IndoMS Journal on Statistics Vol.1, No. 1, (2013), Page 29-39
D-OPTIMAL DESIGN UNTUK REGRESI POLINOMIAL TERBOBOTI Tatik Widiharih1,2, Gunardi3, Sri Haryatmi3 Mahasiswa S3 Ilmu Matematika FMIPA-UGM 2 Jurusan Statistika FSM-UNDIP 3 Program Studi Statistika FMIPA-UGM
1
Abstract Optimal design is needed to determine the points of the variable factors that will be run with the aim to optimize the amount of relevant information so as to fulfill the desired criteria. Criteria for optimal fulfillment is based on the information matrix of the selected model. D-optimal design is an optimal criterion with the aim of minimizing the variance of the estimated parameters. D-optimal criterion is achieved by maximizing the determinant of a matrix of information. In the econometric, regression models are often encountered heteroskedastik therefore used weighted regression. Selection of the points of the variable factor depending on the regression model specified and the functional form of the weighting function. In this paper discussed the determination of D-optimal design for polynomial regression models with some functional form of the weighted function. .Keywords : D-optimal designs, information matrix, polynomial, weighted
Abstrak Optimal design diperlukan untuk menentukan titik-titik dari variabel faktor yang akan dicobakan dengan tujuan mengoptimalkan sejumlah informasi yang relevan sehingga terpenuhi kriteria yang diinginkan. Kriteria pemenuhan optimal didasarkan pada matriks informasi dari model yang dipilih. D-optimal design merupakan suatu kriteria optimal dengan tujuan meminimumkan variansi estimasi dari parameter. Kriteria D-optimal ini dicapai dengan cara memaksimumkan determinan matriks informasi. Pada bidang ekonometri sering dijumpai model regresi yang heteroskedastik sehingga digunakan regresi terboboti. Pemilihan titik-titik dari variabel faktor tergantung dari model regresi yang ditentukan dan bentuk fungsional dari fungsi bobot. Pada makalah ini dibahas penentuan D-optimal design untuk model regresi polynomial dengan beberapa bentuk fungsional dari fungsi bobot.
Kata kunci : D-optimal design, matriks informasi,polynomial, bobot
1. Pendahuluan Secara umum optimal design dapat diterapkan pada perancangan percobaan dan analisis regresi. Pada perancangan percobaan penggunaan optimal design biasanya untuk fixed model (model tetap). Beberapa model dari yang paling sederhana (klasifikasi satu arah) sampai
2010 Mathematics Subject Classification: 62J02, 62K05. 29
30
Tatik Widiharih, Gunardi, Sri Haryatmi
model yang lebih rumit telah dibahas , diantaranya Goos ([6]) menulis masalah optimal design ini untuk rancangan split-plot. Masalah yang utama dalam optimal design ini adalah memilih perlakuan atau kombinasi perlakuan yang harus dicobakan sehingga diperoleh effisiensi yang diinginkan ([8], [10]). Selanjutnya Schwabe ([12]) mengembangkan untuk model random. Demikian juga untuk metode permukaan respon, masalahnya juga memilih perlakuan atau kombinasi perlakuan yang harus dicobakan sehingga diperoleh efisiensi yang diinginkan [11]. Beberapa paket program (yaitu MINITAB dan SAS) telah menyediakan menu untuk analisis ini khususnya optimal design untuk percobaan faktorial dan metode permukaan respon. Atkinson et all. ([2]) memperkenalkan pemrograman SAS untuk optimal design. Optimal design untuk regresi diperkenalkan diantaranya oleh Kiefer ([9]), khususnya D-optimal design untuk model regresi yang bersifat homoskedastik. Analisis regresi merupakan salah satu analisis dalam statistika dengan tujuan untuk menentukan hubungan fungsional antara variabel respon Y dengan variabel faktor X. Dalam menentukan hubungan fungsional ini ada dua metode pendekatan yang dikenal dengan metode parametrik dan metode nonparametrik. Apabila pola hubungan telah ditetapkan modelnya diperlukan design yang sesuai (optimal) dan menghasilkan inferensi statistik yang akurat dengan biaya yang minimum. Alat dan ukuran yang digunakan adalah kriteria keoptimalan dari design yang digunakan [7]. Pada perkembangannya telah dibahas optimal design untuk beberapa model regresi, diantaranya regresi eksponential ([3],[4]]) , regresi Poisson [14], regresi logistik [13]. Model yang akan dibangun dalam tulisan ini dengan bentuk : ∑ (1) dengan
( )
( )
,
( ) suatu fungsi bobot yang merupakan fungsi dari x. Sedangkan
tujuan dari tulisan ini adalah menentukan d-optimal design untuk model regresi (1) dengan beberapa bentuk fungsi bobot, kemudian diaplikasikan untuk regresi polynomial derajat tiga. 2. D-optimal Design Untuk Regresi Sebagai ilustrasi sederhana pada model regresi linear sederhana (selanjutnya dapat digeneralisasi menjadi regresi seperti pada persamaan (1)): Y = Xβ + dengan asumsi ii mempunyai rata-rata nol dan variansi σ2. Dalam masalah ini : YT = (y1, y2, …., yn), βT = (β0 β1) , T = (1, 2, .., n) (
),
∑ ∑
( ∑
)
Estimasi dengan menggunakan metode least square error diperoleh : ̂ ̂
(
) ̂
,
sehingga
(̂) (̂)
(
) (
)
Untuk selanjutnya dinotasikan suatu design [7] :
, notasikan
(̂)
(
).
D-Optimal Design Untuk Regresi Polinomial Terboboti
.
31
/
(2)
Matriks informasi dari design ini adalah : ( )
(3)
Bila ada beberapa nilai xi yang sama , design
dengan { x1 x2 ….. xr} pengamatan yang
bersesuaian dengan ukuran sampel n1, n2, …,nr dengan ∑ (
)
.
, dibentuk design :
/
(4)
∑ ( )
∑ ∑
( ∑
)
(5)
Kriteria optimal dengan memaksimumkan determinan dari matriks informasi ( )
( ) yaitu
, selanjutnya Kiefer & Wolfowitz pada tahun 1959 menamakan
kriteria ini dengan d-optimal. Kriteria ini bertujuan untuk meminimumkan sederhana suatu design
dikatakan merupakan d-optimal design bila
( ̂ ). Secara
( ( )) maksimum
diantara design yang lain. D-optimal design ini paling banyak digunakan, karena dalam D-optimal design menekankan pada kualitas estimasi dari parameter yang bisa ditunjukan oleh nilai dari Var( ̂ ). Harapan dari pengoptimalan ini adalah mendapatkan nilai Var( ̂ ) yang minimum. Cara penulisan lain dari matriks informasi yang bersesuaian dengan design dengan : ( ) ( )
∫
( ) ( )
(
[7]: ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ) . Sedangkan cara lainnya [1] menuliskan matriks informasi dengan : ( ) ( ( )). Secara umum model regresi linear dengan p parameter [1], , (6)
( )/ , dengan : ( ) . ( ) ( ) ( ) matriks informasi dari model ini secara umum adalah : ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) Kiefer [7] menggunakan teorema equivalensi untuk menunjukkan bahwa optimal design dengan membuktikan bahwa ( ) , dengan:
(7) merupakan D-
32
Tatik Widiharih, Gunardi, Sri Haryatmi
( ) ( ) ( ) ( ) (8) Kriteria D-optimal dipenuhi dengan mengambil banyaknya titik design sama dengan banyaknya parameter dalam model dengan ulangan (proporsi yang sama).
3. Optimal Design Untuk Regresi Polinomial Terboboti Model regresi polynomial derajat p (seperti persamaan 1) terboboti adalah: ∑
( )
, dengan
( )
,
(
) dan
( ) didefinisikan
sebagai [5]: ( ) ( ) (
.√ ( ) ∫
( )
√ ( ) ( ) (
( ) ( )
)
√ ( )/
(9)
) ( )
Beberapa fungsi bobot [1]: , - yang berarti tanpa bobot tetapi menjadi dasar untuk ( ) 1. fungsi-fungsi bobot yang lain. D-Optimal diperoleh dengan mengambil titik titik design dengan menyelesaikan ( ) ( ) dengan proporsi setiap titik design diambil sama. ( ) adalah polynomial Legendre derajat p. Bentuk umum polynomial Legendre derajat p+1 adalah: (
)
( )
(
)
( )
( )
( )
(10)
Dari bentuk polynomial tersebut : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bila diaplikasikan untuk model regresi polynomial derajat tiga : Titik-titik design diperoleh dengan menyelesaikan bentuk : (
)
(
)( (
( ) ))
Sehingga x yang memenuhi : -1 , -0.4472, 0.4472, 1
∑
D-Optimal Design Untuk Regresi Polinomial Terboboti
33
Design yang diusulkan : {
}
(11)
Matriks informasi untuk design seperti persamaan (11): ( ) ∫ ( ) (
( )
( )
( ) ( ) ) , sehingga matriks informasi:
[
]
Sedangkan invers dari matriks informasi adalah :
( )
( gambar 1)
[
]
)
–
(ditunjukan dengan
Gambar 1. Plot
(
) untuk
( )
Titik maksimum lokal : (-1, 4.00), (-0.447, 4.00), (0.447, 4.00) dan (1, 4.00) Sehingga design seperti pada persamaan (11) merupakan D-optimal design. ( )
(
)
(
)
(
)
Polinomial Jacobi derajat p dengan bentuk : (
)
(
( )
Lemma1.
(
)
)
(
)
(
)
. / {(
)
(
)
}
(12)
( ) polinomial Jacobi derajat p seperti pada persamaan (12), jika diambil α =0 dan β=0 maka polinomial Jacobi menjadi polinomial Legendre derajat p+1 seperti pada persamaan (10).
34
Tatik Widiharih, Gunardi, Sri Haryatmi
Bukti : Jika diambil α =0 dan β=0 diperoleh: (
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
. / (
(
)
. /(
)
)
(
)
( )
(
)
. / (
)
(
)
( )
(
)
. / (
)
(
)
( )
(
)
. / (
)
Sehingga terlihat bahwa : ( ) ( ) ( ) ( )
(
(
(
)
))
( )
( )
( )
▄
Jika diambil α = -1 dan β = -1 polinomial Jacobi derajat p+1 menjadi: (
)
( )
(
) (
(
(
). /
) (
) )
(
)(
(
). /
(
)
(
). /
)
(
(
)
(
)
) (
)
(
)
( )
Sehingga untuk fungsi bobot (2) ini d-optimal design diperoleh dengan mengambil titik-titik design yang merupakan akar-akar dari : (
)
(
)
. /
{(
)
(
)
}
dengan proporsi yang sama. Bila diambil α =0 dan β=0 , fungsi bobot (2) menjadi : ( )
(
)
Titik design diperoleh dengan menyelesaikan bentuk : (
)
(
)
. /
*(
)
(
)
+
Untuk α =0 dan β=0 maka titik design diperoleh dengan menyelesaikan bentuk:
D-Optimal Design Untuk Regresi Polinomial Terboboti
*(
. /
)
35
+
Bila diaplikasikan untuk model regresi polynomial derajat tiga :
∑
Titik design diperoleh dengan menyelesaikan bentuk : . / (
)
x={-0.8611, -0.3399, 0.3399, 0.8611} . ( )
/ ( )
∫
( ) .√ ( ) informasi: ( )
( ) ( √ ( )
(13)
) √ ( )
√ ( )/ ,
[
sehingga
diperoleh
]
Sedangkan matriks invers dari matriks informasi adalah :
( )
[
]
( ) ( )( ( ditunjukan dari gambar 2)
Gambar 2. Plot
)
(
) untuk
( )
(
).
matriks
36
Tatik Widiharih, Gunardi, Sri Haryatmi
dengan titik maksimum local : (-0.861, 4.00),(-0.339, 3.99),(0.339, 3.99) dan (0.861, 4.00). Sehingga design (13) merupakan D-optimal design. ( )
(
)
(
)
Dengan cara yang serupa pada fungsi bobot (2), untuk fungsi bobot (3) ini d-optimal design diperoleh dengan mengambil titik titik design dengan proporsi yang sama dari akar-akar : *
. /
+
Bila dalam fungsi bobot diambil α = -1 maka menjadi fungsi bobot : ( ) Titik design diperoleh dengan menyelesaikan bentuk : (
. /
(
)
) ∑
Bila diaplikasikan untuk model regresi polynomial derajat tiga: Titik design diperoleh dengan menyelesaikan bentuk : . / (
)
(
)
X={0, 0.936, 3.31, 7.76} Sehingga design yang diusulkan : . (
)
( )
/ ( )
∫
.√ ( )
( )
[
( ) √ ( )
(
(14)
) √ ( )
√ ( )/ , sehingga diperoleh matriks informasi
]
Sedangkan matriks invers dari matriks informasi adalah:
( )
[
]
D-Optimal Design Untuk Regresi Polinomial Terboboti
(
)
37
( )
(dapat ditunjukan dengan gambar 3 berikut.)
) untuk ( ) ( ) Gambar 3. Plot ( Titik maksimum lokal : (0, 4.00), (0.936, 4.00), (3.31, 4.00) dan (7.76, 4.00). Sehingga design (14) merupakan D-optimal design. Bila diambil α = 0 maka fungsi bobot menjadi : ( ) Titik design diperoleh dengan menyelesaikan bentuk : (
. /
)
Bila diaplikasikan untuk model regresi polynomial derajat tiga : Titik design diperoleh dengan menyelesaikan bentuk : . / (
∑
)
(
)
X ={0.323, 1.75 , 4.54 , 9.4}
Sehingga design yang diusulkan : . (
)
( )
( )
∫
/ ( )
.√ ( )
[
( ) √ ( )
(
(15)
) √ ( )
√ ( )/ , sehingga diperoleh matriks informasi:
]
Sedangkan matriks invers dari matriks informasi adalah :
38
Tatik Widiharih, Gunardi, Sri Haryatmi
( )
(
)
[
]
( )
(dapat ditunjkan dari gambar 4 berikut)
Gambar 4. Plot ( ) untuk ( ) Titik maksimum lokal : (0.323, 4.00), (1.75, 4.00), (4.53, 4.00) dan (9.40, 4.00). Sehingga design (15) merupakan D-optimal design. 4. Kesimpulan Optimal design untuk regresi polynomial terboboti ini hanya bisa digunakan apabila peneliti telah mengetahui / menetapkan bentuk hubungan fungsional antara variabel respon dengan variabel faktor beserta fungsi bobotnya. Sehingga optimal design ini seyogyanya digunakan oleh peneliti yang sudah mempunyai informasi awal tentang pola hubungan yang akan dibangun dan bentuk fungsi bobot. Lebih khususnya optimal design tidak bisa digunakan bagi peneliti yang baru akan mencari model hubungan fungsional antara variabel respon dengan variabel faktor beserta fungsi bobotnya.
Daftar Pustaka [1] Antile, G., et all .,2003, A Note on Optimal Designs in Weighted Polynomial Regression for the Classical Efficiency Functions. Journal of Statistical Planning and Inference 113:585-592. [2] Atkinson, A.C., et all., 2007, Optimum Experimental Designs, with SAS. Oxford University Press. [3] Dette, H. and Neugebaur, H.M., 1997, Bayesian D-optimal Designs for Exponential Regression Models, Journal of S atistical Planning and Inference, 60 : 331-349. [4] Dette, H., et all., 2004, Efficient Design of Experiment for Exponential Regression Models, Ruhr-Universitat Bochum, Fakultat fur Mathematik, 44780 B0chum, Germany.
D-Optimal Design Untuk Regresi Polinomial Terboboti
39
[5] Fang, Z., 2003, D-optimal Designs for Weighted Polynomial Regression, Statistics & Probability Letters 63:205-213. [6] Goos, P., 2002, The Optimal Design of Blocked and Split-plot Experiments, New York: Springer. [7] Huang, M.L., 2010, Optimal Experimental Designs for Regression, Department of Applied Mathematics, National Sun Yat-Sen University, NTC Industrial Statistics Research Group (ISRG) NTHU, Hsin-Chu, April 30, 2010. [8] Jones, B., and Goos, P., 2009, D-Optimal Design of Split-split-plot Experiment, Biometrica 96.1 pp : 67-82. [9] Kiefer, J., 1961, Optimum Designs in Regression Problem II, Annals of Math.Statist. 32:298-325. [10] Mandal, A., et all , 2010, Optimal Designs for Two-Level Factorial Experiment with Binary Response, Grants from the National Science Foundation, University of Georgia. [11] Montgomerry, D.C., 2005, Design and Analysis of Experiments, Sixth Edition, John Willey&Sons. Inc. [12] Schwabe, R., 2008 , Optimal Design for Linear and Non-linear Models: A Short Course, Otto von Guericke Universty Magdeburg. July 21-25 , 2008. [13] Sebastiani,P.,And Settimi, R.,1997, A Note On D-Optimal Designs for a Logistic regression model. Journal of Statistical Planning and Inference 59:359-368.. [14] Wang, Y, et all., 2006, D-Optimal Designs for Poisson Regression Models., Journal of Statistical Planning And Inference 136:2831-2845.
40
Tatik Widiharih, Gunardi, Sri Haryatmi
