Darpublic
www.darpublic.com
5. Bangun Geometris Sudaryatno Sudirham
5.1. Persamaan Kurva Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai F ( x, y ) = 0
(5.1)
Persamaan ini menentukan tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut. Jadi setiap titik pada kurva akan memenuhi persamaan dan setiap titik yang memenuhi persamaan harus pula terletak pada kurva. Berikut ini adalah karakteristik umum suatu kurva. Beberapa di antaranya telah kita pelajari di bab pertama. Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik tertentu a) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0]. Nilai Peubah. Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan. Apabila dalam suatu persamaan terdapat pangkat genap suatu peubah maka akan terlibat suatu nilai yang berasal dari akar pangkat dua (pangkat genap) dari peubah tersebut. Dalam keadaan demikian kita anggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks. Hal ini telah dikemukakan di bab pertama dalam sub-bab pembatasan pembahasan. Contoh: y 2 + x 2 = 1 . Jika kita cari nilai y kita dapatkan y = ± 1− x2
Apabila nilai mutlak x lebih besar dari 1, maka nilai bilangan di bawah tanda akar akan negatif. Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang −1 ≤ x ≤ 1 . Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang −1 ≤ y ≤ 1 . Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat. Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Contoh: y 2 + x 2 = 1 . Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,−1].
Sudaryatno Sudirham, “Bangun Geometris”
1/9
Darpublic
www.darpublic.com
Contoh: xy = 1. Dengan memberi nilai x = 0 kita tidak akan mendapatkan solusi untuk y. Demikian pula memberi y = 0 tidak akan memberi solusi untuk x. Kurva persamaan ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y. Asimptot. Suatu titik P[x,y] pada kurva yang bergerak sepanjang kurva menjauhi titikasal mungkin akan semakin dekat dengan suatu garis tertentu, namun tidak akan menyentuhnya. Garis tersebut merupakan asimptot dari kurva. Contoh:
y 2 ( x 2 − x) = x 2 + 10 .
Persamaan ini memberikan
y=±
x 2 + 10 x( x − 1)
Apa yang berada di dalam tanda akar, tidak boleh negatif. Hal ini berarti jika x harus positif maka ia tidak boleh lebih kecil dari satu agar x(x−1) positif; jika x negatif maka x(x−1) akan tetap positif. Jadi haruslah x < 0 atau x > 1. Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva. Lihat Gb.5.1. 4
y
0 -4
0
4
-4
Gb.5.1. Garis asimptot (ditunjukkan oleh garis patah-patah). Persamaan kurva ini juga bisa dituliskan sebagai y2 =
x 2 + 10 x2 − x
=
1 + 10 / x 2 1 − 1/ x
Jika x → ±∞ maka y2 = 1, dan y = ±1. Garis mendatar y = 1 dan y = −1 juga merupakan asimptot dari kurva.
5.2. Jarak Antara Dua Titik Jika koordinat dua titik diketahui, misalnya P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka jarak antara keduanya adalah PQ = ( x p − xq ) 2 + ( y p − yq ) 2
(5.2)
Formula ini sangat bermanfaat jika kita hendak mencari tempat kedudukan titik yang berjarak tertentu dari suatu titik lain. Kita akan melihatnya pada ulasan bentuk-bentuk geometris berikut ini.
5.3. Parabola Kita telah melihat bentuk kurva y = kx 2
Sudaryatno Sudirham, “Bangun Geometris”
(5.3)
2/9
Darpublic
www.darpublic.com
yang simetris terhadap sumbu-y. Bentuk kurva ini disebut parabola. Dalam persamaan ini, ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga jarak antara satu titik P yang terletak pada kurva dengan titik Q yang terletak di sumbu-y sama dengan jarak antara titik P dan suatu garis tertentu, seperti diperlihatkan pada Gb.5.2. Titik Q disebut titik fokus parabola, dan garis tertentu y = −p disebut garis direktriks dan titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya. y y=kx
2
P[x,y] Q[0,p] [0,0]
x R[x,−p]
Gb.5.2. Titik fokus dan garis direktriks. Hubungan antara k dan p dapat dicari sebagai berikut. PQ = (PR − p) 2 + x 2 = ( y − p) 2 + x 2 =
y 2 − 2 py + p 2 + x 2
PR = ( y + p)
Karena PQ = PR, maka y 2 − 2 py + p 2 + x 2 = y + p y 2 − 2 py + p 2 + x 2 = y 2 + 2 py + p 2 + x 2 = +4 py
atau y=
2
x 4p
yang berarti k =
1 4p
atau p =
1 4k
Dengan demikian persamaan parabola dapat kita tuliskan y=
1 2 x 4p
(5.4)
dengan direktiks y = −p dan titik fokus Q[0,p]. Contoh: Persamaan parabola y = 0,5 x 2 dapat kita tuliskan y=
1 2 1 x = x2 2 4 × 0,5
dan parabola ini memiliki direktrik y = − p = −0,5 dan titik fokus di Q[0,(0,5)].
5.4. Lingkaran Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran. Jika titik tertentu itu adalah titik-asal [0,0] maka jarak suatu titik X[x,y] ke titik-asal adalah XO = x 2 + y 2
Sudaryatno Sudirham, “Bangun Geometris”
3/9
Darpublic
www.darpublic.com
Jika jarak ini tertentu, r misalnya, maka x2 + y2 = r
Oleh karena itu persamaan lingkaran dengan titik pusat [0,0] adalah x2 + y2 = r 2
(5.5)
dengan r adalah jari-jari lingkaran. Jika titik pusat lingkaran tidak berimpit dengan titik asal, kita dapat melihatnya sebagai lingkaran tergeser. Lingkaran dengan titik pusat di P[a,b] mempunyai persamaan ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
(5.6)
Gb.5.3. memperlihatkan bentuk lingkaran dengan jari-jari 1 yang disebut lingkaran-satuan, berpusat di [0,0] dengan persamaan x 2 + y 2 = 1 . y 1 y1 0,5
-1
1
[0,0]
x
0,5
-1
Gb.5.3. Lingkaran Pada Gb.5.3 ini pula diperlihatkan lingkaran dengan r2 = 0,4 berpusat di [(0,5),(0,5)] yang berarti lingkaran tergeser sejajar sumbu-x sebesar 0,5 skala dan sejajar sumbu-y sebesar 0,5 skala, dengan persamaan ( x − 0,5) 2 + ( y − 0,5) 2 = 0,4
5.5. Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan. Kedua titik tertentu tersebut merupakan X[x,y] dua titik fokus dari elips. Perhatikan Gb.5.4. Misalkan diketahui posisi dua titik P[−a,0] dan Q(a,0]. Jarak antara titik sembarang X[x,y] dengan kedua titik tersebut masing-masing adalah
P[-c, 0]
Q[c, 0]
x
Gb.5.4. Elips XP = ( x + c) + y 2
2
dan
XQ = ( x − c) 2 + y 2
Jika jumlah antara keduanya adalah konstan, misalkan 2a, maka Sudaryatno Sudirham, “Bangun Geometris”
4/9
Darpublic
www.darpublic.com ( x + c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 = 2a
Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di kuadratkan, akan kita peroleh ( x + c ) 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2
yang dapat disederhanakan menjadi a−
c x = ( x − c) 2 + y 2 a
Jika kedua ruas di kuadratkan kita dapatkan c2
a 2 − 2cx +
x 2 = x 2 − 2cx + c 2 + y 2
a2
yang dapat disederhanakan menjadi x2
+
a2
y2 a2 − c2
=1
Kita perhatikan penyebut pada suku ke-dua ruas kiri persamaan terakhir ini, dengan melihat pada Gb.5.4. Pada segitiga XPQ, jumlah dua sisi selalu lebih besar dari sisi yang ketiga, (XP + XQ) > PQ atau 2a > 2c, sehingga penyebut suku ke-2 di ruas kiri selalu positif dan memiliki akar nyata; misalkan a 2 − c 2 = b . Dengan demikian kita mendapatkan persamaan elips x2 a2
+
y2 b2
=1
(5.7)
Titik-titik potong dengan sumbu-x adalah [±a,0] dan titik-titik potong dengan sumbu-y adalah [0,±b]. Jadi suatu elips dilingkupi oleh satu segi panjang 2a×2b; 2a adalah sumbu panjang elips dan 2b adalah sumbu pendeknya. (Perhatikan bahwa jika a = b yang berarti c = 0, kita mendapatkan persamaan lingkaran). Apabila titik fokus elips tidak terletak pada sumbu-x, kita bisa melihatnya sebagai elips tergeser. Persamaan elips tergeser adalah ( x − p) 2
a2
+
( y − q)2
b2
=1
(5.8)
dengan p adalah pergeseran sejajar sumbu-x dan q adalah pergeseran sejajar sumbu-y. Gb.5.5. adalah elips dengan persamaan ( x − 0,5) 2 ( y − 0,25) 2 + =1 1 0,5 2 1 y
0 -1
0
1
x
2
-1
Gb.5.5. Elips tergeser. Sudaryatno Sudirham, “Bangun Geometris”
5/9
Darpublic
www.darpublic.com
5.6. Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan. Penurunan persamaan hiperbola dapat dilakukan seperti halnya dengan penurunan persamaan elips di atas. Perhatikan Gb.5.6. Misalkan diketahui posisi dua titik P[−c,0] dan Q(c,0]. Jarak antara titik sembarang X[x,y] dengan kedua titik tersebut masing-masing adalah XP = ( x + c) 2 + y 2
dan
XQ = ( x − c) 2 + y 2 y X(x,y)
Q[c,0]
P[-c,0]
x
Gb.5.6. Posisi titik X terhadap P[-c,0] dan Q[c,0]. Jika selisih antara XP dan XQ harus tetap, misalnya 2a, maka ( x + c) 2 + y 2 − ( x − c) 2 + y 2 = 2a
Suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di kuadratkan, kemudian dilakukan penyederhanaan (c / a ) x − a = ( x − c ) 2 + y 2
Jika kedua ruas dikuadratkan akan diperoleh x2 a2
−
y2 c2 − a2
=1
Kita lihat lagi Gb.5.6. Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) = 2a selalu lebih kecil dari PQ = 2c. Jadi a < c sehingga penyebut pada suku kedua ruas kiri selalu positif, misalkan c 2 − a 2 = b 2 . Dengan demikian kita dapatkan persamaan x2 a2
−
y2 b2
=1
(5.9)
Inilah persamaan hiperbola, dengan bentuk kurva seperti pada Gb.5.7.
Sudaryatno Sudirham, “Bangun Geometris”
6/9
Darpublic
www.darpublic.com
y
+∞ X(x,y)
-c -a
a c
x
−∞
Gb.5.7. Kurva hiperbola Dengan memberi nilai y = 0, kita dapatkan titik potong hiperbola dengan sumbu-x yaitu [±a,0]. Dengan memberikan nilai x = 0, kita tidak memperoleh solusi untuk y. Kurva tidak memotong sumbu-y; tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = −a dan x = a.
5.4. Kurva Berderajat Dua Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua. Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
(5.10)
Persamaan parabola adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan B = C = D = F = 0;
sehingga diperoleh persamaan (5.4) y =
A = 1; E = −4 p
1 2 x . 4p
Lingkaran satuan adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan B = D = E = 0;
A = 1; C = 1;
F = −1
Bahkan persamaan garis luruspun merupakan keadaan khusus dari (5.10), di mana A = B = C = 0; D = − a; E = 1; F = −b
yang memberikan persamaan garis lurus y = ax + b . Namun dalam kasus terakhir ini persamaan berderajat dua (5.10) berubah status menjadi persamaan berderajat satu. Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun bentuk Bxy, yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum pernah kita temui. Dalam sub-bab berikut ini hal tersebut akan kita lihat.
5.5. Perputaran Sumbu Koordinat Dalam bangun geometris yang sudah kita lihat, mulai dari parabola sampai hiperbola, tidak satupun mengandung bentuk Bxy. Hal Ini sesungguhnya merupakan konsekuensi dari pemilihan koordinat. Dalam bangun hiperbola misalnya, kita telah memilih titik-titik fokus P[−c,0] dan Q[c,0] sehingga hiperbola simetris terhadap sumbu-x dan memotong sumbu-x di x = ±a. Sekarang akan kita coba memilih titik fokus di P[−a,−a] dan Q[a,a] seperti pada Gb.5.8.
Sudaryatno Sudirham, “Bangun Geometris”
7/9
Darpublic
www.darpublic.com
y Q[a,a] x
P[-a,-a]
Gb.5.8. Titik fokus di P[-a.-a] dan Q[a,a] Selisih jarak XP dan XQ yang tetap kita misalkan 2a ( x + a ) 2 + ( y + a ) 2 − ( x − a ) 2 + ( y − a ) 2 = 2a
Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dilakukan penyederhanaan, akan kita peroleh x + y − a = ( x − a) 2 + ( y − a ) 2
Jika ruas kanan dan kiri dikuadratkan lagi kita dapatkan 2 xy = a 2
(5.11)
Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x, yaitu garis bagi kuadran II dan III seperti terlihat pada Gb.5.9. 5
0 -5
0
-5
Gb.5.9. Kurva 2xy = a2. Kalau kita bandingkan kurva Gb.5.9 ini dengan kurva hiperbola sebelumnya pada Gb.5.7. terlihat bahwa kurva pada Gb.5.9. memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri Gb.5.7 yaitu sumbu-x. Apakah memang demikian? Kita akan lihat secara umum mengenai perputaran sumbu ini. Perhatikan Gb.5.10. y
P[x,y] P[x’,y’]
y’
x’
O
Q’
β α
x
Q
Gb.5.10. Perputaran sumbu. Sumbu x-y diputar sebesar α menjadi sumbu x’-y’. Titik P dapat dinyatakan dengan dua koordinat P[x,y] dengan referensi sumbu x-y, atau P[x’,y’] dengan referensi sumbu x’-y’. Dari Gb.5.10. kita dapatkan
Sudaryatno Sudirham, “Bangun Geometris”
8/9
Darpublic
www.darpublic.com x = OQ = OP cos(α + β) y = PQ = OP sin(α + β)
(5.12)
x' = OQ' = OP cos β y ' = PQ' = OP sin β
(5.13)
Sementara itu
Dengan kesamaan (lihat fungsi trigonometri di Bab-6) cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
(5.14)
Dengan (5.13) dan (5.14), maka (5.12) menjadi x = x' cos α − y ' sin α y = x' sin α + y ' cos α
(5.15)
Persamaan (5.15) inilah persamaan rotasi sumbu. Kita coba aplikasikan (5.15) pada (5.11) yang memiliki kurva pada Gb.5.10, di mana rotasi sumbu terjadi pada sudut 45o sehingga cos α = sin α = 1 / 2 . Oleh karena itu kita peroleh x=
x '− y ' 2
dan y =
x'+ y ' 2
Nilai x dan y ini kita masukkan ke (5.11) dan kita mendapatkan 2
x '− y ' 2
×
x'+ y ' 2
= ( x' ) 2 − ( y ' ) 2 = a 2
Bentuk persamaan ini sama dengan bentuk persamaan (5.9); pada (5.9) sumbu simetri adalah sumbu-x, sedangkan di sini sumbu simetri adalah sumbu-x’ yaitu sumbu-x yang diputar 45o. Dengan pembahasan mengenai perputaran sumbu ini, menjadi lengkaplah pergeseran kurva yang kita bahas. Pergeseran kurva sejajar sumbu-x dan sumbu-y yang telah kita bahas sebelumnya dapat pula kita pandang sebagai pergeseran atau translasi sumbu koordinat. Dengan demikian kita mengenal translasi dan rotasi sumbu koordinat, di mana sumbusumbu simetri dari suatu kurva tidak berimpit dengan sumbu koordinat, dan titik simetri tidak berimpit dengan titik asal [0,0].
Sudaryatno Sudirham, “Bangun Geometris”
9/9
