Sudaryatno Sudirham
Saluran Transmisi
Saluran transmisi yang akan kita bahas adalah saluran udara, dengan konduktor terbuka yang berarti memenfaatkan udara sebagai bahan isolasi Saluran transmisi merupakan koridor yang harus dilalui dalam penyaluran energi listrik. Walaupun rangkaian ekivalen cukup sederhana, terdapat empat hal yang harus diperhatikan yaitu: Resistansi konduktor, Imbas tegangan di satu konduktor oleh arus yang mengalir di konduktor yang lain, Arus kapasitif karena adanya medan listrik antar konduktor, Arus bocor pada isolator. biasanya diabaikan karena cukup kecil dibandingkan dengan arus konduktor. Namun arus bocor menjadi sangat penting dalam permasalahan isolator
Sebelum mulai membahas saluran transmisi itu sendiri, perlu kita ingat besaran-besarn fisis udara yang akan masuk dalam perhitungan-perhitungan saluran transmisi, yaitu: Permeabilitas: permeabilitas magnetik udara dianggap sama dengan permeabilitas ruang hampa: µ = µ 0µ r ≈ µ 0 = 4π × 10 −7 H/m
Permitivitas: permitivitas elektrik udara dianggap sama dengan permitivitas ruang hampa:
10 −9 F/m ε = ε 0ε r ≈ 36π
Resistansi Seri
Beberapa jenis konduktor: Aluminium: AAL (all aluminium coductor) Aloy aluminium: AAAL (all aluminium alloy conductor) Dengan penguatan kawat baja: ACSR (aluminium conductor steel reinforced) Data mengenai ukuran, konstruksi, resistansi [Ω per km], radius [cm], GMR [cm] (Geometric Mean Radius) kemampuan mengalirkan arus [A] dapat kita peroleh namun untuk sementara kita tidak membahasnya dalam paparan ini.
Untuk arus searah, resistansi konduktor diformulasikan:
ρl R dc = A [Ω]
resistivitas bahan [Ω.m] panjang konduktor [m] luas penampang [m2]
ρ = 2,83 ×10−8 m.Ω untuk aluminium pada 20o C = 1,77 ×10 −8 mΩ untuk tembaga pada 20o C Resistivitas tergantung dari temperatur.
Pada saluran transmisi kita memperhatikan dua hal berikut :
Arus yang mengalir adalah arus bolak-balik, yang menimbulkan efek kulit (skin effect), yaitu kecenderungan arus mengalir di pinngiran penampang konduktor.
Konduktor saluran transmisi berupa pilinan konduktor sehingga panjang sesungguhnya konduktor lebih besar dari panjang lateral konduktor.
Induktansi Seri
Fluksi Sendiri Tinjau satu konduktor lurus berjari-jari r0, dengan panjang l, yang dialiri arus i. Menurut hukum Ampere, medan magnet di sekitar konduktor ini adalah: µi Hdl = i B= 2πr
H i x
r0
∫
Untuk udara:
µ = µ 0 µ r ≈ µ 0 = 4π × 10 −7 H/m
Fluksi di luar konduktor yang melingkupi konduktor sampai di titik P yang berjarak DkP dari konduktor adalah r0
k
P DkP
r0 : radius konduktor
DP
λ luar =
∫
r0
Bldr =
µil DkP ln 2π r0
jarak konduktor-k sampai titik P
Hluar Hdalam
Namun arus mengalir di seluruh penampang konduktor walaupun kerapatan arus di pusat konduktor mungkin berbeda dengan kerapatan arus di dekat permukaannya. Oleh karena itu, selain di sekitar konduktor terdapat juga medan magnet di dalam konduktor.
Untuk menyederhanakan perhitungan, maka medan magnet di sekitar konduktor dan di dalam konduktor disatukan dengan mencari apa yang disebut GMR (Geometric Mean Radius). GMR merupakan radius konduktor pengganti yang kita bayangkan merupakan konduktor ber-rongga berdinding tipis berjari-jari r′ (yaitu GMR) dan arus mengalir di dinding konduktor berrongga ini. Dengan GMR ini, fluksi di dalam konduktor telah tercakup dalam perhitungan. Oleh karena itu fluksi lingkup total pada konduktor adalah:
µil D1P λ′ = ln 2π r′
Atau per satuan panjang: λ =
r′
r0
µi D1P ln 2π r′
Fluksi Bersama Selain fluksi yang ditimbulkan oleh arus yang mengalir padanya, suatu konduktor juga dilingkupi oleh fluksi yang ditimbulkan oleh arus yang mengalir di konduktor lain yang berdekatan dengannya.
Fluksi sendiri
Fluksi bersama
Tinjau satu kelompok n konduktor yang masing-masing dialiri arus ii. Dk 2
⋅⋅⋅ ⋅ i1
⋅ i2
⋅⋅⋅ ⋅ ik
⋅ in
Kelompok konduktor ini merupakan satu sistem saluran dengan:
i1 + i2 + ⋅ ⋅ ⋅ + in = 0 Konduktor ke-k memiliki fluksi lingkup total:
λ k = λ k1 + λ k1 + ⋅ ⋅ ⋅ + λ kk + ⋅ ⋅ ⋅ + λ kn Fluksi bersama
Fluksi sendiri
Tinjau satu kelompok n konduktor dan kita hitung fluksi lingkup sampai suatu titik P: Dk 2 ⋅⋅⋅ ⋅ i1
⋅ i2
P
⋅⋅⋅ ⋅ ik
⋅ in
DnP
Rk : resistansi konduktor ke - k [Ω/m] rk : radius konduktor ke - k [m] rk′ : GMR konduktor ke - k [m]
Sampai di titik P konduktor ke-k memiliki fluksi lingkup total: λk =
µi D µi D µi1 D1P µi2 D2 P ln + ln + ⋅ ⋅ ⋅ + k ln kP + ⋅ ⋅ ⋅ + n ln nP 2π Dk1 2π Dk 2 2π rk′ 2π Dkn
Fluksi lingkup sendiri Untuk mencakup seluruh fluksi, titik P kita letakkan pada posisi
semakin jauh, sampai tak hingga.
Dengan posisi titik P semakin jauh maka: D1P ≈ D2 P ⋅ ⋅⋅ ≈ DkP ⋅ ⋅⋅ ≈ Dkn = D
dan
(i1 + i2 + ⋅ ⋅ ⋅ + in )ln D = 0
Dengan demikian fluksi lingkup konduktor-k menjadi λk =
µi µi µi1 µi 1 1 1 1 ln + 2 ln + ⋅ ⋅ ⋅ + k ln + ⋅ ⋅ ⋅ + n ln 2π Dk1 2π Dk 2 2π rk′ 2π Dkn
fluksi sendiri konduktor k fluksi karena arus di konduktor yang lain
fluksi karena arus di konduktor yang lain
Kalau kita batasi tinjauan pada sistem empat konduktor (3 fasa dan 1 netral), relasi fluksi lingkup setiap konduktor adalah: µ 1 1 1 1 i A ln λA = + + + i ln i ln i ln B C N 2π rA′ D AB D AC D AN
µ 1 1 1 1 i A ln λB = + i ln + i ln + i ln B C N 2π D AB rB′ DBC DBN
µ 1 1 1 1 i A ln + i ln + i ln + i ln B C N 2π D AC D AC rC′ DCN
λC = λN
µ 1 1 1 1 = i A ln + i B ln + iC ln + i N ln 2π D AN DBN DCN rN′
Impedansi Seri
Dengan adanya fluksi lingkup di setiap konduktor maka selain resistansi, setiap konduktor juga mengandung induktansi. Untuk saluran 4 konduktor (3 konduktor fasa dan 1 netral) dengan panjang tertentu kita memiliki rangkaian ekivalen seperti berikut: A
IA IB
B IC
C N
IN
RA RB RC RN
•
LAB LBC LCN
• • •
LAA LBB
A′ LAC
LCC LNN
B′ LAN
LBN
C′ N′
V AA′ = (R A + jωL AA )I A + jωL AB I B + jωL AC I C + jωL AN I N VBB′ = (RB + jωLBB )I B + jωL AB I A + jωLBC I C + jωLBN I N VCC ′ = (RC + jωLCC )I C + jωL AC I A + jωLBC I B + jωLCN I N V NN ′ = (R N + jωLNN )I N + jωL AN I A + jωLBN I B + jωLCN I C
A
IA IB
B IC
C N
IN
RA RB RC RN
•
LAB LBC LCN
• • •
LAA LBB
A′ LAC
LCC LNN
B′ LAN
LBN
Jika konduktor N digunakan sebagai referensi, maka:
VAA′ − VNN ′ = VAN − VA′N ′ VBB′ − VNN ′ = VBN − VB′N ′ VCC ′ − VNN ′ = VCN − VC ′N ′
C′ N′
1 maka µ 1 µ 1 µ 1 µ 1 VAA′ = R A I A + jω ln I A + jω ln I B + jω ln I C + jω ln IN 2π rA′ 2π D AB 2π D AC 2π D AN D D D µ µ µ = R A I A + jω ln AN I A + jω ln AN I B + jω ln AN I C 2π rA′ 2π D AB 2π D AC µ
µ
1
1
µ
1
µ
ln + iN ln + iC Karena λ A = i A ln + i B ln ′ 2π D AB 2π D AC 2π D AN 2π rA
Karena λ N = µ i A ln 1 + i B ln 1 + iC ln 1 + i N ln 1 maka 2π
D AN
DBN
DCN
rN′
1 1 1 1 I N + jω ln VNN ′ = R N + jω ln I + j ω ln I + j ω ln IC A B ′ rN D AN DBN DCN r′ r′ r′ = jω ln N − R N I A + jω ln N − R N I B + jω ln N − R N I C D AN DBN DCN
Jadi:
VAA′ − VNN ′
2 D µ AN I + R + jω µ ln D AN DBN = R A + R N + jω ln ′A rN′ A N 2 π r 2π D AB rN′ D D µ + RN + jω ln AN CN I C = VAN − VA′N ′ 2π D AC rN′
I B
A
IA IB
B IC
C N VAN − VA′N ′
IN
RA
•
LAB
RB
LBC
RC
LCN
RN
2 D AN µ = R A + RN + jω ln 2π rA′ rN′
VCN − VC ′N ′
• •
LBB
A′ LAC
LCC LNN
B′ LAN
C′
LBN
I + R + jω µ ln D AN DBN A N 2π D AB rN′
Impedansi sendiri ZsA
D D µ VBN − VB′N ′ = R N + jω ln BN AN 2π DBA rN′
•
LAA
N′ D D µ I B + RN + jω ln AN CN 2π D AC rN′
Impedansi bersama ZmB 2 DBN µ I A + RB + RN + jω ln 2π rB′ rN′
IC
Impedansi bersama ZmC
I + R + jω µ ln DBN DCN B N 2π DBC rN′
I C
Impedansi bersama ZmA
Impedansi sendiri ZsB
Impedansi bersama ZmC
D D µ = R N + jω ln AN BN 2π D AB rN′
D D µ I A + R N + jω ln CN BN 2π DCB rN′
2 DCN µ I B + RC + RN + jω ln 2π rC′ rN′
Impedansi bersama ZmA
Impedansi bersama ZmB
Impedansi sendiri ZsC
I C
A
IA IB
B
RA
LBC
RC
C IN
Dalam bentuk matriks
LAB
RB
IC
N
•
RN
LCN
• • •
LAA LBB
A′ LAC
LCC LNN
LAN
Matriks komponen simetris:
C′
LBN
N′
VA VA′ Z sA V V − B B′ = Z mA VC VA′ Z mA ~ ~ ′ V ABC − V ABC
B′
Z mC I A Z sB Z mC I B Z mB Z sC I C ~ = [Z ABC ] I ABC Z mB
~ ~ ~ ′ V012 − V012 = [Z 012 ] I012
[Z 012 ] = [T]−1[Z ABC ][T] Ω/m
CONTOH: Satu seksi saluran sepanjang l dengan konfigurasi segitiga sama sisi dan penghantar netral di titik pusat segitiga A DCA = D
R A = RB = RC = R
rA′ = rB′ = rC′ = r ′
D AB = D
rA = rB = rC = r
N C
DBC = D
D AN = DBN = DCN =
B
VA VA′ Z sA 1 1 VB − VB′ = Z mA l l Z mA V V ′ C C
Z mB Z sB Z mB
D 3
Z mC I A Z mC I B Z sC I C
Dinyatakan per satuan panjang
Z sA = Z sB = Z sC Z mA
µ D2 = Z s = R + RN + jω ln Ω/m 2π r ′rN′
D AN DBN µ µ D2 / 3 µ D = R N + jω ln = R N + jω ln = R N + jω ln 2π D AB rN′ 2π DrN′ 2π 3rN′
Z mA = Z mB = Z mC = Z m = R N + jω
µ D ln Ω/m 2π 3rN′
Z s + 2Z m [Z 012 ] = [T]−1[Z ABC ][T] = 0 0 Z 0 = Z s + 2Z m
0 Zs − Zm 0
0 Z 0 0 = 0 Z s − Z m 0
µ D2 µ D = R + RN + jω ln + 2 RN + jω ln 2π r ′rN′ 2π 3rN′
µ D4 = R + 3R N + jω ln 2π 27r ′(rN′ )3
0 Z1 0
µ µ D2 D − RN − jω ln Z1 = Z 2 = Z s − Z m = R + R N + jω ln 2π r ′rN′ 2π 3rN′ = R + jω
µ 3D ln 2π r′
0 0 Z 2
Transposisi
B′
A D AN1
C′
B D AN 2
C
A′
D AN 3 N l /3
l /3
Misalkan : R A = RB = RC = R V AN − V A′N ′ =
l /3 rA′ = rB′ = rC′ = r ′
l (V AN − V A′N ′ )1 + l (V AN − V A′N ′ )2 + l (V AN − V A′N ′ )3 3 3 3
2 2 2 D AN 1 1 µ 1 D AN1 D AN 3 VAN − VA′N ′ = 3R A + 3RN + jω ln I A 3 2π l rA′ rN′
(
)
D D D D D D 1 µ + 3RN + jω ln AN1 BN1 AN 2 BN 2 AN 3 BN 3 I B 3 2π D AB DBC DCA rN′ D D D D D D 1 µ + 3RN + jω ln AN1 CN 1 AN 2 CN 2 AN 3 CN 3 I C 3 2π D AC DCA D AB rN′
1/ 3 2 2 2 D D 1 µ D AN 1 AN 1 AN 3 VAN − VA′N ′ = R A + R N + jω ln I A 2π rA′ rN′ l
(
)
1/ 3 µ D AN 1DBN 1D AN 2 DBN 2 D AN 3 DBN 3 + R N + jω ln I B 2π D AB DBC DCA rN′ 1/ 3 µ D AN 1DCN 1D AN 2 DCN 2 D AN 3 DCN 3 + R N + jω ln I C D AC DCA D AB rN′ 2π
Jika didefinisikan Dx = 3 D AN 1D AN 2 D AN 3 1 µ D x2 V AN − VA′N ′ = R A + R N + jω ln l 2π rA′ rN′
(
)
dan
De = 3 D AB DBC DCA
µ D x2 I A + R N + jω ln 2π De rN′
Dx2 µ Z s = R + R N + jω ln 2π r ′rN′
1/ 3
µ D x2 I B + R N + jω ln 2π De rN′
Dx2 µ Z m = R N + jω ln 2π De rN′
D x6 µ Z 0 = Z s + 2 Z m = R + 3R N + jω ln Ω/m 2π De2 r ′(rN′ )3 Z1 = Z 2 = Z s − Z m = R + jω
D µ ln e Ω/m 2π r′
maka: IC
CONTOH: Tentukan impedansi urutan positif saluran tansmisi:
4,082 m
4,082 m
230 KV L-L I rated 900 A r = 1,35 cm r’ = gmr = 1,073 cm R = 0,088 Ω / km
De = 3 4,082 × 4,082 × 8,164 = 5,143 m Untuk udara : µ = 4π × 10 −7 H/m = 4π × 10 − 4 H/km Untuk frekuensi 50 Hz : ω = 100π = 314 De µ 4π ×10 − 4 5,143 Z1 = R + jω ln = 0,88 + j (314) ln 2π r′ 2π 0,01073 = 0,088 + j 0,3877 Ω/km
Admitansi
Jika konduktor lurus kita anggap tak hingga panjangnya dan mengandung muatan dengan kerapatan ρ, maka geometri untuk penerapan hukum Gauss menjadi sederhana. Bidang equipotensial di sekitar konduktor akan berbentuk silindris. Displacement dan kuat medan listrik di suatu titik berjarak x dari konduktor adalah
ρ Dx = 2πx xB xA A
B
Ex =
ρ 2πεx
Beda potensial antara titik A yang berjarak xA dari konduktor dan titik B yang berjarak xB dari konduktor adalah
v AB =
xB
∫x
A
Edx =
x ρ ρ dx = ln B x A 2πεx 2πε x A
∫
xB
Tinjau konduktor a dengan radius ra bermuatan ρa dan dua konduktor lain i dan j yang tidak bermuatan Djk Dik k, rk , ρk
i
j
D jk ρ k rk ln vij = vik ρ + v kj = + ln ρk ρ k 2πε Dik rk k
D jk ρk = 2πε ln D ik
Ini adalah beda potensial konduktor i dan j yang diakibatkan oleh adanya muatan di konduktor a
vij
ρk
D jk ρk = ln 2πε Dik
Ini menjadi formula umum
Tinjau sistem 3 konduktor a, b, c Dac Dab b, rb , ρb
a, ra , ρa Formula umum:
v ab = v ab
Dbc
ρa
+ v ab
D jk ρk vij = ln ρk 2πε Dik vab
vab vab
ρa
ρb
ρc
=
ρb
+ v ab
c, rc , ρc ρc
Merupakan superposisi dari vab oleh pengaruh ρa , ρb , ρc seandainya konduktor a dan b tidak bermuatan.
ρa D ln ba 2πε Daa
=
ρb D ln bb 2πε Dab
=
ρc D ln bc 2πε Dac
vab =
D r D 1 ρ a ln ab + ρb ln b + ρ c ln bc 2πε ra Dab Dac
sistem 3 konduktor a, b, c Dac Dab a, ra , ρa Formula umum:
D jk ρk vij = ln ρk 2πε Dik vbc
vbc
vbc
ρa
ρb
ρc
=
ρa D ln ca 2πε Dba
=
ρb D ln cb 2πε Dbb
=
ρc D ln cc 2πε Dbc
Dbc b, rb , ρb
c, rc , ρc
vbc = vbc ρ + vbc ρ + vbc ρ a b c
vbc =
D D r 1 ρ a ln ac + ρb ln bc + ρ c ln c 2πε Dab rb Dbc
sistem 3 konduktor a, b, c Dac Dab a, ra , ρa Formula umum:
D jk ρk vij = ln ρk 2πε Dik vca vca
vca
ρa
ρb
ρc
=
ρa D ln aa 2πε Dca
=
ρb D ln ab 2πε Dcb
=
ρc D ln ac 2πε Dcc
vca = vca
Dbc b, rb , ρb ρa
+ vca
vca
ρb
c, rc , ρc
+ vca
ρc
D D D 1 ρ a ln aa + ρb ln ab + ρ c ln ac = 2πε Dca Dbc rc
Tinjau sistem empat konduktor a, b, c, n. a, ra , ρa
b, rb , ρb
c, rc , ρc
n, rn , ρn
Formula umum:
D jk ρk vij = ln ρk 2πε Dik van
van van van
ρa
ρb
ρc
ρn
=
ρa D ln na 2πε Daa
=
ρb D ln nb 2πε Dab
=
ρc D ln nc 2πε Dac
=
ρn D ln nn 2πε Dan
van = van
van
ρa
+ van
ρb
+ van
ρc
+ van
ρn
D D D r 1 ρ a ln an + ρb ln bn + ρ c ln cn + ρ n ln n = 2πε ra Dab Dac Dan
sistem empat konduktor a, b, c, n. a, ra , ρa
vin = vin van
ρa
+ vin
ρb
c, rc , ρc
+ vin
ρc
n, rn , ρn
+ vin
ρn
i = a, b, c, n
D D D r 1 ρ a ln an + ρb ln bn + ρ c ln cn + ρ n ln n = 2πε ra Dab Dac Dan
D D D r 1 ρ a ln an + ρb ln bn + ρ c ln cn + ρ n ln n 2πε Dba rb Dbc Dbn
D D D r 1 ρ a ln an + ρb ln bn + ρ c ln cn + ρ n ln n = 2πε Dca Dcb rc Dcn
vbn = vcn
b, rb , ρb
vnn =
D D D D 1 ρ a ln an + ρb ln bn + ρ c ln cn + ρ n ln nn 2πε Dan Dbn Dcn Dnn
=0
sistem empat konduktor a, b, c, n. a, ra , ρa
van
c, rc , ρc
n, rn , ρn
D D D r 1 ρ a ln an + ρb ln bn + ρ c ln cn + ρ n ln n = 2πε ra Dab Dac Dan
D D D r 1 ρ a ln an + ρb ln bn + ρ c ln cn + ρ n ln n 2πε Dba rb Dbc Dbn
D D D r 1 ρ a ln an + ρb ln bn + ρ c ln cn + ρ n ln n = 2πε Dca Dcb rc Dcn
vbn = vcn
b, rb , ρb
ρn dapat di-ganti melalui konservasi muatan ρ a + ρb + ρ c + ρ n = 0
ρ n = −(ρ a + ρb + ρ c )
sistem empat konduktor a, b, c, n. a, ra , ρa
van
b, rb , ρb
c, rc , ρc
n, rn , ρn
2 Dan Dan Dbn Dan Dcn 1 = ρa ln + ρ b ln + ρc ln 2πε ra rn Dabrn Dac rn
vbn
2 Dan Dbn Dbn D D 1 = ρ a ln + ρb ln + ρ c ln bn cn 2πε Dba rn rb rn Dbc rn
vcn
2 Dcn Dan Dcn Dbn Dcn 1 = ρ a ln + ρb ln + ρ c ln 2πε Dca rn Dcb rn rc rn
Yang dapat dituliskan dalam bentuk matriks 2 1 Dan ln 2πε ra rn va v = 1 ln Dbn Dan b 2πε Dba rn vc D D 1 ln cn an Dca rn 2πε
va f aa v = f b ba vc f ca
D D 1 ln an bn 2πε Dab rn 2 Dbn 1 ln 2πε rb rn D D 1 ln cn bn Dcb rn 2πε
Dan Dcn 1 ln 2πε Dac rn ρ a Dbn Dcn 1 ρ b ln Dbc rn 2πε ρ c 2 D 1 ln cn 2πε rc rn
f ac ρ a f bc ρb f cc ρ c
Din D jn 1 f ij = ln 2πε Dij rn
f ab f bb f cb
~ v abc = [Fabc ] ~ ρ abc
i, j = a, b, c
Ini menjadi formula umum
Untuk tegangan sinus keadaan mantap: Va f aa Vb = f ba Vc f ca
f ab f bb
ρ a f aa ρ = f b ba ρ c f ca
f ab f bb
f cb
f cb
f ac ρ a f bc ρ b f cc ρ c f ac f bc f cc
−1
Va Vb Vc
~ ~ ~ ρ abc = [Fabc ]-1 Vabc = [C abc ] Vabc
Kita ingat untuk kapasitor Q=CV
[C abc ] = [Fabc ]-1 F/m [Yabc ] = jω[C abc ] admitansi
Admitansi [Yabc ] = jω[C abc ]
[C abc ] = [Fabc ]-1
F/m
Inversi matriks ini menyulitkan kita untuk menghitung langsung
[C abc ] maupun [Yabc ]
Yang lebih mudah kita peroleh langsung dari rangkaian adalah
f aa [Fabc ] = f ba f ca
f ab f bb f cb
f ac f bc f cc
Oleh karena itu kita mencari
[F012 ] = [T]−1[Fabc ][T] yang akan memberikan
[C012 ] = [F012 ]−1 [Y012 ] = jω[C012 ]
Contoh: Satu seksi saluran sepanjang l dengan konfigurasi segitiga sama sisi dan penghantar netral di titik pusat segitiga a Dca = D
Dab = D
formula umum Din D jn 1 f ij = ln 2πε Dij rn
Dbc = D
Dan = Dbn = Dcn =
ra = rb = rc = r
N c
[Fabc ] = ?
Dab = Dbc = Dca = D
b
(D / 3 )2 ln rn r i, j = a, b, c 1 (D / 3 )2 [Fabc ] = ln Drn 2πε (D / 3 )2 ln Drn
(D / 3)2 ln Drn (D / 3)2 ln rn r (D / 3)2 ln Drn
D 3
[F012 ] = ? [C 012 ] = ?
(D / 3)2 ln Drn f 2 s (D / 3) ln = fm Drn fm (D / 3)2 ln rn r
fm fs fm
fm f m f s
1 D2 fs = ln 2πε 3rn r Kita ingat matriks simetris
fm =
f0 [F012 ] = [T]−1[Fabc ][T] = 0 0 di mana
1 D ln 2πε 3rn 0 f1 0
0 0 f 2
1 D4 f0 = f s + 2 fm = ln 2πε 27 rn r 1 D f1 = f s − f m = ln 2πε r 1 D f2 = fs − fm = ln 2πε r
[F012 ] yang merupakan matriks simetris dengan mudah memberikan 0 0 C0 1 / f 0 [C012 ] = [F012 ]−1 = 0 1 / f1 0 = 0 0 0 1 / f 2 0 C0 =
Y0 =
(
2πε
ln D 4 / 27rrn3
(
2πεω
ln D 4 / 27rrn3
0 C1 0
0 0 C 2
)
C1 =
2πε ln(D / r )
C2 =
2πε ln(D / r )
)
Y1 =
2πεω ln(D / r )
Y2 =
2πεω ln(D / r )
Transposisi
A
B C
N l /3
l /3
fs [Fabc ] = f m f m
formula umum Din D jn 1 f ij = ln 2πε Dij rn
[( ) ( ) ( ) ]
1 f ij + f ij + f ij 1 2 3 f s = f ij jika i = j
f m = f ij jika i ≠ j
fm fs f cb
fm f m f s 1/ 3
i, j = a, b, c f ij =
l /3
3
2 2 2 2 2 2 Dan Dan 1 1 1 1 Dan 2 Dan3 1 Dan 2 Dan3 fs = × ln = ln 3 3 3 2πε 2 πε r rn r 3 rn3
D D D D D D 1 1 ln an1 bn1 bn 2 cn 2 cn3 an3 fm = × 3 2πε Dab Dbc Dca rn3 1/ 3
Dan1 Dbn1Dbn 2 Dcn 2 Dcn3 Dan3 1 = ln 3 2πε Dab Dbc Dca rn
Telah didefinisikan
D x = 3 Dan1Dan 2 Dan3
D x2 1 ln fs = 2πε rrn
fm
dan
D x2 1 = ln 2πε De rn
Dx6 1 f0 = fs + 2 fm = ln 2πε De2 rrn3 C0 =
De = 3 Dab Dbc Dca
f1 = f 2 = f s − f m =
1 2πε = f 0 ln( Dx6 / De2 rrn3 )
F/m
Y0 = jωC0 S/m
1 2πε = f1 ln( De / r )
F/m
Y1 = jωC1 S/m
C1 = C2 =
D 1 ln e 2πε r
Konstanta Propagasi Impedansi Karakteristik Rangkaian Ekivalen
Yang kita peroleh dalam perhitungan impedansi dan admitansi suatu saluran transmisi adalah nilai per satuan panjang. Impedansi : Ω / m Admitansi : S / m Impedansi dan admitansi ini terdistribusi sepanjang saluran transmisi. Setiap meternya misalnya, mengandung impedansi dan admitansi. Hal ini berarti, jika saluran transmisi digunakan untuk menyalurkan energi, di setiap perubahan posisi sepanjang saluran akan terjadi penurunan tegangan dan penurunan arus
Persamaan Tegangan dan Arus Saluran Transmisi Tinjau saluran transmisi (dua konduktor)
Ir
Tegangan Vs ujung kirim
Arus di ujung terima Vr
x
ujung kirim
ujung terima
suatu posisi x dihitung dari ujung terima Pertanyaan: Jika tegangan dan arus di ujung terima diketahui, berapakah tegangan dan arus di posisi berjarak x dari ujung terima?
Tegangan ujung terima
Tinjau jarak sempit ∆x pada posisi x dari ujung kirim ∆x
I x + ∆x
Vs
Z∆xI x
Vx + ∆x
Ir
Ix
Vx
Vr
Y∆x Vx
Z : impedansi per satuan panjang Y : admitansi per satuan panjang
x
dalam jarak ∆x ini terdapat impedansi dan admitansi sebesar: Z∆x dan Y∆x
Dalam jarak sempit ini terdapat tegangan jatuh ∆Vx = Z∆x I x dan arus antar kedua konduktor sebesar ∆I x = Y∆x Vx sehingga
Vx + ∆x = Vx + Z∆xI x atau
Vx + ∆x − Vx = ZI x ∆x
I x + ∆x = I x − Y∆xI x atau
I x + ∆x − I x = −YI x ∆x
Jika ∆x → 0, kita tuliskan persamaan orde pertama:
dan persamaan orde ke-dua
d Vx = ZI x dx
dI x = −YVx dx
d 2 Vx
d 2I x
d 2 Vx
d 2I x
dI =Z x dx dx 2
dx
2
= ZYVx
dVx = −Y dx dx 2
dx
2
substitusi dI x dVx dan dx dx
= −YZI x
Inilah persamaan tegangan dan arus saluran transmisi. Dalam dua persamaan orde ke-dua ini faktor YZ muncul di keduanya. Dengan harapan akan memperoleh kemudahan solusi, didefinisikan: γ 2 = ZY
atau
γ = ZY
konstanta propagasi
Konstanta Propagasi
Konstanta Propagasi: γ = ZY Karena Z maupun Y adalah bilangan-bilangan kompleks, maka γ juga bilangan kompleks: γ = α + jβ
Konstanta redaman menyebabkan penurunan amplitudo gelombang karena desipasi daya sepanjang transmisi. Nilai α terkait dengan resistansi saluran
Konstanta fasa menyebabkan perubahan fasa dan bentuk gelombang terkait dengan perubahan induktansi dan kapasitansi sepanjang saluran
CONTOH:
Dari suatu saluran transmisi telah dihitung impedansi dan admitansi per satuan panjang: Z = 0,088 + j 0,4654 Ω/km dan
Y = j 3,524 µS/km
Hitung konstanta propagasi γ. Penyelesaian: Y = j 3,524 µS/km = j 3,524 × 10 −6 S/km
γ = ZY = (0,088 + j 0,4654)( j 3,524 × 10 −6 ) = 10 −3 (0,088 + j 0,4654) × j 3,524 = 10 −3 0,474∠79,3o × 3,524∠90 o = 10 −3 1,67∠169,3o = 10 -3 × 1,292∠84,6 o = (0,1205 + j1,2863) × 10 −3 per km
Solusi Persamaan Tegangan Persamaan tegangan orde ke-2:
d 2 Vx dx
2
= ZYVx
2 Dengan konstanta propagasi γ = ZY
persaman tersebut menjadi d 2 Vx dx 2
= γ 2 Vx
Persaman karakteristik: Solusi:
d 2 Vx dx 2
− γ 2 Vx = 0
s 2 − γ 2 = 0 → s = ±γ
Vx = K1e γx + K 2 e − γx
yang untuk x = 0, yaitu di ujung kirim: Vx = Vr
Persamaan tegangan orde ke-1: d Vx = ZI x dx
d Vx = K1γe γx − K1γe − γx dx
Vr = K1 + K 2 Z I r = K1 γ − K 2 γ
ZI r = K1 − K 2 γ
Vr = K1 + K 2
ZI r = K1 − K 2 γ ZI r = 2K1 γ
Vr −
ZI r = 2K 2 γ
ZI Vr + r γ = K1 2
Vr −
ZI r γ
Vr +
maka
2
Vx = K1e γx + K 2 e − γx =
Vr +
ZI r γ
2
e γx +
= K2
Vr −
ZI r γ
2
e − γx
e γx + e − γx Z I r e γ x − e − γx = Vr + 2 γ 2 = Vr cosh( γx ) +
Vx = Vr cosh( γx ) +
ZI r sinh( γx ) γ
Z I r sinh( γx ) γ
Persamaan tegangan orde pertama
d Vx = Z I x menjadi dx
d Vx γe γx − γe − γx Z I r γe γx + γe − γx = Z I x = Vr + dx 2 γ 2 = Vr γ sinh( γx ) + Z I r cosh( γx )
atau
Ix =
γ Vr sinh( γx ) + I r cosh( γx ) Z
Dengan demikian kita mempunyai sepasang persamaan untuk tegangan dan arus, yaitu: Vx = Vr cosh( γx ) +
Ix =
Z I r sinh( γx ) γ
γ Vr sinh( γx ) + I r cosh( γx ) Z
Impedansi Karakteristik
Impedansi Karakteristik Kita perhatikan persamaan tegangan dan arus: Vx = Vr cosh( γx ) +
tegangan
Z I r sinh( γx ) γ
arus
Ix =
arus
Ini harus merupakan impedansi
γ Vr sinh( γx) + I r cosh( γx ) Z
tegangan
arus
Ini harus merupakan admitansi
Maka didefinisikanlah: Impedansi Karakteristik
Zc =
Z = γ
Z ZY
=
Z Y
Perhatikan: Z adalah impedansi per satuan panjang Y adalah admitansi per satuan panjang Zc adalah impedansi karakteristik
CONTOH:
Dari suatu saluran transmisi telah dihitung impedansi dan admitansi per satuan panjang: Z = 0,088 + j 0,4654 Ω/km dan
Y = j 3,524 µS/km
Hitung Impedansi Karakteristik. Penyelesaian: Y = j 3,524 µS/km = j 3,524 × 10 −6 S/km
0,088 + j 0,4654 1,584∠79,3o Z 3 = = 10 × Zc = −6 Y 3,524∠90o j 3,524 × 10 = 366,6∠ − 5,35o Ω
Ω Z Catatan : Z c = = = Ω2 = Ω Y S
Dengan menggunakan impedansi karakteristik Zc sepasang persamaan untuk tegangan dan arus, menjadi: Vx = Vr cosh( γx ) + Z c I r sinh( γx )
V I x = r sinh(γx) + Ir cosh(γx) Zc Apabila d adalah jarak antara ujung kirim dan ujung terima, maka tegangan dan arus di ujung kirim dapat kita peroleh dengan mengantikan x dengan d pada relasi di atas: Vs = Vr cosh( γd ) + Z c I r sinh( γd )
V I s = r sinh(γd ) + Ir cosh(γd ) Zc
Rangkaian Ekivalen
Apabila kita hanya ingin mengetahui keadaan di ujung terima dan ujung kirim suatu saluran transmissi, persamaan yang telah kita peroleh telah cukup untuk melakukan perhitungan Namun karena saluran transmisi terhubung dengan peralatan lain (transformator misalnya) maka kita perlu menyatakan saluran transmisi dalam sebuah
Rangkaian Ekivalen
Rangkaian Ekivalen π Kita tinjau rangkaian ekivalen π seperti berikut: Is
Ir Zt
Vs
Yt 2
Ye 2
Vr
Pada rangkaian ekivalen, impedansi dan admitansi yang terdistribusi sepanjang saluran dimodelkan sebagai impedansi dan admitansi tergumpal Zt dan Yt. Aplikasi hukum Kirchhoff pada rangkaian ini memberikan: Y Vs = Vr + Z t I r + t Vr 2 ZY = 1 + t t Vr + Z t I r 2
Y Y I s = I r + t Vr + t 2 2 Y Y = I r + t Vr + t 2 2 2 Z Y t = Y + 4
Vs Z t Yt 1 + V + Z I r t r 2
V + 1 + Z t Yt I r r 2
Dengan demikian untuk rangkaian ekivalen π kita peroleh persamaan: ZY Vs = 1 + t t Vr + Z t I r 2
2 Z Y t t V + 1 + Z t Yt I I s = Yt + r r 4 2
Zt dan Yt adalah “nilai tergumpal” impedansi dan admitansi saluran Jika kita perbandingkan persamaan tegangan ini dengan persamaan tegangan sebelumnya, yaitu Vs = Vr cosh( γd ) + Z c I r sinh( γd ) kita dapatkan Z t Yt = cosh( γd ) 2 Z t Yt = cosh( γd ) − 1 2 Y cosh( γd ) − 1 → t = 2 Zt cosh( γd ) − 1 = Z c sinh( γd )
1+
dan
Z t = Z c sinh( γd ) Yt Z c 1 = 2 sinh( γd ) γd = tanh 2
Yt =
2 γd tanh Zc 2
Jadi dalam rangkaian ekivalen π Is
Ir Zt
Vs
Yt 2
Yt 2
Z t = Z c sinh( γd )
Yt =
2 γd tanh Zc 2
d = jarak ujung terima dan ujung kirim Z c = impedansi karakteristik
Vr
Catatan Tentang Fungsi Hiperbolik Kompleks Sebuah catatan perlu diberikan mengenai fungsi hiperbolik kompleks
e x − e−x Kita mengetahui bahwa sinh x = 2 Jika x = a + jb maka: e ( a + jb ) − e −( a + jb ) e a e jb − e − a e − jb sinh( a + jb) = = 2 2 Kita dapat menuliskan e jb = cos b + j sin b dan e − jb = cos b − j sin b
e a (cos b + j sin b) − e − a (cos b − j sin b) sehingga sinh( a + jb) = 2 (e a − e − a ) (e a + e − a ) cos b + j sin b = 2 2 = sinh a cos b + j cosh a sin b Dengan cara yang sama kita dapatkan
cosh(a + jb) = cosh a cos b + j sinh a sin b Sedangkan
tanh(a + jb) =
sinh( a + jb) cosh(a + jb)
Sistem Tiga Fasa Seimbang
Diagram fasor sumber tiga fasa Im VCN
C
VBN
Diagram fasor tegangan
+ VCN − N −+ − VAN +
120o A 120o
Re
B VBN
Sumber terhubung Y
VAN = VAN ∠0 o VBN = VBN ∠ − 120 o
Keadaan Seimbang VAN = VBN = VCN
VCN = VCN ∠ − 240 o
Beban Terhubung Y, IA A
IB Vff
B
Z=R+jX
Z=R+jX Z=R+jX
IC IN
C N
Beban Terhubung ∆, IA A
IB
Z=R+jX
Vff
IC
Z=R+jX
B Z=R+jX
C
Dalam sistem tiga fasa kita berhadapan dengan paling sedikit 6 peubah sinyal, yaitu 3 tegangan dan 3 arus. IA
A
V AB
B Jaringan C X
VCA
IB IC
VBC
Jaringan Y
V A VB VC IN
Dalam keadaan seimbang:
V A = VB = VC = V f
I A = I B = IC = I L
VAB = VBC = VCA = V LL = V f 3
S 3 f = 3V f I *f = 3VA I *A
S3 f = P3 f + jQ3 f
IN = 0
ϕ = ϕ A = ϕ B = ϕC
S3 f = 3V f I f = VLL I L 3
P3 f = S3 f cos ϕ = 3V f I f cos ϕ = VLL I L 3 cos ϕ Q3 f = S3 f cos ϕ = 3V f I f sin ϕ = VLL I L 3 sin ϕ
Sistem Tiga Fasa Tak Seimbang Komponen Simetris
Sistem tiga fasa tidak selalu dalam keadaan seimbang. Pada waktu-waktu tertentu, misalnya pada waktu terjadi hubung singkat satu fasa ke tanah, sistem menjadi tidak seimbang. Analisis sistem tiga fasa tidak seimbang, dilakukan dengan memanfaatkan komponen simetris. Pada 1918, C.L. Fortesque memaparkan dalam papernya, bahwa tegangan (ataupun arus) dalam sistem tak seimbang dapat dinyatakan sebagai jumlah dari tegangan-tegangan (atau arus-arus) yang seimbang. Tegangan-tegangan (atau arus-arus) yang seimbang ini disebut komponen simetris. Dengan menggunakan komponen simetris, tegangan dan arus tiga fasa yang dalam keadaan tak seimbang ditransformasikan ke dalam komponen-komponen simetris. Setelah analisis dilaksanakan pada setiap komponen simetris, dilakukan transformasi balik dan kita dapatkan solusi dari keadaan tak seimbang.
IA
A
IB
B
IC
Jaringan C X
Jaringan Y
VA VB VC IN
Hanya ada 3 kemungkinan fasor seimbang yang bisa menjadi komponen simetris yaitu: VA = V f ∠0 o
VA = V f ∠0 o
VA = V f ∠θ
VB = V f ∠ − 120o
VB = V f ∠ + 120 o
VB = V f ∠θ
VC = V f ∠ − 240o
VC = V f ∠ + 240o
Im
VA = VB = VC
Im
VC
VB 120o 120o
Im VA= VB= VC
120o
VA Re
VB
VC = V f ∠θ
120o
VA Re
Re
VC
Urutan Positif
Urutan Negatif
Urutan Nol
Operator a
Operator a
Im
aVA
a = 1∠120
o
120o
VA Re
120o
a 2 VA
Badingkan dengan operator j yang sudah kita kenal
Im
jVA
j = − 1 = 1∠90o
j 2 VA
VA
j 3 VA
Re
Uraian fasor VA, VB, VC yang tak seimbang ke dalam komponenkomponen simetris dengan menggunakan operator a VA = VA0 + VA1 + VA2 = V0 + V1 + V2 VB = VB 0 + VB1 + VB 2 = V0 + a 2 V1 + aV2 VC = VC 0 + VC1 + VC 2 = V0 + aV1 + a 2 V2 Urutan nol Urutan positif Urutan negatif Im
aV1
Im
V0
VA + VB + VC = 3V0
)
V0 = VA + VB + VC / 3
120o
Im
120o
120o
Re
(
aV2
120o
V1
a 2 V1
V1 + a 2 V1 + aV1 = 0
V2
Re
a 2 V2
V2 + aV2 + a 2 V2 = 0
Mencari komponen simetris dari fasor tak seimbang
VA = V0 + V1 + V2 VB = V0 + a 2 V1 + aV2 VC = V0 + aV1 + a 2 V2
(
) (
+
)
VA + VB + VC = 3V0 + 1 + a 2 + a V1 + 1 + a + a 2 V2
0
(
)
V0 = VA + VB + VC / 3
0
VA = V0 + V1 + V2 aVB = aV0 + a 3 V1 + a 2 V2 = aV0 + V1 + a 2 V2 a 2 VC = a 2 V0 + a 3 V1 + a 4 V2 = a 2 V0 + V1 + aV2
(
)
(
+
)
VA + aVB + a 2 VC = 1 + a + a 2 V0 + 3V1 + 1 + a 2 + a V2
(
)
(
)
V1 = VA + aVB + a 2 VC / 3
VA = V0 + V1 + V2 a 2 VB = a 2 V0 + a 4 V1 + a 3 V2 = a 2 V0 + aV1 + V2 aVC = aV0 + a 2 V1 + a 3 V2 = aV0 + a 2 V1 + V2
(
) (
)
+
VA + a 2 VB + aVC = 1 + a 2 + a V0 + 1 + a + a 2 V1 + 3V2
V2 = VA + a 2 VB + aVC / 3
Contoh:
Carilah komponen simetris dari tiga fasor arus tak seimbang berikut ini. I A = 9∠60 o ; I B = 9∠ − 60 o ; I C = 0
I1 = (I A + aI B + a 2 I C ) / 3 = (9∠60 o + 9∠(120 o − 60 o ) + 0) / 3 = 3∠60 o + 3∠60 o = 6∠60 o
I 2 = (I A + a 2 I B + aI C ) / 3 = (9∠60 o + 9∠(240 o − 60 o ) + 0) / 3 = 3∠60 o + 3∠180 o = 3(cos 60 + j sin 60) − 3 = 3∠120 o
I 0 = ( I A + I B + I C ) / 3 = (9∠60 o + 9∠ − 60 o + 0) / 3 = 3∠60 o + 3∠ − 60 o = 3∠0 o
Transformasi fasor tak seimbang ke dalam komponen simetrisnya dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai:
VA 1 1 Fasor tak 2 V 1 = a seimbang B VC 1 a
V0 1 1 Komponen V = 1 1 a simetris 1 3 V 2 1 a 2
V0 V 1 2 a V2 1 a
Fasor tak seimbang ditulis
1 VA ditulis 2 a VB a VC
[V~ ABC ] = [T] [V~012 ] komponen simetris komponen simetris
[V~012 ] = [T]−1 [V~ ABC ]
Inversi matriks [T] Dengan cara yang sama, kita peroleh untuk arus:
[~I ABC ] = [T] [~I012 ] Fasor tak seimbang
[~I012 ] = [T]−1 [~I ABC ] Fasor komponen simetris
Fasor tak seimbang
Karena fasor tak seimbang ditransformasi ke dalam komponen simetrisnya maka impedansi harus disesuaikan. Sesuai dengan konsep Impedansi di kawasan fasor, kita dapat menuliskan relasi :
[V~ ABC ] = [Z ABC ] [~I ABC ] Ini adalah matriks impedansi 3×3 yang memberikan induktansi sendiri dan induktansi bersama antar fasa
[V~ ABC ] = [T] [V~012 ] [~I ABC ] = [T] [~I012 ]
[T] [V~012] = [Z ABC][T] [~I012]
[V~012] = [T]−1 [Z ABC][T][~I012] didefinisikan sebagi [Z012] = [T]
[Z ABC][T]
−1
[V~012] = [Z012][~I012]
relasi komponen simetris
Contoh:
Tentukan Z012 •
Xm Xm
Xm
• •
IA IB
IC VC′ VB′
V A VB VC
V A′
I A + I B + IC
VA − VA′ = jX s I A + jX m I B + jX m I C VB − VB′ = jX s I A + jX m I B + jX m I C VC − VC′ = jX s I A + jX m I B + jX m I C VA VA′ VB − VB′ = VC VC′
Xs jX m X m
Xm Xs Xm
X m I A X m I B X s I C
~ ′ ] = j[Z ABC ] [I ABC ] [V~ ABC ]− [V~ ABC
[
][
]
[ ]
~ ~ ~ ′ = [Z 012 ] I012 Transformasi: V012 − V012
VA VA′ VB − VB′ = VC VC′
Xs j X m X m
Xm Xs Xm
X m I A X m I B X s I C
1 1 [Z 012 ] = [T]−1[Z ABC ][T] = 1 1 a 3 1 a 2
~ ′ ] = j[Z ABC ] [I ABC ] [V~ ABC ]− [V~ ABC
[~ ] [~ ]
[~ ]
′ = [Z 012 ] I012 Transformasi: V012 − V012 1 Xs a 2 j X m a X m
Xm Xs Xm
X m 1 1 X m 1 a 2 X s 1 a
1 a a 2
(X s + 2X m ) (X s + 2X m ) (X s + 2X m ) 1 1 1 = ( X s + aX m + a 2 X m ) ( X m + aX s + a 2 X m ) ( X m + aX m + a 2 X s ) j 1 a 2 3 ( X s + a 2 X m + aX m ) ( X m + a 2 X s + aX m ) ( X m + a 2 X m + aX s ) 1 a 0 0 0 3( X s + 2 X m ) ( X s + 2 X m ) 1 = j 0 3 X s + 3(− X m ) 0 0 (X s − Xm) = j 3 0 0 3 X s − 3 X m 0 0
Z 0 = j( X s + 2 X m ) Impedansi urutan nol
Z1 = j ( X s − X m ) Impedansi urutan positif
1 a a 2 0 ( X s − X m ) 0
Z 2 = j( X s − X m ) Impedansi urutan negatif
Hasil transformasi merupakan 1 set rangkaian seimbang Z 0 = j( X s + 2 X m ) Impedansi urutan nol
Impedansi urutan positif
Z0
V0
Z 2 = j( X s − X m )
Z1 = j ( X s − X m )
Impedansi urutan negatif
Z1
V0′
V1
Z2
V1′
V2
V2′
Masing-masing dipecahkan dengan tatacara rangkaian seimbang. Transformasi balik memberikan pemecahan rangkaian tak seimbang
Rangkaian ekivalen diturunkan dari sistem dua konduktor Untuk aplikasi pada sistem tiga fasa kita menggunakan komponen simetris. Masing-masing komponen dalam komponen simetris merupakan fasa-fasa seimbang sehingga masing-masing komponen dapat di analisis menggunakan rangkaian ekivalen satu fasa. Dengan demikian masing-masing komponen memiliki rangkaian ekivalen, yaitu rangkaian ekivalen urutan positif, urutan negatif, dan urutan nol.
I s0
I s1
Ir
I r1
Zt0
Vs 0
Z t1
Yt 0 2
Vr0
Yt 0 2
Vs1
Yt1 2
Vr1
Rangkaian Urutan Positif
Rangkaian Urutan Nol Z 0 = Z 00
Yt1 2
Y0 = Y00
Z1 = Z11
I s2
Y1 = Y11
Ir 2 Zt 2
Vs 2
Yt 2 2
Yt 2 2
Vr 2
Rangkaian Urutan Negatif Z 2 = Z 22
Y2 = Y22
Z ii dan Yii adalah nilai dalam diagonal matriks [Z 012 ] dan [Y012 ]
Konstanta propagasi urutan adalah
γ 0 = Z 0Y0
γ1 = Z1Y1
γ 2 = Z 2Y2
Impedansi karakteristik urutan adalah
Z c0 =
Z0 Y0
Z c1 =
Z1 Y1
Z c2 =
Z2 Y2
Impedansi dan Admitansi ekivalen urutan adalah
Z t 0 = Z c 0 sinh( γ 0 d ) Z t1 = Z c1 sinh( γ1d ) Z t 2 = Z c 2 sinh( γ 2 d )
2 γ d tanh 0 Z c0 2 2 γ d Yt1 = tanh 1 Z c1 2
Yt 0 =
Yt 2 =
2 γ d tanh 2 Z c2 2
Dalam analisis sistem tenaga, sering dilakukan asumsi bahwa sistem beroperasi dalam keadaan seimbang. Dengan asumsi ini maka hanya rangkaian urutan positif yang diperlukan, dan dengan mengambil fasa a, rangkaian ekivalen satu fasa menjadi Z
Ia
a
a′ R
va
n
Y 2
jX Y 2
v′a
n′
CONTOH:
Dari suatu saluran transmisi telah dihitung impedansi dan admitansi per satuan panjang: Z = 0,088 + j 0,4654 Ω/km dan
Y = j 3,524 µS/km
dan telah dihitung pula impedansi karakteristik serta faktor redaman Z c = 366,6∠ − 5,35o
γ = (0,1205 + j1,2863) × 10 −3 per km Tentukan elemen-elemen rangkaian ekivalen jika panjang saluran transmisi 100 km. Penyelesaian: Impedansi dan admitansi ekivalen saluran adalah: Z t = Z c sinh( γd )
dan
Yt 1 γd = tanh 2 Zc 2
−3 Dengan: Z c = 366,6∠ − 5,35o γ = (0,1205 + j1,2863) × 10 per km d = 100 km
Z t = Z c sinh( γd )
(
= 366,6∠ − 5,35o sinh (0,1205 + j1,2863) ×10 −3 × 100 = 8,76 + j 46,41 Ω
)
Yt 1 γd = tanh 2 Zc 2 (0,1205 + j1,2863) × 10 −3 ×100 = tanh 2 366,6∠ − 5,35o = 0,0000262 + j 0,1764 ≈ j 0,1764 mS 1
Contoh: Tentukan admitansi urutan positif Y1 saluran tansmisi:
4,082 m
4,082 m
230 KV L-L I rated 900 A r = 1,35 cm r’ = gmr = 1,073 cm R = 0,088 Ω / km
De = 3 4,082 × 4,082 × 8,164 = 5,143 m
Y1 = jωC1 =
jω jω(2π)ε jω(2π)ε = = f1 ln( De / r ) ln(5,143 / 0,0135)
10 −9 1 Untuk udara : ε = F/m = µF/km 36π 36π
Pada frekuensi 50 Hz : ω = 100 π = 314 Y1 = j
314(2π)(1 / 36π) = j 2,935 µS/km ln(5,143 / 0,0135)
Daya Pada Komponen Simetris
IA
A
IB
B
IC
Jaringan C X
Jaringan Y
V A VB VC IN
Secara umum relasi daya kompleks 3 fasa adalah:
Dalam bentuk matriks jumlah perkalian ini dinyatakan sebagai:
S 3 f = VA I ∗A + VB I ∗B + VC I C∗
[
S 3 f = VA
VB
I ∗A ∗ VC I B I ∗ C
]
Jika fasor tegangan dinyatakan dalam bentuk vektor kolom:
dan fasor arus dinyatakan dalam bentuk vektor kolom:
maka :
VA ~ V ABC = VB VC
~ I ABC
[
S 3 f = VA
~
I A = I B IC VB
~
I ∗A ∗ VC I B I ∗ C
∗ dituliskan secara kompak: S 3 f = V ABCt I ABC
]
karena
~ ~ V ABC = [T ] V 012
maka
~ ~∗ S 3 f = V ABCt I ABC
{
dan
}{
~ ~ = [T ] V 012 t [T ] I 012 ~ ~* = V 012 t [T ]t [T ]* I 012 1 1 [T]t [T]∗ = 1 a 2 1 a
~ ~ I ABC = [T ] I 012
}
*
1 a a 2
1 1 1 a 1 a 2
1 a 2 a
3 0 0 1 0 0 = 0 3 0 = 3 0 1 0 0 0 3 0 0 1 sehingga atau
~ ~* S 3 f = 3 V 012 t I 012
[
S 3 f = 3 V 0 I 0∗ + V1 I1∗ + V 2 I 2∗
]
Contoh: Tentukan daya kompleks 3 fasa dalam keadaan tak seimbang dimana fasor tegangan fasa dan arus saluran diberikan dalam bentuk matriks sbb: ~ VABC
Perhatikan bahwa:
100 = − 100 0
VA ~ VABC = VB VC
~ I ABC
dan
I A ~ I ABC = I B I C ∗
S3 f
j10 = − 10 − 10
j10 − j10 ~T = V ABC I ∗ABC = [100 − 100 0]− 10 = [100 − 100 0] − 10 − 10 − 10 = − j1000 + 1000 + 0 = 1000 − j1000
Contoh: Tentukan daya kompleks 3 fasa dalam Contoh sebelumnya dengan menggunakan komponen simetris 1 1 1 ~ ~ V012 = [T]−1 V ABC = 1 a 3 1 a 2
1 100 a 2 − 100 a 0
0 100 − 100 + 0 1 1 = 100 − 100∠120 o + 0 = 100 3∠ − 30 o 3 3 100 + 100∠240 o + 0 100 3∠ + 30 o
1 1 1 ~ ~ I012 = [T]−1 I ABC = 1 a 3 1 a 2
1 j10 a 2 − 10 a − 10
j10 − 10 − 10 j10 − 20 1 1 = j10 + 10∠ − 60 o + 10∠60 o = j10 + 10 3 3 j10 + 10∠60 o + 10∠ − 60 o j10 + 10
~ ~∗ S 3 f = 3V012 I012 − j10 − 20 100 o ∠30 10 2∠ − 45o 3 10 2∠ − 45o
100 = 0 ∠ − 30 o 3 =
1000 2 3
[1∠ − 75
o
]
+ 1∠ − 15o = 1000 − j1000
Hasil perhitungan sama dengan hasil pada Contoh sebelumnya.
Sistem Per-Unit
Sistem per-unit merupakan sistem penskalaan atau normalisasi guna mempermudah kalkulasi. Nilai per - unit =
nilai sesungguhnya nilaibasis
Nilai basis selalu memiliki satuan sama dengan nilai sesungguhnya sehingga nilai per-unit tidak berdimensi. Di samping itu nilai basis merupakan bilangan nyata sedangkan nilai sesungguhnya bisa bilangan kompleks. Kita ambil contoh daya kompleks S = VI * Jika
V = V∠α dan
I = I∠β
maka
S = VI∠(α − β) = S ∠(α − β)
Kita ambil nilai basis sembarang S base maka
S pu =
S S base
∠(α − β)
Basis tegangan dan basis arus harus memenuhi relasi S base = Vbase I base Salah satu, Vbase atau Ibase , dapat ditentukan sembarang namun tidak ke-dua-dua-nya. Dengan cara itu maka V pu =
V Vbase
I pu =
I I base
Vbase Z = Basis impedansi base I base Z pu =
Z Z base
=
R + jX R X = +j Z base Z base Z base
tidak diperlukan menentukan basis untuk R dan X secara sendiri-sendiri
Contoh: Vs = 100∠0 o V
∼
3Ω −j4 Ω
j8 Ω
Jika kita tentukan Sbase = 500 VA dan Vbase = 100 V maka S 500 I base = base = = 5 A dan Vbase 100
V 100 Z base = base = = 20 Ω I base 5
Dalam per-unit, nilai elemen rangkaian menjadi: V pu =
V Vbase
=
100 = 1 pu 100
R pu =
R Z base
=
3 = 0,15 pu 20
X C pu =
4 = 0,2 pu 20
X L pu =
8 = 0,4 pu 20
Z pu = 0,15 + − j 0,2 + j 0,4 = 0,15 + j 0,2 = 0,25∠53,1o pu
I pu =
V pu Z pu
=
1∠0 o 0,25∠53,1o
= 4∠ − 53,1o pu
Penggambaran rangkaian dalam per-unit menjadi
Vs = 1∠0 o
∼
0,15 −j0,2
j0,4
CONTOH:
Terapkan sistem per-unit untuk menyatakan elemen rangkaian ekivalen pada contoh sebelumnya, dengan menggunakan besaran basis:
S 3φbasis = 100 MVA dan
VLLbasis = 230 KV
Penyelesaian: Dari basis daya dan basis tegangan, kita hitung basis impedansi:
Z basis
2 VLLbasis 230 2 = = = 529 Ω S 3φbasis 100
8,76 + j 46,41 = 0,0166 + j 0,08773 pu 529 Yt j 0,1764 j 01764 = = = j 0,09321 pu − 3 2 1 /(529 × 10 ) 1 / 0,529
Zt =
Rangkaian ekivalen π menjadi seperti di bawah ini.
Rangkaian ekivalen π : Zt
0 ,0166 pu
j 0,09321 pu
j 0,08773 pu
j 0,09321 pu
Diagram Satu Garis
Diagram satu garis digunakan untuk menggambarkan rangkaian sistem tenaga listrik yang sangat rumit. Walaupun demikian diagram satu garis harus tetap memberikan informasi yang diperlukan mengenai hubungan-hubungan piranti dalam sistem. Generator Y Z
1 Hubungan ∆
∆
2
CB
Nomor bus
4
Pentanahan ∆ Y load netral melalui Hubungan Y 3 impedansi ditanahkan Transformator tiga belitan
Saluran transmisi
5
6 Y ∆
load
Transformator dua belitan
Hubungan Y sering dihubungkan ke tanah. Pentanahan melalui impedansi berarti ada impedansi (biasanya induktif atau resistif) diselipkan antara titik netral dan tanah. Titik netral juga mungkin dihubungkan secara langsung ke tanah.
Bahan Kuliah Terbuka
Saluran Transmisi Sudaryatno Sudirham
