ESTIMASI PARAMETER BATAS PENGENDALI EWMA

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

ESTIMASI PARAMETER BATAS PENGENDALI EWMA X - R

Oleh : ERNITA DWI HASTUTI M0106040

SKRIPSI Ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2011

commit to user

i


digilib.uns.ac.id

commit to user

ii


digilib.uns.ac.id

MOTO

“Tuhan pasti kan menunjukkan kebesaran dan kuasaNya bagi hambaNya yang sabar dan tak kenal putus asa” (D’Masiv)

commit to user

iii


digilib.uns.ac.id

PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk Orang tuaku tercinta atas doa, kasih sayang, kesabaran, semangat dan pengorbanan yang diberikan. Saudara-saudara atas doa dan pengorbanan yang diberikan.

commit to user

iv


digilib.uns.ac.id

ABSTRAK

Ernita Dwi Hastuti, 2011. ESTIMASI PARAMETER BATAS PENGENDALI EWMA & − . Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Grafik pengendali Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) ialah sebuah grafik yang digunakan untuk mengendalikan proses secara statistik dan sebagai alat untuk mempertimbangkan apakah proses terkendali secara statistik atau tidak. Grafik pengendali EWMA sangat efektif untuk pergeseran proses yang kecil karena grafik EWMA menggunakan informasi dari sampel sebelumnya. Dalam suatu proses produksi tidak ada dua unit produk yang identik, sehingga adanya variansi tidak dapat dihindarkan. Oleh karena itu dibutuhkan dua grafik pengendali EWMA, yaitu grafik pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan grafik pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran proses variansi. Dalam penelitian ini dikaji grafik pengendali EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah dan grafik pengendali EWMA & − untuk memonitor proses mean dan variansi secara bersama-sama. Grafik pengendali EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah dapat dibuat dengan mencari statistik yang digambarkan pada grafik pengendali. Sedangkan statistik yang digambarkan pada grafik pengendali EWMA & − merupakan maksimum nilai mutlak dari statistik untuk mean dan variansi. Untuk memperjelas kajian teori digunakan contoh kasus data netto kemasan air minum Makhoa 240 ml. Hasil penelitian menunjukkan bahwa grafik pengendali EWMA untuk memonitor proses mean dan variansi secara bersama-sama dan secara terpisah memberikan hasil yang sama yaitu prosesnya terkendali namun batas pengendalinya yang berbeda. Namun grafik pengendali EWMA & − akan lebih efisien bila dibandingkan dengan grafik pengendali EWMA secara terpisah, karena grafik pengendali EWMA & − memiliki lebar batas pengendali yang lebih sempit. Kata kunci: Mean, variansi, EWMA, EWMA & −

commit to user

v


digilib.uns.ac.id

ABSTRACT Ernita Dwi Hastuti, 2011. ESTIMATION OF PARAMETER EWMA & − CONTROL LIMITS. Mathematics and Natural Sciences Faculty, Sebelas Maret University.

Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) control chart is a chart which is used for statistical processing control and as a tool to consider whether the process is controlled statistically or not. EWMA control chart is very effective for a small shift because EWMA chart using information from previous samples. There is no identical of two units product in the production process, so the variance is inevitable. So that we need two EWMA control chart, i.e. EWMA control chart to detect the shift of mean process and EWMA control chart to detect the shift of variance process. In this study we assessed EWMA control charts for mean and variance separately and EWMA & − control charts to monitor the process mean and variance simultaneously. We can made EWMA control chart for mean and variance separately by finding the statistics that plotted on control chart. Otherwise, the statistics that plotted on EWMA & − is the maximum absolute value of the statistics for the mean and variance. To clarify the theoretical studies we used the example of the net data packaging of 240 ml Makhoa drinking water. The result shows that the EWMA control chart for monitoring process of mean and variance jointly and separately gave similar results that the process is in control but the control limits are different. However, EWMA & − control chart would be more efficient than EWMA control chart separately, because the EWMA& − control chart has a widercontrol limits. Key words: mean, variance, EWMA, EWMA & −

commit to user

vi


digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR Puji syukur senantiasa penulis panjatkan ke hadirat Alláh SWT. atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Dra. Sri Sulistijowati H, M.Si dan Drs. Muslich, M.Si selaku Pembimbing I dan Pembimbing II atas kesediaan dan kesabarannya dalam membimbing dan memotivasi penulis dalam penyusunan skripsi ini. 2. Ibu Wiwik selaku manajer Makhoa yang telah memberikan ijin kepada penulis untuk melakukan penelitian dan pengambilan data. 3. Semua pihak yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca pada umumnya, dan bagi penulis pada khususnya. Surakarta, April 2011

Penulis

commit to user

vii


digilib.uns.ac.id

DAFTAR ISI

JUDUL ...........................................................................................................

i

PENGESAHAN .............................................................................................

ii

MOTO ............................................................................................................

iii

PERSEMBAHAN ...........................................................................................

iv

ABSTRAK .....................................................................................................

v

ABSTRACT ...................................................................................................

vi

KATA PENGANTAR ...................................................................................

vii

DAFTAR ISI ..................................................................................................

viii

DAFTAR TABEL ..........................................................................................

x

DAFTAR GAMBAR .....................................................................................

xi

DAFTAR NOTASI ........................................................................................

xii

BAB I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ........................................................................................

1

1.2 Perumusan Masalah ................................................................................

3

1.3 Batasan Masalah .....................................................................................

3

1.4 Tujuan Penelitian ....................................................................................

3

1.5 Manfaat Penelitian ...................................................................................

3

BAB II. LANDASAN TEORI 2.1 Tinjauan Pustaka ....................................................................................

4

2.1.1 Variabel random ..............................................................................

5

2.1.2 Interval kepercayaan .......................................................................

5

2.1.3 Interval kepercayaan untuk mean ...................................................

6

2.1.4 Interval kepercayaan untuk variansi ..............................................

6

2.1.5 Pengendalian kualitas statistik .......................................................

7

2.1.6 Pengendalian proses statistik .........................................................

7

2.1.7 Grafik pengendali .......................................................................... commit to user 2.1.8 Grafik pengendali variabel ............................................................

8

viii

8


digilib.uns.ac.id

2.1.9 Grafik pengendali Shewhart ..........................................................

9

2.1.10 Grafik pengendali X - R ..............................................................

9

2.1.11 Distribusi normal .........................................................................

12

2.1.12 Distribusi uniform .......................................................................

12

2.1.13 Uji kenormalan .............................................................................

12

2.1.14 Uji independensi ...........................................................................

13

2.2 Kerangka Pemikiran ................................................................................

14

BAB III. METODE PENELITIAN

BAB IV. PEMBAHASAN 4.1 Grafik pengendali EWMA .......................................................................

17

4.1.1 Grafik pengendali EWMA untuk proses mean.................................

17

4.1.2 Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi.............................

19

4.2 Grafik pengendali EWMA X - R ............................................................

20

4.2.1 ARL (Average Run Length) ...........................................................

24

4.2.2 Merancang grafik pengendali EWMA X - R ................................

25

4.3 Contoh kasus ...........................................................................................

26

4.3.1 Grafik pengendali EWMA untuk proses mean .................................

28

4.3.2 Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi ............................

29

4.3.2 Grafik pengendali EWMA X - R ....................................................

29

BAB V. PENUTUP 5.1 Kesimpulan .............................................................................................

33

5.2 Saran .......................................................................................................

34

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................

35

LAMPIRAN ...................................................................................................

37

commit to user

ix


digilib.uns.ac.id

DAFTAR TABEL Tabel 1

Data sampel netto kemasan air minum Makhoa 240 ml dengan ukuran sampel (n = 5) ………………………………………......

27

Tabel 2

Nilai CDF tiap sampel ……………………………………….....

30

Tabel 3

Nilai Ai , Bi , Z i dan Wi ……………………………………….....

31

commit to user

x


digilib.uns.ac.id

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1

Grafik pengendali …………………………………………...

9

Gambar 2

Plot probabilitas normal data netto air minum ………………

26

Gambar 3

Plot independensi data netto air minum ……………………..

28

Gambar 4

Grafik pengendali EWMA untuk proses mean ………………. 28

Gambar 5

Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi ……………. 29

Gambar 6

Grafik pengendali EWMA X - R …………………………...

commit to user

xi

32


digilib.uns.ac.id

DAFTAR NOTASI X

: Rata- rata populasi

R

: Range/ rentang sampel

R

: Rentang rata-rata

S

: Ruang sampel

x

: Observasi

m

: Mean

s2

: Variansi

s

: Standar deviasi

sˆ

: Taksiran untuk standar deviasi

W

: Rentang relatif

d2

: Mean dari W

d3

: standar deviasi dari W

n

: Ukuran sampel

m

: Banyaknya sampel

l

: Konstanta smoothing

v

: Derajad bebas distribusi Chi-kuadrat

d

: Pergeseran proses mean

b

: Pergeseran proses variansi

Zi

: Statistik EWMA untuk proses mean

Ri

'

: Range/ rentang dari distribusi normal

Si

2

: Statistik EWMA untuk proses variansi

Mi

: Statistik EWMA X - R

commit to user

xii


digilib.uns.ac.id 1

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Kualitas suatu produk mempunyai hubungan yang sangat erat dengan kepuasan pelanggan. Untuk mempertahankan kualitas, secara kontinu proses produksi harus dimonitor dan dikendalikan. Kualitas suatu produk dapat diamati dari beberapa karakteristik dengan suatu alat yang wajib dimiliki oleh suatu perusahaan untuk meningkatkan kualitas produksinya. Salah satu alat yang digunakan untuk meningkatkan kualitas produksi adalah grafik pengendali. Grafik pengendali merupakan metode statistika yang digunakan untuk mengontrol agar produk yang dihasilkan sesuai dengan target dan memiliki variabilitas tidak terlalu besar. Menurut Ariani (2005) statistik merupakan metode pengambilan keputusan tentang suatu proses dalam populasi berdasarkan pada analisis informasi yang terkandung di dalam sampel dari populasi tersebut. Metode statistika mempunyai peranan yang sangat penting dalam pengendalian kualitas. Metode statistika digunakan untuk menentukan cara-cara pengambilan sampel produk, menguji serta mengevaluasi informasi di dalam data untuk mengendalikan dan meningkatkan kualitas produksi. Karakteristik kualitas yang berupa variabel, biasanya digunakan dua grafik pengendali, yaitu grafik Ú, untuk memonitor proses mean dan grafik pengendali R atau grafik pengendali S, untuk memonitor proses variansi. Pada awalnya

banyak dikembangkan grafik pengendali untuk memonitor proses mean dan proses variansi secara terpisah, yaitu grafik pengendali Shewart, Cumulative Sum (CUSUM), dan Exponentially Weighted Moving Average (EWMA), akan tetapi menurut Costa dan Rahim (2006) jika menggunakan dua grafik pengendali secara terpisah kurang efisien dalam memonitor proses, sehingga dikembangkan pula grafik pengendali tunggal untuk memonitor proses mean dan proses variansi

commit to user 1


digilib.uns.ac.id 2

secara bersama-sama. Menurut Montgomery (2005) grafik pengendali tersebut diklasifikasikan sebagai grafik pengendali tipe Shewart, tipe CUSUM dan tipe EWMA. Grafik pengendali tipe Shewart hanya menggunakan informasi sampel yang terakhir sehingga kurang sensitif terhadap pergeseran proses yang kecil, sedangkan grafik pengendali tipe CUSUM dan tipe EWMA lebih sensitif terhadap pergeseran proses yang kecil, karena menggunakan informasi dari beberapa sampel. Grafik pengendali tunggal dibuat dengan menggabungkan grafik pengendali Ú dan grafik pengendali R. Dalam membentuk grafik pengendali Ú

dan grafik pengendali R, nilai mean dan nilai variansi diestimasi dengan mean sampel dan variansi sampel. Menurut Montgomery (2005) untuk ukuran sampel kecil, misal

≤ 10 menghitung nilai variansi dengan range sampel akan lebih

efisien dibandingkan dengan standar deviasi, sehingga nilai variansi diestimasi dengan range sampel. Dalam skripsi ini penulis tertarik untuk mengkaji grafik pengendali EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah dan mengkaji ulang penelitian yang telah dilakukan oleh Khoo et al. (2009) khususnya merancang grafik pengendali EWMA Ú −

untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan variansi secara

bersama-sama dengan menggunakan mean dan range sampel. Dalam merancang grafik pengendali EWMA Ú −

dilakukan dengan menyusun grafik pengendali

untuk mean dan variansi secara terpisah terlebih dahulu kemudian menyusun grafik pengendali dengan menggabungkan dua grafik pengendali sekaligus. Selanjutnya untuk memperjelas kajian akan diterapkan pada data kemasan air minum Makhoa 240 ml karakteristik kualitas netto.

commit to user


digilib.uns.ac.id 3

1.2 Perumusan Masalah Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana merancang grafik pengendali EWMA dengan mengestimasi parameter batas pengendali Ú−

secara terpisah dan bersama-sama untuk mendeteksi pergeseran proses

mean dan variansi. 1.3 Batasan Masalah Pada penelitian ini, batasan masalah yang digunakan adalah penggunaaan tabel nilai

,

dan

hasil penelitian Khoo et al. (2009). 1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah mengkaji ulang estimasi parameter batas pengendali Ú −

secara terpisah dan bersama-sama dalam pembuatan grafik

pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran mean dan variansi.

1.5 Manfaat Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah memberikan informasi ilmiah tentang penerapan grafik pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan variansi baik secara terpisah maupun bersama-sama.

commit to user


digilib.uns.ac.id 4

BAB II LANDASAN TEORI Pada landasan teori ini akan dibahas dua subbab, yaitu tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. Tinjauan pustaka berupa hasil-hasil penelitian yang telah dilakukan peneliti terdahulu dan ada hubungannya dengan penelitian yang akan dilakukan, selain itu juga diberikan teori-teori yang melandasi dalam kajian di pembahasan. 2.1

Tinjauan Pustaka

Grafik pengendali adalah alat yang digunakan untuk mengendalikan proses secara statistik dan untuk mempertimbangkan apakah proses terkendali statistik atau tidak. Grafik pengendali Shewhart merupakan grafik pengendali yang pertama kali dikembangkan, grafik ini diperkenalkan oleh W. A Shewhart (1931). Grafik pengendali Shewhart kurang sensitif terhadap pergeseran proses yang kecil. Hastuti (2002) dalam skripsinya yang berjudul “ Grafik pengendali Shewhart dan EWMA terhadap data berkorelasi “ membahas bahwa grafik pengendali EWMA lebih sensitif terhadap pergeseran proses yang kecil bila dibandingkan dengan grafik pengendali Shewhart. Karakteristik kualitas yang berupa variabel biasanya digunakan dua grafik pengendali EWMA, yaitu untuk memonitor proses mean dan variansi. Menurut Reynold dan Staumbos (2004) serta Costa dan Rahim (2006) grafik pengendali untuk mean dan variansi secara terpisah kurang efisien dalam memonitor pergeseran proses, karena harus membuat dua grafik pengendali untuk memonitor proses mean dan variansi, sehingga dikembangkan grafik pengendali tunggal untuk memonitor proses mean dan variansi secara bersama-sama. Chen et al. (2001) mengembangkan grafik pengendali MaxEWMA yang merupakan grafik pengendali tunggal untuk memonitor proses mean dan variansi dalam satu grafik pengendali. Grafik pengendali MaxEWMA sangat efektif untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan variansi. Khoo et al. (2009) merancang grafik pengendali «Ǵan ö −

commit to user 4

untuk memonitor


digilib.uns.ac.id 5

proses mean dan variansi secara bersama-sama. Grafik pengendali «Ǵan ö −

merupakan pengembangan dari grafik pengendali MaxEWMA, tetapi grafik pengendali «Ǵan ö −

menggunakan range sampel sedangkan grafik pengendali

MaxEWMA menggunakan variansi sampel. Untuk mengkaji grafik pengendali «Ǵan ö −

diperlukan teori-teori yang

mendukung sebagai berikut.

2.1.1

Variabel Random

Menurut Bain dan Engelhardt (1995), suatu variabel random, dinotasikan X, jika X merupakan fungsi yang didefinisikan dari seluruh ruang sampel S, yang menghubungkan suatu bilangan asli ö

=

dengan setiap hasil

yang mungkin di

S. Variabel random dibedakan menjadi dua, yaitu variabel random diskrit dan variabel random kontinu. 1) Variabel Random Diskrit Variabel random ö disebut variabel random diskrit jika himpunan semua nilai yang mungkin dari variabel tersebut adalah himpunan yang terhitung yaitu

X 1 , X 2 ,..., X n . Fungsi f ( x) = P( X = x) dengan X 1 , X 2 ,..., X n disebut fungsi

kepadatan peluang (Bain dan Engelhardt, 1995). 2) Variabel Random Kontinu Menurut Bain dan Engelhardt (1995), suatu variabel random X dikatakan variabel random kontinu jika terdapat fungsi ( ) sebagai fungsi kepadatan peluang dari X dan disajikan sebagai

= 2.1.2

∞ ∞

é .

Interval Kepercayaan

Menurut Montgomery (2005) estimasi interval untuk parameter adalah interval antara dua statistik yang dengan probabilitas tertentu memuat nilai yang sebenarnya. Misalkan, untuk mengestimasi interval nilai mean, maka harus dicari statistik

dan

sebagai berikut

commit to user


digilib.uns.ac.id 6

Interval

≤ ¶≤

≤ ¶≤

= 1−

.

disebut interval kepercayaan 100 1 −

kepercayaan bawah dan atas, dan 1 −

%,

dan

adalah limit

adalah peluang yang sebenarnya. Interpretasi

dari interval konfidensi adalah apabila banyak kali interval semacam itu dibentuk masing-masing hasil dari suatu sampel random, maka 100 1 − interval ini akan memuat nilai sebenarnya dari ¶.

% dari interval-

2.1.3 Interval Kepercayaan untuk Mean

Untuk

Menurut Montgomery (2005) misal ö sampel random dengan

observasi.

besar, mean sampel ö mendekati distribusi normal dengan mean ¶ dan

standar deviasi

√

. Namun nilai

interval kepercayaan 100 1 − ö−

√

√

ditaksir dengan

% untuk mean adalah ≤ ¶≤ ö+

√

. Sehingga diperoleh

(2.1)

√

2.1.4 Interval Kepercayaan untuk Variansi Menurut Montgomery (2005) Misalkan ö adalah variabel random berdistribusi normal dengan mean ¶ dan variansi sampel

yang nilainya tidak diketahui dan variansi

dihitung dengan rumus

=

digunakan sebagai penaksir untuk

∑

ö − ö , − 1

, dan akar positif

Untuk menaksir interval kepercayaan untuk ö ,ö ,…,ö ∑

=

sebagai penaksir untuk .

digunakan distribusi

. Misalkan

adalah sampel random dari populasi normal maka variabel dinamakan distribusi

dengan derajad bebas

Sehingga diperoleh interval kepercayaan 100 1 − ,(

)

≤

≤

commit to user

% untuk variansi adalah ,(

)

=

− 1 . (2.2)


digilib.uns.ac.id 7

2.1.5 Pengendalian Kualitas Statistik Menurut Montgomery (2005), ada dua segi umum tentang kualitas yaitu kualitas rancangan dan kualitas kecocokan. Kualitas rancangan adalah istilah teknik yang digunakan untuk variasi yang memang disengaja, sedangkan kualitas kecocokan adalah seberapa baik produk itu sesuai dengan spesifikasi dan kelonggaran yang disyaratkan oleh rancangan itu. Pengendalian kualitas adalah aktivitas keteknikan dan managemen dan dengan aktivitas itu dapat diukur ciri-ciri produk, membandingkannya dengan spesifikasi atau persyaratan dan mengambil tindakan penyehatan yang sesuai apabila ada perbedaan antara penampilan sebenarnya dan yang standar. 2.1.6

Pengendalian Proses Statistik

Menurut Ariani (2005), pengendalian proses statistik merupakan teknik penyelesaian masalah yang digunakan sebagai pemonitor, pengendali, penganalisis, pengelola dan memperbaiki proses menggunakan metode-metode statistik. Selain karakteristik kualitas, terdapat beberapa sumber yang berpengaruh terhadap hasil produksi, yaitu 1. Bahan baku (raw material) 2. Operator (men) 3. Mesin (machine) 4. Lingkungan (measurement) 5.

Metode (method) Sasaran pengendalian proses statistik adalah mengadakan pengukuran

terhadap variasi-variasi atau kesalahan-kesalahan proses. Variasi proses terdiri dari dua penyebab, yaitu penyebab tidak terduga (common cause) dan penyebab terduga (assignable cause).

Penyebab tidak terduga merupakan pengaruh kumulatif dari

banyak sebab-sebab kecil, seperti kondisi emosional karyawan, penurunan suhu udara dan lain sebagainya. Sedangkan penyebab terduga adalah kesalahan yang berlebihan,

commit to user


digilib.uns.ac.id 8

seperti kesalahan operator, penyimpangan dalam penggunaan mesin, bahan baku yang cacat, kesalahan perhitungan dan lain sebagainya. Menurut Montgomery (2005) untuk memeriksa grafik pengendali dan menyimpulkan bahwa prosesnya tak terkendali apabila dipenuhi satu atau beberapa kriteria berikut 1. Satu atau beberapa titik di luar batas pengendali. 2. Suatu giliran dengan paling sedikit tujuh atau delapan titik, dengan macam dapat dibentuk giliran naik atau turun, giliran di atas atau di bawah garis tengah, atau giliran di atas atau di bawah median. 3. Dua atau tiga titik yang berurutan di luar batas peringatan 2-sigma tetapi masih dalam batas pengendali. 4. Empat atau lima titik yang berurutan di luar batas 1-sigma 5. Pola tak biasa atau tak random dalam data. 6. Satu atau dua titik dekat satu batas peringatan atau pengendali. 2.1.7

Grafik Pengendali

Grafik pengendali adalah metode statistik yang membedakan adanya variasivariasi penyimpangan yang dipengaruhi oleh sebab tak terduga dan sebab terduga. Penyimpangan yang dipengaruhi sebab terduga biasanya berada di luar batas pengendali, sedangkan penyimpangan yang dipengaruhi oleh sebab tak terduga berada di dalam batas pengendali (Ariani, 2005). 2.1.8

Grafik Pengendali Variabel

Menurut Montgomery (2005), untuk karakteristik kualitas yang dapat dinyatakan dengan angka, misal diameter sekrup dapat diukur dengan mikro meter dan juga berat bubuk coklat dapat ditimbang dengan timbangan mikro. Suatu karakteristik yang mempunyai variasi nilai seperti dimensi, berat atau volume dinamakan variabel. Apabila bekerja dengan karakteristik kualitas variabel sudah merupakan praktek standar untuk mengendalikan nilai mean dan variabilitasnya.

commit to user


digilib.uns.ac.id 9

2.1.9

Grafik Pengendali Shewart

Menurut Montgomery (2005), bentuk dasar grafik pengendali terdiri dari garis tengah ngah yang merupakan nilai rata rata-rata rata karakteristik kualitas tertentu dalam keadaan terkendali. Dua garis mendatar yang lain disebut batas pengendali atas (BPA) dan batas pengendali li bawah (BPB). Seperti ditunjukkan pada Gambar 1.

Gambar 1. Grafik pengendali Secara umum model grafik pengendali adalah

BPA = m w + ks w GT = m w BPB = m w - ks w dengan m w adalah mean w , s w adalah deviasi standar dan k adalah konstanta. 2.1.10

Grafik Pengendali X dan R

Menurut Montgomery (2005), misalkan isalkan karakteristik kualitas berdistribusi normal dengan mean m dan deviasi standar s , dengan m dan s keduanya tidak diketahui. Jika X 1 , X 2 ,..., X n sampel berukuran n , maka rata-rata rata sampel ini adalah X =

X 1 + X 2 + ... + X n n

dan diketahui bahwa X berdistribusi normal dengan mean m dan deviasi standar

sX =s

n

.

commit to user


digilib.uns.ac.id 10

Karena nilai ¶ dan

biasanya tidak diketahui, maka nilai-nilai itu harus

ditaksir dari sampel-sampel pendahuluan yang diambil ketika proses itu diduga terkendali. Misalkan tersedia Ư sampel, masing-masing memuat

observasi pada

karakteristik kualitas itu. Jika ö , ö , … , ö adalah rata-rata tiap sampel, maka penaksir terbaik untuk rata-rata proses ¶ adalah mean keseluruhan, yaitu ö=

ö + ö + ⋯ + ö Ư

dan ö akan dijadikan garis tengah grafik ö itu. Untuk ukuran sampel kecil, misal

≤ 10 estimasi nilai standar deviasi

biasanya menggunakan metode range. Misal ö , ö

,…., ö

adalah sampel random dari n

observasi yang berdistribusi normal dangan mean ¶ dan variansi

, range sampel

didefinisikan sebagai berikut

= max

− min

= öi − ö

dengan öi : nilai sampel terbesar ö

: nilai sampel terkecil.

Terdapat hubungan antara rentang suatu sampel dari distribusi normal dan deviasi standar distribusi itu. Misal didefinisikan variabel random Ǵ =

yang dinamakan

rentang relatif. Parameter distribusi Ǵ adalah fungsi ukuran sampel Tippett (1925) mean Ǵ bernilai é dari sehingga penaksir untuk

adalah

diberikan dalam lampiran. Misalkan adalah

dan taksiran untuk

,

,…,

=

. Menurut

variabel random berdistribusi normal,

é . Nilai é untuk berbagai ukuran sampel

adalah rentang Ư sampel itu. Rentang rata-ratanya =

dihitung dengan

+

+ ⋯+ Ư

commit to user



=

é

Jika digunakan ö sebagai penaksir untuk ¶ dan

é sebagai penaksir untuk , maka

batas pengendali grafik ö dengan batas 3-sigma adalah 4 n= ö −

√

4 4= ö −

√

ð2 = ö

.

.

Diketahui bahwa rentang sampel berhubungan dengan deviasi standar proses.

Oleh

karena

itu,

menggambarkan nilai-nilai

variabilitas

proses

dapat

dikendalikan

dengan

dari sampel-sampel yang berurutan pada grafik

pengendali. Grafik pengendali ini dinamakan grafik dapat ditentukan dengan mencari garis tengahnya

. Batas pengendali grafik

dan standar deviasi

. Dengan

menganggap bahwa karakteristik kualitas berdistribusi normal, estimasi untuk dapat diperoleh dari distribusi rentang relatif Ǵ =

deviasi standar Ǵ bernilai é yang merupakan fungsi berbagai ukuran sampel diberikan dalam lampiran.

. Menurut Tippett (1925) yang diketahui. Nilai é

Jadi karena

maka deviasi standar

Karena

adalah

= Ǵ = é

.

= é

.

tidak diketahui, maka dapat ditaksir

Dengan demikian parameter grafik

dengan

dengan batas pengendali 3-sigma adalah

commit to user



4

n=

+ 3

=

+ 3é

4

4=

− 3

=

− 3é

ð2 =

é .

2.1.11 Distribusi Normal

Distribusi normal atau disebut juga distribusi Gaussian, adalah salah satu distribusi penting dalam aplikasi statistik. Variabel random ö berdistribusi normal dengan mean ¶ dan variansi

dapat dituliskan ö~ (¶,

) dengan fungsi densitas

probabilitas ( Montgomery, 2005).

=

dengan 0 ≤ ö ≤ 1

0≤ ¶≤ 1 ≥ 0

1

,

√2

2.1.12 Distribusi Uniform

Bain dan Engelhardt (1995) memberikan definisi bahwa variabel random X dikatakan mempunyai distribusi Uniform pada interval densitas probabilitas

untuk

< ö<

ö; ,

=

1 −

,

jika mempunyai fungsi

dan 0 untuk nilai ö yang lain. Variabel random yang berdistribusi

Uniform dinotasikan ö~ ( , ).

2.1.13 Uji Kenormalan

Menurut Montgomery (1992) untuk memeriksa kenormalan data dapat dilakukan dengan melihat plot antara data dengan nilai probabilitas kumulatifnya. Untuk membentuk plot normal dapat dilakukan dengan menggambarkan kenaikan orde data dengan nilai probabilitas kumulatif

commit to user

=

−

, dengan

= 1,2, …



dan

adalah banyaknya observasi. Jika plot yang dihasilkan terletak pada pita

kenormalan atau mendekati garis lurus maka dapat dikatakan asumsi kenormalan sudah dipenuhi. Uji kenormalan dapat juga dilakukan melalui uji KolmogorofSmirnov yang dapat dilihat dari nilai p-value dengan langkah-langkah sebagai berikut a) Membuat hipotesis : data berdistribusi normal

: data tidak berdistribusi normal

b) Menentukan tingkat signifikasi % c) Menentukan statistik uji

dengan

= Ư

ö −

− 1

adalah fungsi distribusi kumulatif observasi. d) Membuat daerah kritis yaitu menolak

, −

ö

jika p-value lebih kecil dari

tingkat signifikansi . e) Mengambil kesimpulan 2.1.14 Uji Independensi Menurut Montgomery (1992) data dapat dikatakan independen apabila nilai data suatu pengamatan tidak dipengaruhi data dari pengamatan lain. Untuk menguji keindependenan suatu data dapat dilihat dari plot antara data dan order observasi. Bila data berpola acak maka data tersebut bersifat independen. 2.2

Kerangka Pemikiran

Untuk karakteristik kualitas produk yang berupa variabel biasanya digunakan dua grafik pengendali EWMA, satu grafik pengendali EWMA untuk memonitor proses mean dan yang lain grafik pengendali EWMA untuk memonitor variansi. Grafik pengendali EWMA memerlukan asumsi bahwa pengukuran karakteristik kualitas harus memiliki distribusi normal dan independen. Dalam membentuk grafik pengendali EWMA secara terpisah maupun secara bersama-sama, pertama-tama mengestimasi parameter ¶ dan , kemudian dalam membentuk grafik

commit to user



pengendali EWMA untuk proses mean dilakukan dengan menentukan statistik EWMA untuk proses mean dengan terlebih dahulu menentukan nilai

lalu menggambarkan

statistik tersebut pada grafik pengendali. Untuk membentuk grafik pengendali EWMA untuk proses variansi dilakukan dengan menentukan statistik EWMA untuk variansi dengan terlebih dahulu menentukan nilai

lalu menggambarkan statistik tersebut

pada grafik pengendali. Untuk menggabungkan dua grafik pengendali untuk proses mean dan variansi secara bersama-sama diperlukan transformasi untuk setiap sampel. Transformasi setiap sampel digunakan untuk menentukan statistik EWMA untuk mean dan variansi. Kemudian menentukan statistik untuk

EWMA ö −

yang

merupakan maksimum nilai mutlak dari statistik EWMA untuk mean dan variansi, kemudian menggambarkan statistik tersebut dalam batas pengendali.

commit to user



BAB III METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu dengan mempelajari berbagai referensi dari buku dan jurnal-jurnal yang bersesuaian dengan tujuan penelitian. Adapun langkah- langkah yang ditempuh dalam penelitian ini adalah 1. Mengkaji penaksiran parameter ¾ dan

2. Mengkaji pembuatan grafik pengendali EWMA untuk proses mean dengan langkah sebagai berikut a. Menentukan nilai . b. Menentukan statistik EWMA untuk proses mean. c. Menentukan batas pengendali. d. Menggambarkan statistik EWMA pada batas pengendali 3. Mengkaji pembuatan grafik pengendali EWMA untuk proses variansi dengan langkah sebagai berikut a. Menentukan nilai . b. Menentukan statistik EWMA untuk proses variansi. c. Menentukan batas pengendali. d. Menggambarkan statistik EWMA pada batas pengendali. 4. Mengkaji pembuatan grafik pengendali EWMA º −

untuk memonitor

proses mean dan variansi secara bersama-sama, dengan langkah sebagai berikut a. Memilih nilai

,

dan L yang dapat ditentukan berdasar

penelitian Khoo et al, (2009). b. Melakukan transformasi untuk tiap sampel. c. Menentukan statistik EWMA untuk mean dan variansi.

commit to user 15



d. Menentukan statistik EWMA º −

yang merupakan maksimum

nilai mutlak dari statistik EWMA untuk mean dan variansi.

e. Menggambarkan statistik EWMA º −

pada batas pengendali.

5. Menerapkan pada data kemasan air minum “Makhoa” 240 ml karakteristik kualitas netto di mana data merupakan data primer yang diambil dari PDAM Tirta Gemilang Kabupaten Magelang pada hari Rabu sampai Sabtu, tanggal 20-24 Desember 2010. Data yang diambil sebanyak 30 sampel dengan ukuran sampel yang diambil adalah 5 untuk setiap sampel. Pengambilan sampel dilakukan setiap 20 menit. Analisis data dilakukan dengan bantuan software Minitab 16 for Windows dan Microsoft Office Excel 2007.

commit to user



BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Grafik Pengendali EWMA Grafik pengendali EWMA sangat efektif untuk pergeseran proses yang kecil, karena grafik pengendali EWMA menggunakan informasi dari sampel sebelumnya. Untuk karakteristik kualitas yang berupa variabel, biasanya menggunakan dua grafik pengendali ĆĖōB, yaitu grafik EWMA untuk memonitor proses mean dan grafik EWMA memonitor proses variansi.

4.1.1 Grafik Pengendali EWMA untuk Memonitor Proses Mean

berikut

Menurut Montgomery (2005) statistik EWMA dari *> didefinisikan sebagai â> =

dengan â =

*> + 1 −

*> : observasi pada waktu ke- i : konstanta smoothing, 0 <

â> , = 1,2, …

(4.1)

≤ 1.

Untuk menunjukkan bahwa â> adalah rata-rata tertimbang dari semua rata-rata sampel sebelumnya, dilakukan dengan mengganti â> dengan â>

pada persamaan

(4.1), sehingga didapat

â>

=

*>

+ (1 − )â> .

Persamaan (4.1) dapat ditulis kembali sebagai berikut â> = *> +

1−

*>

+ 1−

*>

+ 1−

â> .

Secara umum, dengan mengganti berulang-ulang â> dengan orde sebelumnya diperoleh

â> =

>

1−

>

â .

Jika *> adalah variabel independen dengan variansi Ƽ , maka variansi â> adalah

commit to user 17



∑>

râ> =

Karena nilai tertimbang sampel, maka

1−

1−

>

dan

râ

r *>

>

+ 1−

r( â ).

(4.2)

menurun secara geometri dengan umur rata-rata

1− λ

=

=

râ> =

1−

= Ƽ

dan diperoleh deviasi standar dari â> adalah Ƽt= Ƽ

>

1− 1−

= 0, maka persamaan (4.2) menjadi >

>

1− 1− 1− 1−

Ƽ

t

>

1− 1−

1− 1−

>

+ 0 ,

.

(4.3)

Dari persamaan (2.1) dan (4.3) interval konfidensi untuk grafik pengendali EWMA − ±Ƽ

(2 − )

1 − (1 − )

>

≤

≤

+ ±Ƽ

(2 − )

1 − (1 − )

>

sehingga diperoleh batas pengendali grafik EWMA untuk proses mean

dengan

7.B =

+ ±Ƽ

7.7 =

− ±Ƽ

(2 − ) =

(2 − )

1 − (1 − )

>

1 − (1 − )

>

adalah rata-rata dari variabel random yang berdistribusi normal, dan L

adalah lebar batas pengendali. Jika naik, Ƽ

t

naik menuju nilai limit

commit to user

,



lim Ƽ

>→

t

= lim Ƽ

= Ƽ

>

1− 1−

2−

>→

.

Sehingga diperoleh batas pengendali sebagai berikut

4.1.2

7.B =

+ ±Ƽ

7.7 =

− ±Ƽ

=

(2 − )

(2 − )

Grafik Pengendali EWMA untuk Memonitor Proses Variansi

Mac. Gregor dan Haris (1993) mendiskusikan dasar statistik grafik pengendali EWMA untuk memonitor proses variansi. Misal *> berdistribusi normal dengan mean >

dan variansi Ƽ , exponentially weighted mean square error (EWMS),

didefinisikan sebagai berikut >

= 0

dengan

=

*> −

+ 1−

*> : observasi ke i

: konstanta smoothing (0 ≤

Untuk nilai

yang besar maka Ć(

>

≤ 1).

) = Ƽ , hal ini dapat ditunjukkan dengan

mensubtitusi − 1 untuk i pada persamaan (2.1) >

=

*>

, = 1,2, …

>

−

+ 1−

>

sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis kembali sebagai berikut >

=

*> −

+ 1−

= ∑>

1−

*>

−

Selanjutnya dengan mengganti = 2,3, … diperoleh >

>

*> −

commit to user

,

+ 1− + 1−

>

.

.



Karena nilai ∑>

>

1−

Ć

+ 1−

= ∑>

>

= 1, maka *> −

= Ƽ .

Bila observasi berdistribusi normal dan independen maka = 2−

distribusi Chi- kuadrat dengan derajad bebas target dari proses variansi,

>

t

akan mendekati

/ . Jika Ƽ adalah nilai

dapat digambarkan pada grafik pengendali. Menurut

Eyvazian et al. (2008) percentil ke 100(1 − derajad bebas

(4.4)

) dari distribusi Chi- kuadrat dengan

dapat digunakan untuk membentuk batas pengendali. Dari persamaan

(2.2) dan (4.4) maka diperoleh interval kepercayaan 100 1 − EWMA adalah

Ƽ

,

(

)

,

≤ Ƽ≤ Ƽ

% untuk grafik

.

Sehingga diperoleh batas pengendali untuk grafik EWMA untuk proses variansi 7.B = Ƽ

7.7 = Ƽ

, ,

(

)

.

4.2 Grafik pengendali ¸WMA

−

Khoo et al. (2009) menggabungkan dua grafik pengendali EWMA menjadi satu grafik pengendali yang disebut grafik pengendali EWMA * − R yang lebih efektif dalam mendeteksi pergeseran mean dan variansi secara bersama-sama. Misalkan *> , dengan = 1,2, … dan = 1,2, … ,

>

adalah hasil pengukuran

dari karakteristik kualitas yang memiliki distribusi normal dengan standar deviasi Ƽ =

=

+ Ƽ dan

Ƽ , dengan i dan j adalah sampel dan urutan pengamatan.

Menurut Khoo et al. (2009) proses dalam keadaan terkendali jika sehingga =

=

+ Ƽ

+ 0

commit to user

= 0 dan

= 1



=

dan

Ƽ=

Ƽ

= Ƽ.

Misalkan * = (*> + *> + ⋯ + *>et )/

>

adalah rata-rata sampel ke- i dan

R> = *>et − *> adalah range sampel ke- i, dimana *> adalah data terkecil dan *>et data terbesar dalam sampel ke- i .

Diasumsikan (. ) adalah fungsi distribusi normal, = 0 dan

random. Jika

= 1 maka

>

=

(

, Ƽ ) dari variabel

(*> ) untuk j = 1,2,. .. . ,

>

adalah

pengamatan random dari sampel i yang memiliki distribusi Uniform (0,1). Misal R> ′ = =

>(e>)

>e

>

,

>

(*> )

,….,

>e

dimana

adalah sampel terbesar. Sampel ini didefinisikan B> =

dan dengan r> ′ =

>( )

(*>et ) −

adalah range sampel ke i untuk pengamatan terkecil dan

−

> et

−

â = . â≤

>

et

dengan â ∼ .

: invers dari fungsi

, = 1,2, …

(4.6)

r ′ > , = 1,2, …

7> =

,

adalah sampel

>

(4.7)

0,1 ,

r ′ > adalah cumulative distribution function (cdf) dari R> ′ , yang diperoleh

dari cdf range sampel sebagai berikut r′ > =

>

,

>e

=

Diketahui bahwa B> ~ (0,1), ketika

>e

e

− 1− 1−

= 0 dan

>

e

.

= 1 rata-rata dari n pengukuran

independen dari distribusi normal adalah independen (Daly, 1946), sehingga * dan R> untuk = 1,2, … independen maka * dan R> ′ untuk = 1,2, … juga independen.

commit to user



Untuk membentuk grafik pengendali tunggal yang dapat mendeteksi pergeseran mean dan variansi secara bersama-sama, statistik EWMA di definisikan, Ė> =

dan

B> + (1 −

â> =

7> + (1 −

)Ė>

(4.8)

)â>

dengan Ė = â = 0 adalah nilai awal,

(4.9)

dan

adalah konstanta smoothing.

Kemudian kedua statistik tersebut didefinisikan dengan ō> diberikan oleh ō> = max |Ė> |, |â> | , = 1,2, …

(4.10)

Jika ō> positif, grafik EWMA * − R dapat dibentuk dengan menggambarkan statistik ō> pada batas pengendali

7.B = Ć ō> + ±

Karena nilai ō> semua positif maka 7.7 = 0.

rō> .

(4.11)

Dari persamaan (5) cdf dari ō> adalah = .r ō> ≤

= .r |Ė> | ≤ = .r |Ė> | ≤ = .r −

= 2∅

. .r |â> | ≤

≤ Ė> ≤

= .r Ė> ≤ = ∅

, |â> | ≤

). Pr ( −

− .r Ė> ≤ −

− 1− ∅

t

t

− 1 2∅

t

t

≤ â> ≤ ∅

.r â> ≤ t

− 1,

− 1− ∅

− .r â> ≤ − t

sehingga fungsi kepadatan peluang dari ō> adalah =

Misalkan Ƽ

=

>

′

t

∅

t

= r dan Ƽ >= =

∅

2∅

maka 2∅

t

− 1 + − 1 +

∅

t

commit to user

∅

t

2∅ 2∅

t

− 1.

− 1.



Nilai ekspektasi dari ō> adalah Ć ō> = =

Misalkan =

Ć ō> = 2

∞

∞

∅

2∅

maka ∞

2∅

− 1

2∅

+

− 1

∅

+

2∅

∅

2∅

Dengan menggunakan software Matematica 5.0 diperoleh Ć ō> =

t

Ć ō> =

t

Diperoleh nilai Ć ō> =

∞

Ć ō>

=

∞

Ć ō>

=

r

Ć ō>

=

Ƽ

Misalkan =

.

>=

r dan Ƽ >=

maka (4.12)

sebagai berikut

maka 2r

∅ ∅

2∅

− 1

2∅

− 1

+ +

∅

2∅

∅

2∅

Dengan menggunakan software Matematica 5.0 diperoleh

Dengan mensubtitusikan Ƽ

r ō> =

dengan nilai

.

∞

=

sehingga

− 1

.

.

Dengan mensubtitusikan Ƽ

Ć ō>

− 1

Ƽ

>

>

+ r+

>=

t

t

t

+ Ƽ

− 1

.

.

.

r dan Ƽ >=

t

− 1

>+

− 1 + Ƽ

maka Ƽ

>

>

commit to user

t

,

t

t

t

− 1 + Ƽ

>Ƽ >

(4.13)



Ƽ

>

=

dengan

>

1− 1−

,

dan Ƽ

>

=

adalah konstanta smoothing.

>

1− 1−

Dari persamaan (4.12) dan (4.13) diperoleh batas pengendali 7.B =

t

t

7.7 = 0.

+ ±

Ƽ

t

>

t

− 1 + Ƽ

t

>

t

− 1 + Ƽ

>Ƽ >

Diketahui bahwa ō> pada persamaan (4.10) akan semakin besar ketika

proses mean mengalami pergeseran ke atas maupun ke bawah dan atau proses

variansi meningkat atau menurun. ō> akan mengecil ketika proses mean dan proses variansi jauh dari nilai target yang diharapkan.

Grafik pengendali ĆĖōB * − R memiliki keuntungan dengan transformasi

yang dilakukan pada persamaan (4.6) dan (4.7) yaitu: i.

Masalah ukuran sampel variabel dapat dihandel dengan mudah karena distribusi dari B> dan 7> adalah independen untuk ukuran sampel n, ketika

ii.

= 0 dan

= 1.

Grafik pengendali tunggal dibentuk untuk memonitor baik proses mean dan proses variansi karena B> dan = 0 dan

= 1.

4.2.1

7> memiliki distribusi yang sama, ketika

ARL (Average Run Length)

Menurut Montgomery (2005), karakteristik dari grafik pengendali pada umumnya dilihat dari nilai Run Length (RL) yang menunjukkan nilai dari sampel yang harus digambarkan dalam grafik sampai ditemukan nilai yang jatuh diluar kontrol. Nilai RL dapat dihitung dengan

dengan

. R± =

= 1−

,

= 1,2, …

adalah probabilitas bahwa sampel berada di luar batas pengendali. Average

Run Length (ARL) adalah banyaknya titik sampel rata-rata yang digambarkan sebelum suatu titik menunjukkan keadaan tidak terkendali. ARL sebagai

commit to user

didefinisikan



BR± = Ć(R±) = ∑ = =

+ 2

. .(R± = 1−

[1 + 2 1 − ∑e

=

)

+ 3

1−

+ 3 1− e

+ 1 1−

.

+ 4 (1 −

+ 4 1−

3

)3 + ⋯

+ ⋯]

Menurut Martono (1999) jika jari-jari kekonvergenan deret pangkat ∑e adalah r > 0 maka fungsi

= ∑e

BR± =

=

= ∑e

′

e*

e

i.

e

e

terdeferensiabel pada – r, r dengan

. Sehingga akan diperoleh, .

Merancang Grafik Pengendali ¸WMA

4.2.2

berikut:

e*

e*

−

Grafik pengendali ĆĖōB * − R dapat dibentuk dari langkah-langkah

Jika nilai tujuan dari parameter proses tidak diketahui, maka harus diestimasi dari data sampel yang berada dalam batas pengendali dengan dengan rumus * = ∑> = ∑>

t

=

dimana

e

⋯ e

diestimasi

dan standar deviasi Ƽ diestimasi dengan rumus

=

dengan m adalah jumlah sampel yang digunakan untuk mengestimasi. ii.

Memilih nilai

,

, ± berdasarkan nilai ARL dan nilai n. Dihitung nilai

B> , 7> , Ė> , â> dan ō> menggunakan persamaan (4.6)-(4.10) untuk masingiii. iv.

masing sampel dengan Ė = â = 0 untuk nilai awal. Menghitung nilai 7.B dengan persamaan (4.11).

Menggambarkan sampel i ketika ō> ≤ 7.B untuk mengindikasikan proses berada dalam batas pengendali. Ketika ō> ≥ 7.B dicek apakah |Ė> | = |

B> + 1 −

Ė> | dan |â> | = | 7> + 1 −

commit to user

â> |. Jika |Ė> | > 7.B



dan B> > 0 maka proses mean meningkat namun bila B> < 0 berarti proses mean menurun. Jika |â> | > 7.B dan 7> > 0 berarti proses variansi meningkat v.

namun bila 7> < 0 maka proses variansi menurun.

Mencari penyebab dari setiap sampel yang di luar batas pengendali dan dicari penanganannya. 4.3 CONTOH KASUS PDAM Kabupaten Magelang memproduksi Air Minum dalam kemasan

(AMDK) dengan merk “Makhoa”, salah satu kemasan Makhoa adalah cup 240 ml. data netto air minum Makhoa dapat diterapkan pada grafik pengendali EWMA. Data berupa data primer yang diambil dari PDAM Kabupaten Magelang dengan data seperti pada Tabel 1. Sebelum dibuat grafik pengendali EWMA terlebih dahulu data harus diuji asumsinya, meliputi uji kenormalan dan uji independensi. 1. Uji kenormalan Dari data sampel tersebut diuji kenormalan, dengan software Minitab 16 for windows diperoleh P r oba bi l ity P l o t of da ta No r m a l 99,9

M ean S tD ev N KS P -V alu e

99

Percent

95 90

232,3 3,004 150 0,047 > 0,150

80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0,1

225

230

235

240

da ta

Gambar 2. Plot probabilitas normal data netto air minum Karena diperoleh nilai p-value = 0.15 dan minum berdistribusi normal.

commit to user

= 0.05 sehingga data netto air



Tabel 1. Data sampel netto kemasan air minum Makhoa 240 ml dengan ukuran sampel (n = 5) no sampel *> *> *>3 *> *> * R> 1 230 228 234 234 236 232.4 8 2 228 236 236 230 232 232.4 8 3 232 236 234 234 230 233.2 6 4 236 230 228 234 236 232.8 8 5 228 234 230 230 232 230.8 6 6 238 238 232 230 234 234.4 8 7 230 230 234 230 236 232 6 8 236 230 232 230 236 232.8 6 9 236 234 234 236 230 234 6 10 228 230 236 234 238 233.2 10 11 230 232 232 234 230 231.6 4 12 238 236 230 230 232 233.2 8 13 234 232 230 236 236 233.6 6 14 232 230 230 234 230 231.2 4 15 236 232 234 238 232 234.4 6 16 232 228 234 230 228 230.4 6 17 230 234 228 238 240 234 12 18 228 236 232 234 232 232.4 8 19 234 236 234 230 230 232.8 6 20 232 234 234 230 232 232.4 4 21 226 234 234 230 234 231.6 8 22 228 232 232 232 232 231.2 4 23 232 234 236 236 230 233.6 6 24 230 232 230 232 236 232 6 25 236 230 234 232 230 232.4 6 26 230 228 232 226 228 228.8 6 27 234 232 230 236 238 234 8 28 234 234 228 238 228 232.4 10 29 228 228 228 228 230 228 2 30 230 234 230 230 232 231.2 4 * = 232.3067 R = 6.4

commit to user



2. Uji independensi Suatu data dikatakan independen jika plot menyebar secara acak dan tidak membentuk pola tertentu. Dari data diperoleh p lo t in de p e n d e ns i 235 234 233

data

232 231 230 229 228 0

5

10

15 observasi

20

25

30

Gambar 3. Plot independensi data netto air minum Karena data berpola acak maka data netto air minum dikatakan independen. 4.3.1

Grafik Pengendali EWMA untuk Proses Mean

Dari software Minitab 16 for windows diperoleh grafik pengendali untuk proses mean sebagai berikut G ra fik pe nge nda li EW M A X 2 34.0

U C L= 2 3 3 .8 5 7

2 33.5

EWMA

2 33.0 _ _ X = 2 3 2 .3 0 7

2 32.5 2 32.0 2 31.5 2 31.0

LC L= 2 3 0 .7 5 6 1

4

7

10

13

16 S a m p le

19

22

25

28

Gambar 4. Grafik pengendali EWMA untuk proses mean Dari Gambar 4 tampak bahwa semua sampel berada dalam batas pengendali, pada batas pengendali 3s tidak ada pola tren sedangkan untuk BPA 2s = 233.4 tidak ada titik yang di luar batas, untuk BPB 2s = 231.12 terdapat 1 titik yang barada di luar batas 2s yaitu data ke 29, untuk BPA 1s = 232.87 terdapat 4 titik berada di luar batas 1Ƽ tetapi tidak berurutan yaitu data ke 9,10,13,15, dan untuk BPB

1s = 231 .8 ada 3 titik yang berada di luar batas 1s

yaitu data ke 28, 29, 30,

maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih terkendali.

commit to user



4.3.2

Grafik Pengendali EWMA untuk Proses Variansi

Dari software Minitab 16 for windows diperoleh grafik pengendali untuk proses variansi sebagai berikut BPA = 8.632

BPB = 0

Gambar 5. Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi Dari Gambar 5 terlihat bahwa semua sampel terletak dalam batas pengendali dan tidak ada pola tren maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih terkendali. 4.3.3

Grafik pengendali EWMA X - R

Berikut langkah-langkah untuk membuat grafik EWMA X - R = * = 232.3067,

a. Estimasi nilai mean adalah

estimasi nilai standar deviasi adalah Ƽ =

=

2.

= 2.7515.

. 32

b. Dengan menggunakan tabel nilai ARL hasil penelitian Khoo et al untuk kombinasi pergeseran proses mean dan variansi maka dipilih menurut Khoo et al. (2009) untuk grafik pengendali EWMA * − R biasanya dipilih nilai ARL pada kondisi terkendali

BR± = 250 dan

dipilih konstanta smoothing

,

,

= 0.25, 1.5 . kemudian

= 0.3,0.3 dan nilai ± = 3.13.

c. Dengan menggunakan teorema limit pusat, jika diasumsikan *> mengikuti distribusi normal,

1, 2, . . ,5. Diasumsikan

232.3067 ,2.7515

untuk

= 1,2, … ,15 dan

. adalah fungsi distribusi dari *> dan

>

=

*>

=

maka dengan software Minitab 16 for windows diperoleh seperti pada Tabel 2.

commit to user



Tabel 2. Nilai CDF tiap sampel *> 226 226 228 228 228 228 228 228 228 228 228 228 228 230 230 230 230 230 230 230 230 230 230 230 230 230 230 230 230 232

*> 230 232 232 234 234 234 234 234 234 234 234 336 336 236 336 336 336 336 236 236 336 336 336 236 238 238 238 238 238 240

>

0.010607 0.010607 0.057807 0.057807 0.057807 0.057807 0.057807 0.057807 0.057807 0.057807 0.057807 0.057807 0.057807 0.199683 0.199683 0.199683 0.199683 0.199683 0.199683 0.199683 0.199683 0.199683 0.199683 0.199683 0.199683 0.199683 0.199683 0.199683 0.199683 0.455391

dengan *> : data terkecil pada sampel ke i

*> : data terbesar pada sampel ke i

commit to user

>

0.199683 0.455391 0.455391 0.731926 0.731926 0.731926 0.731926 0.731926 0.731926 0.731926 0.731926 0.911387 0.911387 0.911387 0.911387 0.911387 0.911387 0.911387 0.911387 0.911387 0.911387 0.911387 0.911387 0.911387 0.981239 0.981239 0.981239 0.981239 0.981239 0.997529



> >

: nilai CDF data terkecil sampel ke i : nilai CDF data terbesar sampel ke i

Dari persamaan (4.6)-(4.10) maka dapat dihitung nilai B> , 7> , Ė> , â> dan ō> diperoleh hasil sebagai berikut

No sampel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Tabel 3. Nilai B> , 7> , Ė> , â> dan ō>

B> 0.075822 0.075822 0.72596 0.400891 -1.22445 1.701167 -0.24925 0.400891 1.376098 0.72596 -0.57432 0.72596 1.051029 -0.89938 1.701167 -1.54952 1.376098 0.075822 0.400891 0.075822 -0.57432 -0.89938 1.051029 -0.24925 0.075822 -2.8498 1.376098 0.075822 -3.49994 -0.89938

7> 1.00175 1.00175 0.13181 1.00175 -0.06093 0.5219 0.13181 0.13181 0.13181 1.64336 -0.73754 0.5219 0.013181 -0.73754 -0.76721 -0.06093 1.85011 1.00175 0.13181 -0.73754 0.1827 -1.37094 0.13181 0.13181 0.13181 -1.14523 0.5219 -0.06093 -2.91195 -0.73754

Ė> 0.022747 0.038669 0.244857 0.291667 -0.16317 0.396132 0.202518 0.26203 0.596251 0.635163 0.27232 0.408412 0.601197 0.151023 0.616066 -0.03361 0.389302 0.295258 0.326948 0.25161 0.003833 -0.26713 0.128316 0.015047 0.03328 -0.83164 -0.16932 -0.09578 -1.11703 -1.05173

commit to user

â> 0.300525 0.510893 0.397168 0.578542 0.386701 0.42726 0.338625 0.276581 0.23315 0.656213 0.238087 0.323231 0.230216 -0.06011 -0.27224 -0.20885 0.40884 0.586713 0.450242 0.093907 0.120545 -0.3269 -0.18929 -0.09296 -0.02553 -0.36144 -0.09644 -0.08578 -0.93363 -0.87481

ō> 0.300525 0.510893 0.397168 0.578542 0.386701 0.42726 0.338625 0.276581 0.596251 0.656213 0.27232 0.408412 0.601197 0.151023 0.616066 0.20885 0.40884 0.586713 0.450242 0.25161 0.120545 0.3269 0.18929 0.09296 0.03328 0.83164 0.16932 0.09578 1.11703 1.05173



Dari persamaan (4.11) diperoleh nilai BPA = 1.1708 dan BPB = 0 sehingga dapat digambarkan dalam grafik pengendali tampak pada Gambar 5. BPA = 1.1708

BPB = 0

Gambar 6. Grafik Pengendali EWMA X - R untuk data netto air minum Dari Gambar 6, terlihat bahwa semua sampel jatuh di dalam batas pengendali 7.B = 1.1708, tidak ada pola tren dan untuk 7.B 2Ƽ = 1.08 ada 1 titik di

luar batas 2Ƽ yaitu pada data 29, untuk 7.B 1Ƽ = 0.82 ada 3 titik yang berada di luar batas 1Ƽ yaitu pada data 26, 29, 30, maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih terkendali.

Dari Gambar (4), (5) dan (6) terlihat bahwa prosesnya terkendali tetapi mempunyai batas pengendali yang berbeda yaitu untuk grafik pengendali EWMA untuk proses mean diperoleh 7.B = 233.857 dan 7.7 = 230.756, untuk grafik pengendali EWMA proses variansi diperoleh 7.B = 8.632 dan 7.7 = 0, sedangkan untuk grafik pengendali EWMA

X -R

diperoleh

7.B = 1.1708 dan 7.7 = 0. Grafik pengendali EWMA X - R memiliki

lebar batas pengendali yang lebih sempit, hal ini berarti grafik pengendali EWMA X - R lebih sensitif bila dibandingkan dengan grafik pengendali EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB V 5.1 Kesimpulan Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilaksanakan, kesimpulan yang dapat diambil adalah sebagai berikut 1. Batas pengendali grafik EWMA untuk proses mean a) Untuk > kecil ò. =

+ y)

ò.ò =

− y)

=

b) Untuk > besar ò. =

+ y)

ò.ò =

− y)

=

(2 − ) (2 − ) (2 − ) (2 − )

1 − (1 − ) 1 − (1 − )

2. Batas pengendali untuk grafik pengendali EWMA untuk proses variansi adalah ò. = )

ò.ò = )

,

,

(

)

3. Batas pengendali untuk grafik pengendali ̎em v − ò. =

2 )

ò.ò = 0.

adalah

+ )

+ y

2

)

) )

− 1 + )

commit to user 33

) )

− 1 + )

)


digilib.uns.ac.id

34

4. Pada contoh kasus dengan mengunakan nilai ARL pengendali ̎em

yang sama, grafik

untuk memonitor proses mean dan variansi secara

bersama-sama dan secara terpisah memberikan hasil yang sama yaitu prosesnya terkendali tetapi batas pengendalinya berbeda. Grafik pengendali ̎em v −

untuk memonitor proses mean dan variansi secara besama-

sama lebih efisien dibandingkan dengan grafik pengendali EWMA secara terpisah. 5.2 Saran Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, saran yang ingin disampaikan peneliti yaitu penelitian dapat dilanjutkan hingga perhitungan kapabilitas dari proses yang telah terkendali.

commit to user

ESTIMASI PARAMETER BATAS PENGENDALI EWMA

Recommend Documents