Penaksiran Parameter Model Regresi Polinomial Berkson Menggunakan Metode Minimum Distance

Penaksiran Parameter Model Regresi Polinomial Berkson Menggunakan Metode Minimum Distance Dian Kurniawati Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424 [email protected]

Abstrak

Berkson Measurement Error Model merupakan model regresi dimana nilai dari variabel prediktor yang terobservasi telah ditentukan sebelumnya dan mengandung error pengukuran atau error observasi. Pada model regresi nonlinier dengan kasus Berkson Measurement Error, fungsi regresi tidak hanya nonlinier dalam parameter tetapi fungsi regresinya dapat nonlinier dalam variabel prediktor seperti pada model regresi polinomial Berkson. Penaksiran parameter model regresi polinomial Berkson dapat dilakukan dengan beberapa metode diantaranya dengan metode OLS dan metode Minimum Distance. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode Minimum Distance berdasarkan momen pertama dan kedua dari variabel respon diberikan variabel prediktor terobservasi. Penaksir parameter model diperoleh dengan mensubstitusikan taksiran dari parameter-parameter baru yang muncul pada momen pertama dan kedua dari variabel respon diberikan nilai variabel prediktor terobservasi. Kata Kunci : Berkson Measurement Error, regresi polinomial Berkson, Minimum Distance, momen pertama dan kedua

Abstract

Berkson Measurement Error model is a regression model where the value of the observed predictor variable was determined and contained errors of measurement or error of observation. In the nonlinier regression model with Berkson case, the regression function not only nonlinear in parameters but it can be nonlinear in predictor variables such as Berkson polynomial regression model. The Parameter estimation of Berkson polynomial regression model can be estimated with several methods such as by OLS method and Minimum Distance methods. The method used in this journal is the Minimum Distance based on the first two conditional moment of the response variable given the value of observed predictor variable. Parameter estimators of model were obtained by substituting the value of new parameter estimators that appear on the first two conditional moment of the response variable given the value of observed predictor variable. Keywords : Berkson Measurement Error, Berkson polynomial regression model, minimum distance, first two conditional moment

1.

PENDAHULUAN

Pada model regresi linier maupun nonlinier yang dipelajari pada umumnya, diasumsikan bahwa nilai variabel prediktornya merupakan nilai yang sesungguhnya yang diperoleh dari hasil pengukuran atau observasi. Namun, adakalanya nilai yang sesungguhnya tersebut tidak diketahui atau tidak dapat diukur secara tepat sehingga hasil pengukuran yang terbaca mengandung error pengukuran atau error observasi. Variabel prediktor yang tak dapat diukur nilainya secara tepat ini disebut variabel prediktor tak terobservasi, sedangkan variabel yang

diperoleh dari hasil pembacaan pengukurannya disebut variabel prediktor terobservasi. Dalam analisis regresi, kasus ini dikenal dengan Measurement Error Model atau Error in Variable Model. Salah satu tipe Measurement Error Model adalah Berkson Measurement Error Model yang dapat dipelajari pada [1], [2], [3]. Pada model ini diasumsikan bahwa error observasi independen dengan variabel prediktor terobservasi, sedangkan antara error observasi dan variabel prediktor tak terobservasi saling dependen. Dalam hal ini nilai variabel prediktor terobservasi

Kekonsistenan penaksir..., Dian Kurniawati, FE UI, 2013

Diasumsikan fix sedangkan nilai variabel prediktor tak terobservasi bervariasi secara random diantara nilai variabel prediktor terobservasi tersebut. Pada definisi model regresi nonlinier dengan kasus Berkson Measurement Error Model, fungsi regresinya tidak hanya nonlinier dalam parameter seperti dalam teori model regresi umumnya [6], tetapi fungsi regresinya dapat merupakan fungsi nonlinier dalam variabel prediktor seperti model regresi polinomial Berkson yang dipelajari dalam [5],[7]. Penaksiran parameter model regresi polinomial Berkson dapat dilakukan dengan beberapa metode diantaranya dengan metode Ordinary Least Square yang dipelajari dalam [5] atau dengan metode Minimum Distance berdasarkan momen pertama dan kedua dari variabel respon diberikan variabel prediktor terobservasi yang diperkenalkan dalam [7]. Penelitian ini akan membahas proses penaksiran parameter model regresi polinomial Berkson menggunakan metode Minimum Distance berdasarkan momen pertama dan kedua dari variabel respon diberikan variabel prediktor terobservasi.Variabel prediktor yang akan digunakan yaitu variabel prediktor univariat dan distribusi dari Measurement Error adalah normal dengan mean nol dan variansi konstan.

2.

METODE PENELITIAN

Metode penelititan yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur tentang Nonlinear Regression Measurement Error Model khususnya pada teori Berkson Measurement Error Model dan studi literatur tentang ekspektasi matematika khususnya pada teori ekspektasi matematika bersyarat. Literatur yang dipelajari akan digunakan untuk mengembangkan penelitian tentang penaksiran parameter model regresi polinomial Berkson.

3.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Secara umum model regresi polinomial Berkson dapat dimodelkan sebagai berikut : 𝑝

𝑦𝑖 = 𝜃0 + 𝜃1 𝑥𝑖 + 𝜃2 𝑥𝑖2 + . . . + 𝜃𝑝 𝑥𝑖 + 𝜀𝑖 (1) 𝑥𝑖 = 𝑧𝑖 − 𝛿𝑖 ; i = 1,2,…n.

(2)

dimana: 𝑦𝑖 = variabel respon, 𝑥𝑖𝑘 = variabel prediktor yang tak terobservasi, k = 1,2, . . .p 𝜃𝑚 parameter model yang tidak diketahui,𝜃𝑚 ≠ 0 m = 0,1, . . .p 𝜀𝑖 = error model 𝑧𝑖 = variabel prediktor yang terobservasi 𝛿𝑖 = error observasi (Measurement Error)

dengan asumsi bahwa : 1. 𝑦𝑖 𝜖 𝑅 , 𝑥𝑖 𝜖 𝑅 , 𝑧𝑖 𝜖 𝑅 , i = 1,2,…n dimana nilai-nilai 𝑧𝑖 dikotrol dan merupakan variabel yang fix dalam beberapa pengulangan pengambilan sampel sedangkan nilai 𝑥𝑖 berkisar seara random diantara 𝑧𝑖 2. 𝜽 𝜖  𝑅𝑃+1 dimana 𝜽 = 𝜃0 , 𝜃1 , 𝜃2 , . . . , 𝜃𝑝 adalah vektor yang entri-entrinya adalah parameter 𝜃𝑚 , 𝑚 = 0,1,2, … 𝑝 dan  adalah ruang paremeter dari nilai-nilai 𝜽 yang mungkin. 3. Error model, 𝜀𝑖 ~ 𝑁𝑖𝑖𝑑 (0, 𝜎𝜀2 ) , 𝜎𝜀2 ∈ 𝜀  𝑅 dimana 𝜀 adalah ruang paremeter dari nilainilai variansi error model 𝜎𝜀2 yang mungkin. 4. Error observasi, 𝛿𝑖 ~ 𝑁𝑖𝑖𝑑 0, 𝜎𝛿2 , 𝜎𝛿2 ∈ 𝛿  𝑅 dimana δ adalah ruang paremeter dari nilainilai variansi error observasi 𝜎𝛿2 yang mungkin. 5. Antara 𝜀𝑖 , 𝛿𝑗 dan 𝑧𝑙 mutually independen untuk semua i, j dan 𝑙 dimana i = 1,2,…n , j = 1,2,…n dan 𝑙= 1,2,…n Berdasarkan persamaan (1), model regresi polinomial Berkson mengandung parameterparameter yang tidak diketahui nilainya. Parameterparameter tersebut yaitu : koefisien regresi 𝜃𝑚 , 𝑚 = 0,1,2, … , 𝑝; variansi error model 𝜎𝜀2 dan variansi Measurement Error 𝜎𝛿2 . Dalam penelitian ini, metode Minimum Distance akan digunakan untuk menaksir parameter-parameter tersebut. Misalkan 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 menyatakan data sampel untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Maka berdasarkan persamaan (1), penaksir parameter model regresi polinomial Berkson menggunakan metode Minimum Distance diperoleh dengan meminimumkan fungsi objektif : 𝑄𝑛 (𝜸)=

𝑛 𝑖=1 [(𝑦𝑖

− 𝑚1 𝑧𝑖 ; 𝜸 )2 + (𝑦𝑖2 − 𝑚2 𝑧𝑖 ; 𝜸 )2 ]

dimana: 𝑚1 𝑧𝑖 ; 𝜸

= model untuk 𝐸[𝑦|𝑧𝑖 ] (momen pertama dari variabel respon 𝑦 diberikan variabel prediktor terobservasi 𝑧 = 𝑧𝑖 ) 𝑚2 𝑧𝑖 ; 𝜸 = model untuk 𝐸[𝑦 2 |𝑧𝑖 ] (momen kedua dari variabel respon 𝑦 diberikan variabel prediktor terobservasi 𝑧 = 𝑧𝑖 ) 𝜸 = vektor dari parameter-parameter dalam model (1) yang nilainya tidak diketahui. dimana 𝜸 = (𝜽t , 𝜎𝜀2 , 𝜎𝛿2 )𝒕 dan 𝜸 ∈ RP+3 . Himpunan  merupakan ruang parameter yang memuat nilainilai 𝜸 yang mungkin. Berdasarkan persamaan model (1) beserta asumsi pada model tersebut akan ditentukan momen pertama dan kedua dari variabel respon 𝑦𝑖 diberikan variabel prediktor terobservasi 𝑧𝑖 sebagai berikut : Dalam teorema binomial diketahui bahwa 𝑎−𝑏

𝑟

𝑟

= 𝑖=0

Kekonsistenan penaksir..., Dian Kurniawati, FE UI, 2013

(−1)i

𝑟 𝑖

𝑎𝑟−𝑖 𝑏 i

(3)

berdasarkan teorema tersebut dan berdasarkan bentuk momen ke-k dari Measurement Error 𝛿𝑖 yang dijelaskan dalam [4] :

𝐸 𝛿𝑘

0 , 𝑘 = 𝜎 𝑘! , 𝑘 2𝑘/2 !

𝑝+1

𝐸 𝛿𝑖

𝑘 bilangan genap

2

𝜃0∗

=

𝜃1∗

=

0 0

2 2 −1 𝑝 𝑝𝑝 1 𝜃 + 32 0 1 𝑝−1

𝜃0 +

−1

𝜃2∗

=

2 0

−1 ⋮ =

𝜃𝑝∗

𝑝 0

4 2 𝑝−2

𝜃2 +

𝜃2 𝜎𝛿2 + 𝜃𝑝 𝐸

5 4

𝜃5

𝜎 4 4! 22 2 ! 𝜎 4 4!

𝜃𝑝 𝐸

22 2 ! 𝛿𝑖𝑃−1

6 4

𝜎 4 4! 6 22 2 !

𝜃4 𝜎𝛿2 + 𝑝 𝑝−2

𝜃4

𝜃𝑝 𝐸

𝜃

𝜃𝑝

(5)

Selanjutnya akan ditentukan momen kedua dari variabel respon 𝑦𝑖 diberikan variabel prediktor terobservasi 𝑧𝑖 sebagai berikut : 𝑝

𝐸 𝑦𝑖2 |𝑧𝑖

= 𝐸 (𝜃0 + 𝜃1 𝑥𝑖 + 𝜃2 𝑥𝑖2 + . . . + 𝜃𝑝 𝑥𝑖 +

𝜀)2|𝑧𝑖

𝜃𝑝2 𝐸[𝛿 2𝑝−2 ]

(7)

𝑚1 (𝑧𝑖 ; 𝛾) = 𝑝 𝜃0∗ + 𝜃1∗ 𝑧𝑖 + 𝜃2∗ 𝑧𝑖2 + . . . + 𝜃𝑝∗ 𝑧𝑖 (8)𝑚2 𝑧𝑖 ; 𝛾 = # 2𝑝 𝜃0# + 𝜃1# 𝑧𝑖 + 𝜃2# 𝑧𝑖2 + . . . + 𝜃2𝑝 𝑧𝑖 (9)

+ ⋯+

+ ⋯+

+...+

Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh model untuk momen pertama dan kedua dari variabel respon 𝑦𝑖 diberikan variabel prediktor terobservasi 𝑧𝑖 :

+ ⋯+

𝛿𝑖𝑃−2

𝐸 𝛿𝑖

⋮ ⋮ = 𝜃𝑝2

# 𝜃2𝑝

𝛿𝑖𝑃

𝜃3 𝜎𝛿2 + 𝑝 𝑝−1

4 4

𝑝+2

𝑝+1 𝑝−1

.

2𝑝 2𝑝−2

2𝑝−2

−1

𝑝

dimana

𝑝+2

2𝜃2 𝜃𝑝 −1

maka momen pertama dari variabel respon 𝑦𝑖 diberikan variabel prediktor terobservasi 𝑧𝑖 adalah : 𝐸 𝑦𝑖 |𝑧𝑖 =𝐸 𝜃0 + 𝜃1 𝑥𝑖 + 𝜃2 𝑥𝑖2 + . . . + 𝜃𝑝 𝑥𝑖 + 𝜀 |𝑧𝑖 =𝐸 𝜃0 + 𝜃1 (𝑧𝑖 − 𝛿𝑖 + 𝜃2 (𝑧𝑖 − 𝛿𝑖 )2 + . . . . + 𝜃𝑝 (𝑧𝑖 − 𝛿𝑖 )𝑝 + 𝜀 |𝑧𝑖 𝑝 = 𝜃0∗ + 𝜃1∗ 𝑧𝑖 + 𝜃2∗ 𝑧𝑖2 + . . . + 𝜃𝑝∗ 𝑧𝑖 (4)

2𝑝 − 1 2𝑝−2 𝐸 𝛿𝑖 2𝑝 − 2

2𝑝−2

𝑝−2 𝑝 𝐸 𝛿𝑖 + = 2𝜃0 𝜃2 20 + ⋯ + 𝜃0 𝜃𝑝 −1 𝑝−2 𝑝−2 4 2 𝜎 2 + ⋯ + 2𝜃1 𝜃𝑝 −1 𝑝+1 . + 2𝜃1 𝜃3 𝜃12 2 𝛿 0 𝑝−1 𝑝+1 𝐸 𝛿𝑖 + 𝜃22 𝜎𝛿2 + ⋯ + 𝑝−1

𝜃2#

𝑘 bilangan ganjil

+ ⋯ + 2𝜃𝑝 −1 𝜃𝑝 −1

Langkah selanjutnya adalah mencari penaksir # dari 𝜃0∗ , 𝜃1∗ , 𝜃2∗ , . . . 𝜃𝑝∗ , 𝜃0# 𝜃1# , 𝜃2# , . . . 𝜃2𝑝 pada persamaan (8) dan (9) menggunakan metode Minimum Distance. Penaksir dari parameterparameter dalam kedua persamaan tersebut diperoleh dengan mencari solusi dari : (𝑦𝑖 − 𝑚1 𝑧𝑖 ; 𝛾 )2 + (𝑦𝑖2 − 𝑚2 𝑧𝑖 ; 𝛾 )2

𝑛 𝑖=1

Min𝑄𝑛 𝛾 =Min

Fungsi 𝑄𝑛 (𝛾) diatas harus diminimumkan terhadap # 𝜃0∗ , 𝜃1∗ , 𝜃2∗ , . . . 𝜃𝑝∗ , 𝜃0# 𝜃1# , 𝜃2# , . . . 𝜃2𝑝 sedemikian sehingga memenuhi persamaan-persamaan berikut :

𝑝

=𝐸[𝜃02 + 2𝜃0 𝜃1 𝑥𝑖 + 2𝜃0 𝜃2 𝑥𝑖2 + ⋯ + 𝜃0 𝜃𝑝 𝑥𝑖 + 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑝+1 3 2 2 𝑝 2 ∗ ∗ ∗ ∗ 2𝜃0 𝜀 + 𝜃1 𝑥𝑖 + 2𝜃1 𝜃2 𝑥𝑖 + ⋯ + 2𝜃1 𝜃𝑝 𝑥𝑖 + 𝑦𝑖 𝑛𝜃0 + 𝜃1 𝑧𝑖 + 𝜃2 𝑧𝑖 + . . . + 𝜃𝑝 𝑧𝑖 = 𝑝+2 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 2𝜃1 𝑥𝑖 𝜀 + 𝜃22 𝑥𝑖4 + ⋯ + 2𝜃2 𝜃𝑝 𝑥𝑖 + 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 2𝑝 𝑝 2𝜃2 𝑥𝑖2 𝜀 +. . . +𝜃𝑝2 𝑥𝑖 + 2𝜃𝑝 𝑥𝑖 𝜀 + 𝜀 2 |𝑧𝑖 ] 𝜃0∗ 𝑧𝑖 + 𝜃1∗ 𝑧𝑖2 + 𝜃2∗ 𝑧𝑖3 + . . . + 𝜃𝑝∗ 𝑧𝑖𝑝+1 = 𝑦𝑖 𝑧𝑖 # 2𝑝 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 = 𝜃0# + 𝜃1# 𝑧𝑖 + 𝜃2# 𝑧𝑖2 + . . . + 𝜃2𝑝 𝑧𝑖 (6) ⋮ 𝑛

dimana 𝜃0# = 𝜃02 𝑝 𝑝

0 0

+ 2𝜃0 𝜃2 22 𝑝 𝐸 𝛿𝑖 +𝜃12 22

𝜎𝛿2 +2𝜃1 𝜃3

4!𝜎 4

4 4 22 2 !

+ ⋯+

𝑝+1

2𝜃2 𝜃4

𝑖=1

𝑛𝜃0#

𝑝−1 1 𝑝 +…+2𝜃0 𝜃𝑝 −1 𝑝−1 𝑝−1 𝐸[𝛿𝑖 ]+ 0 𝑝 2𝜃1 𝜃2 32 𝜎𝛿2 +…+2𝜃1 𝜃𝑝 −1 𝑝 𝑝+1 𝐸 𝛿𝑖 𝑝 4!𝜎 4 2𝜃2 𝜃3 54 2 +…+2𝜃2 𝜃𝑝 −1 𝑝+1 𝑝+2 𝑝+1 2 2!

𝑧𝑖

𝑛

+

𝑛

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑛 2𝑝 𝑧𝑖

𝜃0#

+

𝑛 2𝑝+1 𝑧𝑖

𝜃1# 𝑖=1

+

𝑖=1

𝑛

𝑧𝑖

⋮ 𝑧𝑖

𝑖=1 𝑛

𝑛 4𝑝

# + . . . +𝜃2𝑝

𝑖=1

𝑦𝑖2 𝑧𝑖

=

𝑖=1

2𝑝+2

𝜃2#

𝑛

2𝑝+1

# 𝑧𝑖3 + . . . + 𝜃2𝑝

𝑦𝑖2

=

𝑖=1

𝑧𝑖2 + 𝜃2# 𝑖=1

𝑛

2𝑝 𝑧𝑖

# 𝜃2𝑝

𝑦𝑖 𝑧𝑖 𝑖=1

𝑛

+ . . .+

𝑝

𝑧𝑖 = 𝑖=1

𝑧𝑖2

𝜃2#

𝑛

2𝑝

+ . . . + 𝜃𝑝∗

𝑖=1

𝑧𝑖 + 𝜃1# 𝑖=1

𝑧𝑖 𝑖=1

𝑛

𝑧𝑖 + 𝑖=1

𝑛

𝑝+2

+ 𝜃2∗

𝑖=1

𝜃1#

𝑛

𝜃0#

𝑖=1

= 2𝜃0 𝜃1

𝑛

𝑝+1

𝑧𝑖 + 𝜃1∗

𝜎𝛿2 + ⋯ + 2𝜃0 𝜃𝑝 −1 𝑝 .

6 6 6!𝜎 +…+ 6 23 3 ! 𝑝+2 𝑝+2 𝑝+2 𝐸 𝛿𝑖 +. . . + 2𝜃2 𝜃𝑝 −1 𝑝+2 2𝑝 2𝑝 𝜃𝑝2 (−1)2𝑝 2𝑝 𝐸 𝛿𝑖 + 𝜎𝜀2

2𝜃1 𝜃𝑝 −1

𝜃1#

𝑛

𝑝

𝜃0∗

𝑧𝑖 𝑖=1

2𝑝

𝑦𝑖2 𝑧𝑖

= 𝑖=1

yaitu terbentuk persamaan normal sebanyak 3p+2 , jika dinotasikan dalam matriks maka diperoleh : B = A

Kekonsistenan penaksir..., Dian Kurniawati, FE UI, 2013

# Maka penaksir untuk 𝜃0∗ , 𝜃1∗ , 𝜃2∗ , . . . 𝜃𝑝∗ , 𝜃0# 𝜃1# , 𝜃2# , . . . 𝜃2𝑝 dapat diperoleh dengan cara :

𝐁 −𝟏

⇔ ⇔

𝑝+2𝑚

𝐸 𝛿𝑖

∗ ∗ Dengan mensubstitusi 𝜃0∗ , 𝜃1∗ , 𝜃2∗ , . . . , 𝜃𝑝−2 , 𝜃𝑝−1 , 𝜃𝑝∗ 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ dengan 𝜃0 , 𝜃1 , 𝜃2 , . . . , 𝜃𝑝−2 , 𝜃𝑝−1 , 𝜃𝑝 𝜎𝛿 yang diperoleh 𝑝+2𝑚 +1 matriks  dan mensubstitusikan 𝜎𝛿2 , 𝐸 𝛿𝑖 atau

B = A B = 𝐁 −𝟏 A = 𝐁 −𝟏 A

𝑝+2𝑚

𝐸 𝛿𝑖 Berdasarkan diperoleh :

persamaan

= 𝜃𝑝∗ ∗ = 𝜃𝑝−1 ∗ = 𝜃𝑝−2 − 𝑝2 𝜃𝑝 𝜎𝛿2 ∗ = 𝜃𝑝−3 − 𝑝−1 𝜃𝑝−1 𝜎𝛿2 2 ⋮ ⋮ = 𝜃1∗ − 32 𝜃3∗ − ⋯ − −1 𝑝−3

𝜃𝑝 𝜃𝑝−1 𝜃𝑝−2 𝜃𝑝−3

𝜃1

5 4

𝜃5∗ − ⋯ − −1

−1

𝜃0

= 𝜃0∗ − 𝜃2∗ − 6 4

4 2

𝑝 𝑝−1

𝑝−1

2 2 𝜃4∗

𝑝 𝑝

𝜃𝑝∗ 𝐸 𝛿𝑖𝑃−3 𝜎𝛿2 −

𝜃𝑝∗ 𝐸 𝛿𝑖𝑃−5

𝜎 4 4! 22 2 !

− ⋯−

𝜃𝑝∗ 𝐸 𝛿𝑖𝑃−1

𝜃6∗ − ⋯ − −1

𝑝

𝑝 𝑝−3

𝑝 𝑝−6

𝑝−6

𝑝−2

𝑝−4

𝑝−4

𝑝 𝑝−2

𝑝+2𝑚

atau 𝐸 𝛿𝑖 maka diperoleh penaksir bagi 𝜃0 , 𝜃1 , 𝜃2 , . . . , 𝜃𝑝−2 , 𝜃𝑝−1 , 𝜃𝑝 dalam persamaan (10) yaitu : 𝜃0 , 𝜃1 , 𝜃2 , . . . , 𝜃𝑝−2 , 𝜃𝑝−1 , 𝜃𝑝 (12) Langkah selanjutnya ialah mencari penaksir bagi variansi error model 𝜎𝜀2 . Berdasarkan bentuk 𝜃0# dalam persamaan (7) dan dengan mensubstitusikan setiap 𝜃0 , 𝜃1 , 𝜃2 , . . . , 𝜃𝑝−2 , 𝜃𝑝 −1 , 𝜃𝑝 , 𝜃0# , 𝜎𝛿2 dan 𝑝+2𝑚 +1 𝑝+2𝑚 𝐸 𝛿𝑖 atau 𝐸 𝛿𝑖 dengan 𝑝+2𝑚 +1

𝜃0 , 𝜃1 , 𝜃2 , . . . , 𝜃𝑝−2 , 𝜃𝑝−1 , 𝜃𝑝 , 𝜃0# , 𝜎𝛿2 dan 𝐸 𝛿𝑖 𝑝+2𝑚

atau 𝐸 𝛿𝑖 maka diperoleh penaksir bagi variansi error model :

.

𝜃4∗ − ⋯ − −1 −1

𝑝 𝑝−5

𝑝−5

− ⋯ − −1

−1

4 4

(5) secara rekursif

𝑝 𝑝−4

𝜃𝑝∗ 𝐸 𝛿𝑖𝑃−4 𝜎𝛿2 −

𝜃𝑝∗ 𝐸 𝛿𝑖𝑃−6

𝜎 4 4! 22 2 !

− ⋯ − 𝜎𝛿2 -

𝜎𝜀2 =

𝑝 𝜎 4 4! 𝜃𝑝∗ 𝐸 𝛿𝑖𝑃−4 − ⋯− 𝑝−4 22 2 !

2𝜃1 𝜃3

𝑝 2

𝜃𝑝∗

2

−

2𝑝 2

# 𝜃2𝑝 𝜎𝛿2

Sehingga diperoleh : 𝜎𝛿2

=

# ∗ 2𝜃𝑝∗ −2 𝜃𝑝∗ −𝜃2𝑝 −2 + 𝜃𝑝 −1

2

2 # 2 𝑝2 𝜃𝑝∗ − 2𝑝 2 𝜃2𝑝

# # ∗ Dengan mensubtitusikan setiap 𝜃2𝑝 , 𝜃2𝑝−2 , 𝜃𝑝∗ , 𝜃𝑝−1 # # ∗ ∗ ∗ dengan 𝜃2𝑝 , 𝜃2𝑝−2 , 𝜃𝑝∗ , 𝜃𝑝−1 dan 𝜃𝑝−2 yang dan 𝜃𝑝−2 diperoleh dari matriks  maka diperoleh penaksir bagi variansi error observasi (measurement error) 𝜎𝛿2 yaitu :

𝜎𝛿2

=

# ∗ 2𝜃𝑝∗ −2 𝜃𝑝∗ − 𝜃2𝑝 −2 + 𝜃𝑝 −1

2

𝑝+2𝑚 +1

𝐸 𝛿𝑖

Sebaliknya, jika 𝑝 adalah genap maka akan diperoleh:

4!𝜎𝛿4 22 2 !

𝑝 𝑝

𝐸

− ⋯ − 2𝜃1 𝜃𝑝 −1

𝑝+1

.

sehingga diperoleh penaksir bagi parameter-parameter model polinomial Berkson, yaitu : 𝜃0 , 𝜃1 , 𝜃2 , . . . , 𝜃𝑝−2 , 𝜃𝑝−1 , 𝜃𝑝 , 𝜎𝜀2 dan 𝜎𝛿2 . Model fit Minimum Distance untuk regresi polinomial Berkson adalah :

2 # 2 𝑝2 𝜃𝑝∗ − 2𝑝 2 𝜃2𝑝

(11) Jika derajat polinom 𝑝adalah ganjil maka berdasarkan bentuk 𝐸 𝛿 𝑘 dan dengan mensubstitusi 𝜎𝛿 𝑝+2𝑚 +1 dengan 𝜎𝛿 𝑝+2𝑚 +1 maka akan diperoleh :

4 4

𝑝

2 2

𝜎𝛿2 − ⋯ − 2 𝑝 𝛿𝑖 𝜃1 22 𝜎𝛿2 −

− 2𝜃0 𝜃2 ,

𝑝+1 2 4 𝑝+1 − 𝐸 𝛿𝑖 − 𝜃2 𝑝+1 4 4 6 6! 𝜎𝛿6 2 4 4! 𝜎𝛿 2𝜃2 𝜃4 − 𝜃 − 2 6 23 3 ! 4 22 2 ! 4 4 2 4 4! 𝜎𝛿 2 4 4! 𝜎𝛿 𝜃2 − 𝜃 − 2 4 22 2 ! 4 22 2 ! 6 6 6! 𝜎𝛿 2𝜃2 𝜃4 − ⋯ + 2𝜃2 𝜃𝑝 −1 𝑝+2 . 6 23 3 ! 2 𝑝+2 2𝑝 𝑝+2 𝐸 𝛿𝑖 −. . . −𝜃𝑝 (−1)2𝑝 2𝑝 𝐸 𝛿𝑖 𝑝+2 2𝑝 (13)

Berdasarkan persamaan (7) diperoleh bahwa : # 𝜃2𝑝 = 𝜃𝑝2 − 2

2 0 0

4! 𝜎𝛿4 22 2 !

(10)

2

𝜃0# − 𝜃0

2𝜃0 𝜃𝑝 −1

𝜃𝑝∗ 𝐸 𝛿𝑖𝑃−2

𝜃𝑝∗ 𝐸 𝛿𝑖𝑃

# ∗ ∗ ∗ 𝜃2𝑝 −2 =2𝜃𝑝−2 𝜃𝑝 + 𝜃𝑝−1

𝑝+2𝑚 +1

masing-masing dengan 𝜎𝛿2 dan 𝐸 𝛿𝑖

𝑝

𝑦𝑖 = 𝜃0 + 𝜃1 𝑥𝑖 + 𝜃2 𝑥𝑖2 + . . . + 𝜃𝑝 𝑥𝑖 ; 𝑥𝑖 = 𝑧𝑖 − 𝛿𝑖 ; i = 1,2,…n

4.

KESIMPULAN

Penaksir parameter model regresi polinomial Berkson dapat diperoleh dengan meminimumkan fungsi objektif Minimum Distance berdasarkan momen pertama dan kedua dari variabel respon

Kekonsistenan penaksir..., Dian Kurniawati, FE UI, 2013

diberikan vaiabel prediktor terobservasi. Dengan mensubstitusikan parameter-parameter baru yang muncul pada momen pertama dan kedua secara simultan maka akan diperoleh seluruh parameterparameter model regresi polinomial Berkson.

UCAPAN TERIMAKASIH Penulis mengucapkan terima kasih banyak kepada Ibu Siti Nurrohmah dan Ibu Dian Lestari selaku pembimbing skripsi yang telah memberikan banyak masukan dan arahan dalam penulisan makalah ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih banyak kepada orangtua penulis dan adik-adik tercinta terutama dudu yang setia menemani dan memberikan doa-doa terbaiknya, terima kasih atas kado terindahnya.

[2] R. J. Carroll,D. Ruppert, and L. A. Stefanski, Measurement

Error

In

Nonlinier

Models,

Chapman and Hall, London,2006 [3] W. A. Fuller,Measurement Error Models, John Wiley & Sons, New York ,1987 [4] R. V.Hogg, andA. T.Craig, Introduction to mathematical statistics, 5th ed, Prentice Hall Inc, New Jersey, 1995 [5] L. Huwang, andY. H. S. Huang,Y. H,On error-in Variables in Polinomial Regression Berkson case. Statistic Sinica, 10, (2000), 923-936. [6] D. C.Montgomery, E. A.Peck, andG.G. Vining, Introduction to Linier Regression Analysis, 3rd ed,

DAFTAR ACUAN

John Wiley & Sons, New York, 2001 [7] L. Wang,Estimation Of Nonlinier Berkson-Type

[1] J. Berkson, Are There Two Regression?. American Statistical Association, 45, (1950), 164180.

Measurement Error Models. Statistica Sinica, 13, (2003), 1201-1210.

Kekonsistenan penaksir..., Dian Kurniawati, FE UI, 2013