Permutasi dan Kombinasi Statistika @ 2012
Pendahuluan Probabilitas intepretasi keluaran peluang yang terjadi dalam suatu percobaan Tingkat kepastian dari munculnya hasil percobaan statistik Dilambangkan dengan P
Konsep probabilitas dari permainan yang dilakukan pengamatan
untuk diperoleh fakta (empiris) kemudian diformulakan kedalam konsep dan dilakukan pengujian Matematika permutasi dan kombinasi banyak digunakan
Permutasi vs. Kombinasi Keduanya digunakan untuk mengukur posibility. Perbedaan keduanya adalah permasalahan URUTAN.
Perhatikan kartu poker berikut: A♦, 5♥, 7♣, 10♠, K♠
Apakah sama dengan ini: K♠, 10♠, 7♣, 5♥, A♦ Apakah urutan kartu di atas penting? JikaYA, maka kita berurusan dengan Permutasi JikaTIDAK, maka kita menggunakan kombinasi
3
Permutasi dan Kombinasi Faktorial
n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1 0! = 1 dan 1! = 1 Permutasi
susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan anggota dari susunan n! n Pr n r !
permutasi Definisi: permutasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan objek-objek berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada objek yang diulang dari objek-objek tersebut
permutasi Misalkan H adalah himpunan dengan n objek Misalkan k ≤ n, permutasi k objek dari himpunan H adalah
susunan objek-objek berbeda dalam urutan tertentu yang terdiri dari k objek anggota himpunan H Lambang permutasi adalah huruf P (nPk)
permutasi n objek dari n objek yang berbeda situasi: ada n objek yang satu sama lain berbeda masalah: menentukan banyaknya susunan terurut terdiri dari n objek yang ada notasi:
n
Pn
P(n, n)
n n
P
Masalah tersebut dapat dipandang sebagai masalah menempatkan n objek dalam n kotak yang berbeda
Kotak ke-
1
2
………………
n–1
n
Tahap pertama adalah mengisi kotak ke-1, tahap kedua adalah mengisi kotak ke-2, dan seterusnya sampai tahap ke-n
Tahap
Pengisian kotak ke-
Banyak cara
1 2 … n–1 n
1 2 … n–1 n
n n–1 … 2 1
Menurut kaidah perkalian Banyak cara mengisi kotak tersebut adalah: n(n-1)(n-2)(n-3) …2 • 1 = n! n
Pn = n!
Contoh: Dari empat calon pengurus LK Mahaika, berapa banyak susunan yang dapat terjadi untuk menentukan ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara?
Solusi: Masalah tersebut merupakan masalah permutasi 4 objek dari 4 objek 4
P4 4! 4.3.2.1 24
Jadi ada 24 susunan calon pengurus kelas
Permutasi k objek dari n objek yang berbeda, k ≤ n situasi:
ada n objek yang satu sama lain berbeda masalah: menentukan banyaknya susunan terurut terdiri dari k objek dari n objek yang ada, k ≤ n notasi:
n Pk
P(n, k )
n k
P
Masalah tersebut dapat dipandang sebagai masalah memilih k objek dalam n objek yang ada, k ≤ n
Kotak ke-
1
2
………………
k–1
k
Tahap pertama adalah mengisi kotak ke-1, tahap kedua adalah mengisi kotak ke-2, dan seterusnya sampai tahap ke-k
Tahap
Pengisian kotak ke-
Banyak cara
1 2 … k–1 k
1 2 … k–1 k
n n–1 … n - (k - 2) = n – k +2 n - (k -1) =n – k +1
Menurut kaidah perkalian Banyak cara mengisi kotak tersebut adalah: n(n-1)(n-2)(n-3) …(n – k + 1) = n!
(n k )! n! n Pk (n k )!
Contoh: Tentukan banyak susunan presiden dan wakil presiden jika ada enam calon.
Solusi: Masalah tersebut merupakan masalah permutasi 2 objek dari 6 objek sehingga ada:
6! 6! 6 5 30 susunan presiden dan wakil presiden 6 P2 (6 2)! 4!
Permutasi n objek dari n objek dengan beberapa objek sama situasi: ada n objek yang beberapa diantaranya sama. Misal ada sejumlah n1 objek q1, sejumlah n2 objek q2, … nk objek qk, dengan n1+n2+…+nk = n masalah: menentukan banyak susunan terurut terdiri dari n objek notasi: n
P( n1 , n2 ,...........nk )
Permutasi n objek dari n objek yang terdiri dari sejumlah n1 objek q1, sejumlah n2 objek q2, … nk objek qk, dengan n1+n2+…+nk = n
adalah:
P
n ( n1 , n 2 ,...........n k )
n! n1!n2!...nk !
Contoh: Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata MATEMATIKAWAN?
Solusi: Terdapat 13 huruf pada kata MATEMATIKAWAN, terdiri dari 2 huruf M, 4 huruf A, 2 huruf T, 1 huruf I, 1 huruf E, 1 huruf K, 1 huruf W, 1 huruf N Banyak susunan huruf yang dapat dibuat adalah:
13
P( 2, 4, 2,1,1,1,1,1)
13! 13.12.11.10.9.8.7.6.5.4! 64864800 2!4!2!1!1!1!1!1! 1.2.1.2.4!
Contoh
Himpunan {a,b,c} diambil 3 anggota, diperoleh susunan: abc; acb; bac; bca; cab; cba 3! 6 3 P3 3 3!
diambil 2 anggota, diperoleh susunan: ab; ba; bc; cb; ac; ca 3 P2
3! 6 3 2!
Kombinasi Kombinasi
susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan tanpa memberi arti pada urutan anggota dari susunan n n! n
Cr r r !n r !
Contoh: himpunan {a,b,c} diambil 2 anggota, diperoleh susunan: ab; bc; ca {Permutasi ab = ba; bc = cb; ca = ac}
Dalam suatu pertemuan MUKERNAS terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi. Jawab : 10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan
Kombinasi dari kombinasi merupakan perkalian perkalian antara
banyaknya kombinasi suatu kumpulan obyek dengan banyaknya kombinasi dari obyek lainnya. Formulasi untuk mencari kombinasi dari kombinasi adalah sebagai berikut : nCk . mCy = (n!)/(k!(n-x)!) . (m!)/(y!(m-y)!). Contoh : Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akan memilih 3 orang pengurus LK. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita. Jawab : 3C2 . 2C1 = (3!)/(2!(3-2)!) . (2!)/(1!(2-1)!) = 6 cara, yaitu : L1 L2 W1 ; L1 L3 W1 ; L2 L3 W1 ; L1 L2 W2 ; L1 L3 W2 ; L2 L3 W2
Sampling Procedures
Definisi Population – group of things (people) having one or more
common characteristics Sample – representasi dari subgroup populasi yang lebih besar Digunakan untuk mengestimasi sesuatu tentang populasi
(generalisasi) Harus sama dengan populasi dan karakteristik yang akan dicari.
Sampling
Sampling merupakan suatu proses seleksi terhadap sejumlah elemen kecil dari suatu grup target yang lebih besar sehingga akan dapat dilakukan penentuan keputusan terhadap grup yang lebih besar (populasi) tersebut
Census
Basics of Sampling Theory Population
Element Defined target population Sampling unit
Sampling frame
Sampling Error Sampling error adalah segala tipe bias Yang memungkinkan terjadinya Kesalahan baik dalam menggambarkan Sampel ataupun dalam menentukan Ukuran sampel
Developing a Sampling Plan 1. 2. 3.
4. 5.
Define the Population of Interest Identify a Sampling Frame (if possible) Select a Sampling Method Determine Sample Size Execute the Sampling Plan
Defining Population of Interest Population of interest is entirely dependent on Management
Problem, Research Problems, and Research Design. Some Bases for Defining Population: Geographic Area Demographics Usage/Lifestyle Awareness
Sampling Frame A list of population elements (people, companies,
houses, cities, etc.) from which units to be sampled can be selected. Difficult to get an accurate list. Sample frame error occurs when certain elements of the population are accidentally omitted or not included on the list. See Survey Sampling International for some good examples http://www.surveysampling.com/
Sampling Methods
Probability sampling
Nonprobability sampling
Representatif
Sample Size Critical factor is whether sample is representative Necessary sample size depends on population size Recommendations: Use tables from books
30 per group Descriptive studies – 10-20% of population No more than 50% of population
Statistical power Attrition
Other Sampling Considerations Random assignment Sampling of treatments (experimental research) Use post hoc analysis to show groups were equal at the start Since random sampling is often impossible, sample must be
selected on some theoretical basis Be careful with generalizations
When Selecting Subjects … Are subjects with special characteristics necessary for
your research? (age, gender, trained/untrained, expert/novice, size, etc.) Can you obtain the necessary permission and cooperation from the subjects? Can you find enough subjects?
Interaction among selection of subjects, treatments, and
measures is essential for experimental studies.
Reporting Subjects State how many subjects were selected Describe how the subjects were selected Discuss whether any subjects were lost during the study
and why Explain why the subjects were selected Describe subject characteristics that are pertinent to study – be very specific Identify procedures taken to protect the subjects
UNSUR DASAR PERANCANGAN PERCOBAAN
1. Ulangan 2. Pengacakan
3. Kesalahan percobaan 4. Pengawasan Setempat
UNSUR DASAR PERANCANGAN PERCOBAAN (1) ULANGAN Sampel Sedimen ke:
Perlakuan diberikan lebih dari sekali dalam suatu percobaan → perlakuan tsb. dikatakan diulang.
Ulangan
Perlakuan Kimiawi
1 2 . .
n
Fungsi Ulangan: 1). Untuk menghasilkan nilai-dugaan bagi galat percobaan S.K.
d.b.
Perlakuan Galat
t-1 t(n–1)
... ...
tn-1
...
Total
J.K.
K.T. ... ...
A
B
C
... ...
... ...
... ...
...
...
...
Fhit. Ftabel ...
...
2. PENGACAKAN Dalam percobaan suatu penelitian → penentuan secara acak berarti setiap perlakuan harus mempunyai kesempatan yang sama untuk diberikan pada sembarang satuan percobaan. Harus bertindak seobyektif mungkin (tidak boleh menurut selera kita) cara lotre (paling sederhana) Pengacakan dengan menggunakan tabel bilangan acak Fungsi Pengacakan: 1. Untuk menghindari bias atau untuk memperkecil bias yang mungkin terdapat dalam percobaan.
2) Meningkatkan ketelitian / ketepatan percobaan 3) Memperluas daya cakup kesimpulan percobaan Contoh: Meneliti 2 varitas rumput laut di daerah tertentu.
Daerah tsb. terdapat 2 jenis perairan
Varietas I Kondisi Perairan A
Kondisi Perairan A
Varietas II
Varietas I
Varietas II 4) mengendalikan ragam galat percobaan Contoh: Meneliti pengaruh pemberian kitosan pada ikan tuna Tuna: 1 – 2 bulan → 10 ulangan Tuna: 2 – 3 bulan → 10 ulangan Tuna: 3 – 4 bulan → 10 ulangan
PENGAMBILAN SAMPEL SECARA ACAK ( PENGACAKAN ) # Penentuan secara acak → satuan percobaan berpeluang sama untuk mendapat perlakuan (bertindak obyektif). Pengacakan → kegunaannya untuk menghindari / memperkecil bias yang terdapat dalam percobaan. # Sampel mencerminkan populasi → pengambilan sampel harus seobyektif mungkin, dengan cara random / acak, antara lain dibedakan: dengan lotre I. Random sampel dengan tabel bilangan acak (simple random sample) II. Pengambilan sampel secara sistematik (sistematic sample) III. Random sampel berstrata (stratified random sample)
Metode Sampling
Probability Sampling Simple random sampling Stratified random sampling Systematic sampling Cluster (area) sampling Multistage sampling
Non-Probability Sampling Deliberate (quota) sampling Convenience sampling Purposive sampling
Simple Random Sampling Equal probability Techniques Table of random numbers
Advantage Most representative group Disadvantage Difficult to identify every member of a population
RANDOM SAMPEL: (A) Dengan cara lotre 5 satuan percobaan akan memperoleh perlakuan P, Q, R, S danT (I) ( II ) - Satuan percobaan diberi - P,Q, R, S danT ditulis nomor 1, 2, 3, 4 dan 5 dikertas, dan digulung - Ambil 5 potongan kertas kecil, - 1, 2, 3, 4 dan 5 ditulis tuliskan huruf P, Q, R, S danT dikertas, dan digulung ↓ ↓ kertas digulung ambil satu persatu: Pengambilan pertama dari Pengambilan pertama tertulis Q, kertas isi perlakuan → S. berarti ditempatkan pada Pengambilan pertama dari satuan percobaan ke 1 kertas isi sat. percob.→ 5 Pengambilan kedua tertulis T, un↓ tuk satuan percobaan ke 2 maka S menempati sat.percob. 5 Dan seterusnya. - Dan seterusnya
( B ) Dengan tabel bilangan acak → (lebih dianjurkan) CONTOH: Suatu percobaan mendapat perlakuan A, B, C dan D masing-masing diulang 5 kali terdapat 4x5 = 20 satuan percobaan yang harus disediakan untuk: A1 A2 A3 A4 A5 B1 B2 B3 B4 B5 C1 C2 C3 C4 C5 D1 D2 D3 D4 D5 Cara penempatan perlakuan-perlakuan tersebut ke dalam satuan-satuan percobaan adalah sbb.: (a). Satuan-satuan percobaan tersebut diberi nomor urut 1 s/d 20.
(b). Dari tabel bilangan acak, tentukan bilangan-bilangan yang digunakan untuk pengacakan. Misalnya, setelah terpilih titik mula, didapat gugus bilangan acak: 421658 027639 516240 743165 926304 895421 195237 (c).Yang diperlukan hanya sampai no 20 Dilakukan pengelompokan beranggotakan 2 angka sebanyak 20 gugus (bila ada gugus sama → lewatkan) 42 16 58 02 76 39 51 62 40 74 31 65 92 63 04 89 54 21 19 52 (d). Bilangan tersebut di atas diberi nomor urut sesuai urutannya (bilangan kecil pertama adalah 02) : 9 3 13 1 18 7 10 14 8 17 6 16 20 15 2 19 12 5 4 11
(e). Berdasarkan (d) → perlakuan A (ulangan 1 s/d 5) ditempatkan pada satuan percobaan nomor 9 3 13 1 18, perlakuan B menempati nomor 7 10 14 8 17. sehingga diperoleh: 1
2
A4
3
C5
4
A2
D4
6
7
8
9
C1
B1
B4
A1
11
12
13
14
D5
D2
16
17
18
C2
B5
A5
A3
5
B3 19
D1
10
B2 15
C4 20
C3
D3 Sudah menghilangkan sifat berbias dalam penempatan perlakuan ke dalam satuan percobaan
Stratified Random Sampling Technique Divide population into various strata Randomly sample within each strata Sample from each strata should be proportional Advantage Better in achieving representativeness on control variable Disadvantage Difficult to pick appropriate strata Difficult to ID every member in population
PENGAMBILAN SAMPEL SECARA BERSTRATA: Bila populasi tidak homogen → perlu distratakan terlebih dahulu menjadi bagian-bagian yang homogen. ↓ Dari bagian-bagian homogen inilah baru diambil sampelnya CONTOH: Suatu penelitian terdiri dari 5 perlakuan dan 4 ulangan → diperlukan 20 ekor ikan tuna yang “seragam”. Namun yang tersedia dilapangan ikan tuna umur ½ s/d 3½ bln. ↓ perlu distratakan menjadi 4 kelompok yang homogen: kelompok I, ikan tuna umur kurang 1 bln kelompok II, ikan tuna umur 1 – 2 bln kelompok III, ikan tuna umur 2 – 3 bln kelompok IV, ikan tuna umur lebih 3 bln
Systematic Sampling Technique Use “system” to select sample (e.g., every 5th item in alphabetized list, every 10th name in phone book) Advantage Quick, efficient, saves time and energy Disadvantage Not entirely bias free; each item does not have equal chance to be selected System for selecting subjects may introduce systematic error Cannot generalize beyond pop actually sampled
PENGAMBILAN SAMPEL SECARA SISTEMATIK 10 petak tanah, masing-masing ditanami 7 x 12 = 84 rumput gajah → diambil bbrp tanaman sampel untuk diteliti
. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
.
x .
.
. x
= .
3
.
.
.
.
.
.
4
.
.
.
x = .
5
.
.
.
.
.
.
6
.
x .
.
.
x = .
7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
x . .
.
= x = . . .
. .
.
. .
.
. .
. .
. .
x . .
.
. .
Macam-macam cara pengambilan sampel secara sistematik: - cara diagonal, cara bujursangkar, cara leter L,
- cara hitungan (misalnya tiap hitungan ke 3), - cara bentuk segitiga, dll.
Harus konsisten
Cluster (Area) Sampling Randomly select groups (cluster) – all members of
groups are subjects Appropriate when you can’t obtain a list of the members of the population have little knowledge of pop characteristics Pop is scattered over large geographic area
Cluster (Area) Sampling Advantage More practical, less costly
Conclusions should be stated in terms of cluster (sample unit
– school) Sample size is # of clusters
Multistage Sampling Stage 1 randomly sample clusters (schools)
Stage 2 randomly sample individuals from the schools selected
Sampling Methods
Probability Sampling Simple random sampling Stratified random sampling Systematic sampling Cluster (area) sampling Multistage sampling
Non-Probability Sampling Deliberate (quota) sampling Convenience sampling Purposive sampling
(3) KESALAHAN / GALAT PERCOBAAN Satu perlakuan diulang pada satuan percobaan yang berkondisi serba sama ↓ Nilai pengamatan yang diperoleh tidak akan sama satu dengan yang lain ↓ Kegagalan satuan-satuan percobaan ini disebut dengan kesalahan /
galat percobaan
Keaneka-ragaman yang disebabkan ketidak mampuan materi percobaan yang diperlakukan sama untuk berperilaku sama
disebut: -
Kesalahan percobaan - Galat percobaan - Error percobaan - Sisa percobaan → karena merupakan hasil selisih Total dan Sumber Keragaman lainnya.
(4) PENGAWASAN SETEMPAT ialah usaha mengatur / menempatkan unit-unit percobaan untuk memperkecil kesalahan D A
F C
E B
Tanah ketinggian tak sama (kesuburan tanah berbeda)
Quiz time…. Berikan penjelasan mengenai perbedaan antara permutasi dan kombinasi, sertakan juga contohnya! 2. Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata HIMITEKINDO! 3. Suatu kelompok warga terdiri dari 8 orang pria dan 2 orang wanita akan memilih 5 orang pengurus RT. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus terdiri dari 3 orang pria dan 3 orang wanita? 4. Apa saja tahapan dalam membuat rencana sampling? 1.
