Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
9. Koordinat Polar Sudaryatno Sudirham Sampai dengan bahasan sebelumnya kita membicarakan fungsi dengan kurva-kurva yang digambarkan dalam koordinat sudut-siku, x-y. Di bab ini kita akan melihat sistem koordinat polar.
9.1. Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku Pada pernyataan posisi satu titik P[xP,yP] pada sistem koordinat sudut-siku terdapat hubungan yP = r sin θ ;
xP = r cos θ
(9.1)
dengan r adalah jarak antara titik P dengan titik-asal [0,0] dan θ adalah sudut yang dibentuk oleh arah r dengan sumbu-x, seperti terlihat pada Gb. 9.1. y
P[r,θ]
yP r θ
xP
[0,0]
x
Gb.9.1. Posisi titik P pada sistem koordinat polar. Dalam koordinat polar, r dan θ inilah yang digunakan untuk menyatakan posisi titik P. Posisi titik P seperti pada Gb. 9.1. dituliskan sebagai P[r,θ].
9.2. Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar Di Bab-5 kita telah melihat persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku, yaitu ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = c 2
Kita dapat menyatakan lingkaran ini dalam koordinat polar dengan mengganti x dan y menurut relasi (9.1), yaitu (r cos θ − a) 2 + (r sin θ − b) 2 = c 2
(9.2.a)
yang dapat dituliskan sebagai (r 2 cos 2 θ − 2ra cos θ + a 2 ) + (r 2 sin 2 θ − 2rb sin θ + b 2 ) − c 2 = 0
(r
2
)
− 2r (a cos θ + b sin θ) + a 2 + b 2 − c 2 = 0
(9.2.b)
r (r − 2(a cos θ + b sin θ) ) + a + b − c = 0 2
2
2
dengan bentuk kurva seperti Gb.9.2.a Jika lingkaran ini berjari-jari c = a dan berpusat di O[a,0] maka persamaan (9.2.b) menjadi 1/8
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
r (r − 2a cos θ) = 0
(9.2.c)
Pada faktor pertama, jika kita mengambil r = 0 , kita menemui titik pusat. Faktor ke-dua adalah r − 2a cos θ = 0
(9.2.d)
merupakan persamaan lingkaran dengan bentuk kurva seperti pada Gb.9.2.b. y
y
P[r,θ]
P[r,θ] r
r
θ
b
x
[0,0]
θ [0,0]
x a
a
(a)
(b) Gb.9.2. Lingkaran
Berikut ini tiga contoh bentuk kurva dalam koordinat bola. Contoh: r = 2(1 − cos θ) . Bentuk kurva fungsi ini terlihat pada Gb.9.3 yang disebut kardioid (cardioid) karena bentuk yang seperti hati. 3
P[r,θ]
y
2
r
1
θ
0 -5
-3
-1
1 x
-1 -2 -3
Gb.9.3 Kurva kardioid, r = 2(1 − cos θ) Perhatikan bahwa pada θ = 0, r = 0; pada θ = π/2 , r = 2; pada θ = π, r = 4; pada θ = 1,5π, r = 2. Contoh: r 2 = 16 cos θ . Bentuk kurva fungsi ini terlihat pada Gb.9.4 3
y
2
P[r,θ] r
1
θ
0 -5
-3
-1
1
3
x
5
-1 -2 -3
Gb.9.4 Kurva r 2 = 16 cos θ Perhatikan bahwa pada θ = 0, r = 4; pada θ = π/2 , r = 0; pada θ = π, r = 4; pada θ = 1,5π, r = 0.
2/8
Sudaryatno Sudirham, Koordinat Polar
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
Contoh: rθ = 2 . Untuk θ > 0 bentuk kurva fungsi ini terlihat pada Gb.9.5 y
2
y=2
1,5
P[r,θ] r
1
θ
0,5 0
-1
0 -0,5 θ = π θ = 3π -1
1
2
3
x
θ = 4π θ = 2π
Gb.9.5 Kurva rθ = 2 Pada persamaan kurva ini jika θ = 0 maka 0 = 2; suatu hal yang tidak benar. Ini berarti bahwa tidak ada titik pada kurva yang bersesuaian dengan θ = 0. Akan tetapi jika θ mendekati nol maka r mendekati ∞; garis y = 2 merupakan asimptot dari kurva ini. Perhatikanlah bahwa perpotongan kurva dengan sumbu-x tidak berarti θ = 0 dan terjadi pada θ = π, 2π, 3π, 4π, dst.
9.3. Persamaan Garis Lurus Salah satu cara untuk menyatakan persamaan kurva dalam koordinat polar adalah menggunakan relasi (9.1) jika persamaan dalam koordinat sudut-siku diketahui. Hal ini telah kita lakukan misalnya pada persamaan lingkaran (9.2.a) menjadi (9.2.b) atau (9.2.c). Berikut ini kita akan menurunkan persamaan kurva dalam koordinat polar langsung dari bentuk / persyaratan kurva. Gb.9.6 memperlihatkan kurva dua garis lurus l1 sejajar sumbu-x dan l2 sejajar sumbu-y. y
l1
y l2
P[r,θ] r O
θ a
b x
P[r,θ]
r θ
O
x
Gb.9.6 Garis lurus melalui titik-asal [0,0]. Garis l1 berjarak a dari titik-asal; setiap titik P yang berada pada garis ini harus memenuhi r cos θ = a
(9.3)
Inilah persamaan garis l1. Garis l2 berjarak b dari titik-asal; setiap titik P yang berada pada garis ini harus memenuhi r sin θ = b
(9.4)
Inilah persamaan garis l2. Kita lihat sekarang garis l3 yang berjarak a dari titik asal dengan kemiringan positif seperti terlihat pada Gb.9.7. Karena garis memiliki kemiringan tertentu maka sudut antara garis tegak-lurus ke l3, yaitu β juga tertentu. Kita manfaatkan β untuk mencari persamaan garis l3. Jika titik P harus terletak pada l3 maka r cos(β − θ) = a
(9.5)
Inilah persamaan garis l3. 3/8
Darpublic
Nopember 2013 P[r,θ]
y l3 A
r
a
α
www.darpublic.com
θ
β
x
O
Gb.9.7. Garis lurus l3 berjarak a dari [0,0], memiliki kemiringan positif. Jika kita bandingkan persamaan ini dengan persamaan (9.3) terlihat bahwa persamaan (9.5) ini adalah bentuk umum dari (9.3), yang akan kita peroleh jika kita melakukan perputaran sumbu. Jika perputaran kita lakukan sedemikian rupa sehingga memperoleh kemiringan garis positif, maka akan kita peroleh persamaan garis seperti (9.5). Apabila perputaran sumbu kita lakukan sehingga garis yang kita hadapi, l4, memiliki kemiringan negatif, seperti pada Gb.9.8., maka persamaan garis adalah r cos(θ − β) = a
(9.6)
y P[r,θ] l4
r a β
θ x
O
Gb.9.8. Garis lurus l4 berjarak a dari [0,0], kemiringan negatif.
9.4. Parabola, Elips, Hiperbola Ketiga bangun geometris ini telah kita lihat pada Bab-5 dalam koordinat sudut-siku. Kita akan melihatnya sekarang dalam koordinat polar. Eksentrisitas. Pengertian sehari-hari dari istilah eksentrik adalah menyimpang dari yang umum. Dalam matematika, eksentrisitas adalah rasio antara jarak suatu titik P terhadap titik tertentu dengan jarak antara titik P terhadap garis tertentu. Titik tertentu itu disebut titik fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks; kedua istilah ini telah kita kenal pada waktu pembahasan mengenai parabola di Bab-5. Sesungguhnya, dengan pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus parabola, elips, dan hiperbola. Perhatikan Gb.9.8. Jika es adalah eksentrisitas, maka es =
PF PD
(9.7)
y D
P[r,θ] r θ
A
F
B
x
k direktriks
Gb.9.8. Titik fokus dan garis direktriks.
4/8
Sudaryatno Sudirham, Koordinat Polar
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
Jika kita mengambil titik fokus F sebagai titik asal, maka PF = r
dan dengan (9.7) menjadi r = es PD ; sedangkan PD = AB = AF + FB = k + r cos θ
sehingga r = es (k + r cos θ) = es k + es r cos θ Dari sini kita dapatkan r=
es k 1 − es cos θ
(9.8)
Nilai es menentukan persamaan bangun geometris yang kita akan peroleh. Parabola. Jika es = 1 , yang berarti PF = PD, maka r=
k 1 − cos θ
(9.9)
Inilah persamaan parabola. Perhatikan bahwa jika θ mendekati nol, maka r mendekati tak hingga. Jika θ = π/2 maka r = k. Jika θ = π titik P akan mencapai puncak kurva dan r = k/2, yang berarti bahwa puncak parabola berada di tegah-tengah antara garis direktriks dan titik fokus. Hal ini telah kita lihat di Bab-5. Elips. Jika es < 1, misalnya es = 0,5 , PF = PD/2, maka r=
k 2 − cos θ
(9.10)
Inilah persamaan elips. Perhatikan bahwa karena −1 ≤ cos θ ≤ +1 maka penyebut pada persamaan (9.10) tidak akan pernah nol. Oleh karena itu r selalu mempunyai nilai untuk semua nilai θ. Jika θ = 0 maka r = k, titik P mencapai jarak terjauh dari F. dan jika θ = π/2 maka r = k/2 . Jika θ = π maka r = k/3, titik P mencapai jarak terdekat dengan F. Hiperbola. Jika es > 1 , misal es = 2 , berarti PF = 2 × PD , maka r=
2k 1 − 2 cos θ
(9.11)
Inilah persamaan hiperbola. Jika θ mendekati π/3 maka r menuju tak hingga. Jika θ = π / 2 maka r = 2k. Jika θ = π , titik P ada di puncak kurva, dan r = k/3 = PF.
9.4. Lemniskat dan Oval Cassini Di laut Aegea di hadapan selat Dardanella, terdapat sebuah pulau yang penting dalam mitologi Yunani yaitu pulau Lemnos atau Limnos. Pulau vulkanik ini berbentuk tak beraturan dengan dua teluk yang menjorok dalam ke daratan di pantai utara dan pantai selatan. Giovanni Domenico Cassini dikenal juga dengan nama Jean Dominique Cassini (1625 – 1712) adalah astronom Italia. Cassini menemukan empat di antara sembilan atau sepuluh 5/8
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
satelit planet Saturnus. Ia pula yang menemukan celah cincin Saturnus, antara cincin terluar dengan cincin ke-dua yang paling terang; celah itu kemudian disebut Cassini’s division. Bangun-geometris yang disebut lemniskat dan oval Cassini merupakan situasi khusus dari kurva yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan. Misalkan dua titik tertentu tersebut adalah F1[a,π] dan F2[a,0]. Lihat Gb.9.9. θ = π/2
P[r,θ]
r θ
θ=π
F2[a,0]
F1[a,π]
θ=0
Gb.9.9. Menurunkan persamaan kurva dengan persyaratan PF1×PF2 = konstan Dari Gb.9.9. kita dapatkan
(PF1 )2 = (r sin θ)2 + (a + r cos θ)2 = r 2 + a 2 + 2ar cos θ
(PF2 )2 = (r sin θ)2 + (a − r cos θ)2 = r 2 + a 2 − 2ar cos θ
Misalkan hasil kali PF1 × PF2 = b 2 , maka kita peroleh relasi
(
)(
b 4 = r 2 + a 2 + 2ar cos θ × r 2 + a 2 − 2ar cos θ = r 4 + a 4 + 2a 2 r 2 − (2ar cos θ) 2
) (9.12)
= r + a + 2a r (1 − 2 cos θ) 4
4
2 2
2
Kita manfaatkan identitas trigonometri cos 2θ = cos 2 θ − sin 2 θ = 2 cos 2 θ − 1
untuk menuliskan (9.12) sebagai b 4 = r 4 + a 4 − 2a 2 r 2 cos 2θ
(9.13)
Jika b kita buat ber-relasi dengan a yaitu b = ka maka persamaan (9.13) ini dapat kita tuliskan 0 = r 4 − 2a 2 r 2 cos 2θ + a 4 (1 − k 4 )
Untuk r > 0, persamaan ini menjadi r 2 = a 2 cos 2θ ± a 2 cos 2 2θ − (1 − k 4 )
(9.14)
Lemniskat. Bentuk kurva yang disebut lemniskat ini diperoleh pada kondisi khusus (9.14) yaitu k = 1, yang berarti b = a atau PF1 × PF2 = a 2 . Pada kondisi ini persamaan (9.14) menjadi 0 = r 2 (r 2 − 2a 2 cos 2θ)
Faktor pertama r = 0 akan memberikan sebuah titik. Faktor yang ke-dua memberikan persamaan 6/8
Sudaryatno Sudirham, Koordinat Polar
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
r 2 = 2a 2 cos 2θ
Dengan mengambil a = 1, kurva dari persamaan ini terlihat pada Gb.9.10. θ = π/2 0,6
0,2
θ=π -1,5
-1
0
-0,5 0 -0,2
θ=0 0,5
1
1,5
-0,6
Gb.9.10. Kurva persamaan (9.14), k = 1 = a. Bentuk lemniskat masih akan diperoleh pada k > 1, misalnya k = 1,1. Pada keadaan ini, dengan tetap mengambil a = 1, bentuk kurva yang akan diperoleh terlihat seperti pada Gb.9.11. θ = π/2
1,5 1 0,5
θ=π -2
θ=0
0 -1
0
1
2
-0,5 -1 -1,5
Gb.9.11. Kurva persamaan (9.14), k = 1,1 & a = 1. Oval Cassini. Kondisi khusus yang ke-tiga adalah k < 1, misalkan k = 0,8. Dengan tetap mengambil a = 1, bentuk kurva yang diperoleh adalah seperti pada Gb.9.12, yang disebut “oval Cassini”. Kurva ini terbelah menjadi dua bagian, mengingatkan kita pada Cassini’s division di planet Saturnus. θ = π/2
1,5 1 0,5
θ=π -2
θ=0
0 -1
0
1
2
-0,5 -1 -1,5
Gb.9.12. Kurva persamaan (9.14), k = 0,8 & a = 1.
7/8
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
9.5. Luas Bidang Dalam Koordinat Polar Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva dan dua garis masingmasing mempunyai sudut kemiringan α dan β. Lihat Gb.9.12 θ=β
y
∆θ
θ
θ=α x
Gb.9.12. Mencari luas bidang antara kurva dan dua garis. Antara α dan β kita bagi dalam n segmen. ∆θ =
β−α n
Luas setiap segmen bisa didekati dengan luas sektor lingkaran. Antara θ dan (θ + ∆θ) ada suatu nilai θk sedemikian rupa sehingga luas sektor lingkaran adalah Ak = (rk 2 ∆θ) / 2
Luas antara θ = α dan θ = β menjadi Aαβ =
∑ (rk 2 ∆θ) / 2 = ∑ ( f (θk ))2 ∆θ / 2
Jika n menuju ∞, ∆θ menuju nol, kita dapat menuliskan luas bidang menjadi (rk 2 ∆θ) / 2 = lim ∑ [ f (θ)]2 ∆θ / 2 ∑ ∆θ → 0 ∆θ → 0
Aαβ = lim =
atau
8/8
Aαβ =
1 2
β
∫α [ f (θ)] dθ 2
β r2
∫α 2 dθ
Sudaryatno Sudirham, Koordinat Polar
(9.15)
