PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA (PRINCIPAL COMPONENT ANALYSIS) Wirayanti1), Adi Setiawan2), Bambang Susanto2) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW Jl. Diponegoro 52-62 Salatiga, email:
[email protected] 2) Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW Jl. Diponegoro 52-62 Salatiga Abstrak Upaya yang dapat dilakukan untuk dapat meningkatkan kualitas dari suatu proses produksi, adalah dengan mengurangi cacat produk. Hal ini dapat dilakukan dengan menerapkan pengendalian kualitas secara statistik yang dapat dilakukan dengan metode Statistical Process Control. Salah satu teknik yang dapat digunakan adalah grafik pengendali berdasarkan Analisis Komponen Utama (Principal Component AnalysisPCA). Dengan metode PCA ini dihasilkan suatu komponen utama yang dapat mewakili semua variabel asli tanpa kehilangan banyak informasi. Data yang digunakan adalah data kandungan Kapsul Herbal Glucoser. Analisis Komponen Utama digunakan untuk memilih variabel yang dominan, selanjutnya digunakan untuk menbuat grafik pengendali untuk menentukan titik sampel yang out of control. Kata kunci : Statistical Process Control, Principal Component Analysis (PCA), grafik pengendali.
1.
Pendahuluan Ketatnya persaingan dunia industri dewasa ini, membuat para pelaku usaha memerlukan
suatu usaha untuk meningkatkan kualitas. Tujuan utama suatu usaha adalah mendapatkan keuntungan yang sebesar-besarnya. Oleh karena itu, perusahaan harus memuaskan konsumen dengan produknya agar produknya mampu bersaing dipasaran, karena konsumen mulai selektif dalam memilih produk yang akan digunakan. Salah satu usaha yang dilakukan adalah dengan mengurangi cacat produk, yang dilakukan dengan menerapkan pengendalian kualitas yang baik. Usaha Pengendalian kualitas merupakan suatu usaha yang sifatnya menjaga kualitas produk yang dihasilkan minimal mempertahankan mutu produk yang sudah ada, atau bahkan meningkatkan mutunya sehingga didapatkan hasil produk yang unggul. Menurut Montgomery pengendalian kualitas adalah aktivitas keteknikan dan manajemen, dimana aktivitas tersebut mengukur ciri-ciri kualitas produk, membandingkannya dengan spesifikasi atau persyaratan, dan mengambil tindakan penyehatan yang sesuai apabila ada perbedaan antara penampilan yang sebenarnya dengan yang standar. Hal ini dilakukan agar segera diidentifikasi kesalahankesalahan untuk dilakukan perbaikan. Dalam pengendalian kualitas ini sering digunakan pengendalian proses statistik. Salah satu teknik pengendalian proses statistik adalah grafik pengendali. Grafik pengendali merupakan teknik pengendali proses pada jalur yang bertujuan menyidik dengan cepat terjadinya pergeseran proses sampai penyelidikan terhadap proses itu sehingga tindakan pembetulan dapat dilakukan sebelum terlalu banyak unit yang tak sesuai diproduksi. Namun permasalahan yang sering terjadi pada banyak grafik pengendali adalah grafik tersebut kurang dapat mendeteksi kejadian–kejadian pada saat banyaknya variabel yang diukur sangat banyak. 2
Oleh Karena itu, dapat digunakan grafik pengendali berdasarkan Principal Component Analysis (PCA) yang akan diterapkan pada kandungan Kapsul Herbal Glucoser yang terdiri dari empat variabel yaitu Tinospora Caulis, Piper Decumanun, Plantago Herba, dan Azadirachta Folia. Principal Component Analysis (PCA) adalah suatu analisis yang menjelaskan struktur varian-kovarian dari suatu himpunan variabel yang melalui beberapa kombinasi linear dari variable – variabel tersebut (Johnson and Wichern, 2002). Secara sederhana analisis komponen utama ini adalah prosedur pengurangan variabel, dimana komponen utama merupakan kombinasi linier dari p variabel asli. Penggunaan metode PCA ini sangat disarankan untuk memilih atau meringkas variabel yang banyak sehingga perbuatan grafik pengendalinya menjadi lebih mudah.
2.
Dasar Teori dan Metode Penelitian
2.1 Grafik pengendali Statistical Process Control (pengendalian proses secara statistik) merupakan pengaplikasian teknik-teknik statistik untuk mengendalikan suatu proses untuk menentukan stabilitasnya dan kemampuannya menghasilkan produk/jasa bermutu (Sugian, 2006). Suatu alat yang digunakan dalam pengendalian kualitas secara statistik pada proses produksi disebut grafik pengendali (Control Chart). Salah satu contoh grafik pengendali adalah grafik pengendali ratarata x atau disebut dengan grafik pengendali Shewhart. Dalam grafik pengendali umumnya terdiri dari batas atas (UCL), batas bawah (LCL) dan batas tengah (CL). Untuk itu, akan dicari UCL, LCL dan CL dari variabel yang menjadi komponen utama pada data multivariat. Jika µ dan diketahui maka UCL, LCL dan CL dari grafik pengendali adalah
UCL k CL LCL k dengan
= rata-rata (mean) sampel,
= deviasi standar sampel, kelipatan deviasi standar. Biasanya kelipatan deviasi standar dalam teknik statistik digunakan k = 3 (Montgomery, 1990).
2.2 Principal Componen Analysis (PCA) Analisis komponen utama merupakan suatu teknik statistik untuk mengubah dari sebagian besar variabel asli yang digunakan dan saling berkorelasi satu dengan yang lainnya menjadi satu set variabel baru yang lebih kecil dan tidak berkorelasi (Web 1). Setiap 3
(1)
pengukuran multivariat (atau observasi), komponen utama merupakan kombinasi linier dari variabel p awal. Tujuan utama analisis komponen utama ialah untuk mengurangi dimensi peubah-peubah yang saling berhubungan dan cukup banyak variabelnya sehingga lebih mudah untuk menginterpretasikan data-data tersebut (Johnson & Wichern, 2002). Metode yang digunakan yaitu menentukan komponen utama dengan melakukan alih ragam orthogonal atau membentuk kombinasi linier Y A' X (Sumarga, 1996). Dari sini akan dipilih beberapa komponen utama yang dapat memberikan sebagian besar keragaman total data semula. 2.3 Menentukan Komponen Utama Komponen utama merupakan suatu kombinasi linear vektor p variabel acak X1, . . . , Xp. Misalkan matriks X = [X1, . . . , Xp] mempunyai matriks kovariansi . Dalam hal ini adalah
matriks
simetris
1 2 ... p 0
dan positif
dan
sebutlah
tegas vektor
(positive eigen
definite)
yang
dengan
bersesuaian
nilai
eigen
untuk
setiap
1 2 ... p 0 adalah e1 ,..., e p yang saling orthogonal, dengan mencari kombinasi linier
yaitu T Yi ei X e1i X 1 e21 X 2 ... e pi X p ,
i= 1, 2, . . . , p .
(2)
Dengan pemilihan ini,
Var (Yi ) eiT ei i
i= 1, 2, . . . , p .
Cov( Yi , Yk )= eiT ek 0 , i k .
(3) (4)
Proporsi total variansi komponen prinsip ke-i didefinisikan sebagai
k 1 2 ... p
, k =1, . . . , p.
Nilai e ki menyatakan ukuran pentingnya variabel ke-k terhadap komponen prinsip ke-i. Secara khusus, e ki menyatakan korelasi antara komponen-komponen Yi dan variabel-variabel Xk .
Hal ini dijelaskan dengan menggunakan koefisien korelasi antara komponen-komponen Yi
dan variabel-variabel X k adalah
Y , X i
k
eki i
kk
i,k =1, 2, . . . , p.
dengan kk adalah simpangan baku variabel ke-k. (Johnson and Wichern, 2002) 2.4 Metode penelitian Data yang digunakan adalah data sekunder yang merupakan data kandungan Kapsul Herbal Glucoser pada bulan Maret 2011 sampai dengan Agustus 2011 sebanyak 290 titik sampel. Langkah langkah dalam analisis data dijabarkan sebagai berikut : 1. Mencari komponen utama dari kandungan produk Kapsul Herbal Glucoser
4
(5)
2. Menerapkan grafik pengendali yang berdasarkan komponen utama.
3.
Analisis dan pembahasan
3.1 Data kandungan Kapsul Herbal Glucoser Data kandungan Kapsul Herbal Glucoser terdiri dari Tinospora Caulis, Piper Decumanun, Plantago Herba dan Azadirachta Folia. Produksi tidak dilakukan setiap hari melainkan dilakukan pada waktu tertentu dan disesuaikan dengan persediaan. Pengambilan sampel dilakukan sebanyak 20 kali setiap kali produksi. Dimana perusahaan telah menentukan spesifikasi dari berat masing-masing bahan. Secara keseluruhan berat kapsul (keseragaman bobot) harus berada pada range 450-500 mg. Oleh karena itu, perusahaan memberikan batas toleransi untuk setiap bahan dengan menghitung perbandingan antara berat kapsul dan berat masing-masing bahan yaitu dengan perbandingan 2:1.5:1:5.
3.2 Grafik Pengendali Unit Individu untuk Kandungan Kapsul Herbal Glucoser Berdasarkan data kandungan Kapsul Herbal Glucoser menggunakan persamaan (1) diperoleh UCL, LCL dan CL untuk masing-masing variabel (kandungan). Dengan bantuan program, diperoleh batas UCL, LCL dan CL yang ditunjukkan pada Tabel 1. Selanjutnya berdasarkan tabel batas-batas tersebut dapat dibuat grafik pengendali untuk masing-masing kandungan Kapsul Herbal Glucoser pada Gambar 1.
Tabel 1.
UCL, LCL dan CL untuk masing-masing kandungan Kapsul Herbal Glucoser
No.
kandungan
UCL
LCL
CL
1
Tinospora Caulis
206.5541
189.4018
197.9779
2
Piper Decumanun
154.9258
142.0659
148.4959
3
Plantago Herba
103.286
94.6974
98.9917
4
Azadirachta Folia
51.6642
47.3564
49.5103
5
160
Piper Decumanun
UCL
150
UCL
CL
x2
195
x1
210
Tinospora Caulis
140
180
LCL
50
100
150
200
250
300
100
150
200
Index
Plantago Herba
Azadirachta Folia
250
300
250
300
54 0
46
50
UCL CL LCL
x4
100
50
Index
90
x3
LCL 0
110
0
CL
50
100
150
200
250
300
UCL CL LCL
0
50
100
Index
150
200
Index
Gambar 1. Grafik pengendali individu untuk tiap kandungan
Dari grafik pengendali pada Gambar 1. dapat dilihat bahwa untuk setiap masing-masing kandungan ada 4 titik sampel yang di luar kendali, dan dari keempat kandungan memiliki empat titik sampel yang di luar kendali yang sama yaitu titik sampel ke 12, 55, 123 dan 172. Grafik pengendali dari keempat kandungan memperlihatkan bahwa terjadi suatu penyimpangan atau tidak kesesuaian pada proses produksi yang mungkin terjadi karena kurangnya pengawasan ataupun terjadinya kesalahan penimbangan untuk masing-masing kandungan Kapsul Herbal Glucoser tersebut. 3.3 Principal Component Analysis(PCA) Dari data dibentuk matriks kovariansi, 8.17 6.13 4.09 2.05
6.13 4.09 2.05 4.59 3.07 1.54 3.07 2.05 1.03 1.54 1.03 0.51
selanjutnya dicari eigen value dan eigen vektor. Eigen value dan eigen vektor akan digunakan untuk mencari komponen utama yang terlebih dahulu dibentuk persamaan kombinasi liniernya. Diperoleh eigen value dan eigen vektor adalah
1 15.3290
e1 0.73,0.55,0.37,0.18
2 0.0008
e2 0.26,0.54,0.57,0.57
3 0.0005
e3 0.60,0.25,0.73,0.21 6
e4 0.18,0.59,0.13,0.77 .
4 0.0003
Kombinasi linier menurut persamaan (2) menjadi
Y1 e 1' X 0.73 X 1 0.55 X 2 0.37 X 3 0.18 X 4 Y2 e '2 X 0.26 X 1 0.54 X 2 0.57 X 3 0.57 X 4
Y3 e '3 X 0.6 X 1 0.25 X 2 0.73 X 3 0.21X 4 Y4 e '4 X 0.18 X 1 0.59 X 2 0.13 X 3 0.77 X 4 . Proporsi dari total variansi untuk komponen utama pertama Y1 adalah
1 /1 2 3 4 15.3290 /15.3290 0.0008 0.0005 0.0003 0.9998 . Proporsi tersebut telah menjelaskan 99.98% dari keragaman total data. Hal itu berarti Y1 dapat menggantikan keempat variabel asli tanpa banyak kehilangan informasi. Jika dilihat dari korelasi antara Y1 dengan keempat variabel yaitu X 1 , X 2 , X 3 dan X 4 dihitung berdasarkan persamaan (5), keempatnya relatif dekat ke 1 dapat disimpulkan bahwa keempat variabel sama pentingnya.
Y , X 1
1
Y , X 1
3
e11 1
0.9999 , Y1 , X 2
11 e31 1
33
0.9998 , Y1 , X 4
e21 1
22 e41 1
44
0.9999 ,
0.9995 .
Hubungan yang tersisa dapat diabaikan karena komponen kedua, ketiga dan keempat dapat dianggap tidak penting. 3.4 Grafik pengendali berdasarkan komponen utama Dalam membangun grafik pengendali yang berdasarkan komponen utama ini dibutuhkan beberapa langkah yang telah dijelaskan pada dasar teori. Komponen utama yang akan digunakan sebagai dasar membuat grafik pengendali diperoleh dengan membentuk kombiasi linier dengan metode PCA. Komponen utama tersebut telah diperoleh pada pembahasan
3.3
yang
menghasilkan
variabel
baru
Y1 e 1' X 0.73 X 1 0.55 X 2 0.37 X 3 0.18 X 4 sebagai komponen utama pertama. Grafik pengendali dibangun dari komponen utama pertama Y1 . Dalam hal ini Y1 merupakan kombinasi linier dari data, komponen utama Y1 dapat menggantikan variabel asli, karena dengan Y1 dapat dibangun grafik pengendali secara sederhana dengan satu data transformasi Y1 saja, tanpa harus membangun grafik pengendali untuk keempat variabel karena akan menjadi lebih rumit. Kemudian dihitung UCL, CL dan LCL menggunakan persamaan (1)
7
sehingga diperoleh nilai UCL = 282.4756, CL = 270.7455 dan LCL=259.0154, dan dibuat grafik pengendali yang ditunjukkan pada Gambar 2. Dari grafik pengendali Gambar 2. diperoleh empat titik sampel yang di luar batas kendali. Keempat titik sampel tersebut berada di bawah batas bawah (LCL) yang ditentukan, yaitu titik sampel ke-12, 55, 123 dan 172. Titik sampel ke-12 merupakan titik sampel ke-12 pada produksi pertama, titik sampel ke-55 merupakan titik sampel ke-15 pada produksi ketiga, selanjutnya titik sampel ke-123 merupakan titik sampel ke-3 pada produksi keenam, sedangkan untuk Titik sampel ke-172 merupakan titik sampel ke-12 pada produksi kedelapan. Titik sampel yang di luar kendali pada komponen utama Y1 tersebut sama dengan titik sampel yang berada di luar kendali pada grafik pengendali secara individu untuk masing-masing variabel (kandungan).
280
UCL
270
CL
260
LCL
250
y1
290
Grafik pengendali kandungan Kapsul Herbal Glucoser
0
50
100
150
200
250
300
Index
Gambar 2. Grafik pengendali kandungan Kapsul Herbal Glucoser berdasarkan komponen utama
4.
Kesimpulan Dari pembahasan di atas dapat dibuat kesimpulan sebagai berikut:
1. Grafik pengendali dapat dibuat berdasarkan komponen utama dari variabel. 2. Data kandungan Kapsul Herbal Glucoser dibangun grafik pengendali individu yang masing-masing kandungan menghasilkan empat data yang di luar batas kendali, yaitu pada data ke-12,55,123 dan 172. 3. Komponen utama diperoleh dengan metode Principal Component Analysis (PCA) dan memperoleh variabel baru Y1 e 1' X 0.73 X 1 0.55 X 2 0.37 X 3 0.18 X 4 8
sebagai
komponen utama pertama yang dapat mewakili semua variabel asli tanpa kehilangan banyak informasi dari total keragaman data semula yang berasal dari data kandungan Kapsul Herbal Glucoser. 4. Grafik pengendali yang digunakan adalah grafik pengendali dengan komponen utama Y1 yang menghasilkan empat titik sampel di luar kendali, sama halnya dengan grafik pengendali individu untuk masing-masing variabel (kandungan) yang juga diperoleh empat titik sampel yang di luar kendali.
5.
Daftar Pustaka
Johnson, Richard. Dean Wichern. 2007. Applied Multivariate Statistical Analysis, 6th ed. New Jersey : Prentice Hall, hal. 356-360. Montgomery, Douglas C. 1990. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press, hal.7, 225. Sugian O, Syahu. 2006. Kamus Manajemen (Mutu). Jakarta : PT Gramedia Pustaka Utama, hal. 214-215. Sumarga, H.1996. Eksplorasi Data Peubah Ganda. Salatiga: Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana, hal. 21. Web 1: Principal Component Control Chart http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section3/pmc342.htm (Diunduh pada 2 Oktober 2011
9
