KTSP & K-13
matematika ATURAN PENCACAHAN DAN PERMUTASI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami aturan perkalian dan penjumlahan. 2. Dapat menggunakan aturan perkalian dan penjumlahan dalam pemecahan masalah. 3. Memahami notasi faktorial dan cara menentukan hasilnya. 4. Dapat menentukan permutasi dari n unsur yang berbeda. 5. Dapat menentukan permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia. 6. Dapat menentukan permutasi siklis. 7. Dapat menentukan permutasi dengan unsur yang sama.
A. Aturan Pencacahan Aturan pencacahan adalah dasar dari perhitungan peluang. Dengan menguasai aturan pencacahan, kamu dapat menentukan banyaknya kemungkinan pengaturan unsur atau objek dalam suatu percobaan. Ada dua macam aturan pencacahan, yaitu aturan perkalian (aturan pengisian tempat yang tersedia) dan aturan penjumlahan.
1.
Aturan Perkalian Prinsip dari aturan ini adalah mengalikan banyaknya kemungkinan cara (pilihan) dari setiap kejadian yang terjadi secara bersamaan. Agar kamu lebih mengerti, mari perhatikan contoh soal berikut ini.
K e l a s
XI
Contoh Soal 1 SMA Cerdas berhasil memperoleh 5 siswa sebagai calon peserta olimpiade Matematika dan 3 siswa sebagai calon peserta olimpiade Fisika. Sekolah akan mengutus 1 siswa untuk setiap mata pelajaran. Calon peserta juga hanya diperbolehkan fokus pada salah satu mata pelajaran. Tentukan banyak cara memilih utusan sekolah sebagai peserta olimpiade Matematika dan Fisika. Pembahasan: Misalkan lima siswa calon peserta olimpiade Matematika adalah m1, m2, m3, m4, dan m5. Sementara tiga siswa calon peserta olimpiade Fisika adalah f1, f2, dan f3. Dengan menggunakan tabel silang, diperoleh: Matematika
m1
m2
m3
m4
m5
f1
(f1, m1)
(f1, m2)
(f1, m3)
(f1, m4)
(f1, m5)
f2
(f2, m1)
(f2, m2)
(f2, m3)
(f2, m4)
(f2, m5)
f3
(f3, m1)
(f3, m2)
(f3, m3)
(f3, m4)
(f3, m5)
Fisika
Pilihan utusan sekolah
Pilihan utusan sekolah Ini berarti, banyak cara memilih = 15 cara. Cara tersebut secara sederhana dapat dituliskan sebagai berikut.
Banyak Pilihan
Matematika
Fisika
5
3
Jadi, banyak cara memilihnya adalah 5 × 3 = 15 cara.
Contoh Soal 2 Seorang ahli gizi menyusun menu makan siang dan makan malam untuk pasien penderita mag di sebuah rumah sakit. Setiap menu harus berisi 1 macam karbohidrat, protein hewani, protein nabati, sayur, dan buah. Makanan berkarbohidrat yang disediakan adalah nasi putih. Protein hewaninya adalah sup ayam dan sup ikan. Protein nabatinya adalah tempe bacem dan tahu mendoan. Sayurnya adalah kangkung dan taoge. Buahnya adalah pepaya dan semangka. Tentukan banyak cara menyusun menu dari makanan-makanan tersebut!
2
Pembahasan: Berdasarkan soal, banyaknya pilihan makanan yang disediakan adalah sebagai berikut. •
Makanan berkarbohidrat ada 1, yaitu nasi putih.
•
Makanan berprotein hewani ada 2, yaitu sup ayam dan sup ikan.
•
Makanan berprotein nabati ada 2, yaitu tempe bacem dan tahu mendoan.
•
Sayur ada 2, yaitu kangkung dan taoge.
•
Buah ada 2, yaitu pepaya dan semangka.
Dengan menggunakan diagram pohon, diperoleh:
Berdasarkan diagram pohon tersebut, pilihan susunan menunya adalah sebagai berikut. {(nasi putih, sup ayam, tempe bacem, kangkung, pepaya), (nasi putih, sup ayam, tempe bacem, kangkung, semangka), (nasi putih, sup ayam, tempe bacem, taoge, pepaya), (nasi putih, sup ayam, tempe bacem, taoge, semangka), (nasi putih, sup ayam, tahu mendoan, kangkung, pepaya), (nasi putih, sup ayam, tahu mendoan, kangkung, semangka),
3
(nasi putih, sup ayam, tahu mendoan, taoge, pepaya), (nasi putih, sup ayam, tahu mendoan, taoge, semangka), (nasi putih, sup ikan, tempe bacem, kangkung, pepaya), (nasi putih, sup ikan, tempe bacem, kangkung, semangka), (nasi putih, sup ikan, tempe bacem, taoge, pepaya), (nasi putih, sup ikan, tempe bacem, taoge, semangka), (nasi putih, sup ikan, tahu mendoan, kangkung, pepaya), (nasi putih, sup ikan, tahu mendoan, kangkung, semangka), (nasi putih, sup ikan, tahu mendoan, taoge, pepaya), (nasi putih, sup ikan, tahu mendoan, taoge, semangka)} Ini berarti, banyak cara menyusun menu = 16 cara. Cara tersebut secara sederhana dapat dituliskan sebagai berikut.
Banyak Pilihan
Karbohidrat
Protein Hewani
Protein Nabati
Sayur
Buah
1
2
2
2
2
Jadi, banyak cara menyusun menunya adalah 1 × 2 × 2 × 2 × 2 = 16 cara. Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan tentang aturan perkalian sebagai berikut. Aturan Perkalian Misalkan terdapat k buah kejadian yang saling bebas, dengan: kejadian ke-1 dapat terjadi dalam n1 cara berbeda; kejadian ke-2 dapat terjadi dalam n2 cara berbeda; ⋮ kejadian ke-k dapat terjadi dalam nk cara berbeda. Banyak cara terjadinya seluruh kejadian tersebut adalah sebagai berikut. n1 × n2 × ... × nk cara berbeda
Persoalan aturan perkalian umumnya berkaitan dengan cara penyusunan objek/unsur pada tempat/posisi yang tersedia. Sebagai contoh, susunan angka yang menunjukkan bilangan tertentu, susunan huruf yang membentuk kata tertentu, dan sebagainya.
4
Contoh Soal 3 Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 akan disusun bilangan genap yang terdiri atas 3 angka berbeda. Banyak bilangan genap yang dapat disusun adalah .... (UN 2014) A. 60
D. 120
B.
90
E.
C.
108
126 Jawaban: B
Pembahasan: Diketahui 7 angka berbeda, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Bilangan yang akan disusun terdiri atas 3 angka. Ini berarti, ada 3 tempat yang tersedia, yaitu ratusan, puluhan, dan satuan. Oleh karena angkanya berbeda, maka angka yang sudah digunakan tidak boleh digunakan lagi. Oleh karena bilangannya genap, maka angka satuannya harus genap. Dengan demikian, pengisian tempat harus dimulai dari satuan, puluhan, dan terakhir ratusan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan tabel berikut.
Banyak Pilihan Angka Angka yang Dipilih
Satuan
Puluhan
Ratusan
3
6
5
Angka genap Enam buah angka dari 1, 2, yaitu 2, 4, 6. 3, 4, 5, 6, 7 (salah satu angka sudah digunakan untuk mengisi tempat satuan).
Lima buah angka dari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (satu angka sudah digunakan untuk mengisi tempat satuan dan 1 angka lain untuk mengisi tempat puluhan).
Jadi, banyak bilangan genap yang dapat disusun adalah 3 × 6 × 5 = 90.
Contoh Soal 4 Dari angka-angka 1, 2, 4, 5, 6, 7, dan 8 akan disusun bilangan yang terdiri atas 4 angka berbeda. Tentukan banyak bilangan lebih dari 4.000 yang dapat disusun dari angka-angka tersebut!
5
Pembahasan: Dalam soal ini, ada syarat bilangan lebih dari 4000 yang membatasi pilihan angka pada posisi ribuan. Oleh karena itu, kita kerjakan posisi ribuan terlebih dahulu, kemudian posisi lain yang tersisa. Perhatikan tabel berikut. Ribuan
Ratusan
Puluhan
Satuan
5
6
5
4
Lima buah angka dari 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 (dua angka sudah digunakan untuk mengisi posisi ribuan dan ratusan).
Empat buah dari angka 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 (tiga angka sudah digunakan di posisi ribuan, ratusan, dan puluhan).
Banyak Pilihan Angka Angka yang Dipilih
Angka 4, 5, 6, 7, Enam buah angka 8 agar bilangan dari 1, 2, 4, 5, 6, lebih dari 4000. 7, 8 (satu angka sudah digunakan untuk mengisi tempat ribuan).
Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak bilangan lebih dari 4.000 yang dapat disusun dari 4 angka berbeda diambil dari angka-angka 1, 2, 4, 5, 6, 7, dan 8 adalah 5 × 6 × 5 × 4 = 600 bilangan. Jika dalam soal melibatkan penggunaan syarat membatasi bilangan seperti kurang atau lebih dari bilangan tertentu, kemudian digabungkan dengan syarat genap atau ganjil, maka dahulukan pengisian pada posisi paling awal, kemudian satuan, baru setelah itu posisi yang tersisa.
Contoh Soal 5 Tentukan banyak bilangan ratusan genap kurang dari 600 yang dapat disusun dari angkaangka 0, 1, 4, 5, 6, 7, dan 8! Pembahasan: Pada soal tersebut tidak dinyatakan bahwa angka tidak boleh berulang sehingga angka yang sama dapat digunakan lebih dari sekali. Dengan menggunakan aturan perkalian, diperoleh:
6
Banyak Pilihan Angka Angka yang Dipilih
Ratusan
Satuan
Puluhan
3
4
7
Angka 1, 4, dan Angka 0, 4, 6, dan 8 agar Semua angka boleh 5 agar bilangan bilangannya genap. digunakan karena tidak ratusan kurang ada syarat bahwa angka dari 600. harus berbeda.
Jadi, banyak bilangan ratusan genap kurang dari 600 yang dapat disusun dari angkaangka 0, 1, 4, 5, 6, 7, dan 8 adalah 3 × 4 × 7 = 84 bilangan. Untuk mengerjakan soal seperti contoh soal 6 berikut ini, diperlukan kehati-hatian karena disyaratkan bilangan tidak boleh berulang. Perlu diperhatikan bahwa akan ada kemungkinan angka yang beririsan pada posisi ratusan dan satuan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal 6 Tentukan banyak bilangan ratusan genap kurang dari 600 yang dapat disusun dari angkaangka 0, 1, 4, 5, 6, 7, dan 8, dengan syarat angka tidak boleh berulang! Pembahasan: Misal kamu kerjakan dari posisi ratusan, satuan, kemudian puluhan.
Banyak Pilihan Angka Angka yang Dipilih
Ratusan
Satuan
Puluhan
3
3 atau 4
5
Angka 1, 4, dan 3 buah yaitu angka 0, 6, Dua angka sudah 5 agar bilangan dan 8 jika angka 4 dipilih digunakan pada posisi ratusan kurang pada posisi ratusan. ratusan dan satuan. dari 600. 4 buah yaitu 0, 4, 6, dan 8 jika pada posisi ratusan dipilih angka ganjil.
7
Oleh karena ada dua kemungkinan pada posisi satuan, maka kejadian tersebut dipisah menjadi terpilihnya angka ganjil pada posisi ratusan dan terpilihnya angka genap pada posisi ratusan. Kondisi 1: Terpilihnya angka ganjil pada posisi ratusan
Banyak Pilihan Angka Angka yang Dipilih
Ratusan
Satuan
Puluhan
3
4
5
Angka 1 dan 5 4 yaitu 0, 4, 6, dan 8 agar Dua angka sudah agar bilangan angkanya genap. digunakan pada posisi ratusan kurang ratusan dan satuan. dari 600.
Ini berarti, banyak bilangan genap kurang dari 600 dengan angka ganjil pada posisi ratusan adalah 2 × 4 × 5 = 40 bilangan. Kondisi 2: Terpilihnya angka genap pada posisi ratusan
Banyak Pilihan Angka Angka yang Dipilih
Ratusan
Satuan
Puluhan
1
3
5
Angka 4 agar Salah satu di antara Dua angka sudah bilangan kurang angka 0, 6, dan 8. digunakan pada posisi dari 600. ratusan dan satuan.
Ini berarti, banyak bilangan genap kurang dari 600 dengan angka genap pada posisi ratusan adalah 1 × 3 × 5 = 15 bilangan. Jadi, banyak bilangan ratusan genap kurang dari 600 dengan angka tidak berulang adalah 40 + 15 = 55 bilangan.
8
Super "Solusi Quipper"
3 × 4 × 5 − 1 × 5 = 55 Keterangan: • angka 3 menunjukkan banyak bilangan yang mungkin menempati posisi ratusan; •
angka 4 menunjukkan banyak bilangan yang mungkin menempati posisi satuan (abaikan irisan);
•
angka 5 menunjukkan sisa angka yang mungkin menempati posisi puluhan;
•
pengurangan dilakukan untuk membuang angka-angka yang beririsan; serta
•
angka 1 menunjukkan banyak bilangan yang beririsan, yaitu angka 4 (genap dan kurang dari 6).
Untuk lebih memahaminya, mari simak contoh penggunaan cara SUPER, Solusi Quipper pada soal lain.
Contoh Soal 7 Dari angka-angka 1, 3, 4, 5, 7, 8, dan 9 akan disusun bilangan yang terdiri atas 3 angka berbeda. Banyak bilangan ganjil lebih dari 500 yang dapat disusun dari angka-angka tersebut adalah .... Pembahasan:
Super "Solusi Quipper"
4 × 5 × 5 − 3 × 5 = 100 – 15 = 85 Jadi, banyak bilangan ganjil lebih dari 500 yang dapat disusun dari angka-angka tersebut adalah 85 bilangan.
2.
Aturan Penjumlahan Prinsip dari aturan ini adalah menjumlahkan banyaknya kemungkinan cara (pilihan) dari kejadian-kejadian yang tidak terjadi secara bersamaan. Agar lebih jelas, mari simak contoh berikut.
9
Contoh Soal 8 Jabatan ketua OSIS dapat diduduki oleh siswa kelas XI atau kelas XII. Jika siswa kelas XI terdiri atas 110 orang dan siswa kelas XII terdiri atas 90 orang, tentukan banyak cara memilih ketua OSIS. Pembahasan: Berdasarkan soal, dapat diperoleh informasi berikut. Banyak siswa kelas XI = 110 orang. Banyak siswa kelas XII = 90 orang. Jabatan ketua OSIS hanya disediakan untuk 1 orang dari salah satu tingkatan kelas. Ini berarti terdapat 2 kemungkinan, yaitu 1 siswa kelas XI terpilih sebagai ketua OSIS atau 1 siswa kelas XII yang terpilih. Dua kemungkinan ini tidak dapat terjadi secara bersamaan sehingga aturan pencacahan yang digunakan adalah aturan penjumlahan. Jadi, banyak cara memilih ketua OSIS tersebut adalah 110 + 90 = 200 cara. Berdasarkan contoh soal 8, dapat disimpulkan tentang aturan penjumlahan sebagai berikut. Aturan Penjumlahan Misalkan terdapat k buah kejadian yang saling lepas, dengan: kejadian ke-1 dapat terjadi dalam n1 cara berbeda; kejadian ke-2 dapat terjadi dalam n2 cara berbeda; ⋮ kejadian ke-k dapat terjadi dalam nk cara berbeda. Banyak cara terjadinya seluruh kejadian tersebut adalah sebagai berikut. n1 + n2 + ... + nk cara berbeda
Agar kamu dapat dengan mudah mengenali aturan perkalian dan penjumlahan, mari pahami perbedaannya pada tabel berikut ini.
10
Perbedaan antara Aturan Perkalian dan Penjumlahan Pembeda
Aturan Perkalian
Aturan Penjumlahan
Banyak cara terjadinya k n1 × n2 × ... × nk cara buah kejadian
n1 + n2 + ... + nk cara
Waktu dan sifat kejadian
Bersamaan atau berurutan
Tidak bersamaan, tidak serentak, satu per satu, atau bersifat pilihan
Kata kunci dalam soal cerita
Dan
Atau
Aturan perkalian dan penjumlahan juga dapat digunakan bersama-sama tergantung perintah soalnya.
Contoh Soal 9 Suatu organisasi OSIS di sebuah SMA memiliki 20 anggota yang terdiri atas 4 siswa kelas XII, 6 siswa kelas XI, dan 10 siswa kelas X. Dari anggota tersebut, akan dilakukan pemilihan pengurus baru, yaitu ketua, wakil, dan sekretaris. Posisi wakil dan sekretaris harus diduduki oleh siswa yang kelasnya lebih rendah dari kelas ketua. Tentukan banyak cara pemilihan pengurus yang mungkin! Pembahasan: Oleh karena posisi wakil dan sekretaris harus diduduki oleh siswa yang kelasnya lebih rendah dari kelas ketua, maka ada dua pilihan pada ketua, yaitu ketua dari kelas XII atau dari kelas XI. Pilihan 1: Ketua dari kelas XII Jika ketua dari kelas XII, posisi wakil dan sekretaris bisa dari kelas XI dan X. Banyak cara pemilihan pengurus adalah 4 × 16 × 15 = 960 pilihan Pilihan 2: Ketua dari kelas XI Jika ketua dari kelas XI, posisi wakil dan sekretaris hanya bisa dari kelas X. Banyak cara pemilihan pengurus adalah 6 × 10 × 9 = 540 pilihan Oleh karena kejadian pemilihan ketua baik dari kelas XII maupun dari kelas XI tidak mungkin terjadi bersamaan atau bersifat pilihan, maka aturan yang digunakan adalah aturan penjumlahan. Dengan demikian, banyak cara pemilihan pengurus yang mungkin adalah 960 + 540 = 1.500 cara. Jadi, banyak cara pemilihan pengurus yang mungkin adalah 1.500 cara.
11
B. Faktorial Faktorial merupakan bentuk perkalian bilangan bulat positif berurutan. Pemahaman terhadap faktorial akan sangat membantu kamu dalam mempelajari permutasi dan kombinasi. Definisi Faktorial Misalkan terdapat n buah bilangan bulat positif. n! (dibaca: n faktorial) dapat didefinisikan sebagai berikut. n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 3 × 2 ×1 Definisi tambahan: 0! = 1 1! = 1
Sifat-Sifat Faktorial Jika n, a, dan b ∈ bilangan bulat positif, berlaku: 1. n = 2. 3. 4. 5.
n! ( n − 1) !
( a − b )! ≠ a! − b ! ( a + b )! ≠ a! + b ! ( a × b )! ≠ a! × b ! ( a ÷ b )! ≠ a! ÷b !
Contoh faktorial: 1. 6 ! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6 × 5 ! = 30 × 4 ! 5! 6 × 5! 6 ! 2. = = 4 6 × 4 24
12
Contoh Soal 10 1 1 12 + − = .... 4 ! 5! 6 ! Pembahasan: Dengan menyamakan penyebut pecahan, diperoleh: 1 1 12 6 ( 5 ) 6 12 + − + − = 4 ! 5! 6 ! 6! 6! 6! 30 + 6 − 12 = 6! 24 = 6! 4 × 3 × 2 ×1 = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 1 = 30 Jadi,
1 1 12 1 + − = . 4 ! 5 ! 6 ! 30
Contoh Soal 11 Untuk n ≥ 3, buktikan bahwa ( n − 2 ) !− ( n − 3 ) ! = ( n − 3 ) ! ( n − 3 ) . Pembahasan: Dengan menguraikan ruas kiri persamaan, diperoleh:
( n − 2 ) !− ( n − 3 ) ! = ( n − 2 ) ( n − 3 ) !− ( n − 3 ) ! = ( n − 3 ) ! ( n − 2 − 1) = ( n − 3)!( n − 3) Jadi, terbukti bahwa ( n − 2 ) !− ( n − 3 ) ! = ( n − 3 ) ! ( n − 3 ) .
C. Permutasi Permutasi merupakan banyak cara penyusunan unsur-unsur (objek) dengan memerhatikan urutan. Secara umum, terdapat 5 jenis permutasi. Mari simak penjelasannya satu per satu berikut ini.
13
1.
Permutasi n Unsur yang Berbeda Untuk memahami konsep permutasi n unsur yang berbeda, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal 12 Tentukan banyak cara menyusun 4 buah buku yang terdiri atas buku Biologi (B), Fisika (F), Matematika (M), dan Sejarah (S) di sebuah rak secara berjajar. Pembahasan: Kemungkinan susunan buku Biologi (B), Fisika (F), Matematika (M), dan Sejarah (S) adalah sebagai berikut. BFMS
BSFM
FMBS
MBFS
MSBF
SFBM
BFSM
BSMF
FMSB
MBSF
MSFB
SFMB
BMFS
FBMS
FSBM
MFBS
SBFM
SMBF
BMSF
FBSM
FSMB
MFSB
SBMF
SMFB
Jadi, banyak cara menyusunnya adalah 24. Jika pembahasan contoh soal 12 dituliskan dalam bentuk faktorial, banyak cara menyusun 4 buku = 24 = 4 × 3 × 2 × 1 = 4! Dengan demikian, diperoleh kesimpulan berikut. Permutasi n Unsur yang Berbeda Banyak cara menyusun n unsur yang berbeda adalah sebagai berikut. n n Pn = Pn = P( n , n ) = n !
Contoh Soal 13 Dari huruf S, I, M, A, dan K dapat dibuat 120 “kata”. Jika “kata” ini disusun secara alfabetikal, kata “SIMAK” akan berada pada urutan ke- .... (SIMAK UI 2009) A. 105
D. 115
B.
106
E.
C.
107
116 Jawaban: C
14
Pembahasan: Jika huruf S, I, M, A, dan K disusun secara alfabetikal, maka urutannya adalah “A, I, K, M, S.” Susunan kata dari huruf-huruf tersebut hingga ditemukan kata “SIMAK” disajikan pada tabel berikut. Susunan Kata
Banyak Susunan
A
...
...
...
...
4! = 24
I
...
...
...
...
4! = 24
K
...
...
...
...
4! = 24
M
...
...
...
...
4! = 24
S
A
...
...
...
3! = 6
S
I
A
...
...
2! = 2
S
I
K
...
...
2! = 2
S
I
M
A
K
1
Jumlah
107
Catatan: “...” dapat diisi dengan huruf yang belum digunakan. Jadi, kata “SIMAK” berada pada urutan ke-107.
2.
Permutasi r dari n Unsur dengan 0 ≤ r ≤ n Untuk memahami konsep permutasi r dari n unsur dengan 0 ≤ r ≤ n, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal 14 Pada pemilihan ketua dan wakil ketua RT, muncul 3 kandidat yaitu Aliando, Bondan, dan Chiko. Tentukan banyak susunan pasangan ketua dan wakil ketua RT yang mungkin.
15
Pembahasan: Dengan menggunkan tabel, diperoleh: Ketua
Wakil Ketua
Aliando
Bondan
Aliando
Chiko
Bondan
Aliando
Bondan
Chiko
Chiko
Aliando
Chiko
Bondan
Jadi, banyak susunan ketua dan wakil ketua RT yang mungkin adalah 6 pasang. Jika pembahasan contoh soal 14 dituliskan dalam bentuk faktorial, banyak susunan pasangan ketua dan wakil ketua RT (2 orang) dari 3 kandidat adalah sebagai berikut. 6 = 3 × 2 ×1=
3 × 2 ×1 3! 3! = = 1 1! ( 3 − 2 ) !
Dengan demikian, diperoleh kesimpulan berikut. Permutasi r dari n Unsur dengan 0 ≤ r ≤ n Banyak cara menyusun r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah sebagai berikut. P = Prn = P( n , r ) =
n r
n! (n − r )!
Contoh Soal 15 Suatu organisasi motor cross ingin menentukan pengurus yaitu ketua, sekretaris, dan bendahara dari 20 anggota. Banyak susunan yang mungkin adalah .... (UN 2015) A. 2.280
D. 13.400
B.
6.840
E.
C.
12.400
13.680 Jawaban: B
16
Pembahasan: Diketahui: banyak pengurus = r = 3 (ketua, sekretaris, bendahara); dan banyak anggota = n = 20. Oleh karena 3 pengurus (ketua, sekretaris, bendahara) akan dipilih dari 20 anggota, maka: P = 20 P3 =
n r
20 ! 20 ! 20 × 19 × 18 × 17 ! = = = 6.840 − 20 3 ! 17 ! 17 ! ( )
Jadi, banyak susunan yang mungkin adalah 6.840.
3.
Permutasi Siklis (Melingkar) Untuk memahami konsep permutasi siklis, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal 16 Empat buah manik-manik dengan warna merah, kuning, hijau, dan biru akan dirangkai menjadi sebuah cincin. Tentukan banyak cara merangkai manik-manik tersebut! Pembahasan: Misalkan: manik merah = M; manik kuning = K; manik hijau = H; dan manik biru = B.
17
Rangkaian manik-manik yang mungkin adalah sebagai berikut. M B
M K
K
H
B
K
H
H
Rangkaian 1
B
Rangkaian 2
M H
M
Rangkaian 3
M K
H
B Rangkaian 4
M B
B
H
K Rangkaian 5
K Rangkaian 6
Jadi, banyak cara merangkai manik-manik tersebut adalah 6 cara. Perhatikan kembali rangkaian 1 dan 2 pada pembahasan contoh soal 16. Susunan rangkaian 1 dan 2 terlihat sama. Namun, jika manik berwarna merah dijadikan acuan, susunan rangkaian keduanya menjadi berbeda. Ini berarti, kita cukup menentukan susunan 3 manik-manik lainnya dengan permutasi n unsur berbeda (n!). Dengan demikian, banyak cara merangkai sebuah cincin dari 4 manik-manik adalah sebagai berikut. (4 – 1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 cara. Dengan demikian, diperoleh kesimpulan berikut. Permutasi Siklis Banyak cara menyusun n unsur berbeda secara melingkar adalah sebagai berikut. Psiklis = ( n − 1) ! Kata kunci pada soal: melingkari, mengelilingi, cincin, gelang, dan kalung.
Contoh Soal 17 Anggota Palang Merah Remaja (PMR) yang terdiri atas 2 anggota senior dan 6 junior sedang mengadakan rapat. Mereka duduk mengelilingi meja bundar. Tentukan banyak cara mereka duduk jika anggota senior selalu duduk berdampingan!
18
Pembahasan: Diketahui: banyak anggota = 8 orang; banyak anggota senior = ns = 2 orang; dan banyak anggota junior = nj = 6 orang. Oleh karena duduknya mengelilingi meja bundar (melingkar), maka banyak susunannya adalah (n – 1)! Oleh karena anggota senior selalu duduk berdampingan, maka dianggap sebagai 1 kelompok sehingga n = nj + 1 = 6 + 1 = 7 Posisi anggota senior yang duduk berdampingan dapat diacak selama masih berada dalam kelompoknya sehingga banyak susunan duduk anggota senior 2! Dengan demikian, banyak cara mereka duduk adalah sebagai berikut. (7 – 1)! 2! = 6! 2! = 1.440 cara. Jadi, banyak cara mereka duduk jika anggota senior selalu duduk berdampingan adalah 1.440 cara.
4.
Permutasi dengan Unsur yang Sama Banyak cara menyusun r1, r2, ... rn unsur yang sama dari n unsur yang tersedia dengan r1 + r2 + ... rn adalah sebagai berikut. n! n Pr1 , r2 , ..., rn = r1! r2 ! ..., rn !
Contoh Soal 18 Tentukan banyak kata berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata MATEMATIKA! Pembahasan: Dari 10 huruf (M, A, T, E, M, A, T, I, K, A) terdapat huruf yang sama yaitu M = r1 = 2, A = r2 = 3, dan T = r3 = 2. Dengan menggunakan permutasi unsur yang sama, diperoleh: P
n r1 , r2 ,r3
=
n! 10 ! = r1 ! r2 ! r3 ! 2 ! 3 ! 2 !
19
Jadi, banyak kata berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata MATEMATIKA adalah
10 ! . 2 !3!2 !
Contoh Soal 19 Dari huruf-huruf L, O, U, I, S, I, A, N, A akan dibentuk sebuah kata. Tentukan banyak cara menyusun kata yang diawali dengan huruf N. Pembahasan: Dari 9 huruf (L, O, U, I, S, I, A, N, A) terdapat huruf yang sama yaitu I dan A. Oleh karena kata yang akan dibentuk diawali dengan huruf N, maka posisi huruf N tetap di depan sehingga kita tinggal menyusun 8 huruf lagi. Ini berarti: banyak huruf yang disusun = n = 8; banyak huruf I = r1 = 2; dan banyak huruf A = r2 = 2. Dengan menggunakan permutasi unsur yang sama, diperoleh: P
n r1 , r2
=
n! 8! = = 10.080 r1 ! r2 ! 2 ! 2 !
Jadi, banyak cara menyusun kata yang diawali dengan huruf N adalah 10.080 cara. Agar kamu dapat dengan mudah mengenali soal permutasi, mari pahami ciri-ciri permutasi berikut. Ciri-Ciri Permutasi Memerhatikan urutan. Kata kunci pada soal cerita: menyusun (dengan setiap posisi memiliki arti yang berbeda), memilih/mengambil dengan tujuan/jabatan tertentu.
20
