METODE BOOTSTRAP DALAM INFERENSI MODEL REGRESI POLINOMIAL

Jurnal Konvergensi Vol. 5, No. 1, April, 2015

METODE BOOTSTRAP DALAM INFERENSI MODEL REGRESI POLINOMIAL Hermi Rumtiasih1), Suparman2) 1)

Program Studi Matematika Universitas Ahmad Dahlan, 2)Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Ahmad Dahlan

Abstrak Penelitian ini mengkaji metode Bootstrap untuk Regresi Polinomial yang diterapkan pada data Indeks Harga Konsumen dan Laju Inflasi Bulanan di Indonesia tahun 2008 – 2012. Tujuan penelitian ini adalah untuk memperoleh estimasi nilai Laju Inflasi yang dihitung menggunakan metode Bootstrap dengan pengambilan secara resampling. Metode yang digunakan dalam Penelitian ini adalah metode kuadrat terkecil untuk menentukan estimasi parameter regresi yang kemudian dilanjutkan dengan Metode Bootstrap untuk regresi polinomial. Metode Bootstrap yang digunakan adalah Bootstrap Residual, sehingga yang diresampling adalah nilai residual dari model regresinya. Hasil estimasi yang diperoleh selanjutnya digunakan untuk memprediksi nilai Laju Inflasi Bulanan di Indonesia pada tahun berikutnya. Kata kunci:Metode RegresiPolinomial.

Bootstrap,

Bootstrap

Residual,

MetodeKuadratTerkecil,

1. Pendahuluan Metode yang sering digunakan dalam menyelesaikan masalah estimasi koefisien regresi adalah metode kuadrat terkecil, karena estimator yang didapat dari metode ini merupakan estimator yang tak bias. Kelemahan metode kuadrat terkecil diantaranya adalah dibutuhkan sampel yang berukuran besar dan perhitungan yang rumit (Sembiring, 1995). Secara aplikatif banyak fakta menunjukkan bahwa suatu data berukuran kecil atau data itu sedikit, suatu data menyimpang dari asumsi tertentu atau bahkan data tersebut tidak memiliki asumsi apapun tentang distribusinya. Olehkarenaitu, Metode Bootstrap dapatdigunakansebagaialternatifdalamhalini. Metode Bootstrap dapat digunakan dalam model regresi tanpadiketahui bentuk distribusi dari model regresi tersebut. Selain itu, metode ini jugadapatdigunakan untuk ukuran data yang relative kecil. Metode Bootsrap ini sendiri adalah suatu prosedur pengambilan sampel baru yang dilakukan berulang kali sebanyak 𝐵 sampel baru dari data asal berukuran 𝑛. Sebuah sampel baru diperoleh melalui pengambilan titik sampel dari data asal dengan cara satu per satu sebanyak 𝑛 kali dengan pengembalian. Pengambilan sampel baru ini dilakukan sebanyak mungkin karena semakin banyak pengulangan yang dilakukan Metode Bootstrap Dalam Inferensi Model Regresi Polinomial Hermi rumtiasih

37


maka semakin tinggi keakuratannya. Itulah alasannya mengapa bootstrap sangat mengandalkan bantuan komputer dalam aplikasinya. Sampel – sampel baru bootstrap tersebut kemudian diestimasi menggunakan Metode Kuadrat Terkecil.

2. Tinjauan Pustaka Metode Bootstrap merupakan metode yang digunakan untuk mengestimasi suatu distribusi populasi yang tidak diketahui dengan distribusi empiris yang diperoleh dari proses penyampelan ulang (Efron dan Tibshirani,1993). Teknik penarikan sampel bootstrap adalah dengan pengembalian dari sebuah sampel asli. Sampel asli merupakan sampel yang diperoleh dari hasil observasi yang diperlakukan seolah – olah sebagai populasi. Nama Bootstrap berasal dari istilah “ pull one self up by one’s bootstrap” yang dapat diartikan berusaha dengan sumber daya yang minimal. Dalam permasalahan statistik, sumber daya yang minimal dapat diartikan sebagai data yang sedikit,data yang menyimpangdariasumsitertentu, bahkan data yang tidakmemilikiasumsiapapuntentangdistribusinya. Pembentukan Sampel Bootstrap daat dilakukan dengan langkah sebagai berikut : 1 Misalkan𝑓̂(𝑥) adalah suatu distribusi empiris yang diambil dengan probabilitas 𝑛 pada setiap nilai yang diamati 𝑋 = {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 }, sampel bootstrap didefinisikan sebagai sampel random berukuran 𝑛 yang disusun dari 𝑓̂(𝑥), misal sampel bootstrap ke-𝑏 (𝑏 = 1,2, … , 𝐵) dinotasikan dengan : 𝑋 (𝑏) = {𝑥1 (𝑏) , 𝑥2 (𝑏) , … , 𝑥𝑛 (𝑏) } (4.1)

Sehingga jika sampel bootstrap yang diresampling sebanyak 𝐵 kali maka dapat dituliskan sebagai : 𝑋 (1) = {𝑥1 (1) , 𝑥2 (1) , … , 𝑥𝑛 (1) } 𝑋 (2) = {𝑥1 (2) , 𝑥2 (2) , … , 𝑥𝑛 (2) } ⋮ 𝑋 (𝐵) = {𝑥1 (𝐵) , 𝑥2 (𝐵) , … , 𝑥𝑛 (𝐵) } Pengambilan sampel tersebut dilakukan secara random dengan pengembalian dari sampel asli. Pengambilan secara random dengan pengembalian berarti setelah kita mengambil sebuah observasi dari sampel asli secara random, kita meletakkannya kembali sebelum pengambilan observasi berikutnya. Pengambilan dengan pengembalian memungkinkan peneliti untuk mendapatkan jumlah data yang sama dengan pertama kali dilakukan sampling, dan memungkinkan satu data diambil beberapa kali. Misalkan sejumlah sampel bootstrap dalam sebuah observasi, maka mean dari sampel bootstrap tersebut dinamakan Bootstrap Sample Mean atau rata – rata sampel bootstrap (Wilcox,2011). Misalkan 𝑋̅ adalah suatu rata – rata sampel, maka rata – rata dari masing – masing sampel bootstrap tersebut dapat ditulis sebagai berikut: 𝑋̅ (𝐵) = 34

∑𝑛𝑖=1 𝑋̅ (𝑏) 𝑛

(4.2)

Metode Bootstrap Dalam Inferensi Model Regresi Polinomial Hermi rumtiasih


mean dari seluruh sampel bootstrap yaitu : ∑𝐵𝑏=1 𝑋̅ (𝑏) 𝑋̅ (𝐵) = 𝐵 dengan : 𝑛 = jumlah sampel 𝐵 = banyaknya resampling

(4.3)

Bootstrap dapat juga diterapkan dalam model regresi. Bootstrap ini dapat digunakan untuk mengestimasi koefisien dari suatu persamaan regresidengan melakukan penyampelan ulang dari sampel yang sudah ada. Salah satu prosedur bootstrap yang dapatdigunakan dalam regresi adalah:

2.1 Bootstrap Residual Prinsip bootstrap residual adalahmencocokkan model regresidanmemperoleh residual sebanyak𝑛. Prosedur bootstrap residual samadenganprosedur bootstrap padaumumnya, hanyasajadalam bootstrap residual nilairesidualnya yang diresampling. Misalkanfungsiregresisampelaslidaripolinomialorde𝑝 yaitu, 𝑌𝑖 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑋𝑖 + 𝑎2 𝑋𝑖 2 + ⋯ + 𝑎𝑝 𝑋𝑖 𝑝 + 𝑒𝑖 (4.4) Untuk𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛, dan 2 𝑝 𝑌̂𝑖 = 𝑎 ̂0 + 𝑎 ̂𝑋 ̂𝑋 ̂𝑋 (4.5) 1 𝑖 +𝑎 2 𝑖 + ⋯+ 𝑎 𝑝 𝑖 Makaproseduruntuk bootstrap residual adalahsebagaiberikut : a. Menghitung 𝑎̂ dan 𝜎̂ 2 dari sampel asli dengan Metode Kuadrat Terkecil untuk mendapatkan nilai residual. Dimana 𝑒𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌̂𝑖 b. Pilih sampel berukuran 𝑛 dari residual, dan sampling dengan pengembalian. Jika, 𝑒1 𝑒2 𝑒𝑖 = [ ⋮ ] 𝑒𝑛 Maka sampel bootstrap ke- 𝑏 (𝑏 = 1,2, … , 𝐵) dapat dituliskan 𝑒1 (𝑏) (𝑏) 𝑒𝑖 (𝑏) = 𝑒2 (4.6) ⋮ [𝑒𝑛 (𝑏) ] Sehingga, 𝑒1 (1) 𝑒1 (2) 𝑒1 (𝐵) (1) (2) (𝐵) 𝑒𝑖 (1) = 𝑒2 , 𝑒𝑖 (2) = 𝑒2 , … , 𝑒𝑖 (1) = 𝑒2 ⋮ ⋮ ⋮ [𝑒𝑛 (1) ] [𝑒𝑛 (2) ] [𝑒𝑛 (𝐵) ] c. Gabungkan nilai – nilai sampel dari residual tersebut untuk memperoleh sekumpulan sampel baru dari 𝑌𝑖 . Metode Bootstrap Dalam Inferensi Model Regresi Polinomial Hermi rumtiasih

37


2 𝑝 (𝑏) 𝑌𝑖 (𝑏) = 𝑎 ̂0 + 𝑎 ̂𝑋 ̂𝑋 ̂𝑋 1 𝑖 +𝑎 2 𝑖 + ⋯+ 𝑎 𝑝 𝑖 + 𝑒𝑖 Dimana 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛 dan 𝑏 = 1,2, … , 𝐵, sehingga akan diperoleh : 2 𝑝 (1) 𝑎 ̂0 + 𝑎 ̂𝑋 ̂𝑋 ̂𝑋 1 1 +𝑎 2 1 + ⋯+ 𝑎 𝑝 1 + 𝑒1 𝑌1 (1)

(4.7)

2 𝑝 (1) ̂0 + 𝑎 ̂𝑋 ̂𝑋 ̂𝑋 𝑌2 (1) = 𝑎 1 2 +𝑎 2 2 + ⋯+ 𝑎 𝑝 2 + 𝑒2 ⋮ ⋮ (1) 2 𝑝 (1) [𝑌𝑛 ] [𝑎 ̂0 + 𝑎 ̂𝑋 ̂𝑋 ̂𝑋 ] 1 𝑛 +𝑎 2 𝑛 + ⋯+ 𝑎 𝑝 1 + 𝑒𝑛 2 𝑝 (2) 𝑎 ̂0 + 𝑎 ̂𝑋 ̂𝑋 ̂𝑋 1 1 +𝑎 2 1 + ⋯+ 𝑎 𝑝 1 + 𝑒1 𝑌1 (2) 2 𝑝 (2) ̂0 + 𝑎 ̂𝑋 ̂𝑋 ̂𝑋 𝑌2 (2) = 𝑎 1 2 +𝑎 2 2 + ⋯+ 𝑎 𝑝 2 + 𝑒2 ⋮ ⋮ (2) 2 𝑝 (2) [𝑌𝑛 ] [𝑎 ̂0 + 𝑎 ̂𝑋 ̂𝑋 ̂𝑋 ] 1 𝑛 +𝑎 2 𝑛 + ⋯+ 𝑎 𝑝 1 + 𝑒𝑛 ⋮ 2 𝑝 (𝐵) (𝐵) 𝑎 ̂ + 𝑎 ̂𝑋 + 𝑎 ̂𝑋 ̂𝑋 0 1 1 2 1 + ⋯+ 𝑎 𝑝 1 + 𝑒1 𝑌1

2 𝑝 (𝐵) ̂0 + 𝑎 ̂𝑋 ̂𝑋 ̂𝑋 𝑌2 (𝐵) = 𝑎 1 2 +𝑎 2 2 + ⋯+ 𝑎 𝑝 2 + 𝑒2 ⋮ ⋮ 2 𝑝 (𝐵) [𝑌𝑛 (𝐵) ] [𝑎 ̂0 + 𝑎 ̂𝑋 + 𝑎 ̂𝑋 ̂𝑋 ] 1 𝑛 2 𝑛 + ⋯+ 𝑎 𝑝 1 + 𝑒𝑛 d. Gunakan Metode Kuadrat Terkecil lagi untuk mengestimasi masing – masing koefisien regresi dan variansnya. Untuk model regresi polinomial orde 𝑝 maka, (1) 𝑎 ̂0

𝑎̂

Sehingga, 𝑎 ̂0 𝑎̂

(1)

𝑎 ̂1

(1)

(1)

(2)

𝑎 ̂1

(1)

(1) = 𝑎 ̂2 ⋮ (1) 𝑎 ̂ [ 𝑝 ]

𝑎 ̂0

(1)

(1) , 𝑎 = 𝑎 ̂ ̂2 ⋮ (1) [𝑎̂𝑝 ]

(𝑏)

𝑎 ̂1

(2)

𝑎 ̂0

(2)

(2) , = 𝑎 ̂2 ⋮ (2) [𝑎̂𝑝 ]

… , 𝑎̂

(𝐵)

𝑎 ̂1

(𝐵) (𝐵)

(𝐵) = 𝑎 ̂2 ⋮ (𝐵) [𝑎̂𝑝 ]

𝜎̂ 2 (𝑏) 2 (2) dan 𝜎̂ 2 = 𝜎̂ ⋮ 2 [𝜎̂ (𝐵) ] Nilai 𝑎̂ dan 𝜎̂ 2 yang baru adalah : (1) (2) (𝐵) 𝑎 ̂0 + 𝑎 ̂0 + ⋯ + 𝑎 ̂0 (𝑏) 𝑎 ̂0 = 𝐵 (1) (2) (𝐵) 𝑎 ̂ + 𝑎 ̂ + ⋯+𝑎 ̂1 1 1 (𝑏) 𝑎 ̂1 = 𝐵

36



𝑎 ̂2 𝑎̂𝑝 Dan,

𝜎̂ 2

(𝑏)

=

̂2 𝜎

(𝑏)

(𝑏)

(1)

=

=

̂2 +𝜎

𝑎 ̂2

(1)

𝑎̂𝑝

(1)

(2)

+𝑎 ̂2

(2)

+ ⋯+ 𝑎 ̂2 𝐵

(𝐵)

⋮ (2) (𝐵) + 𝑎̂𝑝 + ⋯ + 𝑎̂𝑝 𝐵

̂2 +⋯+𝜎

(𝐵)

𝐵

3. Aplikasi Data Untuk memberikan contoh penerapan Metode Bootstrap dalam kehidupan sehari – hari, maka diambil data riil. Data riil ini diambil dari data sekunder Laju Inflasi bulanan dan Indeks Harga Konsumen Bulanan di Indonesia dari tahun 2002 sampai 2012. Indeks Harga Konsumen sebagai variabel bebas (𝑥) dan Laju Inflasi sebagai variabel terikatnya (𝑦). Tabel 3.1 Data Indeks Harga Konsumsi (𝑥) dan Laju Inflasi Bulanan (𝑦)di Indonesia Tahun 2002 – 2012 (Sumber : http://www.bps.go.id) BU LAN Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agt Sep Okt No v Des BU LAN

Jan Feb

TAHUN 2002 I HK 2 54.12 2 57.93 2 57.87 2 57.26 2 59.31 2 60.25 2 62.38 2 63.13 2 64.53 2 65.95 2 70.87 2 74.13

INF LASI 1.99 1.5 -0.02 -0.24 0.8 0.36 0.82 0.29 0.53 0.54 1.85 1.2

TAHUN 2005 I HK 1 18.53 1 18.33

INF LASI 1.43 -0.17

TAHUN 2003 I HK 2 76.33 2 76.87 2 76.23 2 76.65 2 77.23 2 77.49 2 77.58 2 79.92 2 80.93 2 82.48 2 85.32 2 87.99

INF LASI 0.8 0.2 -0.23 0.15 0.21 0.09 0.03 0.84 0.36 0.55 1.01 0.94

TAHUN 2006 I HK 1 38.72 1 39.53

INF LASI


1.36 0.58

TAHUN 2004 I HK 1 10.45 1 10.43 1 10.83 1 11.91 1 12.9 1 13.44 1 13.88 1 13.98 1 14 1 14.64 1 15.66 1 16.86

INF LASI 0.57 -0.02 0.36 0.97 0.88 0.48 0.39 0.09 0.02 0.56 0.89 1.04

TAHUN 2007 I HK 1 47.41 1 48.32

INF LASI 1.04 0.62

37


Mar Apr Mei Jun Jul Agt Sep Okt No v Des BU LAN

Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agt Sep Okt No v Des

BULAN

38

1 20.59 1 21 1 21.25 1 21.86 1 22.81 1 23.48 1 24.33 1 35.15 1 36.92 1 36.86

1.91 0.34 0.21 0.5 0.78 0.55 0.69 8.7 1.31 -0.04

TAHUN 2008 IH K 15 8.26 15 9.29 16 0.81 16 1.73 16 4.01 11 0.08 11 1.59 11 2.16 11 3.25 11 3.76 11 3.9 11 3.86

INF LASI 1.77 0.65 0.95 0.57 1.41 2.46 1.37 0.51 0.97 0.45 0.12 -0.04

1 39.57 1 39.64 1 40.16 1 40.79 1 41.42 1 41.88 1 42.42 1 43.65 1 44.14 1 45.89

0.03 0.05 0.37 0.45 0.45 0.33 0.38 0.86 0.34 1.21

1 48.67 1 48.43 1 48.58 1 48.92 1 49.99 1 51.11 1 52.32 1 53.53 1 53.81 1 55.5

TAHUN 2009 IH K 11 3.78 11 4.02 11 4.27 11 3.92 11 3.97 11 4.1 11 4.61 11 5.25 11 6.46 11 6.68 11 6.65 11 7.03

TAHUN 2011

INF LASI -0.07 0.21 0.22 -0.31 0.04 0.11 0.45 0.56 1.05 0.19 -0.03 0.33

0.24 -0.16 0.1 0.23 0.72 0.75 0.8 0.79 0.18 1.1

TAHUN 2010 I HK 11 8.01 11 8.36 11 8.19 11 8.37 11 8.71 11 9.86 12 1.74 12 2.67 12 3.21 12 3.29 12 4.03 12 5.17

INF LASI 0.84 0.3 -0.14 0.15 0.29 0.97 1.57 0.76 0.44 0.06 0.6 0.92

TAHUN 2012

IHK

INFLASI

IHK

INFLASI

Jan

126.29

0.89

0.76

Feb

126.46

0.13

Mar

126.05

-0.32

Apr

125.66

130.9 130.9 6 131.0 5 131.3 2

-0.31

0.05 0.07 0.21



Mei

125.81

0.12

Jun

126.5

0.55

Jul

127.35

0.67

Agt

128.54

0.93

Sep

128.89

0.27

Okt

128.74

-0.12

Nov

129.18

0.34

Des

129.91

0.57

131.4 1 132.2 3 133.1 6 134.4 3 134.4 5 134.6 7 134.7 6 135.4 9

0.07 0.62 0.7 0.95 0.01 0.16 0.07 0.54

Dari data riil pada tabel di atas, akan diplot dengan menggunakan MATLAB kemudian akan dihitung nilai dari statistik C𝑝 untuk dapat mengetahui orde yang akan digunakan. Kemudian dari data tersebut akan diestimasi koefisien regresi serta variansnya dengan Metode Bootstrap. 10

8

y

6

4

2

0

-2 100

120

140

160

180

200 x

220

240

260

280

300

Gambar 3.2 PlotData Indeks Harga Konsumsi dan Laju Inflasi Bulanan di Indonesia Tahun 2002 – 2012 Berdasarkan data Indeks Harga Konsumsi dan Laju Inflasi Bulanan di Indonesia Tahun 2002 – 2012 pada tabel di atas, nilai statistik C𝑝 dihitung untuk 𝑝 = 1, 2, 3, 4, 5. Hasilnya disajikan dalam tabel berikut:


37


Tabel 3.3 Nilai statistik C𝑝 untuk 𝑝 = 1, 2, 3, 4, 5 𝒑

𝐂𝒑

1 2 3 4 5

0.7619 0.7070 0.7238 0.7286 0.7279

Dari Tabel 4.7 terlihat bahwa nilai statistik C𝑝 terkecil diperoleh pada 𝑝 = 2. Dengan demikian model regresi yang akan digunakan adalah model regresi polinomial orde 2. Selanjutnya akan diestimasi koefisien regresi dan variansnya dengan menggunakan metode Bootstrap. Hasilnya disajikan dalam tabel berikut : Tabel 3.4 Nilai Estimasi Koefisien Regresi dan Varians dari Data Indeks Harga Konsumsi dan Laju Inflasi Bulanan di Indonesia Tahun 2002 – 2012 Koefisien Regresi 𝑎̂0 = −4.1902 𝑎̂1 = 0.0488 𝑎̂2 = −0.0001

Varians

𝜎̂ 2 = 0.6508

Sehingga estimasi nilai 𝑌𝑖 dapat ditulis menjadi : 𝑌̂𝑖 = −4.1902 + 0.0488𝑋𝑖 − 0.0001 𝑋𝑖 2

(4.10)

Model yang diperolehdaripersamaan (4.10) selanjutnyadigunakanuntukmencocokkanbeberapanilaiLajuInflasi (𝑦) pada Data Indeks Harga Konsumsi dan Laju Inflasi Bulanan di Indonesia Tahun 2002 – 2012 di atas. Hasilnyadapatsajikandalamtabelberikut : Tabel 3.5 Beberapa Nilai 𝑥, 𝑦, dan𝑦̂ dari Data Indeks Harga Konsumsi dan Laju Inflasi Bulanan di Indonesia Tahun 2002 – 2012 𝒙

𝒚

̂ 𝒚

Januari 2002

252.12

1.99

1.7532

April 2005

121

0.34

0.2505

Mei 2005

121.25

0.21

0.2566

Oktober 2009

116.68

0.19

0.1424

April 2010

118.37

0.15

0.1851

Desember 2012

135.49

0.54

0.586

Data Pada

40



Selanjutnya model yang diperoleh dari persamaan (4.10) akan digunakan untuk mencocokkan nilai Laju Inflasi (𝑦) pada Data Indeks Harga Konsumsi dan Laju Inflasi Bulanan di Indonesia Tahun 2013. Tabel 3.6 Data Indeks Harga Konsumsi (𝑥)dan Laju Inflasi Bulanan (𝑦)di Indonesia Tahun 2013 (Sumber : http://www.bps.go.id) BULAN

TAHUN 2013 IHK

INFLASI

Jan

136.88

1.03

Feb

137.91

Mar

BULAN

TAHUN 2013 IHK

INFLASI

Juli

144.63

3.29

0.75

Agt

146.25

1.12

138.78

0.63

Sep

145.74

-0.35

Apr

138.64

-0.1

Okt

145.87

0.09

Mei

138.6

-0.03

Nov

146.04

0.12

Juni

140.03

1.03

Des

146.84

0.55

Hasilnya dapat sajikan dalam tabel berikut : Tabel 3.7 Nilai 𝑥, 𝑦, dan𝑦̂ dari Data Indeks Harga Konsumsi dan Laju Inflasi Bulanan di Indonesia Tahun 2013 𝒙

𝒚

̂ 𝒚

Januari

136.88

1.03

0.9159

Februari

137.91

0.75

0.7159

Maret

138.78

0.63

0.6563

April

138.64

-0.1

0.0533

Mei

138.6

-0.03

-0.0925

Juni

140.03

1.03

0.9824

Juli

144.63

3.29

2.9760

Agustus

146.25

1.12

0.9079

September

145.74

-0.35

-0.3979

Oktober

145.87

0.09

0.0805

November

146.04

0.12

0.8938

Desember

146.84

0.55

0.6194

Bulan

Kemudian model pada persamaan (4.10) juga akan digunakan untuk memprediksi nilai Laju Inflasi (𝑦̂) padatahun 2014.


37


Tabel 6.8 Prediksi Nilai Laju Inflasi ( 𝑦̂ ) bulanJanuariTahun 2014 untuknilaiIndeksHargaKonsumsidanLajuInflasi yang diketahui IndeksHargaKonsumsi(𝒙)

̂ ) LajuInflasi ( 𝒚

146.85

0.8196

146.87

0.8200

146.89

0.8204

146.91

0.8208

146.93

0.8211

146.95

0.8215

146.97

0.8219

4. Kesimpulan Cara mengestimasi koefisien regresi dan varians pada sampel baru Bootstrap dalam Model Regresi Polinomial menggunakan Metode Kuadrat Terkecil, yaitu : a. Menghitung 𝑎̂ dan 𝜎̂ 2 dari sampel asli dengan Metode Kuadrat Terkecil. b. Menghitung nilai 𝑒𝑖 dengan menggunakan persamaan 2 𝑝 𝑒𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑎 ̂0 − 𝑎 ̂𝑋 ̂𝑋 ̂𝑋 1 𝑖 −𝑎 2 𝑖 − ⋯− 𝑎 𝑝 𝑖 c. Untuk 𝑏 = 1,2, … , 𝐵 : d. Resampling ei (b) e. Hitung Yi (b) dengan persamaan (b) 2 p (b) Yi = â0 + âX ̂X ̂X 1 i +a 2 i + ⋯+ a p i + ei f.

42

Hitung â(b) dan σ ̂2

(b)



Daftar Pustaka [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15]

Ayres, and Philip. 2003. Matematika Universitas Edisi Ketiga. Jakarta: Erlangga. Chernick, Michael R.2011.Bootstrap Methods A Guide for Practitioner and Researchers Second Edition. Canada: Simultaneously. Efron B, and Tibshirani, R.1993.An Introduction to The Bootstrap.New York: Chapman & Hall. Gujarati, D.1978.Ekonometrika Dasar.Jakarta: Erlangga. Howard Anton.1998.Aljabar Linear Elementer.Jakarta: Erlangga. Purcell.1987.Kalkulus dan Geometri Jilid 2.Jakarta: Erlangga. Steven,J,Leon.2002.Aljabar Linear dan Aplikasinya.Jakarta: Erlangga. Sudjana.2002.Metode Statistik.Bandung: Tarsito. Suparman.2010.Pengantar Statistika Teknik dan Bisnis.Bandung: Muara Indah. Suparman.2012.Metode Bootstrap dan Aplikasinya.Yogyakarta: JPMIPA FKIP UAD Press. Supranto.2001.Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2. Jakarta: Erlangga. Walpole, and Myers.1995.Ilmu Peluang dan Statistik untuk Insinyur dan Ilmuwan. ITB: Bandung. Weisberg,Sanford. 2013.Applied Linear Regression.Canada: New Jersey. Wilcox,Rand R. 2011. Fundamentals of Modern Statistical Methods. New York : Springer. http://www.bps.go.id


37

METODE BOOTSTRAP DALAM INFERENSI MODEL REGRESI POLINOMIAL

Recommend Documents