Sudaryatno Sudirham
Fungsi dan Grafik
Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org
Buku
Fungsi dan Grafik (pdf) tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dan www.ee-cafe.org
Pembatasan Pembahasan Fungsi dan Grafik dibatasi hanya padafungsi dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata
Keseluruhan bahasan mengenai fungsi dan grafik akan mencakup 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
Pengertian Tentang Fungsi Fungsi Linier Gabungan Fungsi Linier Mononom dan Polinom Bangun Geometris Fungsi Trigonometri Gabungan Fungsi Sinus Fungsi Logaritma Natural Fungsi Eksponensial Fungsi Hiperbolik Fungsi dalam Koordinat Polar
Fungsi Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x maka dikatakan bahwa y merupakan fungsi x
Contoh: panjang sebatang batang logam (= y) merupakan fungsi temperatur (= x) Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan
y = f (x) y disebut peubah tak bebas
x disebut peubah bebas
nilainya tergantung x
bisa bernilai sembarang
Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, namun nilai x tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupa bilangan nyata. Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks.
Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi. Ada tiga macam rentang nilai yaitu: rentang terbuka a<x
rentang setengah terbuka a≤x
rentang tertutup a≤x≤b
a
b
a dan b tidak termasuk dalam rentang
a
b
a masuk dalam rentang, tetapi b tidak
a
b
a dan b masuk dalam rentang
Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku (koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes) Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebut sumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebut sumbu-y. Bidang terbagi dalam 4 kuadran yaitu Kuadran I, II, III, dan IV
sumbu-y Posisi titik pada bidang dinyatakan dalam koordinat [x, y]
y 3 Q[-2,2] II
-4 -3
sumbu-x
2
0
-2 -1 0 -1 III
R[-3,-3]
I
1
-2 -3 -4
1
P[2,1] 2
IV
3
4
S[3,-2]
x
Kurva dari Suatu Fungsi Kita lihat fungsi: y = 0,5 x Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y x
-1
0
1
2
3
4
dst.
y
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
dst.
2,5
y
2
Kurva y = 0,5 x
R
1,5
Q
1
∆y
Titik P, Q, R, terletak pada kurva
∆x
0,5 0
P
-0,5 0
1
2
3
4
x
Kemiringan kurva:
∆y ∆x
-1
(kita baca: “delta x per delta y”)
Kekontinyuan Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut. Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat: (1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c; (2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai lim f ( x) = f (c) x →c
yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).
Contoh: y = u(x)
y
Terdefinisikan di x = 0
1 0
0
yaitu y|x=0 = 1
x
(y untuk x = 0 adalah 1) y1
-10
-5
0 0
y = 1/x -1
y = 1/x Tak terdefinisikan di x = 0
5
10
x
(y untuk x = 0 tidak dapat ditentukan nilainya)
Simetri 1. Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; 2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. 3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. 4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
Contoh:
6
y = 0,3x2 tidak berubah bila x diganti −x (simetris terhadap sumbu-y)
y
3
0 -6
-3
0
-3
-6
3
y = 0,05x3 tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y (simetris terhadap titik [0,0]) x 6 y2 + x2 = 9 tidak berubah jika: x diganti −x x dan y diganti dengan −x dan −y x dan y dipertukarkan y diganti dengan −y
Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit Pernyataan fungsi
y = f (x) disebut bentuk eksplisit. dapat diubah ke bentuk eksplisit
x2 + y2 =1 xy = 1 Pernyataan bentuk implisit
y = 1− x2 y = 1/ x
y2 = x
y= x
x 2 + xy + y 2 = 8
y 2 + xy + ( x 2 − 8) = 0
Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y
x 2 − 4( x 2 − 8)
−x y= ± 2
2 8 y 4 x 0
-4
0
-2 -4 -8
2
4
Fungsi Bernilai Tunggal Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas Contoh: 8
y
y
y = 0,5 x 2
4
-1
0
0
1
2
3
4
1,6
0 0,8
x
0
y = x = x2
y
4
-2
0 0
y=+ x 0
1
2
y
-0,8
y
x
1
-1,6
y=− x
y = log10 x
0,8
0
2
-4
0
x 0
2
4
x
-0,8
1
2
3
4
2
x
Fungsi Bernilai Banyak Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas Contoh: 10 2
y
y y=± x
1
5
x
0 0
1
2
x
0 0
3
-1
-5
-2
-10
1
y 2 = 1/ x
2
y = ± 1/ x
3
Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas: w = f ( x, y , z , u , v )
Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya ρ2 = x 2 + y 2 + z 2
Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai ρ = + x2 + y2 + z2
Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol θ Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut y
rcosθ r
y = r sin θ
P
x = r cos θ rsinθ
θ x
r = x2 + y2 θ = tan −1 ( y / x)
Contoh:
r = 2(1 − cos θ) 3 P[r,θ]
y
2 r 1 θ 0
-5
-3
-1
-1 -2 -3
Bentuk ini disebut cardioid
1 x
Contoh:
rθ = 2 y
2
y=2 P[r,θ]
1,5 1 0,5 -1
0
0 -0,5 -1
r θ 1
2
x
3
Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai +∞.
y=k Contoh:
y=4
y5
-5
0
-4
0
5
x
y = −3.5
Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0]
y = mx
y 2
∆y
1
kemiringan garis lurus
∆x
0 0
1
2
3
garis lurus melalui [0,0]
4
x
kemiringan = m =
-1
Contoh:
y
8
m>0
y=x
4
y = 0,5x
2 0 -2 -4 -6
" delta y" dibaca : " delta x "
y = 2x
6
-1
∆y , ∆x
0
1
2
y = -1,5 x
3
4
x m<0
Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus pergeseran ke arah sumbu-x
pergeseran ke arah sumbu-y
y
10
y
y − 2 = 2x
8
y = 2x
4
-1
0 -2
0
1
2
3
x
4
( y − b) = mx menunjukkan pergeseran sebesar b ke arah sumbu-y positif
0 -2 -4
-4
Secara umum, persamaan garis lurus yang tergeser sebesar b ke arah sumbu-y positif adalah
y =2(x–1)
2 0
2
-1
y = 2x
6 4
6
titik potong dengan sumbu-y
8
1
2
3
x
4
titik potong dengan sumbu-x
y = m( x − a )
y = mx + b
menunjukkan pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif
y = mx + a′
Bentuk umum persamaan garis lurus
Contoh:
y8 memotong sumbu y di 4
6 4
memotong sumbu x di 2
2 0 0
-1
1
2
3
-2
x
4
-4
m=
∆y y 2 − y1 0 − 4 = = = −2 ∆x x2 − x1 2 − 0
Persamaan garis: y − 4 = −2 x atau
y = −2( x − 2)
dapat dilihat sebagai garis melalui (0,0) yaitu y = -2x yang tergeser kearah sumbu-y atau tergeser kearah sumbu-x
y = −2 x + 4
Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik Q
8
y
m=
[x2,y2]
6
P
4
[x1,y1]
2 0 0
-1
1
2
x
-2
3
-4
y2 − y1 x2 − x1
Persamaan garis lurus melalui [0,0] yang sejajar y − y1 y = mx = 2 x dengan garis yang melalui x1 − x1 P dan Q Garis ini harus digeser hingga melalui P dan Q
Contoh: [3,8]
8
y
m=
6 4
persamaan garis: y − b = 2 x atau y = 2( x − a)
[1,4]
2 0 0
-1 -2 -4
1
y 2 − y1 8 − 4 = =2 x2 − x1 3 − 1
2
3
x
4
4−b = 2
8 = 2(3 − a )
b=2
a = −1
y − 2 = 2x
y = 2( x + 1)
y = 2x + 2
Perpotongan Garis Lurus Dua garis: y1 = a1x + b1 dan
y2 = a2 x + b2
Koordinat titik potong P harus memenuhi: b −b ⇒ xP = 2 1 a1 − a2
⇒ yP = a1xP + b1 Contoh: y
y2
20
P
10 0 -10
-5
0 -10 -20 -30
5
atau
y1 = 2 x + 3
y1
30
a1 x + b1 = a 2 x + b2
yP = a2 xP + b2 dan
y2 = 4 x − 8
Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y1 maupun y2. y1 = y 2 → 2 x + 3 = 4 x − 8 → x = 5,5
x
10
y = 2 x + 3 = 2 × 5,5 + 3 = 14
yP Titik potong: P[(5,5), 14]
xP
Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata Contoh:
Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan a
F = ma
Contoh:
v(t ) = v0 + at
Beda tegangan antara anoda dan katoda dalam tabung katoda adalah V
Kuat medan listrik: E =
anoda
]
katoda l
V l
eV l F Percepatan pada elektron: a = e me Gaya pada elektron: Fe = eE =
gaya fungsi linier dari V percepatan fungsi linier dari Fe
Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ?
Contoh: Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier dari panjang tarikan. F = kx gaya
panjang tarikan konstanta pegas
Contoh: Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan. V 1 G dan R i = GV = G= adalah tetapan R R konduktansi
resistansi
i V j= = A RA kerapatan arus Luas penampang konduktor
l R=ρ A
panjang konduktor
resistivitas
Contoh:
materi masuk di xa
Peristiwa difusi: materi menembus materi lain
Peristiwa difusi mencapai keadaan mantap,jika konsentrasi materi Ca di xa dan Cx di x bernilai konstan
materi keluar di x
Ca Cx
xa
∆x
gradien konsentrasi
x
Fluksi materi yang berdifusi ke arah x
J x = −D
dC dx
koefisien difusi
Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.
Fungsi Anak Tangga Fungsi anak tangga satuan y = u (x) y
2
u ( x) = 1 untuk x ≥ 0 = 0 untuk x < 0
y = u (x)
1
Fungsi ini memiliki nilai yang terdefinisi di x = 0 muncul pada x = 0
0 0
Secara umum
1
x
5
y = ku (x) amplitudo
Contoh:
y
y = 3,5u ( x)
5
0
-4
0
x
5
y = −2,5u ( x)
y = ku ( x − a )
Fungsi anak tangga tergeser
Pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif
Contoh: y
y = 3,5u ( x − 1)
5
0 0
-4
1
x
5
y = axu(x)
Fungsi Ramp
Fungsi ini baru muncul pada x = 0 karena ada faktor u(x) yang didefinisikan muncul pada x = 0 (fungsi anak tangga)
kemiringan
Fungsi ramp satuan : y = xu(x) Fungsi ramp tergeser:
Contoh:
kemiringan a = 1
y = a( x − g )u ( x − g )
6
y
y2 = 2xu(x)
5
y1 = xu(x)
4 3
y3 = 1,5(x-2)u(x-2)
2 1 0 -1
0
1
2
3
x
4
Pergeseran searah sumbu-x
Pulsa
Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x1 tertentu dan menghilang pada x2 > x1
persamaan : y = au ( x − x1 ) − au( x − x2 ) lebar pulsa : x2 − x1 Contoh: lebar pulsa
y1=2u(x-1)
2 1
y1 + y2 = 2 u(x-1) – 2 u(x-2)
0 -1
0 -1 -2
1
2
3 x
4
y2 = −2u(x−2)
= 2{u ( x − 1) − u ( x − 2)}
perioda y
Deretan Pulsa: x
Perkalian Ramp dan Pulsa
y = mxu( x) × A{u ( x − x1 ) − u ( x − x2 )} pulsa hanya mempunyai nilai dalam selang lebarnya
ramp
y = mAx{u ( x − x1 ) − u ( x − x2 )} Contoh:
y3 = y1 y2
10
y
8 6
y1=2xu(x)
4
y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)}
2 0 -1
0
1
2
3
4
x
5
maka y juga akan bernilai dalam selang lebar pulsa saja
Contoh:
y
y
y3 = y1 y2 = mx{u(x)-u(x-b)}
10 8 6
y1 = mxu(x)
4
y2 = {u(x)-u(x-b)}
2 0 -1
0
1
2
b
3
4
x
5
Gabungan Fungsi Ramp y = axu ( x) + b( x − x1 )u ( x − x1 ) + c( x − x2 )u ( x − x2 ) + .......
Contoh: y
y3= 2xu(x)−2(x−2)u(x−2)
12
y1= 2xu(x)
8
Kemiringan yang berlawanan membuat y3 bernilai konstan mulai dari x tertentu
4 0 0 -4 -8
1
2
3
4
x
5
y2= −2(x−2)u(x−2)
Contoh:
y
y3= 2xu(x)−4(x−2)u(x−2)
15 10 5 0 -5
0
-10
1
2
3
4
x
5
y1=2xu(x) y2 lebih cepat menurun dari y1 maka y3 menurun mulai dari x tertentu y2= −4(x−2)u(x−2)
Contoh:
y
Pulsa ini membuat y3 hanya bernilai dalam selang 1≤ x ≤ 3
y3= {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)}
15 10
y1= 2xu(x)
5 0 0 -5 -10
1
2
3
4
x
5
y2= −4(x-2)u(x-2)
Mononom
Mononom Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn
y = kx 2
Mononom Pangkat Dua: Contoh: y
10
y = 5x2
Karena x2 ≥ 0,maka jika k > 0 → y > 0 jika k < 0 → y < 0
y = 3x2
9 8 7 6 5
-5
y=
4
-1
-2
0 -1 0 -20
2
-60
1
-80
y -100
0 -2
-3
1
2
3
4x 5
-40
3
-3
x2
-4
0
1
2
y memiliki nilai minimum
x
y = −2x 2 y = −10x 2
3
y memiliki nilai maksimum
Pergeseran kurva mononom pangkat dua y3 = 10(x−2)2 + 30 100
y1 = 10x2
y
Pergeseran ke arah sumbu-y positif
50
y2 = 10(x−2)2 0 -5
-3
-1
1
3
x
5
Pergeseran ke arah sumbu-x positif
Mononom Pangkat Genap pada umumnya Contoh:
y y1 = 2x2
Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai kurva di sekitar titik puncak
3 2
Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1,k]
1
2x4
y2 = y3 = 2x6
0
-1.5
-1
0
-0.5
0.5
1
x
1.5
Koordinat titik potong antara kurva
3x4
y = x6 -1.5
Kurva : y = 6 x 2 dan y = 3x 4
6
6 x 2 = 3x 4 → x 2 = 2
4
→ x = 2 dan y = 3 2
2
Kurva : y = x 6 dan y = 3x 4
0
x 6 = 3x 4 → x 2 = 3
y
y = 6x2 y=
8
-1
-0.5
0
0.5
1
x
1.5
→ x = 3 dan y =
( )4 = 12
( 3 )6 = 81
Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y
Mononom Pangkat Ganjil Pangkat ganjil terendah: linier y
3 2
y = 2x
y = 2x5 y = 2x3
1 0 -1.5
-1
-0.5
-1 0 -2 -3
0.5
1
1.5
x
Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik [0,0] yaitu titik yang merupakan titik belok Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1,k]
Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]
Mononom Pangkat Tiga
y = −3x
3
y
Pergeseran ke arah sumbu-y positif y = 10(x−2)3 + 100
500 600
400
y = 2x
300
3
y
y = 10x3
400
200 200
100 0 -5 -4 -3 -2 -100 -1 0
0 1
2
3
4
-200 -300 -400 -500
Mononom pangkat tiga Simetris terhadap [0,0]
x
5
-5
-3
-1
1
3
x
5
-200 -400 -600
y = 10(x−2)3 Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah sumbu-x positif
Polinom
Polinom Pangkat Dua
y = ax 2 + bx + c y
y y1=2x2
150
y1=2x2
y2=15x y3=13
y4 = 2x2+15x
0 -10
0
x
10
0 -10
x = −15/2 -150
Kurva masing-masing komponen (mononom) dari polinom:
y = 2 x 2 + 15 x + 13
150
0
x
10
y2=15x -150
Penjumlahan mononom pertama dan ke-dua: y = 2 x 2 + 15 x Perpotongan dengan sumbu-x
0 = 2 x 2 + 15 x ⇒ x = −
15 2
y
y 150
sumbu simetri −15/4
y5 = 2x2+15x+13
sumbu simetri
y4 = 2x2+15x
y4 = 2x2+15x 0
-10
150
0
x
0 10
-10
0
−15/2 -150
10
-150
2 Sumbu simetri dari y = 2 x + 15 x
memotong sumbu-x di: x = −
x
15 4
Penambahan komponen y3 = 13 memberikan: y = 2 x 2 + 15 x + 13
Koordinat titik puncak: x = −15 / 4 = 3,75 2
− 15 − 15 y = 2 + 15 + 13 = −15,125 4 4
Polinom Pangkat Dua secara umum y = ax2 +bx +c b y = a x 2 + x + c a
y
2
x1
y = ax2
x2 0 0
b 2 − 4ac − 4a
Sumbu simetri:
x=−
b 2a
x
b b2 = a x + +c − 2 a 4 a 2
b b 2 − 4ac = a x + − 2 a 4a
Pergeseran ke arah kiri sumbu-x Pergeseran ke arah negatif sumbu-y
Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua y = ax 3 + bx 2 + cx + d
y3 = 4 x 3 + 19 x 2 − 80 x − 200
y 2 = 19 x 2 − 80 x − 200 y
y
2000
2000
y2 0 -10
0
x
10
0 -10
0
x
10
y1
y1 = 4x3 -2000
Mononom pangkat tiga (y1) Dan Polinom pangkat dua (y2)
-2000
Penjumlahan: y3 = y1 + y2 y3 memotong sumbu-x di 3 titik Hal ini tidak selalu terjadi Tergantung dari nilai koefisien y1
y = ax 3 + bx 2 + cx + d 2000
2000
y2
y2
y3 = y1 + y2 -10
10
-10
y3 = y1+y2
y1 -2000
y1 = ax 3 Kasus: a kurang positif Penurunan kurva y1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hanya memotong sumbu-x di 2 titik Titik potong ke-3 jauh di sumbu-x negatif
15
y1 -2000
y1 = ax 3 Kasus: a terlalu positif Penurunan y1 di daerah negatif sangat tajam Tak ada titik potong dengan sumbu di daerah x negatif Hanya ada satu titik potong di x positif
y = ax3 + bx 2 + cx + d y 2 = bx 2 + cx + d
2000
2000
y2
y3 = y1 + y2 0 -10
0
0
15
0
-10 15
y1 -2000
y1 = ax = − kx 3
3
-2000
y3 = y1 + y2
a<0 Kurva y3 berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif
Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat
Simetri • •
• •
jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
Nilai Peubah Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks Contoh:
y2 + x2 = 1 y = ± 1− x2
Apabila |x| > 1, maka (1 - x2) < 0 Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang
−1 ≤ x ≤ 1 Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang
−1 ≤ y ≤ 1
Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y Contoh:
y 2 + x2 = 1 Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,−1]
xy = 1 Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y
Asimptot Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot Contoh:
y ( x − x) = x + 10 2
2
4
2
y
x 2 + 10 y=± x( x − 1) tidak boleh < 0 agar x(x−1) > 0 haruslah x < 0 atau x > 1
0 -4
0
-4
4
x Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva
Jarak Antara Dua Titik Jika P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka
PQ = ( x p − xq ) 2 + ( y p − yq ) 2 Contoh: [3,8]
8
y
PQ = (3 − 1) 2 + (8 − 4) 2 = 20
6 4
[1,4]
2 0 0
-1 -2 -4
1
2
3
x
4
Parabola
y = kx 2
Bentuk kurva y
y=kx2 P[x,y]
[0,0]
x
R[x,−p]
PQ = (PR − p) 2 + x 2 = ( y − p) + x =
P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-y y = −p garis sejajar sumbu-x R terletak pada garis y ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR
Q[0,p]
2
disebut parabola
Q disebut titik fokus parabola Garis y disebut direktrik Titik puncak parabola berada di tengah
PR = ( y + p )
2
antara titik fokus dan direktriknya
y 2 − 2 py + p 2 + x 2
y − 2 py + p + x = y + p 2
2
2
x2 y= 4p
y=
1 2 x 4p
k=
1 4p
p=
1 4k
Contoh: Parabola
y = 0,5 x 2
dapat kita tuliskan
y=
1 2 1 x = x2 2 4 × 0,5
Direktrik:
y = − p = −0,5
Titik fokus:
Q[0,(0,5)]
Lingkaran Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu yang disebut titik pusat lingkaran Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r
r = x2 + y2
x2 + y 2 = r 2 persamaan lingkaran berjari-jari r berpusat di [0.0]
Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh a kearah sumbu-x dan sejauh b ke arah sumbu-y
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2 Persamaan umum lingkaran berjari-jari r berpusat di (a,b)
Contoh: y
( x − 0,5) 2 + ( y − 0,5) 2 = r 2
1
0,5
r -1
1
[0,0] 0,5
x
r=1
-1
x2 + y 2 = 1
Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips y XP = ( x + c) + y 2
X[x,y]
P[-c, 0]
XP + XQ = 2a
XQ = ( x − c) 2 + y 2
2
Q[c, 0]
x
(kita misalkan )
⇒ ( x + c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 = 2a
( x + c ) 2 + y 2 = 2a − ( x − c ) 2 + y 2
( x + c ) 2 + y 2 = 4 a 2 − 4a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 sederhanakan
kwadratkan
a−
c x = ( x − c) 2 + y 2 a
a − 2cx + 2
kwadratkan
c2 a2
x = x − 2cx + c + y 2
2
2
x2
2
a
di segitiga PXQ : XP + XQ = 2a > 2c → a > c 2
2
2
+
y2 a −c 2
2
=1
x2 a
b = a −c 2
2
2
2
+
y2 b
2
=1
x2 a
2
+
y2 b
2
=1
[0,b] y
[−a,0]
X[x,y]
[a,0] sumbu pendek = 2b P[-c, 0]
Q[c, 0]
x
[0,−b] sumbu panjang = 2a
Elips tergeser ( x − p) 2 a
2
+
( y − q) 2 b
2
1
2b = 1 → b = 0,5
y
2a = 2 → a = 1
=1 q = 0,25
( x − 0,5) 2
0
-1
0
-1
1
p = 0,5
x
2
12
+
( y − 0,25) 2 0,5 2
=1
Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan
XP = ( x + c) + y 2
y
2
X(x,y)
XQ = ( x − c) 2 + y 2 Q[c,0]
P[-c,0]
x
XP − XQ = ( x + c) 2 + y 2 − ( x − c ) 2 + y 2 = 2a
(c / a ) x − a = ( x − c ) 2 + y 2 kwadratkan
x2
−
y2 2
2
kwadratkan dan sederhanakan
=1
a c −a Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) < PQ 2
( x + c ) 2 + y 2 = 2a + ( x − c ) 2 + y 2
→ 2c < 2a → c2 − a2 = b2
x2 a
2
−
y2 b
2
=1
persamaan hiperbola
x2 a2
−
y2 b2
=1
b2 = c2 − a2
+∞
y
X(x,y)
-c
c
x
−∞
[-a,0] [a,0] Kurva tidak memotong sumbu-y Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = −a dan x = a
Kurva Berderajat Dua Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
Persamaan parabola: Lingkaran:
B = C = D = F = 0; A = 1; E = −4 p
B = D = E = 0;
A = 1; C = 1;
F = −1
Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini
Perputaran Sumbu Koordinat Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x y
X[x,y]
( x + a ) 2 + ( y + a ) 2 − ( x − a ) 2 + ( y − a ) 2 = 2a Q[a,a]
P[-a,-a]
x
( x + a ) 2 + ( y + a ) 2 = 2a + ( x − a ) 2 + ( y − a ) 2 x + y − a = ( x − a)2 + ( y − a)2
2 xy = a 2 y
Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x, Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu sumbu-x.
-5
5
0
0
-5
x
Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, r = 1 Fungsi Cosecan csc θ = y
1 = sin θ + cos θ 1 2
2
Fungsi sinus P
r=1
-1
1 1 = sin θ PQ
O [0,0]
sin θ =
PQ = PQ r
θ -θ
Q
1 x
Fungsi Cosinus P’
cos θ =
-1
Fungsi Secan sec θ =
OQ = OQ r 1 1 = cos θ OQ
Fungsi Tangent PQ sin θ = OQ cos θ P′Q −PQ tan(−θ) = = = − tan θ OQ OQ
tan θ =
Fungsi Cotangent OQ cos θ = PQ sin θ OQ OQ cot(−θ) = = = − cot θ ′ P Q − PQ cot θ =
Relasi-Relasi cosα
y
sinα cosβ sinα sinα sinβ
1 β α
-1
[0,0]
cosα sinβ
β 1x
cosα cosβ
-1
Relasi-Relasi y
cosα
sinα cosβ sinα sinα sinβ
1 β α
-1
[0,0]
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cosα sinβ
β 1x
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
cosα cosβ
-1
Karena sin( −β) = − sin β cos(−β) = cos β
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
Contoh:
a). sin(2α) = sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α b). cos(2α) = cos(α + α) = cos α cos α − sin α sin α = cos 2 α − sin 2 α
c).
cos(2α) = cos2 α − sin 2 α
1 = cos 2 α + sin 2 α cos(2α) + 1 = 2 cos2 α cos(2α) = 2 cos 2 α − 1
cos(2α) − 1 = −2 sin 2 α cos(2α) = 1 − 2 sin 2 α
Contoh:
d).
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β sin(α + β) + sin(α − β) = 2 sin α cos β
e).
sin α cos β =
sin(α + β) + sin(α − β) 2
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β f).
cos α cos β =
cos(α + β) + cos(α − β) 2
sin α sin β =
cos(α − β) − cos(α + β) 2
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
cos(α − β) − cos(α + β) = 2 sin α sin β
Fungsi Trigonometri Normal
Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y Fungsi Sinus y = sin(x)
y
Fungsi Cosinus y = cos(x) y
perioda
1
−2π
−π
0
perioda
1
0
π
2π
x
−π
0
0
-1
-1
y = sin( x) = cos( x − π / 2) pergeseran fungsi cosinus sejauh π/2 ke arah sumbu-x positif Contoh:
sin 56 o = cos(56 o − 90 o ) = cos 34 o
π
2π
x
Fungsi Tangent
3 2
tan θ =
1 -3π/4 -π/2 -π/4
0 0 -1
π/4
-2 -3
sin θ cos θ
asimptot
π/2
3π/4
sin θ 1 = cos θ cot θ
Rentang: -π/4 < tanθ < π/4 π/4 < tanθ < 3π/4 dst. Lebar rentang: π/2
Fungsi Cotangent
sin θ
asimptot
cos θ
3 2
cot θ =
1 -3π/4 -π/2
-π/4
0 0 -1 -2 -3
π/4
π/2
3π/4
cos θ 1 = sin θ tan θ
Rentang: 0 < tanθ < π/2 -π/2 < tanθ < 0 dst. Lebar rentang: π/2
3
Fungsi Secan 1 y = sec( x) = cos( x)
2 1 0 -1,5π
-π
-0,5π
0
0,5π
π
1,5π
-1 -2 -3
Rentang: -π/2 < tanθ < π/2 π/2 < tanθ < 3π/2 dst. Lebar rentang: π
asimptot
Fungsi Cosecan 1 y = csc( x) = sin( x)
3 2 1 0 -1,5π
-π
-0,5π
0 -1 -2 -3
0,5π
π
1,5π
Rentang: 0 < tanθ < π -π< tanθ < 0 dst. Lebar rentang: π
Fungsi Trigonometri Inversi
Sinus Inversi
y = arcsin x atau
Sudut y yang sinusnya = x
= sin −1 x
sin y = x
y 2π
y 0,5π π
1 y
0,25π 0
-1
0
0
1
−π −2π
x
-1
-0,5
0
0,5
-0,25π -0,5π
Kurva nilai utama -π/2 < sin-1x <π/2
Kurva lengkap
x
-1 < x < 1
x
1
1− x2
y = sin −1 x cos y = 1 − x 2 x tan y = 1− x2
Cosinus Inversi
y = cos −1 x
x = cos y
y y π
1π
1
0,75π
y x
0,5π
-1
0
0
1
x
y = cos −1 x
0,25π 0
−π
-1
-0,5
0
0,5
x
Kurva nilai utama 0 < cos-1x < π Kurva lengkap
1− x2
-1 < x < 1
1
sin y = 1 − x 2 1− x2 tan y = x
y = tan −1 x
Tangent Inversi
x = tan y
1,5π y
π
y
0,5π
1+ x2
0,25π
y
0,5π 0 -10
0 -3 -2 -1 0 1 -0,5π
2
-5
3 x
0
5
-0,25π -0,5π
-π -1,5π
Kurva lengkap
Kurva nilai utama −
π π < tan −1 x < 2 2
x
10
1
y = tan −1 x x sin y = 1+ x2 1 cos y = 1+ x2
x
Cotangent inversi y = cot −1 x
x = cot y
dengan nilai utama
0 < cot −1 x < π 1π
1+ x2
y
y 0,5π
-10
-5
0
0
x
5
Kurva nilai utama 0 < cot −1 x < π
x
10
y = tan −1 x 1 sin y = 1+ x2 x cos y = 1+ x2
1
Secan Inversi
y = sec
−1
x = cos
−1
1 x
x = sec y
dengan nilai utama 0 ≤ sec −1 x ≤ π
π
y
x
1+ x2
0,75π
y 0,5π
1
y = sec −1 x
0,25π 0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
Kurva nilai utama 0 < sec −1 x < π
3
x4
1+ x2 sin y = x 1 cos y = x tan y = 1 + x 2
Cosecan Inversi y = csc −1 x = sin −1 1
x dengan nilai utama
−
0,5π y
π π ≤ csc −1 x ≤ 2 2 x
0,25π
-3
-2
-1
0
1
-0,25π
-0,5π
Kurva nilai utama −
1
y
0 -4
x = csc y
π π ≤ csc−1 x ≤ 2 2
2
3 x 4
1+ x2
y = csc −1 x 1 sin y = x 1+ x2 cos y = x 1 tan y = 1+ x2
Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan waktu, t, sebagai peubah bebas Tiga besaran karakteristik fungsi sinus
y = A sin( x + θ) = A sin(2πf 0t + θ) sudut fasa amplitudo
frekuensi siklus Selain frekuensi siklus, f0, kita mengenal juga frekuensi sudut, ω0, dengan hubungan
ω0 = 2πf 0
Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan
f (t − T0 ) = f (t ) perioda
Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah: f0 = y
y
A
0 -A
1 T0 A
T0 0
t
T0
0 0
Ts
-A
Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi periodik walaupun tidak berbentuk sinus.
t
Contoh: Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya y
4 y
4
0 -5
t
15 -4
4
0 -5
y = 3 cos 2f0t
15 -4
t
y = 1 + 3 cos 2f0t
y 1
0 -5
t 15
-4
-5
15 -4
y = 1 + 3 cos 2πf 0 t − 2 cos( 2π( 2 f 0 )t )
y = 1 + 3 cos 2πf 0t − 2 cos( 2π( 2 f 0 )t + π / 4)
Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa menentukan bentuk gelombang gabungan
Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan juga oleh jumlah komponen sinus yang terlibat Komponen-komponen sinus yang terlibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa Komponen sinus dengan f0 disebut komponen fundamental Di atas komponen fundamental adalah Harmonisa ke-2 dengan frekuensi 2f0 Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f0 Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f0 dst. Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan yang disebut komponen searah
Contoh: Gabungan fungsi sinus yang membentuk gelombang persegi
sinus dasar (fundamental).
harmonisa-3 dan
harmonisa-5 dan
sinus dasar + harmonisa-3.
sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5.
harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7.
hasil penjumlahan sampai pada harmonisa ke-21.
Spektrum Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum. Ada dua spektrum yaitu Spektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya. Frekuensi tertinggi, fmaks, adalah frekuensi harmonisa yang amplitudonya sudah dapat diabaikan. Frekuensi terendah, fmin, adalah frekuensi komponen fundamental yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah
Lebar Pita Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi yang merupakan selisih fmaks dan fmin
Contoh:
Suatu persamaan gelombang:
y = 10 + 30 cos(2πf 0t ) + 15 cos(2π2 f 0t − π / 2) + 7,5 cos(2π4 f 0t + π) Frekuensi
0
f0
2 f0
4 f0
Amplitudo
10
30
15
7,5
Sudut fasa
−
0
−π/2
π
2π Sudut Fasa
Amplitudo
40 30 20 10 0 0
1
2 3 Frekuensi [×f0]
4
Spektrum Amplitudo
5
π/2 0 0 −π/2
1
2
3
4
−2π Frekuensi [×f0]
Spektrum Sudut-fasa
5
Deret Fourier Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier f (t ) = a0 + ∑ [a n cos(2πnf 0 t ) + bn sin(2πnf 0 t )]
fungsi periodik Koefisien Fourier Contoh: a0 = A / π
y
an =
t
T0
2A / π
n genap; a n = 0 n ganjil
1− n b1 = A / 2 ; bn = 0 n ≠ 1 2
Contoh:
y
a0 = 2 A / π
A
an =
t
T0
4A/ π
n genap; a n = 0 n ganjil
1− n bn = 0 untuk semua n 2
Contoh: y
a0 = A / 2
A
an = 0 untuk semua n
T0
t
bn = −
A untuk semua n nπ
Bilangan Natural Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π, adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang koma, nilainya adalah e = 2,7182818284
ln e = 1 ln e a = a ln e = a
Fungsi Logaritma Natural Definisi ln x
6
y
5 4
luas bidang antara fungsi 1/t dan sumbu-x ln x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x
1/t
3
ln x =
2 1 0 0
Kurva y = ln x y
1
2
x
4
t
2
y = ln x
1,5
ln e = 1
3
1 0,5 0 -0,5
0
1
2
e
3
x
4
-1 -1,5 -2
e = 2,7182818284…..
x1
∫1 t dt
Sifat-Sifat
ln ax = ln a + ln x x ln = ln x − ln a; a ln x n = n ln x ln e = 1 ln e x = x ln x bernilai negatif untuk x < 1
Fungsi Eksponensial Antilogaritma
Antilogaritma adalah inversi dari logaritma
x = ln y Fungsi Eksponensial
y = ex Fungsi eksponensial yang sering kita jumpai adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif
y = e − ax u ( x) ; x ≥ 0 Faktor u(x) membuat fungsi ini muncul pada x = 0 Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskan dengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetap muncul pada t = 0
y = e − ax
Kurva Fungsi Eksponensial y
1
Makin negatif eksponen fungsi ini, makin cepat ia menurun mendekati sumbu-x
e− x
0,8
e−2x
0,6 0,4 0,2 0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
x
4
Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/a Pada saat x = 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/a
Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A dengan waktu sebagai peubah bebas adalah
y = Ae − at u (t ) = Ae −t / τ u (t ) yang dituliskan dengan singkat
y = Ae − at = Ae −t / τ τ = 1/a disebut konstanta waktu makin kecil τ, makin cepat fungsi eksponensial menurun
Pada saat t = 5τ, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari A fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t = 5τ
Gabungan Fungsi Eksponensial y1 = Ae − t / τ1 y 2 = Ae − t / τ2
A
(
y = A e − t / τ1 − e − t / τ 2
0
1
2
3
4
t/τ
)
5
Fungsi Hiperbolik Definisi Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh) e x + e−x e x − e−x cosh x = ; sinh x = 2 2 Fungsi hiperbolik yang lain sinh x e x − e − x tanh x = = ; x − x cosh x e + e sech x =
1 2 ; = x − x cosh x e + e
cosh x e x + e − x coth x = = sinh x e x − e − x csch x =
1 2 = sinh x e x − e − x
Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik
y
4 3 2
-2
e x − e−x y = sinh x = 2
1
1 y1 = e x 2
0 -1
-1 -2 -3 -4
0
1
x
2
y2 = −
1 −x e 2
e x + e−x cosh x = 2
4 y 3 2 1
1 y1 = e x 2
y = sinh x
0 -2
-1
-1 -2 -3 -4
0
1
x
2
4
y
y = cosh x 3
2
1
y = sech x =
0 -2
-1
0 -1
1
x
2
1 cosh x
y = csch x =
1 sinh x
4
y 3
y = sinh x
2 1 0 -2
-1
-1 -2 -3 -4
y = csch x
0
1
x
2
4
y = coth x =
y 3
cosh x sinh x
2 1
y = tanh x =
0 -2
-1
0 -1 -2
y = coth x
-3 -4
1
x
2
sinh x cosh x
Identitas Jika untuk sin x dan cos x kita kenal hubungan:
cos2 x + sin 2 x = 1 untuk sinh x dan cosh x terdapat hubungan e 2 x + 2 + e −2 x e 2 x − 2 + e −2 x 4 cosh x − sinh x = − = =1 4 4 4 2
Beberapa Identitas:
2
cosh 2 v − sinh 2 v = 1 1 − tanh 2 v = sech 2v
coth 2 v − 1 = csch 2v cosh v + sinh v = e v cosh v − sinh v = e −v
Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku y • P(xP
yP
,yP)
yP = r sin θ xP = r cos θ
r θ [0,0]
P[r,θ]
xP
x
Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[0,0] dalam koordinat sudut-siku adalah
x2 + y2 = c2 y
r [0,0]
θ x
Dalam koordinat polar persamaan ini menjadi (r cos θ) 2 + (r sin θ) 2 = c 2
Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,0] dalam koordinat sudut-siku adalah
( x − a) 2 + y 2 = c 2 y
r θ x
[0,0]
a
Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi (r cos θ − a) 2 + (r sin θ) 2 = c 2
Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku adalah
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = c 2 y
r b
θ [0,0]
x a
Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi (r cos θ − a ) 2 + (r sin θ − b) 2 = c 2
Contoh:
r = 2(1 − cos θ) 3 P[r,θ]
y
2 r 1 θ 0
-5
-3
-1
-1 -2 -3
Bentuk ini disebut cardioid
1 x
Contoh: r 2 = 16 cos θ 3
y
2
P[r,θ] r
1 -5
-3
-1
0 -1 -2 -3
1
θ 3
x 5
Contoh: rθ = 2 y
2
y=2 P[r,θ]
1,5 1 0,5 -1
r θ
0
0 -0,5 θ = π θ = 3π -1
1 θ = 4π
2 θ = 2π
x
3
Persamaan Garis Lurus y
l1 P[r,θ] r θ
O
a
x l1 : r cos θ = a
y
l 2 : r sin θ = b P[r,θ]
b
r θ
O
x
l2
P[r,θ]
y l3 : r cos(β − θ) = a l3
r
A a α
θ β O
x
y
P[r,θ]
l4 : r cos(θ − β) = a l4
r a θ β O
x
Parabola, Elips, Hiperbola Eksentrisitas Eksentrisitas: es =
y D
P[r,θ]
titik fokus
r θ A
F
B
x
PF r = PD k + r cos θ
Dengan pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus parabola, elips, dan hiperbola.
r = es (k + r cos θ) = es k + es r cos θ
k
r=
direktriks
Parabola:
es = 1
Elips:
es < 1
Hiperbola: es > 1
r=
r=
es k 1 − es cos θ
k 1 − cos θ
0,5 × k k = 1 − 0,5 cos θ 2 − cos θ
r=
2× k 1 − 2 cos θ
(misal es = 0,5)
(misal es = 2)
Lemniskat dan Oval Cassini Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan θ = π/2 P[r,θ] r θ
θ=π F1[a,π]
θ=0 F2[a,0]
(PF2 )2 = (r sin θ)2 + (a − r cos θ)2
(PF1 )2 = (r sin θ)2 + (a + r cos θ)2 = r 2 + a 2 + 2ar cos θ
= r 2 + a 2 − 2ar cos θ
Misalkan PF1 × PF2 = b 2
(
)(
b 4 = r 2 + a 2 + 2ar cos θ × r 2 + a 2 − 2ar cos θ
Buat b dan a berrelasi b = ka
)
4 4 2 2 = r 4 + a 4 + 2a 2 r 2 (1 − 2 cos 2 θ) = r + a − 2a r cos 2θ
k 4 a 4 = r 4 + a 4 − 2a 2 r 2 cos 2θ
0 = r 4 − 2a 2 r 2 cos 2θ + a 4 (1 − k 4 )
r 2 = a 2 cos 2θ ± a 2 cos 2 2θ − (1 − k 4 )
r 2 = a 2 cos 2θ ± a 2 cos 2 2θ − (1 − k 4 )
Lemniskat
Kondisi khusus: k = 1
Kondisi khusus: k > 1, misal k = 1,1
r 2 = 2a 2 cos 2θ Kurva dengan
θ = π/2 1
a=1
θ = π/2 0,6
0,2
θ=π -1,5
0,5
-1
0
-0,5 0 -0,2
θ=0 0,5
1
θ=π
θ=0
0
1,5 -2
-1
0 -0,5
-0,6 -1
1
2
Oval Cassini
r 2 = a 2 cos 2θ ± a 2 cos 2 2θ − (1 − k 4 )
Kondisi khusus: k < 1, misalkan k = 0,8 θ = π/2 1,5 1 0,5
θ=π -2
θ=0
0 -1
0 -0,5 -1 -1,5
1
2
Bahan Kuliah Terbuka
Fungsi dan Grafik Sudaryatno Sudirham
