Sudaryatno Sudirham
Permutasi dan Kombinasi
Permutasi
Permutasi adalah banyaknya pengelompokan sejumlah tertentu komponen yang diambil dari sejumlah komponen yang tersedia; dalam setiap kelompok urutan komponen diperhatikan Misalkan tersedia 2 huruf yaitu A dan B dan kita diminta untuk membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 2 huruf
dan
BA
AB
Kelompok yang yang bisa kita bentuk adalah diperoleh 2 kelompok
Ada dua kemungkinan huruf yang bisa menempati posisi pertama yaitu A atau B Jika A sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu B Jika B sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu A
Misalkan tersedia 3 huruf yaitu A, B, dan C Kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 3 huruf adalah:
CA CB B A
BA BC C A
AB AC C B
diperoleh 6 kelompok
Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama tinggal 2 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi kedua Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama dan salah satu dari 2 yang tersisa sudah menempati posisi kedua 3 × 2 ×1 = 6 maka hanya tinggal 1 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi terakhir yaitu posisi ketiga Jadi jumlah kelompok yang bisa diperoleh adalah Jumlah kemungkinan komponen yang menempati posisi pertama
Jumlah kemungkinan komponen yang menempati posisi kedua
Jumlah kemungkinan komponen yang menempati posisi ketiga
Dari 4 huruf yaitu A, B, C dan D kita dapat membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 4 huruf Kemungkinan penempatan posisi pertama : 4 Kemungkinan penempatan posisi kedua : 3 Kemungkinan penempatan posisi ketiga : 2 Kemungkinan penempatan posisi keempat : 1 jumlah kelompok yang mungkin dibentuk 4×3×2×1=24 kelompok yaitu: ABCD ABDC ACBD ACDB ADCB ADBC
BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA
CDAB CDBA CABD CADB CBAD CBDA
DABC DACB DBCA DBAC DCAB DCBA
ada 24 kelompok
Secara umum jumlah kelompok yang dapat kita bangun dari n komponen yang setiap kelompok terdiri dari n komponen adalah
n
n
n
n
× ( − 1) × ( − 2) × ......... × 1 = !
Kita katakan bahwa permutasi dari n komponen adalah n! dan kita tuliskan n Pn
= n! Kita baca : n fakultet
Namun dari n komponen tidak hanya dapat dikelompokkan dengan setiap kelompok terdiri dari n komponen, tetapi juga dapat dikelompokkan dalam kelompok yang masingmasing kelompok terdiri dari k komponen dimana k < n Kita sebut permutasi k dari n komponen dan kita tuliskan n Pk
Contoh: Permutasi dua-dua dari empat komponen adalah 4 P2
= 4 × 3 = 12
Di sini kita hanya mengalikan kemungkinan penempatan pada posisi pertama dan ketiga saja yaitu 4 dan 3. Tidak ada komponen yang menempati posisi berikutnya. Penghitungan 4P2 dalam contoh di atas dapat kita tuliskan 4 P2 =
4 × 3 × 2 ×1 = 12 2 ×1
Secara Umum: n Pk =
n! (n − k )!
Contoh: 6 P2 =
6! 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 = = 6 × 5 = 30 (6 − 2)! 4 × 3 × 2 ×1
Contoh:
6! 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 = = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 6 P4 = (6 − 4)! 2 ×1
Kombinasi
Kombinasi merupakan pengelompokan sejumlah komponen yang mungkin dilakukan tanpa mempedulikan urutannya Jika dari tiga huruf A, B, dan C, dapat 6 hasil permutasi yaitu ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA namun hanya ada satu kombinasi dari tiga huruf tersebut yaitu ABC karena dalam kombinasi urutan posisi ketiga huruf itu tidak diperhatikan ABC = ACB = BCA = BAC = CAB = CBA
Oleh karena itu kombinasi k dari sejumlah n komponen haruslah sama dengan jumlah permutasi nPk dibagi dengan permutasi k Kombinasi k dari sejumlah n komponen dituliskan sebagai nCk n Ck
Jadi
=
n Pk
k!
=
n! (n − k )!× k!
Contoh: Berapakah kombinasi dua-dua dari empat huruf A, B, C, dan D Jawab:
4! 4 × 3 × 2 ×1 = = =6 4 C2 = 2! (4 − 2)!×2! 2 ×1× 2 ×1 4 P2
yaitu: AB AC AD BC BD CD
Contoh Aplikasi Distribusi Maxwell-Boltzman Distribusi Fermi-Dirac
Distribusi Maxwell-Boltzman Energi elektron dalam padatan terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit; kita sebut
E1
E2
E3
dst.
Setiap tingkat energi dapat ditempati oleh elektron mana saja dan setiap elektron memiliki probabilitas yang sama untuk menempati suatu tingkat energi
Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada dan kita misalkan bahwa distribusi yang terbentuk adalah
di E1 terdapat n1 elektron di E2 terdapat n2 elektron di E3 terdapat n3 elektron dst. maka jumlah cara penempatan elektron di E1 merupakan permutasi n1 dari N yaitu
P1 = n1 PN =
N! ( N − n1 )!
Jumlah cara penempatan elektron di E2 merupakan permutasi n2 dari (N−n1) karena sejumlah n1 sudah menempati E1
P2 = n2 P( N −n1 )
( N − n1 )! = ( N − n1 − n2 )!
Jumlah cara penempatan elektron di E3 merupakan permutasi n3 dari (N−n1−n2) karena sejumlah (n1+n2) sudah menempati E1 dan E2
P3 = n3 P( N −n1 −n2 ) =
( N − n1 − n2 )! ( N − n1 − n2 − n3 )!
dst.
Setelah n1 menempati E1 maka urutan penempatan elektron di E1 ini sudah tidak berarti lagi karena kita tidak dapat membedakan antara satu elektron dengan elektron yang lain Jadi jumlah cara penempatan elektron di E1 adalah kombinasi n1 dari N yaitu n1 PN
N! C1 = = n1! ( N − n1 )!n1! Demikian pula penempatan elektron di E2, E3, dst.
( N − n1 )! C2 = = ( N-n1 )!n2 ! ( N − n1 − n2 )!n2 ! n2
C3 =
n3
P( N − n1 )
P( N − n1 − n2 )
( N − n1 − n3 − n3 )!n3!
=
( N − n1 − n2 )! ( N − n1 − n2 − n3 )!n3!
dst.
Namun setiap tingkat energi juga memiliki probabilitas untuk ditempati, yang disebut intrinksic probability Misalkan intrinksic probability tingkat E1 adalah g1, E2 adalah g2, dst. maka probabilitas tingkat-tingkat energi
F1 = g1 1 C1 n
E1 ditempati n1 elektron E2 ditempati n2 elektron
F2 = g 2 2 C2 n
adalah
E3 ditempati n3 elektron
F3 = g 3 3 C3
dst.
dst.
n
Dengan demikian maka probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron seperti di atas adalah: n1 n2 n3 g g g ..... n n n F = F1F2 F3 .... = g1 1 g 2 2 g 3 3 ....C1C2C3 ...... = 1 2 3 n1!n2 !n3!.....
Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Maxwell-Boltzmann
Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian permutasi dan kombinasi Pembaca dapat melihat proses perhitungan lanjutan ini di buku-e “Mengenal Sifat Material”
Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Maxwell-Boltzmann ni = Jumlah elektron pada tingkat energi Ei
N g i e − Ei / k BT Z temperatur konstanta Boltzmann tingkat energi ke-i probabilitas intrinksik tingkat energi ke-i fungsi partisi Z=
∑ i
g i e −βEi
Distribusi Fermi-Dirac Energi elektron dalam terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit, misalnya kita sebut
E1
E2
E3
dst.
Setiap tingkat energi mengandung sejumlah tertentu status kuantum dan tidak lebih dari dua elektron berada pada status yang sama. Oleh karena itu jumlah status di tiap tingkat energi menjadi probabilitas intrinksik tingkat energi yang bersangkutan Yang berarti menunjukkan jumlah elektron yang mungkin berada di suatu tingkat energi
Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada, yaitu
di E1 terdapat n1 elektron di E2 terdapat n2 elektron di E3 terdapat n3 elektron dst.
Maka banyaknya cara penempatan elektron di tingkat E1, E2, E3 dst. merupakan kombinasi C1, C2, C3 dst
C1 =
N! ( N − n1 )!n1!
C2 =
( N − n1 )! ( N − n1 − n2 )! dst. C3 = ( N − n1 − n2 )!n2! ( N − n1 − n2 − n3 )!n3!
Dengan probabilitas intrinksik g1, g2, g3 maka jumlah cara untuk menempatkan elektron di tingkat E1, E2, E3 dst. menjadi
g1! F1 = n1!( g1 − n1 )!
g 2! F2 = ( g 2 − n2 )!n2 !
g 3! dst. F3 = ( g 3 − n3 )!n3!
Sehingga probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron adalah:
gi ! F = F1F2 F3 ...Fi = ∏ i ni !( g i − ni )! Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Fermi-Dirac namun kita tidak membicarakan lebih lanjut karena proses selanjutnya tidak menyangkut permutasi dan kombinasi
Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian permutasi dan kombinasi Pembaca dapat melihat proses perhitungang lanjutan ini di buku-e “Mengenal Sifat Material”, Bab-9 yang dapat diunduh di situs ini juga
Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Fermi Dirac ni =
gi
e ( Ei − EF ) / k BT + 1
Jika kita perhatikan persamaan ini untuk T → 0 lim e ( Ei − EF ) / k BT = 0 untuk ( Ei − E F ) < 0
T →0
= ∞ untuk ( Ei − E F ) > 0 Jadi jika T = 0 maka ni = gi yang berarti semua tingkat energi sampai EF terisi penuh dan tidak terdapat elektron di atas EF EF inilah yang disebut tingkat energi Fermi.
Bahan Kuliah Terbuka
Permutasi dan Kombinasi Sudaryatno Sudirham
