ESTIMASI Salah satu aspek untuk menarik kesimpulan mengenai suatu populasi dengan memakai sampel yang diambil dari populasi tersebut menggunakan estimasi (penaksiran) Jika parameter populasi disimbolkan dengan θ maka θ yang tidak diketahui harganya ditaksir oleh harga θˆ yang dinamakan dengan estimator (penaksir)
Ciri-ciri estimator / penaksir yang baik ˆ akan 1. Tak bias, jika rata-rata semua harga θ sama dengan θ, E(θˆ )= θ ˆ memiliki varians yang minimun 2. Efisien, jika θ 3. Konsisten, jika θ yang dihitung berdasarkan sampel acak berukuran n semakin besar n menyebabkan θˆ mendekati θ lim θˆ = θ n → ∞
Contoh : 1. rata-rata dari distribusi sampling rata-rata µ x = µ maka rata-rata sampel x penaksir tak bias
2. rata-rata dari dist sampling rata-rata, µ x = µ dan juga µ Med = µ tetapi σ s = σ n
1.2533σ σMed = n
sedemikian hingga dist rata-rata memiliki varians lebih kecil dari dist median sehingga rata-rata sampel sebagai penaksir yang efisien
CARA MENAKSIR 1. Interval Estimations (Interval taksiran) dari penelitian dan perhitungan-perhitungan harga statistik suatu sampel, bisa dihitung suatu interval dimana dengan peluang tertentu, harga parameter yang hendak ditaksir terletak dalam interval tersebut (A < θ < B) 2. Point Estimations (titik taksiran) harga parameter hanya ditaksir dengan satu harga yakni harga sitatistik sampelnya θˆ = θ
Derajat kepercayaan menaksir disebut koefisin kepercayaan dengan 0 < γ < 1 Untuk menentukan interval taksiran parameter θ dengan koefisien kepercayaan γ maka sebuah sampel acak diambil, lalu hitung nilai-nilai statistik yang diperlukan P(A < θ < B) = γ
A
θ
B
dengan A dan B fungsi dari statistik, yang berarti peluangnya adalah γ bahwa interval yang sifatnya acak yang terbentang dari A ke B akan berisikan θ atau 100 γ % percaya bahwa parameter θ akan berada dalam interval A dan B
I. MENAKSIR RATA-RATA, µ •
Titik taksiran untuk µ populasi dengan parameter rata-rata µ akan ditaksir, diambil sampel yang dihitung nilai statistik x . Titik taksiran untuk µ adalah x
•
Interval taksiran untuk µ
a) Simpangan baku diketahui, populasi normal maka 100γ % interval kepercayaan untuk µ adalah x − z 1γ 2
σ n
< µ < x + z 1γ 2
σ n
.......... .(1)
b) Simpangan baku tidak diketahui, populasi normal maka 100γ % interval kepercayaan untuk µ adalah s s x − tp
n
< µ < x + tp
n
.......... .( 2 )
dengan tp = niali t dari daftar dist t, p = ½ (1 + γ) dk = derajat kebebasan = n – 1 Jika n besar dengan N populasi (n/N > 0.05) maka :
(1) menjadi : σ
x − z 1γ
n
2
σ N−n < µ < x + z 1γ 2 N −1 n
N−n N −1
( 2 ) menjadi : x − tp
s n
N−n s < µ < x + tp N −1 n
N−n N −1
Contoh : 1. Ukuran berat dari sebuah sampel acak yang terdiri dari 200 bola-bola yang dihasilkan oleh sebuah mesin tertentu selama satu minggu menunjukkan rerata sebesar 0.824 kg dan simpangan baku 0.042 kg tentukan batas interval bila 95% bagi berat ratarata semua bola ! Penyelesaian : x = 0.824 n = 200 s = 0.042 Berarti simpangan baku σ tidak diketahui, diasumsikan normal maka dengan 95% interval kepercayaan adalah ……… (silahkan coba dihitung)
2. Suatu biro riset ingin mengestimasi rata-rata pengeluaran untuk pembelian bahan makanan per minggu dari ibu-ibu rumah tangga. Sebuah sampel acak yang terdiri dari 100 ibu rumah tangga telah dipilih dari populasi ibu rumah tangga. Dari ke-100 tersebut diketahui rata-rata pengeluaran Rp 190.600 dengan simpangan baku Rp 10.600. Hitung 98% interval kepercayaan untuk pengeluaran rata-rata untuk pembelian bahan makanan per minggu dari semua ibuibu rumah tangga (silahkan coba, sebagai latihan)
II. MENAKSIR PROPORSI, P populasi binom berukuran N dimaka terdapat proporsi P untuk peristiwa A Titik taksiran untuk P x ˆ titik taksiran untuk P adalah p = dg x banyaknya n peristiwa A Interval taksiran untuk P 100γ% interval kepercayaan P adalah pq pˆ − z 1 γ < P < pˆ + z 1 γ 2 2 n x dengan pˆ = q=1–p n
pq n
Contoh : Sebuah sampel acak yang terdiri 100 penggarap sawah, 60 orang penggarap di atas ternyata juga merupakan pemilik sawah yang bersangkutan. Tentukan 90% interval kepercayaan guna penaksiran proporsi penggarap yang juga pemilik sawah Penyelesaian : x n = 100 dan x = 60 maka pˆ = = 0.6 dan q = ….. n z1/2 γ = z(1/2)0.9 = 1.64 Sehingga 90% interval kepercayaan adalah …….< P < …….. Dengan demikian 90% interval kepercayaan, proporsi populasi berkisar diantara …………….
III. MENAKSIR SELISIH RATA-RATA, µ1 – µ2 Titik taksiran untuk (µ1 – µ2) adalah x 1 − x 2 a) σ1 = σ2 populasi normal dengan σ1 = σ2 = σ Interval taksiran : 1 1 1 1 x1 − x 2 − z 1 γ σ + < µ1 − µ 2 < x1 − x 2 + z 1 γ σ + 2 2 n1 n 2 n1 n 2
(
(
)
(
)
)
Jika besarnya σ1 = σ2 = σ tidak diketahui
(
)
(
)
1 1 1 1 x1 − x 2 − t p s + < µ1 − µ 2 < x1 − x 2 + t p s + n1 n 2 n1 n 2
(n1 − 1) s12 + (n2 − 1)s22 s= n1 + n2 − 2
p = ½ (1 + γ) dk = n1 + n2 - 2
b) σ1 ≠ σ2 Dilakukan pendekatan dengan memisalkan s1 = σ1 dan s2 = σ2 , interval taksiran :
(
)
(
)
1 1 1 1 x1 − x 2 − z 1 γ σ + < µ1 − µ 2 < x1 − x 2 + z 1 γ σ + 2 2 n1 n 2 n1 n 2
c) Observasi Berpasangan Variabel acak X dan variabel acak Y diambil sampel berukuran sama n1 = n2 = n tiap data sampel dari kedua variabel acak saling dipasangkan. Misal x1 dengan y1, x2 dengan y2 dan seterusnya sehingga diperoleh beda ratarata µB = µx – µy dan selisih tiap pasangan B1 = x1 – y1 , B2 = x2 – y2 dan seterusnya
Interval taksiran : B − tp
sB
dengan
:
n
B = sB =
< µ
∑
B
< B + tp
sB n
Bi n n ∑ B i2 −
(∑
n(n − 1)
Bi
)
p = ½ (1 + γ)
2
dk = n1 + n2 - 2
Contoh : Ada 2 cara pengukuran untuk mengukur kelembaban suatu zat : Cara I dilakukan 50 kali dengan rata-rata 60.2 dan varians 24.7 Cara II dilakukan 60 kali dengan rata-rata 70.4 dan varians 37.2 Tentukan 95% interval kepercayaan mengenai perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara itu Penyelesaian :
2 2 ( n − 1 ) s + ( n − 1 ) s 2 1 2 2 s gab = 1 n1 + n 2 − 2 (50 − 1)24.7 + (60 − 1)37.2 = = 31.53 50 + 60 − 2
p = ½ (1 + γ) =….. dk = n1 + n2 – 2 =….. Sehingga tp =…… Batas-batas interval taksiran adalah
(x
1
)
− x 2 ± t ps
1 1 + n1 n2
(70 . 4 − 60 . 2 ) ± 1.984
31.53
1 1 + 50 60
Sehingga diperoleh : ….. < µ1 – µ2 < …… Dengan demikian 95% percaya bahwa selisih ratarata pengukuran kedua cara itu akan berada pada interval ……………….. IV. MENAKSIR SELISIH PROPORSI, P1 – P2 Misal
x1 pˆ 1 = n1
x2 pˆ 2 = n2
Interval taksiran untuk interval kepercayaan 100γ% selisih (P1 – P2) adalah p1q1 p1q1 p1q1 p1q1 ˆ ˆ ˆ ˆ (p1 − p 2 ) − z 1 γ + < P1 − P2 < (p1 − p 2 ) + z 1 γ + 2 2 n1 n1 n1 n1 Dengan q1 = 1 – p1 q2 = 1 – p2
Contoh Sampel acak dari 100 kendaraan masing-masing yang telah dipilih dari populasi terdiri dari kendaraan di dua kota A dan kota B. di kota A, 80 buah ternyata sudah melunasi pajak kendaraan, sedangkan di kota B hanya 66 buah. Buat interval keprcayaan 95% untuk menaksir harga perbedaan proporsi pelunasan pajak kendaraan di kedua kota Penyelesaian : ˆ 1 = ...... pˆ 2 = ...... n1 = n2 = 100 p γ = 0.95 z1/2 γ = 1.96 interval taksiran untuk interval kerpercayaan 95% adalah ………. < P1 – P2 < ………
V. MENAKSIR SIMPANGAN BAKU, σ Jika populasi berdistribusi normal dengan varians σ2 maka interval taksiran 100γ% untuk σ2 adalah 2 2 (n − 1)s (n − 1)s 2 <σ < 2 2 χ 1 (1+ γ ) χ 1 (1− γ ) 2
2
Contoh Sampel acak berukuran 30 telah diambil dari sebuah populasi yang berdistribusi normal dengan simpangan bakuσ . Dihasilkan harga statistik s2 = 7.8 dengan koefisien kepercayaan 0.95 dan dk = 29 maka diperoleh
χ 02.975 = 45.7
χ 02.025 = 16.0
29 • 7.8 29 • 7.8 2 <σ < 45.7 16
⇔
4.95 < σ 2 < 14.14
Dapat disimpulkan 95% percaya bahwa simpangan baku σ akan berada dalam interval 2.23 dan 3.75 VI. MENENTUKAN UKURAN SAMPEL Perbedaan antara θ dan θˆ , b = | θ - θˆ | untuk koefisien kepercayaan γ dan berdistribusi normal dengan simpangan baku σ diketahui, ukuran sampel n ditentukan oleh : σ z 1γ 2 n ≥ b
Menaksir rata-rata µ oleh
2
x dengan b = |µ - x |
Jika yang ditaksir itu proporsi P oleh x ˆp = adalah : dan b = | P - pˆ | n
z 1γ 2 n ≥ P(1 − P) b
2
Apabila P(1 – P) tidak diketahui dianggap P(1 – P) = 0.25 Contoh : Misal Depdiknas perlu mengetahui ada berapa % kirakira anak SD yang bercita-cita jadi guru. Koefisien kepercayaan 0.95 dengan kekeliruan menaksir tidak lebih dari 2%. Berapa anak SD yang perlu dIiteliti?
Penyelesaian : Dianggap P(1 – P) = 0.25 (tidak diketahui P) b = 2% = 0.02 z(1/2)0.95 = 1.96
z 1γ n ≥ P(1 − P) 2 b 2 1.96 n ≥ 0.25 0.02 n ≥ 2401
2
Sampel itu paling sedikit harus terdiri dari 2401 anak SD
