ESTIMASI PARAMETER DUA LEVEL MODEL GSTARX-GLS

Prosiding Seminar Nasional Manajemen Teknologi XXIII Program Studi MMT-ITS, Surabaya 1 Agustus 2015

ESTIMASI PARAMETER DUA LEVEL MODEL GSTARX-GLS Andria Prima Ditago1) dan Suhartono2) Program Studi Magister Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya, 60111, Indonesia e-mail: 1)[email protected] 2) Jurusan Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember

1)

ABSTRAK Salah satu pendekatan yang dapat digunakan untuk menangani data space-time adalah model GSTAR. Secara umum, metode estimasi parameter model GSTAR lebih banyak menggunakan OLS, hal ini kurang sesuai karena model dengan respon multivariat dan residual saling berkorelasi akan menghasilkan estimator yang kurang efisien. Sehingga salah satu metode estimasi yang sesuai pada kondisi tersebut adalah GLS. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengkaji pendekatan baru, yaitu model GSTARX, dengan X merupakan notasi variabel independen (dummy) menggunakan skala non-metrik yang mengikuti model variasi kalender dengan efek lebaran Idul Fitri, dan mengkaji lebih lanjut tentang penentuan bobot lokasi dengan menerapkan normalisasi hasil inferensia statistik terhadap parsial korelasi silang antar lokasi pada lag yang bersesuaian dengan orde waktu. Penelitian ini dilakukan melalui studi simulasi. Hasil kajian simulasi menunjukkan bahwa model GSTARX-GLS menghasilkan estimator yang lebih efisien dibanding GSTARX-OLS, hal ini ditunjukkan dari nilai standar error yang didapatkan lebih kecil. Kata kunci:GLS, GSTARX, Lebaran Idul Fitri, Variasi Kalender. PENDAHULUAN Generalized Space Time Autoregressive(GSTAR) merupakan model space-time dengan parameter yang tidak harus bernilai sama untuk dependensi waktu maupun lokasi. Sampai saat ini, belum banyak penelitian yang dilakukan berkaitan model GSTAR dengan menambah peubah eksogen (disebut GSTARX). Selain itu, kajian estimasi parameter pada penelitian model GSTAR yang sudah ada masih terbatas menggunakan metode Ordinary Least Square(OLS) (Borovkova, Lopuhaa, dan Ruchjana, 2008). Estimasi parameter menggunakan metode OLS pada model GSTAR dengan residual saling berkorelasi antar persamaan akan menghasilkan estimator yang tidak efisien, sehinggasalah satu metode yang sesuai pada kondisi tersebut adalah Generalized Least Square (GLS). Metode GLS biasa digunakan pada model Seemingly Unrelated Regression (SUR) (Zellner, 1962). Karakteristik pada model GSTAR adalah dengan adanya pembobotan yang diberikan pada masing-masing lokasi dan hal tersebut menjadi komponen yang paling mendasar. Metode bobot lokasi yang digunakan pada penelitian ini merupakan pengembangan dari metode bobot normalisasi inferensia statistik terhadap korelasi silang pada lag waktu yang bersesuaian (Suhartono dan Subanar, 2006). Penelitian ini akan dibahas melalui kajian simulasi terhadap model GSTARX untuk mendapatkan suatu model statistik yang tepat.

ISBN: 978-602-70604-2-5 A-20-1


METODE Studi simulasi pada penelitian ini dilakukan untuk membandingkan hasil estimasi para-meter model GSTARX-OLS dengan GSTARX-GLS. Selain itu, pada simulasi ini juga digu-nakan bobot lokasi normalisasi inferensia parsial korelasi silang (NIPKS) pada lag waktu yang bersesuaian dengan orde waktu (AR). Notasi Xpada model GSTARX merupakan variabel dummy dari model variasi kalender dengan efek saat terjadinya (t) dan satu bulan sebelum terjadinya (t-1) lebaran Idul Fitri dari tahun 1990 hingga 2010. Studi simulasi akan menerapkan 2 (dua) kasus, yaitu residual tidak saling berkorelasi (whitenoise) antar lokasidan residual saling berkorelasi antar lokasi. Data yang dibangkitkan dalam studi simulasi terdiri dari 3 (tiga) lokasi dengan t = 252. Model GSTAR(11) yang dibangkitkan secara umum dapat ditulis dalam bentuk  z1(t)   10 0 0  11 0 0   0 w12 w13    z1(t  1)   z (t)    0  0    0 21 0  w21 0 w23  z2 (t  1)  20  2   z3 (t)   0 0 30   0 0 31 w31 w32 0   z3 (t  1)

(1)

1, g 0 0  Dg (t) 1, g 0 0  Dg (t  1) e1(t)           0 3, g 0  Dg (t)   0  2, g 0  Dg (t  1)  e2 (t).  0 0 2, g  Dg (t)  0 0  3, g  Dg (t  1) e3 (t) 

Dari persamaan (1), model GSTARX(11) selanjutnya akan ditulis dalam bentuk * * * 0  Dg (t)  z1(t)   11 12 13    z1(t  1)  1, g 0   z (t)   * * *   z (t  1)   0  0  Dg (t)  3, g  2    21 22 23   2   * * *    z3 (t)  31   32 33 0 2, g  Dg (t)    z3 (t  1)  0 

(2)

1, g 0 0  Dg (t  1) e1(t)        0  2, g 0  Dg (t  1)  e2 (t), 0 0  3, g  Dg (t  1) e3 (t) 

dengan ii*  i 0 , ij*  wij i1 untuk i ≠ j, dan g merupakan jumlah hari sebelum terjadinya lebaran Idul Fitri. Tanggal terjadinya lebaran Idul Fitri ditampilkan pada Tabel 1. Tabel 1. Tanggal Lebaran Idul Fitri Tahun 1990-2010 Tahun 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Tanggal 27-28 April 16-17 April 4-5 April 25-26 Maret 14-15 Maret 3-4 Maret 21-22 Februari 9-10 Februari

Tahun 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Tanggal 30-31 Januari 19-20 Januari 8-9 Januari 28-29 Desember 17-18 Desember 6-7 Desember 25-26 Nopember 14-15 Nopember

Tahun 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Tanggal 3-4 Nopember 23-24 Oktober 12-13 Oktober 1-2 Oktober 21-22 September 10-11 September

Tahap Metode Analisis Data Studi simulasi yang dilakukan dengan langkah sebagai berikut. 1. Menentukan koefisien parameter yang digunakan dengan model VAR(1) 0,30 0,10 0,10  Φ1   0,15 0,20 0,15 . 0,20 0,20 0,25 2. Menentukan nilai matrik varians kovarians untuk residual Untuk kasus satu: ISBN: 978-602-70604-2-5 A-20-2

(3)


1,00 0,00 0,00 Ω  0,00 1,00 0,00, 0,00 0,00 1,00 

(4)

dan kasus dua:

1,00 0,20 0,40 Ω  0,20 1,00 0,30. 0,40 0,30 1,00  3. Melakukan estimasi parameter dengan metode OLS dan GLS. Level 1: Yi*,t   0  f ( Dg ,t , Dg ,t 1 )  ui ,t . Level 2: u(t )  Φ10 Z(t  1)  Φ11 W (1) Z(t  1)  e(t ). 4. Menentukan bobot spasial ( W ) yang digunakan. 5. Menghitung efisiensi (%) GLS dengan formula SE OLS ( ˆ )  SE GLS ( ˆ ) Efisiensi (%) = x 100 . SE ( ˆ )

(5)

(6) (7)

(8)

OLS

HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam melakukan estimasi model GSTARX, tahap satu yang dilakukan adalah melakukan estimasi di level satu,yaitu untuk parameter efek variasi kalender. Tahap ini dilakukan dengan cara melakukan regresi tanpa lag dilokasi yang sama dan berlainan seperti persamaan (6), sehingga diperoleh Tabel 1. Estimasi Parameter Level Satu Model GSTAR Kasus 1. Lokasi

Model Y1*,t  20,393D0,t  33,371D 2,t  37,016 D3,t  50,248D5,t  64,142 D7,t  69,747 D8,t  76,113D9,t  86,302 D11,t  99,889 D13,t  110,003D15,t  116,849 D16,t  128,300 D18,t  141,775D 20,t  152,563D 22,t  163,960 D 24,t 

1

175,097 D 26,t  181,178D 27,t  193,453D 29,t  180,075D0,t 1  170,700 D 2,t 1  165,080 D3,t 1  155,698D5,t 1  145,139 D7,t 1  138,766 D8,t 1  135,634 D9,t 1  126,863D11,t 1  116,702 D13,t 1  105,843D15,t 1  98,684 D16,t 1  90,571D18,t 1  79,903D 20,t 1  71,224 D 22,t 1  60,283D 24,t 1  49,823D 26,t 1  45,548D 27,t 1  33,440 D 29,t 1  u1,t . Y2*,t  15,722 D0,t  22,357 D 2,t  27,291D3,t  36,187 D5,t  44,394 D7 ,t  46,717 D8,t  52,549 D9,t  59,875 D11,t  67,474 D13,t  75,243D15,t  78,555 D16,t  87,987 D18,t  95,874 D 20,t  104,161D 22,t  109,898 D 24,t 

2

117,330 D 26,t  122,653D 27 ,t  132,196 D 29,t  98,745 D0,t 1  94,296 D 2,t 1  91,449 D3,t 1  84,693D5,t 1  80,371D7 ,t 1  76,810 D8,t 1  73,089 D9,t 1  67,158 D11,t 1  61,992 D13,t 1  54,402 D15,t 1  52,652 D16,t 1  47,232 D18,t 1  41,442 D 20,t 1  33,403D 22,t 1  27,763D 24,t 1  21,733D 26,t 1  18,428 D 27 ,t 1  13,458 D 29,t 1  u 2,t .

ISBN: 978-602-70604-2-5 A-20-3


Lanjutan Tabel 1. Estimasi Parameter Level Satu Model GSTAR Kasus 1. Lokasi

Model Y3*,t

 10,054 D0,t  14,601D2,t  17,600 D3,t  19,967 D5,t  24,099 D7 ,t  26,345 D8,t  27,756 D9,t  31,430 D11,t  35,226 D13,t  41,077 D15,t  42,505 D16,t  47,522 D18,t  51,610 D20,t  55,500 D22,t  58,961D24,t  62,822 D26,t  64,409 D27 ,t  67,915 D29,t  70,318 D0,t 1  65,182 D2,t 1 

3

64,286 D3,t 1  59,777 D5,t 1  56,552 D7 ,t 1  53,652 D8,t 1  52,560 D9,t 1  48,713D11,t 1  42,706 D13,t 1  39,547 D15,t 1  37,231D16,t 1  35,304 D18,t 1  31,128 D20,t 1  27,282 D22,t 1  22,820 D24,t 1  15,888 D26,t 1  16,558 D27 ,t 1  9,942 D29,t 1  u 3,t .

Hasil bobot NIPKS antar lokasi pada lag waktu ke (1), atau AR(1) pada Tabel 2 menunjukkan bahwa parsial korelasi silang antar lokasi adalah valid dan sebanding. Artinya, besarnya parsial korelasi silang antara lokasi ke-2 dan ke-3 terhadap lokasi ke-1 adalah sama besar pada lag waktu ke (1). Begitu pula untuk parsial korelasi silang antar lokasi yang lain. Tabel 2. Taksiran Normalisasi Inferensia Parsial Korelasi Silang Data Simulasi Kasus Satu

Parameter P12(1) P13(1) P21(1) P23(1) P31(1) P32(1)

Nilai taksiran 0,186 0,185 0,212 0,197 0,140 0,267

Taksiran interval 95% Batas bawah 0,073 0,072 0,099 0,084 0,027 0,154

Batas atas 0,300 0,298 0,326 0,310 0,253 0,380

Keputusan Valid dan sebanding Valid dan sebanding Valid dan sebanding Valid dan sebanding Valid dan sebanding Valid dan sebanding

Berdasarkan hasil perhitungan dengan besaran korelasi silang antar lokasi pada waktu ke (1), proses inferensia statistik pada Tabel 2 menunjukkan bahwa taksiran interval menghasilkan batas yang sama (tanda hubungan), sehingga memberikan keputusan valid dan sebanding, artinya tidak ada perbedaan untuk pemberian bobot antar lokasi. Sehingga, metode pembobo-tan yang sesuai pada kasus satu adalah bobot seragam  0 0,5 0,5 W  0,5 0 0,5. 0,5 0,5 0 

(9)

Selain itu, metode bobot lokasi yang digunakan untuk studi kasus dua adalah sama, yaitu bobot seragam seperti persamaan (9). Dengan menggunakan bobot lokasi pada persamaan (9) diperoleh hasil estimasi parameter model GSTAR(11) seperti pada Tabel 3.

ISBN: 978-602-70604-2-5 A-20-4


Tabel 3 Perbandingan Estimasi Parameter Level Dua Model GSTAR Metode OLS dan GLS

Kasus

Parameter

1

1 10

0,283

0,060

0,299

0,060

Efisiensi (%) GLS 0,000

111

0,247

0,082

0,230

0,082

0,000

1  20

0,175

0,061

0,169

0,061

0,000

1  21

0,282

0,074

0,288

0,074

0,000

1  30

0,329

0,061

0,335

0,061

0,000

1 31

0,246

0,082

0,240

0,082

0,000

1 10

0,271

0,067

0,254

0,062

6,625

111

0,114

0,082

0,132

0,078

4,531

1  20

0,161

0,064

0,176

0,062

3,416

1  21

0,293

0,077

0,279

0,076

2,169

1  30

0,143

0,070

0,133

0,064

8,185

1 31

0,270

0,084

0,280

0,079

5,873

2

OLS Estimasi SE

GLS Estimasi SE

Berdasarkan pada Tabel 3, estimasi model GSTAR dengan metode GLS menunjukkan lebih efisien dibandingkan dengan OLS. Hal ini ditunjukkan dari nilai standar error yang lebih kecil untuk GLS. Selain itu perbandingan efisiensi estimasi dari setiap parameter model GSTAR juga dapat ditunjukkan melalui kurva pdf. 0.3

7

0.1 OLS GLS

OLS GLS

5

6 4

4

Density

Density

5

3

3

2

2 1

1 0

0.1

0.2

psi10

0.3

0.4

0

0.5

0.2

7

0.0

0.1 psi11

0.2

0.3

0.4

0.15 OLS GLS

5

5

4

4

Density

Density

-0.1

6

OLS GLS

6

3

3 2

2

1

1 0

-0.2

0.0

0.1

psi20

0.2

0.3

0.4

0

0.0

0.1

0.2

0.3 psi21

0.4

0.5

Gambar 1. Plot distribusi parameter i10 (kiri) dan i11 (kanan) metode estimasi OLS dan GLS data simulasi 3 (a) lokasi 1, (b) lokasi 2, dan (c) lokasi 3 kasus 3.

ISBN: 978-602-70604-2-5 A-20-5

Prosiding Seminar Nasional Manajemen Teknologi XXIII Program Studi MMT-ITS, Surabaya 1 Agustus 2015 0.25

7

0.2 OLS GLS

OLS GLS

5

6 4

4

Density

Density

5

3

3

2

2 1

1 0

0.0

0.1

psi30

0.2

0.3

0.4

0

0.0

0.1

0.2

0.3 psi31

0.4

0.5

0.6

Gambar 1(lanjutan).

Efisiensi metode GLS pada Gambar 1 ditunjukkan melalui kurva pdf berwarna biru. Kurva tersebut terlihat lebih sempit dibandingkan dengan OLS. Selanjutnya, pada kasus satu secara lengkap model GSTARX(11)-OLS untuk level satu dan dua seperti persamaan (2) dapat dituliskan 0 0   D1,0 (t)  z1 (t) 0,283 0,124 0,124  z1 (t 1) 20,393   z (t)  0,141 0,175 0,141 z (t 1)   0 15,722 0  D2,0 (t)   2    2   z3 (t) 0,123 0,123 0,329 z3 (t 1)  0 0 10,054 D3,0 (t) 0 0   D1,2 (t) 0 0   D1,27 (t 1) 33,371 45,548      0   22,356 0  D2,2 (t)    0 18,428 0  D2,27 (t 1)    0  0 0 14,601 D3,2 (t) 0 16,558 D3,27 (t 1)

(10)

0 0   D1,29 (t 1) e1 (t) 33,440    0 13,458 0  D2,29 (t 1)  e2 (t) .   0 0 9,942 D3,29 (t 1) e3 (t)

Sedangkan untuk kasus dua dapat ditulis 0 0   D1,0 (t)  z1(t) 0,271 0,057 0,057  z1(t 1) 20,213   z (t)  0,147 0,161 0,147 z (t 1)   0 14,997 0  D2,0 (t)  2    2   z3 (t) 0,135 0,135 0,143 z3 (t 1)  0 0 11,860 D3,0 (t) 0 0   D1,2 (t) 0 0   D1,27(t 1) 31,937 46,984      0   23,484 0  D2,2 (t)     0 19,889 0  D2,27(t 1)    0  0 0 14,516 D3,2 (t) 0 16,690 D3,27(t 1)

(11)

0   D1,29(t 1) e1(t) 34,693 0    11,914 0  D2,29(t 1)  e2 (t).   0 0 10,822 D3,29(t 1) e3 (t)

Dari Tabel 3 menunjukkan terdapat selisih perbedaan nilai standar error metode estimasi OLS dengan GLS. Nilai standar error GLS lebih kecil dibandingkan OLS, perbedaan ini sebagian besar terjadi pada semua parameter. Untuk kasus ketiga ini dapat dinyatakan bahwa estimasi parameter dengan menggunakan GLS lebih baik dibandingkan OLS. Hal ini dapat dilihat pada efisiensi GLS yang hampir semua koefisien bernilai diatas 5%. Selain itu, pada data simulasi ketiga yang memiliki nilai efisiensi GLS terbesar terdapat pada model GSTAR. ISBN: 978-602-70604-2-5 A-20-6


KESIMPULAN DAN SARAN Hasil simulasi menunjukkan bahwa jika residual saling berkorelasi antar semua lokasi ataupun hanya beberapa lokasi saja, maka model GSTARX-GLS akan menghasilkan estimasi parameter yang lebih efisien daripada model GSTARX-OLS. Hal tersebut ditunjukkan dari nilai standar error yang dihasilkan oleh model GSTARX-GLS adalah lebih kecil daripada GSTAR-OLS. Sedangkan jika residual tidak saling berkorelasi antar semua persamaan, maka nilai standar error yang dihasilkan oleh model GSTARX-OLS dan GSTARX-GLS adalah sama. Saran untuk penelitian selanjutnya adalah untuk estimasi dua level dengan mencoba menambahkan variabel input lain (skala metrik).

DAFTAR PUSTAKA Borovkova, S.A., Lopuhaa, H.P., dan Ruchjana, B.N. 2008. Consistency and Asymptotic Normality of Least Square Estimators in Generalized STAR Models. Journal Compilation Statistica Neerlandica 62 (4): 482-508. Zellner, A. 1962. An efficient Method of Estimating Seemingly Unrelated Regression Equations and Tests for Aggregation Bias. Journal of the American Statistical Association 57: 348–368. Suhartono dan Subanar. 2006. The Optimal Determination of Space Weight in GSTAR Model by Using Cross-correlation Inference.Journal of Quantitative Methods. Journal Devoted the Mathematical and Statistical Application in Various Field 2 (2): 45-53.

ISBN: 978-602-70604-2-5 A-20-7

ESTIMASI PARAMETER DUA LEVEL MODEL GSTARX-GLS

Recommend Documents