BIAStatistics (2014) Vol. 8, No. 1, hal. 1-8
PEMODELAN KASUS GIZI BURUK DI KOTA JAYAPURA DENGAN MENGGUNAKAN ANALISIS REGRESI POISSON (MALNUTRITION CASE MODELING IN JAYAPURA BY USING POISSON REGRESSION ANALYSIS) Ida Mariati Hutabarat1, Rita Raya1, Melkior Tappy2 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Cenderawasih 2 Fakultas Kesehatan Masyarakat Universitas Cenderawasih e-mail:
[email protected],
[email protected],
[email protected] 1
ABSTRAK Status gizi memiliki pengaruh yang sangat besar dalam mewujudkan sumber daya manusia yang berkualitas di masa yang akan datang. Status gizi berhubungan dengan kecerdasan anak. Pembentukan kecerdasan pada masa usia dini tergantung pada asupan zat gizi yang diterima. Masalah gizi buruk di Papua bukan cuma isu, tapi masalah yang membutuhkan solusi penanganan yang lebih baik, karena konsekuensinya dapat menurunkan tingkat kecerdasan anak, terhambatnya pertumbuhan, perkembangan anak, serta menurunkan produktivitas. Penelitian ini bertujuan untuk membuat gambaran (deskripsi) serta karakteristik dari penyebab kasus gizi buruk berdasarkan faktor-faktor yang digunakan dalam penelitian ini dan memperoleh model terbaik untuk regresi Poisson pada pemodelan jumlah kasus gizi buruk di Kota Jayapura tahun 2011. Kata Kunci : Gizi buruk, Poisson, Maximum Likelihood Estimation
ABSTRACT Nutritional status has a profound influence in creating quality human resources in the future. The nutritional status Related of children's intelligence. Formation of intelligence in early childhood depends on nutrient intake received. Malnutrition problem in Papua is not only the issue , but a problem that requires a solution better handling , as the consequences can reduce the level of intelligence of children , impaired growth , child development , and reduce productivity. The purpose of this study is to make the description and characteristics of the causes of malnutrition based on the factors used in this study and obtain the best model for the Poisson regression modeling of the number of cases of malnutrition in the city of Jayapura in 2011 . The analysis showed that the factors that influence malnutrition in Jayapura is the percentage of ante natal care (ANT), the percentage of the number of health personnel , the percentage of households living behaves clean , and the percentage of the population be literate . By using Poisson regression analysis , the model established for the number of severely malnourished in Jayapura is: ̂=
(5.759 − 1.040
− 1.930
− 1.665
− 3.456
).
Keywords: Malnutrition, Poisson distribution, Maximum Likelihood Estimation
1.
PENDAHULUAN
Angka penderita gizi buruk di Indonesia masih cukup tinggi. Pada tahun 2010, jumlahnya mencapai 17.9 persen "Jumlahnya memang masih cukup tinggi. Pemerintah berupaya untuk menurunkannya hingga menjadi 15,1 persen tahun 2015, sesuai dengan target Millenium Development Goals (MDGs) 2015. Berdasarkan hasil Riset Kesehatan
1
Dasar diperoleh bahwa tingkat prevalensi gizi buruk yang berada di atas rerata nasional (5,4%) ditemukan pada 21 provinsi dan 216 kabupaten/kota. Berdasarkan data Direktorat Bina Gizi Kementerian Kesehatan pada 2010 tercatat 43.616 anak balita gizi buruk. Angka ini lebih rendah dibandingkan tahun 2009 yang berjumlah 56.941 anak. Namun, angka penderita gizi buruk pada tahun 2010 masih lebih tinggi dibandingkan 2008 yang berjumlah 41.290 anak. Berdasarkan data Dinas Kesehatan Provinsi Papua menunjukkan prevalensi kasus gizi buruk di Kota Jayapura mencapai 3,8 persen. Laju pertambahan jumlah kasus gizi buruk dapat ditekan dengan cara mengetahui faktor-faktor yang berhubungan dengan gizi buruk dan berpotensi dalam meningkatkan jumlah kasus gizi buruk. Faktor-faktor yang ditengarai memiliki keterkaitan dan mempengaruhi terjadinya gizi buruk, sehingga perlu diketahui apakah benar-benar berpengaruh secara signifikan atau tidak agar pemerintah dapat lebih memperhatikan bagaimana tindak lanjut terhadap faktor-faktor suatu pemodelan. Jumlah kasus gizi buruk merupakan data count yang mengikuti distribusi Poisson dan gizi buruk merupakan kejadian yang terjadi pada jumlah anggota populasi yang besar dengan probabilitas yang kecil, sehingga untuk mengetahui faktor-faktor yang berpotensi dalam meningkatkan jumlah kasus gizi buruk, dilakukan pemodelan dengan menggunakan analisis Regresi Poisson. 2.
METODE PENELITIAN
2.1.
Model Regresi Poisson
Model regresi Poisson merupakan model standar untuk data diskrit dan termasuk dalam model regresi nonlinear. Regresi Poisson berdasarkan pada penggunaan distribusi Poisson. Beberapa karakteristik dari percobaan yang mengikuti sebaran distribusi Poisson antara lain (Cameron dan Trivedi, 1998): 1. Kejadian yang terjadi pada jumlah anggota populasi yang besar dengan probabilitas yang kecil 2. Bergantung pada interval waktu tertentu 3. Kejadian yang termasuk ke dalam counting process atau termasuk ke dalam lingkupan proses stokastik 4. Perulangan dari kejadian yang mengikuti sebaran distribusi binomial. Probabilitas distribusi Poisson diberikan sebagai berikut (Myers, 1990). p ( y; )
e y!
y
( y 0 , 1, 2 , ...)
(1)
dimana adalah mean dan varian distribusi Poisson. Parameter sangat bergantung pada beberapa unit yang ditetapkan atau periode waktu, jarak, luas, volume, dan lain-lain. Distribusi Poisson digunakan untuk memodelkan peristiwa yang relatif jarang terjadi selama periode yang dipilih sedangkan adalah banyaknya kejadian pada daerah ke-i, i=1,2,...,n. Baharuddin (2005) dalam Rahmawati (2009) mengatakan bahwa metode regresi Poisson biasanya diterapkan pada penelitian kesehatan masyarakat, biologi, dan teknik dimana peubah responnya ( ) merupakan fungsi dari sejumlah peubah prediktor ( , ,…, , ). Misalkan terdapat sekumpulan data dengan struktur sebagai berikut:
y1 x11 x21 x k1 INT y n x1n x 2 n x kn
2
RAL,
Biastatistics Vol 8, No.1, Februari 2014
Model regresi Poisson ditulis sebagai berikut (Myers, 1990) ( )
~ = exp(
)
(2)
dimana = [1
…
=[
…
] ]
2.1.1. Estimasi Parameter Model Regresi Poisson Penaksiran parameter regresi Poisson dilakukan dengan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Taksiran maksimum likelihood untuk parameter bk dinyatakan dengan yang merupakan penyelesaian dari turunan pertama dari fungsi likelihoodnya, dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Mengambil n sampel random , , , … , 2. Membuat fungsi likelihoodnya. Berdasarkan persamaan distribusi Poisson yang ditunjukkan pada Persamaan (1), maka fungsi likelihoodnya adalah sebagai berikut: (
ln ( ) = ln ∏
) !
(
= ∑
) !
= ∑ = ∑
( −
)+ + ln
= ∑
−
+
=∑
+∑
−
( − ln
) − ( !) ( !) −
( !)
−∑
Kemudian persamaan (3) diturunkan terhadap syarat perlu
( )
( !)
(3)
disamakan dengan nol sebagai
= 0. Pada beberapa kasus tertentu, cara derivatif ini kadang tidak
menghasilkan suatu solusi yang eksplisit karena persamaanya masih berbentuk implisit. Alternatif lain yang bisa digunakan untuk mencari MLE adalah dengan menggunakan metode iterasi numerik yaitu Newton-Raphson. Ide dasar dari model ini adalah memaksimumkan fungsi likelihood (Myers, 1990). Algoritma untuk optimisasi dengan metode Newton-Raphson dapat dituliskan sebagai berikut 1. Menentukan nilai taksiran awal parameter βˆ (0). Penentuan nilai awal ini biasanya diperoleh dengan metode Ordinary Least Square (OLS), yaitu : βˆ ( 0 ) ( X ' X ) 1 X ' y dimana 1 ⎡ 1 X=⎢ ⎢⋮ ⎣1 =[
x x
,
⋮ x
… x … x
,
,
…
⋯ ⋯ x
, , ,
]
Biastatistics Vol 8, No.1, Februari 2014
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
(4) (5)
3
2. Membentuk vektor gradien g, ln L( β ) ln L( β ) ln L( β ) gT ( b ( m ) )( k 1) x1 , , , b1 b k b b b 0
(m)
k adalah banyaknya parameter yang ditaksir. 3. Membentuk matriks Hessian H: Matriks Hessian ini disebut juga matriks informasi.
H ( b ( m ) ) ( k 1) x ( k 1)
2 ln L ( β ) 2 b 0 simetris
2 ln L( β ) 2 ln L( β ) b 0 b1 b 0 b k 2 ln L( β ) 2 ln L( β ) 2 b1b k b1 2 ln L( β ) 2 b k b b( m )
4. Memasukkan nilai βˆ(0) ke dalam elemen-elemen vektor g dan matriks H, sehingga diperoleh vektor g ( βˆ(0) ) dan matriks H( βˆ(0) ) . 5. Mulai dari m = 0 dilakukan iterasi pada persamaan: b(m+1) = b(m) – H-1(m) g(m) Nilai b(m) merupakan sekumpulan penaksir parameter yang konvergen pada iterasi kem. 6. Jika belum didapatkan penaksir parameter yang konvergen, maka dilanjutkan kembali langkah 5 hingga iterasi ke m = m + 1. Iterasi berhenti pada keadaan konvergen yaitu pada saat ( − ( ) ≤ , dimana merupakan bilangan yang sangat kecil ) sekali. 2.1.2. Pengujian Parameter Model Regresi Poisson Untuk menguji kelayakan model regresi Poisson, terlebih dahulu ditentukan dua buah fungsi likelihood yang berhubungan dengan model regresi yang diperoleh. Fungsi-
ˆ ) yaitu nilai maksimum likelihood untuk fungsi likelihood yang dimaksud adalah L( model yang lebih lengkap dengan melibatkan peubah prediktor dan L(ˆ ) , yaitu nilai maksimum likelihood untuk model sederhana tanpa melibatkan peubah prediktor. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan statistik uji dalam pengujian parameter model regresi Poisson adalah dengan menggunakan metode Maximum Likelihood Ratio Test (MLRT). Likelihood ratio dinotasikan dengan :
L(ˆ ) ˆ) L (
(6)
Regresi Poisson termasuk dalam keluarga exponensial sehingga likelihood ratio pada persamaan (6) dapat juga ditulis dalam bentuk (Hardin dan Hilbe, 2007)
2 ln
4
(7)
Biastatistics Vol 8, No.1, Februari 2014
atau dapat dituliskan sebagai berikut:
L(ˆ ) D( bˆ ) 2ln 2ln (8) ˆ ) L( D ( βˆ ) merupakan devians model regresi poisson atau devians yang dihitung pada seluruh parameter dalam model. Nilai D ( βˆ ) yang semakin kecil menyebabkan semakin kecil pula tingkat kesalahan yang dihasilkan model, sehingga model menjadi semakin tepat. D ( βˆ ) disebut juga sebagai statistik rasio likelihood, di mana untuk ukuran sampel besar distribusi dari statistik uji pada persamaan (2.8) akan mengikuti distribusi khi-kuadrat dengan derajat bebasnya adalah banyaknya parameter model dibawah populasi dikurangi dengan banyaknya parameter dibawah H0. Berdasarkan metode Likelihood Ratio Test, hipotesis H 0 : ( b1 , b 2 , , b k ) dan Kriteria pengujiannya adalah tolak H0 apabila . Menurut McCullagh dan Nelder (1989) harga devians ini akan D ( βˆ ) 2 ( ; n k 1)
berkurang seiring dengan bertambahnya parameter ke dalam model. Selanjutnya dilakukan pengujian parameter model secara parsial yaitu untuk mengetahui parameter mana yang memberikan pengaruh signifikan terhadap model. Misalkan, ingin menguji apakah parameter bj berpengaruh terhadap model dirumuskan sebagai berikut: H0: bj = 0 terhadap H1 : bj 0
D(b j | bˆ1, bˆ2 ,..., bˆ j1, bˆ j1,..., bˆk ) D bˆ1, bˆ2 , , bˆ ji , bˆ j1, bˆk D( βˆ) Bentuk
D bˆ1 , bˆ2 ,, bˆ j i , bˆ j 1 , bˆk adalah devians yang dihitung tanpa melibatkan bˆ j x j ke dalam model. Banyaknya pengurangan harga devians disebabkan oleh bˆ x dikeluarkan j
j
dari dalam model yang dihitung melalui persamaan berikut: L(bˆ , bˆ ,..., bˆj1, bˆj1,..., bˆk ) D (bˆ1 , bˆ2 ,...,bˆ j 1 , bˆ j1 ,...,bˆk ) = 2ln 1 2 (9) L(bˆ) Kriteria uji yang digunakan adalah tolak H0 jika 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ D ( b j | b1 , b 2 ,..., b j 1 , b j 1 ,..., b k ) > ( ;1) . Hal ini berarti peubah ke-j berpengaruh secara signifikan terhadap peubah respon pada model (Kleinbaum, 1988). 2.2.
Gizi Buruk
Gizi buruk adalah suatu istilah teknis yang umumnya dipakai oleh kalangan gizi, kesehatan dan kedokteran. Gizi buruk adalah bentuk terparah dari proses terjadinya kekurangan gizi menahun. Anak balita sehat atau kurang gizi secara sederhana dapat diketahui dengan membandingkan antara berat badan menurut umurnya dengan rujukan (standar) yang telah ditetapkan. Apabila berat badan menurut umur sesuai dengan standar, anak disebut gizi baik. Kalau sedikit di bawah standar disebut gizi kurang. Apabila jauh di bawah standar dikatakan gizi buruk. Penyebab timbulnya masalah gizi buruk bersifat multifaktor yang terdiri dari faktor langsung dan tidak langsung. Gizi buruk secara langsung disebabkan oleh kurangnya asupan makanan dan penyakit infeksi, sedangkan secara tidak langsung disebabkan oleh ketersediaan pangan, sanitasi lingkungan, pelayanan kesehatan, pola asuh, kamampuan daya beli keluarga, pendidikan, dan pengetahuan (DBGM 2008).
Biastatistics Vol 8, No.1, Februari 2014
5
Masalah gizi buruk membutuhkan penanganan yang tepat, karena konsekuensinya dapat menimbulkan penurunan kualitas sumberdaya manusia. Gizi buruk secara langsung maupun tidak langsung akan menurunkan tingkat kecerdasan anak, terhambatnya pertumbuhan, perkembangan anak, serta menurunkan produktivitas. 2.3.
Sumber Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh dari pemerintahan Kota Jayapura, Dinas Kesehatan Kota Jayapura dan Badan Pusat Statistik. Data yang diambil mencakup kejadian balita gizi buruk dan faktor-faktor yang mempengaruhi persentase kejadian balita gizi buruk di Kota Jayapura. Data yang digunakan adalah persentase balita gizi buruk, balita mendapat vitamin A , pemeriksaan kehamilan, ibu hamil mendapat tablet Fe, bayi berat lahir rendah, kegiatan penyuluhan kesehatan, jumlah posyandu, jumlah tenaga kesehatan, rumah tangga yang berperilaku hidup bersih, penduduk yang melek huruf. 2.4.
Metode Analisis Tahapan analisis data yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. 2. 3. 4. 5.
3.
Melakukan analisis statistika deskriptif jumlah penderita gizi buruk di Kota Jayapura. Mendeteksi kasus multikolonieritas antara peubah penjelas Menghitung nilai penaksir parameter model regresi Poisson Menguji signifikansi parameter model regresi Poisson Menentukan model terbaik untuk model regresi Poisson pada pemodelan jumlah penderita gizi buruk di Kota Jayapura. HASIL DAN PEMBAHASAN
Peubah yang diduga mempengaruhi jumlah penderita gizi buruk di Kota Jayapura berdasarkan statistika deskriptif disajikan pada Tabel 1. Tabel 1. menunjukkan bahwa sebagian besar faktor-faktor yang diduga mempengaruhi terjadinya gizi buruk cukup bervariasi, dan faktor yang memiliki nilai varians tertinggi adalah persentase ibu yang memeriksa kehamilannya. Faktor yang memiliki nilai varians tertinggi kedua adalah persentase jumlah posyandu yang berada di Kota Jayapura. Hal ini mengindikasikan bahwa pemeriksaan ibu hamil dan Posyandu mempunyai peranan yang penting dalam hal mempengaruhi terjadinya gizi buruk di Kota Jayapura. Tabel 1. Statistika Deskriptif Peubah Penelitian Peubah Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9
6
Mean 109.0 23.32 20.00 51.48 2.054 20.00 20.00 20.00 38.84 99.10
Varians 1.486E4 0.257 136.180 0.317 0.049 29.790 56.485 12.715 26.263 0.0000
Minimum 10 21.80 4.60 50.90 1.81 14.00 11.90 14.40 29.80 99.09
Maksimum 317 22.90 30.90 52.20 2.37 27.30 30.00 23.30 42.00 99.11
Biastatistics Vol 8, No.1, Februari 2014
Pemeriksaan multikolinearitas perlu dilakukan guna mengetahui apakah terdapat korelasi antar peubah prediktor yang diduga mempengaruhi terjadinya kasus gizi buruk di Kota jayapura sebagai langkah awal sebelum pembentukan model. Berdasarkan uji kolonieritas dengan menggunakan koefisien korelasi dan nilai Variance Inflation Factors (VIF) bahwa terdapat multikolinearitas diantara peubah, yaitu: balita mendapat vitamin A (X1), ibu hamil mendapat tablet Fe (X3), bayi berat lahir rendah (X4), kegiatan penyuluhan kesehatan (X5), dan jumlah posyandu (X6). Sehingga peubah yang dapat digunakan dalam pembentukan model regresi Poisson adalah pemeriksaan kehamilan (X2), jumlah tenaga kesehatan (X7), rumah tangga yang berperilaku hidup bersih (X8), dan penduduk yang melek huruf (X9). Pengujian secara serentak model Regresi Poisson menggunakan hipotesis sebagai berikut: H ∶ β = β = β = β = 0, H ∶ paling sedikit ada satu β ≠ 0 ; j = 2, 7,8, 9 Nilai devians atau D β adalah sebesar 484.126. Nilai devians tersebut dibandingkan dengan nilai chi-square pada taraf signifikansi atau α sebesar 5% dan derajat bebasnya sesuai dengan banyaknya parameter. Nilai D β > χ( . ; ) , sehingga keputusannya adalah tolak Ho. Hal tersebut berarti paling tidak terdapat satu parameter yang berpengaruh secara signifikan terhadap model. Setelah dilakukan pengujian secara serentak, maka langkah selanjutnya ialah melakukan pengujian secara parsial untuk mencari parameter mana saja yang berpengaruh secara signifikan terhadap model. Hipotesis dari pengujian secara parsial adalah sebagai berikut H ∶ β = 0, H ∶ β ≠ 0 ; j = 2, 7,8, 9 Nilai hitung T yang diperoleh berdasarkan hasil analisis selanjutnya dibandingkan dengan nilai t α/ dengan α sebesar 5% . Berikut ini adalah nilai dugaan parameter model regresi Poisson. Tabel 2. Nilai dugaan parameter model regresi Poisson Parameter Nilai dugaan Standar Error 5.759 0.0562 β -1.040 0.1099 β -1.930 0.1578 β -1.665 0.1408 β -3.456 0.3219 β Keterangan: * nyata pada taraf alpha 5 %
Thit 10513.289* 89.582* 149.673* 139.787* 115.808*
Dari Tabel 2. tersebut terlihat bahwa seluruh parameter memiliki pengaruh yang signifikan terhadap model, Sehingga model regresi Poisson yang dibentuk untuk jumlah penderita gizi buruk di Kota Jayapura adalah : μ = exp(5.759 − 1.040X − 1.930X − 1.665X − 3.456 X ) ln(μ) = 5.759 − 1.040X − 1.930X − 1.665X − 3.456 X
Biastatistics Vol 8, No.1, Februari 2014
7
4.
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1.
Kesimpulan
Dari hasil pembahasan dan analisis yang telah dilakukan, maka dapat disimpulkan bahwa peubah yang signifikan untuk model Poisson dalam analisis tentang balita penderita gizi buruk di Kota Jayapura tahun 2011 antara lain persentase pemeriksaan kehamilan, persentase jumlah tenaga kesehatan, persentase rumah tangga yang berperilaku hidup bersih, dan persentase penduduk yang melek huruf. Dengan menggunakan analisi regresi Poisson, model yang dibentuk untuk jumlah penderita gizi buruk di Kota Jayapura adalah : μ = exp(5.759 − 1.040X − 1.930X − 1.665X − 3.456 X ) 4.2.
Saran
Peubah prediktor yang digunakan dalam penelitian ini lebih banyak berasal dari faktor eksternal, sehingga perlu adanya tambahan peubah yang berasal dari faktor internal yang mempengaruhi terjadinya kasus gizi buruk pada balita di Kota Jayapura sehingga dapat menghasilkan analisis yang lebih mendalam. Selain itu, dari sisi metode analisis yang digunakan, akan lebih baik jika dilakukan pula analisis secara lokal yang memperhatikan faktor lokasi dengan menggunakan metode GWPR (Geographycally Weighted Poisson Regression). 5.
DAFTAR PUSTAKA
Cameron, A.C, dan Trivedi, P.K. 1998. Regression Analysis of Count Data. Cambridge: CambCambridge University Press. [DBGM] Direktorat Bina Gizi Masyarakat. 2008. Pedoman Respon Cepat Penanggulangan Gizi Buruk. Jakarta: Departemen Kesehatan Republik Indonesia. Hardin, J.W dan Hilbe, J.M. 2007. Generalized Linier Models and Extensions. Texas: Stata press. Kleinbaum, D.G., Kupper, L.L, dan Muller, K.E. 1988. Applied Regression Analysis and Other Multivariable Methods, second edition. Boston: PWS-KENT Publishing Company. McCullagh, P. dan Nelder, J.A. (1989), Generalized Linear Models Second Edition, London: Chapman & Hall. Rahmawati, I. 2009. Pemodelan Penyakit Kaki Gajah (Filariasis) di Provinsi Papua dengan Regresi Zero-Inflated Poisson, Surabaya: Program Sarjana, Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
8
Biastatistics Vol 8, No.1, Februari 2014
