Penaksiran parameter model ARIMA dengan menggunakan Algoritma Genetika
Wiwin yuliani 1306 100 070
Dosen Pembimbing I Dr. Irhamah, S.Si,M.Si Dosen Pembimbing II Dedy Dwi Prastyo, S.Si, M.Si Page 1
Pendahuluan Latar belakang Permasalahan Tujuan
Manfaat Batasan masalah Page 2
Tinjauan pustaka
ARIMA Box-Jenkins
Algoritma Genetika
Page 3
Metodologi penelitian Sumber data Metode analisis data
Algoritma Genetika
Page 4
Hasil analisis
Analisis dan pembahasan
Kesimpulan dan saran
Page 5
Latar belakang Time series
ARIMA
Algoritma Genetika dapat mengatasi kelemahan metode penaksiran perameter lain dalam mencari solusi yang global optimum.
Penaksiran parameter
Algoritma Genetika
Penelitian terdahulu Ong, Huang, dan Tzeng (2005) Rohman (2009) Qohar (2007)
Page 6
Permasalahan Bagaimana hasil penaksiran parameter dengan Conditional Least Square?
Bagaimana hasil penaksiran parameter dengan mengunakan Algoritma Genetika?
Bagaimana perbandingkan hasil penaksiran parameter kedua metode ?
Page 7
Tujuan Mendapatkan penaksir parameter dengan
Conditional Least Square.
Mendapatkan penaksir parameter dengan menggunakan Algoritma Genetika.
Mengetahui perbandingan hasil panaksiran parameter kedua metode.
Page 8
Manfaat Dapat menerapkan dan mengembangkan metode Algoritma Genetika untuk mendapatkan taksiran parameter model ARIMA.
Page 9
Batasan masalah Data dua mingguan dari permintaan Arc Tube daya listrik rendah yang pernah dipakai pada Rohman (2009).
Dalam iterasi Algoritma Genetika, fungsi fitness hanya dihitung berdasarkan nilai SSE saja.
Program Algoritma Genetika dapat digunakan untuk model ARIMA(p,d,q) orde satu saja
Page 10
Tinjauan pustaka Konsep Dasar Time Series
Time series adalah suatu pengamatan yang disusun secara berurutan dalam waktu (Box, Jenkins, dan Reinsel, 1994). Time series dapat dianggap sebagai realisasi dari proses stokastik. proses stokastik adalah suatu kelompok data berdasarkan waktu yang tersusun oleh variabel random dimana ω adalah ruang sampel dan t adalah indeks waktu. Fungsi distribusi dari variabel random adalah sebagai berikut. F z t1 ,z t 2 ,...,z t n
p ω:z ω,t 1
z t1 ,...,z ω,t n
z tn
Kestasioneran Data
Data time series dikatakan stasioner pada mean apabila data tersebut tidak ada perubahan mean dari waktu ke waktu dan data time series dikatakan stasioner pada varians apabila data tersebut tidak ada perubahan varians yang jelas dari waktu ke waktu (Makridakis dkk,1999). Apabila terjadi ketidakstasioneran pada varians maka dilakukan transformasi pada data. Apabila terjadi ketidakstasioneran pada mean maka dilakukan proses differencing (pembedaan) pada data.
Page 11
Tinjauan pustaka Fungsi Autokorelasi (ACF) n k
ˆk
ˆk
rk
cov(Z t , Z t
ˆ0
var(Z
t
k
) var(Z
(Z t
)
Z )(Z t
k
Z)
t 1 n
)
t k
(Z t
Z)
2
t 1
Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) k
ρˆ k
kj
ˆ k 1,k
ˆ
1
ρˆ k
1
j
j 1 1
k
1
ˆ ρˆ kj j
j 1
Dan
ˆ k 1, j
ˆ kj
ˆ k 1, k 1
ˆ k, k 1 j
j=1,2,...,k
Page 12
Tinjauan pustaka Model-Model Time Series Stasioner 1.
Model Autoregressive atau AR(p) Bentuk umum
2.
Zt
1
2
Zt
.
2
p
Zt
at
p
Zt
at
1
at
1
2
at
2
q
at
q
Model Autoregressive Moving Average atau ARMA(p,q) Bentuk umum
4.
1
Model Moving Average atau MA(q) Bentuk umum
3.
Zt
Zt
1
Zt
1
p
Zt
p
at
1
at
1
q
at
q
Model ARIMA (p,d,q) Bentuk umum
p
B 1
B
d
Zt
0
θ q B at
Page 13
Tinjauan pustaka Identifikasi Model ARIMA Model
ACF
PACF
AR(p)
turun cepat secara eksponensial / sinusoidal
terputus setelah lag p
MA(q)
terputus setelah lag q
turun cepat secara eksponensial / sinusoidal
AR(p) atau MA(q)
terputus setelah lag q
terputus setelah lag p
ARMA(p,q)
turun cepat setelah lag (q-p)
turun cepat setelah lag (p-q)
Page 14
Tinjauan pustaka Estimasi Parameter Model ARIMA 1. Metode Moment Menurut Wei (1990), metode momen adalah salah satu metode estimasi yang paling mudah, tetapi juga yang paling tidak efisien, untuk mendapatkan taksiran parameter pada model ARIMA. Dimisalkan model AR(p) dengan Z t Zt Bentuk umum dari model AR (p) adalah Z t
1
Z t
1
2
Z t
2
..
p
Z t
p
at
Dan mendapatkan penaksir moment dengan 2 a
ˆ0 1
ˆ ˆ 1 1
ˆ ˆ 2 2
...
2 a
ˆ p
ˆp
Page 15
Tinjauan pustaka 2. Metode Least Square / Conditional Least Square Dimisalkan model ARMA(p,q) dengan Z t Zt Bentuk umum dari model ARMA (p,q) adalah Z t
1
Z t
1
Z t
2
2
..
p
Z t
at
p
θ1 at
1
θ2 at
2
..
θq at
q
estimasi Conditional Least Square S( , , ) ~
~
ˆ a2
n t 1
2
a t ( , , , Z init , a init , Z )
S(
~
,
,
~
~
~
~
) / db
dengan zinit, ainit merupakan nilai inisialisasi awal dan db=n-(p+q-1). S ( , , ) merupakan suatu fungsi nonlinear dengan parameter yang tidak diketahui sehingga diperlukan suatu iterasi nonlinear untuk mendapatkan parameternya ~
~
Page 16
Tinjauan pustaka 3. Metode Maximum Likelihood
Menurut Cryer dan Chan (2008) untuk dapat menerapkan teknik estimasi maximum likelihood (kemungkinan maksimum), harus dibuat asumsi tentang bentuk fungsi probabilitas dari data yang teramati. Fungsi kepadatan probabilitas suatu error a t adalah 2
2 a
f (at |
)
(2
2 a
)
1/ 2
exp
at 2
2 a
2 taksiran maximum likelihood untuk ˆ a adalah
ˆ
2 a
S ˆ, ˆ n
Page 17
Algoritma genetika Sejak Algortima Genetika pertama kali dirintis oleh John Holland dari Universitas Michigan pada tahun 1960-an, Algortima Genetika telah diaplikasikan secara luas pada berbagai bidang. Algortima Genetika banyak digunakan untuk memecahkan masalah optimasi, walaupun pada kenyataannya juga memiliki kemampuan yang baik untuk masalah-masalah selain optimasi.
Page 18
Pengkodean kromosom Pengkodean kromosom adalah suatu teknik untuk menyatakan populasi awal sebagai kandidat solusi suatu masalah ke dalam suatu kromosom.
Page 19
Fungsi Fitness Fitness individu dalam algoritma genetika adalah nilai fungsi objektif untuk fenotipe. Untuk menghitung fitness, kromosom harus terlebih dahulu didekode dan fungsi tujuan harus dievaluasi
Page 20
Seleksi Roulette Wheel Untuk menentukan probabilitas seleksi atau probabilitas kelangsungan hidup pada setiap kromosom proporsional dengan nilai fitnessnya
Page 21
Crossover Beroperasi pada dua kromosom pada suatu waktu dan membentuk offspring dengan mengkombinasikan dua bentuk kromosom.
Page 22
Mutasi untuk mengembalikan informasi yang hilang
Page 23
Elitism Untuk menjaga agar individu bernilai fitness tertinggi tersebut tidak hilang selama evolusi, maka perlu dibuat satu atau beberapa kopinya.
Page 24
Metodologi penelitian
DATA
• data simulasi dan data dua mingguan dari permintaan Arc Tube daya listrik rendah yang pernah digunakan oleh Rohman (2009)
Page 25
Metodologi penelitian
METODE
• Menaksir parameter dengan metode Conditional Least square • Menaksir parameter dengan metode Algoritma Genetika
ANALYSIS
• Membandingkan hasil penaksiran parameter kedua metode
Page 26
Letak penelitian Identifikasi model
Identifikasi model
ARIMA nonmusiman
ARIMA musiman
Algoritma Genetika
Algoritma Genetika
Correlogram
Correlogram
Pemodelan ARIMA Box-Jenkins dengan Algoritma Genetika
Algoritma Genetika Algoritma Genetika
Correlogram Conditional Least Square Identifikasi model
ARIMA campuran
Penaksiran parameter model ARIMA
Page 27
Mulai
Data
Diagram alur penelitian
Mengidentifikasi model ARIMA
Menaksir parameter dengan metode Conditional Least Square dan Algoritma Genetika
Membandingkan hasil dari kedua metode
Parameter terbaik dengan kriteria minimun SSE
Selesai
Page 28
Mulai Set Input : Npop, Pc, Pm Inisialisasi Populasi Generasi = 0 Decoding dari bilangan biner menjadi bilangan real
Diagram alur Algoritma Genetika
Evaluasi kromosom berdasarkan
fitness
Seleksi dengan Roulette Wheel
Crossover dengan one-point
Mutasi
Generasi = generasi + 1
Seleksi individu baru dan Elitism
SSE konvergen?
tidak
ya Solusi optimal Selesai
Page 29
Analisis dan Pembahasan 1. Identifikasi model ARIMA dengan Correlogram
A uto c o r r e la tio n F unc tio n fo r da ta
T ime S e r ie s P lot o f da ta
(w ith 5% s ignifica nce lim its fo r the a uto co r r e la tio ns ) 1.0
20 00 00
0.8 0.6 A ut o c o r r e la t io n
da ta
15 00 00
10 00 00
5 00 00
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0
0 1
14
28
42
56
70
84
98
112
1 26
14 0
Ind e x
Gambar 1 Plot time series data permintaan Arc Tube daya listrik rendah
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1 00
1 10
1 20
130
14 0
La g
Gambar 2 Plot ACF data data permintaan Arc Tube daya listrik rendah
Page 30
Analisis dan Pembahasan B o x -C o x P lot o f da ta L o w er C L
T ime S e r ie s P lo t o f diff
U p p er C L L am b d a
16 00 00 14 00 00 12 00 00
E stim ate
0.80
L o w er C L
0.57
U p p er C L
1.06
Ro u n d ed V alu e
1.00
10 00 00
5 00 00
d iff
S t De v
10 00 00
(u sin g 95.0% c o n fid en c e)
8 00 00
0
-5 00 00
6 00 00 -10 00 00 4 00 00 Lim it
2 00 00 -2
-1
0
1
2
3
4
5
La mb d a
Gambar 3 Box-Cox plot data permintaan Arc Tube daya listrik rendah
-15 00 00 1
14
28
42
56
70
84
98
112
12 6
14 0
Ind e x
Gambar 4 Plot time series data yang sudah stasioner
Page 31
A uto c or r e la tio n F unc tio n fo r diff
P a r tia l A uto c o r r e la tio n F unc tio n fo r diff
(w ith 5% s ignifica nce lim its fo r the a uto co r r e la tio ns )
(w ith 5 % s ignifica nce lim its fo r the pa r tia l a uto co r r e la tio ns )
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
Pa r t ia l A ut o c o r r e la t io n
A ut o c o r r e la t io n
Analisis dan Pembahasan 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6
-0.8
-0.8
-1.0
-1.0 1
5
10
15
20
25
30
La g
Gambar 5 Plot ACF data yang sudah stasioner
35
1
5
10
15
20
25
30
35
La g
Gambar 6 Plot PACF data yang sudah stasioner
dugaan model sementara adalah ARIMA (1,1,0), ARIMA (0,1,1), ARIMA (1,1,1), ARIMA (2,1,0), ARIMA (0,1,2) dan ARIMA (2,1,2).
Page 32
Analisis dan Pembahasan 2. Identifikasi model ARIMA dengan MINIC Lags
MA 0
MA 1
MA 2
MA 3
MA 4
MA 5
AR 0
21.17851
20.92304
20.92788
20.93609
20.95433
20.95797
AR 1
20.84401
20.86949
20.8739
20.90799
20.94256
20.97193
AR 2
20.87204
20.90327
20.90879
20.94225
20.97707
21.0019
AR 3
20.87518
20.90972
20.94258
20.97724
21.00704
21.03705
AR 4
20.90894
20.94382
20.96678
21.00049
21.03532
21.05248
AR 5
20.94095
20.97366
20.99648
21.02786
21.05646
21.082
Berdasarkan Tabel diatas diperoleh nilai BIC terkecil pada BIC(1,0) sehingga dugaan model sementara yang terbaik berdasarkan MINIC adalah ARIMA(1,1,0). Model ARIMA(1,1,0) juga merupakan salah satu dugaan model sementara hasil identifikasi dengan Correlogram
Page 33
Analisis dan Pembahasan 3. Simulasi model AR(1), MA(1), ARMA(1,1)
sampel
parameter
simulasi
100
AR(1)
100
200
sampel
parameter
simulasi
rata rata
fitarima.m
minitab
0.8
0.7715
0.7895
MSE
1
1.0966
1.0699
phi
0.7
0.6832
0.7254
MA(1)
0.6
0.5927
0.5728
theta
0.4
0.3741
0.4101
MSE
1
1.0673
1.0745
MSE
1
1.0301
1.0456
AR(1)
0.8
0.8058
0.8082
MSE
1
1.0235
1.0244
MA(1)
0.6
0.5929
0.5901
MSE
1
1.0387
1.0406
100
200
rata rata
ARMA (1,1)
200
400
fitarima.m
minitab
ARMA (1,1)
phi
0.7
0.7362
0.7941
theta
0.4
0.4136
0.4746
MSE
1
0.9021
0.9192
AR(1)
0.8
0.7657
0.784
MSE
1
0.9182
0.9292
phi
0.7
0.689
0.7087
MA(1)
0.6
0.5948
0.5954
theta
0.4
0.3861
0.4043
MSE
1
0.9175
0.919
MSE
1
1.0394
1.0462
400
ARMA (1,1)
400
Page 34
Analisis dan Pembahasan 4. Penaksiran Parameter model ARIMA dengan Conditional Least Square
Model
Parameter
Koefisien
MSE
SSE
ARIMA (1,1,0)
AR(1)
-0.5505
1156000000
161840000000
Dari Tabel diatas dapat dilihat bahwa nilai parameter AR(1) sebesar -0.5505, nilai MSE sebesar 1156000000
dan nilai SSE sebesar 161840000000
Page 35
Analisis dan Pembahasan 4.1 Pengujian Signifikansi Parameter H0 : = 0 (parameter model tidak signifikan) H1 : ≠ 0 (parameter model signifikan) t0.005;141 = 2,576 model
parameter
koefisien
SE koefisien
t-hitung
ARIMA (1,1,0)
AR 1
-0.5505
0.084517529
-6.513441712
Dari
Tabel
diatas
dapat
dikatakan
bahwa
taksiran parameter signifikan karena nilai
|t-hitung| > t0.005;141
Page 36
Analisis dan Pembahasan 4.2 Pengujian Asumsi Residual H0 : Residual white noise
H1 : Residual tidak white noise Tolak H0 jika nilai p-value < α model
Ljung - Box
lag ARIMA (1,1,0)
12
24
keterangan
36
48
λ2
90.353
139.713
159.426
166.055
DF
11
23
35
47
P_Value
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
whitenoise
Tabel diatas menunjukkan bahwa model white-noise
karena nilai p_value > α dengan α sebesar 1%.
Page 37
Analisis dan Pembahasan H0 : Residual berdistribusi Normal H1 : Residual berdistribusi tidak Normal P r o ba bility P lo t o f r e s idua l No r m a l 99.9
99
M ean
- 87.00
S tD ev
33999
N
95
141
KS
0.073
P - V alu e
0.063
90
Pe r c e nt
80 70 60 50 40 30 20 10 5 1
0.1
-1 00 00 0
-50 00 0
0
500 00
1 00 00 0
C1 4
Dari gambar diatas menunjukkan bahwa plot residual mendekati garis lurus dengan p_value > α dengan α sebesar 1% yaitu sebesar 0.063 sehingga residual berdistribusi normal.
Page 38
Analisis dan Pembahasan Model ARIMA(1,1,0) menjadi model terbaik untuk data permintaan Arc Tube daya listrik rendah. Modelnya adalah sebagai berikut
(1 - B)z t zt
zt
1
1
z t -1
at
- 0 . 5505 z t - 1
at
Model tersebut menjelaskan bahwa permintaan Arc Tube daya listrik rendah untuk daya listrik ke-t dipengaruhi oleh permintaan Arc Tube pada waktu t-1 dikurangi 0.5505 kali permintaan Arc Tube pada waktu t-1 ditambah kesalahan pada saat ke-t.
Page 39
Analisis dan Pembahasan 5. Algoritma Genetika 5.1 Simulasi model AR(1), MA(1), ARMA(1,1) untuk Algoritma Genetika sampel
100 100
rata-rata
parameter
simulasi
AR(1)
0.8
0.8168
MSE
1
1.119952
MA(1)
0.6
0.6311
MSE
1
1.072292
Algoritma Genetika
ARMA (1,1) 100
200 200
phi
0.7
0.7549
theta
0.4
0.4455
MSE
1
0.923886
AR(1)
0.8
0.8291
MSE
1
0.941478
MA(1)
0.6
0.6188
MSE
1
0.934108
sampel
parameter
simulasi
rata-rata Algoritma Genetika
ARMA (1,1) 200
400 400
phi
0.7
0.717752
theta
0.4
0.396
MSE
1
1.083684
AR(1)
0.8
0.8168
MSE
1
1.02749
MA(1)
0.6
0.6188
MSE
1
1.04455
ARMA (1,1) 400
phi
0.7
0.717752
theta
0.4
0.4455
MSE
1
1.066268
Page 40
Analisis dan Pembahasan 5.2 kromosom Kromosom jenis 1>>bilangan biner kromosom jenis 2>>bilangan real Contohnya : model ARMA(2,1) direpresentasikan dengan (1 1 0 0 1 0 1 1 0 0) (0 1 0 0 1) atau 1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
sebagai kromosom jenis satu, kemudian dikonversikan kedalam bilangan real sehingga kromosom berubah menjadi 0.5569
-0.2475
-0.4331
Sebagai kromosom jenis dua.
Page 41
Analisis dan Pembahasan 5.3 penaksiran parameter model ARIMA dengan Algoritma Genetika kromosom
generasi
MSE
db
SSE
parameter
10
4
1156000000
140
161840000000
phi
-0.55688
20
4
1156000000
140
161840000000
phi
-0.55688
40
4
1156000000
140
161840000000
phi
-0.55688
100
4
1156000000
140
161840000000
phi
-0.55688
Dari Tabel dapat dilihat bahwa nilai MSE, SSE dan parameter untuk semua jumlah kromosom mempunyai nilai yang sama. Nilai MSE tersebut merupakan nilai MSE terbaik dengan nilai sebesar 1156000000, nilai SSE sebesar 161840000000 serta nilai parameter sebesar -0.55688.
Page 42
Analisis dan Pembahasan 5.3.1 Pengujian Signifikansi Parameter H0 : = 0 (parameter model tidak signifikan) H1 : ≠ 0 (parameter model signifikan) t0.005;141 = 2,576 model
parameter
koefisien
SE koefisien
t-hitung
keterangan
ARIMA (1,1,0)
AR 1
-0.55688
0.084514711
-6.5891487
signifikan
Dari
Tabel
diatas
dapat
dikatakan
bahwa
taksiran parameter signifikan karena nilai
|t-hitung| > t0.005;141
Page 43
Analisis dan Pembahasan 5.3.2 Pengujian Asumsi Residual H0 : Residual white noise
H1 : Residual tidak white noise Tolak H0 jika nilai p-value < α model
ARIMA (1,1,0)
Ljung - Box
keterangan
lag
12
24
36
48
λ2
90.8313
139.563
159.152
166.253
DF
11
23
35
47
P_Value
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
white-noise
Tabel diatas menunjukkan bahwa model white-noise
karena nilai p_value > α dengan α sebesar 1%.
Page 44
Analisis dan Pembahasan H0 : Residual berdistribusi Normal H1 : Residual berdistribusi tidak Normal P r o ba bility P lo t o f r e s idua l No r m a l 99.9
99
M ean
- 87.99
S tD ev
34000
N
95
141
KS
0.076
P - V alu e
0.048
90
Pe r c e nt
80 70 60 50 40 30 20 10 5 1
0.1
-1 00 00 0
-50 00 0
0
500 00
1 00 00 0
C1 2
Dari gambar diatas menunjukkan bahwa plot residual mendekati garis lurus dengan p_value > α dengan α sebesar 1% yaitu sebesar 0.048 sehingga residual berdistribusi tidak normal.
Page 45
Analisis dan Pembahasan Model ARIMA(1,1,0) menjadi model terbaik untuk data permintaan Arc Tube daya listrik rendah. Modelnya adalah sebagai berikut
(1 - B)z t zt
zt
1
1
z t -1
at
- 0 . 55688 z t - 1
at
Model tersebut menjelaskan bahwa permintaan Arc Tube daya listrik rendah untuk daya listrik ke-t dipengaruhi oleh permintaan Arc Tube pada waktu t-1 dikurangi 0.55688 kali permintaan Arc Tube pada waktu t-1 ditambah kesalahan pada saat ke-t.
Page 46
Kesimpulan dan Saran kesimpulan 1. Hasil penaksiran parameter model ARIMA dengan mengunakan Conditional Least Square adalah : zt
zt
1
- 0 . 5505 z t - 1
at
Model tersebut menjelaskan bahwa permintaan Arc Tube daya listrik rendah untuk daya listrik ke-t dipengaruhi oleh permintaan Arc Tube pada waktu t-1 dikurangi 0.5505 kali permintaan Arc Tube pada waktu t-1 ditambah kesalahan pada saat ke-t. Dengan MSE sebesar 1156000000 dan SSE sebesar 161840000000. 2. Hasil penaksiran parameter model ARIMA dengan mengunakan Algoritma Genetika adalah : zt
zt
1
- 0 . 55688 z t - 1
at
Model tersebut menjelaskan bahwa permintaan Arc Tube daya listrik rendah untuk daya listrik ke-t dipengaruhi oleh permintaan Arc Tube pada waktu t-1 dikurangi 0.55688 kali permintaan Arc Tube pada waktu t-1 ditambah kesalahan pada saat ke-t. Dengan MSE sebesar 1156000000 dan SSE sebesar 161840000000. 3. Dari hasil kedua metode penaksiran parameter model ARIMA tersebut dihasilkan nilai MSE dan SSE yang besarnya sama
Page 47
Kesimpulan dan Saran saran 1. Pada penelitian ini penaksiran parameter model ARIMA dengan Algoritma Genetika hanya berdasarkan kriteria SSE saja. Untuk selanjutnya diharapkan bisa dikembangkan berdasarkan kriteria signifikansi parameter, dan asumsi white noise dan asumsi distribusi Normal. 2. Pada penelitian ini hanya digunakan data ARIMA non musiman. Untuk selanjutnya diharapkan bisa dikembangkan untuk model ARIMA yang musiman.
Page 48
Daftar pustaka Box, G.E.P., dan Jenkins, G.M., 1976. Time Series Analysis Forecasting and Control, edisi revisi. California : Holden-Day Box, G.E.P., Jenkins, G.M., dan Reissel, G.C., 1994. Time Series Analysis Forecasting and Control, edisi ketiga. Englewood Cliffs : Prentice Hall. Budiman, A., 2003. Optimisasi Daya Reaktif Menggunakan Algoritma Genetik PseudoParalel. Jurnal teknik elektro dan komputer emitor Vol. 3, No. 1, Maret 2003 Ciptayani, P. I., Mahmudy, W. F., dan Widodo, A. W., 2009. Menerapkan
Algoritma
Genetika untuk kompresi citra fraktal. Cryer, J.D., dan Chan, K.S, 2008. Time Series Analysis With Applications in R.edisi kedua. New York : Springer. Fariza, A., 2003. Hybrid Algoritma Genetika Simulated Annealing untuk Peramalan Data time Series. Tugas akhir yang dipublikasikan. Gen, M., dan Cheng, R., 2000. Genetic Algorithms and Engineering Optimization.
Canada : John Wiley & Son Inc. Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E., 1999. Jilid 1 Edisi Kedua, Terjemahan Ir. Hari Suminto. Metode dan Aplikasi Peramalan. Jakarta : Bina Rupa Aksara.
Page 49
Daftar pustaka Michalewicz, Z., 1996. Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs. Verlag, Heidelberg : Springer. Mitchell, M., 1999. An Introduction to Genetic Algorithms. London : Cambridge. Ong, C.S., Huang, J.J., dan Tzeng G.H., 2005. Model identification of ARIMA family using genetic algorithms. Journal Applied Mathematics and Computation, 164, 885-912 Rohman, M.N., 2009. Identifikasi Model Arima Box-Jenkins Mengunakan Algoritma Genetika. Tugas Akhir S1 Statistika ITS Surabaya (tidak dipublikasikan). Sanjoyo. 2006. Aplikasi Algoritma Genetika. Sivanandam, S.N.,dan Deepa, S.N., 2008. Introduction to Genetic Algorithms. Berlin Heidelberg New York : Springer. Suyanto. 2005. Algoritma Ganetika dalam MATLAB. Yogyakarta : ANDI offset. Wei, W.W.S., 1990. Time Series Univariate and Multivariate Methods. Canada: Addison Wesley Publishing Company, Inc. Yaffee, M., dan McGee, M., 1999. Introduction to Time Series Analysis and Forecasting with Applications of SAS and SPSS. New York : Academic Press, inc.
Page 50
Page 51
