adalah nilai-nilai yang mungkin diambil oleh parameter jika H

Uji Nisbah Kemungkinan  Lema Neyman-Pearson dapat digunakan untuk menemukan uji paling kuasa bagi hipotesis sederhana bila sebaran datanya hanya ditentukan oleh satu parameter yang tidak diketahui.  Lema tersebut juga adakalanya dapat digunakan untuk membangun uji paling kuasa seragam bagi hipotesis majemuk yang sebarannya hanya ditentukan oleh satu parameter.  Sekarang kita akan membahas bagaimana membangun uji yang ditentukan oleh lebih dari satu parameter.  Andaikan suatu contoh acak diambil dari suatu populasi.  Andaikan fungsi kemungkinan datanya adalah f ( x1 , x2 ,...., xn | ) , dengan   (1 ,..., k ) .  Parameter yang tidak menarik perhatian kita (tidak ingin diuji), kalau ada, dinamakan parameter pengganggu (nuisance parateres).  Andaikan 0 adalah nilai-nilai yang mungkin diambil oleh parameter jika H 0 benar; dan  a

adalah nilai-nilai yang mungkin diambil oleh parameter jika H a benar.  Andaikan 0  a   dan   0  a . ˆ ) adalah nilai maksimum dari  Andaikan L( 0 fungsi kemungkinan bila 0 . Jadi ˆ )  max L() . L ( 0 0

ˆ ) adalah nilai maksimum dari  Andaikan L( fungsi kemungkinan bila  . Jadi ˆ )  max L() . L ( 

ˆ ) merupakan penjelasan  Perhatikan bahwa L( 0 ˆ ) adalah terbaik bagi data bila 0 ; dan L( penjelasan terbaik bagi data bila  . ˆ )  L ( ˆ ) berarti penjelasan terbaik  Bila L( 0 untuk data kita dapat ditemukan di dalam 0 , sehingga H 0 jangan ditolak. ˆ )  L ( ˆ ) berarti penjelasan terbaik  Bila L( 0 bagi data dapat ditemukan di dalam  a , sehingga H 0 perlu dipertimbangkan untuk ditolak.

 Uji Nisbah Kemungkinan. Andaikan ˆ ) L ( 0  ˆ ) L ( a Uji nisbah kemungkinan bagi H 0 : 0 lawan H a : a adalah uji yang menggunakan  sebagai statistik uji dan wilayah penolakannya ditentukan oleh   c .  Dapat ditunjukkan bahwa 0    1.  Nilai  yang lebih dekat pada 0 mengindikasikan bahwa nilai fungsi kemungkinan contoh menurut H 0 jauh lebih kecil dibandingkan nilai fungsi kemungkinan menurut H a , sehingga dapat disimpulkan bahwa data lebih cenderung mendukung H a daripada H 0 .  Nilai c ditetapkan agar nilai taraf nyata  yang ditetapkan dapat tercapai. Teladan 1. Andaikan X1 , X 2 ,..., X n adalah suatu contoh acak dari populasi normal yang baik rataannya  maupun ragamnya  2 tidak diketahui. Kalau kita ingin menguji H 0 :   0 lawan

H a :   0 , tentukan uji nisbah kemungkinan yang sesuai. Jawab Perhatikan bahwa dalam kasus ini   (  , 2 ) , 0  {( 0 , 2 ) |  2  0}, a  {(  , 2 ) |   0, 2  0}, dan   0  a  {(  , 2 ) |   0, 2  0}. Untuk sebaran normal, fungsi kemungkinan datanya adalah L ( )  L (  ,  2 ) 2 n  1  xi      1    exp   2          2  i 1   Kalau H 0 benar, maka   0 , sehingga fungsi kemungkinan datanya adalah n 2 n  1  xi  0    1  2 L ( 0 ,  )    exp   2          2  i 1   Untuk mencari maksimumnya, kita cari dulu nilai  2 yang membuat fungsi kemungkinan itu mencapai maksimum. Telah diketahui bahwa nilai itu adalah penduga kemungkinan maksimum bagi  2 , yaitu n

n 1 ˆ 02   ( xi  0 )2 n i 1 Dengan demikian, n 2 n    1    x   1 i 0 ˆ )  L ( exp     ˆ   0  2 i 1   0    ˆ 0 2 

n

 1   1 1 n n 2  ( xi  0 )   exp    2  2 ˆ 0 n i 1   ˆ 0 2  n

 1   1 n 1 n 2  ( xi  0 )   exp    2  2 ˆ 0 n i 1   ˆ 0 2  n

 1   1 n 2  ˆ 0   exp   2  2 ˆ 0   ˆ 0 2  n

 1   n   exp     2  ˆ 0 2  ˆ ) , akan lebih mudah kalau kita Untuk mencari L( bekerja dengan ln L(  , 2 ) :

n n 1 ln L(  ,  2 )   ln 2 2  2  ( xi   ) 2 2 2 i 1 n n n 1   ln  2  ln 2  2  ( xi   ) 2 2 2 2 i 1 Dengan mengambil turunan parsial masing-masing terhadap  dan  2 kita memperoleh  ln L(  ,  2 ) 1 n  2  ( xi   )   i 1

 ln L(  ,  2 ) n 1 n 2    ( x   )  i  2 2 2 2 4 i 1 Penyamaan turunan parsial terhadap  dengan nol menghasilkan 1 n ˆ  x   xi n i 1 Penyamaan turunan parsial terhadap  2 dengan nol menghasilkan



n 2 2



1 2

n

2 ( x   ) 0 i 4  i 1



n 2 2



1 2

n

2 ( x   ) i 4  i 1

n 1  2   ( xi   ) 2 n i 1 ˆ ) diperoleh dengan mengganti  dengan Jadi L( 1 n 2 2 ˆ  x dan  dengan ˆ   ( xi  x )2 : n i 1 n  1   n ˆ L ()   exp      2  ˆ 2  Jadi n 2 2 ˆ L(0 )  ˆ    2  L()  ˆ 0 

 ( x  x )2  n 2   i     ( xi  0 ) 2   1  Perhatikan bahwa

jika x  0 jika x  0

n

n

 ( x   )   ( x  x )  ( x   )

2

2

i 1

i

0

i 1

i

0

n

  ( xi  x ) 2  n( x  0 ) 2 i 1

Jadi, wilayah penolakan   k ekivalen dengan n 2 2   ( xi  x )  k  2   ( xi  0 )  2 ( x  x )  i 2n  k 2 ( x   )  i 0 2 ( x  x )  i

2 2 ( x  x )  n ( x   )  i 0

 k2 n

1 2n  k n( x  0 ) 2 1 2 ( x  x )  i n( x  0 ) 2 1 *   1  k 2 2n ( x  x ) k  i

n( x  0 ) 2 1 *   1  k 2 2n ( x  x ) k  i n( x  0 ) 2 1 2 ( x  x )  i (n  1)

 (n  1) k *

n ( x  0 )  (n  1)k * s x  0  (n  1)k * s n Perhatikan bahwa yang terakhir ini adalah uji-t Student yang telah kita kenal. Teladan 2. Tentukan Uji Nisbah Kemungkinan untuk menguji H 0 :   0 lawan H a :   0 pada taraf nyata  berdasarkan contoh acak satu amatan dari populasi dengan fungsi kepekatan peluang 1 1 ,   x   ,   0 . f (x | )   2  1 (x  ) Jawab

1 ˆ L ( 0 )  

1  1  x2 1 1 akan mencapai maksimum L ( )   2  1 (x  ) 1 ˆ bila x   , sehingga L() 



1

1  2 1  1  x Jadi    1 1  x2



Syarat

1  c c 2 1 x 1 2  x  1  k c  x   k   K atau x  k  K Nilai k ditentukan sedemikian rupa sehingga P( x   K atau x  K )   Karena fungsi kepekatan itu setangkup di sekitar 0, maka

P( x  K ) 



2

Tetapi



1  1 P( x  K )     dx 2   1 x  K



1   1    tan K  2 2  (1   ) 1 tan K  2 (1   ) K  tan 2  (1   )  Jadi, H 0 ditolak bila x   tan   atau bila 2    (1   )  x  tan  . 2  