : Pearson Prentice Hall. Johnson, M. S. 2009. Introduction to Bayesian Statistics with WinBUGS. New York : Columbia University. Johnson, R. A. and Wichern, Dean W. 1982. Applied Multivariate Statistical Analysis. New Jersey : Prentice Hall. Mutiarani, V., Setiawan, A., & Parhusip, H. A. 2012. Penerapan Model Regresi Linier Bayesian Untuk Mengestimasi Parameter Dan Interval Kredibel. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNY tanggal 10 November 2012. Supranto. 2004. Analisis Multivariat: Arti dan Interpretasi. Jakarta : Rineka Cipta. 9

Suwarno, B. 2009. Rumus dan Data dalam Analisis Statistika. Bandung : Alfabeta. Widyaningsih, N. 2010. Statistika dan Probabilitas. Universitas Mercu Buana : Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan. Pustaka Internet Jennings, R., Wakeman-Linn, M., & Zhao, Xin. 2010. “Multivariate Normal Distribution” tersedia di http://www.colorado.edu/economi cs/morey/7818/jointdensity/Notes OnMultivariateNormal/Multivaria te%20Normal%20Distribution_W akeman-LinnJenningsZhao.pdf. Diakses tanggal 12 November 2012. Web 1 : http://en.wikipedia.org/wiki/ Bayesian_linear_regression Bayesian Linear Regression Diunduh pada 28 Agustus 2012 Web 2 : http://en.wikipedia.org/wiki/ Credible_interval Credible Interval Diunduh pada 5 September 2012 Wijayanto, A. 2003. “Analisis Regresi Linear Berganda” tersedia di http://eprints.undip.ac.id/ANALIS IS_REGRESI_LINEAR_BERGA NDA/, Diakses tanggal 21 November 2012.

SENDIKMAD 2012

10