Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
STUDI SIMULASI GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT Selfie Pattihahuan, Adi Setiawan, Leopoldus Ricky Sasongko Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-62 Salatiga 50711, email:
[email protected] Abstrak Pengendalian kualitas secara statistik dapat dilakukan dengan menggunakan grafik pengendali, Salah satunya adalah penggunaan grafik pengendali berdasarkan Estimasi Fungsi Densitas Kernel. Data yang digunakan adalah dua titik sampel bivariat yaitu
x1 1,2 , x 2 3, 4 dan data simulasi bivariat yang dibangkitkan dari kombinasi dua distribusi normal bivariat dengan ukuran sampel (sample size) tertentu. Berdasarkan data tersebut dapat ditentukan estimasi densitas kernelnya (kernel density estimation) selanjutnya digunakan untuk membuat grafik pengendali dalam menentukan titik sampel yang out of control. Dari studi simulasi dapat dibangkitkan sampel dengan ukuran n berbeda- beda dan diperoleh hasil proporsi titik sampel out of control cenderung mendekati nilai batas kesalahan (level of significance) 0,0027 . Kata kunci : estimasi densitas kernel (kernel density estimation), grafik pengendali.
PENDAHULUAN Latar Belakang Pengendalian kualitas sangat dibutuhkan dalam proses produksi guna menjaga kestabilan suatu produk. Dalam pengendalian kualitas sering digunakan pengendalian proses statistik. Salah satu teknik pengendalian proses statistik adalah grafik pengendali (control chart). Mengingat karakteristik kualitas proses produksi tidak selalu berdistribusi normal, maka dikembangkan alternatif grafik pengendali dengan metode non-parametrik . Salah satunya adalah menggunakan estimasi fungsi densitas kernel (kernel density estimation). Dalam makalah sebelumnya telah dijelaskan tentang penerapan grafik pengendali berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel bivariat pada data bivariat karakteristik pH dan berat jenis sabun sirih (Pattihahuan et al., 2012). Selanjutnya, makalah ini akan membahas tentang bagaimana menerapkan grafik pengendali non-parametrik berdasarkan pendekatan fungsi densitas kernel bivariat untuk dua titik dan untuk data simulasi bivariat. Tujuan dari penelitian ini adalah menerapkan grafik pengendali non-parametrik berdasarkan pendekatan kernel untuk data simulasi bivariat dan mengidentifikasi titik sampel yang berada di luar grafik pengendali. DASAR TEORI Dasar teori yang dituliskan dalam makalah ini diambil dari makalah Pattihahuan et al. (2012) dan beberapa sumber seperti pada daftar pustaka. Grafik Pengendali Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang digunakan secara luas yang biasanya digunakan untuk menaksir parameter suatu proses produksi menentukan kemampuan dan memberikan informasi yang berguna dalam meningkatkan proses itu (Montgomery, 1990). Berdasarkan banyaknya karakteristik kualitas yang diukur, grafik pengendali dibedakan menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali bivariat atau multivariat. Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu karakteristik kualitas yang diukur, sedangkan grafik pengendali bivariat atau multivariat digunakan jika diperlukan pengendalian dua atau lebih karakteristik kualitas yang berhubungan secara bersama-sama. M-301
Selfie P, Adi S, Leopoldus R/ Studi Simulasi Grafik
Estimasi Fungsi Densitas Bivariat Estimasi fungsi densitas merupakan salah satu bagian dalam analisis data statistik, dimana estimasi fungsi densitas adalah suatu gambaran tentang sebuah sebaran data. Dalam statistik, estimasi fungsi densitas kernel merupakan salah satu metode non-parametrik untuk menduga fungsi kepadatan probabilitas dari suatu variabel acak (WEB1). Misalkan suatu sampel bivariat X 1 , X 2 ,..., X n yang diambil dari suatu populasi dengan fungsi densitas f, maka estimasi fungsi densitas kernelnya adalah n
fˆ x ; H n 1 K H x X i i 1
dengan X1, X2, . . . ,Xn adalah sampel dari n data H adalah matrix bandwidth , x x1 , x 2 dan T
X i X i1 , X i 2 untuk i = 1, 2,. . . ., n. Dalam hal ini T
K H x H
1 2
K H 1 2 x
dan
2 1
h h12 H adalah matriks bandwidth yang simetris positif definit (definite positive) dengan 2 h12 h2 h12 var X i1 , h22 var X i 2 dan h12 cov X i1 , X i 2 . Dalam hal ini 1 1 K x 2 exp x T x adalah kernel normal standard bivariat. 2 Hal yang menjadi faktor penting dalam estimasi fungsi densitas kernel adalah memilih nilai
H optimal untuk matriks bandwidth. Pemilihan nilai H optimal untuk matriks bandwidth dapat dilakukan dengan menggunakan metode Mean Integrated Squared Error (MISE) yang dijelaskan pada Tarn Duong dan Martin L. Hazelton (2003). METODE PENELITIAN Dalam penelitian ini digunakan langkah-langkah yang dijelaskan sebagai berikut: Membuat grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel untuk dua titik sampel Membangkitkan data simulasi bivariat dari distribusi normal bivariat N dengan rumus
4 8 p N , 1 p N , 25 20 1 0.5 dengan bobot 0
dengan menggunakan packages ks pada software R-2.15.2. Menghitung estimasi fungsi densitas kernel dari data simulasi berdasarkan nilai H bandwidth optimal. Membuat grafik pengendali untuk data simulasi bivariat berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel. Menentukan banyaknya titik sampel yang out of control. Menentukan banyaknya titik yang out of control untuk n=500, n=1000, n=1500 dan p=0.5. Melakukan pengulangan dengan p yang berbeda-beda yaitu p=0.1, p=0.8.
ANALISIS DAN PEMBAHASAN Estimasi Kernel Densitas Bivariat dari Dua Titik Jika dipunyai dua titik sembarang x1 1,2 dan x 2 3, 4 dan dengan menggunakan
1 0 maka estimasi densitas kernel dapat digambarkan dengan 0 1
matriks bandwidth identitas H
grafik 3 dimensi pada Gambar 1 dan 2. Gambar 1 adalah estimasi densitas kernel bila dilihat dari sudut rotasi horizontal (AZ) 20 derajat dan sudut elevasi vertikal (EL) 25 derajat, sedangkan Gambar 2 adalah estimasi densitas kernel bila dilihat dari sudut rotasi horizontal (AZ) 60 derajat dan sudut elevasi vertikal (EL) 125 derajat. M-302
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
Gambar 1. Grafik Estimasi Densitas Bivariat 2 titik AZ 20 EL 25
Gambar 2. Grafik Estimasi Densitas Bivariat 2 titik AZ 60 EL 125 Berdasarkan estimasi densitas kernel dapat dibuat grafik pengendali bivariat untuk 2 titik yang ditunjukan pada Gambar 3. Kurva garis putus-putus menunjukkan batas grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel.
Gambar 3. Grafik Pengendali Berdasarkan Estimasi Densitas Bivariat 2 Titik Estimasi Fungsi Densitas Bivariat Untuk Data Simulasi Untuk memberikan gambaran, pada simulasi ini, dibangkitkan data acak bivariat dari distribusi normal
4 8 p N , 1 p N , 25 20 1 0.5 dengan bobot 0
0.2452 0.0124 H 0.0124 0.3214 dengan eigen value 1 0.3233, 2 0.2433 . M-303
Selfie P, Adi S, Leopoldus R/ Studi Simulasi Grafik
Selanjutnya, berdasarkan data hasil simulasi tersebut dapat ditentukan estimasi densitas kernel dengan menggunakan persamaan (1). Nilai estimasi fungsi densitas kernel untuk data simulasi yang dibangkitkan dapat ditunjukan pada Gambar 4. Terlihat kurang lebih separuh titik membentuk bukit pertama sedangkan separuh titik yang lain membentuk bukit kedua. Hal ini sesuai dengan yang diharapkan karena menggunakan bobot p=0.5.
Gambar 4. Grafik estimasi densitas kernel bivariat untuk data simulasi Dengan p=0.5 untuk n= 500 Berdasarkan estimasi densitas kernel bivariat pada Gambar 4, dapat dibuat grafik pengendali yang ditunjukkan pada Gambar 5. Kontur merah menunjukan batas spesifikasi dengan tingkat signifikansi α=0.0027 yang bersesuaian dengan level (nilai estimasi densitas kernel) adalah 0.0017. Dengan menggunakan batas spesifikasi tersebut diperoleh 2 titik sampel yang berada di luar kontur yaitu titik sampel ke-159 yang berada pada koordinat (12.2509, 23.6602) dengan level (nilai estimasi densita kernel) adalah 0.0014 dan titik sampel ke-224 yang berada pada koordinat (7.0671, 26.3783) dengan level adalah 0.0017.
Gambar 5. Grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel untuk data simulasi dengan p=0.5 untuk n= 500 Untuk perbandingan lebih jelas dari studi simulasi dengan sampel yang berbeda- beda ditunjukkan dalam Tabel 1. Grafik pengendali bivariat yang dibuat berdasarkan data acak berdistribusi normal dengan banyaknya sampel yang berbeda-beda yaitu n=500, n=1000, n=1500 dan n=2000 diperoleh proporsi banyaknya titik sampel out of control cenderung mendekati nilai 0,0027 . Untuk grafik pengendali bivariat dengan banyak sampel (sample size) n=1000 dan n=1500 ditunjukkan pada Lampiran 1. Titik sampel yang berada di luar batas pengendali (out of control) memberikan arti bahwa terjadi suatu kesalahan (cacat) yang mungkin diakibatkan M-304
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
kesalahan dalam proses produksi. Hasil yang analog bisa diperoleh untuk penganbilan bobot p yang lain sebagai contoh p=0.1, p=0.8. Tabel 1. Tabel hasil simulasi untuk berbagai macam n Banyaknya titik sampel n Level Proporsi out of control yang out of control 500
0.0017
2
1000
0.0010
3
1500
0.0007
5
2 0.004 500 3 0.003 1000 5 0.0033 1500
KESIMPULAN Dalam makalah ini dijelaskan proses pembentukan grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel untuk dua titik sampel dan untuk banyaknya sampel dengan n yang berbeda-beda sehingga dapat digunakan untuk mengidentifikasi titik-titik sampel yang out of control. DAFTAR PUSTAKA Chacón, J.E. and Duong, T. 2009. Multivariate plug-in bandwidth selection with unconstrained pilot bandwidth matrices. Diunduh pada Minggu, 2 Januari 2012. www.mvstat.net/tduong/research/.../chacon-duong-2010-test.pdf Montgomery, Douglas C. 1990. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press. Najib, Mohammad. 2007. Diagram Kontrol Statistik Non Parametrik Sum Of Ranks Untuk Target Pada Data Non-Normal. Diunduh pada Minggu, 1 Januari 2012. http://digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-8035-1303100018-Bab1.pdf Pattihahuan, Selfie., Setiawan, A., & Sasongko, L, Ricky. Sasongko. 2012. Penerapan Grafik Pengendali Berdasarkan Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat. Seminar Nasional Pendidikan Matematika (LSM) XX UNY tanggal 24 Maret 2012. Tarn Duong and Martin L. Hazelton. 2003.Plug-In Bandwith Matrices For Bivariate Kernel Density Estomation, hal. 17 - 20. Diunduh pada Minggu, 3 Januari 2012. http://www.mvstat.net/tduong/research/ [WEB 1] Kernel Density Estimation. Diunduh pada Sabtu, 20 Agustus 2011. http://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_density_estimation [WEB 2] Multivariate Kernel Density Estimation. Diunduh pada sabtu, 20 Agustus 2011. http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_kernel_density_estimation
M-305
Selfie P, Adi S, Leopoldus R/ Studi Simulasi Grafik
Lampiran 1 : Grafik Pengendali Bivariat Untuk n=1000, n=1500 dengan p=0.5
15
20
hasil[,2]
25
30
Gambar 6. Grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel untuk data simulasi dengan p=0.5 untuk n= 1000
0
2
4
6
8
10
12
hasil[,1]
Gambar 7. Grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel untuk data simulasi dengan p=0.5 untuk n= 1500
M-306
