Perbedaan antara permutasi dan kombinasi adalah : Dalam “ permutasi “, urutan objek dibedakan.
Sedangkan dipilih tidak
dalam “kombinasi” dibedakan.
, urutan objek yang
1
Sebagai gambaran, misal dari 5 orang ( A,B,…,E) akan dipilih 2 orang dengan tujuan : pertama, akan dijadikan ketua dan wakil ketua sebuah organisasi. Kedua akan dijadikan pasangan ganda dalam permainan bulutangkis. Maka, banyaknya cara pemilihan (jumlah pasangan) yang mungkin disusun pada tujuan pertama adalah masalah permutasi (karena AB ; A : ketua, B : wakil ketua. Berbeda dengan BA, B : ketua, A : wakil ketua ) Sedangkan pada tujuan kedua adalah kombinasi ( karena, urutan AB dan BA sama saja). 2
Dalil 3-4 : Jika A1,A2,…Ak adalah k buah peristiwa yang saling asing dengan sebuah ruang sample S maka, peluang A1 atau A2 atau …, Ak terjadi adalah : (3.5) … P (A1 A2 … Ak ) = P (A1 ) + (A2 ) + … + P (Ak ) k
=
P( Ai )
i 1 Dalil 3-5 : Jika A adalah sebuah peristiwa dalam ruang sample terbatas S, maka P(A) sama dengan jumlah peluang titik-titik sampel anggota A. Dalil 3-6 : Jika A dan B adalah dua peristiwa dalam ruang sampel S maka, peluang A atau B atau keduanya terjadi adalah ,
(3-6) …
P( A B) P A P B P( A B ) Jika A dan B saling asing maka, peluang A dan B terjadi bersama-sama, P A
B
0
3
Dalil 3-7 : Jika A adalah sebuah peristiwa dalam ruang sampel S maka peluang komplemen A ( bukan A, Ac ) terjadi adalah : (3-7) … P (Ac ) = 1 – P(A). Berikut ini akan dikemukakan definisi dan dalil sehubungan dengan dua peristiwa yang mempunyai hubungan bersyarat (conditional).
4
Definisi 3-3 : Jika A dan B adalah dua peristiwa dalam ruang sampel S dengan P(B) ≠ 0 maka , peluang bersyarat A relatif terhadap B adalah , (3-8) … P ( A | B) = (3-9) …
P A
B
P A B atau P B
P A
P B jikaP A
= P(B) x P( A|B) jika P(B)
0
0 , …(aturan perkalian
umum) Jika A dan B saling bebas maka, P ( A|B) = P(A) dan P(B|A = P(B) sehingga, (3-10) … P A B P A P B , ….(aturan perkalian khusus).
5
Aturan perkalian umum, sangat berguna untuk menyelesaikan persoalan dimana, hasil akhir dari sebuah percobaan tergantung pada berbagai tahap sebelumnya. Sebagai gambaran, misalkan sebuah industri manufaktur, selama ini menggunakan bahan baku yang dipasok oleh 3 pemasok ( B1, B2, dan B3 ) masing-masing sebanyak 60 %, 30 % dan 10 %. Dengan kata lain, peluang bahan baku yang digunakan berasal dari pemasok B1 adalah 0,6; peluang bahan baku yang digunakan berasal dari pemasok B2 adalah 0,3; dan peluang bahan baku yang digunakan berasal dari pemasok B3 adalah 0,1. Jika berdasarkan pengalaman diketahui bahwa 95 % bahan baku dari B1, 80 % bahan baku dari B2, dan 65 % bahan baku dari B3, memenuhi standar yang ditetapkan maka, peristiwa yang mungkin ingin diketahui nilai peluangnya adalah “jika suatu saat, perusahaan menerima kiriman bahan baku, berapa peluang bahwa bahan baku yang diterima akan memenuhi standar ? “.
6
misal A adalah peristiwa bahwa bahan baku yang diterima memenuhi standar, dan B1 , B2 , dan B3 adalah peristiwa-peristiwa yang berasal dari masing-masing pemasok, maka dapat dibuat diagram pohon berikut :
7
B1
P(A|B1)=0,95
A
P(B1)=0,6
P(B2)=0,3
B2
P(A|B2)=0,80
A
P(B3)=0,1 B3
P(A|B3)=0,65
A
Gambar 3.3 Diagram Pohon Masalah Pemasok
8
Sehingga dapat ditulis A = P(A) =
P A
B1
A
B2
A
A
B1
B2
B3 sebab A
B3
A
B1 , A
B1
A
B2 , A
B2
A
B3
dan ,
B3 saling a sin g.
Menggunakan (3.9) diperoleh, P(A) = P(B1) x P(A|B1) + P(B2) x P(A|B2) + P(B3) x P(A|B3) P(A) = 0,6 x 0,95 + 0,3 x 0,80 + 0,1 x 0,65 = 0,875. Jadi peluang bahwa bahan baku yang diterima akan memenuhi standar adalah 0,875.
9
Dalil 3-8 : Jika B1, B2, …,Bn adalah n peristiwa yang saling asing, dimana salah satu diantaranya harus terjadi maka, n
(3.11) … P(A) =
P Bi . i 1
.P(A|Bi)
10
Teorema Bayes : Jika B1, B2, …, Bn adalah n peristiwa yang saling asing, dimana salah satu diantaranya harus terjadi maka, P Br . P A Br
(3.11) … P(Br | A) =
n
untuk r 1,2,..., atau n
P Bi .P A Bi i 1
11
Ekspektasi Matematis Dalam sejenis permainan dengan uang logam, seorang pemain akan mendapatkan hadiah sebesar $ 8 jika sisi mata uang yang nampak adalah gambar. Maka, bagi seseorang yang akan mengikuti permainan tersebut, dapat mengharapkan atau mempunyai harapan menang sebesar “ peluang nampak muka x $ 8 “ atau sebesar 0,5 x $ 8 = $ 4. Harapan tersebut, dalam teori peluang disebut harapan matematis atau ekspektasi matematis atau singkat ekspektasi.
12
Definisi 3-4 : Jika peluang memperoleh sejumlah a1 , a2, … , ak adalah p1 , p2 , … , pk maka ekspektasi didefinisikan sebagai , (3.13) … E = a1p1 + a2p2 + …+ ak pk k
ai pi
= i 1
13
Contoh : 1.
2.
Dalam sebuah survey di suatu kota terungkap bahwa 87 % warga memiliki TV-warna, 36 % memiliki TV-BW dan 29 % memiliki keduanya. Jika pada satu saat, kita bertemu dengan seorang warga daerah itu, berapa peluang bahwa dia adalah pemilik TV -warna atau TVBW. Peluang sebuah sistem komunikasi akan memiliki daya sensor tinggi 0,81 dan peluang akan memiliki daya sensor dan akurasi tinggi 0,18. Berapa peluang sebuah sistem akan memiliki daya sensor tinggi juga memiliki akurasi tinggi?
14
3. Sebuah mesin tersusun dari 20 % komponen P, 60 % komponen Q, 15 % komponen R, dan 5 % komponen S. Berdasarkan pengalaman (jika mesin rusak), 5 % karena komponen P rusak, 10 % karena komponen Q rusak, 10 % karena komponen R rusak, dan 5 % karena komponen S rusak. Jika suatu saat terjadi mesin rusak, berapa peluang bahwa kerusakan mesin tersebut akibat rusaknya komponen P. 4. Berapa Ekspektasi jika membeli selembar dari 1000 lembar undian berhadiah $ 500 ?.
15
5. Sebuah distributor akan memperoleh laba dari sejenis produk sebesar : $ 20 jika produk dikirim dari pabrik tepat waktu dan dalam keadaan utuh (kondisi 1), $ 18 jika produk dikirim dari pabrik tapi tidak tepat waktu (kondisi 2), $ 8 jika produk tidak dikirim dari pabrik meskipun tepat waktu dan dalam keadaan utuh (kondisi 3). Berapa ekspektasi laba yang diharapkan diperoleh distributor tersebut jika 70 % produk dikirim dalam kondisi 1 , 10 % dikirim dalam kondisi 2 dan 20 % dalam kondisi 3.
16
