FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Materi ke-4
[email protected]
Materi Fungsi Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif Operasi Pada Fungsi Fungsi Invers Fungsi Komposisi Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius ( 1 )
Fungsi Dalam berbagai aplikasi, hubungan/relasi antara dua himpunan ( sering disederhanakan menjadi variabel ) sering terjadi. Sebagai contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi 4 V = π r3 3 Secara definisi : Diketahui R relasi dari A ke B. Apabila setiap x ∈ A berelasi R dengan tepat satu y ∈ B maka R disebut fungsi dari A ke B.
Fungsi Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst. Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan: f:A→B Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f.
Fungsi Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df,
D f = {x ∈ R : f ( x) ada ( terdefinisikan)} Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range atau daerah hasil fungsi f, ditulis R f atau Im(f) → Perhatikan gambar berikut
Fungsi
Fungsi
• Jika pada fungsi f : A → B , sebarang elemen x ∈ A mempunyai kawan y ∈ B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x). • Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas. • Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.
Fungsi Contoh – 1 : Tentukan Df
1 f ( x) = x+2 Jawab-1 : Suatu hasil bagi akan memiliki arti apabila penyebut tidak nol. Oleh karena itu, 1 D f = x ∈ R : terdefinisikan = {x ∈ R : x + 2 ≠ 0} = R − {−2} x+2
Fungsi Contoh – 2 : Tentukan Df
f ( x) =
x x2 −1
Jawab-2 : Karena akar suatu bilangan ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka:
x x D f = x ∈ R : ada = x ∈ R : ≥ 0 2 2 x −1 x −1 = {x ∈ R : − 1 < x ≤ 0 atau x > 1} = ( −1,0] ∪ (1, ∞).
Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut fungsi surjektif
Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi injektif
Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.
Operasi Pada Fungsi Diberikan skalar real α dan fungsi-fungsi f dan g. , maka :
,
Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali untuk f g
{
}
D f g = x ∈ D f ∩ D g : g ( x) ≠ 0
Fungsi Invers Apabila merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi f −1 .
x = f −1 ( y ) ⇔
y = f ( x)
dengan
D f −1 = R f dan R f −1 = D f
Fungsi Invers Contoh : −1 f Tentukan jika diketahui
f ( x) = 1 −
Jawab :
⇔
x −1 y = f ( x) = 1 − 3x + 2 x −1 1− y = 3x + 2
x −1 3x + 2
.
Fungsi Invers ⇔ (1 − y )(3x + 2) = x − 1 ⇔ 3x − 3xy − 2 y + 2 = x − 1 ⇔ ⇔
f
−1
2 x − 3xy = 2 y − 3 2y −3 −1 x= = f ( y) 2 − 3y
2x − 3 ( x) = 2 − 3x
Fungsi Komposisi
Fungsi Komposisi Contoh : 2 Jika f ( x) = 1 − x 2 dan g ( x) = 2 x maka tentukan fungsifungsi berikut ini beserta domainnya. a. f o g b. g o f Jawab :
Selingan
Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi: Fungsi Aljabar Fungsi Transenden
Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak.
Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius Contoh fungsi aljabar :
f ( x) =
2
3x − x ( x + 1)
23
x2 +1
Fungsi yang bukan fungsi aljabar disebut fungsi transenden. Beberapa contoh fungsi transenden adalah fungsi trigonometri, fungsi logaritma, dsb.
Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius Fungsi Aljabar meliputi : Fungsi rasional : Fungsi bulat (fungsi suku banyak) Fungsi pecah. Fungsi irasional.
Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius Fungsi suku banyak berderajat n mempunyai persamaan f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xn dengan n bilangan bulat tak negatif , a1, . . . , an bilangan-bilangan real dan an ≠ 0.
Grafik Fungsi Suku Banyak a. Fungsi konstan
f ( x) = c
Grafik Fungsi Suku Banyak b. Fungsi linear: f(x)= mx + n Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik .
Grafik Fungsi Suku Banyak c. Fungsi kuadrat f ( x) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 Grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Diskriminan: D = b 2 − 4ac . Secara umum, grafik fungsi kuadrat ini dapat digambarkan sebagai berikut:
Grafik Fungsi Suku Banyak c. Fungsi kuadrat f ( x) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0
Grafik Fungsi Suku Banyak Contoh grafik fungsi kuadrat
Grafik Fungsi Suku Banyak 3 2 d. Fungsi kubik f ( x) = a3 x + a 2 x + a1 x + a 0 , a3 ≠ 0
Grafik Fungsi Pecah Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak a0 + a1 x + ... + a n x n f ( x) = b0 + b1 x + ... + bm x m
disebut fungsi pecah.
Grafik Fungsi Pecah 1 Contoh grafik f(x) = x
dan
x f ( x) = x −1
Grafik Fungsi Irasional Contoh
Kata inspirasi pertemuan ini Berfikir Banyak orang yang berfikir. Tapi, sedikit yang bertindak. Ingat, tak seorangpun akan sukes hanya dengan berfikir, tanpa bertindak. Semua fikiran, harus diikuti oleh tindakan.
