PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290. Vol 2, November 2011
(R.5) Pemodelan Regresi Poisson Terboboti Geografis Pada Kasus Gizi Buruk di Jawa Timur Ida Mariati Hutabarat1, Asep Saefuddin2 1Jurusan Matematika Uncen. 2Departemen Statistika IPB 1Jl.Kamp Wolker Waena Jayapura. 2Kampus Darmaga Bogor Emai l:
[email protected]@gmail.com
Abstrak Penderita gizi buruk dari satu wilayah diduga dipengaruhi oleh wilayah sekitarnya. Kondisi geografis, sosial budaya dan ekonomi tentunya berbeda antara satu wilayah dengan wilayah yang lainnya. Oleh karena itu, diperlukan suatu pemodelan statistik dengan memperhitungkan faktor spasial. Metode statistik yang dapat digunakan untuk menganalisis data yang menyebar Poisson dengan memperhitungkan faktor spasial adalah Regresi Poisson Terboboti Geografis (RPTG). Tujuan penelitian ini adalah memodelkan kasus gizi buruk dengan pendekatan regresi spasial. Hasil penelitian menunjukkan bahwa peubah yang berpengaruh terhadap jumlah penderita gizi buruk di Jawa Timur adalah jumlah keluarga yang bertempat tinggal di permukiman kumuh, luas struktur penggunaan lahan tidak berpengairan, jumlah tenaga kesehatan yang tinggal di desa/kelurahan, jumlah keluarga yang menerima kartu Askeskin dalam setahun terakhir, dan jumlah pendapatan domestik regional bruto per kapita. Berdasarkan kriteria kebaikan model yaitu R-square dan AIC diperoleh bahwa model RPTG dengan menggunakan pembobot fungsi Kernel Bisquare memiliki nilai R-square terbesar dan AIC terkecil. Hal ini menunjukkan bahwa model RPTG dengan pembobot fungsi Kernel Bisquare lebih baik digunakan untuk memodelkan kasus gizi buruk di Jawa Timur. Kata Kunci : Gizi buruk, sebaran Poisson, Regresi Poisson Terboboti Geografis. 1.
PENDAHULUAN Angka penderita gizi buruk di Indonesia masih cukup tinggi. Pada tahun 2010,
jumlahnya mencapai 17.9 persen "Jumlahnya memang masih cukup tinggi. Pemerintah berupaya untuk menurunkannya hingga menjadi 15,1 persen tahun 2015, sesuai dengan target Millenium Development Goals (MDGs) 2015.
Berdasarkan Badan Penelitian dan
Pengembangan Kesehatan, beberapa provinsi tercatat memiliki jumlah penderita gizi buruk yang cukup tinggi. Provinsi Jawa Timur menempati urutan pertama dengan 14.720 kasus dan tingkat prevalensi gizi buruk tertinggi sebesar 4.8 persen antar provinsi di Pulau Jawa (BPPK 2008). Penderita gizi buruk dari satu wilayah diduga dapat dipengaruhi oleh wilayah sekitarnya. Kondisi geografis, sosial budaya dan ekonomi tentunya akan berbeda antara wilayah yang satu dengan wilayah yang lain. Oleh karena itu, diperlukan suatu metode pemodelan statistik dengan memperhitungkan faktor spasial. Metode statistik yang telah dikembangkan untuk analisis data dengan memperhitungkan faktor spasial saat ini adalah Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
128
PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290. Vol 2, November 2011
Regresi Terboboti Geografis (Geographically Weigthed Regression).
Regresi Terboboti
Geografis (RTG) adalah salah satu solusi yang dapat digunakan untuk membentuk analisis regresi namun bersifat lokal untuk setiap lokasi. RTG merupakan bagian dari analisis spasial dengan pembobotan berdasarkan posisi atau jarak satu lokasi pengamatan dengan lokasi pengamatan yang lain. Jika peubah respon yang akan diteliti merupakan peubah acak diskret yang menyebar Poisson dimana lokasi diperhatikan, maka metode statistik yang digunakan yaitu Regresi Poisson Terboboti Geografis (Geographically Weigthed Poisson Regression). Model Regresi Poisson Terboboti Geografis (RPTG) akan diaplikasikan
untuk
menentukan faktor-faktor yang berpengaruh terhadap banyaknya jumlah penderita gizi buruk provinsi di Jawa Timur. Kerawanan penderita gizi buruk merupakan masalah yang sangat penting di Indonesia, sehingga diperlukan penanganan yang tepat.
2.
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model Regresi Poisson Model regresi Poisson merupakan suatu bentuk regresi yang digunakan
untuk
memodelkan data diskrit dan termasuk dalam model regresi nonlinear. Regresi poisson berdasarkan pada penggunaan sebaran poisson. Peluang sebaran poisson diberikan sebagai berikut (Myers, 1990). ( )
( ; )=
!
,
= 0,1,2, …
Fungsi penghubung (link function) yang sesuai digunakan adalah logaritma, sehingga diperoleh: ( (
, ,
) =
,…, ,…,
) =
+ (
+ +
+⋯+ +
+∑
=
)
+⋯+ atau
= dimana
= [1
…
(1) ] ,
=[
…
] ,
,
,
,…,
menyatakan
parameter-parameter yang tidak diketahui. Nilai dari parameter yang tidak diketahui diduga dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood) kemudian diselesaikan dengan metode iterasi numerik yaitu Newton Raphson.
2.2. Model Regresi Terboboti Geografis (RTG) Model RTG merupakan pengembangan dari model regresi global dimana ide dasarnya diambil dari regresi nonparametrik (Mei, 2005). Model ini merupakan model regesi linier
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
129
PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290. Vol 2, November 2011
lokal (locally linier regression) yang menghasilkan penduga parameter model yang bersifat lokal untuk setiap titik atau lokasi dimana data tersebut dikumpulkan.
Model RTG dapat ditulis sebagai berikut (Fotheringham et al.,2002): ( ,
=
)+∑
( ,
)
+
;
= 1,2, … ,
(2)
dengan nilai pengamatan peubah respon kenilai pengamatan peubah prediktor ( , ( , ( ,
pada pengamatan ke-
nilai intersept model regresi RTG
)
koefisien regresi
)
menyatakan titik koordinat (lintang,bujur) lokasi ~ (0,
Pendugaan parameter
)
( ,
) didapat dengan menggunakan metode kuadrat terkecil
terboboti (weighted least square) dengan pembobot yang berbeda untuk setiap lokasi. Sehingga penduga parameter untuk model RTG di setiap lokasi adalah : ( ,
)=(
( ,
) )
( ,
)
(3)
2.3. Model Regresi Poisson Terboboti Geografis (RPTG) Regresi Poisson Terboboti Geografis
(RPTG) sebagai metode statistik untuk
menganalisis data spasial dari proses yang non stasioner. RPTG adalah metodologi non parametrik untuk mendapatkan parameter regresi dengan memperhitungkan faktor spasial dan merupakan pendekatan alternatif dari RTG yang dikembangkan berdasarkan kerangka model Gaussian. Pada penelitian ini akan digunakan metode MLE dalam menduga parameternya. Langkah awal dari metode tersebut adalah dengan membentuk fungsi likelihood. Karena variabel respon berdistribusi Poisson
~
( , ) maka fungsi likelihood adalah
sebagai berikut: ( )=∏
( , )
( , )
(4)
!
Setelah diperoleh bentuk likelihood kemudian dilakukan operasi logaritma natural sehingga persamaan (4) menjadi : ( )=∑
(− ( , ) +
( , )−
!)
(5)
Berdasarkan persamaan (1) maka persamaan (5) dapat ditulis sebagai :
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
130
PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011 ( )=∑
−
−
ISSN : 2087-5290. Vol 2, November 2011
!
Pembobot diberikan pada bentuk log-likelihoodnya sehingga diperoleh : ∗
( ,
) =∑
,
Estimasi parameter ( , terhadap
,
∗
(
−
,
−
( ,
!
)
(6)
) diperoleh dengan mendefferensialkan persamaan (6)
maka diperoleh :
, )
= ∑
,
−
( ,
,
)
Nilai estimasi diperoleh dengan memaksimumkan bentuk differensial tersebut sehingga diperoleh ∗
(
, )
= ∑
,
−
( ,
,
)=0
(7)
Karena fungsi pada persamaan (7) berbentuk implisit, maka digunakan suatu prosedur iterasi numerik yaitu metode Newton-Raphson. Secara umum persamaan untuk iterasi Newton-Raphson adalah : )(
(
)=
,
( ,
)−
( ,
( )
)
( ,
)
(8)
dimana ( ,
∗
) =
(
= −∑ ( ,
( )
, ) ,
( , ∗
) =
(
)
, )
( ,
= −∑
,
) +∑ ( ,
( ,
)
)
( ,
(9) )
(10)
Apabila persamaan (9) dan (10) disubsitusikan ke persamaan (8), maka diperoleh : )(
(
)= ∑
,
∑
( , ( ,
) ̂
) ̂
( ) ( )
( )
( )(
+
)
,
(11)
( )
Persamaan (11) dapat ditulis menjadi : (
)(
)= ∑
,
=∑
( , ( ,
)
)
( ) ( )
( )
+
( )(
,
)
(12)
( )
Apabila digunakan pendekatan matriks maka persamaan (12) dapat ditulis sebagai berikut : (
)(
,
)=
( ,
) ( ,
)(
)
( ,
) ( ,
)(
)
( ,
)(
)
dengan
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
131
PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011 ( ,
)
= Matriks pembobot ragams untuk setiap lokasi ( ,
)(
) ( )(
= ( ,
ISSN : 2087-5290. Vol 2, November 2011
)
,
( )(
)
,
( )(
) …
,
)
= Vektor dari peubah respon )(
( ,
)
=
( )
( ,
),
( )
( ,
), … ,
( )
( ,
)
Dengan mengulang prosedur iterasi untuk setiap titik regresi ke- , maka penduga parameter lokal akan didapatkan. Iterasi berhenti pada saat konvergen, yaitu pada saat (
)(
,
)−
( )(
,
) ≤ , dimana
merupakan bilangan yang sangat kecil
2.4. Gizi Buruk Gizi buruk adalah suatu istilah teknis yang umumnya dipakai oleh kalangan gizi, kesehatan dan kedokteran. Gizi buruk adalah bentuk terparah dari proses terjadinya kekurangan gizi menahun. Anak balita sehat atau kurang gizi secara sederhana dapat diketahui dengan membandingkan antara berat badan menurut umurnya dengan rujukan (standar) yang telah ditetapkan. Apabila berat badan menurut umur sesuai dengan standar, anak disebut gizi baik. Kalau sedikit di bawah standar disebut gizi kurang. Apabila jauh di bawah standar dikatakan gizi buruk. Penyebab timbulnya masalah gizi buruk bersifat multifaktor yang terdiri dari faktor langsung dan tidak langsung. Gizi buruk secara langsung disebabkan oleh kurangnya asupan makanan dan penyakit infeksi, sedangkan secara tidak langsung disebabkan oleh ketersediaan pangan, sanitasi lingkungan, pelayanan kesehatan, pola asuh, kamampuan daya beli keluarga, pendidikan, dan pengetahuan (DBGM 2008). Masalah gizi buruk membutuhkan penanganan yang tepat, karena konsekuensinya dapat menimbulkan penurunan kualitas sumberdaya manusia. Gizi buruk secara langsung maupun tidak langsung akan menurunkan tingkat kecerdasan anak, terhambatnya pertumbuhan, perkembangan anak, serta menurunkan produktivitas. 3.
METODOLOGI PENELITIAN
3.1. Sumber Data Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang telah dikumpulkan oleh BPS, yaitu data Potensi Desa (PODES) dan survei sosial ekonomi nasional (SUSENAS) tahun 2008 pada 38 kabupaten/kota yang ada di Jawa Timur.
Data yang
digunakan adalah jumlah penderita gizi buruk, jumlah keluarga yang bertempat tinggal di
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
132
PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290. Vol 2, November 2011
permukiman kumuh , jumlah keluarga yang anggotanya menjadi buruh tani, luas struktur penggunaan lahan tidak berpengairan, jumlah sarana pendidikan tingkat SD dan SMP sederajat, jumlah posyandu, jumlah keluarga yang menerima kartu Askeskin dalam setahun terakhir, jumlah tenaga kesehatan yang tinggal di desa/kelurahan, produk Domestik Regional Bruto per kapita atas dasar harga berlaku. 3.2. Metode Analisis Tahapan analisis data yang dilakukan adalah sebagai berikut:
a. Menganalisis model regresi Poisson dengan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Pemeriksaan kolinieritas antara peubah penjelas 2. Menduga parameter model regresi Poisson b. Menganalisis model RPTG dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Menentukan
dan
setiap kabupaten/kota di Provinsi Jawa Timur.
2. Menentukan bandwidth optimum dengan menggunakan metode Cross Validation (CV) 3. Menghitung jarak Eucliden antara lokasi pengamatan berdasarkan posisi geografis. 4. Menghitung matriks pembobot dengan menggunakan fungsi Kernel Gaussian dan fungsi Bisquare 5. Menduga parameter model RPTG 6. Pengujian kesesuaian model regresi Poisson 7. Melakukan pengujian parameter secara parsial dengan menggunakan hipotesis berikut :. ∶
( ,
) = 0,
∶
( ,
)≠ 0;
= 1,2, … ,
8. Mendapatkan model regresi terbaik dengan membandingkan nilai AIC dan nilai Rsquare dari model regresi global dan RPTG. 9. Membuat kesimpulan Paket Program yang digunakan untuk menganalisa jumlah penderita gizi buruk dengan menggunakan metode RPTG adalah GWR 3.0.
4.
HASIL DAN PEMBAHASAN Berdasarkan uji kolonieritas dengan menggunakan koefisien korelasi dan nilai
Variance Inflation Factors (VIF) bahwa terdapat multikolinearitas diantara peubah, yaitu: jumlah keluarga yang anggotanya menjadi buruh tani (X ),
jumlah sarana pendidikan
tingkat SD dan SMP sederajat (X ), jumlah posyandu (X ). Sehingga peubah yang dapat Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
133
PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011 digunakan dalam pembentukan model regresi Poisson adalah
ISSN : 2087-5290. Vol 2, November 2011
jumlah keluarga yang
bertempat tinggal di permukiman kumuh (X ), luas struktur penggunaan lahan tidak berpengairan (X ), jumlah keluarga yang menerima kartu Askeskin dalam setahun terakhir (X ), jumlah tenaga kesehatan yang tinggal di desa/kelurahan (X ), dan jumlah pendapatan domestik regional bruto per kapita (X ). Nilai dugaan parameter model regresi Poisson ditampilkan pada Tabel 1. Dari Tabel 1 tersebut terlihat bahwa seluruh parameter memiliki pengaruh yang signifikan terhadap model, Sehingga model regresi global dengan regresi Poisson yang dibentuk untuk jumlah penderita gizi buruk Propinsi Jawa Timur adalah : Tabel 1. Nilai dugaan parameter model regresi Poisson Parameter Nilai dugaan Standar Error Thit β 5.163 2.207 x 10-02 233.955 * β 1.411 x 10-04 8.374 x 10-06 16.854 * β 1.730 x 10-06 7.055 x 10-07 2.452 * β 8.186 x 10-07 1.326 x 10-07 6.174 * -04 -05 7.559 x 10 1.402 x 10 53.907 * -05 -06 -1.664 x 10 1.151 x 10 -14.451 * Keterangan: * nyata pada taraf alpha 5 % =
(5.163 + 1.411 x 10 − 1.664 x 10
X + 1.730 x 10
X + 8.186 x 10
X + 7.559 x 10
X
X )
Selanjutnya dilakukan pemodelan dengan menggunakan model RPTG.
Langkah
pertama untuk membangun model RPTG adalah dengan menentukan letak geografis tiap kabupaten/kota di provinsi Jawa Timur, setelah diperoleh letak geografis maka langkah selanjutnya yaitu memilih bandwidth optimum. Nilai bandwidth untuk provinsi Jawa Timur yang diperoleh dari hasil iterasi adalah 0.96916.
Setelah mendapatkan nilai bandwidth
optimum, maka langkah selanjutnya adalah mendapatkan matriks pembobot, dimana dalam penelitian ini digunakan dua pembobot yaitu fungsi Kernel Gaussian dan Bisquare. Pendugaan parameter model RPTG menggunakan metode Newton-Raphson dapat diselesaikan dengan menggunakan software GWR 3.0, sehingga didapatkan nilai dugaan parameter disemua lokasi dengan masing-masing pembobot adalah :
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
134
PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290. Vol 2, November 2011
Tabel 2. Nilai dugaan parameter model RPTG dengan pembobot Kernel Gaussian Mean Intercep t
S.Dev
Min 4.976732
Max 5.186582
5.053759
0.062419
7.45 x 10-05 -3.68 x 10-06 -3.2 x 10-07 0.00073 -2.77 x 10-05
0.000188 5.71 x 10-06 3.79 x 10-06 0.000818 -5.84 x 10-06
0.000142 2.85 x 10-06 1.93773 x 10-06 0.000798 -1.9 x 10-05
0.000141 2.95 x 10-06 1.88767 x 10-06 0.000797 -1.9 x 10-05
Tabel 3. Nilai dugaan parameter model RPTG dengan pembobot Kernel Bisquare Mean Intercept
Min 4.500573 7.45 x 10-05 -3.64 x 10-06 -1.04 x 10-07 0.000738 -3.61 x 10-05
Max 5.21613 0.000263 1.07 x 10-05 7.26 x 10-06 0.000945 -6.17 x 10-06
4.860828 0.000139 4.36 x 10-06 3.81 x 10-06 0.000847 -2.1 x 10-05
S.Dev 0.192298 5.19 x 10-05 3.85 x 10-06 2.57 x 10-06 5.32 x 10-05 8.63 x 10-06
Pengujian hipotesis diperlukan untuk mengetahui apakah benar model RPTG lebih sesuai digunakan (signifikan) dibanding model global . Bentuk hipotesisnya adalah sebagai berikut: ∶
( ,
) = 0,
(tidak ada perbedaan yang signifikan antara model regresi global dan RPTG)
∶
( ,
)≠0;
= 1,2, … ,
(ada perbedaan yang signifikan antara model regresi
global dan RPTG) Tabel 4. Uji Goodness of Fit Model RPTG Model
Devians
Model Global (Regresi Poisson) Model RPTG (Kernel Gausian) Model RPTG (Kernel Bisquare)
df
Devians/d f
Fhit
5101.736919
32
159.43
4358.695769
29.24
149.07
1.07
3939.370863
26.68
147.65
1.08
Berdasarkan Tabel 4 Didapatkan nilai Fhit sebesar 1,07 dan 1.08 apabila digunakan tingkat signifikansi
= 5% maka nilai F(0.05,32,29) = 1.85 dan F(0.05,32,26) = 1.90. Sehingga tidak
ada alasan untuk menolak Ho. Dari pengujian tersebut diperoleh kesimpulan tidak ada perbedaan yang signifikan antara model RPTG fungsi Kernel Gausian dan model RPTG fungsi Kernel Bisquare dengan model regresi Poisson. Perbandingan model regresi Poisson dengan model RPTG baik dengan menggunakan pembobot fungsi Kernel Gaussian maupun Kernel Bisquare dilakukan untuk mengetahui model mana yang lebih baik diterapkan untuk jumlah penderita gizi buruk di Provinsi Jawa Timur. Kriteria kebaikan model yang digunakan adalah dengan membandingkan nilai AIC Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
135
PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290. Vol 2, November 2011
(Akaike’s Information Criterion) dan nilai R-square dari ketiga model tersebut. Model yang terbaik adalah model dengan nilai AIC terkecil dan nilai R-square terbesar. Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut :
Tabel 5. Perbandingan Kesesuaian Model Model Model Global (Regresi Poisson) Model RPTG (Kernel Gausian) Model RPTG (Kernel Bisquare)
AIC
R-square
5113.736919
0.64256
4376.209159
0.911739
3962.016217
0.918332
Berdasarkan pada Tabel 5 model RPTG dengan menggunakan pembobot fungsi Kernel Bisquare lebih baik digunakan untuk menganalisis data jumlah penderita gizi buruk di Propinsi Jawa Timur karena mempunyai nilai AIC yang terkecil dan nilai R-square terbesar.
5.
KESIMPULAN DAN SARAN Dari hasil pembahasan dan analisa yang telah dilakukan, maka didapatkan kesimpulan
sebagai berikut : 1. Metode RPTG lebih baik digunakan untuk memodelkan jumlah penderita gizi buruk di Propinsi Jawa Timur dengan peubah-peubah penjelasnya, dibandingkan analisis regresi Poisson. 2. Fungsi pembobot terbaik pada RPTG dalam penelitian ini adalah fungsi pembobot Kernel Bisquare. Saran yang dapat diberikan pada penelitian lebih lanjut adalah analisis model RPTG apabila antar peubah penjelasnya terjadi multikolonieritas yaitu metode RGPTG (Regresi Gulud Poisson Terboboti Geografis).
6. DAFTAR PUSTAKA [BPPK] Badan Penelitian dan Pengembangan Kesehatan. 2008. Laporan Hasil Riset Kesehatan Dasar (Riskesdas) Nasional. Jakarta: Departemen Kesehatan Republik Indonesia. [DBGM] Direktorat Bina Gizi Masyarakat. 2008. Pedoman Respon Cepat Penanggulangan Gizi Buruk. Jakarta: Departemen Kesehatan Republik Indonesia. Fotheringham A.S. , C. Brunsdon , and M.E. Charlton . 2002. Geographically Weighted Regression, the analysis of spatially varying relationships. West Sussex, U.K.: John Wiley and Sons, LTD. Mei, C. L. 2005. Geographically Weighted Regression Technique for Spatial Data Analysis, School of Science Xi’an Jiaotong University Myers, R.H. 1990. Classical and Modern Regression with Applications, second edition. Boston: PWS-KENT Publishing Company. Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
136
